Чему равна максимальная ошибка квантования

1. Что такое эффект наложения частот?

Эффект
наложения – признак нарушения условий
теоремы отсчетов. Эффект состоит в том,
что при выборе недостаточно высокой
частоты дискретизации некоторые
частотные составляющие становятся
неразличимыми. Из-за эффекта наложения
спектры «маскируются». [Пример приведен
в вопросе 10]

1. Как на практике использовать теорему отсчётов в задачах цифровой обработки сигналов?

В
практических задачах цифровой обработки
сигналов использование теоремы отсчетов
можно сформулировать в виде следующих
основных рекомендаций:

—
частота дискретизации (F_s)
должна выбираться так, чтобы она превышала
верхнюю частоту информативных составляющих
сигнала (берется с запасом не менее чем
в 2 — 3 раза);

—
перед аналого-цифровым преобразованием
полоса частот исходного аналогового
сигнала должна быть ограничена с помощью
ФНЧ с F_среза

F_s/2.

—
рассмотрение частотных свойств
дискретизованного сигнала допустимо
для частот меньших F_s/2.

1. Что такое ошибка квантования и чем она вызвана?

Ошибка
квантования – накопительная ошибка
округления значений.

Ошибка
квантования вызвана низкой разрядностью
АЦП и, в следствие, маленьким числом
уровней квантования.

Пусть у нас k= 4 бит (разрядность). Следовательно, K=2k=16 (число уровней квантования), т.е. система имеет 16 различных значений, для представления уровня амплитуды аналогового сигнала. Представим, что система распознает и регистрирует только целые числа. В определенный момент времени, продиктованный частотой дискретизации, произошел замер амплитуды, составляющий 3,4. Но, т.к. система регистрирует только целые числа, значение будет округлено до 3. Данное округление вносит искажения в сигнал, так как амплитуда исходного сигнала была на 0,4 больше.

1. Чему равны
   максимальное и минимальное значения
   ошибки квантования?

Максимальная
ошибка квантования зависит от принципа
работы АЦП и равняется

для АЦП, присваивающего значение
ближайшего уровня квантования, где
α-шаг квантования. [Как в примере в
вопросе 13].

1. Что такое
   динамический диапазон АЦП?

Динамический
диапазон (А) – один из параметров АЦП,
задающий пределы измерения входного
сигнала.

Динамический
диапазон – разность между наибольшим
и наименьшим измеряемым значением
непрерывного сигнала на входе АЦП.

А
= А_max
— A_min

1. Что такое шаг
   квантования и число уровней квантования
   АЦП?

Параметры
АЦП: динамический диапазон (А) [вопрос
15];

шаг квантования;

число уровней
квантования.

Число
уровней квантования (К)

K=2^k,
где k
– разрядность АЦП

(число
двоичных разрядов выходного сигнала).

Шаг
квантования – дистанция между соседними
уровнями квантования.

1. Какая связь
   между разрядностью АЦП, динамическим
   диапазоном АЦП и ошибкой квантования?

Как уже
отмечалось, квантование – это
присваивание отсчету цифрового значения,
соответствующего некоторому фиксированному
уровню сигнала.

Точность
квантования сигнала с использованием
аналого-цифрового преобразователя
определяется двумя параметрами:

– динамическим
диапазоном, задающим пределы измерения
входного сигнала;

– разрядностью,
определяющей число двоичных разрядов
выходного кода АЦП.

Обозначим
размах динамического диапазона как A
= Amax – Amin,
где AmaxиAmin
– наименьшее и наибольшее измеряемые
значения непрерывного сигнала на входе
АЦП соответственно. Если далее обозначить
разрядность АЦП как k,
то наибольшее возможное число уровней
квантования K =
,
а величина a =
A/Kсоответствует
дистанции между соседними уровнями
квантования и называется шагом
квантования.

Шаг квантования
определяет точность представления
входного аналогового сигнала в виде
цифровых отсчетов. Максимальная ошибка
квантования зависит от принципа работы
АЦП и равняется ±a/2
для АЦП, присваивающего значение
ближайшего уровня квантования. Нетрудно
показать [2.24], что среднеквадратическая
ошибка квантования при этом будет
составлять a/≈
0.29a.

Для оптимального
выбора динамического диапазона АЦП и
его разрядности необходима информация
о диапазоне возможного изменения сигнала
на входе АЦП и о требуемой точности
представления цифрового сигнала.
Отметим, что повышение точности за счет
увеличения разрядности ограничено
точностью представления самого
аналогового сигнала (например, уровнем
собственных шумов усилителя, если на
входе АЦП измеряется напряжение или
ток).

5.1. Цифровые сигналы: дискретизация, квантование, кодирование

5.2. Цифровые иерархии

5.1. Цифровые сигналы: дискретизация, квантование, кодирование

В настоящее время во всём мире развивается цифровая форма передачи сигналов: цифровая телефония, цифровое кабельное телевидение, цифровые системы коммутации и системы передачи, цифровые сети связи. Качество цифровой связи значительно выше, чем аналоговой, так как цифровые сигналы гораздо более помехоустойчивы: нет накопления шумов, легко обрабатываются, цифровые сигналы можно «сжимать», что позволяет в одной полосе частот организовать больше каналов с высокой скоростью передачи и отличным качеством.

Цифровой сигнал – это последовательность импульсов. Общепринято импульсную последовательность представлять как чередование двух символов: 0 и 1. «Binary Digit» – «двоичная цифра». Отсюда и пошло понятие бит, то есть одна позиция в цифровом сигнале есть 1 бит; это может быть либо 0, либо 1. Восемь позиций в цифровом сигнале определяется понятием байт [1].

При передаче цифровых сигналов вводится понятие скорости передачи – это количество бит, передаваемых в единицу времени (в секунду).

Для передачи непрерывных сообщений цифровыми методами необходимо произвести преобразование этих сообщений в дискретные, которое осуществляется путём дискретизации непрерывных сигналов во времени и квантования их по уровню, и преобразования квантованных отсчётов в цифровой сигнал [6].

Дискретизация сигналов заключается в замене непрерывного сообщения u_к(t) последовательностью его отсчётов, то есть последовательностью импульсов, модулированных по амплитуде (смотри рисунок 5.1, а). Частота дискретизации F_д выбирается из условия (4.4.1). Полученный аналоговый АИМ сигнал u_АИМ(iT_д), где i = 1, 2, 3 …, приведённый на рисунке 5.1, а, затем подвергается операции квантования, которая состоит в замене отсчётов мгновенных значений сигнала u_АИМ (iT_д) дискретными значениями u₀, u₁, u₂ … u₇ разрешённых уровней u_кв (iT_д). В процессе квантования мгновенные значения АИМ сигнала уровней u_АИМ(iT_д) заменяются ближайшими разрешёнными уровнями сигнала u_кв(iT_д) (смотри рисунок 5.1, а).

Рисунок 5.1. Принцип ИКМ: а – дискретизация; б – ошибка квантования; в – цифровой сигнал с ИКМ

Такое преобразование первичных сигналов можно называть квантованной амплитудно-импульсной модуляцией (КАИМ). Особенностью такого сигнала является то, что все его уровни можно пронумеровать и тем самым свести передачу КАИМ-сигнала к передаче последовательностей номеров уровней, которые этот сигнал принимает в моменты i∙t_д.

Расстояние между ближайшими разрешёнными уровнями квантования (u₀ … u₇ на рисунке 5.1, а) ∆ называется шагом квантования. Шкала квантования называется равномерной, если все шаги квантования равны между собой ∆_j = ∆₀ [5].

Если в момент взятия i-го отсчёта мгновенное значение непрерывного сообщения u_к(t_i) удовлетворяет условию

u_j – ∆_j/2 ≤ u_АИМ(iT_д) ≤ u_j + ∆_j/2, (5.1)

то квантованному импульсу u_кв(iT_д) присваивается амплитуда разрешённого u_j уровня квантования (смотри рисунок 5.1, а). При этом возникает ошибка квантования δ_кв, представляющая разность между передаваемой квантованной величиной u_кв(iT_д) и истинным значением непрерывного сигнала в данный момент времени u_АИМ(iT_д) (смотри рисунок 5.1, б):

δ_кв(iT_д) = u_кв(iT_д) – u_АИМ(iT_д). (5.2)

Как следует из рисунков 5.1, б и (5.1), ошибка квантования лежит в пределах

–∆₀/2 ≤ δ_кв ≤ ∆₀/2. (5.3)

Амплитудная характеристика квантующего устройства при равномерной шкале квантования приведена на рисунке 5.2, а. Она имеет ступенчатую форму, и при изменении непрерывного сообщения u_к(t) и соответствующего ему АИМ сигнала u_АИМ(iT_д) в пределах одной ступени выходной сигнал остаётся постоянным, а при достижении границы этой ступени изменяется скачком на величину шага квантования. При этом ошибка квантования зависит от u_к(t) и имеет вид, изображённый на рисунке 5.2, б.

Рисунок 5.2. Амплитудная характеристика квантователя (а) и зависимость ошибки квантования от амплитуды импульсов (б)

Как следует из рисунка 5.2, б, из-за нелинейности амплитудной характеристики квантователя ошибка квантования δ_кв представляет собой функцию с большим числом резких скачков, частота следования которых существенно выше частоты исходного сообщения u_к(t), то есть при квантовании происходит расширение спектра сигнала. При этом соседние боковые полосы будут накладываться друг на друга и в полосу пропускания ФНЧ на выходе канала попадут составляющие спектра искажений от квантования, распределение которых в полосе ФНЧ считается равномерным. Поскольку практически все дискретные значения непрерывного сообщения находятся в пределах зоны квантования от –u_огр до +u_огр, то при равномерной шкале квантования ∆_j = ∆₀ и тогда:

Ркв = (1/12) ∆²₀. (5.4)

Из выражения (5.4) видно, что при равномерной шкале квантования мощность шума квантования не зависит от уровня квантуемого сигнала и определяется только шагом квантования ∆₀.

