Что понимают под коррекцией ошибок

Wikimedia Foundation.
2010.

«Interleaver» redirects here. For the fiber-optic device, see optical interleaver.

In computing, telecommunication, information theory, and coding theory, forward error correction (FEC) or channel coding^[1][2][3] is a technique used for controlling errors in data transmission over unreliable or noisy communication channels.

The central idea is that the sender encodes the message in a redundant way, most often by using an error correction code or error correcting code, (ECC).^[4][5] The redundancy allows the receiver not only to detect errors that may occur anywhere in the message, but often to correct a limited number of errors. Therefore a reverse channel to request re-transmission may not be needed. The cost is a fixed, higher forward channel bandwidth.

The American mathematician Richard Hamming pioneered this field in the 1940s and invented the first error-correcting code in 1950: the Hamming (7,4) code.^[5]

FEC can be applied in situations where re-transmissions are costly or impossible, such as one-way communication links or when transmitting to multiple receivers in multicast.
Long-latency connections also benefit; in the case of a satellite orbiting Uranus, retransmission due to errors can create a delay of five hours. FEC is widely used in modems and in cellular networks, as well.

FEC processing in a receiver may be applied to a digital bit stream or in the demodulation of a digitally modulated carrier. For the latter, FEC is an integral part of the initial analog-to-digital conversion in the receiver. The Viterbi decoder implements a soft-decision algorithm to demodulate digital data from an analog signal corrupted by noise. Many FEC decoders can also generate a bit-error rate (BER) signal which can be used as feedback to fine-tune the analog receiving electronics.

FEC information is added to mass storage (magnetic, optical and solid state/flash based) devices to enable recovery of corrupted data, and is used as ECC computer memory on systems that require special provisions for reliability.

The maximum proportion of errors or missing bits that can be corrected is determined by the design of the ECC, so different forward error correcting codes are suitable for different conditions. In general, a stronger code induces more redundancy that needs to be transmitted using the available bandwidth, which reduces the effective bit-rate while improving the received effective signal-to-noise ratio. The noisy-channel coding theorem of Claude Shannon can be used to compute the maximum achievable communication bandwidth for a given maximum acceptable error probability. This establishes bounds on the theoretical maximum information transfer rate of a channel with some given base noise level. However, the proof is not constructive, and hence gives no insight of how to build a capacity achieving code. After years of research, some advanced FEC systems like polar code^[3] come very close to the theoretical maximum given by the Shannon channel capacity under the hypothesis of an infinite length frame.

How it works[edit]

ECC is accomplished by adding redundancy to the transmitted information using an algorithm. A redundant bit may be a complex function of many original information bits. The original information may or may not appear literally in the encoded output; codes that include the unmodified input in the output are systematic, while those that do not are non-systematic.

A simplistic example of ECC is to transmit each data bit 3 times, which is known as a (3,1) repetition code. Through a noisy channel, a receiver might see 8 versions of the output, see table below.

This allows an error in any one of the three samples to be corrected by «majority vote», or «democratic voting». The correcting ability of this ECC is:

• Up to 1 bit of triplet in error, or
• up to 2 bits of triplet omitted (cases not shown in table).

Though simple to implement and widely used, this triple modular redundancy is a relatively inefficient ECC. Better ECC codes typically examine the last several tens or even the last several hundreds of previously received bits to determine how to decode the current small handful of bits (typically in groups of 2 to 8 bits).

Averaging noise to reduce errors[edit]

ECC could be said to work by «averaging noise»; since each data bit affects many transmitted symbols, the corruption of some symbols by noise usually allows the original user data to be extracted from the other, uncorrupted received symbols that also depend on the same user data.

• Because of this «risk-pooling» effect, digital communication systems that use ECC tend to work well above a certain minimum signal-to-noise ratio and not at all below it.
• This all-or-nothing tendency – the cliff effect – becomes more pronounced as stronger codes are used that more closely approach the theoretical Shannon limit.
• Interleaving ECC coded data can reduce the all or nothing properties of transmitted ECC codes when the channel errors tend to occur in bursts. However, this method has limits; it is best used on narrowband data.

Most telecommunication systems use a fixed channel code designed to tolerate the expected worst-case bit error rate, and then fail to work at all if the bit error rate is ever worse.
However, some systems adapt to the given channel error conditions: some instances of hybrid automatic repeat-request use a fixed ECC method as long as the ECC can handle the error rate, then switch to ARQ when the error rate gets too high;
adaptive modulation and coding uses a variety of ECC rates, adding more error-correction bits per packet when there are higher error rates in the channel, or taking them out when they are not needed.

Types of ECC[edit]

The two main categories of ECC codes are block codes and convolutional codes.

• Block codes work on fixed-size blocks (packets) of bits or symbols of predetermined size. Practical block codes can generally be hard-decoded in polynomial time to their block length.
• Convolutional codes work on bit or symbol streams of arbitrary length. They are most often soft decoded with the Viterbi algorithm, though other algorithms are sometimes used. Viterbi decoding allows asymptotically optimal decoding efficiency with increasing constraint length of the convolutional code, but at the expense of exponentially increasing complexity. A convolutional code that is terminated is also a ‘block code’ in that it encodes a block of input data, but the block size of a convolutional code is generally arbitrary, while block codes have a fixed size dictated by their algebraic characteristics. Types of termination for convolutional codes include «tail-biting» and «bit-flushing».

There are many types of block codes; Reed–Solomon coding is noteworthy for its widespread use in compact discs, DVDs, and hard disk drives. Other examples of classical block codes include Golay, BCH, Multidimensional parity, and Hamming codes.

Hamming ECC is commonly used to correct NAND flash memory errors.^[6]
This provides single-bit error correction and 2-bit error detection.
Hamming codes are only suitable for more reliable single-level cell (SLC) NAND.
Denser multi-level cell (MLC) NAND may use multi-bit correcting ECC such as BCH or Reed–Solomon.^[7][8] NOR Flash typically does not use any error correction.^[7]

Classical block codes are usually decoded using hard-decision algorithms,^[9] which means that for every input and output signal a hard decision is made whether it corresponds to a one or a zero bit. In contrast, convolutional codes are typically decoded using soft-decision algorithms like the Viterbi, MAP or BCJR algorithms, which process (discretized) analog signals, and which allow for much higher error-correction performance than hard-decision decoding.

Nearly all classical block codes apply the algebraic properties of finite fields. Hence classical block codes are often referred to as algebraic codes.

In contrast to classical block codes that often specify an error-detecting or error-correcting ability, many modern block codes such as LDPC codes lack such guarantees. Instead, modern codes are evaluated in terms of their bit error rates.

Most forward error correction codes correct only bit-flips, but not bit-insertions or bit-deletions.
In this setting, the Hamming distance is the appropriate way to measure the bit error rate.
A few forward error correction codes are designed to correct bit-insertions and bit-deletions, such as Marker Codes and Watermark Codes.
The Levenshtein distance is a more appropriate way to measure the bit error rate when using such codes.
^[10]

Code-rate and the tradeoff between reliability and data rate[edit]

The fundamental principle of ECC is to add redundant bits in order to help the decoder to find out the true message that was encoded by the transmitter. The code-rate of a given ECC system is defined as the ratio between the number of information bits and the total number of bits (i.e., information plus redundancy bits) in a given communication package. The code-rate is hence a real number. A low code-rate close to zero implies a strong code that uses many redundant bits to achieve a good performance, while a large code-rate close to 1 implies a weak code.

The redundant bits that protect the information have to be transferred using the same communication resources that they are trying to protect. This causes a fundamental tradeoff between reliability and data rate.^[11] In one extreme, a strong code (with low code-rate) can induce an important increase in the receiver SNR (signal-to-noise-ratio) decreasing the bit error rate, at the cost of reducing the effective data rate. On the other extreme, not using any ECC (i.e., a code-rate equal to 1) uses the full channel for information transfer purposes, at the cost of leaving the bits without any additional protection.

