Чем отличается стандартная ошибка от стандартного отклонения

Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?

Стандартное отклонение (SD), измеряет количество изменчивости или дисперсии, из отдельных значений данных, к среднему значению, в то время как стандартная ошибка среднего (SEM) мер, как далеко образец среднее (среднее) данных, вероятно, будет от истинного среднего значения населения. SEM всегда меньше SD.

SEM против SD

Стандартное отклонение и стандартная ошибка используются во всех типах статистических исследований, включая исследования в области финансов, медицины, биологии, инженерии, психологии и т. Д. В этих исследованиях стандартное отклонение (SD) и расчетная стандартная ошибка среднего (SEM) ) используются для представления характеристик данных выборки и объяснения результатов статистического анализа. Однако некоторые исследователи иногда путают SD и SEM. Таким исследователям следует помнить, что расчеты SD и SEM включают разные статистические выводы, каждый из которых имеет свое значение. SD — это разброс отдельных значений данных.

Другими словами, SD указывает, насколько точно среднее значение представляет данные выборки. Однако значение SEM включает статистический вывод, основанный на распределении выборки. SEM — это стандартное отклонение теоретического распределения выборочных средних (выборочное распределение).

Расчет стандартного отклонения

Формула SD требует нескольких шагов:

1. Во-первых, возьмите квадрат разницы между каждой точкой данных и средним значением выборки, найдя сумму этих значений.
2. Затем разделите эту сумму на размер выборки минус один, который представляет собой дисперсию.
3. Наконец, извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение.

Стандартная ошибка среднего

SEM рассчитывается путем деления стандартного отклонения на квадратный корень из размера выборки.

Стандартная ошибка дает точность выборочного среднего путем измерения изменчивости выборочного среднего от образца к образцу. SEM описывает, насколько точное среднее значение выборки является оценкой истинного среднего значения совокупности. По мере увеличения размера выборки данных SEM уменьшается по сравнению с SD; следовательно, по мере увеличения размера выборки среднее значение выборки оценивает истинное среднее значение генеральной совокупности с большей точностью. Напротив, увеличение размера выборки не обязательно делает SD больше или меньше, это просто становится более точной оценкой SD населения.

Стандартная ошибка и стандартное отклонение в финансах

В финансах стандартная ошибка средней дневной доходности актива измеряет точность выборочного среднего как оценки долгосрочной (постоянной) средней дневной доходности актива.

С другой стороны, стандартное отклонение доходности измеряет отклонения индивидуальных доходов от среднего значения. Таким образом, SD является мерой волатильности и может использоваться в качестве меры риска для инвестиций. Активы с более высокими ежедневными движениями цен имеют более высокое SD, чем активы с меньшими ежедневными движениями. Предполагая нормальное распределение, около 68% дневных изменений цен находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, при этом около 95% дневных изменений цен находятся в пределах двух стандартных значений среднего.

---

В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .

Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.

Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.

Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.

Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки

Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.

Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:

Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.

Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:

Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:

Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:

Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.

Формула для фактического расчета стандартной ошибки:

Стандартная ошибка = s/ √n

куда:

• s: стандартное отклонение выборки
• n: размер выборки

Какой смысл использовать стандартную ошибку?

Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.

Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.

Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:

Стандартная ошибка = s/ √n

Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.

Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки

Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .

Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .

В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.

Стандартное отклонение (SD), измеряет количество изменчивости или дисперсии, из отдельных значений данных, к среднему значению, в то время как стандартная ошибка среднего (SEM) мер, как далеко образец среднее (среднее) данных, вероятно, будет от истинного среднего значения населения. SEM всегда меньше SD.

SEM против SD

Стандартное отклонение и стандартная ошибка используются во всех типах статистических исследований, включая исследования в области финансов, медицины, биологии, инженерии, психологии и т. Д. В этих исследованиях стандартное отклонение (SD) и расчетная стандартная ошибка среднего (SEM) ) используются для представления характеристик данных выборки и объяснения результатов статистического анализа. Однако некоторые исследователи иногда путают SD и SEM. Таким исследователям следует помнить, что расчеты SD и SEM включают разные статистические выводы, каждый из которых имеет свое значение. SD – это разброс отдельных значений данных.

