Advances in Adaptive Computational Methods in Mechanics
E. Stein, … M. Schmidt, in Studies in Applied Mechanics, 1998
4 A NUMERICAL EXAMPLE
We chose a ‘rectangular plate with a circular hole under plane strain constraint’ and unidirectional monotonous loading for numerical tests of the different error sources and their indicators, Fig. 1a.
Figure 1a:. Benchmark system: Stretched square plate with a hole in plane strain, h = 200, r = 10
Three material parameters describe linear isotropic elastic and perfect plastic deformations, while mixed linear and nonlinear isotropic hardening with saturation need additionally three parameters, Table 2.
Table 2. Material parameters
| 1. | Young’s modulus | E = 206900.00 N/mm2 |
| 2. | Poisson’s ratio | ν = 0.29 |
| 3. | Initial yield stress | y0 = 450.00 N/mm2 |
| 4. | Saturation stress | y∞ = 750.00 N/mm2 |
| 5. | Linear hardening modulus | h = 129.00 N/mm2 |
| 6. | Hardening exponent | ω = 16.93 |
From a priori error considerations the adaptive computation of the above example starts with a sequence of graded meshes, ranging from 64 bilinear elements with 25 nodes to 8192 bilinear elements with 8385 nodes, Figs. 2b. Additionally, a reference solution with 24200 bilinear elements, 24642 nodes and 49062 d.o.f. was computed. In order to obtain comparable results for all meshes and material equations, some selected points were chosen for data evaluation, Figs. 1a, 2b and Table 3. In the following sections, spatial distributions of the different error indicators are shown for a load factor of λ = 4.5 where the critical load for perfect plasticity is λcrit = 4.66 and λcrit = 7.89 for nonlinear hardening material. The load was applied in 18 load steps which renders the time discretization error negligible against the spatial discretization errors. All given results hold for hardening material, Table 2
Figure 2b:. Smallest mesh with 16 elements a = 61.953, b = 28.047, c = 131.421
Table 3. Selected points and data of system in Fig. 1a,1b
| Physical quantity | node No. | |
|---|---|---|
| Displacement | ux | 2 |
| Displacement | uy | 4 |
| Displacement | ux | 5 |
| Stress | σxx | 7 |
Figure 1b:. Upper left quarter, using symmetry conditions, with point numbers of computed data
Figure 2a:. v. Mises stresses at λ = 4.5 for hardening material
.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0922538298800068
INTRODUCTION
G.M. PHILLIPS, P.J. TAYLOR, in Theory and Applications of Numerical Analysis (Second Edition), 1996
Section 1.2
- 1.2
-
Show that an a priori error bound for the result of the bisection method for finding √a with 0 < a < 1 is
|x−√a| ≤ (1−a)/2N,
where N is the number of iterations completed.
- 1.3
-
In Algorithm 1.1 we have at each stage
|x−√a| ≤ x1−x02.
Show that if
(x1−x0)2<4aε2,
then the relative error in x as an approximation to √a satisfies
|x−√a√a|<ε.
Hence modify the algorithm so that the iterations stop when the relative error is less than ε.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780125535601500021
Computational Error and Complexity in Science and Engineering
V. Lakshmikantham, S.K. Sen, in Mathematics in Science and Engineering, 2005
2.4.1 A priori versus a posteriori error analysis
The main function of the a priori error analysis is to show if an algorithm is stable. If it is not then the job of the analysis is to determine the reasons for its instability. In this analysis, we do not assume that a solution has already been obtained.
Having obtained an approximate solution, we can obtain sharper backward error bounds in a posteriori error analysis. Let λ and x be the computed eigenvalue and the corresponding normalized eigenvector (||x|| = 1) of the n × n matrix A. If we write the residual r = Ax – λx as (A – rxH)x = λx then the computed λ and computed x are exact for the matrix A – rxH. The matrix A has an eigenvalue in the interval [λ – ||r||, λ + ||r||] if A is Hermitian.
When solving linear system Ax = b, we can compute the residual r = Ax — b, where x is the computed solution vector. An improved solution x – Δx of the system can then be obtained by solving the system AΔx = r. Further improvement (iterative refinement) can be achieved by replacing x by x – Δx and solving AΔx = r.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0076539205800530
Spline Adaptive Filters
Michele Scarpiniti, … Aurelio Uncini, in Adaptive Learning Methods for Nonlinear System Modeling, 2018
3.4.2 Steady-State MSE
The aim of this paragraph is to evaluate the mean square performance of some of the proposed architectures at steady state. In particular, we are interested in the derivation of the EMSE of the nonlinear adaptive filter [2]. For simplicity we limit our analysis to the case of the Wiener and Hammerstein systems. The steady-state analysis is performed in a separate manner, by considering first the case of the linear filter alone and then the nonlinear spline function alone. Note that, since we are interested only in the steady state, the fixed subsystem in each substep can be considered adapted. The analysis is conducted by using a model of the same type of the used one, as shown in Fig. 3.5 for the particular case of the WSAF. Similar schemes are valid for the other kinds of architectures.
Figure 3.5. Model used for statistical performance evaluation, in the particular case of the WSAF.
In the following we denote with ε[n] the a priori error of the whole system, with εw[n] the a priori error when only the linear filter is adapted while the spline control points are fixed and similarly with εq[n] the a priori error when only the control points are adapted while the linear filter is fixed. In order to make tractable the mathematical derivation, some assumption must be introduced:
- A1.
-
The noise sequence v[n] is independent and identically distributed with variance σv2 and zero mean.
- A2.
-
The noise sequence v[n] is independent of xn, sn, ε[n], εw[n] and εq[n].
- A3.
-
The input sequence x[n] is zero mean with variance σx2 and at steady state it is independent of wn.
- A4.
-
At steady state, the error sequence e[n] and the a priori error sequence ε[n] are independent of φi′(un), φi′2(un), ‖xn‖, ‖sn‖, ‖CTun‖ and ‖CTUi,nwn‖.
The EMSE ζ is defined at steady state as
(3.30)ζ≡limn→∞E{ε2[n]}.
Similar definitions hold for the EMSE ζw due to the linear filter component wn only and the EMSE ζq due to the spline nonlinearity qn only.
The MSE analysis has been performed by the energy conservation method [2]. Following the derivation presented in [41] and [44] we obtain an interesting property.
Proposition 1
The EMSE ζ of a Wiener and a Hammerstein spline adaptive filter satisfies the condition
(3.31)ζ≈ζw+ζq.
The values of ζw and ζq are dependent on the particular SAF architecture considered. Specifically, for the Wiener case, we have [44]
(3.32)ζw=μw[n]σv2E{φi′2(un)‖xn‖2}2Δx2E{φi′(un)c3qi,n}−μw[n]E{φi′2(un)‖xn‖2},
where c3 is the third row of the C matrix and
(3.33)ζq=μq[n]σv2E{‖CTun‖2}2−μq[n]E{‖CTun‖2}.
Other useful properties on the steady-state performances of the WSAF can be found in [44]. For the Hammerstein case, we have [41]
(3.34)ζw=μw[n]σv2E{‖sn‖2}2−μw[n]E{‖sn‖2}
and
(3.35)ζq=μq[n]σv2E{‖CTUi,nwn‖2}2−μq[n]E{‖CTUi,nwn‖2}.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B978012812976000004X
Advances in Adaptive Computational Methods in Mechanics
T. Coupez, … J.L. Chenot, in Studies in Applied Mechanics, 1998
2 FINITE ELEMENT SOLVER AND ADAPTIVE ANALYSIS
Most of the adaptive schemes are based on the convergence properties and the associated a priori error estimate of the finite element method. It assumes that a mesh independent solution exists and that the numerical solutions approximate it. More precisely, it is expected that the error decreases along with the mesh size parameter. In this context, the behavior of finite element method is well known for linear elasticity problems and it has been extended to incompressible materials both in fluid and solid applications through the mixed finite element theory [5].
Both in metal and polymer forming, the viscoplastic behavior of the material can be modeled by a flow formulation, the viscosity being a function of the second invariant of the strain rate tensor ε(v):
(1)ηεv=K2|εv|m−1.
On a time depending domain Ω, inertia effects and volume forces being negligible, the velocity v and pressure p fields are solution of the following problem:
(2)∇⋅2ηεvεv−∇p=0∇⋅v=0inΩon∂Ω∩∂Ov−vO.n>0andτ=0orv−vO.n=0,andτ=αv−vOv−vO,
The inequality characterizes the unilateral contact boundary condition which plays a crucial role in the applications presented here. vO denotes the velocity of the contacting rigid bodies (the forming tools) described by the domain O, n being the outside normal of its boundary ∂Ο. The relationship which gives the tangent shear stress τ at the interface matter/tool as a function of the relative tangent velocity follows a power friction law. The viscoplasticity coefficient m usually ranges between 0 and 1. It is often around 0.1 in hot metal forming applications.
The solvers behind the applications presented in this paper are designed to be used with triangle elements in 2D and tetrahedral elements in 3D, making it possible to deal with general meshing techniques detailed after. In 2D the mixed finite element will be based on the Crouseix-Raviart element (P2 + /P1) and on the P2/P0 element [16]. In 3D, we use a first order element entering in the mini-element family [1]. The bubble is constructed with a pyramidal function which is condensed at the element level, without taking into account the nonlinear part of the behavior law [9]. This element enters in the equivalent class of stable/stabilized mixed formulation [20, 15, 27]. An important advantage of this formulation is to enable a fully parallel iterative solution [14].