One interesting question is the following: how efficient in terms of information transfer can an ECC be that has a negligible decoding error rate? This question was answered by Claude Shannon with his second theorem, which says that the channel capacity is the maximum bit rate achievable by any ECC whose error rate tends to zero:^[12] His proof relies on Gaussian random coding, which is not suitable to real-world applications. The upper bound given by Shannon’s work inspired a long journey in designing ECCs that can come close to the ultimate performance boundary. Various codes today can attain almost the Shannon limit. However, capacity achieving ECCs are usually extremely complex to implement.

The most popular ECCs have a trade-off between performance and computational complexity. Usually, their parameters give a range of possible code rates, which can be optimized depending on the scenario. Usually, this optimization is done in order to achieve a low decoding error probability while minimizing the impact to the data rate. Another criterion for optimizing the code rate is to balance low error rate and retransmissions number in order to the energy cost of the communication.^[13]

Concatenated ECC codes for improved performance[edit]

Classical (algebraic) block codes and convolutional codes are frequently combined in concatenated coding schemes in which a short constraint-length Viterbi-decoded convolutional code does most of the work and a block code (usually Reed–Solomon) with larger symbol size and block length «mops up» any errors made by the convolutional decoder. Single pass decoding with this family of error correction codes can yield very low error rates, but for long range transmission conditions (like deep space) iterative decoding is recommended.

Concatenated codes have been standard practice in satellite and deep space communications since Voyager 2 first used the technique in its 1986 encounter with Uranus. The Galileo craft used iterative concatenated codes to compensate for the very high error rate conditions caused by having a failed antenna.

Low-density parity-check (LDPC)[edit]

Low-density parity-check (LDPC) codes are a class of highly efficient linear block
codes made from many single parity check (SPC) codes. They can provide performance very close to the channel capacity (the theoretical maximum) using an iterated soft-decision decoding approach, at linear time complexity in terms of their block length. Practical implementations rely heavily on decoding the constituent SPC codes in parallel.

LDPC codes were first introduced by Robert G. Gallager in his PhD thesis in 1960,
but due to the computational effort in implementing encoder and decoder and the introduction of Reed–Solomon codes,
they were mostly ignored until the 1990s.

LDPC codes are now used in many recent high-speed communication standards, such as DVB-S2 (Digital Video Broadcasting – Satellite – Second Generation), WiMAX (IEEE 802.16e standard for microwave communications), High-Speed Wireless LAN (IEEE 802.11n),^[14] 10GBase-T Ethernet (802.3an) and G.hn/G.9960 (ITU-T Standard for networking over power lines, phone lines and coaxial cable). Other LDPC codes are standardized for wireless communication standards within 3GPP MBMS (see fountain codes).

Turbo codes[edit]

Turbo coding is an iterated soft-decoding scheme that combines two or more relatively simple convolutional codes and an interleaver to produce a block code that can perform to within a fraction of a decibel of the Shannon limit. Predating LDPC codes in terms of practical application, they now provide similar performance.

One of the earliest commercial applications of turbo coding was the CDMA2000 1x (TIA IS-2000) digital cellular technology developed by Qualcomm and sold by Verizon Wireless, Sprint, and other carriers. It is also used for the evolution of CDMA2000 1x specifically for Internet access, 1xEV-DO (TIA IS-856). Like 1x, EV-DO was developed by Qualcomm, and is sold by Verizon Wireless, Sprint, and other carriers (Verizon’s marketing name for 1xEV-DO is Broadband Access, Sprint’s consumer and business marketing names for 1xEV-DO are Power Vision and Mobile Broadband, respectively).

Local decoding and testing of codes[edit]

Sometimes it is only necessary to decode single bits of the message, or to check whether a given signal is a codeword, and do so without looking at the entire signal. This can make sense in a streaming setting, where codewords are too large to be classically decoded fast enough and where only a few bits of the message are of interest for now. Also such codes have become an important tool in computational complexity theory, e.g., for the design of probabilistically checkable proofs.

Locally decodable codes are error-correcting codes for which single bits of the message can be probabilistically recovered by only looking at a small (say constant) number of positions of a codeword, even after the codeword has been corrupted at some constant fraction of positions. Locally testable codes are error-correcting codes for which it can be checked probabilistically whether a signal is close to a codeword by only looking at a small number of positions of the signal.

Interleaving[edit]

«Interleaver» redirects here. For the fiber-optic device, see optical interleaver.

Interleaving is frequently used in digital communication and storage systems to improve the performance of forward error correcting codes. Many communication channels are not memoryless: errors typically occur in bursts rather than independently. If the number of errors within a code word exceeds the error-correcting code’s capability, it fails to recover the original code word. Interleaving alleviates this problem by shuffling source symbols across several code words, thereby creating a more uniform distribution of errors.^[15] Therefore, interleaving is widely used for burst error-correction.

The analysis of modern iterated codes, like turbo codes and LDPC codes, typically assumes an independent distribution of errors.^[16] Systems using LDPC codes therefore typically employ additional interleaving across the symbols within a code word.^[17]

For turbo codes, an interleaver is an integral component and its proper design is crucial for good performance.^[15][18] The iterative decoding algorithm works best when there are not short cycles in the factor graph that represents the decoder; the interleaver is chosen to avoid short cycles.

Interleaver designs include:

• rectangular (or uniform) interleavers (similar to the method using skip factors described above)
• convolutional interleavers
• random interleavers (where the interleaver is a known random permutation)
• S-random interleaver (where the interleaver is a known random permutation with the constraint that no input symbols within distance S appear within a distance of S in the output).^[19]
• a contention-free quadratic permutation polynomial (QPP).^[20] An example of use is in the 3GPP Long Term Evolution mobile telecommunication standard.^[21]

In multi-carrier communication systems, interleaving across carriers may be employed to provide frequency diversity, e.g., to mitigate frequency-selective fading or narrowband interference.^[22]

Example[edit]

Transmission without interleaving:

Error-free message:                                 aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg
Transmission with a burst error:                    aaaabbbbccc____deeeeffffgggg

Here, each group of the same letter represents a 4-bit one-bit error-correcting codeword. The codeword cccc is altered in one bit and can be corrected, but the codeword dddd is altered in three bits, so either it cannot be decoded at all or it might be decoded incorrectly.

With interleaving:

Error-free code words:                              aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg
Interleaved:                                        abcdefgabcdefgabcdefgabcdefg
Transmission with a burst error:                    abcdefgabcd____bcdefgabcdefg
Received code words after deinterleaving:           aa_abbbbccccdddde_eef_ffg_gg

In each of the codewords «aaaa», «eeee», «ffff», and «gggg», only one bit is altered, so one-bit error-correcting code will decode everything correctly.

Transmission without interleaving:

Original transmitted sentence:                      ThisIsAnExampleOfInterleaving
Received sentence with a burst error:               ThisIs______pleOfInterleaving

The term «AnExample» ends up mostly unintelligible and difficult to correct.

With interleaving:

Transmitted sentence:                               ThisIsAnExampleOfInterleaving...
Error-free transmission:                            TIEpfeaghsxlIrv.iAaenli.snmOten.
Received sentence with a burst error:               TIEpfe______Irv.iAaenli.snmOten.
Received sentence after deinterleaving:             T_isI_AnE_amp_eOfInterle_vin_...

No word is completely lost and the missing letters can be recovered with minimal guesswork.