Рассмотрим теперь кодирование и декодирование сигналов. Следующий шаг в преобразовании сигнала состоит в переводе квантованного АИМ-сигнала в цифровой. Эта операция называется кодированием АИМ-сигнала. Кодом называется закон, устанавливающий соответствие между квантованной амплитудой и структурой кодовой группы [8].

Различают равномерный и неравномерный коды. Если все кодовые группы состоят из равного числа символов, то код называется равномерным. Если же кодовые группы состоят из различного числа символов, то код называется неравномерным. В системах передачи с импульсно-кодовой модуляцией, как правило, используется равномерный двоичный код.

Для определения структуры двоичной кодовой комбинации на выходе кодера в простейшем случае необходимо в двоичном коде записать амплитуду АИМ отсчётов, выраженную в шагах квантования

, (5.5)

где a_i = {0,1} – состояние соответствующего разряда комбинации; 2ⁱ – вес соответствующего разряда в шагах квантования.

Если в десятичной системе «вес» каждой позиции числа равен числу десять в некоторой степени, то в двоичной системе вместо числа десять используют число два. «Веса» первых тринадцати позиций двоичного числа имеют следующие значения:

Таблица – 5.1

212	211	210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20
4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

По принципу действия кодеры делятся на кодеры счётного типа, матричные, взвешивающего типа и другие. Наиболее часто используются кодеры взвешивающего типа, простейшим из которых является кодер поразрядного взвешивания (рисунок 5.3), реализующий функцию (5.5) с формирования натурального двоичного кода [5]. Принцип работы такого кодера заключается в уравновешивании кодируемых АИМ отсчётов суммой эталонных напряжений. Схема линейного кодера поразрядного взвешивания содержит восемь ячеек (при m = 8), обеспечивающих формирование значения коэффициента а_i соответствующего разряда (5.5). В состав каждой ячейки (за исключением последней, соответствующей младшему по весу разряду) входит схема сравнения СС и схема вычитания СВ.

Схема сравнения обеспечивает сравнение амплитуды поступающего АИМ сигнала с эталонными сигналами, амплитуды которых равны весам соответствующих разрядов

U_эт8 = 2⁷∆ = 128∆; U_эт7 = 2⁶∆ = 64∆; … U_эт1 = 2⁰∆ = 1∆.

Если на входе СС_i амплитуда поступающего АИМ сигнала равна или превышает U_этi, то на выходе схемы сравнения формируется «1», а в СВ_i из входного сигнала вычитается U_этi, после чего он поступает на вход следующей ячейки. Если же амплитуда АИМ сигнала на входе СС_i меньше U_этi, то на выходе СС_i формируется «0» и АИМ сигнал проходит через СВ_i без изменений. После окончания процесса кодирования текущего отсчёта на выходе кодера получается восьмиразрядный параллельный код, кодер устанавливается в исходное состояние и начинается кодирование следующего отсчёта.

Рисунок 5.3. Линейный кодер поразрядного действия

Если, например, на вход кодера поступил АИМ отсчёт с амплитудой U_АИМ = 185∆, то СС₈ формирует Р₈ = 1 и на вход седьмой ячейки поступил сигнал с амплитудой U_АИМ = 185∆ – 128∆ = 57∆. На выходе СС₇ сформируется Р₇ = 0 и на вход шестой ячейки кодера поступит сигнал с той же амплитудой U_АИМ = 57∆. На выходе СС₆ сформируется Р₆ = 1 и на вход следующей ячейки поступит сигнал с амплитудой U_АИМ = 57∆ – 32∆ = 25∆ и так далее. В результате будет сформирована кодовая комбинация 10111001.

В процессе декодирования сигнала m – разрядные кодовые комбинации преобразуются в АИМ отсчёты соответствующей амплитуды [4]. Сигнал на выходе декодера получается в результате суммирования эталонных сигналов U_этi тех разрядов кодовой комбинации, значения которых равно 1 (рисунок 5.4). Так, если на вход декодера поступила кодовая комбинация 10111001, то амплитуда АИМ отсчёта на его выходе будет равна U_АИМ = 128∆ + 32∆ + 16∆ + 8∆ + 1∆ = 185∆.

В линейном декодере (рисунок 5.4) под воздействием управляющих сигналов, поступающих от генераторного оборудования, в регистр сдвига записывается очередная восьмиразрядная кодовая комбинация. В момент прихода импульса считывания замыкаются только те ключи Кл₁ … Кл₈, которые соответствуют разрядам, имеющим значения «1». В результате в сумматоре объединяются соответствующие эталонные напряжения и на его выходе получается соответствующая амплитуда АИМ отсчёта.

Рисунок 5.4. Линейный декодер взвешивающего типа

Рассмотренная схема кодера (рисунок 5.3) поразрядного взвешивания содержит большое число схем сравнения, которые являются относительно сложными устройствами. На практике чаще используется кодер взвешивающего типа с одной схемой сравнения и цепью обратной связи, содержащей декодер. Как следует из выражения (5.4), мощность шума квантования при линейном кодировании будет равной при различных амплитудах квантованных сигналов. Для синусоидальных сигналов отношение сигнал/шум квантования, рассчитывается по формуле:

, (5.6)

где U_m – амплитуда квантуемого сигнала.

Из формулы видно, что для слабых входных сигналов это отношение гораздо хуже, чем для сигналов большой амплитуды. Для устранения этого недостатка было предложено использовать неравномерное квантование, то есть изменять шаг квантования пропорционально изменению амплитуды входного сигнала.

Для кодирования с неравномерной шкалой квантования могут быть использованы:

• прямое нелинейное кодирование, при котором кодер сочетает в себе функции аналого-цифрового преобразования (АЦП) и компрессора;
• аналоговое компандирование, при котором компрессирование сигнала осуществляется перед линейным кодером и экспандирование сигнала после линейного декодера;
• преобразование на основе линейного кодирования, при котором кодирование сигнала осуществляется в линейном кодере с большим числом разрядов с последующим цифровым компандированием [5].

Переменную величину шага квантования можно получить с помощью устройства с нелинейной амплитудной характеристикой (рисунок 5.5) (которая называется компрессором, поскольку сжимает динамический диапазон входного сигнала) и равномерного квантователя (смотри рисунок 5.2). На приёмной стороне осуществляется расширение динамического диапазона экспандером, имеющим характеристику, противоположную компрессору, что обеспечивает линейность системы передачи. Совокупность операций сжатия динамического диапазона компрессором и расширение его экспандером называется компадированием сигнала.

В настоящее время в системах ВРК с ИКМ применяется характеристика компадирования типа А (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5. Характеристика компрессирования типа А

На этом рисунке сегментированная характеристика компрессии типа А для положительных сигналов (для отрицательных сигналов характеристика имеет аналогичный вид). Общее число сегментов характеристики N_с = 16, однако четыре центральных сегмента (по два в положительной и отрицательной областях) имеют одинаковый шаг квантования и фактически образуют один сегмент, вследствие чего число сегментов равно N_с = 13. Поэтому такая характеристика получила название типа А = 87.16/13. В центральном сегменте (N_с =1 или 2) значение ∆₀ минимально (то есть равно ∆₀) и соответствует равномерной двенадцатиразрядной шкале (m = 12), а в каждом последующем сегменте к краям характеристики шаг квантования увеличивается вдвое.

Представление ИКМ сигнала восьмиразрядными кодовыми комбинациями использует формат «знак – абсолютное значение», где один разряд отображает полярность АИМ сигнала П, а остальные – определяют его абсолютное значение. Семь разрядов, отображающих абсолютное значение, подразделяются на определитель номера сегмента С из трёх разрядов и определитель шага квантования К из четырёх разрядов (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6. Формат восьмиразрядной ИКМ комбинации

Для реализации такого кодера необходимо задать величины эталонных напряжений для нижней границы каждого сегмента и при кодировании внутри сегмента (таблица 5.2).

Схемы и принцип действия нелинейных кодеков взвешивающего типа в основном те же, что и у линейных кодеков. Отличие заключается в последовательности включения эталонных напряжений в процессе кодирования исходного сигнала [5].

Таблица 5.2. Эталонные напряжения для нелинейного кодека

Номер сегмента Nс	Эталонное напряжение нижней границы сегмента	Эталонные напряжения при кодировании в пределах сегмента
8∆i(A)	4∆i(B)	2∆iI(С)	∆i(D)
0	0	8∆0	4∆0	2∆0	1∆0
1	16∆0	8∆0	4∆0	2∆0	1∆0
2	32∆0	16∆0	8∆0	4∆0	2∆0
3	64∆0	32∆0	16∆0	8∆0	4∆0
4	128∆0	64∆0	32∆0	16∆0	8∆0
5	256∆0	128∆0	64∆0	32∆0	16∆0
6	512∆0	256∆0	128∆0	64∆0	32∆0
7	1024∆0	512∆0	256∆0	128∆0	64∆0

Таким образом, максимальный шаг квантования (в седьмом сегменте) в 64 раза превышает минимальный шаг квантования, а отношение сигнал/шум квантования (для максимального значения синусоидального сигнала) может быть определено по выражению (5.6) и составит: для второго сегмента

Р_с – Р_{ш кв} = 7.78 + 20lg(А/∆) = 7.78 + 20 lg(32∆₀/∆₀) = 37.88 дБ;

Для седьмого сегмента

Р_с – Р_{ш кв} = 7.78 + 20 lg(2048∆₀/64∆₀) = 37.88 дБ.

Зависимость отношения сигнал/шум квантования от уровня входного сигнала при компадировании по закону А = 87.6/13 приведена на рисунке 5.7. Для сигналов в пределах нулевого и первого сегментов осуществляется равномерное квантование с шагом ∆₀, поэтому Р_с – Р_{ш кв} увеличивается с ростом р_с. При переходе ко второму сегменту шаг квантования увеличивается в два раза, вследствие чего Р_с – Р_{ш кв} резко уменьшается на 6 дБ, а затем в пределах данного сегмента возрастает с ростом р_с, поскольку внутри сегмента осуществляется равномерное квантование. После попадания сигнала в зону ограничения отношение сигнал/шум резко уменьшается за счёт перегрузки кодера.