Despite of the unilateral contact condition, this flow formulation can be analyzed in term of a generalized Stokes problem. From the numerical analysis standpoint, the convergence of the finite element method for the viscoplastic problem (quasi-Newtonian flow) has been analyzed in term of the a priori estimate in [3], using the W1,m + 1 norm, m being the viscoplastic power index. In term of the a posteriori estimate, the residual technique introduced for the Stokes equation [30] has been extended to the quasi-Newtonian flows [2]. In engineering, the error analysis is often based on an energy norm point of view. In this context, the simple Zienkiewicz-Zhu adaptive procedure [25] based on the smoothness of the stress tensor has been adopted in [18, 17, 19] from which several 2D examples are presented in this paper. From the mechanical point of view, a constitutive relation error analysis has been introduced by Ladeveze and specifically applied to elastoplastic materials [24].
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0922538298800214
FINITE ELEMENT METHODS
S.S. Rao, in Encyclopedia of Vibration, 2001
Error Estimation
The error estimation procedures can be grouped into two distinct types: a priori and a posteriori estimates. A priori error estimates are based upon the characteristics of the solution and provide qualitative information about the asymptotic rate of convergence. The classic a priori error estimate is given by:
[88]‖u−uh‖m≤chp,p=k+1−m>0
where k is the degree of the interpolation polynomial, h is the characteristic length of an element, p is the rate of convergence, and c is a constant. Eqn (88) gives not only the rate at which the FE solution approaches the exact solution, but also indicates how one can improve the solution. We can decrease the mesh size (called h-convergence) or increase the order of the interpolation polynomial (called p-convergence). Incorporating both h— and p-convergences produces the h − p convergence technique. For illustration, consider the differential equation:
[89]d2udx2+2=0;0<x<1
with:
[90]u(0)=u(1)=0
The exact solution of the problem is:
[91]u(x)=x(1−x)
and the FE solutions are given by, for different number of elements, N:
ForN=2:uh(x)={hx,0≤x≤hh2(2−xh),h≤x≤2h}
[93]ForN=3:uh(x)={2hx,0≤x≤h2h2,h≤x≤2h2h2(3−xh),2h≤x≤3h}
[94]ForN=4:uh(x)={3hx,0≤x≤h2h2+hx,h≤x≤2h6h2−hx,2h≤x≤3h3h2(4−xh),3h≤x≤4h}
The energy and L2 norms can be determined using N = 2(h = 0.5), N = 3(h = 0.333) and N = 4(h = 0.25) and the results are given in Table 3. These results are shown plotted in Figure 6 using a log–log scale. The slopes of the plots represent measures of the rates of convergence. The results indicate that the error in the energy and L2 norms have different rates of convergence; the error in the energy norm is of order one lower than the error in the L2 norm. Physically, this indicates that derivatives (stresses in structural problems) converge more slowly than the values themselves (displacements in structural problems). A priori estimates are adequate for determining the convergence rate of a particular FE element solution, but they lack the ability to give quantitative information about the local or global errors of the solution. If refinement of the solution is to be performed, quantitative estimates are clearly needed to determine whether refinement is needed in any given area of the computational domain. For this reason, a posteriori (after the solution of the problem) error estimates are developed. Many researchers have developed different estimates over the years and all the methods can be grouped into four categories: (i) dual analysis; (ii) Richardson’s extrapolation; (iii) residual type of estimator; and (iv) postprocessing type of estimator.
Table 3. A priori estimates of the error in the energy and L2 norms
| h | ∥e∥0 | ∥e∥1 |
|---|---|---|
| 0.5 | 0.04564 | 0.2923 |
| 0.333 | 0.02029 | 0.1935 |
| 0.25 | 0.01141 | 0.1443 |
Figure 6. Energy and L2 norms of error with mesh size.
In the dual analysis, the principles of complementary energy and potential energy are applied to obtain upper and lower bounds, respectively, on the energy of the exact solution. Since the potential and complementary energy principles are fundamentally different, two separate programs are to be used for this analysis. In addition, the solution based on complementary energy is very difficult and hence the dual analysis is not commonly used. The Richardson’s extrapolation is a numerical analysis technique for estimating the error in the solution by solving the problem with two different grid sizes, provided the functional form of the solution is known. In the context of the FE method, the a priori analysis provides the functional form. Similar to the dual analysis, the extrapolation technique is a classic method of error estimation that has proven to be computationally very expensive in order to compete with other more efficient methods and hence is not widely used.
The residual type of error estimation can be understood by considering the FE solution of the following boundary value problem, stated in operator form:
[95]Au+f=0
When the FE finite element solution uh, is used, eqn (95) leads to the residual R:
[96]Auh+f=R≠0
Eqn (96) shows that the residual effectively acts as a separate forcing function in the differential equation. This leads to the concept that the FE solution is the exact solution to a perturbed problem with a supplementary pseudo-force system. Subtracting eqn (96) from [95] produces:
[97]Ac+R=0
where e = u − uh is the error. Hence the estimation of the error in the problem amounts to finding the solution of this problem. The residual R is composed of residuals in the interior of the domain as well as residuals on the boundary. The domain residuals are determined by substituting the FE solution into the differential equation. The boundary residuals, however, are more complicated since the derivatives of uh, may not be continuous along the boundary.
For the postprocessing type of estimator, the error in the FE stress solution (obtained by differentiating the FE displacement solution) is defined as:
[98]eσ=σ−σh
Then the error in the energy norm is computed as:
[99]‖e‖=u−uh‖=(∫VeσTD−1eσdV)1/2
where D is the elasticity matrix. An estimator to eσ can be produced by replacing σ in eqn (98) by the recovered solution σ*:
[100]eσ≈eσ*=σ*−σh
where σ* is interpolated from the nodal values using the same basis functions N as those used for uh.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B0122270851000047
Partial-update adaptive filters
Kutluyıl Doğançay, in Partial-Update Adaptive Signal Processing, 2008
4.7.6 Set-membership partial-update APA
Set-membership filtering aims to maintain a bound on the output error magnitude of an adaptive filter. Adaptive filter coefficients are only updated when the a priori error magnitude exceeds a predetermined threshold γ. The resulting update mechanism is sparse in time and provides an important reduction in power consumption. The set-membership partial-update NLMS updates M out of N coefficients with largest regressor norm whenever |e(k)|>γ. The coefficient updates are constructed to achieve |ep(k)|=γ.
Extending the error magnitude bound over P≤M outputs y(k),y(k−1),…,y(k−P+1) and using selective partial updates to limit update complexity leads to the set-membership partial-update APA. At each coefficient update the set-membership partial-update APA solves the following constrained optimization problem:
(4.74a)minIM(k)minwM(k+1)‖wM(k+1)−wM(k)︸δwM(k+1)‖22
subject to:
(4.74b)ep(k)=γ(k)
where γ(k)=[γ1(k),…,γP(k)]T is an error constraint vector with |γi(k)|≤γ. Equation (4.74b) can be rewritten as:
(4.75)
e(k)−ep(k)=e(k)−γ(k)
XM(k)δwM(k+1)=e(k)−γ(k)
For fixed IM(k), (4.74) is equivalent to solving the following underdetermined minimum-norm least-squares problem for δwM(k+1):
(4.76)XM(k)δwM(k+1)=e(k)−γ(k),‖δwM(k+1)‖22 is minimum
with the unique solution given by:
(4.77)δwM(k+1)=XM†(k)(e(k)−γ(k))=XMT(k)(XM(k)XMT(k))−1(e(k)−γ(k))
where XM(k)XMT(k) is assumed to be invertible. Introducing a regularization parameter to avoid rank-deficient matrix inversion we finally obtain the set-membership partial-update APA recursion for fixed IM(k):
(4.78)wM(k+1)=wM(k)+μ(k)XMT(k)(ϵI+XM(k)XMT(k))−1(e(k)−γ(k))
where:
(4.79)μ(k)={1if |e(k)|>γ0otherwise
There are infinitely many possibilities for the error constraint vector γ(k). Two particular choices for γ(k) were proposed in (Werner and Diniz, 2001). The first one sets γ(k)=0 which leads to:
(4.80)w(k+1)=w(k)+μ(k)IM(k)XT(k)(ϵI+X(k)IM(k)XT(k))−1e(k)
This recursion, which we call the set-membership partial-update APA-1, uses the selective-partial-update APA whenever |e(k)|>γ and applies no update otherwise. The other possibility for γ(k) is defined by:
(4.81)γ(k)=[γe(k)|e(k)|e2(k)⋮eP(k)]
where e(k)=[e(k),e2(k),…,eP(k)]T with |ei(k)|≤γ for i=2,…,P. This results in:
w(k+1)=w(k)+μ(k)IM(k)XT(k)(ϵI+X(k)IM(k)XT(k))−1u(k),
(4.82)u(k)=[e(k)(1−γ|e(k)|)0⋮0]
which we shall refer to as the set-membership partial-update APA-2.