Disadvantages of interleaving[edit]

Use of interleaving techniques increases total delay. This is because the entire interleaved block must be received before the packets can be decoded.^[23] Also interleavers hide the structure of errors; without an interleaver, more advanced decoding algorithms can take advantage of the error structure and achieve more reliable communication than a simpler decoder combined with an interleaver^{[citation needed]}. An example of such an algorithm is based on neural network^[24] structures.

Software for error-correcting codes[edit]

Simulating the behaviour of error-correcting codes (ECCs) in software is a common practice to design, validate and improve ECCs. The upcoming wireless 5G standard raises a new range of applications for the software ECCs: the Cloud Radio Access Networks (C-RAN) in a Software-defined radio (SDR) context. The idea is to directly use software ECCs in the communications. For instance in the 5G, the software ECCs could be located in the cloud and the antennas connected to this computing resources: improving this way the flexibility of the communication network and eventually increasing the energy efficiency of the system.

In this context, there are various available Open-source software listed below (non exhaustive).

• AFF3CT(A Fast Forward Error Correction Toolbox): a full communication chain in C++ (many supported codes like Turbo, LDPC, Polar codes, etc.), very fast and specialized on channel coding (can be used as a program for simulations or as a library for the SDR).
• IT++: a C++ library of classes and functions for linear algebra, numerical optimization, signal processing, communications, and statistics.
• OpenAir: implementation (in C) of the 3GPP specifications concerning the Evolved Packet Core Networks.

List of error-correcting codes[edit]

• AN codes
• BCH code, which can be designed to correct any arbitrary number of errors per code block.
• Barker code used for radar, telemetry, ultra sound, Wifi, DSSS mobile phone networks, GPS etc.
• Berger code
• Constant-weight code
• Convolutional code
• Expander codes
• Group codes
• Golay codes, of which the Binary Golay code is of practical interest
• Goppa code, used in the McEliece cryptosystem
• Hadamard code
• Hagelbarger code
• Hamming code
• Latin square based code for non-white noise (prevalent for example in broadband over powerlines)
• Lexicographic code
• Linear Network Coding, a type of erasure correcting code across networks instead of point-to-point links
• Long code
• Low-density parity-check code, also known as Gallager code, as the archetype for sparse graph codes
• LT code, which is a near-optimal rateless erasure correcting code (Fountain code)
• m of n codes
• Nordstrom-Robinson code, used in Geometry and Group Theory^[25]
• Online code, a near-optimal rateless erasure correcting code
• Polar code (coding theory)
• Raptor code, a near-optimal rateless erasure correcting code
• Reed–Solomon error correction
• Reed–Muller code
• Repeat-accumulate code
• Repetition codes, such as Triple modular redundancy
• Spinal code, a rateless, nonlinear code based on pseudo-random hash functions^[26]
• Tornado code, a near-optimal erasure correcting code, and the precursor to Fountain codes
• Turbo code
• Walsh–Hadamard code
• Cyclic redundancy checks (CRCs) can correct 1-bit errors for messages at most bits long for optimal generator polynomials of degree , see Mathematics of cyclic redundancy checks#Bitfilters

See also[edit]

• Code rate
• Erasure codes
• Soft-decision decoder
• Burst error-correcting code
• Error detection and correction
• Error-correcting codes with feedback

References[edit]

Further reading[edit]

• MacWilliams, Florence Jessiem; Sloane, Neil James Alexander (2007) [1977]. Written at AT&T Shannon Labs, Florham Park, New Jersey, USA. The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland Mathematical Library. Vol. 16 (digital print of 12th impression, 1st ed.). Amsterdam / London / New York / Tokyo: North-Holland / Elsevier BV. ISBN 978-0-444-85193-2. LCCN 76-41296. (xxii+762+6 pages)
• Clark, Jr., George C.; Cain, J. Bibb (1981). Error-Correction Coding for Digital Communications. New York, USA: Plenum Press. ISBN 0-306-40615-2.
• Arazi, Benjamin (1987). Swetman, Herb (ed.). A Commonsense Approach to the Theory of Error Correcting Codes. MIT Press Series in Computer Systems. Vol. 10 (1 ed.). Cambridge, Massachusetts, USA / London, UK: Massachusetts Institute of Technology. ISBN 0-262-01098-4. LCCN 87-21889. (x+2+208+4 pages)
• Wicker, Stephen B. (1995). Error Control Systems for Digital Communication and Storage. Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice-Hall. ISBN 0-13-200809-2.
• Wilson, Stephen G. (1996). Digital Modulation and Coding. Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice-Hall. ISBN 0-13-210071-1.
• «Error Correction Code in Single Level Cell NAND Flash memories» 2007-02-16
• «Error Correction Code in NAND Flash memories» 2004-11-29
• Observations on Errors, Corrections, & Trust of Dependent Systems, by James Hamilton, 2012-02-26
• Sphere Packings, Lattices and Groups, By J. H. Conway, Neil James Alexander Sloane, Springer Science & Business Media, 2013-03-09 – Mathematics – 682 pages.

External links[edit]

• Morelos-Zaragoza, Robert (2004). «The Correcting Codes (ECC) Page». Retrieved 5 March 2006.
• lpdec: library for LP decoding and related things (Python)

«Interleaver» redirects here. For the fiber-optic device, see optical interleaver.

In computing, telecommunication, information theory, and coding theory, forward error correction (FEC) or channel coding^[1][2][3] is a technique used for controlling errors in data transmission over unreliable or noisy communication channels.

The central idea is that the sender encodes the message in a redundant way, most often by using an error correction code or error correcting code, (ECC).^[4][5] The redundancy allows the receiver not only to detect errors that may occur anywhere in the message, but often to correct a limited number of errors. Therefore a reverse channel to request re-transmission may not be needed. The cost is a fixed, higher forward channel bandwidth.

The American mathematician Richard Hamming pioneered this field in the 1940s and invented the first error-correcting code in 1950: the Hamming (7,4) code.^[5]

FEC can be applied in situations where re-transmissions are costly or impossible, such as one-way communication links or when transmitting to multiple receivers in multicast.
Long-latency connections also benefit; in the case of a satellite orbiting Uranus, retransmission due to errors can create a delay of five hours. FEC is widely used in modems and in cellular networks, as well.

FEC processing in a receiver may be applied to a digital bit stream or in the demodulation of a digitally modulated carrier. For the latter, FEC is an integral part of the initial analog-to-digital conversion in the receiver. The Viterbi decoder implements a soft-decision algorithm to demodulate digital data from an analog signal corrupted by noise. Many FEC decoders can also generate a bit-error rate (BER) signal which can be used as feedback to fine-tune the analog receiving electronics.

FEC information is added to mass storage (magnetic, optical and solid state/flash based) devices to enable recovery of corrupted data, and is used as ECC computer memory on systems that require special provisions for reliability.

The maximum proportion of errors or missing bits that can be corrected is determined by the design of the ECC, so different forward error correcting codes are suitable for different conditions. In general, a stronger code induces more redundancy that needs to be transmitted using the available bandwidth, which reduces the effective bit-rate while improving the received effective signal-to-noise ratio. The noisy-channel coding theorem of Claude Shannon can be used to compute the maximum achievable communication bandwidth for a given maximum acceptable error probability. This establishes bounds on the theoretical maximum information transfer rate of a channel with some given base noise level. However, the proof is not constructive, and hence gives no insight of how to build a capacity achieving code. After years of research, some advanced FEC systems like polar code^[3] come very close to the theoretical maximum given by the Shannon channel capacity under the hypothesis of an infinite length frame.

How it works[edit]

ECC is accomplished by adding redundancy to the transmitted information using an algorithm. A redundant bit may be a complex function of many original information bits. The original information may or may not appear literally in the encoded output; codes that include the unmodified input in the output are systematic, while those that do not are non-systematic.

