Асимптотическая стандартная ошибка

Глава 2. Взаимосвязь переменных

Что такое «первый прогноз» при модальном прогнозе? Это мо­ дальное значение предсказываемой переменной, обозначим его как Л, а процент, который соответствует значению А, — как Рг А. При таком обозначении ошибка при первом прогнозе будет Pt = 1 -РгА.

При втором прогнозе мы анализируем по очереди каждую строку таблицы и выбираем в каждой строке модальную частоту. Пусть модаль­ ное значение в каждой строке будет А., а соответствующий процент — Рг А .. Соответственно ошибка при предсказании значения в г’-й строке составит Р = 1 — Рг А.. Таким образом, ошибка при втором прогнозе будет средней ошибкой предсказания по каждой из строк таблицы:

(2.5)

Формула коэффициента, фиксирующего улучшение прогноза теременной, значение которой располагаются по столбцам таблицы, выглядит следующим образом:

(2.6)

У обсуждаемого коэффициента есть одна особенность, отличаю­ щая его от коэффициента %2. В вычислении Хь строки и столбцы уча­ ствуют не симметрично. Разумеется, таблицу можно повернуть на 90% и с точки зрения содержащейся в таблице информации от этой операции ничего не изменится. При таком повороте не изменятся значения коэффициентов %2 и коэффициентов, основанных на %2. Однако значение коэффициента Хь изменится. Это связано с тем, что в модели коэффициента Хь мы предсказываем значение одной пере­ менной на основании значений другой и переменные включены в модель не симметрично. Фактически одна переменная рассматрива­ ется как причина, а другая как следствие.

В этой связи наряду с переменной Хь, которая фиксирует пред­ сказание переменной, расположенной по колонкам таблицы, суще­ ствует и переменная Ха, которая отражает улучшение предсказания

2.3. Коэффициенты связи для номинальных переменных

переменной, расположенной по строкам на основании переменной, расположенной по столбцам. Наконец, когда мы не можем четко ска­ зать, какая из переменных может рассматриваться как причина, а ка­ кая как следствие, существует так называемая Xs , т.е. «лямбда сим­ метричная», представляющая полусумму Хаи Ху

Поскольку коэффициенты X, так же как и %2 — статистические меры, то в их отношении встает задача оценки уровня значимости. Действительно, если для некоторой таблицы был получен коэффици­ ент, скажем, Хь = 0,1, можем ли мы утверждать, что некоторая связь между переменными действительно есть, и это значение не есть про­ сто статистическая случайность. Другими словами, требуется прове­ рить статистическую гипотезу Хь = 0 на основании полученного вы­ борочного значения Хь = 0,1.

Логика проверки данной статистической гипотезы совершенно аналогична логике проверки гипотезы о равенстве нулю коэффици­ ента X2. Нам требуется знание теоретического распределения коэф­ фициента X, которое покажет нам, насколько вероятно то или иное значение коэффициента X. При вычислении коэффициентов А, в па­ кете SPSS в команде Crosstabs одновременно проводится вычисление уровней значимости а этих коэффициентов. Если коэффициент X ра­ вен, скажем, значению Х0, уровень значимости этого значения опре­ деляется так: а = Р (X > Х0) при условии, что в генеральной совокуп­ ности X = 0.

Достоинством коэффициентов X является то, что в отличие от коэффициента %2 либо производных от него само значение Ха и Хь имеет непосредственный смысл — это улучшение вероятности пра­ вильного предсказания. Иначе говоря, если для некоторой таблицы *j ~ 0,2, это означает, что мы можем предсказывать модальное значе­ ние переменной, располагающейся по колонкам, зная совместное рас­ пределение двух переменных на 20% точнее по сравнению с ситуаци- еи, когда мы не знаем этого распределения.

Однако это значение весьма условно. Действительно, коэффи­ циенты X являются статистическими мерами и потому точное полу­ ченное значение коэффициента бессмысленно. Ведь мы можем повто-

Глава 2. Взаимосвязь переменных

равенство нулю всегда говорит о независимости. Этим качеством об­ ладают коэффициенты, также основанные на прогнозе, но в которых прогнозируется не модальная частота, а весь спектр частот. Это коэф­ фициенты т (тау) Гудмена — Краскэла.

Общая идея оценки качества прогноза для коэффициентов т записывается выражением (2.4), так же как и для коэффициентов X, однако сам прогноз строится иначе. Рассмотрим это подробнее.