Рисунок 5.7. Зависимость Р_с/Р_{ш кв} = f(р_с)

На рисунке 5.8 представлена упрощённая схема нелинейного кодера взвешивающего типа, реализующего прямое кодирование АИМ сигнала.

Рисунок 5.8. Нелинейный кодер взвешивающего типа

Кодирование осуществляется за восемь тактовых интервалов, в каждом из которых формируется один из символов кодовой комбинации (рисунок 5.6). В первом такте определяется знак поступившего на вход кодера отсчёта. Если отсчёт положительный, то в знаковом разряде формируется «1» и к схеме переключения и суммирования эталонов СПСЭ подключается формирователь положительных эталонных напряжений ФЭ₁, в противном случае формируется «0» и к схеме подключается ФЭ₂. Затем происходит формирование кода номера сегмента методом деления их числа пополам (рисунок 5.9).

Рисунок 5.9. Алгоритм формирования кода номера сегмента

Во втором такте управляющая логическая схема УЛС и СПСЭ обеспечивают подачу на вход схемы сравнения эталонного сигнала U_эт = 128 ∆₀, соответствующего нижней границе четвёртого (среднего) сегмента. Если амплитуда отсчёта U_АИМ ≥ U_эт = 128 ∆₀, то принимается решение, что амплитуда отсчёта попадёт в один из четырёх вышележащих сегментов и формируется очередной символ X = 1, который по цепи обратной связи поступает на вход УЛС. В противном случае принимается решение, что амплитуда отсчёта попадает в один из нижележащих сегментов и формируется X = 0.

В третьем такте в зависимости от значения предыдущего символа X уточняется номер сегмента, в который попадает амплитуда кодируемого отсчёта. Если X = 1, то УЛС и СПСЭ подают на вход СС эталонное напряжение U_эт = 512 ∆₀, соответствующего нижней границе шестого сегмента. При этом, если U_АИМ ≥ U_эт = 512 ∆₀ то принимается решение, что отсчёт попадает в один из двух вышележащих сегментов и формируется очередной символ Y = 1. В противном случае, если U_АИМ ≤ U_эт = 512 ∆₀, принимается решение, что отсчёт попадает в два нижележащих сегмента и формируется Y = 0.

Если же X = 0, то УЛС с помощью СПСЭ обеспечивает подачу на вход СС эталонного напряжения U_эт = 32 ∆₀, соответствующего нижней границе второго сегмента. Если U_АИМ ≥ U_эт = 32 ∆₀, то принимается решение, что отсчёт попадает во второй и третий сегменты и формируется Y = 1. Если U_АИМ ≤ U_эт = 32 ∆₀, то принимается решение, что отсчёт попадает в два нижележащих сегмента и формируется Y = 0.

В четвёртом такте аналогичным образом формируется символ Z и окончательно формируется код номера сегмента. В результате, после четырёх тактов кодирования, сформируется четыре символа восьмиразрядной кодовой комбинации PXYZ (рисунок 5.6) и к СС подключается одно из восьми эталонных напряжений, соответствующих нижней границе сегмента, в котором находится кодируемый отсчёт.

В оставшихся четырёх тактах последовательно формируются символы ABCD кодовой комбинации, значения которых зависят от номера шага квантования внутри сегмента, соответствующего амплитуде кодируемого отсчёта. Поскольку внутри любого сегмента осуществляется равномерное квантование, то процесс кодирования реализуется, как и в линейных кодерах взвешивающего типа, путём последовательного включения эталонных напряжений соответствующих данному сегменту (таблица 5.2).

Практикум на применение нелинейного кодера при компадировании по закону А = 87.6/13:

Например, если на вход кодера поступил положительный отсчёт с амплитудой U_АИМ = 889 ∆₀, то после первых четырёх тактов сформируются символы PXYZ = 1110 и к СС подключится эталонное напряжение U_эт = 512 ∆₀, соответствующее нижней границе шестого сегмента, поскольку кодируемый сигнал находится в этом сегменте. В пятом такте к этому эталонному сигналу добавляется максимальное эталонное напряжение U_эт = 256 ∆₀, соответствующее символу А в определителе шага квантования К (рисунок 5.6) шестого сегмента (таблица 5.2). Так как U_АИМ > U_эт = (512 +256) ∆₀, то формируется символ А = 1 и это эталонное напряжение остаётся включенным. В шестом такте подключается эталонное напряжение соответствующее символу В в определителе шага квантования U_эт = 128 ∆₀ и так как U_АИМ > U_эт = (512 +256 + 128) ∆₀, то на выходе СС формируется символ В = 1 и это эталонное напряжение остаётся включенным. В седьмом такте подключается эталонное напряжение соответствующее символу С в определителе шага квантования U_эт = 64 ∆₀ и так как U_АИМ < U_эт = (512 +256 + 128 + 64) ∆₀, то на выходе СС формируется символ С = 0. В восьмом такте вместо U_эт = 64 ∆₀ подключается эталонное напряжение соответствующее символу D в определителе шага квантования U_эт = 32 ∆₀ и так как U_АИМ < U_эт = (512 +256 + 128 + 32) ∆₀, то на выходе СС формируется символ D = 0 и это эталонное напряжение отключается и на этом процесс кодирования очередного отсчёта заканчивается. При этом на выходе кодера сформирована кодовая комбинация PXYZABCD = 11101100, соответствующая амплитуде уравновешивающего АИМ сигнала на входе СС U_АИМ = 896 ∆₀. Разница между входным и уравновешивающим АИМ сигналами на входах СС представляет ошибку квантования δ_кв = U_АИМ – U_АИМ = 7∆₀.

5.2. Цифровые иерархии

При выборе иерархии ЦСП должны учитываться следующие требования: стандартизированные скорости передачи цифровых потоков должны выбираться с учётом возможности использования цифровых и аналоговых систем передачи и электрических характеристик существующих и перспективных линий связи; обеспечение возможности как синхронного, так и асинхронного объединения, разделения и транзита цифровых потоков и сигналов в цифровой форме. Кроме того, ЦСП высшего порядка должна удовлетворять требованию независимости скорости передачи в групповом цифровом сигнале от видов передаваемой информации и способа формирования этого сигнала [21].

Указанным требованиям удовлетворяет европейская иерархия ЦСП, которая базируется на первичной ЦСП ИКМ-30 со скоростью передачи группового цифрового сигнала 2048 кбит/с (F_т = 2048 кГц) (рисунок 5.10) [1].

Рисунок 5.10. Европейская иерархия цифровых систем передачи

Относительное возрастание скорости передачи в каждой последующей ступени иерархии по отношению к предыдущей связано с необходимостью увеличения объёма служебной информации при увеличении числа каналов.

Иерархия ЦСП с ИКМ. Упрощенная структурная схема аппаратуры ВРК с ИКМ приведена на рисунке 5.11, где для простоты показано индивидуальное оборудование одного канала.

Рисунок 5.11. Упрощенная структурная схема аппаратуры объединения (АО) и разделения (АР) при ВРК с ИКМ

Телефонное сообщение u_к(t) через дифференциальную систему (ДС) фильтр нижних частот (ФНЧ), который ограничивает спектр сигнала частотой 3.4 кГц, подается на вход модулятора АИМ (М_АИМ). В модуляторе непрерывный сигнал дискретизируется, то есть превращается в последовательность модулированных по амплитуде импульсов, которые имеют частоту F_д=8 кГц.

Сигналы с АИМ всех каналов объединяются в групповой АИМ сигнал (смотри рисунок 5.1, в), который поступает на компрессор (Км). После компрессии групповой АИМ сигнал квантуется и кодируется в кодере (Кд). С выхода Кд двухуровневый цифровой сигнал подается на устройство объединения (УО), куда поступают импульсы от передатчика (П) СУВ и от передатчика циклового синхросигнала (ПЦС). Таким образом, в УО формируется групповой цифровой сигнал, структура цикла которого показана на рисунке 5.12.

Рисунок 5.12. Структура цикла группового сигнала ВРК с ИКМ

Параметры двоичного цифрового сигнала плохо согласуются с параметрами реальных линий передачи, не пропускающих низкочастотные составляющие спектра такого сигнала. Поэтому двоичный сигнал подвергается перекодированию в преобразователе кода (ПКп) в так называемый код линии, у которого низкочастотные компоненты ослаблены и характеристики вследствие этого лучше сочетаются с параметрами линии. Работа всех блоков АО синхронизируется сигналами, вырабатываемыми распределителем каналов передачи (РКп).

На приёмной стороне ИКМ сигнал подвергается обратному преобразованию в АИМ квантованный сигнал (декодированию). Для этого непрерывный поток символов должен быть разделён на кодовые группы, каждая из которых соответствует одному отсчёту квантованного сигнала. Декодированный сигнал аналогичен квантованным отсчётам исходного сигнала u_кв(iT_д) (смотри рисунок 5.1, а), которые в своём спектре имеют составляющие с частотами Ω_н … Ω_в передаваемого сообщения u_к(t). Поэтому из импульсной последовательности u*_кв(iТ_д) принятое сообщение u*_к(t) выделяется с помощью ФНЧ.

На стороне приёма сигнал по кабелю поступает на преобразователь кода приёма (ПКпр), где код линии преобразуется в двоичный и поступает в устройство разделения (УР). С выхода УР цикловой синхросигнал и СУВ поступают на свои приёмники, а кодовые группы речевых сигналов в декодере (Дк) преобразуются в групповой АИМ сигнал, который после экспандера (Эк) поступает на временные селекторы (ВС), открывающиеся поочерёдно и пропускающие импульсы АИМ, относящиеся к данному каналу. Демодуляция сигнала в канале осуществляется в ФНЧ.