A simplistic example of ECC is to transmit each data bit 3 times, which is known as a (3,1) repetition code. Through a noisy channel, a receiver might see 8 versions of the output, see table below.

This allows an error in any one of the three samples to be corrected by «majority vote», or «democratic voting». The correcting ability of this ECC is:

• Up to 1 bit of triplet in error, or
• up to 2 bits of triplet omitted (cases not shown in table).

Though simple to implement and widely used, this triple modular redundancy is a relatively inefficient ECC. Better ECC codes typically examine the last several tens or even the last several hundreds of previously received bits to determine how to decode the current small handful of bits (typically in groups of 2 to 8 bits).

Averaging noise to reduce errors[edit]

ECC could be said to work by «averaging noise»; since each data bit affects many transmitted symbols, the corruption of some symbols by noise usually allows the original user data to be extracted from the other, uncorrupted received symbols that also depend on the same user data.

• Because of this «risk-pooling» effect, digital communication systems that use ECC tend to work well above a certain minimum signal-to-noise ratio and not at all below it.
• This all-or-nothing tendency – the cliff effect – becomes more pronounced as stronger codes are used that more closely approach the theoretical Shannon limit.
• Interleaving ECC coded data can reduce the all or nothing properties of transmitted ECC codes when the channel errors tend to occur in bursts. However, this method has limits; it is best used on narrowband data.

Most telecommunication systems use a fixed channel code designed to tolerate the expected worst-case bit error rate, and then fail to work at all if the bit error rate is ever worse.
However, some systems adapt to the given channel error conditions: some instances of hybrid automatic repeat-request use a fixed ECC method as long as the ECC can handle the error rate, then switch to ARQ when the error rate gets too high;
adaptive modulation and coding uses a variety of ECC rates, adding more error-correction bits per packet when there are higher error rates in the channel, or taking them out when they are not needed.

Types of ECC[edit]

The two main categories of ECC codes are block codes and convolutional codes.

• Block codes work on fixed-size blocks (packets) of bits or symbols of predetermined size. Practical block codes can generally be hard-decoded in polynomial time to their block length.
• Convolutional codes work on bit or symbol streams of arbitrary length. They are most often soft decoded with the Viterbi algorithm, though other algorithms are sometimes used. Viterbi decoding allows asymptotically optimal decoding efficiency with increasing constraint length of the convolutional code, but at the expense of exponentially increasing complexity. A convolutional code that is terminated is also a ‘block code’ in that it encodes a block of input data, but the block size of a convolutional code is generally arbitrary, while block codes have a fixed size dictated by their algebraic characteristics. Types of termination for convolutional codes include «tail-biting» and «bit-flushing».

There are many types of block codes; Reed–Solomon coding is noteworthy for its widespread use in compact discs, DVDs, and hard disk drives. Other examples of classical block codes include Golay, BCH, Multidimensional parity, and Hamming codes.

Hamming ECC is commonly used to correct NAND flash memory errors.^[6]
This provides single-bit error correction and 2-bit error detection.
Hamming codes are only suitable for more reliable single-level cell (SLC) NAND.
Denser multi-level cell (MLC) NAND may use multi-bit correcting ECC such as BCH or Reed–Solomon.^[7][8] NOR Flash typically does not use any error correction.^[7]

Classical block codes are usually decoded using hard-decision algorithms,^[9] which means that for every input and output signal a hard decision is made whether it corresponds to a one or a zero bit. In contrast, convolutional codes are typically decoded using soft-decision algorithms like the Viterbi, MAP or BCJR algorithms, which process (discretized) analog signals, and which allow for much higher error-correction performance than hard-decision decoding.

Nearly all classical block codes apply the algebraic properties of finite fields. Hence classical block codes are often referred to as algebraic codes.

In contrast to classical block codes that often specify an error-detecting or error-correcting ability, many modern block codes such as LDPC codes lack such guarantees. Instead, modern codes are evaluated in terms of their bit error rates.

Most forward error correction codes correct only bit-flips, but not bit-insertions or bit-deletions.
In this setting, the Hamming distance is the appropriate way to measure the bit error rate.
A few forward error correction codes are designed to correct bit-insertions and bit-deletions, such as Marker Codes and Watermark Codes.
The Levenshtein distance is a more appropriate way to measure the bit error rate when using such codes.
^[10]

Code-rate and the tradeoff between reliability and data rate[edit]

The fundamental principle of ECC is to add redundant bits in order to help the decoder to find out the true message that was encoded by the transmitter. The code-rate of a given ECC system is defined as the ratio between the number of information bits and the total number of bits (i.e., information plus redundancy bits) in a given communication package. The code-rate is hence a real number. A low code-rate close to zero implies a strong code that uses many redundant bits to achieve a good performance, while a large code-rate close to 1 implies a weak code.

The redundant bits that protect the information have to be transferred using the same communication resources that they are trying to protect. This causes a fundamental tradeoff between reliability and data rate.^[11] In one extreme, a strong code (with low code-rate) can induce an important increase in the receiver SNR (signal-to-noise-ratio) decreasing the bit error rate, at the cost of reducing the effective data rate. On the other extreme, not using any ECC (i.e., a code-rate equal to 1) uses the full channel for information transfer purposes, at the cost of leaving the bits without any additional protection.

One interesting question is the following: how efficient in terms of information transfer can an ECC be that has a negligible decoding error rate? This question was answered by Claude Shannon with his second theorem, which says that the channel capacity is the maximum bit rate achievable by any ECC whose error rate tends to zero:^[12] His proof relies on Gaussian random coding, which is not suitable to real-world applications. The upper bound given by Shannon’s work inspired a long journey in designing ECCs that can come close to the ultimate performance boundary. Various codes today can attain almost the Shannon limit. However, capacity achieving ECCs are usually extremely complex to implement.

The most popular ECCs have a trade-off between performance and computational complexity. Usually, their parameters give a range of possible code rates, which can be optimized depending on the scenario. Usually, this optimization is done in order to achieve a low decoding error probability while minimizing the impact to the data rate. Another criterion for optimizing the code rate is to balance low error rate and retransmissions number in order to the energy cost of the communication.^[13]

Concatenated ECC codes for improved performance[edit]

Classical (algebraic) block codes and convolutional codes are frequently combined in concatenated coding schemes in which a short constraint-length Viterbi-decoded convolutional code does most of the work and a block code (usually Reed–Solomon) with larger symbol size and block length «mops up» any errors made by the convolutional decoder. Single pass decoding with this family of error correction codes can yield very low error rates, but for long range transmission conditions (like deep space) iterative decoding is recommended.

Concatenated codes have been standard practice in satellite and deep space communications since Voyager 2 first used the technique in its 1986 encounter with Uranus. The Galileo craft used iterative concatenated codes to compensate for the very high error rate conditions caused by having a failed antenna.

Low-density parity-check (LDPC)[edit]

Low-density parity-check (LDPC) codes are a class of highly efficient linear block
codes made from many single parity check (SPC) codes. They can provide performance very close to the channel capacity (the theoretical maximum) using an iterated soft-decision decoding approach, at linear time complexity in terms of their block length. Practical implementations rely heavily on decoding the constituent SPC codes in parallel.

LDPC codes were first introduced by Robert G. Gallager in his PhD thesis in 1960,
but due to the computational effort in implementing encoder and decoder and the introduction of Reed–Solomon codes,
they were mostly ignored until the 1990s.

LDPC codes are now used in many recent high-speed communication standards, such as DVB-S2 (Digital Video Broadcasting – Satellite – Second Generation), WiMAX (IEEE 802.16e standard for microwave communications), High-Speed Wireless LAN (IEEE 802.11n),^[14] 10GBase-T Ethernet (802.3an) and G.hn/G.9960 (ITU-T Standard for networking over power lines, phone lines and coaxial cable). Other LDPC codes are standardized for wireless communication standards within 3GPP MBMS (see fountain codes).