Из табл. 2.2 следует, что переменная ql2 «Как бы вы оценили в целом политическую обстановку в России?» имеет следующее одно­ мерное распределение (табл. 2.7). Случайным образом отберем 2407 респондентов и, базируясь на приведенном одномерном распределе­ нии, попытаемся угадать ответы каждого на вопрос ql2. Возьмем 43 респондента и скажем, что они отметили в этом вопросе града­ цию «1». Поскольку вероятность выбора первой градации составляет 1,8%, количество людей, у которых мы правильно угадаем первый вариант ответа, составляет 43 х 0,018 = 0,774. Аналогичным образом поступим со всеми 2407 респондентами (последняя колонка табл. 2.6).

Таблица 2.7 показывает, что из 2407 отобранных респондентов, используя предлагаемую модель предсказания, мы сумели правильно предсказать выбор у 1072,747 респондентов. Таким образом, общее ка­ чество такого прогноза, который базируется только на знании одномер­ ного распределения переменной ql2, составляет 1072,747 / 2407 = 44,57%.

66

2.4. Коэффициенты связи для порядковых данных

Далее строим модель предсказания, базируясь уже на данных таб­ лицы двумерного распределения переменных qlO и ql2, т.е. будем использовать для предсказания значений ql2 значения перемен­ ной qlO. В табл. 2.8 приведен расчет такого предсказания для первой строки таблицы совместного распределения.

2.4

Коэффициенты связи для порядковых данных

В предыдущих рассуждениях о таблицах сопряженности и коэффици­ ентах связи не делалось никаких ограничений либо допущений в отношении уровня измерения тех переменных, которые образуют таб­ лицу. Не использовалась и информация о порядке следования града­ ций в переменных. Очевидно, что если мы поменяем местами града-

67

Глава 2. Взаимосвязь переменных

ции переменных, это никоим образом не скажется на значении коэф­ фициентов х2, Крамера, Хкх.

Это является естественным для переменных, измеренных на но­ минальном уровне. Действительно, номера, которые присваиваются градациям в таких переменных, имеют абсолютно условный смысл. Так, совершенно не имеет значения, присвоен ли в вопросе «Ваш пол» мужчинам код 1, 2 или 28. Главное, чтобы код, присвоенный мужчинам, отличался от кода, присвоенного женщинам.

По этой причине то, что коэффициенты связи никак не реагиру­ ют на наш произвол в присвоении определенным градациям тех или иных числовых кодов, является вполне правильным для случая, когда исходные данные получены по номинальным шкалам.

Однако эти рассуждения становятся неверными, когда речь захо­ дит о переменных, измеренных на порядковом уровне. Для такого рода переменных порядок расположения градаций уже существен, посколь­ ку он фиксирует степень выраженности измеряемого свойства. Изме­ рение взаимосвязи в таблицах, построенных с использованием по­ рядковых переменных, вполне возможно и нередко делается с исполь­ зованием коэффициентов %2, Крамера, X и т. Но эти коэффициенты не используют данные о порядке следования градаций и, следова­ тельно, лишают нас возможности использовать всю содержащуюся в переменных информацию. Для того чтобы устранить этот недоста­ ток, наряду с перечисленными коэффициентами, для порядковых пе­ ременных используют и другие меры связи — коэффициенты ранго­ вой корреляции.

Для демонстрации принципов работы коэффициентов ранго­ вой корреляции рассмотрим пример (табл. 2.9). Таблица должна от­ ветить на вопрос о том, насколько взаимосвязаны оценка человеком своего материального положения и оценка удовлетворенности жиз­ нью в целом.

Коэффициенты %2 и Крамера, вычисленные для этой таблицы, показывают, что с большой вероятностью можно утверждать о нали­ чии взаимосвязи между двумя рассматриваемыми показателями, по­ скольку значимость обоих коэффициентов весьма высока (а > 0,001)-

68

2.4. Коэффициенты связи для порядковых данных

Однако эти коэффициенты не дают ответа на важный вопрос: воз­ растает или падает удовлетворенность жизнью в целом с ростом удов­ летворенности материальным положением? На интуитивном уровне представляется, что удовлетворенность жизнью должна возрастать с ростом удовлетворенности материальным положением, но коэффици­ енты не дают возможности это зафиксировать либо хотя бы проверить направление взаимосвязи.

