Арифметическая ошибка это математика

В процессуальном праве действует правило неизменяемости судебного решения. Согласно этому правилу суд, принявший решение, не вправе самостоятельно изменять его*(986). В то же время из этого правила есть исключение, которое сводится к тому, что суду, принявшему решение, предоставлено право исправить допущенные ошибки, не затрагивая при этом существа принятого решения и не касаясь тех вопросов, которые не были предметом судебного разбирательства. К таким ошибкам относятся описки, опечатки и арифметические ошибки.
Под опиской в соответствии с общеупотребительной лексикой понимается ошибка в письменном тексте, сделанная по рассеянности или невнимательности*(987). Опечатка — это ошибка в печатном тексте, допущенная при наборе, печатании на машинке*(988) (компьютере). Арифметическая ошибка — это неправильность, допущенная в каком-либо вычислении.
Таким образом, все вышеуказанные типы ошибок не являются правовыми ошибками, т.е. ошибками в применении правовых норм. Исправлять собственные правовые ошибки третейский суд не компетентен. Это прерогатива государственного суда, проверяющего в установленных законом пределах на основании заявления заинтересованного лица законность решения третейского суда (в том случае, если третейское соглашение не предусматривает, что решение третейского суда является окончательным).
Не все арифметические ошибки могут быть исправлены третейским судом. Так, если арифметическая ошибка допущена вследствие неправильного применения норм, устанавливающих порядок исчисления цены иска, то такая ошибка не может быть исправлена третейским судом, принявшим решение, поскольку такая ошибка по своей сути является правовой. В этом случае исправление ошибки возможно только путем отмены соответствующего решения третейского суда либо отказа в принудительном его исполнении.
Федеральный закон «О третейских судах в Российской Федерации» не предусматривает, какова должна быть процедура исправления описок, опечаток, арифметических ошибок. В частности, неясно, является ли обязательным проведение в данном случае судебного заседания с обязательным уведомлением сторон. Представляется, что вопрос о внесении указанных изменений должен решаться в судебном заседании, если суд посчитает необходимым проведение такого заседания. При этом лица, участвующие в деле, должны быть извещены о времени и месте проведения заседания.
Действующий закон не урегулировал и вопрос о сроке, в течение которого заинтересованная сторона вправе обратиться с заявлением об исправлении ошибок, опечаток или арифметических ошибок. Законодатель, как представляется, в данном случае сделал шаг назад. Ранее действовавшее Временное положение о третейском суде для разрешения экономических споров содержало норму, которая устанавливала такой срок, составлявший 10 дней (ст. 22). Представляется, что возврат к указанной норме способствовал бы стабильности и предсказуемости третейского процесса, понуждая стороны к более ответственному отношению к своим правам и обязанностям.
Исправление описок, опечаток, арифметических ошибок оформляется определением, которое рассматривается в качестве составной части решения и, как следствие, может быть обжаловано в том порядке, который установлен для обжалования решения третейского суда.

Если в поступившем к вам счете-фактуре неверно (в том числе с арифметическими ошибками) указаны:

стоимость товаров, работ, услуг; и
сумма НДС,

не берите налог к вычету, а попросите продавца исправить ошибку. Если ее найдут налоговики, вычет снимут. Об этом напоминает Минфин (письмо от 19.04.2017 № 03-07-09/23491).

Алгоритм исправления арифметической ошибки такой же как при исправлении технических ошибок. Продавец создает новый счет-фактуру и вносит следующие данные:

в стр. 1 — номер и дату из строки 1 первичного экземпляра счета-фактуры. Эти данные менять нельзя;
в строке 1а — порядковый номер и дату исправления;
в графах 5, 8 и 9, в которых содержатся данные о стоимости поставки и суммы НДС, фиксирует правильные значения;
в остальных строках и графах — данные из первичного экземпляра с правильными значениями.

При необходимости также вносит новые данные (ранее не отраженные).
Исправленный счет-фактуру подписывают руководитель и главный бухгалтер или ИП либо иные уполномоченные лица (п. 6 ст. 169 НК РФ, п. 7 Правил заполнения счета-фактуры).

Образец исправлений см. ниже.

В каких случаях используется исправленный счет-фактура, узнайте .