The optimum coefficient selection matrix IM(k) solving (4.74) is obtained from:
(4.83)
minIM(k)‖XMT(k)(XM(k)XMT(k))−1(e(k)−γ(k))‖22
minIM(k)(e(k)−γ(k))T(XM(k)XMT(k))−1(e(k)−γ(k))
which is similar to the minimization problem for the selective-partial-update APA in (4.70). Thus, a simplified approximate coefficient selection matrix for the set-membership partial-update APA is given by (4.64). Note that the full implementation of (4.83) would be computationally expensive and, therefore, we do not advocate its use.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123741967000106
Approaches to partial coefficient updates
Kutluyıl Doğançay, in Partial-Update Adaptive Signal Processing, 2008
2.6.1 Constrained optimization
Let us assume a linear adaptive filter with output signal y(k)=wT(k)x(k). Then we have:
(2.82)
e(k)=d(k)−y(k)a priori error
ep(k)=d(k)−wT(k+1)x(k)a posteriori error
The a posteriori error gives the error signal at the adaptive filter output when the current adaptive filter coefficients are replaced with the updated coefficients. Using the principle of minimum disturbance, a selective-partial-update adaptive filtering algorithm is derived from the solution of the following constrained optimization problem:
(2.83a)minIM(k)minwM(k+1)‖wM(k+1)−wM(k))‖22
subject to:
(2.83b)ep(k)−(1−μ‖xM(k)‖22ϵ+‖xM(k)‖22)e(k)=0
where ϵ is a small positive regularization constant which also serves the purpose of avoiding division by zero, wM(k) is an M×1 subvector of w(k) comprised of entries given by the set {wj(k):ij(k)=1}, and xM(k) is an M×1 subvector of x(k) defined similarly to wM(k). Here the ij(k) are the diagonal elements of the coefficient selection matrix IM(k). Note that wT(k)IM(k)w(k)=‖wM(k)‖22 and xT(k)IM(k)x(k)=‖xM(k)‖22. Thus wM(k) is the subset of adaptive filter coefficients selected for update according to IM(k). For example, if N=3 and M=2, IM(k) and wM(k) are related as follows:
IM(k)=diag(1,1,0),wM(k)=[w1(k),w2(k)]TIM(k)=diag(1,0,1),wM(k)=[w1(k),w3(k)]TIM(k)=diag(0,1,1),wM(k)=[w2(k),w3(k)]T.
Using this relationship between IM(k) and wM(k), we have ‖wM(k+1)−wM(k))‖22=‖IM(k)(w(k+1)−w(k))‖22 in (2.83). Since only the coefficients identified by IM(k) are updated, an implicit constraint of any partial-update technique, including (2.83), is that:
(2.84)w(k+1)−w(k)=IM(k)(w(k+1)−w(k))
We will have occasion to resort to this partial-update ‘constraint’ in the sequel.
The constrained optimization problem in (2.83) may be solved either by using the method of Lagrange multipliers as we shall see next or by formulating it as an underdetermined minimum-norm estimation problem. We will use the latter approach when we discuss the ℓ1 and ℓ∞-norm constrained optimization problems later in the section. Suppose that IM(k) is fixed for the time being. Then we have:
(2.85a)minwM(k+1)‖wM(k+1)−wM(k))‖22
subject to:
(2.85b)ep(k)−(1−μ‖xM(k)‖22ϵ+‖xM(k)‖22)e(k)=0.
The cost function to be minimized is:
(2.86)J(wM(k+1),λ)=‖wM(k+1)−wM(k))‖22+λ(ep(k)−(1−μ‖xM(k)‖22ϵ+‖xM(k)‖22)e(k))
where λ is a Lagrange multiplier. Setting:
(2.87)∂J(wM(k+1),λ)∂wM(k+1)=0and∂J(wM(k+1),λ)∂λ=0
yields:
(2.88a)wM(k+1)−wM(k)−λ2xM(k)=0
(2.88b)(w(k+1)−w(k))Tx(k)−μe(k)‖xM(k)‖22ϵ+‖xM(k)‖22=0
From (2.88a) we have:
(2.89a)(wM(k+1)−wM(k))TxM(k)=λ2xMT(k)xM(k)
(2.89b)=(w(k+1)−w(k))Tx(k)
since only the adaptive filter coefficients selected by IM(k) are updated [see (2.84)]. Substituting (2.89) into (2.88b) yields:
(2.90)λ=2μe(k)1ϵ+‖xM(k)‖22
Using this result in (2.88a) gives the desired adaptation equation for fixed IM(k):
(2.91)wM(k+1)=wM(k)+μϵ+‖xM(k)‖22e(k)xM(k)
What remains to be done is to find IM(k) that results in the minimum-norm coefficient update. This is done by solving:
(2.92)minIM(k)‖μϵ+‖xM(k)‖22e(k)xM(k)‖22
which is equivalent to:
(2.93)maxIM(k)‖xM(k)‖22+ϵ2‖xM(k)‖22
If any M entries of the regressor vector were zero, then the solution would be:
(2.94)minIM(k)‖xM(k)‖22
which would select the adaptive filter coefficients corresponding to the M zero input samples. For such an input (2.83) would yield the trivial solution wM(k+1)=wM(k). However, this solution is not what we wanted. We get zero update and therefore the adaptation process freezes while we could have selected some non-zero subset of the regressor vector yielding a non-zero update. This example highlights an important consideration when applying the principle of minimum disturbance, viz. the requirement to avoid the trivial solution by ruling out zero regressor subsets from consideration. Letting ϵ→0 does the trick by replacing (2.93) with:
(2.95)maxIM(k)‖xM(k)‖22
The solution to this selection criterion is identical to the coefficient selection matrix of the M-max LMS algorithm:
(2.96)IM(k)=[i1(k)0⋯00i2(k)⋱⋮⋮⋱⋱00⋯0iN(k)],ij(k)={1if |x(k−j+1)|∈max1≤l≤N(|x(k−l+1)|,M)0otherwise
If the step-size parameter μ in the optimization constraint obeys the inequality:
(2.97)|1−μ‖xM(k)‖22ϵ+‖xM(k)‖22|<1
then the a posteriori error magnitude is always smaller than the a priori error magnitude for non-zero e(k). This condition is readily met if 0<μ<2 with μ=1 yielding ep(k)≈0.
Combining (2.91) and (2.96) we obtain the solution to (2.83) as:
(2.98)w(k+1)=w(k)+μϵ+‖IM(k)x(k)‖22e(k)IM(k)x(k)
This algorithm is known as the selective-partial-update NLMS algorithm. When M=N (i.e. all coefficients are updated) it reduces to the conventional NLMS algorithm. The M-max NLMS algorithm is defined by:
(2.99)w(k+1)=w(k)+μϵ+‖x(k)‖22e(k)IM(k)x(k)
The selective-partial-update NLMS algorithm differs from the M-max NLMS algorithm in the way the step-size parameter μ is normalized. The following discussion will show that the selective-partial-update NLMS algorithm is a natural extension of Newton’s method.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123741967000088
Kurtosis-based, data-selective affine projection adaptive filtering algorithm for speech processing application
S. Radhika, A. Chandrasekar, in Applied Speech Processing, 2021
1.4.1 Steady-state mean square analysis
The update recursion of the proposed DS-APA is written as follows:
(1.16)wk+1=wk+μATkδI+AkATk−1ekifγminσn2≤ek2≤γmaxσn2wkotherwise
In order to obtain steady-state MSE, Eq. (1.7) is taken. Substituting for d(k) and y(k) in e(k) we get e(k) = woTx(k) + n(k) − wTx(k).The error consists of two terms, namely, a priori error and a posteriori error vectors as follows:
(1.17)eak=Akw~k
(1.18)epk=Akw~k+1
where w~k=woT−wTk is the weights error vector. In order to resolve the nonlinearity present in Eq. (1.16), the model introduced in Section 1.2 is used in Eq. (1.16) as
(1.19)wn+1=wk+μPupdateATkδI+AkATk−1ek
Eq. (1.19) is still more nonlinear due to the presence of Pupdate, which lies between 0 and 1 and is valid only for a certain range given by Eq. (1.10).
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128238981000059
Elements of Computational Methods
Riccardo Sacco, … Aurelio Giancarlo Mauri, in A Comprehensive Physically Based Approach to Modeling in Bioengineering and Life Sciences, 2019
3.3.1.1 Error Analysis
In this section we consider the case of the interpolation of a given continuous function f:[a,b]→R. For any x∈R, the interpolation error is defined as
(3.29)Enf(x):=f(x)−Πnf(x).
The principal aim of the polynomial interpolation process is the uniform convergence of Πnf to f as a function of the polynomial degree n.
Definition 3.10
We say that Πnf converges uniformly to f if
(3.30)limn→∞Πnf(x)=f(x)∀x∈[a,b].
The following a priori error estimate can be proved.
Theorem 3.3
Given n+1 distinct nodes xi∈[a,b] and given a function f∈Cn+1([a,b]), we have
(3.31)‖Enf‖C0([a,b])⩽1(n+1)!‖f(n+1)‖C0([a,b])‖ωn+1‖C0([a,b]),
where ‖⋅‖C0([a,b]) denotes the norm for the space C0([a,b]) introduced in (2.120) and ωn+1∈Pn+1 is the nodal polynomial defined as
(3.32)ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)…(x−xn)=Πi=0n(x−xi).
Remark 3.6
The a priori error estimate (3.31) clearly indicates that a sufficient condition in order for (3.30) to be satisfied is
(3.33)limn→∞1(n+1)!‖f(n+1)‖C0([a,b])‖ωn+1‖C0([a,b])=0.
A glance at the three terms contributing to (3.33) shows that the first term becomes very small as n grows, the second term depends only on the given function f, whereas the third term depends on the distribution of the interpolation nodes xi, i=0,…,n. This issue plays a relevant role, as outlined in Example 3.4.
Example 3.3
We apply to the case of Example 3.2 the interpolating polynomial approximation on a set of n+1 equally spaced nodes. We show in Fig. 3.8 the logarithmic plot of the error as a function of n, for n∈[1,15]. We see that the interpolating polynomial approximation is uniformly converging because the maximum error continues to decrease as n becomes large. The Matlab commands to be run to obtain Fig. 3.8 are listed in the script 28.8.
Figure 3.8. Uniform convergence of polynomial interpolation on equally spaced nodes. Plot of the logarithm of the maximum error in absolute value for f(x)=sin(x) over [a,b]=[0,10]. The degree n varies between 1 and 15.