Таблица 2.9. Таблица сопряженности с использованием порядковых переменных

В настоящее время социологи используют коэффициенты ран­ говой корреляции — р Спирмена, т Кендэла, у Гудмена — Краскэла. Рассмотрим правила вычисления коэффициента у Гудмена — Краскэ­ ла как самого простого и часто используемого при анализе социоло­ гических данных.

На первом шаге вычисления коэффициента у фиксируют коли­ чество респондентов, у которых значение первой переменной не мень- ше значений второй переменной. Например, в табл. 2.9 у пяти респон­ дентов значения обоих переменных равны 1, у 35 респондентов — Равны 2 и т.д.

69

Глава 2. Взаимосвязь переменных

Таблица 2.10. Схема определения показателя S для вычисления коэффициента у

Шаг!

2.4. Коэффициенты связи для порядковых данных

Ц1агЗ

В табл. 2.10 представлена схема вычисления показателя S— ко­ личества пар, в которых значение первой переменной не меньше зна­ чений второй переменной:

71

Глава 2. Взаимосвязь переменных

Шаг!

2.4. Коэффициенты связи для порядковых данных

ШагЗ

В табл. 2.11 представлена схема вычисления показателя D — количества пар, в которых значение первой переменной не меньше значений второй переменной.

73

Глава 2. Взаимосвязь переменных

D = 3 х (3 + 1 + 1 + 35 + 31 + 3 + 1 + 284 + 649 + 200 + 49 + 15 + + 201 +340+ 185)+ 15 х (1 + 1 + 31+3 + 1+649 + 200 + 49) + + 649 х (1 + 1 + 3 + 1) + 3 х 1 = 23 916.

Имея значения SKD, МОЖНО непосредственно рассчитать коэф­ фициент у по формуле

(2.7)

Для табл. 2.9 значение у равно 0,763. О чем говорит такое значе­ ние коэффициента, и, более того, как вообще интерпретируются ран­ говые коэффициенты связи?

В целом ранговые коэффициенты связи характеризуют ситуа­ цию, когда, сопоставляя двух случайно отобранных респондентов, у которых измеряются две порядковые переменные А и В, мы можем сказать, что если у первого респондента значение переменной А боль­ ше, чем у второго респондента, то у него будет больше и значение по переменной В. Количество пар респондентов, у которых это правило выполняется, и есть построенный показатель S. Количество пар рес­ пондентов, для которых действует обратное правило, т.е. таких пар, у которых переменная А у первого респондента имеет значение больше, чем у второго, а переменная В — меньше, фиксируется показателем D. Таким образом, коэффициент у фиксирует то, каких пар больше.

Из формулы (2.7) следует, что коэффициент у может изменяться в интервале от-1 до +1. Коэффициент равен +1 в случае, когда пока­ затель D равен нулю, т.е. в ситуации, когда для всех респондентов верно, что если переменная А = г, а переменная В =j, всегда i > j. Соответственно у равна — 1 , когда в той же ситуации переменных А и В всегда t <j.

Что означает ситуация, когда одна пара переменных, скажем, А] и А , имеет более высокое (по абсолютной величине) значение коэф­ фициента у, чем пара переменных 5, и 52? Это означает, что для пере­ менных А и А2 вероятность правильного порядка значений перемен­ ных выше, чем для переменных 5, и Вг Под правильным порядком мы понимаем порядок, при котором если А = i, а В =j, то всегда i >j,

2.4. Коэффициенты связи для порядковых данных

или i <j- Вообще, коэффициент у имеет прямую вероятностную ин­ терпретацию — это разность между вероятностями правильного и неправильного порядка для пары случайно извлеченных из выборки наблюдений4. Именно так следует понимать силу связи, которая фик­ сируется ранговыми коэффициентами корреляции.

Как на практике определить, насколько велико полученное зна­ чение коэффициента у, можно ли сказать, что если в одном исследо­ вании коэффициент у = 0,5, а в другом — у = 0,6, то во втором иссле­ довании имеет место более тесная связь между анализируемыми по­ казателями? Поскольку для коэффициента у известно теоретическое распределение, то пакет SPSS одновременно со значением коэффи­ циента вычисляет также и значение стандартной ошибки. Благодаря этому возможно построение доверительного интервала для коэффи­ циента у. В табл. 2.12 приведены результаты, которые выводит ко­ манда Crosstabs при запросе на вычисление коэффициента у для дан­ ных, приведенных в табл. 2.9.