Другими словами, SD указывает, насколько точно среднее значение представляет данные выборки. Однако значение SEM включает статистический вывод, основанный на распределении выборки. SEM – это стандартное отклонение теоретического распределения выборочных средних (выборочное распределение).

Расчет стандартного отклонения

Формула SD требует нескольких шагов:

1. Во-первых, возьмите квадрат разницы между каждой точкой данных и средним значением выборки, найдя сумму этих значений.
2. Затем разделите эту сумму на размер выборки минус один, который представляет собой дисперсию.
3. Наконец, извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение.

Стандартная ошибка среднего

SEM рассчитывается путем деления стандартного отклонения на квадратный корень из размера выборки.

Стандартная ошибка дает точность выборочного среднего путем измерения изменчивости выборочного среднего от образца к образцу. SEM описывает, насколько точное среднее значение выборки является оценкой истинного среднего значения совокупности. По мере увеличения размера выборки данных SEM уменьшается по сравнению с SD; следовательно, по мере увеличения размера выборки среднее значение выборки оценивает истинное среднее значение генеральной совокупности с большей точностью. Напротив, увеличение размера выборки не обязательно делает SD больше или меньше, это просто становится более точной оценкой SD населения.

Стандартная ошибка и стандартное отклонение в финансах

В финансах стандартная ошибка средней дневной доходности актива измеряет точность выборочного среднего как оценки долгосрочной (постоянной) средней дневной доходности актива.

С другой стороны, стандартное отклонение доходности измеряет отклонения индивидуальных доходов от среднего значения. Таким образом, SD является мерой волатильности и может использоваться в качестве меры риска для инвестиций. Активы с более высокими ежедневными движениями цен имеют более высокое SD, чем активы с меньшими ежедневными движениями. Предполагая нормальное распределение, около 68% дневных изменений цен находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, при этом около 95% дневных изменений цен находятся в пределах двух стандартных значений среднего.

Вступление

стандарт D (SD) а также S tandard Е rror (SE) по-видимому, аналогичные терминологии; однако они концептуально настолько разнообразны, что они используются почти взаимозаменяемо в статистической литературе. Каждому термину обычно предшествует символ плюс-минус (+/-), который указывает на то, что они определяют симметричное значение или представляют диапазон значений. Неизменно оба выражения появляются со средним (средним) набором измеренных значений.

Интересно, что SE не имеет ничего общего со стандартами, с ошибками или с сообщением научных данных.

Подробный взгляд на происхождение и объяснение SD и SE покажет, почему профессиональные статистики и те, кто использует это сдержанно, оба склонны ошибаться.

Стандартное отклонение (SD)

SD является описательный статистика, описывающая распространение распределения. Как метрика, это полезно, когда данные обычно распределяются. Однако это менее полезно, когда данные сильно искажены или бимодальны, потому что они не очень хорошо описывают форму распределения. Как правило, мы используем SD при представлении характеристик образца, поскольку мы намерены описывать насколько данные изменяются по среднему значению. Другая полезная статистика для описания распространения данных — это межквартильный диапазон, 25-й и 75-й процентили и диапазон данных.

Рисунок 1. SD является мерой распространения данных. Когда данные являются образцом из нормально распределенного распределения, тогда ожидается, что две трети данных будут находиться в пределах 1 стандартного отклонения среднего значения.

Разница заключается в описательный статистика также, и она определяется как квадрат стандартного отклонения. Обычно это не сообщается при описании результатов, но это более математически приемлемая формула (a.k.a. сумма квадратов отклонений) и играет роль в вычислении статистики.

Например, если у нас есть две статистики п & Q с известными отклонениями вар (П) & вар (Q) , то дисперсия суммы Р + Q равна сумме дисперсий: вар (P) + вар (Q) , Теперь очевидно, почему статистикам нравится говорить об отклонениях.

Но стандартные отклонения имеют важное значение для распространения, особенно когда данные обычно распределяются: среднее значение интервала +/- 1 SD можно ожидать захвата 2/3 образца, а среднее значение интервала + — 2 SD можно ожидать захвата 95% образца.