Example 3.4 Runge’s counterexample
Let f(x)=1/(1+x2) and [a,b]=[−5,5]. The function f is known as Runge’s function and it represents the example of a smooth function for which the uniform convergence condition (3.30) is not satisfied. The essence of the example is clarified by Fig. 3.9, which shows the result of having interpolated the function f with a polynomial Πnf of degree n on n+1 nodes equally distributed in [a,b], where n takes the values 1, 5, 10 and 15. We see that, as n increases, oscillations of increasing size occur throughout the interval [a,b], being much larger in the neighborhood of the endpoints of the interval. This trend gets even worse if larger values of the polynomial degree n are considered. Fig. 3.9 can be obtained by running the Matlab script 28.9.
Figure 3.9. Polynomial interpolation of Runge’s function over [−5,+5]. The interpolating nodes xi, i = 0,…,n are equally distributed on [a,b]. The degree n takes the values 1, 5, 10 and 15. A legend in the figure associates the linestyle of each interpolating polynomial with the corresponding value of n. The solid line in cyan color (light gray in the printed version) represents Runge’s function.
The negative conclusions that can be drawn from Example 3.4 suggest that a safer approach to polynomial interpolation should be taken in order to ensure that the uniform convergence condition (3.30) is verified for every continuous function f and for every choice of the distribution of the interpolation nodes. This objective can be achieved by resorting to piecewise polynomial interpolations, as described in the next section.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128125182000111
Добро пожаловать!
Войдите или зарегистрируйтесь сейчас!
Войти
-
- Регистрация:
- 17 янв 2014
- Сообщения:
- 10
- Симпатии:
- 0
Здравствуйте дорогие форумчане. Я не совсем геодезист, занимаюсь гидрографией. Но приходится зачастую делать съёмку берегов, причалов, островов. Пользуюсь Credo, и в принципе особеных сложностей с ним не возникало. Скачиваем, импортируем, предабрабатываеи, уравниваем. Исправляем ошибки. Смотрим, что получилось. Сейчас захотелось основательно разобраться с тем, что мы там считаем, не по наитию и не халтурно, как это было раньше. Вроде всё сидит и ладно. Чаще всего выполняем съёмку 500-го масштаба. Прибор двухсекундник. Для топосъёмки развиваем съёмочную сеть.
Так вот возникает ряд вопросов, если не трудно, подскажите, пожалуйста.
1) Какой класс точности для пунктов съёмочной сети устанавливать в Credo? В соответстви с полученной точностью? Вы спросите, а какой вам нужен? А я не знаю, есть ли для съёмочной сети какие-либо требования? Ставлю обычно ОМС 2-го разряда, потому как разрешает 14 секунд между полуприёмами, куда чаще я и поподаю, точнее не получается или что то с прибором.
2) В СП 11-104-97 в п.5.25 говорится, что погрешности положения пунктов не должны превышать 0,1 мм в масштабе плана…. Это не более 5 см для М 1:500. Где это посмотреть в Кредо? В какой ведомости? m – что ли?
3) В ведомости оценки точности плановой сети что значит СКО направлений фактическое 23, Априорная 7? В чём оно в градусах? А ppm что такое?
4) А в ведомости характеристика теодолитных ходов Fb факт. -0°00’57» больше чем допустимое Fb доп. 0°00’45» значит плохо что ли? Что такое S/Fs 25891 и каким оно должно быть?
5) После уравнивание какие-то доверительные интервалы выскакивают? Какая то теория вероятностей:
Априорные характеристики:
Доверительная вероятность: α = 0.955
СКО единицы веса: μ = 1.000
Доверительные границы: 0.593 < σ < 2.957
По результатам уравнивания:
СКО единицы веса: μ = 1.315
Доверительные границы: 0.779 < σ < 3.889
Это зачем? О чём говорит и сколько надо, чем меньше тем лучше и чтоб поподал в интервалы?
6) В ГКИНП-02-033-82 (ИНСТРУКЦИЯ ПО ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ СЪЕМКЕ В МАСШТАБАХ 1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500) Таблица 14.Что такое ms = 0,2 мм, ms = 0,3 мм и 1/N: 1/2000, 1/3000
На что вообще следует смотреть при обработке данных в кредо, в смысле оценки точности измерений.
Ясно, что общей теории не хватает. Но после поисков и чтения различных инструкций и снипов, каши в голове не поубавилось. Извините, что так много вопросов в одном посту.#1
-
Форумчанин
Слава Голубцов,
Именно. Но как правило 95% геодезистов не хватает
1.Тут пляшите либо от инструкции(если на неё ориентируетесь) либо от своего прибора. Можно создать свой класс с точностями прибора (направления и расстояния).
2.Да, m- это погрешность, она же СКО (среднеквадратическое отклонение)
3.Априорная- до уравнивания. Т.е. по выставленным классам программа прикидывает что должно получиться. У Вас может получиться чуть больше, т.к. программа учитывает только ошибки инструмента (без ошибок центрировки и наведения). В данном случае указано в секундах
ppm- parts per million, т.е. можно понимать как миллиметров на километр. ошибка в 2 ppm означает 2 мм на 1 км. Т.е. у линии длинной 200 м ско будет 0,4 мм
4.Да, в допуски надо попадать. Допуски устанавливаются для класса или инструкцией. формула (доверительный коэффициент)*(точность измерения углов)*(корень из количества станций). первые 2 указаны в инструкции, хотя обычно указана просто формула на количество станций. В кредо доверительный коэффициент выбирается в свойствах проекта, точность берется из класса точности. Если Вы не ориентируетесь на инструкцию, то поставьте его 3.
5.Про разбор этого уже когда-то писалось#2
-
- Регистрация:
- 17 янв 2014
- Сообщения:
- 10
- Симпатии:
- 0
Сева Папкин, Спасибо большое., помогли разобраться. Пока писал сообщение сам много понял, и вы разъяснили.
#3
Поделиться этой страницей
Априорная ошибка: определение, значение, предложения
Предложения с «априорная ошибка»
| Другие результаты |
| Примеров к «априорная ошибка» не найдено. |
На данной странице приводится толкование (значение) фразы / выражения «априорная ошибка», а также синонимы, антонимы и предложения, при наличии их в нашей базе данных.
Мы стремимся сделать толковый словарь English-Grammar.Biz, в том числе и толкование фразы / выражения «априорная ошибка», максимально корректным и информативным. Если у вас есть предложения или замечания по поводу корректности определения «априорная ошибка», просим написать нам в разделе «Обратная связь».
- Авторы
- Файлы
- Литература
Чепкасов В.Л.
1
Михайлова Т.Л.
1
1 ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
1. Маклюэн М. Понимание Медиа: внешние расширения человека; перевод с английского В.Г. Николаева / М. Маклюэн. – М.: Гиперборея, 2007. – 464 с.
2. Кохановский В.П. Основы философии науки /В.П. Кохановский и др. – М.: Феникс, 2007. – 608 с.
3. Кант И. Критика чистого разума; пер. с нем. Н. Лосского сверен и отредактирован Ц.Г. Арзаканяном / И. Кант. – М.: Мысль, 1994. – 591 с.
4. Беляев Е.А. Философские и методологические проблемы математики / Е.А. Беляев, В.Я. Перминов. – М.: Моск. ун-та, 1981. – 217 с.
5. Бонола Р. Неевклидова геометрия: Критико-историческое исследования ее развития; пер. с итал. А. Кулишер/ Р. Бонола. – М.: Едиториал УРСС, 2010. – 224 с.
6. Зотов А.Ф. Философия: Учебник; 2-е изд., перераб. и доп./ А.Ф. Зотов, В.В. Миронов, А.В. Разин. – М.: Академический Проект; Трикста, 2004. – 688 с.
7. Декарт Р. Правила для руководства ума / Р. Декарт // Соч. в 2 т. Т. 1. – М.: Мысль, 1989. – С. 77–153.
8. Беркли Дж. Трактат о принципах человеческого знания; пер. с англ. А. Ф. Грязнова и др. / Дж. Беркли // Сочинения. – М.: Мысль, 1978. – С. 149 – 249.
9. Куайн У.В.О. Две догмы эмпиризма; пер. с англ. Т. А. Дмитриев / У. В. О. Куайн // Слово и объект. – М.: Праксис; Логос, 2000. – 386 с.
10. Репин В.Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем/ В.Г. Репин, Г.П. Тартаковский. – М.: Советское радио, 1977.–432 с.
11. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники; 3-е изд., перераб. и доп. / Б.Р. Левин. – М.: Советское радио, 1989. – 653 с.
12. Кравченко А.И. Тезисы о неопределённости/ А.И. Кравченко // UNIVERSITATES. – М.: Наука и просвещение, 2014. №4. – С. 14 – 19.
13. Мануйлов, Н.В. Категория неопределенности в структуре научного познания: Автореф. канд. филос. наук / Н. В. Мануйлов. – Л., 1985. – 22 с.
14. Лакофф Дж. Метафоры, которыми мы живем; пер. с англ. А. Н. Баранова /Дж. Лакофф, М. Джонсон. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 256 с.
15. Лакофф Дж. Женщины, огонь и опасные вещи. Что категории языка говорят нам о мышлении; пер. с англ. И. Шатуновский/ Джордж Лакофф. – М.: Гнозис. 2011. – 792 с.
16. Ивина А.А. Философия: Энциклопедический словарь/ А.А. Ивина. – М.: Гардарики, 2004. – 1072 с.
17. Брауэр Л.Э.Я. Об основах математики/ Л.Э.Я Брауэр, А. Гейтинг // Собрание сочинений. Т. 1. – Amst.-Oxf.-N.H., 1976 – С. 11–116.
18. Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество / Г. Вейль // Математическое мышление. – М.: Наука, 1989. – С. 214 – 256.
19. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое; пер. с нем. И.А. Акчурина, Э.П. Андреева, В.В. Бибихина / В. Гейзенберг. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1989. – 400 с.