См. также «Нюансы нумерации счетов-фактур не по порядку в 2017 г.».

Более полную информацию по теме вы можете найти в КонсультантПлюс.
Полный и бесплатный доступ к системе на 2 дня.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Invalid proof» redirects here. For any type of invalid proof besides mathematics, see Fallacy.

«0 = 1» redirects here. For the algebraic structure where this equality holds, see Null ring.

In mathematics, certain kinds of mistaken proof are often exhibited, and sometimes collected, as illustrations of a concept called mathematical fallacy. There is a distinction between a simple mistake and a mathematical fallacy in a proof, in that a mistake in a proof leads to an invalid proof while in the best-known examples of mathematical fallacies there is some element of concealment or deception in the presentation of the proof.

For example, the reason why validity fails may be attributed to a division by zero that is hidden by algebraic notation. There is a certain quality of the mathematical fallacy: as typically presented, it leads not only to an absurd result, but does so in a crafty or clever way.^[1] Therefore, these fallacies, for pedagogic reasons, usually take the form of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle, or designed to show that certain steps are conditional, and are not applicable in the cases that are the exceptions to the rules.

The traditional way of presenting a mathematical fallacy is to give an invalid step of deduction mixed in with valid steps, so that the meaning of fallacy is here slightly different from the logical fallacy. The latter usually applies to a form of argument that does not comply with the valid inference rules of logic, whereas the problematic mathematical step is typically a correct rule applied with a tacit wrong assumption. Beyond pedagogy, the resolution of a fallacy can lead to deeper insights into a subject (e.g., the introduction of Pasch’s axiom of Euclidean geometry,^[2] the five colour theorem of graph theory). Pseudaria, an ancient lost book of false proofs, is attributed to Euclid.^[3]

Mathematical fallacies exist in many branches of mathematics. In elementary algebra, typical examples may involve a step where division by zero is performed, where a root is incorrectly extracted or, more generally, where different values of a multiple valued function are equated. Well-known fallacies also exist in elementary Euclidean geometry and calculus.^[4]^[5]

Howlers[edit]

${displaystyle {begin{array}{l};;;{dfrac {d}{dx}}{dfrac {1}{x}}\={dfrac {d}{d}}{dfrac {1}{x^{2}}}\={dfrac {d!!!backslash }{d!!!backslash }}{dfrac {1}{x^{2}}}\=-{dfrac {1}{x^{2}}}end{array}}}$

Anomalous cancellation in calculus

Examples exist of mathematically correct results derived by incorrect lines of reasoning. Such an argument, however true the conclusion appears to be, is mathematically invalid and is commonly known as a howler. The following is an example of a howler involving anomalous cancellation:

${displaystyle {frac {16}{64}}={frac {16!!!/}{6!!!/4}}={frac {1}{4}}.}$

Here, although the conclusion 16/64 = 1/4 is correct, there is a fallacious, invalid cancellation in the middle step.^{[note 1]} Another classical example of a howler is proving the Cayley–Hamilton theorem by simply substituting the scalar variables of the characteristic polynomial by the matrix.

Bogus proofs, calculations, or derivations constructed to produce a correct result in spite of incorrect logic or operations were termed «howlers» by Maxwell.^[2] Outside the field of mathematics the term howler has various meanings, generally less specific.

Division by zero[edit]

The division-by-zero fallacy has many variants. The following example uses a disguised division by zero to «prove» that 2 = 1, but can be modified to prove that any number equals any other number.

Let a and b be equal, nonzero quantities
Multiply by a

$a^{2}=ab$
Subtract b²

$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
Factor both sides: the left factors as a difference of squares, the right is factored by extracting b from both terms
Divide out (a − b)
Use the fact that a = b
Combine like terms on the left
Divide by the non-zero b

Q.E.D.^[6]

The fallacy is in line 5: the progression from line 4 to line 5 involves division by a − b, which is zero since a = b. Since division by zero is undefined, the argument is invalid.