SD дает представление о том, насколько индивидуальные ответы на вопрос меняются или «отклоняются» от среднего. SD рассказывает исследователю, насколько распространены ответы: сосредоточены ли они вокруг среднего или разбросаны по всему миру? Все ваши респонденты оценили ваш продукт в середине шкалы, или кто-то одобрил его, а некоторые отклонили его?

Рассмотрим эксперимент, в котором респондентам предлагается оценивать продукт по ряду атрибутов по 5-балльной шкале. Среднее значение для группы из десяти респондентов (обозначаемое «A» через «J» ниже) для «хорошей стоимости за деньги» составляло 3,2 с SD 0,4, а среднее значение для «надежности продукта» составляло 3,4 с SD 2,1.

На первый взгляд (смотря только на средства), казалось бы, надежность была оценена выше стоимости. Но более высокий SD для надежности может указывать (как показано ниже в распределении), что ответы были очень поляризованы, где большинство респондентов не имели проблем с надежностью (с оценкой атрибута «5»), но меньший, но важный сегмент респондентов, проблема надежности и оценили атрибут «1». Однако, глядя на среднее значение, он говорит только часть истории, однако чаще всего это то, на что ориентируются исследователи. Распределение ответов важно учитывать, и SD обеспечивает ценную описательную меру этого.

ответчик	Хорошая ценность для денег	Надежность продукта
	3	1
В	3	1
С	3	1
D	3	1
Е	4	5
F	4	5
г	3	5
ЧАС	3	5
я	3	5
J	3	5
Имею в виду	3.2	3.4
Std. Девиация	0.4	2.1

Первый опрос: респонденты оценивают продукт по пятибалльной шкале

Два очень разных распределения ответов на 5-балльную рейтинговую шкалу могут дать одно и то же значение. Рассмотрим следующий пример, показывающий значения ответа для двух разных оценок.

В первом примере (Рейтинг «A») SD равен нулю, потому что ВСЕ ответы были точно средним значением. Индивидуальные ответы не отклонялись от среднего.

В рейтинге «B», хотя среднее значение группы одинаково (3.0) в качестве первого распределения, стандартное отклонение выше. Стандартное отклонение 1.15 показывает, что индивидуальные ответы в среднем * были чуть более 1 балла от среднего.

ответчик	Рейтинг «A»	Рейтинг «B»
	3	1
В	3	2
С	3	2
D	3	3
Е	3	3
F	3	3
г	3	3
ЧАС	3	4
я	3	4
J	3	5
Имею в виду	3.0	3.0
Std. Девиация	0.00	1.15

Второй опрос: респонденты оценивают продукт по пятибалльной шкале

Другой способ взглянуть на SD — это построить распределение как гистограмму ответов. Распределение с низким SD будет отображаться как высокая узкая форма, в то время как большая SD будет обозначаться более широкой формой.

SD обычно не указывает «правильно или неправильно» или «лучше или хуже» — более низкая SD не обязательно более желательна. Он используется исключительно как описательная статистика. Он описывает распределение по отношению к среднему.

T echnical disclaimer, относящийся к SD

Думая о том, что SD как «отклонение» — это отличный способ концептуально понять его смысл. Тем не менее, он фактически не рассчитывается как среднее (если бы это было так, мы бы назвали это «отклонениями»). Вместо этого он «стандартизирован» — несколько сложный метод вычисления значения с использованием суммы квадратов.

Для практических целей вычисление не имеет значения. Большинство программ табуляции, электронных таблиц или других инструментов управления данными будут вычислять SD для вас. Более важно понять, что передает статистика.

Стандартная ошибка

Стандартная ошибка — это выведенный статистика, которая используется при сравнении выборочных средств (средних) по группам населения. Это мера точность от среднего значения выборки. Среднее значение выборки — это статистическая информация, полученная из данных, имеющих базовое распределение. Мы не можем визуализировать его так же, как и данные, поскольку мы выполнили один эксперимент и имеем только одно значение. Статистическая теория говорит нам о том, что среднее значение выборки (для большого, более выбранного образца и в нескольких условиях регулярности) приблизительно нормально распределено. Стандартное отклонение этого нормального распределения — это то, что мы называем стандартной ошибкой.