20. Касавин И.Т. Энциклопедический словарь по эпистемологии / И.Т. Касавин. – М.: Альфа-М, 2011. – 480 с.
«Здесь поднят принципиальный вопрос, почему в материальном мире мы снова и снова встречаем повторяющиеся формы и качества».
В. Гейзенберг
Актуальность исследования состоит в осмыслении проблем познания, отсылающих нас к постоянным дискуссиям о природе математического знания. Проблема, инициирующая выбор темы, может быть обозначена как проблема истолкования геометрических объектов как абстрактных конструкций, описывающих форму и интерпретацию вырабатываемых понятий. Таким образом, целью статьи является определение термина «априорная неопределенность» как основания классификации геометрических объектов, что неизбежно сопряжено с выявлением различных подходов относительно научного познания в целом, пересекающихся с использованием понятия «априорная неопределенность». В свою очередь, анализируемое понятие как составляющая проблемы самодостаточности математики при классификации геометрических объектов – инициирует выход на исследование изменения соотношения эмпирического и теоретического как некой оси координат, в лоне которой рассматривается проблема получения достоверного знания, составляющая которой – проблема самодостаточности математики при классификации геометрических объектов.
Получение информации о геометрических объектах тесно связано с механизмами восприятия. Существует гипотеза о том, что восприятие является классифицирующей системой, способной обучаться. Построение информационной модели на основе классифицирующей системы позволит производить распознавание геометрических объектов, их классификацию без знания каких-либо особенностей объектов и расширение системы знаний для последующей классификации. Объекты классификации, в сущности, являются абстрактными конструкциями, а абстрактных конструкций не существует в реальном мире. Связь абстрактных конструкций и объектов реального мира задается в отношениях и свойствах. Процесс самой классификации и обучения есть часть познания.
Р. Декарт, как все философы Нового времени, видел цель познания в овладении силами природы, что предполагало осуществление методологической революции, суть которой состояла в разработке метода как инструмента конструирования нового мира. Методологическая революция, осуществленная Декартом в XVII веке, стала отправной точкой, способствующей появлению автономной науки, детища западной цивилизации, осмысление плодов которой заставляет обращаться к базовым проблемам, касающимся процесса познания, его средств, методов и, конечно, человека как его субъекта. Совершенствование человека понималось им с тех же методологических позиций, как и обоснование науки, т.е. смысл картезианской этики можно определить как медленное подчинение воли разуму посредством следования нормам как некому инструментальному началу. Рационализм, таким образом, нравственное совершенствование связывает с изобретениями технических средств, к которым можно отнести и математические инструменты. Таким образом, картезианский «проект всеобщей математики», наметивший радикальный поворот мысли, выдвинул новый тип знания, позволяющий получать достоверное знание и метод, на основании которого выводится любое знание, столь же достоверное, как и основополагающее. Процесс познания изменяет инструмент познания, позволяя получить более достоверное знание, чем предыдущее, но это совершенно не значит, что оно будет другим. Оказывается, все не так однозначно; с одной стороны, действительно, происходит так, но с другой, может оказаться, что знания и технологии будут ограничивать процесс познания. Конечно, это весьма отдаленная перспектива, но расширение природы человека приведет к «катастрофе», и наступит время «радикального скептицизма» Д. Юма. Расширение природы человека посредством технологий приведет к тому, что сейчас называется «разум в колбе» – мысленный эксперимент, демонстрирующий зависимость человека в понимании действительности от его субъективных ощущений, что сродни «физиологической модели» субъективного идеализма Дж. Беркли.
Для иллюстрации этой мысли дадим простор голосу канадского мыслителя XX века. В работах М. Маклюэна технологии и внешние расширения человека – «воронка», затягивающая человечество вниз, и чтобы «выжить», нужно выпрыгнуть из нее [1, с. 53]. Но все не столь пессимистично: это настроение есть скорее предостережение. Наиболее интересным является второй и третий вопрос о технологиях, сформулированный М. Маклюэном: а) «что заберет новая технология» [1, с.54] и б) «что будет продолжать новая технология» [1, с. 107]. Первый вопрос наталкивает на мысль, чего все же мы лишимся, разработав новую технологию, получив новый ее вид. Технологии могут лишать способности мыслить, проецируя вывод Р. Декарта – «не мыслить, значит не существовать». Мыслить – не значит познавать, но «познавать без мыслить» – не получится. Второй вопрос о технологиях можно трактовать как продолжение чувства: как протез продолжает конечность, так некоторая технология – чувства. Очки продолжают зрительное восприятие. Продолжение может искажать восприятие, а значит, и деформировать результат познания.
Существуют различные формы познания, например, философское и научное. Если говорить о философском познании, то нужно сказать, что это особая форма целостного познания мира. Целое редуцируется в частях, а части дедуцируются в целое. Научное познание – это процесс получения объективного, истинного знания [2, с.199]. Понятие научности заключается в открытии законов, изучении многообразия явлений, определении практической применимости законов; здесь наиболее важным является научная интуиция и дедуктивное мышление. При развитии науки определяется некоторый набор понятий и выводов, и необязательно опытных, на которые опирались бы теории. Такие понятия и формируют основные положения.
Научное познание разделяется традиционно на два уровня: эмпирический и теоретический. В обычном понимании такого разделения эмпирический уровень предшествует теоретическому уровню, а теоретический уровень – это не что иное, как обобщение результатов эмпирического уровня в законах и теориях. Разделение на такие уровни намечается уже у Платона в его книге «Государство», где он выделяет два рода: чувственно-воспринимаемое и познаваемое умом (умопостигаемое). Платон делает упор на то, что хоть ощущения и позволяют познавать, но ощущения не дают достоверную информацию, тогда как разум позволяет узреть истину. Значительно позже И.Кант, «дедушка конструктивизма», пишет: «Существуют два основных ствола человеческого познания, вырастающие, быть может, из одного общего, но неизвестного нам корня, а именно чувственность и рассудок: посредством чувственности предметы нам даются, рассудком же они мыслятся» [3, с. 46].
Попытка описать пространство и материальные объекты привела к зарождению геометрии и понятию геометрических объектов. Формально геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции. Аксиоматические построения описаны у Евклида в его трактате «Начала». В математическом описании объектов предполагается полная абстракция от смысла слов используемого языка, а все основания выносятся на базовый уровень и высказываются посредством аксиом и правил. Конечно, со стороны математики стало возможно описывать сложную пространственную геометрию при помощи хорошего математического аппарата, с другой стороны, исследования и геометрические обоснования связывались с опытом. Ведь на тот момент уже был аккумулирован большой багаж понятий и опытов. Евклидова геометрия – это не единственная геометрия.
В XIX веке профессор Н.И. Лобачевский представил доклад с изложением основ новой геометрии; главная идея доклада была в том, что одна из аксиом Евклида невыводима из других аксиом, то есть, не связана, а значит, можно построить другую геометрию, такую же непротиворечивую, как и евклидова [4, с.48]. На сегодняшний день существуют и неевклидовы геометрии, например, сферическая геометрия, Риманова геометрия или геометрия многообразий [5]. Факты существования других геометрий и обоснование бесконечно малых исчислений – актуализируют вопрос о природе математического знания. Вопрос о том, математическое знание есть истинное знание, знание априори или математика – это опытная наука, и, следовательно, все постулаты рождаются из опыта или, если апеллировать к И. Канту, то вопрос сводится к следующему: «математическое знание мыслится или дается»? Так или иначе, изначально размышления геометрии выводятся из опыта, если опираться на историю. Сама же геометрия, если подходить к вопросу о геометрии менее строго, есть не что иное как инструмент познания мира, объективной действительности.
Традиционно выделяются два направления познания – эмпирическое и теоретическое, и значит, два направления относительно трактовки природы математического знания, в частности, и геометрии. Теоретическое знание было уже у Платона. Геометрические фигуры и числа представляли собой категориальные структуры парадейгмы и эйдосы [6, с. 84]. Такое рассмотрение переориентирует ум с переходящего бытия на подлинно-сущее и определенное в себе. А сами категории позволяют связывать знания геометрических фигур с философией и, наоборот, осуществлять переход от философии к геометрии. Иначе говоря, философия выполняет инструментальную роль в обосновании природы геометрических объектов. Противником такой позиции был Аристотель, ученик Платона. У него геометрические объекты (под объектами понимаются линии, поверхности и тела) – это лишь абстракции от воспринимаемых чувственно вещей и их свойств [6, с. 375]. Действительно, математика работает с абстрактными объектами. Выделяют два противоположных подхода к математике: развитие математики рационализмом и эмпиризмом. С точки зрения рационализма, математика – основание наиболее достоверного знания. Характерным представителем такой точки зрения является Р. Декарт. Для эмпиризма – любое знание выводится из опыта, например, воззрения Дж. Беркли.
Основанием у Р. Декарта является знаменитая фраза «я мыслю, следовательно, существую». То есть мысль или непосредственное интеллектуальное созерцание есть фундамент всякого знания, и всякое знание должно базироваться на таком созерцании, интуиции, дающей возможность прямого усмотрения истины. Видеть истину возможно только тогда, когда мы имеем дело с наиболее простыми и вместе с тем фундаментальными понятиями – теми, которые недоступны никакому анализу и представлению через другое [7, с.95].
Противоположным мнением обладал Дж. Беркли. Он подчеркивает, что математика, а значит, и геометрия, как никакая другая наука, склонна к заблуждениям и противоречиям. Основания науки, а в особенности математики, должны с особой тщательностью подходить к процедуре образования понятий. Беркли показывает, что небрежности в понятиях могут вызвать ошибки и парадоксы в науке. Правильно образованным понятие Беркли считал то, которое непосредственно выражает чувства: «Существует лишь то, что воспринимается, а все остальное есть способ репрезентации воспринятого» [8, с.156]. Число и фигура – репрезентации, по мнению Беркли. С другой стороны, объединяя понятия, можно от частного описания прийти к общему тем или другим способом, создать абстрактные конструкции, которым не соответствует никакие ощущения. Беркли предлагал отчистить математику от беспочвенных абстракций.