Analysis[edit]

Mathematical analysis as the mathematical study of change and limits can lead to mathematical fallacies — if the properties of integrals and differentials are ignored. For instance, a naive use of integration by parts can be used to give a false proof that 0 = 1.^[7] Letting u = 1/log x and dv = dx/x, we may write:

$int {frac {1}{x,log x}},dx=1+int {frac {1}{x,log x}},dx$

after which the antiderivatives may be cancelled yielding 0 = 1. The problem is that antiderivatives are only defined up to a constant and shifting them by 1 or indeed any number is allowed. The error really comes to light when we introduce arbitrary integration limits a and b.

${displaystyle int _{a}^{b}{frac {1}{x,log x}},dx=1|_{a}^{b}+int _{a}^{b}{frac {1}{x,log x}},dx=0+int _{a}^{b}{frac {1}{xlog x}},dx=int _{a}^{b}{frac {1}{xlog x}},dx}$

Since the difference between two values of a constant function vanishes, the same definite integral appears on both sides of the equation.

Multivalued functions[edit]

Many functions do not have a unique inverse. For instance, while squaring a number gives a unique value, there are two possible square roots of a positive number. The square root is multivalued. One value can be chosen by convention as the principal value; in the case of the square root the non-negative value is the principal value, but there is no guarantee that the square root given as the principal value of the square of a number will be equal to the original number (e.g. the principal square root of the square of −2 is 2). This remains true for nth roots.

Positive and negative roots[edit]

Care must be taken when taking the square root of both sides of an equality. Failing to do so results in a «proof» of^[8] 5 = 4.

Proof:

Start from

Write this as

Rewrite as

${displaystyle 5^{2}-5times 9=4^{2}-4times 9}$

Add 81/4 on both sides:

${displaystyle 5^{2}-5times 9+{frac {81}{4}}=4^{2}-4times 9+{frac {81}{4}}}$

These are perfect squares:

${displaystyle left(5-{frac {9}{2}}right)^{2}=left(4-{frac {9}{2}}right)^{2}}$

Take the square root of both sides:

${displaystyle 5-{frac {9}{2}}=4-{frac {9}{2}}}$

Add 9/2 on both sides:

Q.E.D.

The fallacy is in the second to last line, where the square root of both sides is taken: a² = b² only implies a = b if a and b have the same sign, which is not the case here. In this case, it implies that a = –b, so the equation should read

${displaystyle 5-{frac {9}{2}}=-left(4-{frac {9}{2}}right)}$

which, by adding 9/2 on both sides, correctly reduces to 5 = 5.

Another example illustrating the danger of taking the square root of both sides of an equation involves the following fundamental identity^[9]

$cos ^{2}x=1-sin ^{2}x$

which holds as a consequence of the Pythagorean theorem. Then, by taking a square root,

${displaystyle cos x={sqrt {1-sin ^{2}x}}}$

Evaluating this when x = π , we get that

which is incorrect.

The error in each of these examples fundamentally lies in the fact that any equation of the form

$x^{2}=a^{2}$

where aneq 0 , has two solutions:

and it is essential to check which of these solutions is relevant to the problem at hand.^[10] In the above fallacy, the square root that allowed the second equation to be deduced from the first is valid only when cos x is positive. In particular, when x is set to π, the second equation is rendered invalid.

Square roots of negative numbers[edit]

Invalid proofs utilizing powers and roots are often of the following kind:

1={sqrt {1}}={sqrt {(-1)(-1)}}={sqrt {-1}}{sqrt {-1}}=icdot i=-1.

The fallacy is that the rule is generally valid only if at least one of and is non-negative (when dealing with real numbers), which is not the case here.^[11]

Alternatively, imaginary roots are obfuscated in the following:

${displaystyle i={sqrt {-1}}=left(-1right)^{frac {2}{4}}=left(left(-1right)^{2}right)^{frac {1}{4}}=1^{frac {1}{4}}=1}$

The error here lies in the third equality, as the rule ${displaystyle a^{bc}=(a^{b})^{c}}$ only holds for positive real a and real b, c.