Turbo codes[edit]

Turbo coding is an iterated soft-decoding scheme that combines two or more relatively simple convolutional codes and an interleaver to produce a block code that can perform to within a fraction of a decibel of the Shannon limit. Predating LDPC codes in terms of practical application, they now provide similar performance.

One of the earliest commercial applications of turbo coding was the CDMA2000 1x (TIA IS-2000) digital cellular technology developed by Qualcomm and sold by Verizon Wireless, Sprint, and other carriers. It is also used for the evolution of CDMA2000 1x specifically for Internet access, 1xEV-DO (TIA IS-856). Like 1x, EV-DO was developed by Qualcomm, and is sold by Verizon Wireless, Sprint, and other carriers (Verizon’s marketing name for 1xEV-DO is Broadband Access, Sprint’s consumer and business marketing names for 1xEV-DO are Power Vision and Mobile Broadband, respectively).

Local decoding and testing of codes[edit]

Sometimes it is only necessary to decode single bits of the message, or to check whether a given signal is a codeword, and do so without looking at the entire signal. This can make sense in a streaming setting, where codewords are too large to be classically decoded fast enough and where only a few bits of the message are of interest for now. Also such codes have become an important tool in computational complexity theory, e.g., for the design of probabilistically checkable proofs.

Locally decodable codes are error-correcting codes for which single bits of the message can be probabilistically recovered by only looking at a small (say constant) number of positions of a codeword, even after the codeword has been corrupted at some constant fraction of positions. Locally testable codes are error-correcting codes for which it can be checked probabilistically whether a signal is close to a codeword by only looking at a small number of positions of the signal.

Interleaving[edit]

«Interleaver» redirects here. For the fiber-optic device, see optical interleaver.

Interleaving is frequently used in digital communication and storage systems to improve the performance of forward error correcting codes. Many communication channels are not memoryless: errors typically occur in bursts rather than independently. If the number of errors within a code word exceeds the error-correcting code’s capability, it fails to recover the original code word. Interleaving alleviates this problem by shuffling source symbols across several code words, thereby creating a more uniform distribution of errors.^[15] Therefore, interleaving is widely used for burst error-correction.

The analysis of modern iterated codes, like turbo codes and LDPC codes, typically assumes an independent distribution of errors.^[16] Systems using LDPC codes therefore typically employ additional interleaving across the symbols within a code word.^[17]

For turbo codes, an interleaver is an integral component and its proper design is crucial for good performance.^[15][18] The iterative decoding algorithm works best when there are not short cycles in the factor graph that represents the decoder; the interleaver is chosen to avoid short cycles.

Interleaver designs include:

• rectangular (or uniform) interleavers (similar to the method using skip factors described above)
• convolutional interleavers
• random interleavers (where the interleaver is a known random permutation)
• S-random interleaver (where the interleaver is a known random permutation with the constraint that no input symbols within distance S appear within a distance of S in the output).^[19]
• a contention-free quadratic permutation polynomial (QPP).^[20] An example of use is in the 3GPP Long Term Evolution mobile telecommunication standard.^[21]

In multi-carrier communication systems, interleaving across carriers may be employed to provide frequency diversity, e.g., to mitigate frequency-selective fading or narrowband interference.^[22]

Example[edit]

Transmission without interleaving:

Error-free message:                                 aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg
Transmission with a burst error:                    aaaabbbbccc____deeeeffffgggg

Here, each group of the same letter represents a 4-bit one-bit error-correcting codeword. The codeword cccc is altered in one bit and can be corrected, but the codeword dddd is altered in three bits, so either it cannot be decoded at all or it might be decoded incorrectly.

With interleaving:

Error-free code words:                              aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg
Interleaved:                                        abcdefgabcdefgabcdefgabcdefg
Transmission with a burst error:                    abcdefgabcd____bcdefgabcdefg
Received code words after deinterleaving:           aa_abbbbccccdddde_eef_ffg_gg

In each of the codewords «aaaa», «eeee», «ffff», and «gggg», only one bit is altered, so one-bit error-correcting code will decode everything correctly.

Transmission without interleaving:

Original transmitted sentence:                      ThisIsAnExampleOfInterleaving
Received sentence with a burst error:               ThisIs______pleOfInterleaving

The term «AnExample» ends up mostly unintelligible and difficult to correct.

With interleaving:

Transmitted sentence:                               ThisIsAnExampleOfInterleaving...
Error-free transmission:                            TIEpfeaghsxlIrv.iAaenli.snmOten.
Received sentence with a burst error:               TIEpfe______Irv.iAaenli.snmOten.
Received sentence after deinterleaving:             T_isI_AnE_amp_eOfInterle_vin_...

No word is completely lost and the missing letters can be recovered with minimal guesswork.

Disadvantages of interleaving[edit]

Use of interleaving techniques increases total delay. This is because the entire interleaved block must be received before the packets can be decoded.^[23] Also interleavers hide the structure of errors; without an interleaver, more advanced decoding algorithms can take advantage of the error structure and achieve more reliable communication than a simpler decoder combined with an interleaver^{[citation needed]}. An example of such an algorithm is based on neural network^[24] structures.

Software for error-correcting codes[edit]

Simulating the behaviour of error-correcting codes (ECCs) in software is a common practice to design, validate and improve ECCs. The upcoming wireless 5G standard raises a new range of applications for the software ECCs: the Cloud Radio Access Networks (C-RAN) in a Software-defined radio (SDR) context. The idea is to directly use software ECCs in the communications. For instance in the 5G, the software ECCs could be located in the cloud and the antennas connected to this computing resources: improving this way the flexibility of the communication network and eventually increasing the energy efficiency of the system.

In this context, there are various available Open-source software listed below (non exhaustive).

• AFF3CT(A Fast Forward Error Correction Toolbox): a full communication chain in C++ (many supported codes like Turbo, LDPC, Polar codes, etc.), very fast and specialized on channel coding (can be used as a program for simulations or as a library for the SDR).
• IT++: a C++ library of classes and functions for linear algebra, numerical optimization, signal processing, communications, and statistics.
• OpenAir: implementation (in C) of the 3GPP specifications concerning the Evolved Packet Core Networks.

List of error-correcting codes[edit]

• AN codes
• BCH code, which can be designed to correct any arbitrary number of errors per code block.
• Barker code used for radar, telemetry, ultra sound, Wifi, DSSS mobile phone networks, GPS etc.
• Berger code
• Constant-weight code
• Convolutional code
• Expander codes
• Group codes
• Golay codes, of which the Binary Golay code is of practical interest
• Goppa code, used in the McEliece cryptosystem
• Hadamard code
• Hagelbarger code
• Hamming code
• Latin square based code for non-white noise (prevalent for example in broadband over powerlines)
• Lexicographic code
• Linear Network Coding, a type of erasure correcting code across networks instead of point-to-point links
• Long code
• Low-density parity-check code, also known as Gallager code, as the archetype for sparse graph codes
• LT code, which is a near-optimal rateless erasure correcting code (Fountain code)
• m of n codes
• Nordstrom-Robinson code, used in Geometry and Group Theory^[25]
• Online code, a near-optimal rateless erasure correcting code
• Polar code (coding theory)
• Raptor code, a near-optimal rateless erasure correcting code
• Reed–Solomon error correction
• Reed–Muller code
• Repeat-accumulate code
• Repetition codes, such as Triple modular redundancy
• Spinal code, a rateless, nonlinear code based on pseudo-random hash functions^[26]
• Tornado code, a near-optimal erasure correcting code, and the precursor to Fountain codes
• Turbo code
• Walsh–Hadamard code
• Cyclic redundancy checks (CRCs) can correct 1-bit errors for messages at most bits long for optimal generator polynomials of degree , see Mathematics of cyclic redundancy checks#Bitfilters