Основываясь на данных табл. 2.12, можно сказать, что с вероят­ ностью 95% значение коэффициента у для генеральной совокупности будет находиться в интервале (0,763 ± 0,03). С помощью числа в ко­ лонке Approx. Sig. (приблизительная значимость) можно оценить спра­ ведливость гипотезы Н: «Величина коэффициента ранговой корреля­ ции у для анализируемых переменных в генеральной совокупности равна нулю». В табл. 2.12 мы получили, что Approx. Sig = 0,000. Это означает,

4 См.: Аптон Г. Анализ таблиц сопряженности. М.: Финансы и статистика, 1982.

С 37.

Глава 2. Взаимосвязь переменных

что для соответствующего уровня значимости а имеет место неравен­ ств: а < 0,001. Гипотезу Н0 следует отвергнуть, поскольку эта величи­ на намного меньше общепринятого для отвержения гипотезы уровня значимости 0,05.

Если необходимо решить задачу сравнения коэффициентов у, вы­ численных для двух разных социальных совокупностей, необходимо:

•определить доверительные интервалы для обоих коэффици­

ентов;

•посмотреть, пересекаются ли эти доверительные интервалы. Если они не пересекаются, то мы, с соответствующей доверительной вероятностью, можем утверждать, что эти коэффициенты различны.

Отличие ранговых коэффициентов корреляции от коэффициен­ тов связи, основанных на %2 либо на модели предсказания, состоит в том, что фиксируют не только наличие либо отсутствие связи, но и, в случае наличия связи, ее направление. Это, несомненно, является до­ стоинством данных коэффициентов, но в определенных случаях мо­ жет являться и их недостатком. Дело в том, что ранговые коэффици­ енты корреляции фиксируют только однонаправленность, монотон­ ность формы зависимости (см. рис. 2.6). Например, для всех изобра­ женных на рис. 2.6 зависимостей имеем значение коэффициента у, равное +1 или — 1 , несмотря на то что сами формы зависимости суще­ ственно разные.

Что произойдет, если зависимость между переменными не име­ ет однонаправленной связи, как, например, зависимости, изображен­ ные на рис. 2.7? Оказывается, что в ситуации такого рода форм зави­ симостей ранговые коэффициенты связи оказываются неэффектив­ ными. Действительно, если может оказаться, что для части рес­ пондентов, например тех, кто имеет малые значения переменной х (рис. 2.7, график 1), значение рангового коэффициента связи будет отрицательное, а для тех респондентов, которые имеют большие зна­ чения переменной х, значение рангового коэффициента будет поло­ жительное, то общее значение рангового коэффициента может ока­ заться равным нулю. И это при том, что, как показывает график, связь между переменными явно есть.

2.4. Коэффициенты связи для порядковых данных

Рис. 2.6. Примеры монотонных зависимостей между переменными

Рис. 2.7. Примеры немонотонных зависимостей между переменными

Таким образом, тот факт, что значение рангового коэффициента корреляции равно нулю, говорит не об отсутствии связи, а лишь об отсутствии монотонной связи.

Глава 2. Взаимосвязь переменных

Если при изучении взаимосвязи двух порядковых переменных мы получили нулевое значение коэффициента ранговой корреляции, встает вопрос о том, как можно проверить, с какой из ситуаций мы имеем дело: между переменными вообще нет зависимости, или нет монотонной зависимости? Ответ достаточно прост: следует посчи­ тать, скажем, коэффициент %2. Если этот коэффициент покажет на­ личие связи при нулевом значении коэффициента у, очевидно, что мы имеем дело с наличием немонотонной связи между переменными.

2.5

Коэффициент корреляции Пирсона

В том случае, когда обе анализируемые переменные измерены по мет­ рическим шкалам (интервальным либо абсолютным) появляется допол­ нительная возможность измерения степени взаимосвязи между этими переменными —- это коэффициент корреляции Пирсона. Формула для вычисления этого коэффициента корреляции достаточно проста:

(2.8)

где х и у — средние значения переменных х и у соответственно; Sx и S — стандартные отклонения переменных х и у; N — количество наблюдений.