Complex exponents[edit]

When a number is raised to a complex power, the result is not uniquely defined (see Exponentiation § Failure of power and logarithm identities). If this property is not recognized, then errors such as the following can result:

${displaystyle {begin{aligned}e^{2pi i}&=1\left(e^{2pi i}right)^{i}&=1^{i}\e^{-2pi }&=1\end{aligned}}}$

The error here is that the rule of multiplying exponents as when going to the third line does not apply unmodified with complex exponents, even if when putting both sides to the power i only the principal value is chosen. When treated as multivalued functions, both sides produce the same set of values, being {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometry[edit]

Many mathematical fallacies in geometry arise from using an additive equality involving oriented quantities (such as adding vectors along a given line or adding oriented angles in the plane) to a valid identity, but which fixes only the absolute value of (one of) these quantities. This quantity is then incorporated into the equation with the wrong orientation, so as to produce an absurd conclusion. This wrong orientation is usually suggested implicitly by supplying an imprecise diagram of the situation, where relative positions of points or lines are chosen in a way that is actually impossible under the hypotheses of the argument, but non-obviously so.

In general, such a fallacy is easy to expose by drawing a precise picture of the situation, in which some relative positions will be different from those in the provided diagram. In order to avoid such fallacies, a correct geometric argument using addition or subtraction of distances or angles should always prove that quantities are being incorporated with their correct orientation.

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

The fallacy of the isosceles triangle, from (Maxwell 1959, Chapter II, § 1), purports to show that every triangle is isosceles, meaning that two sides of the triangle are congruent. This fallacy was known to Lewis Carroll and may have been discovered by him. It was published in 1899.^[12]^[13]

Given a triangle △ABC, prove that AB = AC:

Draw a line bisecting ∠A.
Draw the perpendicular bisector of segment BC, which bisects BC at a point D.
Let these two lines meet at a point O.
Draw line OR perpendicular to AB, line OQ perpendicular to AC.
Draw lines OB and OC.
By AAS, △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (common side)).
By RHS,^{[note 2]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hypotenuse); RO = OQ (leg)).
Thus, AR = AQ, RB = QC, and AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

As a corollary, one can show that all triangles are equilateral, by showing that AB = BC and AC = BC in the same way.

The error in the proof is the assumption in the diagram that the point O is inside the triangle. In fact, O always lies on the circumcircle of the △ABC (except for isosceles and equilateral triangles where AO and OD coincide). Furthermore, it can be shown that, if AB is longer than AC, then R will lie within AB, while Q will lie outside of AC, and vice versa (in fact, any diagram drawn with sufficiently accurate instruments will verify the above two facts). Because of this, AB is still AR + RB, but AC is actually AQ − QC; and thus the lengths are not necessarily the same.

Proof by induction[edit]

There exist several fallacious proofs by induction in which one of the components, basis case or inductive step, is incorrect. Intuitively, proofs by induction work by arguing that if a statement is true in one case, it is true in the next case, and hence by repeatedly applying this, it can be shown to be true for all cases. The following «proof» shows that all horses are the same colour.^[14]^{[note 3]}

Let us say that any group of N horses is all of the same colour.
If we remove a horse from the group, we have a group of N − 1 horses of the same colour. If we add another horse, we have another group of N horses. By our previous assumption, all the horses are of the same colour in this new group, since it is a group of N horses.
Thus we have constructed two groups of N horses all of the same colour, with N − 1 horses in common. Since these two groups have some horses in common, the two groups must be of the same colour as each other.
Therefore, combining all the horses used, we have a group of N + 1 horses of the same colour.
Thus if any N horses are all the same colour, any N + 1 horses are the same colour.
This is clearly true for N = 1 (i.e., one horse is a group where all the horses are the same colour). Thus, by induction, N horses are the same colour for any positive integer N, and so all horses are the same colour.

The fallacy in this proof arises in line 3. For N = 1, the two groups of horses have N − 1 = 0 horses in common, and thus are not necessarily the same colour as each other, so the group of N + 1 = 2 horses is not necessarily all of the same colour. The implication «every N horses are of the same colour, then N + 1 horses are of the same colour» works for any N > 1, but fails to be true when N = 1. The basis case is correct, but the induction step has a fundamental flaw.

Notes[edit]

^ The same fallacy also applies to the following:

${displaystyle {begin{aligned}{frac {19}{95}}={frac {19!!!/}{9!!!/5}}&={frac {1}{5}}\{frac {26}{65}}={frac {26!!!/}{6!!!/5}}&={frac {2}{5}}\{frac {49}{98}}={frac {49!!!/}{9!!!/8}}&={frac {4}{8}}={frac {1}{2}}end{aligned}}}$
^ Hypotenuse–leg congruence
^ George Pólya’s original «proof» was that any n girls have the same colour eyes.