Картезианство оказывается более выигрышно с точки зрения развития математического естествознания, поскольку объясняет эффективность математики в исследованиях объективной действительности. Однако критика со стороны эмпиризма оказывается оправданной, так как предлагает установить границы применимости математики и в, частности, геометрии. И. Кант в работах обосновал использование математики в естествознании, определив границы этой математики. Именно благодаря Канту, термин априори получил определяющее значение в теории познания, приобретя инструментальный статус. Априори – это знание, полученное до опыта и независимо от него, то есть знание, выводимое рассудком или умом [3, c.32]. Противоположностью априори является апостериори – знание, полученное из опыта или опытное знание [3, с.33]. Когда говорим об априорности познания, необходимо отметить критику в её отношении.
Уиллард В.О. Куайн считал незаконными как сам термин «априори», так и различие между аналитическими и синтетическими суждениями. Куайн утверждал: «Но, при всей её априорной разумности, граница между аналитическими и синтетическими высказываниями просто не была проведена. То, что подобного рода различие вообще должно быть проведено, есть неэмпирическая догма эмпириков, метафизический символ веры» [9, с. 12]. Со стороны диалектического материализма, априорное знание не может существовать. Дело в том, что в основе учения лежит тезис о происхождении всякого знания, в конечном счете, из практики.
Важным является то, что постпозитивисты, такие представители как Т. Кун и И. Лакатос – фактически не исключают наличия в науке априорного знания. К этому типу знания относятся исходные предпосылки науки, выбор которых условен и конвенционален [19, 20].
Зачастую термин «априорная неопределенность» понимается в очень узком смысле, как неполное описание наблюдений [10, 11]. В более широком смысле, термин означает отсутствие понятия о видах и параметрах, а так же о самих законах, например, отсутствие информации о какой-либо системе и выполняемой ею функций, а также для сигналов – носителей этой информации. Если говорить только о неопределенности – отсутствие или недостаток определения или информации о чём-либо. Существует точка зрения, суть которой состоит в признании неопределённости фундаментальным свойством природы [12, с.19]. Так, например, понятие «неопределенность» обозначает некий результат и процесс формирования состояния системы по каким-либо условным параметрам, согласно которому исходное состояние системы предопределяет несколько возможных результатов движения такого состояния [13, с.13]. Другими словами, неопределенность есть некая критическая точка, в которой определяется дальнейшее движение. Для систем это может быть как прогресс, так и регресс. Для понятия неопределенности определяют границы, границы определяются именно для термина, маркирующего разграничение неопределенности в микромире и макромире. Если удастся построить математическую модель начального состояния, определив условные параметры процесса детерминации, то удастся выяснить возможные конечные состояния системы. Только вопрос в том, как собственно предлагается определить то, что еще не определено, ведь то, что наблюдаемо в опыте, уже определено и остается только зафиксировать. Априорная неопределенность имеет более глубокий смысл, чем просто неопределенность. С одной стороны, это отсутствие знания до опыта. С другой стороны, опыт оказывается совсем не причем, сам по себе опыт может исказить понимание действительности, самой сути. То есть это, в своем роде, есть подход к изучению изнутри в противоположность изучения извне.
Определив порознь понятия «априорная» и «неопределенность», отметим, что существует третье понятие, включающее эти два термина. Не трудно обнаружить, что новое понятие, с одной стороны, наследуют признаки, входящие в состав понятий, но и, с другой стороны, имеет нечто своё, специфическое. В процессе синтеза, образования нового понятия, значение одного понятия, накладываясь на значение другого понятия, как бы интерферируя друг с другом, – приводят к образованию нового понятия. Наложение одной области знаний на другую является источником новых видов ощущения и понимания.
Дж. Лакофф отмечал: «Наша обыденная понятийная система, с точки зрения того, как мы мыслим и действуем, суть метафорическая по своей природе» [14, с.25]. В его работе главным является понятие метафоры в том смысле, что это понятийная конструкция, занимающая центральное место в процессе развития мысли. В зависимости от контекста, одно и то же значение метафоры может быть различным. Контекст – достаточно широкое понятие, одна из частей, которую он включает, это убеждения человека, которые сложились в его сознании [15, с.13-71]. Так же один из контекстов понимания – это таксономия. Под таксономией понимаются некие принципы классификации и систематизации. Так же как для понятий и терминов можно говорить об интерпретации геометрических объектов, о получении знаний о структуре объекта, признаках, которыми обладает геометрический объект. Иначе говоря, чтобы получить знания о геометрическом объекте, необходимо провести некоторую классификацию в некотором выработанном множестве понятий.
Классификация геометрических объектов – это разделение этих самых объектов на группы или классы, имеющие общие свойства. Классификация – особый случай применения логической операции деления объёма понятия, представляющий собой некоторую совокупность делений [16, с.371]. Классификация в условиях неопределенности – это многоступенчатое последовательное деление какой-либо совокупности единиц на систему соподчиненных классов. Цель классификации – установление определенной структуры порядка. Устанавливаемая структура порядка должна быть независимой от особенностей какого-либо человека, его восприятия, обучения, запоминания. Дж. Лакофф рассматривает процесс рассуждения, основанный на переносе значения метафор из одного домена понятий в другое [15, с.21]. При попытке такой нечеткой классификации объектов, в конечном счете, могут быть ошибки и парадоксы в системе знаний, основанной на такой классификации.
Дж. Лакофф является одним из основоположников теории воплощенного познания – нового направления философии. В этой теории мышление изучается в рамках телесности. Мышление неразрывно от телесности. Тогда получается, что наше мышление зависит от физиологии тела, и, каким образом устроено физическое тело, таким же образом – мыслительные процессы. Другими словами, мы мыслим так, как позволяет мыслить нам наше тело. Весьма вероятно, что речь не идет о том, как мы мыслим, а о том, в какую сторону развиваются и устраиваются мыслительные процессы. Тогда получается, что классификация не может быть построена иначе, чем так, как построено наше тело. Внешние восприятия обманчивы, и невозможно сказать, что есть правда, а что нет – при чисто эмпирическом подходе. Но понимание, возможно, стоит у истоков правды. И тогда вопрос заключается в том, что такое понимание. Теория Дж. Лакоффа пытается объяснить, что же такое понимание. В большинстве случаев, когда мы получаем информацию об объектах окружающего мира, мы адаптируем ее к представлениям, которые уже сложились, перенося их в определенный контекст. Вероятней всего, мы игнорируем часть информации при таком процессе. Кроме того, происходит ее видоизменение еще до того момента, когда информация поступит в сознание. В итоге, то, что есть в реальности, может не быть тем, что мы чувствуем. Но вот еще другая проблема, положения, полученные чистой логикой, и знания, полученные теоретическим путем, ничего не говорят о действительности. Так и получается, что теоретическое и эмпирическое познание – это две стороны одной монеты. Однако бездоказательно говорить об отсутствии априорного знания, это ненаучно. Получается, что рационализм и эмпиризм нельзя противопоставлять, поскольку мыслительный процесс и восприятие зависит от рационалистической основы, с одной стороны, и эмпирической, с другой. В итоге мыслитель есть одновременно рационалист и эмпирик. Кстати, в своих работах И. Кант пришел к трансцендентальному идеализму, попытавшись соединить рационализм и эмпиризм. У И. Канта разум получает стимул к действию, когда доходит до предела понимания, пытаясь постичь то, что недоступно органам чувств. В конечном счете, для познания нужен как опыт, так и разум. Научная теория Дж. Лакоффа демонстрирует, что в мышление закладываются некоторые основные принципы, в рамках которых идет развитие. Что хоть и отдаленно, но очень напоминает рационалистов. Тогда, например, почему в математику не могут быть заложены такие принципы? Возможно, что и в математику закладываются основные принципы, эпистемологические основания. Так, в геометрии из разработанных аксиом можно выводить знание дедуктивным методом. Формирование некоторого базиса создает мощный конструктивный ресурс для развития. Получаемое знание есть знание априори. При этом всегда можно проверить полученные знания на объектах реального мира, конечно, если это возможно. Итак, процесс познания протекает в активной манипуляции объектами (аксиомами) и построении некоторой модели мира.
Л.Э. Ян Брауэр считал математику вполне самодостаточной дисциплиной, основания которой лежат внутри нее самой. Это значит, что и геометрия является самодостаточной. Идея в том, что посредством одной лишь геометрии можно получать знания о различных геометрических объектах; синтез производится, благодаря хорошо разработанному математическому аппарату, на основании уравнений. В условиях даже полного отсутствия информации о геометрических объектах, то есть априорной неопределенности, – появляется возможность получения необходимых свойств или ключей классификации, тем самым, установления между геометрическими объектами некоторой связи. Последнее есть не что иное, как классификация объектов в условиях априорной неопределенности. Более того, по мнению Я. Брауэра, математика является наиболее чистым выражением фундаментальных интуиций, лежащих в основе всякой когнитивной деятельности. Говоря об интуиции, он, прежде всего, имел в виду интуицию числового ряда, которая, будучи непосредственно ясна сама, задает априорный принцип любого математического рассуждения [17, с. 114]. Это есть синтез объектов, то есть некоторая последовательность конструктивных действий, определенная через некоторый закон. Обоснованность математических понятий оказывалась тождественна их конструктивности.