Фигура 2. Распределение в нижней части распределяет данные, тогда как распределение сверху — это теоретическое распределение среднего значения выборки. SD 20 является мерой распространения данных, тогда как SE of 5 является мерой неопределенности вокруг среднего значения выборки.

Когда мы хотим сравнить средства исходов от эксперимента с двумя образцами Лечения A против лечения B, нам нужно оценить, насколько точно мы измерили средства.

На самом деле нас интересует, насколько точно мы измерили разницу между этими двумя средствами. Мы называем эту меру стандартной ошибкой разности. Вы не можете быть удивлены, узнав, что стандартная ошибка разницы в средствах выборки является функцией стандартных ошибок средств:

Теперь, когда вы поняли, что стандартная ошибка среднего (SE) и стандартное отклонение распределения (SD) — это два разных зверя, вам может быть интересно, как они запутались в первую очередь. Хотя они принципиально отличаются друг от друга, они имеют математическую форму:

, где n — количество точек данных.

Обратите внимание, что стандартная ошибка зависит от двух компонентов: стандартного отклонения выборки и размера выборки N , Это делает интуитивный смысл: чем больше стандартное отклонение выборки, тем менее точным может быть наша оценка истинного среднего.

Кроме того, большой размер выборки, чем больше информации мы имеем о населении, тем точнее мы можем оценить истинное значение.

SE является показателем надежности среднего значения. Небольшой SE является показателем того, что среднее значение выборки является более точным отражением фактического значения популяции. Более большой размер выборки обычно приводит к меньшему SE (тогда как SD не зависит напрямую от размера выборки).

Большинство исследовательских исследований включает в себя выборку из населения. Затем мы делаем выводы о популяции из результатов, полученных из этого образца. Если был сделан второй образец, результаты, вероятно, были бы точно совпадают с первым образцом. Если среднее значение для атрибута рейтинга составляло 3,2 для одного образца, это может быть 3,4 для второго образца того же размера. Если бы мы собирали бесконечное количество выборок (равного размера) из нашей популяции, мы могли бы отображать наблюдаемые средства как распределение. Затем мы могли бы вычислить среднее значение всех наших образцов. Это означало бы равное истинное значение популяции. Мы также можем рассчитать SD распределения средств выборки. SD этого распределения средств выборки является SE каждого отдельного образца.

Таким образом, мы имеем самое значительное наблюдение: SE является SD среднего значения.

Образец	Имею в виду
первый	3.2
второй	3.4
третий	3.3
четвёртая	3.2
пятые	3.1
….	….
….	….
….	….
….	….
….	….
Имею в виду	3.3
Std. Девиация	0.13

Таблица, иллюстрирующая взаимосвязь между SD и SE

Теперь ясно, что если SD этого распределения помогает нам понять, насколько далека среднее значение выборки от истинной совокупности, то мы можем использовать это, чтобы понять, насколько точна какая-либо индивидуальная выборка по отношению к истинному среднему значению. В этом суть SE.

На самом деле, мы набрали только один образец из нашего населения, но мы можем использовать этот результат для оценки надежности нашего наблюдаемого образца.

На самом деле, SE говорит нам, что мы можем быть на 95% уверены, что наше наблюдаемое среднее значение выборки плюс или минус примерно 2 (на самом деле 1,96). Стандартные ошибки от населения.

В приведенной ниже таблице показано распределение ответов от нашей первой (и единственной) выборки, используемой для наших исследований. SE 0,13, будучи относительно небольшим, дает нам указание на то, что наше среднее значение относительно близко к истинному среднему для нашей общей популяции. Предел погрешности (с доверием 95%) для нашего среднего значения (примерно) в два раза превышает это значение (+/- 0,26), сообщая нам, что истинное среднее значение, скорее всего, составляет от 2,94 до 3,46.

ответчик	Рейтинг
	3
В	3
С	3
D	3
Е	4
F	4
г	3
ЧАС	3
я	3
J	3
Имею в виду	3.2
Std. заблуждаться	0.13

Резюме

Многие исследователи не понимают различия между стандартным отклонением и стандартной ошибкой, хотя они обычно включаются в анализ данных. Хотя фактические расчеты для стандартного отклонения и стандартной ошибки выглядят очень схожими, они представляют собой две очень разные, но взаимодополняющие меры. SD рассказывает нам о форме нашего распределения, насколько близки значения отдельных данных от среднего значения. SE рассказывает нам, насколько близка наша выборка к истинному средству общей популяции.Вместе они помогают обеспечить более полную картину, чем может сказать нам только одно значащее.