Из формулы (2.8) следует, что коэффициент г фиксирует сте­ пень того, насколько переменные х и у одновременно отклоняются от средних значений. Таким образом, в отличие от ранговых коэффи­ циентов корреляции, которые замеряют монотонный характер связи между переменными, коэффициент корреляции Пирсона учитывает более узкий характер монотонности — линейность. Когда между пе­ ременными есть строгая линейная зависимость, значение коэффици­ ента корреляции Пирсона будет равно +1 в случае положительной

2.5. Коэффициент корреляции Пирсона

связи и -1 в случае отрицательной связи. Так, для графика 2 рис. 2.6 коэффициент корреляции равен +1, а для графика 4 1. В ситуа­ ции, когда связь не соответствует линейной, коэффициент корреля­ ции отличается от единицы даже в случае жесткой функциональной связи между переменными. Для графика 1 рис. 2.6 коэффициент

На практике, когда анализируется зависимость между социологи­ ческими переменными, мы имеем дело не с функциональными зависи­ мостями. На рис. 2.8 показана диаграмма рассеяния для реальных дан­ ных, полученных в ходе социологического изучения зависимости меж­ ду размером семьи и величиной среднедушевого дохода семьи.

Расположение точек на рис. 2.8 показывает, что едва ли суще­ ствует какая-то строгая функция, которая позволит построить кри­ вую, проходящую через все точки реальных данных.

Среднедушевой доход, тыс. руб.

20-

15 —

10-

о

Число членов семьи

Рис. 2.8. Диаграмма рассеяния для 30 респондентов по переменным «Среднедушевой доход» и «Число членов семьи»

Коэффициент корреляции Пирсона отражает определенную пря­ мую, которая в некотором смысле наилучшим образом фиксирует за-

Глава 2. Взаимосвязь переменных

висимость между двумя переменными5. Для данных, представленных на рис. 2.8, коэффициент корреляции Пирсона равен -0,11. Отрица­ тельное значение коэффициента означает, что с ростом размера семьи среднедушевой доход уменьшается. Величина коэффициента 0,11 по­ казывает степень того, насколько реальные данные близки к линей­ ной зависимости (прямой).

Когда мы рассматриваем совместное поведение двух метрических переменных, то целью социологического анализа является установле­ ние взаимосвязи, зависимости между этими переменными. При исполь­ зовании для решения этой задачи коэффициента корреляции Пирсона следует помнить, что нулевое значение этого коэффициента, строго говоря, свидетельствует только об отсутствии линейной зависимости. Это, в свою очередь, может свидетельствовать и об отсутствии вообще какой-либо зависимости, и о том, что зависимость есть, но она носит нелинейный характер. Установить с помощью данного коэффициента, с какой из этих ситуаций мы имеем дело в конкретном случае, нельзя.

После вычисления коэффициента Пирсона для данных социоло­ гического опроса, как и в случае ранговых коэффициентов корреля­ ции, возникают две взаимосвязанные статистические задачи:

•является ли полученная величина коэффициента статистичес­ ки значимой;

•каков доверительный интервал для полученного значения. Команда Crosstabs, в случае запроса на вычисление коэффици­

ента корреляции Пирсона, выводит таблицу, которая позволяет ре­ шить обе задачи (табл. 2.13).

Колонка Asymp. Std. Error (стандартная ошибка) позволяет по­ строить доверительный интервал для полученного значения г. Послед­ няя колонка табл. 2.13 содержит оценку значимости гипотезы #0 , ко­ торая формулируется следующим образом: «Для двух анализируемых переменных коэффициент корреляции Пирсона равен нулю». В нашем примере (табл. 2.12), если снова взять уровень значимости 5%, гипотезу следует принять.

5 Прямая в данном случае вычисляется по методу наименьших квадратов — см. главу 4 «Модели регрессионного анализа».

80

2.6. Вычисление коэффициентов связи в команде Crosstabs

Таблица 2.13. Формат выдачи результатов вычисления коэффициента корреляции Пирсона командой Crosstabs

2.6

Вычисление коэффициентов связи в команде Crosstabs

Главное меню команды Crosstabs в нижней части имеет клавишу Statistics… (см. рис. 2.2). На рис. 2.9 показано меню, которое вызыва­ ется нажатием этой клавиши.

В меню Statistics можно выбрать любое количество необходимых коэффициентов связи. Отметим, что выбор коэффициента А, приведет к вычислению всех трех коэффициентов X , Хь, и Я. , а также двух коэффициентов т. Выбор же вычисления коэффициента корреляции Пирсона приводит также и к вычислению рангового коэффициента корреляции Спирмена.

Рис. 2.9. Меню Statistics команды Crosstabs

81