Управление работой АР осуществляет распределитель каналов приёма (РКпр), синхронизация которого производится тактовой частотой, выделяемой из группового цифрового сигнала узкополосным фильтром, расположенным на выходе ПКпр, и цикловой синхронизацией.

Рассмотрим методы синхронизации. Для согласованной работы АО, АР и регенераторов необходимо обеспечить равенство скоростей обработки сигналов, правильное распределение АИМ сигналов и СУВ. Это осуществляется путём синхронизации регенераторов, генераторного оборудования АР по тактовой частоте и по циклам принимаемого цифрового сигнала [3].

При N_гр канальных интервалах и m разрядах в информационных кодовых группах тактовая частота группового цифрового сигнала

F_т = F_д ∙ m ∙ N_гр. (5.7)

Так, для системы ИКМ-30, рассчитанной на N_гр = 32 канальных интервала при восьмиразрядной кодовой группе, F_т = 8∙8∙32 = 2048 кГц. Групповой цифровой сигнал u_ИКМ(t) представляет собой случайную последовательность двоичных импульсов (рисунок 5.1, в). Эту последовательность можно представить в виде суммы периодической и случайной последовательностей. Периодическая последовательность импульсов имеет дискретный спектр и при τ_и, равной Т и Т/2, дискретные составляющие будут иметь частоты F=0; F_т и так далее (смотри рисунок 5.13, где эти составляющие отмечены точками). Случайная биполярная последовательность определяет непрерывный спектр (рисунок 5.13) исходной двоичной последовательности.

Рисунок 5.13. Энергетический спектр случайной последовательности двоичных импульсов (а, б) и сигнала с ЧПИ (в) (составляющие дискретного спектра отмечены точками)

Из рисунка 5.13 следует, что максимальную энергию тактовой частоты имеет случайная двоичная последовательность с τ_и = T/2. Колебания с тактовой частотой F_т выделяются из такой последовательности узкополосным фильтром и используются в регенераторе для синхронизации работы решающего устройства.

Система цикловой синхронизации определяет начало цикла передачи и обеспечивает согласованное с АО распределение декодированных на приемном конце отсчетных значений аналоговых сигналов по своим каналам. Неточность работы цикловой синхронизации приводит к увеличению вероятности ошибки в информационных каналах. Для увеличения помехоустойчивости в качестве циклового синхросигнала (рисунок 5.12) используется группа символов постоянной структуры с частотой следования 4 кГц, то есть ЦС передаются через цикл передачи.

Рассмотрим объединение ЦСП на базе асинхронного ввода цифровых сигналов. Необходимость объединения цифровых потоков возникает при формировании группового цифрового сигнала из цифровых потоков систем более низкого порядка, из различных сигналов, передаваемых в цифровом виде, а также при вводе в групповой цифровой сигнал дискретных сигналов от различных источников информации (рисунок 5.14). Цифровые потоки формируются в ЦСП, задающие генераторы которых могут быть синхронизированы или несинхронизированы с задающим генератором оборудования объединения. В соответствии с этим производится синхронное или асинхронное объединение цифровых потоков.

Рисунок 5.14. Упрощенная структурная схема (а) посимвольное (б) и поканальное (в) объединение цифровых потоков

Для временного объединения асинхронных цифровых потоков необходимо предварительно согласовать их скорости, то есть «привязать» их к одной опорной частоте [3]. На приёме суммарный сигнал распределяется по соответствующим выходам. Приходящие на вход системы передачи биты из четырёх информационных потоков записываются в ячейки памяти запоминающего устройства (ЗУ), а затем считываются с них и направляются в линию. Если содержимое ячеек памяти считалось быстрее, сформировался «пустой» временной интервал для вставки синхроимпульсов. Строгая периодичность синхросигнала – одно из важнейших свойств для его распознавания.

Если же генератор окажется нестабильным, то появится смещение во времени «пустых» интервалов и нарушится строгая периодичность их повторения. Может произойти сбой в работе системы синхронизации и всей аппаратуры в целом. Во избежание этого применяют процедуру выравнивания скоростей или, как часто называют, согласования скоростей.

Специальный контроллер следит за взаимным положением импульсов записи и считывания и, если импульсы считывания начали следовать быстрее (расстояние между соседними парами этих импульсов уменьшается), то контролер сигнализирует, что «пустой» интервал появился раньше времени. Другое устройство вводит в пустой интервал ложный импульс, не несущий никакой информации. В данном случае мы имеем дело с положительным согласованием скоростей.

Описанная выше процедура согласования скоростей называется стаффинг (от английского «staffing» — вставка). На приёмную станцию подаётся команда, что произошло согласование скоростей для ликвидации ложного импульса. Для надёжности команду согласования скоростей многократно дублируют, например, посылают её три раза.

Если же генератор вырабатывает импульсы считывания реже и в цифровом потоке уже должен появиться «пустой» интервал, а тактовые импульсы ещё не считали из ЗУ предшествующий ему информационный импульс, то придётся исключить из цифрового потока лишний бит и предоставить временной интервал для передачи очередного синхроимпульса. Такое согласование получило название отрицательного.

Таким образом, на приёмную станцию необходимо сообщить, какое согласование произошло: положительное или отрицательное. Для этой цели вводят команду «Вид согласования», посылая по другому служебному каналу 1 при положительном согласовании и 0 при отрицательном. Её также повторяют три раза. Таким образом, информация об изъятии или добавлении импульса передается в специально выделенных импульсных позициях, и на основе этой информации, на приемной стороне при разделении цифровых потоков происходит восстановление их скоростей (рисунок 5.14). Объединение потоков с выравниванием скоростей получило название плезиохронного, то есть почти синхронного, а существующая иерархия скоростей передачи цифровых потоков, а, значит, и систем передачи типа ИКМ – плезиохронной цифровой иерархией (по-английски PDH- Plesiohronous Digital Hierarhy).

При асинхронном способе объединения в блоках цифрового сопряжения БЦС_пер (рисунок 5.14) скорости цифровых потоков объединяемых систем приводятся в соответствие с их соотношением с тактовой частотой объединенного потока и устанавливаются необходимые временные положения сигналов объединяемых потоков (КЦП – коллектор цифрового потока, РЦП – распределитель цифрового потока). Для синхронизации тракта передачи и приема по групповому цифровому потоку он разбивается на циклы, в начале которых вводится сигнал синхронизации (рисунок 5.14, б и в). При поканальном объединении цифровых потоков сужаются и распределяются во времени интервалы, отводимые для кодовых групп (рисунок 5.14, в).

Указанные иерархии, известные под общим названием PDH, или ПЦИ, сведены в таблицу 5.3.

Таблица 5.3 – Сравнение иерархий

Уровень цифровой иерархии	Скорости передач, соответствующие различным схемам цифровой иерархии
AC: 1544 Кбит/с	ЯС: 1544 Кбит/с	EC: 2048 Кбит/с
0	64	64	64
1	1544	1544	2048
2	6312	6312	8448
3	44736	32064	34368
4	–	97728	139264

Где: АС – американская схема;

ЯС – японская схема;

ЕС – европейская схема.

Но PDH обладала рядом недостатков, а именно:

• затруднённый ввод/вывод цифровых потоков в промежуточных пунктах;
• отсутствие средств сетевого автоматического контроля и управления;
• многоступенчатое восстановление синхронизма требует достаточно большого времени;

Также можно считать недостатком наличие трёх различных иерархий.

Указанные недостатки PDH, а также ряд других факторов привели к разработке в Европе аналогичной синхронной цифровой иерархии SDH.

Синхронная цифровая иерархия.

Новая цифровая иерархия SDH – это способ мультиплексирования различных цифровых данных в единый блок, называемый синхронным транспортным модулем (STM), с целью передачи этого модуля по линии связи [21]. Упрощённая структура STM показана на рисунке 5.15:

Рисунок 5.15 – Структура синхронного транспортного модуля STM-1

Модуль представляет собой фрейм (рамку) 9∙270 = 2430 байт. Кроме передаваемой информации (называемой в литературе полезной нагрузкой), он содержит в 4-й строке указатель (Pointer, PTR), определяющий начало записи полезной нагрузки.

Чтобы определить маршрут транспортного модуля, в левой части рамки записывается секционный заголовок (Section Over Head – SOH). Нижние 5∙9 = 45 байтов (после указателя) отвечают за доставку информации в то место сети, к тому мультиплексору, где этот транспортный модуль будет переформировываться. Данная часть заголовка так и называется: секционный заголовок мультиплексора (MSOH). Верхние 3∙9 = 27 байтов (до указателя) представляют собой секционный заголовок регенератора (RSOH), где будут осуществляться восстановление потока, «поврежденного» помехами, и исправление ошибок в нем.

Один цикл передачи включает в себя считывание в линию такой прямоугольной таблицы. Порядок передачи байтов – слева направо, сверху вниз (так же, как при чтении текста на странице). Продолжительность цикла передачи STM-1 составляет 125 мкс, т.е. он повторяется с частотой 8 кГц. Каждая клеточка соответствует скорости передачи 8 бит ∙ 8 кГц = 64 кбит/с. Значит, если тратить на передачу в линию каждой прямоугольной рамки 125 мкс, то за секунду в линию будет передано 9∙270∙64 Кбит/с = 155520 Кбит/с, т.е. 155 Мбит/с.

Таблица 5.4 – Синхронная цифровая иерархия

Уровень иерархии	Тип синхронного транспортного модуля	Скорость передачи, Мбит/с
1	STM-1	155,520
2	STM-4	622,080
3	STM-16	2488,320
4	STM-64	9953,280

Для создания более мощных цифровых потоков в SDH-системах формируется следующая скоростная иерархия (таблица 5.4): 4 модуля STM-1 объединяются путем побайтного мультиплексирования в модуль STM-4, передаваемый со скоростью 622,080 Мбит/с; затем 4 модуля STM-4 объединяются в модуль STM-16 со скоростью передачи 2488,320 Мбит/с; наконец 4 модуля STM-16 могут быть объединены в высокоскоростной модуль STM-64 (9953,280 Мбит/с).