See also[edit]

• Code rate
• Erasure codes
• Soft-decision decoder
• Burst error-correcting code
• Error detection and correction
• Error-correcting codes with feedback

References[edit]

Further reading[edit]

• MacWilliams, Florence Jessiem; Sloane, Neil James Alexander (2007) [1977]. Written at AT&T Shannon Labs, Florham Park, New Jersey, USA. The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland Mathematical Library. Vol. 16 (digital print of 12th impression, 1st ed.). Amsterdam / London / New York / Tokyo: North-Holland / Elsevier BV. ISBN 978-0-444-85193-2. LCCN 76-41296. (xxii+762+6 pages)
• Clark, Jr., George C.; Cain, J. Bibb (1981). Error-Correction Coding for Digital Communications. New York, USA: Plenum Press. ISBN 0-306-40615-2.
• Arazi, Benjamin (1987). Swetman, Herb (ed.). A Commonsense Approach to the Theory of Error Correcting Codes. MIT Press Series in Computer Systems. Vol. 10 (1 ed.). Cambridge, Massachusetts, USA / London, UK: Massachusetts Institute of Technology. ISBN 0-262-01098-4. LCCN 87-21889. (x+2+208+4 pages)
• Wicker, Stephen B. (1995). Error Control Systems for Digital Communication and Storage. Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice-Hall. ISBN 0-13-200809-2.
• Wilson, Stephen G. (1996). Digital Modulation and Coding. Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice-Hall. ISBN 0-13-210071-1.
• «Error Correction Code in Single Level Cell NAND Flash memories» 2007-02-16
• «Error Correction Code in NAND Flash memories» 2004-11-29
• Observations on Errors, Corrections, & Trust of Dependent Systems, by James Hamilton, 2012-02-26
• Sphere Packings, Lattices and Groups, By J. H. Conway, Neil James Alexander Sloane, Springer Science & Business Media, 2013-03-09 – Mathematics – 682 pages.

External links[edit]

• Morelos-Zaragoza, Robert (2004). «The Correcting Codes (ECC) Page». Retrieved 5 March 2006.
• lpdec: library for LP decoding and related things (Python)

«Цель этого курса — подготовить вас к вашему техническому будущему.»

Привет, Хабр. Помните офигенную статью «Вы и ваша работа» (+219, 2442 в закладки, 394k прочтений)?

Так вот у Хэмминга (да, да, самоконтролирующиеся и самокорректирующиеся коды Хэмминга) есть целая книга, написанная по мотивам его лекций. Мы ее переводим, ведь мужик дело говорит.

Это книга не просто про ИТ, это книга про стиль мышления невероятно крутых людей. «Это не просто заряд положительного мышления; в ней описаны условия, которые увеличивают шансы сделать великую работу.»

Мы уже перевели 26 (из 30) глав. И ведем работу над изданием «в бумаге».

Глава 12. Коды с коррекцией ошибок

(За перевод спасибо Mikhail Sheblaev, который откликнулся на мой призыв в «предыдущей главе».) Кто хочет помочь с переводом — пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru

В этой главе затронуты две темы: первая, очевидно, коды с коррекцией ошибок, а вторая — то, как иногда происходит процесс открытия. Как Вы все знаете, я официальный первооткрыватель кодов Хэмминга с коррекцией ошибок. Таким образом я, по-видимому, имею возможность описать, как они были найдены. Но вам необходимо остерегаться любых рассказов подобного типа. По правде говоря, в то время я уже очень интересовался процессом открытия, полагая во многих случаях, что метод открытия более важен, чем то, что открыто. Я знал достаточно, чтобы не думать о процессе во время исследований, так же, как спортсмены не думают о технике, когда выступают на соревнованиях, но отрабатывают её до автоматизма. Я также выработал привычку возвращаться назад после больших или малых открытий и пытаться отследить шаги, которые к ним привели. Но не обманывайтесь; в лучшем случае я могу описать сознательную часть и малую верхушку подсознательной части, но мы просто не знаем магии работы подсознания.

Я использовал релейный вычислитель Model 5 в Нью-Йорке, подготавливая его к отправке в Aberdeen Proving Grounds вместе с некоторым требуемым программным обеспечинием (главным образом математические программы). Если с помощью 2-из-5 блочных кодов обнаруживалась ошибка, машина, оставленная без присмотра, могла до трёх раз подряд повторять ошибочный цикл, прежде чем отбросить его и взять новую задачу, надеясь, что проблемное оборудование не будет задействовано в новом решении. Я был в то время, как говорится, старшим помощником младшего дворника, свободное машинное время я получал только на выходных — с 17-00 пятницы до 8-00 понедельника — это была уйма времени! Так я мог бы загрузить входную ленту с большим количеством задач и пообещать моим друзьям, вернувшись в Мюррей Хилл, Нью-Джерси, где находился исследовательский департамент, что я подготовлю ответы ко вторнику. Ну, в одни выходные, как только мы уехали вечером пятницы, машина полностью сломалась и у меня совершенно ничего не было к понедельнику. Я должен был принести извинения моим друзьям и пообещать им ответы к следующему вторнику. Увы! Та же ситуация случилась снова! Я был мягко говоря разгневан и воскликнул: «Если машина может определить, что ошибка существует, почему же она не определит где ошибка и не исправит её, просто изменив бит на противоположный?» (На самом деле, использованные выражения были чуть крепче!).

Заметим первым делом, что этот существенный сдвиг произошёл только потому, что я испытывал огромное эмоциональное напряжение в тот момент и это характерно для большинства великих открытий. Спокойная работа позволит вам улучшить и подробнее разработать идеи, но прорыв обычно приходит только после большого стресса и эмоциональной вовлечёности. Спокойный, холодный, не вовлечённый исследователь редко делает действительно большие новые шаги.

Вернёмся к рассказу. Я знал из предыдущих обсуждений, что конечно можно было бы соорудить три экземляра вычислителя, включая сравнивающие схемы, и использовать исправление ошибок методом голосования большинства. Но чего бы это стоило! Конечно, были и лучшие методы. Я также знал, как обсуждалось в предыдущей главе, о классной штуке с контролем чётности. Я разобрался в их строении очень внимательно.
С другой стороны, Пастер сказал: «Удача любит подготовленных». Как видите, я был подготовлен моей предыдущей работой. Я более чем хорошо знал кодирование «2-из-5», я понимал их фундаментально и работал и понимал общие последствия контроля чётности.

Рис. 12.I

После некоторых размышлений я понял, что если я расположу биты любого символа сообщения в виде прямоугольника и запишу чётность каждого столбца и каждой строки, то две непрошедшие проверки чётности покажут мне координаты одной ошибки и это будет включать угловой добавленный бит чётности (который мог быть установлен соответственно, если я имел нечётные значения) Рис. 12.I. Избыточность, отношение того, что Вы используете, к минимально необходимому количеству, есть

Любому, ко изучал матанализ, очевидно, что чем ближе прямоугольник к квадрату, тем меньше избыточность для сообщения того же размера. И, конечно, большие значения m и n были бы лучше, чем малые, но тогда риск двойной ошибки был бы велик с инженерной точки зрения. Заметим, что если две ошибки случаются, то Вы имеете: (1) если они не в одной строке или столбце, то просто две строки и два столбца содержат ошибки и мы не знаем, какая диагональная пара вызвала их; (2) если две ошибки случились в одной строке (или столбце), то у вас есть только один столбец (строка) и ни одной строки (столбца).