Содержание

• Сравнительная таблица
• Определение стандартного отклонения
• Определение стандартной ошибки
• Ключевые различия между стандартным отклонением и стандартной ошибкой
• Вывод

Стандартное отклонение определяется как абсолютная мера дисперсии ряда. Он уточняет стандартную величину отклонения по обе стороны от среднего. Его часто неправильно истолковывают со стандартной ошибкой, поскольку он основан на стандартном отклонении и размере выборки.

Стандартная ошибка используется для измерения статистической точности оценки. Он в основном используется в процессе проверки гипотез и оценки интервала.

Это две важные концепции статистики, которые широко используются в области исследований. Разница между стандартным отклонением и стандартной ошибкой основана на различии между описанием данных и их выводом.

Сравнительная таблица

Основа для сравнения	Стандартное отклонение	Стандартная ошибка
Имея в виду	Стандартное отклонение подразумевает меру отклонения набора значений от их среднего.	Стандартная ошибка означает меру статистической точности оценки.
Статистика	Описательный	Логический
Меры	Насколько наблюдения отличаются друг от друга.	Насколько точно среднее значение выборки соответствует истинному среднему значению генеральной совокупности.
Распределение	Распределение наблюдения относительно нормальной кривой.	Распределение оценки относительно нормальной кривой.
Формула	Корень квадратный из дисперсии	Стандартное отклонение, деленное на квадратный корень из размера выборки.
Увеличение размера выборки	Дает более конкретную меру стандартного отклонения.	Уменьшает стандартную ошибку.

Определение стандартного отклонения

Стандартное отклонение — это мера разброса ряда или расстояния от стандарта. В 1893 году Карл Пирсон ввел понятие стандартного отклонения, которое, несомненно, является наиболее часто используемой мерой в научных исследованиях.

Это квадратный корень из среднего квадрата отклонений от их среднего значения. Другими словами, для данного набора данных стандартное отклонение — это среднеквадратичное отклонение от среднего арифметического. Для всего населения он обозначается греческой буквой «сигма (σ)», а для выборки — латинской буквой «s».

Стандартное отклонение — это мера, которая количественно определяет степень дисперсии набора наблюдений. Чем дальше точки данных от среднего значения, тем больше отклонение в наборе данных, что означает, что точки данных разбросаны по более широкому диапазону значений и наоборот.

Определение стандартной ошибки

Вы могли заметить, что разные выборки одинакового размера, взятые из одной и той же совокупности, дадут разные значения рассматриваемой статистики, т.е. выборочное среднее. Стандартная ошибка (SE) представляет собой стандартное отклонение различных значений выборочного среднего. Он используется для сравнения выборочных средних по совокупности.

Короче говоря, стандартная ошибка статистики — это не что иное, как стандартное отклонение ее выборочного распределения. Он играет большую роль в проверке статистических гипотез и интервальной оценке. Это дает представление о точности и достоверности сметы. Чем меньше стандартная ошибка, тем больше однородность теоретического распределения и наоборот.

• Формула: Стандартная ошибка для выборочного среднего = σ / √n
  Где, σ — стандартное отклонение совокупности

Ключевые различия между стандартным отклонением и стандартной ошибкой

Приведенные ниже моменты существенны с точки зрения разницы между стандартным отклонением:

1. Стандартное отклонение — это мера, которая оценивает степень вариации набора наблюдений. Стандартная ошибка измеряет точность оценки, т. Е. Является мерой изменчивости теоретического распределения статистики.
2. Стандартное отклонение — это описательная статистика, тогда как стандартная ошибка — это выводимая статистика.
3. Стандартное отклонение измеряет, насколько отдельные значения отличаются от среднего значения. Напротив, насколько близко среднее значение выборки к среднему значению генеральной совокупности.
4. Стандартное отклонение — это распределение наблюдений относительно нормальной кривой. В отличие от этого, стандартная ошибка — это распределение оценки относительно нормальной кривой.
5. Стандартное отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии. И наоборот, стандартная ошибка описывается как стандартное отклонение, деленное на квадратный корень из размера выборки.
6. Когда размер выборки увеличивается, это дает более конкретную меру стандартного отклонения. В отличие от стандартной ошибки, когда размер выборки увеличивается, стандартная ошибка имеет тенденцию к уменьшению.