Д. Гильберт так же использовал идеи конструктивности, предложив формалистическую программу обоснования математики. Программа включала два основных пункта: 1) аксиоматизация основных математических дисциплин; 2) доказательство непротиворечивости аксиоматически заданных теорий в рамках метаматематики. Аксиоматизация означает, что математические объект рассматривались всего лишь как символы или их комбинации, не имеющие никакой сущности и определения. А вот определенность появляется только, благодаря появлению объектов в формулах теории, то есть только тогда, когда появляется описание отношений, в которых они участвуют. Доказательство непротиворечивости математической теоремы – определенная комбинация символов, точно так же, как эта комбинация символов определяет математический объект. Математический объект конструируется по некоторым правилам. Непротиворечивость раскрывается в завершенности и регулярности таких математических объектов. Гильберт считал особенно важным то, что всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию [18, с.242]. При анализе очередного объекта классификации в большей степени упор делается на чувственное познание, воспринимаемое из опыта; зачастую многие геометрические объекты имеют достаточно сложные конструкции. Математический аппарат «подгоняется» под чувственное восприятие. Но оказывается все совсем наоборот. Основываясь на базовых вещах, полученных в той или иной геометрии с тем или иным математическим аппаратам, закладывается способность этого математического аппарата как бы заранее знать о существовании того или иного объекта, который описывается с помощью этого аппарата. Это значит, что в математический аппарат закладывается возможность классификации объектов и ранее неизвестных геометрических объектов, их свойств. Определение параметров объектов тождественно признанию существующей возможности их классификации. Имея некий ключ или критерий классификации, получаем возможность ориентироваться в многообразии геометрических объектов. В свою очередь, классифицированные геометрические объекты позволяют обнаруживать пробелы в существующем знании, что есть основание для диагностических и прогностических процедур; тем самым математический аппарат подталкивается к развитию, более строгой классификации, усовершенствованию, предложению новой классификации. Можно провести некую аналогию с парадигмой у Т.Куна.
В целом можно сказать, что априорная неопределенность становится основанием для классификации геометрических объектов. Классификация объектов оказывается более строгой, позволяя развивать теорию внутри себя, то есть оказывается самодостаточной. Можно выделить несколько основных проблем такого подхода, например, проблема непосредственного чувственного или интеллектуального созерцания. Критерием обоснованности математического знания, а значит, и выводимой классификации, в основании которой лежит априорная неопределенность, – является ясность и простота созерцания, что в некоторой степени вступает в противоречие со знанием, в основе которого лежит априорная неопределенность. Вторая проблема более общего характера состоит в том, где следует искать возможность такого созерцания: дает ли ее сама математика, или оно лежит в иных областях, из которых математика должна быть выведена. В той или иной мере проблемы продолжают определять содержание современных дискуссий.
Проблема понимания и проблема интерпретации вырабатываемых понятий, то есть наполнения их смыслом и значением в условиях априорной неопределенности актуализируется, как никогда ранее. Если говорить о том, что необходима полная абстракция от смысла слов используемого языка, то значит преувеличивать. Чтобы наделить символы, формулы, абстрактные конструкции математики смыслом и значением, необходимо описание отношений, в которых они участвуют, а так же – среды или, иначе говоря, области действия. Тогда эти конструкции будут выступать в роли понятий, имеющих смысл. Такие понятия, созданные исходным аппаратом, будут теми же элементами в разных доменах понятий. Причем, их связь через центральное значение понятий, осуществляется вне зависимости от когнитивной структуры понимающего субъекта. В. Гейзенберг отмечал: «Понимать – это, по-видимому, означает овладеть представлениями, концепциями, с помощью которых мы можем рассматривать огромное множество различных явлений в их целостной связи, иными словами, охватить их» [19, c. 165]. В целом, простое конструирование понятий не ведет к пониманию, а это делает невозможным разработать сколько-нибудь практически значимую информационную модель классифицирующей системы. Скорее выработка понятий должна осуществляться на основе классификаций, дающей возможность образовывать понятия, взаимосвязанные друг с другом, посредством некоторых аксиом как организующего центрированного начала. Современные дискуссии относительно проблемы обоснования математики, как показал материал статьи, отсылают вновь и вновь к исходным положениям, артикуляция которых представляет интерес для исследователей не только проблем математики, но и методологов и философов науки.
Библиографическая ссылка
Чепкасов В.Л., Михайлова Т.Л. АПРИОРНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ КАК ОСНОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ, ИЛИ О КОНСТРУКТИВИСТСКОЙ ПАРАДИГМЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-4.
;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=15223 (дата обращения: 07.06.2023).
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)
Содержание
- Априорная вероятность: суть концепции
- Свойства и области применения априорной вероятности
- Отличие от аппостериорной вероятности
- Примеры использования априорной вероятности
- Пример 1
- Пример 2
- Медицина и использование априорной вероятности в диагностике
- Априорная вероятность и ее роль в инвестициях на финансовых рынках
- Что такое априорная вероятность?
- Примеры использования априорной вероятности на финансовых рынках
- Особенности использования априорной вероятности в инвестировании
- Априорная вероятность в математических расчетах
- Что такое априорная вероятность?
- Формула априорной вероятности
- Примеры использования априорной вероятности в математических расчетах
- Особенности использования априорной вероятности
- Формулы и методы вычисления априорной вероятности
- Интерпретация результатов и возможные ошибки
- Особенности применения априорной вероятности в науке и жизни
- Вопрос-ответ
- Что такое априорная вероятность?
- Как рассчитать априорную вероятность?
- Какие примеры можно привести для априорной вероятности?
- В чем отличие между априорной и апостериорной вероятностями?
- Какая роль априорной вероятности в теории вероятности?
- Может ли априорная вероятность иметь значение больше 1?
Вероятность является одним из фундаментальных понятий математики и статистики, важность которого ощущается в разных сферах жизни. Вероятность может быть определена как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.
Одним из способов определения вероятности является понятие априорной вероятности, которая вычисляется до проведения эксперимента при помощи анализа данных или по другим формулам. Априорная вероятность играет важную роль в предсказании того, какие исходы могут быть ожидаемы при решении каких-либо задач.
Цель этой статьи — рассмотреть априорную вероятность, рассказать о ее специфике и о примерах ее использования в реальной жизни. Мы также обсудим формулы и особенности априорной вероятности, а также некоторые из ее приложений в различных сферах.
Априорная вероятность: суть концепции
Априорная вероятность — это вероятность события, которая определяется до проведения эксперимента. Иными словами, это вероятность, которая определяется на основе знаний и опыта, не связанных с текущими событиями.
Априорная вероятность часто используется в математической статистике и теории вероятностей. Она может быть выражена в виде численного значения или процента.
Например, если мы знаем, что в колоде карт 52 карты и 4 масти, то априорная вероятность того, что случайно выбранная карта будет масти червей, составляет 1/4 или 25%. Это значение не зависит от того, какая карта будет выбрана.
Априорная вероятность может быть использована как отправная точка для вычисления более сложных вероятностей. Например, если мы знаем, что на кону в покере находятся только две карты, мы можем использовать априорную вероятность, чтобы определить вероятность того, что определенная комбинация карт будет выпадать.
Важно отметить, что априорная вероятность может не совсем точно описывать реальность, так как она основывается на предположениях и идеальных условиях. В реальности могут возникнуть другие факторы, которые могут повлиять на вероятность того или иного события.
Свойства и области применения априорной вероятности
Одно из основных свойств априорной вероятности — ее независимость от опыта. Априорная вероятность базируется на знаниях и информации, которые имеются до проведения эксперимента, и не зависит от результатов данного эксперимента. Это свойство позволяет использовать априорную вероятность для прогнозирования и оценки вероятностных характеристик в ситуациях, когда эксперимент еще не был проведен.
Априорная вероятность широко применяется в статистическом анализе и науках, связанных с принятием решений на основе вероятностных оценок. Область применения априорной вероятности включает такие области, как экономика, физика, медицина, психология, биология и другие науки, в которых требуется делать выводы на основе неполной или недостаточной информации.
В анализе данных априорная вероятность может использоваться для оценки вероятности появления определенных результатов при проведении исследования или эксперимента. Также она может быть использована для сравнения различных гипотез и выбора наиболее вероятной из них.
- Априорная вероятность помогает принимать решения в условиях неопределенности.
- Она позволяет оценить степень риска и принять меры для его снижения.
- Априорная вероятность используется для прогнозирования и планирования.
- Она позволяет проводить сравнительный анализ различных гипотез и выбирать наиболее вероятную.
Априорная вероятность является одним из важнейших инструментов анализа данных и принятия решений на основе статистических методов. Правильное использование априорной вероятности позволяет принимать обоснованные решения и уменьшать риски ошибочного выбора.
Отличие от аппостериорной вероятности
Априорная вероятность — это вероятность, которая определяется до получения новой информации. Она основывается на знаниях, полученных из ранее проведенных исследований, опыта и теории.
Аппостериорная вероятность — это вероятность, которая определяется после обработки полученной информации. Она принимается на основе новых данных и может быть скорректирована в зависимости от этих данных.
Отличие между априорной и аппостериорной вероятностью заключается в том, что априорная вероятность принимается на основе предыдущих знаний без учета новой информации, в то время как аппостериорная вероятность учитывает новую информацию и позволяет ее уточнить.
Например, при оценке вероятности события на основе априорной вероятности мы рассчитываем ее принимая во внимание все имеющиеся знания. Но если появляется новая информация, то принимаемые решения могут измениться. В этом случае мы оцениваем вероятность на основе аппостериорной вероятности, которая учитывает новую информацию.
Примеры использования априорной вероятности
Пример 1
Задача: Известно, что в городе A 30% автобусов, 40% трамваев и 30% троллейбусов. Определить вероятность того, что случайный человек, подойдя к остановке, заступит на автобус.