References[edit]

^ Maxwell 1959, p. 9
^ ^a ^b Maxwell 1959
^ Heath & Heiberg 1908, Chapter II, §I
^ Barbeau, Ed (1991). «Fallacies, Flaws, and Flimflam» (PDF). The College Mathematics Journal. 22 (5). ISSN 0746-8342.
^ «soft question – Best Fake Proofs? (A M.SE April Fools Day collection)». Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2019-10-24.
^ Heuser, Harro (1989), Lehrbuch der Analysis – Teil 1 (6th ed.), Teubner, p. 51, ISBN 978-3-8351-0131-9
^ Barbeau, Ed (1990), «Fallacies, Flaws and Flimflam #19: Dolt’s Theorem», The College Mathematics Journal, 21 (3): 216–218, doi:10.1080/07468342.1990.11973308
^ Frohlichstein, Jack (1967). Mathematical Fun, Games and Puzzles (illustrated ed.). Courier Corporation. p. 207. ISBN 0-486-20789-7. Extract of page 207
^ Maxwell 1959, Chapter VI, §I.1
^ Maxwell 1959, Chapter VI, §II
^ Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of «i«. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12
^ S.D.Collingwood, ed. (1899), The Lewis Carroll Picture Book, Collins, pp. 190–191
^ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll in Numberland, Penguin Books, pp. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
^ Pólya, George (1954). Induction and Analogy in Mathematics. Mathematics and plausible reasoning. Vol. 1. Princeton. p. 120.

Barbeau, Edward J. (2000), Mathematical fallacies, flaws, and flimflam, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-529-4, MR 1725831.
Bunch, Bryan (1997), Mathematical fallacies and paradoxes, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-29664-7, MR 1461270.
Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908), The thirteen books of Euclid’s Elements, Volume 1, The University Press.
Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-05700-0, MR 0099907.

External links[edit]

Invalid proofs at Cut-the-knot (including literature references)
Classic fallacies with some discussion
More invalid proofs from AhaJokes.com
Math jokes including an invalid proof

Источник

Господа юристы, помогите! где можно найти определение «арифметическая ошибка». Заранее благодарю!!

Вот, кажется, самое то, что ищете. Нашел в интернете.

В процессуальном праве действует правило неизменяемости судебного решения. Согласно этому правилу суд, принявший решение, не вправе самостоятельно изменять его. В то же время из этого правила есть исключение, которое сводится к тому, что суду, принявшему решение, предоставлено право исправить допущенные ошибки, не затрагивая при этом существа принятого решения и не касаясь тех вопросов, которые не были предметом судебного разбирательства. К таким ошибкам относятся описки, опечатки и арифметические ошибки.

Под опиской в соответствии с общеупотребительной лексикой понимается ошибка в письменном тексте, сделанная по рассеянности или невнимательности.

Опечатка — это ошибка в печатном тексте, допущенная при наборе, печатании на машинке.

Арифметическая ошибка — это неправильность, допущенная в каком-либо вычислении.

Источник

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Сафарова А.Г. 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Ильина Светлана Владимировна 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b². Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х²— 2ху + у²= у²— 2ху + х². Имеем: ( х – у )²= ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а²– 2аb + b²= ca – cb. После преобразования получаем а²– аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х²)³ ( х – 3 )²≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )²≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 )³( х – 3 )²≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴– 2х²— 7 = 0.

Введем замену х²=z, решаем квадратное уравнение:

9z²— 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k²— ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2= =

z₁₌-1, z₂= ,

х²= — 1, х²= ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х²= — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t²-2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿarcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВ_CD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВ_CD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.rumatematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 108

Источник

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
2 Виды мер точности
3 Предельные погрешности
4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
5 Погрешности арифметических операций
6 Погрешности вычисления функций
7 Числовые примеры
8 Список литературы
9 См. также

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где tilde a – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

$delta(tilde a)=frac{|tilde a-a|}{a}.$

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

$Delta(tilde a)<0,5cdot10^{m-n+1} ,$

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере $Delta(tilde a)le0,5cdot10^{3-2+1}le0,5cdot10^2=50$ .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

$delta(tilde a)lefrac{Delta(tilde a)}{alpha_m}10^mlefrac{10^{m-n+1}}{alpha_m10^m}lefrac{1}{alpha_m10^{n-1}},$

где alpha_m — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем $delta(tilde a)le2^{-n}$ .