Вывод

В целом стандартное отклонение считается одним из лучших показателей дисперсии, который измеряет отклонение значений от центрального значения. С другой стороны, стандартная ошибка в основном используется для проверки надежности и точности оценки, поэтому чем меньше ошибка, тем выше ее надежность и точность.

Standard Error of the Mean vs. Standard Deviation: An Overview

Standard deviation (SD) measures the amount of variability, or dispersion, from the individual data values to the mean. SD is a frequently-cited statistic in many applications from math and statistics to finance and investing.

Standard error of the mean (SEM) measures how far the sample mean (average) of the data is likely to be from the true population mean. The SEM is always smaller than the SD.

Standard deviation and standard error are both used in statistical studies, including those in finance, medicine, biology, engineering, and psychology. In these studies, the SD and the estimated SEM are used to present the characteristics of sample data and explain statistical analysis results.

However, even some researchers occasionally confuse the SD and the SEM. Such researchers should remember that the calculations for SD and SEM include different statistical inferences, each of them with its own meaning. SD is the dispersion of individual data values. In other words, SD indicates how accurately the mean represents sample data.

However, the meaning of SEM includes statistical inference based on the sampling distribution. SEM is the SD of the theoretical distribution of the sample means (the sampling distribution).

Calculating SD and SEM

standard deviation 

σ

=

∑

i

=

1

n

(

x

i

−

x

ˉ

)

2

n

−

1

variance

=

σ

2

standard error 

(

σ

x

ˉ

)

=

σ

n

where:

x

ˉ

=

the sample’s mean

n

=

the sample size

begin{aligned} &text{standard deviation } sigma = sqrt{ frac{ sum_{i=1}^n{left(x_i — bar{x}right)^2} }{n-1} } \ &text{variance} = {sigma ^2 } \ &text{standard error }left( sigma_{bar x} right) = frac{{sigma }}{sqrt{n}} \ &textbf{where:}\ &bar{x}=text{the sample’s mean}\ &n=text{the sample size}\ end{aligned}

​standard deviation σ=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​​variance=σ2standard error (σxˉ​)=n​σ​where:xˉ=the sample’s meann=the sample size​

Standard Deviation

The formula for the SD requires a few steps:

1. First, take the square of the difference between each data point and the sample mean, finding the sum of those values.
2. Next, divide that sum by the sample size minus one, which is the variance.
3. Finally, take the square root of the variance to get the SD.

Standard Error of the Mean

SEM is calculated simply by taking the standard deviation and dividing it by the square root of the sample size.

Standard error gives the accuracy of a sample mean by measuring the sample-to-sample variability of the sample means. The SEM describes how precise the mean of the sample is as an estimate of the true mean of the population.

As the size of the sample data grows larger, the SEM decreases vs. the SD. As the sample size increases, the sample mean estimates the true mean of the population with greater precision.

Increasing the sample size does not make the SD necessarily larger or smaller; it just becomes a more accurate estimate of the population SD.

Standard Error and Standard Deviation in Finance

In finance, the SEM daily return of an asset measures the accuracy of the sample mean as an estimate of the long-run (persistent) mean daily return of the asset.

On the other hand, the SD of the return measures deviations of individual returns from the mean. Thus, SD is a measure of volatility and can be used as a risk measure for an investment.

Assets with greater day-to-day price movements have a higher SD than assets with lesser day-to-day movements. Assuming a normal distribution, around 68% of daily price changes are within one SD of the mean, with around 95% of daily price changes within two SDs of the mean.

The Bottom Line

Investors and analysts measure standard deviation as a way to estimate the potential volatility of a stock or other investment. It helps determine the level of risk to the investor that is involved. When reading an analyst’s report, the level of riskiness of an investment may be labeled «standard deviation.»

Standard error of the mean is an indication of the likely accuracy of a number. The larger the sample size, the more accurate the number should be.