На рисунке 5.17 показано формирование модуля STM-16. Сначала каждые 4 модуля STM-1 с помощью мультиплексоров с четырьмя входами объединяются в модуль STM-4, затем четыре модуля STM-4 мультиплексируются таким же четырёхвходовым мультиплексором в модуль STM-16. Однако существует мультиплексор на 16 входов, с помощью которого можно одновременно объединить 16 модулей STM-1 в один модуль STM-16.

Рисунок 5.16– Формирование синхронного транспортного модуля STM–16

Формирование модуля STM-1. В сети SDH применены принципы контейнерных перевозок. Подлежащие транспортировке сигналы предварительно размещаются в стандартных контейнерах (Container – С). Все операции с контейнерами производятся независимо от их содержания, чем и достигается прозрачность сети SDH, т.е. способность транспортировать различные сигналы, в частности, сигналы PDH [1].

Наиболее близким по скорости к первому уровню иерархии SDH (155,520 Мбит/с) является цифровой поток со скоростью 139,264 Мбит/с, образуемый на выходе аппаратуры плезиохронной цифровой иерархии ИКМ-1920. Его проще всего разместить в модуле STM-1. Для этого поступающий цифровой сигнал сначала «упаковывают» в контейнер (т.е. размещают на определенных позициях его цикла), который обозначается С-4.

Рамка контейнера С-4 содержит 9 строк и 260 однобайтовых столбцов. Добавлением слева еще одного столбца – маршрутного или трактового заголовка (Path Over Head – РОН) – этот контейнер преобразуется в виртуальный контейнер VC-4.

Наконец, чтобы поместить виртуальный контейнер VC-4 в модуль STM-1, его снабжают указателем (PTR), образуя таким образом административный блок AU-4 (Administrative Unit), а последний помещают непосредственно в модуль STM-1 вместе с секционным заголовком SOH (рисунок 5.17 и рисунок 5.18).

Синхронный транспортный модуль STM-1 можно загрузить и плезиохронными потоками со скоростями 2,048 Мбит/с. Такие потоки формируются аппаратурой ИКМ-30, они широко распространены в современных сетях. Для первоначальной «упаковки» используется контейнер С12. Цифровой сигнал размещается на определенных позициях этого контейнера. Путем добавления маршрутного, или транспортного, заголовка (РОН) образуется виртуальный контейнер VC-12. Виртуальные контейнеры формируются и расформировываются в точках окончаниях трактов [1].

Рисунок 5.17. Размещение контейнеров в модуле STM-1

В модуле STM-1 можно разместить 63 виртуальных контейнера VC-12. При этом поступают следующим образом. Виртуальный контейнер VC-12 снабжают указателем (PTR) и образуют тем самым транспортный блок TU-12 (Tributary Unit). Теперь цифровые потоки разных транспортных блоков можно объединять в цифровой поток 155,520 Мбит/с (рисунок 5.18). Сначала три транспортных блока TU-12 путем мультиплексирования объединяют в группу транспортных блоков TUG-2 (Tributary Unit Group), затем семь групп TUG-2 мультиплексируют в группы транспортных блоков TUG-3, а три группы TUG-3 объединяют вместе и помещают в виртуальный контейнер VC-4. Далее путь преобразований известен.

На рисунке 5.18 показан также способ размещения в STM-N, N=1,4,16 различных цифровых потоков от аппаратуры плезиохронной цифровой иерархии. Плезиохронные цифровые потоки всех уровней размещаются в контейнерах С с использованием процедуры выравнивания скоростей (положительного, отрицательного и двухстороннего).

Наличие большого числа указателей (PTR) позволяет совершенно четко определить местонахождение в модуле STM-N любого цифрового потока со скоростями 2,048; 34,368 и 139,264 Мбит/с. Выпускаемые промышленностью мультиплексоры ввода-вывода (Add/Drop Multiplexer – ADM) позволяют ответвлять и добавлять любые цифровые потоки.

Рисунок 5.18. Ввод плезиохронных цифровых потоков в синхронный транспортный модуль STM-N

Важной особенностью аппаратуры SDH является то, что в трактовых и сетевых заголовках помимо маршрутной информации создается много информации, позволяющей обеспечить наблюдение и управление всей сетью в целом, осуществлять дистанционные переключения в мультиплексорах по требованию клиентов, осуществлять контроль и диагностику, своевременно обнаруживать и устранять неисправности, реализовать эффективную эксплуатацию сети и сохранить высокое качество предоставляемых услуг.

Иерархии PDH и SDH взаимодействуют через процедуры мультиплексирования и демультиплексирования потоков PDH в системы SDH.

Основным отличием системы SDH от системы PDH является переход на новый принцип мультиплексирования. В системе SDH производится синхронное мультиплексирование/демультиплексирование, которое позволяет организовывать непосредственный доступ к каналам PDH, которые передаются в сети SDH. Это довольно важное и простое нововведение в технологии привело к тому, что в целом технология мультиплексирования в сети SDH намного сложнее, чем технология в сети PDH, усилились требования по синхронизации и параметрам качества среды передачи и системы передачи, а также увеличилось количество параметров, существенных для работы сети.

Контрольные вопросы:

1. Что такое цифровой сигнал?
2. Перечислите основные преимущества цифровой связи перед аналоговой?
3. Дайте понятие скорости передачи?
4. С какой частотой следует дискретизировать аналоговый сигнал?
5. Поясните суть квантования?
6. Как определить ошибку квантования сигнала?
7. Запишите число 859 в двоичной системе счисления.
8. Закодируйте положительный отсчёт 358 мА в симметричном восьмиразрядном коде. Чему равна ошибка квантования?
9. Дайте понятие плезиохронной цифровой иерархии?
10. Для чего необходимо согласование скоростей передачи различных потоков при их объединении в высокоскоростной поток? Как осуществляется согласование?
11. Принцип синхронной цифровой иерархии, её преимущества по сравнению с плезиохронной цифровой иерархией?
12. Для чего нужен указатель (PTR)?
13. Охарактеризуйте структуру синхронного транспортного модуля.
14. Как в STM-N размещаются три потока со скоростью 34,368 Мбит/с от аппаратуры плезиохронной цифровой иерархии ИКМ-480.

Ошибка квантования E = em — ea — это разность между реальной про­должительностью события ea и его измеренной продолжительностью em. У вас нет возможности узнать реальную продолжительность собы­тия, следовательно, нельзя и обнаружить ошибку квантования, основываясь на отдельном значении. Однако можно доказать наличие ошибки квантования, исследуя группы родственных статистик. Мы уже рассматривали пример, в котором удалось выявить ошибку кван­тования. В примере 7.5 наличие ошибки квантования удалось опреде­лить, заметив, что:

Ошибку квантования легко выявить, исследуя вызов базы данных и выполняемые им события ожидания в системе с низкой загрузкой, где минимизировано влияние других факторов, способных нарушить отношение e и c + Eela.

Рассмотрим фрагмент файла трассировки Oracle8i, который демонст­рирует эффект ошибки квантования:

Данный вызов выборки инициировал ровно три события ожидания. Мы знаем, что приведенные значения c, e и ela должны быть связаны таким приблизительным равенством:

В системе с низкой загрузкой величина, на которую отличаются левая и правая части приблизительного равенства, указывает на общую ошибку квантования, присутствующую в пяти измерениях (одно зна­чение c, одно значение e и три значения ela):

С учетом того, что отдельному вызову gettimeofday в большинстве сис­тем соответствует лишь несколько микросекунд ошибки, вызванной влиянием измерителя, получается, что ошибка квантования вносит значительный вклад в «разность» длиной в одну сантисекунду в дан­ных трассировки.

Следующий фрагмент файла трассировки Oracle8i демонстрирует про­стейший вариант избыточного учета продолжительности, в результате которого возникает отрицательная величина неучтенного времени:

WAIT #96: nam=’db file sequential read’ ela= 0 p1=1 p2=1691 p3=1

FETCH #96:c=1,e=0,p=1,cr=4,cu=0,mis=0,r=1,dep=1,og=4,tim=116694789 В данном случае E = -1 сантисекунда:

При наличии «отрицательной разности» (подобного только что рас­смотренному) невозможно все объяснить эффектом влияния измерите­ля, ведь этот эффект может быть причиной появления только положи­тельных значений неучтенного времени. Можно было бы подумать, что имел место двойной учет использования процессора, но и это не соответ­ствует действительности, т. к. нулевое значение ela свидетельствует о том, что время занятости процессора вообще не учитывалось для со­бытия ожидания. В данном случае ошибка квантования имеет преобла­дающее влияние и приводит к излишнему учету времени для выборки.

В данном случае E = 640 мкс:

В Oracle9i разрешение временной статистики улучшено, но и эта вер­сия отнюдь не защищена от воздействия ошибки квантования, что видно в предложенном ниже фрагменте файла трассировки для E > 0:

Некоторая часть этой ошибки, несомненно, является ошибкой кванто­вания (невозможно, чтобы общее время использования процессора данной выборкой действительно равнялось нулю). Несколько микро­секунд следует отнести на счет эффекта влияния измерителя.

Наконец, рассмотрим пример ошибки квантования E < 0 в данных трассировки Oracle9i:

Возможно, в данном случае имел место двойной учет использования процессора. Также вероятно, что именно ошибка квантования внесла основной вклад в полученное время вызова выборки. Избыточный учет 8784 микросекунд говорит о том, что фактический общий расход процессорного времени вызовом базы данных составил, вероятно, все­го около (10000 — 8784) мкс = 1,216 мкс.

Диапазон значений ошибки квантования

Величину ошибки квантования, содержащейся во временных стати­стиках Oracle, нельзя измерить напрямую. Зато можно проанализиро­вать статистические свойства ошибки квантования в данных расширен­ной трассировки SQL. Во-первых, величина ошибки квантования для конкретного набора данных трассировки ограничена сверху. Легко представить ситуацию, в которой ошибка квантования, вносимая таки­ми характеристиками продолжительности, как e и ela, будет максимальной. Наибольшего значения данная ошибка достигает в том слу­чае, когда в последовательности значений e и ela все отдельные ошибки квантования имеют максимальную величину и их знаки совпадают.

На рис. 7.9 показан пример возникновения описанной ситуации: име­ется восемь очень непродолжительных системных вызовов, причем все они попадают на такты интервального таймера. Фактическая дли­тельность каждого события близка к нулю, но измеренная длитель­ность каждого такого события равна одному такту системного тайме­ра. В итоге суммарная фактическая продолжительность всех вызовов близка к нулю, а общая измеренная продолжительность равна 8 так­там. Для такого набора из n = 8 системных вызовов ошибка квантова­ния по существу равна nrx, где rx — это разрешение интервального тай­мера, с помощью которого измеряется характеристика x.

Думаю, вы обратили внимание, что изображенный на рис. 7.9 случай выглядит надуманно и изобретен исключительно для прояснения во­проса. В реальной жизни подобная ситуация чрезвычайно маловероят­на. Вероятность, что n ошибок квантования будут иметь одинаковые знаки, равна всего 0,5n. Вероятность того, что n=8 последовательных

Рис. 7.9. Наихудший вариант накопления ошибки квантования для последовательности измеренных продолжительностей

ошибок квантования будут отрицательными, равна всего 0,00390625 (т. е. приблизительно четыре шанса из тысячи). Для 266 значений шанс совпадения знаков у всех ошибок квантования меньше, чем один из 1080.

Для больших наборов значений длительностей совпадение знаков всех ошибок квантования практически невозможно. Но это не единственное, в чем состоит надуманность ситуации, изображенной на рис. 7.9. Она также предполагает, что абсолютная величина каждой ошибки кванто­вания максимальна. Шансы наступления такого события еще более ил­люзорны, чем у совпадения всех знаков ошибок. Например, вероятность того, что величина каждой из n имеющихся ошибок квантования пре­вышает 0,9, равна (1 — 0,9)n. Вероятность того, что величина каждой из n = 266 ошибок квантования превысит 0,9, составляет всего 1 из 10266.

Вероятность того, что все n ошибок квантования имеют одинаковый знак и абсолютная величина всех из них больше m, чрезвычайно мала и равна произведению рассмотренных ранее вероятностей:

P (значения всех n ошибок квантования больше m или меньше -m)=

= (0.5)n(1- m)n

Ошибки квантования для продолжительностей (например, значений e и ela в Oracle) — это случайные числа в диапазоне:

-rx < E < rx где rx — это разрешение интервального таймера, с помощью которого измеряется характеристика x (x- это e или ela).

Так как положительные и отрицательные ошибки квантования возни­кают c равной вероятностью, средняя ошибка квантования для вы­бранного набора статистик стремится к нулю даже для больших фай­лов трассировки. Опираясь на теорему Лапласа (Pierre Simon de Lapla­ce, 1810), можно предсказать вероятность того, что ошибки квантова­ния для статистик e и ela будут превышать указанное пороговое значение для файла трассировки, содержащего определенное количе­ство статистик.

Я начал работать над вычислением вероятности того, что общая ошиб­ка квантования файла трассировки (включая ошибку, вносимую ста­тистикой c) будет превышать заданную величину, однако мое исследо­вание еще не завершено. Мне предстоит получить распределение ошибки квантования для статистики c, что, как я уже говорил, ослож­няется особенностями получения этой статистики в процессе опроса. Результаты этих изысканий планируется воплотить в одном из буду­щих проектов.

К счастью, относительно ошибки квантования есть и оптимистиче­ские соображения, которые позволяют не слишком расстраиваться по поводу невозможности определения ее величины:

•   Во многих сотнях файлов трассировки Oracle, проанализирован­ных нами в hotsos.com, общая продолжительность неучтенного вре-

Что означает «один шанс из десяти в [очень большой] степени»?

Для того чтобы представить себе, что такое «один шанс из 1080», заду­майтесь над следующим фактом: ученые утверждают, что в наблюдае­мой вселенной содержится всего около 1080 атомов (по данным http:// www.sunspot.noao.edu/sunspot/pr/answerbook/universe.html#q70, http:/ /www.nature.com/nsu/020527/020527-16.html и др.). Это означает, что если бы вам удалось написать на каждом атоме нашей вселенной 266 равномерно распределенных случайных чисел от -1 до +1, то лишь на одном из этих атомов можно было бы ожидать наличия всех 266 чи­сел с одинаковым знаком.

Представить вторую упомянутую вероятность — «один шанс из 10266»-еще труднее. На этот раз представим себе три уровня вложенных все­ленных. То есть что каждый из 1080 атомов нашей вселенной сам по себе является вселенной, состоящей из 1080 вселенных, каждая из которых в свою очередь содержит 1080 атомов. Теперь у нас достаточно атомов для того, чтобы представить себе возможность возникновения ситуации с вероятностью «один из 10240». Даже во вселенных третьего уровня вло­женности вероятность появления атома, для которого все 266 его слу­чайных чисел по абсолютной величине больше 0,9, составит один из 100 000 000 000 000 000 000 000 000.

мени в случае корректного сбора данных (см. главу 6) чрезвычайно редко превышала 10% общего времени отклика.

Несмотря на то, что и ошибка квантования, и двойной учет исполь­зования процессора могут привести к такому результату, файл трассировки чрезвычайно редко содержит отрицательное неучтен­ное время, абсолютная величина которого превышала бы 10% об­щего времени отклика.

В случаях, когда неучтенное время оценивается более чем в 25% времени отклика для корректно собранных данных трассировки, такой объем неучтенного времени почти всегда объясняется одним из двух явлений, описанных в последующих разделах.

Наличие ошибки квантования не лишает нас возможности пра­вильно диагностировать основные причины проблем производи­тельности при помощи файлов расширенной трассировки SQL в Or­acle (даже в файлах трассировки Oracle8i, в которых вся статистика приводится с точностью лишь до сотых долей секунды).

Ошибка квантования становится еще менее значимой в Oracle9i благодаря повышению точности измерений.

В некоторых случаях влияние ошибки квантования способно привес­ти к утрате доверия к достоверности данных трассировки Oracle. На­верное, ничто не может так подорвать боевой дух, как подозрение в не­достоверности данных, на которые вы полагаетесь. Думаю, что луч­шим средством, призванным укрепить веру в получаемые данные, должно служить четкое понимание влияния ошибки квантования.

Следующая >

Квантование, по математике и цифровая обработка сигналов, представляет собой процесс отображения входных значений из большого набора (часто непрерывного набора) в выходные значения в (счетном) меньшем наборе, часто с конечным количество элементов. Округление и усечение являются типичными примерами процессов квантования. Квантование в некоторой степени участвует почти во всей цифровой обработке сигналов, поскольку процесс представления сигнала в цифровой форме обычно включает округление. Квантование также составляет основу практически всех сжатие с потерями алгоритмы.

Разница между входным значением и его квантованным значением (например, ошибка округления ) упоминается как ошибка квантования. Устройство или алгоритмическая функция который выполняет квантование, называется квантователь. An аналого-цифровой преобразователь является примером квантователя.

Пример

В качестве примера, округление а настоящий номер до ближайшего целого числа образует очень простой тип квантователя — униформа один. Типичный (середина протектора) равномерный квантователь с квантованием размер шага равно некоторому значению можно выразить как

,

где обозначение обозначает функция пола.

Существенным свойством квантователя является то, что он имеет счетный набор возможных выходных значений, который имеет меньше членов, чем набор возможных входных значений. Члены набора выходных значений могут иметь целые, рациональные или действительные значения. Для простого округления до ближайшего целого числа размер шага равно 1. С или с Как и любое другое целочисленное значение, этот квантователь имеет действительные входные и целочисленные выходы.

Когда размер шага квантования (Δ) невелик по сравнению с изменением квантованного сигнала, относительно просто показать, что среднеквадратичная ошибка произведенное такой операцией округления будет приблизительно .^{[1][2][3][4][5][6]} Среднеквадратичная ошибка также называется квантованием. мощность шума. Добавление одного бита к квантователю уменьшает вдвое значение Δ, что снижает мощность шума в раз. С точки зрения децибелы, изменение мощности шума равно

Поскольку набор возможных выходных значений квантователя является счетным, любой квантователь можно разложить на два отдельных этапа, которые можно назвать классификация этап (или прямое квантование этап) и реконструкция этап (или обратное квантование stage), где на этапе классификации входное значение преобразуется в целое число индекс квантования а этап реконструкции отображает индекс к стоимость реконструкции это выходное приближение входного значения. Для примера равномерного квантователя, описанного выше, этап прямого квантования может быть выражен как

,

и этап восстановления для этого примера квантователя просто

.

Это разложение полезно для разработки и анализа поведения квантования, и оно показывает, как квантованные данные могут быть переданы по каналу связи — кодировщик источника может выполнять этап прямого квантования и отправлять индексную информацию по каналу связи, а декодер может выполнять этап реконструкции для получения выходного приближения исходных входных данных. В общем, на этапе прямого квантования может использоваться любая функция, которая отображает входные данные в целочисленное пространство данных индекса квантования, а этап обратного квантования может концептуально (или буквально) быть операцией просмотра таблицы для отображения каждого индекса квантования на соответствующее значение реконструкции. Это двухэтапное разложение одинаково хорошо применимо к вектор а также скалярные квантователи.

Математические свойства

Поскольку квантование — это отображение «многие-к-немногим», оно по своей сути нелинейный и необратимый процесс (то есть, поскольку одно и то же выходное значение используется несколькими входными значениями, в общем случае невозможно восстановить точное входное значение, если задано только выходное значение).

Набор возможных входных значений может быть бесконечно большим и, возможно, непрерывным и, следовательно, бесчисленный (например, набор всех действительные числа, или все действительные числа в некотором ограниченном диапазоне). Набор возможных выходных значений может быть конечный или же счетно бесконечный.^[6] Наборы входов и выходов, участвующие в квантовании, можно определить довольно общим образом. Например, векторное квантование представляет собой приложение квантования к многомерным (векторным) входным данным.^[7]

Типы

Аналого-цифровой преобразователь

An аналого-цифровой преобразователь (ADC) можно смоделировать как два процесса: отбор проб и квантование. Выборка преобразует изменяющийся во времени сигнал напряжения в сигнал с дискретным временем, последовательность действительные числа. Квантование заменяет каждое действительное число приближением из конечного набора дискретных значений. Чаще всего эти дискретные значения представлены в виде слов с фиксированной точкой. Хотя возможно любое количество уровней квантования, общая длина слова 8 бит (256 уровней), 16 бит (65 536 уровней) и 24 бит (16,8 млн уровней). Квантование последовательности чисел дает последовательность ошибок квантования, которая иногда моделируется как аддитивный случайный сигнал, называемый шум квантования из-за его стохастический поведение. Чем больше уровней использует квантователь, тем ниже его мощность шума квантования.

Оптимизация скорости и искажений

Оптимизированный коэффициент искажения квантование встречается в исходное кодирование для алгоритмов сжатия данных с потерями, целью которых является управление искажением в пределах скорости передачи данных, поддерживаемой каналом связи или носителем данных. Анализ квантования в этом контексте включает изучение количества данных (обычно измеряемых цифрами, битами или битами). ставка), который используется для представления выходных данных квантователя, и изучения потери точности, вызванной процессом квантования (который называется искажение).

Унифицированные квантователи со средней подступенкой и средней ступенью

Большинство однородных квантователей для входных данных со знаком можно разделить на два типа: средний человек и середина протектора. Терминология основана на том, что происходит в области вокруг значения 0, и использует аналогию с просмотром функции ввода-вывода квантователя как лестница. Квантователи среднего протектора имеют нулевой уровень реконструкции (соответствующий ступать лестницы), в то время как квантователи средней ступени имеют нулевой порог классификации (соответствующий стояк лестницы).^[9]

Квантование середины протектора предполагает округление. Формулы для равномерного квантования средней протектора приведены в предыдущем разделе.

Квантование среднего уровня включает усечение. Формула ввода-вывода для равномерного квантователя среднего уровня определяется следующим образом:

,

где правило классификации дается

и правило реконструкции

.

Обратите внимание, что унифицированные квантователи среднего уровня не имеют нулевого выходного значения — их минимальная выходная величина составляет половину размера шага. В отличие от этого, квантователи со средним протектором имеют нулевой выходной уровень. Для некоторых приложений может потребоваться представление нулевого выходного сигнала.

В общем, квантователь со средним подступенком или средним протектором на самом деле не может быть униформа квантователь — то есть размер интервалов классификации квантователя может не быть одинаковым, или интервалы между его возможными выходными значениями могут не быть одинаковыми. Отличительной особенностью квантователя среднего уровня является то, что он имеет значение порога классификации, которое точно равно нулю, а отличительная характеристика квантователя среднего уровня состоит в том, что он имеет значение восстановления, которое точно равно нулю.^[9]

Квантователи мертвой зоны

А квантователь мертвой зоны — это тип квантователя среднего уровня с симметричным поведением около 0. Область вокруг нулевого выходного значения такого квантователя называется мертвая зона или же зона нечувствительности. Мертвая зона иногда может служить той же цели, что и шумовые ворота или же хлюпать функция. В частности, для компрессионных приложений ширина мертвой зоны может отличаться от ширины других ступеней. Для однородного квантователя ширина мертвой зоны может быть установлена ​​на любое значение. с помощью правила прямого квантования^[10][11][12]

,

где функция ( ) это функция знака (также известный как сигнум функция). Общее правило реконструкции для такого квантователя мертвой зоны дается формулой

,

куда — значение смещения реконструкции в диапазоне от 0 до 1 как часть размера шага. Обычно при квантовании входных данных с типичным функция плотности вероятности (pdf), который симметричен относительно нуля и достигает максимального значения при нуле (например, Гауссовский, Лапласиан, или же обобщенный гауссовский pdf). Несмотря на то что может зависеть от в общем, и может быть выбран для выполнения условия оптимальности, описанного ниже, часто просто устанавливается на константу, например . (Обратите внимание, что в этом определении из-за определения ( ) функция, поэтому не имеет никакого эффекта.)

Очень часто используемый частный случай (например, схема, обычно используемая в финансовом учете и элементарной математике) — это установка и для всех . В этом случае квантователь мертвой зоны также является равномерным квантователем, так как центральная мертвая зона этого квантователя имеет такую ​​же ширину, как и все его другие шаги, и все его значения восстановления также расположены на одинаковом расстоянии.

Характеристики шума и ошибок

Модель аддитивного шума

Распространенное допущение для анализа ошибка квантования в том, что он влияет на систему обработки сигналов аналогично аддитивному белый шум — имеющая пренебрежимо малую корреляцию с сигналом и приблизительно ровную спектральная плотность мощности.^{[2][6][13][14]} Модель аддитивного шума обычно используется для анализа эффектов ошибок квантования в системах цифровой фильтрации и может быть очень полезна в таком анализе. Было показано, что это действительная модель в случаях квантования с высоким разрешением (малые относительно мощности сигнала) с гладкими функциями плотности вероятности.^[2][15]

Аддитивное шумовое поведение не всегда является верным предположением. Ошибка квантования (для квантователей, определенных как описано здесь) детерминированно связана с сигналом и не полностью от него независима. Таким образом, периодические сигналы могут создавать периодический шум квантования. А в некоторых случаях это может даже вызвать предельные циклы появиться в системах цифровой обработки сигналов. Один из способов гарантировать эффективную независимость ошибки квантования от исходного сигнала — выполнить смущенный квантование (иногда с формирование шума ), который включает добавление случайных (или псевдослучайный ) шум к сигналу до квантования.^[6][14]

Модели ошибок квантования

В типичном случае исходный сигнал намного больше одного младший бит (МЗБ). В этом случае ошибка квантования существенно не коррелирует с сигналом и имеет приблизительно равномерное распределение. Когда округление используется для квантования, ошибка квантования имеет иметь в виду нуля и среднеквадратичное значение (RMS) значение — это стандартное отклонение этого распределения, задаваемого . Когда используется усечение, ошибка имеет ненулевое среднее значение а значение RMS равно . В любом случае стандартное отклонение, как процент от полного диапазона сигнала, изменяется с коэффициентом 2 для каждого 1-битного изменения числа битов квантования. Следовательно, потенциальное отношение мощности сигнала к мощности шума квантования изменяется на 4 или , примерно 6 дБ на бит.

При более низких амплитудах ошибка квантования становится зависимой от входного сигнала, что приводит к искажению. Это искажение создается после сглаживания фильтра, и, если эти искажения превышают 1/2 частоты дискретизации, они возвращаются в интересующую полосу. Чтобы ошибка квантования не зависела от входного сигнала, сигнал смущенный путем добавления шума к сигналу. Это немного снижает отношение сигнал / шум, но может полностью устранить искажения.

Модель шума квантования

Шум квантования — это модель ошибки квантования, вызванной квантованием в аналого-цифровое преобразование (АЦП). Это ошибка округления между аналоговым входным напряжением АЦП и выходным цифровым значением. Шум нелинейный и зависит от сигнала. Его можно смоделировать несколькими способами.

В идеальном аналого-цифровом преобразователе, где ошибка квантования равномерно распределена между -1/2 LSB и +1/2 LSB, а сигнал имеет равномерное распределение, охватывающее все уровни квантования, Отношение сигнал / шум квантования (SQNR) можно рассчитать из

где Q — количество битов квантования.

Наиболее распространенные тестовые сигналы, которые соответствуют этому, — это полная амплитуда треугольные волны и пилообразные волны.

Например, 16 бит Максимальное отношение сигнал / шум квантования АЦП составляет 6,02 × 16 = 96,3 дБ.

Когда входной сигнал имеет полную амплитуду синусоидальная волна распределение сигнала больше не является равномерным, и вместо этого соответствующее уравнение

Здесь шум квантования снова предполагается быть равномерно распределенным. Это так, когда входной сигнал имеет высокую амплитуду и широкий частотный спектр.^[16] В этом случае 16-битный АЦП имеет максимальное отношение сигнал / шум 98,09 дБ. Разница в соотношении сигнал-шум 1,761 возникает только из-за того, что сигнал представляет собой полномасштабную синусоидальную волну, а не треугольник или пилообразную форму.

Для сложных сигналов в АЦП с высоким разрешением это точная модель. Для АЦП с низким разрешением, сигналов низкого уровня в АЦП с высоким разрешением и для простых сигналов шум квантования распределяется неравномерно, что делает эту модель неточной.^[17] В этих случаях на распределение шума квантования сильно влияет точная амплитуда сигнала.

Вычисления относятся к исходной величине. Для сигналов меньшего размера относительное искажение квантования может быть очень большим. Чтобы обойти эту проблему, аналог компандирование можно использовать, но это может привести к искажению.

Дизайн

Гранулярное искажение и искажение при перегрузке

Часто конструкция квантователя включает поддержку только ограниченного диапазона возможных выходных значений и выполнение отсечения для ограничения выхода этим диапазоном всякий раз, когда входной сигнал превышает поддерживаемый диапазон. Ошибка, вызванная этим отсечением, называется перегрузка искажение. В крайних пределах поддерживаемого диапазона величина интервала между выбираемыми выходными значениями квантователя называется его детализация, и ошибка, вызванная этим интервалом, называется гранулированный искажение. При разработке квантователя обычно используется определение надлежащего баланса между зернистым искажением и искажением из-за перегрузки. Для заданного поддерживаемого числа возможных выходных значений уменьшение среднего гранулярного искажения может включать увеличение среднего искажения от перегрузки, и наоборот. Методика управления амплитудой сигнала (или, что то же самое, размером шага квантования ) для достижения соответствующего баланса является использование автоматическая регулировка усиления (AGC). Однако в некоторых схемах квантователя концепции гранулярной ошибки и ошибки перегрузки могут не применяться (например, для квантователя с ограниченным диапазоном входных данных или со счетно бесконечным набором выбираемых выходных значений).^[6]

Конструкция квантователя скорости-искажения

Скалярный квантователь, который выполняет операцию квантования, обычно можно разделить на два этапа:

Классификация

Процесс, который классифицирует диапазон входного сигнала на неперекрывающийся интервалы , определяя граница решения значения , так что за , с крайними пределами, определяемыми и . Все входы попадают в заданный интервал связаны с одним и тем же индексом квантования .

Реконструкция

Каждый интервал представлен стоимость реконструкции который реализует отображение .

Эти два этапа вместе составляют математическую операцию .

Энтропийное кодирование методы могут применяться для передачи индексов квантования от исходного кодера, который выполняет этап классификации, в декодер, который выполняет этап восстановления. Один из способов сделать это — связать каждый индекс квантования с двоичным кодовым словом . Важным фактором является количество битов, используемых для каждого кодового слова, обозначенное здесь как . В результате дизайн квантователь уровня и связанный с ним набор кодовых слов для передачи значений индекса требует нахождения значений , и которые оптимально удовлетворяют выбранному набору проектных ограничений, таких как битрейт и искажение .

Предполагая, что источник информации производит случайные величины с ассоциированным функция плотности вероятности вероятность что случайная величина попадает в определенный интервал квантования дан кем-то:

.

Результирующий битрейт в единицах среднего числа битов на квантованное значение для этого квантователя можно получить следующим образом:

.

Если предположить, что искажение измеряется среднеквадратичная ошибка,^[а] искажение D, дан кем-то:

.

Ключевое наблюдение заключается в том, что скорость зависит от границ решения и длины кодовых слов , а искажение зависит от границ решения и уровни реконструкции .

После определения этих двух показателей производительности для квантователя, типичная формулировка «скорость – искажение» для задачи разработки квантователя может быть выражена одним из двух способов:

1. Учитывая ограничение максимального искажения , минимизировать битрейт
2. Учитывая ограничение максимальной скорости передачи данных , минимизировать искажение

Часто решение этих проблем может быть эквивалентно (или приблизительно) выражено и решено путем преобразования формулировки к неограниченной проблеме где Множитель Лагранжа — неотрицательная константа, которая устанавливает соответствующий баланс между скоростью и искажениями. Решение неограниченной задачи эквивалентно нахождению точки на выпуклый корпус семейства решений эквивалентной постановки задачи с ограничениями. Однако поиск решения — особенно закрытая форма Решение — любая из этих трех формулировок проблемы может быть сложной. Решения, не требующие многомерных итерационных методов оптимизации, были опубликованы только для трех функций распределения вероятностей: униформа,^[18] экспоненциальный,^[12] и Лапласиан^[12] раздачи. Подходы итеративной оптимизации могут использоваться для поиска решений в других случаях.^[6][19][20]

Обратите внимание, что значения реконструкции влияют только на искажения — они не влияют на скорость передачи данных — и что каждый в отдельности делает отдельный вклад к общему искажению, как показано ниже:

куда

Это наблюдение можно использовать для облегчения анализа — учитывая набор ценности, ценность каждого можно оптимизировать отдельно, чтобы свести к минимуму его вклад в искажение .

Для критерия искажения среднеквадратичной ошибки легко показать, что оптимальный набор значений восстановления задается установкой значения реконструкции в каждом интервале к условному ожидаемому значению (также называемому центроид ) в пределах интервала, как указано:

.

Использование достаточно хорошо продуманных методов энтропийного кодирования может привести к использованию скорости передачи данных, близкой к истинному информационному содержанию индексов. , так что эффективно

и поэтому

.

Использование этого приближения может позволить отделить проблему проектирования энтропийного кодирования от конструкции самого квантователя. Современные методы энтропийного кодирования, такие как арифметическое кодирование может достигать скорости передачи данных, которая очень близка к истинной энтропии источника, учитывая набор известных (или адаптивно оцененных) вероятностей .

В некоторых проектах вместо оптимизации для определенного количества областей классификации , проблема проектирования квантователя может включать оптимизацию значения также. Для некоторых вероятностных моделей источников наилучшие характеристики могут быть достигнуты, когда приближается к бесконечности.

Пренебрежение ограничением энтропии: квантование Ллойда – Макса

В приведенной выше формулировке, если пренебречь ограничением скорости передачи данных путем установки равным 0, или, что эквивалентно, если предполагается, что код фиксированной длины (FLC) будет использоваться для представления квантованных данных вместо код переменной длины (или какой-либо другой технологии энтропийного кодирования, такой как арифметическое кодирование, которое лучше, чем FLC в смысле скорость – искажение), проблема оптимизации сводится к минимизации искажений один.

Индексы, производимые квантователь уровня может быть закодирован с использованием кода фиксированной длины, используя бит / символ. Например, когда 256 уровней, битрейт FLC составляет 8 бит / символ. По этой причине такой квантователь иногда называют 8-битным квантователем. Однако использование FLC устраняет улучшение сжатия, которое может быть получено за счет использования лучшего энтропийного кодирования.

Предполагая, что FLC с уровней, проблема минимизации искажений может быть сведена только к минимизации искажений. Редуцированная задача может быть сформулирована следующим образом: с учетом источника с pdf и ограничение, которое квантователь должен использовать только классификации регионов, найти границы решения и уровни реконструкции минимизировать результирующие искажения

.

Нахождение оптимального решения вышеуказанной проблемы приводит к квантователю, который иногда называют решением MMSQE (минимальная среднеквадратическая ошибка квантования), а полученный в результате оптимизированный для pdf (неоднородный) квантователь называется Ллойд – Макс квантователь, названный в честь двух людей, которые независимо разработали итерационные методы^[6][21][22] для решения двух систем одновременных уравнений в результате и , следующее:

,

который помещает каждый порог в середину между каждой парой значений реконструкции, и

который помещает каждое значение реконструкции в центроид (условное ожидаемое значение) соответствующего интервала классификации.

Алгоритм метода Ллойда I, первоначально описанный в 1957 году, может быть просто обобщен для применения в вектор данные. Это обобщение приводит к Линде – Бузо – Грей (LBG) или же k-означает методы оптимизации классификатора. Кроме того, метод может быть дополнительно обобщен прямым способом, чтобы также включить ограничение энтропии для векторных данных.^[23]

Равномерное квантование и приближение 6 дБ / бит

Квантователь Ллойда – Макса на самом деле является равномерным квантователем, когда входной PDF-файл равномерно распределен по диапазону . Однако для источника, который не имеет равномерного распределения, квантователь с минимальным искажением не может быть равномерным квантователем. Анализ равномерного квантователя, примененного к равномерно распределенному источнику, можно резюмировать следующим образом:

Симметричный источник X можно смоделировать с помощью , за и 0 в другом месте. и отношение сигнал / шум квантования (SQNR) квантователя равно

.

Для кода фиксированной длины с использованием биты , в результате чего,

или примерно 6 дБ на бит. Например, для = 8 бит, = 256 уровней и SQNR = 8 × 6 = 48 дБ; и для = 16 бит, = 65536 и SQNR = 16 × 6 = 96 дБ. Свойство улучшения SQNR на 6 дБ для каждого дополнительного бита, используемого при квантовании, является хорошо известным показателем качества. Однако его следует использовать с осторожностью: этот вывод предназначен только для равномерного квантователя, применяемого к однородному источнику. Для других исходных PDF-файлов и других конструкций квантователя SQNR может несколько отличаться от прогнозируемого на 6 дБ / бит, в зависимости от типа PDF-файла, типа источника, типа квантователя и рабочего диапазона битовой скорости.

Однако обычно предполагается, что для многих источников наклон функции SQNR квантователя может быть аппроксимирован как 6 дБ / бит при работе с достаточно высокой скоростью передачи данных. При асимптотически высоких скоростях передачи данных уменьшение размера шага вдвое увеличивает скорость передачи данных примерно на 1 бит на выборку (поскольку 1 бит необходим, чтобы указать, находится ли значение в левой или правой половине предыдущего интервала двойного размера) и уменьшает среднеквадратичная ошибка в 4 раза (т. е. 6 дБ) на основе приближение.

При асимптотически высоких скоростях передачи данных приближение 6 дБ / бит для многих исходных файлов PDF поддерживается строгим теоретическим анализом.^[2][3][5][6] Более того, структура оптимального скалярного квантователя (в смысле «скорость – искажение») приближается к структуре равномерного квантователя в этих условиях.^[5][6]

В других сферах

Многие физические величины фактически квантуются физическими объектами. Примеры полей, в которых применяется это ограничение, включают электроника (из-за электроны ), оптика (из-за фотоны ), биология (из-за ДНК ), физика (из-за Пределы Планка ) и химия (из-за молекулы ).

Смотрите также

• Аналого-цифровой преобразователь
• Бета-кодировщик
• Цветовое квантование
• Биннинг данных
• Дискретность
• Ошибка дискретизации
• Квантование (обработка изображений)
• Постеризация
• Импульсно-кодовая модуляция
• Квантиль
• Разбавление регрессии — смещение в оценках параметров, вызванное такими ошибками, как квантование в объясняющей или независимой переменной

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Шум квантования в цифровых вычислениях, обработке сигналов и управлении, Бернард Видроу и Иштван Коллар, 2007.
• Связь динамического диапазона с размером слова данных при обработке цифрового звука
• Дисперсия ошибки округления — вывод мощности шума для ошибки округления
• Динамическая оценка высокоскоростных цифро-аналоговых преобразователей высокого разрешения Обрисовывает в общих чертах измерения HD, IMD и NPR, также включает вывод шума квантования
• Сигнал к шуму квантования в квантованной синусоидальной