Перенесёмся сейчас на несколько недель позднее. Чтобы попасть в Нью-Йорк, я должен был добраться чуть раньше в Мюррей Хилл, Нью-Джерси, где я работал, и прокатиться на машине, доставляющей почту для компании. Ну да, поездка через северный Нью-Джерси ранним утром не очень живописна, поэтому я завёл привычку пересматривать свои достижения, так что перо вертелось в руках автоматически. В частности я крутил в голове прямоугольные коды. Внезапно, и я не знаю причин для этого, я обнаружил, что если я возьму треугольник и размещу биты контроля чётности на диагонали с тем, чтобы каждый бит проверял столбец и строку одновременно, то я получу более приемлемую избыточность, Рис 12.II.

Моя самодовольность вмиг исчезла! Получил ли я на сей раз лучший код? Спустя несколько миль размышления по этому поводу (помните, ничего не отвлекает в пейзаже северного Нью-Джерси) я понял, что куб информационных битов с контролем чётности по каждой плоскости и проверкой чётности по осям, по всем трём осям, даст мне три координаты для ошибки ценой всего 3n-2 проверок чётности для целого кодированого сообщения длины n^3. Лучше! Но было ли это самым лучшим решением? Нет! Будучи математиком, я быстро понял, что 4-х мерный куб (я не должен был размещать биты так, только обозначить внутренние связи) будет ещё лучше. Таким образом, даже более высокая размерность была бы ещё лучше. Вскоре стало ясно (скажем, миль через 5), что куб размерности 2х2х2х… х2 с n+1 проверкой чётности был бы лучше — очевидно!

Но однажды обожегши пальцы, я не собирался соглашаться с тем, что выглядело хорошо — я уже сделал эту ошибку прежде! Мог бы я доказать, что это было лучшим решением? Как это доказать? Один очевидный подход был в том, чтобы попробовать подсчитать параметры, у меня был n+1 контрольный бит, отображаемый в строку из n+1 битов, т.е. двоичное число длины n+1 разрядов, и это могло представить произвольный объект длины 2^{n+1}. Но мне был нужен только 2^n+1 разряд, 2^n точек в кубе плюс один бит, подтверждающий, что сообщение корректно. Я не учёл в рассмотрении почти что половину битов. Увы! Я прибыл к двери компании, зарегистрировался и пошёл на конференцию, дав идее вылежаться.

Когда я возвратился к идее после нескольких дней отвлекающих событий (в конце концов, предполагалось, что я способствовал командным усилиям компании), я наконец решил, что хороший подход должен будет использовать синдром ошибки как двоичное число, указывающее место ошибки, с, конечно, всеми нулевыми битами в случае корректного результата (более лёгкий тест, чем для всех единиц на большинстве компьютеров). Заметьте, знакомство с двоичной системой, которая не была тогда распространена (1947-1948) неоднократно играло заметную роль в моих построениях. Это плата за знание большего, чем нужно сиюминутно!
Как Вы сконструируете этот частный случай кода, исправляющего ошибки? Легко! Запишите позиции в двоичном коде:

Теперь очевидно, что проверка чётности в правой половине синдрома должна включать все позиции, имеющие 1 в правом столбце; вторая цифра справа должна включить числа, имеющие 1 во втором столбце и т.д. Поэтому Вы имеете:

Таким образом, если ошибка происходит в некотором разряде, соответствующие проверки чётности (и только эти) провалятся и дадут 1 в синдроме, это составит в точности двоичное представление позиции ошибки. Это просто!

Чтобы увидеть код в действии, мы ограничимся 4 битами для сообщениями и 3 контрольными позициями. Эти числа удовлетворяют условию

которое очевидно является необходимым условием, а равенство — достаточным. Выберем для положения битов проверки (так, чтобы контроль чётности был проще ) контрольные разряды 1, 2 и 4. Позиции для сообщения — 3, 5, 6 7. Пусть сообщение будет

1001

Мы (1) запишем сообщение в верхней строке, (2) закодируем следующую строку, (3) вставим ошибку в позиции 6 на следующей строке и (4) на следующих трёх строках вычислим три проверки чётности.

Применим проверки чётности к полученному сообщению:

Двоичное число 110 -> 6, следовательно измените в позиции 6, отбросьте контрольные разряды 1, 2 и 4 и Вы получите оригинальное сообщение, 1001.

Если это кажется волшебством, подумайте о сообщении из всех 0, которое будет иметь контрольные позиции в 0, а после представьте изменение одного бита и Вы увидите как позиция ошибки перемещается, а следом двоичное число синдрома соответственно изменится и будет точно соответствовать положению ошибки. Затем обратите внимание, что сумма любых двух корректных сообщений является всё ещё корректным сообщением (проверки чётности являются аддитивными по модулю 2, следовательно корректные сообщения образуют аддитивную группу по модулю 2). Корректное сообщение даст все нули, следовательно сумма корректных сообщений плюс ошибка одном разряде даст положение ошибки независимо от отправляемого сообщения. Проверки чётности концентрируются на ошибке и игнорируют сообщение.

Теперь сразу очевидно, что любой обмен любыми двумя или больше из столбцов, однажды согласованных на каждом конце канала, не будет иметь никакого существенного эффекта; код будет эквивалентен. Точно так же перестановка 0 и 1 в любом столбце не даст существенно различных кодов. В частности, (так называемый) Код Хемминга является просто красивым переупорядочиванием, и на практике Вы могли бы проверять контрольные биты в конце сообщения, вместо того, чтобы рассеивать их посреди сообщения.

Как насчёт двойной ошибки? Если мы хотим поймать (но не исправить) двойную ошибку, мы просто добавляем единственную новую проверку чётности к целому сообщению, которое мы отправляем. Давайте посмотрим то, что тогда произойдёт на Вашем конце канала.

Исправление одиночных ошибок плюс обнаружение двойных ошибок часто является хорошим балансом. Конечно, избыточность в коротком сообщении из 4 битов, теперь с 4 битами проверки, плоха, но число проверочных битов растёт (грубо ) как логарифм от длины сообщения. Слишком длинное сообщение — и Вы рискуете получить двойную неисправляемую ошибку (которую при помощи кода с исправлением одной ошибки Вы «исправите» в третью ошибку), слишком короткое сообщение — и стоимость избыточности слишком высока. Снова инженерные рассуждения в зависимости от конкретного случая…

Из аналитической геометрии Вы усвоили значимость использования дополняющих алгебраических и геометрических представлений. Естественное представление строки битов должно использовать n-мерный куб, каждая строка которого является вершиной куба. Используя эту картинку и наконец заметив, что любая одна ошибка в сообщении перемещает сообщение вдоль одного ребра, две ошибки — вдоль двух ребер и т.д., я медленно понял, что я должен был действовать в пространстве $L_1$. Расстояние между элементами есть количество разрядов, в которых они различаются. Таким образом у нас есть метрика на пространстве и она удовлетворяет трём стандартным условиям для расстояния (см Главу 10 где определяется стандартное расстояние в L_1).

Таким образом я должен был отнестись серьёзно к тому, что я знал как абстракцию Пифагоровой функции расстояния.

Имея понятие расстояние, мы можем определить сферу как все точки (вершины, поскольку всё рассматривается в множестве вершин), на фиксированном расстоянии от центра. Например, в 3-мерном кубе, который может быть легко нарисован, Рис. 12.III, точки (0,0,1), (0,1,0), и (1,0,0) находятся на единичном расстоянии от (0,0,0), в то время как точки (1,1,0), (1,0,1), и (0,1,1) находятся на расстоянии 2 далее, и наконец точка (1,1,1) находится на расстоянии 3 от начала координат.

Перейдём теперь в пространство с n измерениями и нарисуем сферу единичного радиуса вокруг каждой точки и предположим, что сферы не пересекаются. Очевидно, что центры сфер есть элементы кода и только эти точки, тогда результатом получения любой единичной ошибки в сообщении будет «не-кодовая» точка и Вы сможете понять откуда эта ошибка пришла. Она будет внутри сферы вокруг точки кода, которую я вам послал, что эквивалентно сфере радиуса 1 вокруг точки кода, которую Вы получили. Следовательно, у нас есть код с коррекцией ошибок. Минимальное расстояние между кодовыми точками равно 3. Если мы используем не пересекающиеся сферы радиуса 2, тогда двойная ошибка может быть исправлена, потому что полученная точка будет ближе к оригинальной кодовой точке, чем к любой другой точке; минимальное расстояние для двойной коррекции равно 5. Следующая таблица показывает эквивалентность расстояния между кодовыми точками и «исправимостью» ошибок:

Таким образом построение кода с коррекцией ошибок в точности то же, что построение множества кодовых точек в n-мерном пространстве

которое имеет необходимое минимальное расстояние между легальными сообщениями, так как условия, приведенные выше, необходимы и достаточны. Также должно быть понятно, что мы можем обменять исправление ошибок на их обнаружение — откажитесь от исправления одной ошибки и Вы получите обнаружение ещё двух вместо.

Ранее я показал как разработать коды, удовлетворяющие условиям в случае, когда минимальное расстояние равно 1,2, 3 или 4. Коды с большими минимальными расстояниями не так легко описываются и мы не пойдем далее в этом направлении. Легко найти верхнюю оценку того, насколько велики могут быть кодовые расстояния. Очевидно, что количество точек в сфере радиуса k есть (C(n, k) — биномиальный коэффициент)

Следовательно, если мы разделим объём всего пространства, 2^n, на объём сферы, то частное будет оценкой сверху числа не пересекающихся сфер, т.е. точек кода, в соответствующем пространстве. Чтобы получить дополнительное обнаружение ошибок, мы как и прежде добавим полную проверку чётности, таким образом увеличив минимальное расстояние, которое было 2k+1, до 2k+2 (так как любые две точки на минимальном расстоянии будут иметь одинаковую чётность, увеличим минимальное расстояние на 1).

Давайте подведём итог, где мы теперь. Мы видим, что надлежащим построением кода мы можем создать систему из ненадёжных частей и получить гораздо более надёжную машину, и мы видим сколько мы должны заплатить за это оборудование, хотя мы не исследовали стоимость скорости вычисления, если мы создаём компьютер с таким уровнем коррекции ошибок. Но я ранее упомянул другую выгоду, а именно обслуживание при эксплуатации, и я хотел бы напомнить о нём снова. Чем более изощрённое оборудование, а мы очевидно движемся в этом направлении, тем более насущным является эксплуатационное обслуживание, коды с исправлением ошибок означают, что оборудование не только будет давать (возможно) верные ответы, но и может быть успешно обслужено низкоквалифицированным персоналом.

Использование кодов с обнаружением ошибок и кодов с коррекцией ошибок постоянно растёт в нашем обществе. Отправляя сообщения с космических кораблей, посланных к дальним планетам, мы часто располагаем 20 ваттами мощности или менее (возможно даже 5 ваттами) и используем коды, которые корректируют сотни ошибок в одном блоке сообщения — коррекция производится на Земле, конечно же. Когда Вы не готовы преодолеть шум как в вышеописанной ситуации или в случае «преднамеренного затора», то такие коды — единственный известный выход в этой ситуации.

В конце лета 1961 года во время профессорского отпуска я рулил через всю страну от Стэнфорда, Калифорния к Лаборатории Белл Телефоун в Нью-Джерси. Я запланировал остановку в Моррисе, Иллинойс, где телефонная компания устанавливала первую электронную телефонную станцию, которая была уже не экспериментальной. Я знал, что станция активно использовала коды Хэмминга и, конечно, я был приглашён. Мне сказали, что никогда установка не проходила так легко, как эта. Я сказал себе: «Конечно, именно это я проповедовал в течение прошлых 10 лет». Когда во время начальной наладки все модули установлены и работают должным образом (и Вы в каком-то смысле знаете, что это из-за самопроверок и корректировки), и Вы поворачиваетесь, чтобы перейти к следующим шагам, если что-то пойдёт не так, оборудование вам просто скажет об этом! Лёгкость начальной установки, а также последующего обслуживания, просто была видна невооружённым глазом! Я могу не преувеличивать, исправление ошибок не только приводило к верным результатам во время работы, но и будучи применено правильно, значительно способствовало установке и обслуживанию на месте. И чем более изощрённо оборудование, тем более важны эти вещи!

Я хочу обратиться к другой части этой главы. Я аккуратно рассказал Вам многое из того, с чем я столкнулся на каждом этапе в обнаружении кодов с коррекцией ошибок, и что я сделал. Я сделал это по двум причинам. Во-первых, я хотел быть честным с Вами и показать Вам, как легко, следуя правилу Пастера «Удача улыбнётся подготовленным», преуспеть, просто готовя себя к успеху. Да, были элементы удачи в открытии; но в почти такой же ситуации было много других людей, и они не делали этого! Почему я? Удача, что и говорить, но также я подготовил себя к пониманию того, что происходило — больше, чем другие люди вокруг, просто реагировавшие на явления, когда они происходили, и не думающие глубоко относительно того, что было скрыто под поверхностью.

Я теперь бросаю вызов Вам. То, что я записал на нескольких страницах, было сделано в течение в общей сложности приблизительно трёх — шести месяцев, главным образом рабочих, в моменты обычного исполнения моих рабочих обязанностей в компании. (Патентование отсрочило публикацию более чем на год). Может ли кто-либо сказать, что он, на моём месте, возможно, не сделал бы это? Да, Вы так же способны, как и я, были сделать это — если бы Вы были там, и Вы подготовились также!

Конечно, проживая свою жизнь, Вы не знаете к чему готовиться — Вы хотите совершить нечто значительное и не потратить всю Вашу жизнь, являясь «швейцаром науки» или чем Вы ещё занимаетесь. Конечно, удача играет видную роль. Но насколько я вижу, жизнь дарит Вам многие, многие возможности для того, чтобы сделать нечто большое (определите это как хотите сами) и подготовленный человек обычно достигает успеха один или несколько раз, а неподготовленный человек будет проваливаться почти каждый раз.

Вышеупомянутое мнение не основано на этом опыте, или просто на моих собственных событиях, это — результат изучения жизней многих великих учёных. Я хотел быть учёным, следовательно я изучил их, и я изучил открытия, произошедшие там, где я был, я задавал вопросы тем, кто сделал это. Это мнение также основано на здравом смысле. Вы растите в себе стиль выполнения больших свершений, и затем, когда возможность находится, Вы почти автоматически реагируете с максимальной крутизной в своих действиях. Вы обучили себя думать и действовать надлежащим способам.

Существует один противный тезис, который надо упомянуть, однако, что быть великим в эпоху — это не то, что нужно в последующие годы уточнить. Таким образом Вы, готовя себя к будущим великим свершениям (а их возможность более распространена и их легче достигнуть, чем Вы думаете, так как не часто распознают большие свершения, когда это происходит под носом), необходимо думать о природе будущего, в котором Вы будете жить. Прошлое является частичным руководством, и единственное, что Вы имеете помимо истории, есть постоянное использование Вашего собственного воображения. Снова, случайный перебор случайных решений не приведёт Вас куда либо так далеко, как решения, принятые с Вашим собственным видением того, каким Ваше будущее должно быть.

Я и рассказал и показал Вам, как быть великим; теперь у Вас нет оправдания того, что Вы не делаете этого!

Продолжение следует…

Кто хочет помочь с переводом, версткой и изданием книги — пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru

Кстати, мы еще запустили перевод еще одной крутейшей книги — «The Dream Machine: История компьютерной революции»)