Решение: Для решения задачи нужно использовать формулу условной вероятности:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
где:
- P(A|B) — условная вероятность события A при условии B;
- P(A ∩ B) — вероятность пересечения событий A и B;
- P(B) — вероятность события B.
Таким образом, вероятность того, что случайный человек заступит на автобус, равна:
P(автобус) = P(автобус ∩ остановка) / P(остановка) = (0.3 * 1) / 1 = 0.3
То есть, вероятность заступить на автобус равна 30%.
Пример 2
Задача: В ящике имеются 10 шаров — 5 красных и 5 синих. Из ящика извлекают два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут одного цвета.
Решение: Для решения задачи нужно использовать формулу полной вероятности:
P(A) = Σi=1n P(A ∩ Bi)
где:
- P(A) — вероятность события A;
- Bi — разбиение вероятностного пространства на n непересекающихся событий, где i принимает значения от 1 до n;
- P(A ∩ Bi) — вероятность пересечения событий A и Bi.
Таким образом, вероятность того, что извлеченные шары будут одного цвета, равна:
P(одинаковые цвета) = P(красные) * P(красные ∩ красные) + P(синие) * P(синие ∩ синие) = (5/10) * (4/9) + (5/10) * (4/9) = 4/9
То есть, вероятность вытащить из ящика шары одного цвета равна 4/9.
Медицина и использование априорной вероятности в диагностике
В медицине априорная вероятность играет критическую роль в диагностике заболеваний. Априорная вероятность относится к вероятности наличия определенного заболевания до того, как проводятся тесты или обследования.
Например, если пациент имеет факторы риска для сердечной болезни, то его априорная вероятность быть больным выше, чем у того же пациента без таких факторов риска. Использование этой информации может помочь врачу быстрее и точнее поставить диагноз и предписать лечение.
Кроме того, априорная вероятность может повлиять на выбор методов обследования. Если у пациента есть высокая априорная вероятность на определенное заболевание, то врач может выбрать более точные тесты для его диагностирования.
Важно отметить, что априорная вероятность не всегда определяет диагноз. Она только указывает на вероятность наличия заболевания, что может помочь врачу сделать более обоснованный выбор в пользу дополнительных тестов и диагностических процедур.
Априорная вероятность и ее роль в инвестициях на финансовых рынках
Что такое априорная вероятность?
Априорная вероятность — это вероятность, которая устанавливается на основе логических рассуждений или доступной информации до того, как происходит какое-либо событие. В контексте инвестирования в финансовых рынках априорная вероятность может использоваться для оценки потенциального ущерба или выгоды от конкретной инвестиции.
Примеры использования априорной вероятности на финансовых рынках
Например, использование априорной вероятности может быть полезным при оценке текущей стоимости акции, основываясь на предшествующих данных о ее прошлой прибыльности, уровне риска и других факторах. Также априорная вероятность может помочь инвестору принять решение об инвестировании в новый проект, на основе доступных сведений о его потенциальном успехе или неудаче.
Особенности использования априорной вероятности в инвестировании
Одной из особенностей использования априорной вероятности в инвестировании является возможность изменения вероятности в связи со временем и новыми событиями. Использование априорной вероятности может быть не полным, поскольку она основывается на предположениях и доступной информации, но это может помочь инвесторам принимать более взвешенные и обоснованные решения о своих инвестициях.
Априорная вероятность в математических расчетах
Что такое априорная вероятность?
Априорная вероятность — это вероятность события, которая определяется без учета каких-либо дополнительных данных или наблюдений. В математических расчетах, априорную вероятность можно использовать для вычисления вероятности более сложных событий.
Формула априорной вероятности
Формула априорной вероятности может быть записана как P(A), где A — событие, которое мы хотим рассчитать. Для вычисления априорной вероятности необходимо знать все возможные исходы события и их вероятности.
Примеры использования априорной вероятности в математических расчетах
Примеры использования априорной вероятности в математических расчетах могут включать вероятность того, что монета выпадет орлом или решкой, когда она подбрасывается в воздух.
Если мы знаем, что монета сбалансирована и имеет одинаковый шанс выпадения орла или решки, то априорная вероятность для каждого из этих исходов равна 0,5.
Особенности использования априорной вероятности
Одной из особенностей использования априорной вероятности является ее зависимость от ситуации и опыта. Например, если мы не знаем, что монета сбалансирована, то наша априорная вероятность может быть более высокой или более низкой для одного из возможных исходов.
Кроме того, априорная вероятность может быть изменена на основе новой информации и наблюдений, используя формулу Байеса. Это может помочь уточнить вероятность событий в сложных математических расчетах.
Формулы и методы вычисления априорной вероятности
Одной из формул вычисления априорной вероятности является формула Байеса, которая выглядит следующим образом:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
где P(A|B) — вероятность того, что событие A произойдет при условии, что уже произошло событие B;
- P(A) — априорная вероятность события A;
- P(B|A) — вероятность события B при условии, что уже произошло событие A;
- P(B) — полная вероятность события B.
Другим методом вычисления априорной вероятности является метод экспертных оценок. Суть метода заключается в том, что на основе знаний и опыта экспертов строится вероятностная модель событий. Каждый эксперт оценивает вероятность наступления события на основе своих знаний и опыта, после чего оценки экспертов суммируются и приводятся к общей вероятности.
Также на практике используют метод статистической оценки, основанный на анализе и интерпретации статистических данных. С помощью статистических методов можно оценить вероятности на основе исторических данных и составить статистическую модель событий.
Интерпретация результатов и возможные ошибки
При использовании априорной вероятности возможны риски ошибок, которые могут повлечь неправильные выводы и решения. Одна из возможных ошибок — некорректная интерпретация результатов. Например, вероятность случайного события может оказаться ниже, чем ожидалось, что приведет к искаженному восприятию действительности.
Еще одним потенциальным риском является субъективизм использования априорной вероятности, когда она может быть завышена или занижена из-за субъективных предпочтений или убеждений. Также возможна ошибка связанная с необходимостью учета всех факторов, оказывающих влияние на вероятность события, что может быть не всегда выполнимо или затруднительно.
Для избежания таких ошибок необходимо тщательно изучать все возможные факторы, влияющие на вероятность события, а также использовать объективные данные и статистику. Также полезно предварительно проверять точность и достоверность полученных результатов при помощи других методов, например, выборочного исследования.
- Интерпретация результатов — следует проводить с осторожностью, учитывая все возможные факторы, влияющие на вероятность события;
- Субъективизм — риск завышения или занижения априорной вероятности из-за субъективных предпочтений или убеждений;
- Учет всех факторов — необходимо учитывать все возможные факторы, влияющие на вероятность события, что может быть не всегда выполнимо или затруднительно;
- Проверка результатов — полезно предварительно проверять точность и достоверность полученных результатов при помощи других методов, например, выборочного исследования.
Особенности применения априорной вероятности в науке и жизни
Априорная вероятность является важным инструментом для оценки вероятности наступления событий. В науке она используется для прогнозирования результатов экспериментов и исследований. Например, в физике априорная вероятность может помочь определить вероятность нахождения электрона в определенном месте.
В жизни априорная вероятность часто используется для принятия решений. Например, при выборе лекарства для лечения заболевания, можно использовать априорную вероятность того, что это лекарство сработает или необходимо искать другое.
Одной из особенностей применения априорной вероятности является то, что она может давать только предположения о вероятности наступления событий на основе имеющейся информации. Она не гарантирует реальность или точность возможного исхода.
Также следует учитывать, что априорная вероятность не является статической и может меняться в зависимости от поступающей дополнительной информации.
Наконец, при использовании априорной вероятности необходимо учитывать ее ограничения и недостатки. Некоторые события имеют сложную структуру и могут быть описаны несколькими возможными способами, что может привести к различным значениям априорной вероятности.
Вопрос-ответ
Что такое априорная вероятность?
Априорная вероятность — это вероятность события, определенная без учета каких-либо данных, перспектив исхода события, определяемая на основе логической рефлексии. Также её можно назвать классической вероятностью. Она является теоретической мерой вероятности событий, которые возможны, но еще не произошли. Обозначается P(A).
Как рассчитать априорную вероятность?
Априорная вероятность рассчитывается на основе теоретических предположений, используя формулу P(A) = n(A) / n(S), где n(A) — число благоприятных исходов, а n(S) — число всех возможных исходов. Эта формула применяется в случае равновероятных исходов.
Какие примеры можно привести для априорной вероятности?
Например, вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты равна 1/2. Также можно привести пример с игральным кубиком, где вероятность выпадения одного из шести чисел равна 1/6.
В чем отличие между априорной и апостериорной вероятностями?
Априорная вероятность зависит от теоретических предположений и не изменяется до того, как произошло событие. Апостериорная же вероятность может изменяться после того, как было получено новое знание или информация. Она рассчитывается на основе априорной вероятности и данных, полученных после происшествия события.
Какая роль априорной вероятности в теории вероятности?
Априорная вероятность играет важную роль в теории вероятности, так как она позволяет рассчитать вероятность событий, основываясь на теоретических предположениях, без учета каких-либо данных. Она используется для вычисления апостериорной вероятности и имеет широкое применение в решении задач в различных областях, таких как математика, физика, экономика и др.
Может ли априорная вероятность иметь значение больше 1?
Нет, априорная вероятность не может иметь значение больше 1, так как она является теоретической мерой вероятности, определяемой на основе логической рефлексии. Её значение всегда должно быть в пределах от 0 до 1, где 0 — это невозможный исход, а 1 — уверенный исход. Если значение больше 1, то это означает, что теоретическое предположение некорректно и возможны ошибки в расчетах.