Тот факт, что число tilde a является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа tilde a и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или $a=2,347pm2cdot10^{-3}$ .

Запись вида

означает, что число tilde a является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

AX=F

характеризуется невязкой

где tilde X — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

$D(a^*) = suplimits_{(t_1, ldots ,t_n) in Omega } left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| ,$

Предельной относительной погрешностью называется величина .

Пусть $left|{t_j - t_j^*}right| le Delta (t_j^* ), qquad j = 1 div n$ — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

$a(t_1, ldots ,t_n) - a^* = sumlimits_{j = 1}^n gamma_j (alpha )(t_j - t_j^*),$

где $gamma_j (alpha ) = a^{prime}_{t_j}(t_1^* + alpha (t_1 - t_1^*), ldots ,t_n^* + alpha (t_n - t_n^*)), qquad 0 le alpha le 1$ .

Отсюда

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_1 (a^*) = sumlimits_{j = 1}^n b_j Delta (t_j^*),$

где $b_j = suplimits_Omega left|{a^{prime}_{t_j}(t_1, ldots ,t_n)}right|$ .

Можно показать, что при малых $rho = sqrt{{(Delta (t_1^* ))}^2 + ldots + {(Delta (t_n^* ))}^2 }$ эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_2 (a^*),$

где $D_2 (a^*) = sumlimits_{j = 1} left|{gamma_j (0)}right| Delta (t^*)$ .

Несложно показать, что:

— предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
$delta (t_1^* cdots t_m^* cdot d_1^{* - 1} cdots d_m^{* - 1} ) = delta (t_1^* ) + ldots + delta (t_m^*) + delta (d_1^*) + ldots + delta (d_n^*)$ — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом tilde a , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

$a=underbrace{pm2^p}_{order}underbrace{left(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}+frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+dotsright)}_{mantissa},$

где $a_j={0\1$ , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

$tilde a=pm2^pleft(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}right).$

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

$a-tilde a=pm2^pleft(frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+frac{a_{t+2}}{2^{t+2}}+dotsright).$

Наибольшая погрешность будет в случае $a_{t+1}=1, qquad a_{t+2}=1,$ , тогда

$|a-tilde a|lepm2^pfrac{1}{2^{t+1}}underbrace{left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+dotsright)}_{=2}=2^{p-t}.$

Т.к. , где — мантисса числа , то всегда a_1=1 . Тогда $|a|ge2^pcdot2^{-1}=2^{p-1}$ и относительная погрешность равна $frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t+1}$ . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

$frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t},$

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где $|epsilon|le2^{-t}$ – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через fl(x) (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где box — любая из арифметических операций, $|epsilon|le2^{-t}$ .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если сумма точных чисел равна

сумма приближенных чисел равна

где — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

$delta(S)=frac{Delta(S)}{S}=frac{a_1}{S}left(frac{Delta(a_1)}{a_1}right)+frac{a_2}{S}left(frac{Delta(a_2)}{a_2}right)+dots=frac{a_1delta(a_1)+a_2delta(a_2)+dots}{S},$

где — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

tilde S=(tilde S_1+x_3)(1+delta_2)=(x_1+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_3(1+delta_2).

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

tilde S=(x_3+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_1(1+delta_2).

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

tilde S=a_1cdot a_2(1+delta(a_1))(1+delta(a_2))

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно delta .

Тогда .

Если $S=frac{a_1}{a_2}$ , то $Delta(S)=frac{a_1(1+delta_1)}{a_2(1+delta_2)}-frac{a_1}{a_2}=frac{a_1(delta_1-delta_2)}{a_2(1+delta_2)}approx frac{a_1}{a_2}(delta_1-delta_2), qquad delta(S)$ ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

$delta_Sigma approx delta_{fl} quad sqrt{n},$

где – суммарная погрешность, $|delta_{fl}|leepsilon$ – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, epsilon – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции y=f(x) , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .

Если f(x)>0 , то $delta(y)=frac{|f'(x)|}{f(x)}Delta(x)=left|(ln(f(x)))'right|cdotDelta(x)$ .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:

$Delta(y)=sumlimits_{i=1}^nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|Delta(x_i)$

Если , то $delta(y)=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{f}cdotleft|frac{partial f}{partial x_i}right|cdotDelta(x_i)=sumlimits_{i=1}^{n}left|frac{partial l_n(f)}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной y=f(x) , если f(x) дифференцируема и :

$Delta(x)=frac{1}{|f'(x)|}Delta(y)$ .

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{left|frac{partial f}{partial x_i}right|}qquad$

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|},qquad i=overline{1,n}.$

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

$x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 15.underbrace{99999999}_8 = {(x - 2)}^4 - 10^{- 8} = 0.$

Точное решение задачи легко найти:

$(x - 2)^2 = pm 10^{- 4},$

$x_1= 2,01; x_2= 1,99; x_{3,4}= 2 pm 0,01i.$

Если компьютер работает при $delta _M > 10^{ - 8}$ , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до 16,0 и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. $x_{1,2,3,4} = 2$ , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена $approx10^{-8}$ привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении $approx10^{-2}$ .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

u''(t) = u(t), qquad u(0) = 1, qquad u'(0) = - 1.

Общее решение имеет вид:

$u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e^t + 0,5[u(0) - u'(0)]e^{- t}.$

При заданных начальных данных точное решение задачи: $u(x) = e^{-t}$ , однако малая погрешность delta в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

$stackrel{cdot}{u} = 10u,qquad u = u(t),\ u(t_0) = u_0,qquad t in [0,1].$

Его решение: $u(t) = u_0e^{10(t - t_0 )}$ , однако значение u(t_0) известно лишь приближенно: , и на самом деле $u^*(t) = u_0^*e^{10(t - t_0)}$ .

Соответственно, разность u* - u будет:

$u^* - u = (u_0^* - u_0)e^{10(t - t_0)}.$

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:

$|{u^*(t) - u(t)}| le varepsilon.$

Очевидно, что:

$maxlimits_{t in [0,1]} |{u^*(t) - u(t)}| = |{u*(1) - u(1)}| = |{u_0^* - u_0}|e^{10(1 - t_0)}.$

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных $delta: qquad|u_0^* - u_0| < delta, qquad delta le varepsilon e^{ - 10}$ при t_0= 0 .

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в $e^{10}$ раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на 0,01 , получим возмущенную систему:

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11.01, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

u_M = u(1 + delta_M^u), quad v_M = v(1 + delta_M^v)

, причем

Тогда:

u_M - u approx udelta_M^u, quad v_M - v approx vdelta_M^v.

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

$delta = frac{(u_M - v_M) - (u - v)}{(u - v)} = frac{(u_M - u) - (v_M - v)}{(u - v)} = frac{delta_M^u - delta_M^v}{(u - v)}.$

Очевидно, что $delta = left|{frac{delta_M^u - delta_M^v}{Delta }} right| le frac{2delta_M}{0,001} approx 2000delta_M = 1$ , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение $u_{i+1} = qu_i, quad i ge 0, quad u_0 = a,quad q > 0, quad u_i > 0.$

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо $u_{i+1}$ получим $u_{i + 1}^M = q(u_i + delta_i) = u_{i + 1} + qdelta_i$ , т.е. $delta_{i + 1} = qdelta_i,quad i = 0,1,ldots$ .

Следовательно, если |q| > 1 , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Источник

Howlers[edit]

Division by zero[edit]

Analysis[edit]

Multivalued functions[edit]

Positive and negative roots[edit]

Square roots of negative numbers[edit]

Complex exponents[edit]

Geometry[edit]

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

Proof by induction[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

Предельные погрешности

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Погрешности арифметических операций

Погрешности вычисления функций

Числовые примеры

Список литературы

См. также

Не пропустите эти материалы по теме: