Что такое математическая ошибка

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Invalid proof» redirects here. For any type of invalid proof besides mathematics, see Fallacy.

«0 = 1» redirects here. For the algebraic structure where this equality holds, see Null ring.

In mathematics, certain kinds of mistaken proof are often exhibited, and sometimes collected, as illustrations of a concept called mathematical fallacy. There is a distinction between a simple mistake and a mathematical fallacy in a proof, in that a mistake in a proof leads to an invalid proof while in the best-known examples of mathematical fallacies there is some element of concealment or deception in the presentation of the proof.

For example, the reason why validity fails may be attributed to a division by zero that is hidden by algebraic notation. There is a certain quality of the mathematical fallacy: as typically presented, it leads not only to an absurd result, but does so in a crafty or clever way.^[1] Therefore, these fallacies, for pedagogic reasons, usually take the form of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle, or designed to show that certain steps are conditional, and are not applicable in the cases that are the exceptions to the rules.

The traditional way of presenting a mathematical fallacy is to give an invalid step of deduction mixed in with valid steps, so that the meaning of fallacy is here slightly different from the logical fallacy. The latter usually applies to a form of argument that does not comply with the valid inference rules of logic, whereas the problematic mathematical step is typically a correct rule applied with a tacit wrong assumption. Beyond pedagogy, the resolution of a fallacy can lead to deeper insights into a subject (e.g., the introduction of Pasch’s axiom of Euclidean geometry,^[2] the five colour theorem of graph theory). Pseudaria, an ancient lost book of false proofs, is attributed to Euclid.^[3]

Mathematical fallacies exist in many branches of mathematics. In elementary algebra, typical examples may involve a step where division by zero is performed, where a root is incorrectly extracted or, more generally, where different values of a multiple valued function are equated. Well-known fallacies also exist in elementary Euclidean geometry and calculus.^[4][5]

Howlers[edit]

Examples exist of mathematically correct results derived by incorrect lines of reasoning. Such an argument, however true the conclusion appears to be, is mathematically invalid and is commonly known as a howler. The following is an example of a howler involving anomalous cancellation:

Here, although the conclusion 16/64 = 1/4 is correct, there is a fallacious, invalid cancellation in the middle step.^{[note 1]} Another classical example of a howler is proving the Cayley–Hamilton theorem by simply substituting the scalar variables of the characteristic polynomial by the matrix.

Bogus proofs, calculations, or derivations constructed to produce a correct result in spite of incorrect logic or operations were termed «howlers» by Maxwell.^[2] Outside the field of mathematics the term howler has various meanings, generally less specific.

Division by zero[edit]

The division-by-zero fallacy has many variants. The following example uses a disguised division by zero to «prove» that 2 = 1, but can be modified to prove that any number equals any other number.

1. Let a and b be equal, nonzero quantities

   

2. Multiply by a

   

3. Subtract b²

   

4. Factor both sides: the left factors as a difference of squares, the right is factored by extracting b from both terms

   

5. Divide out (a − b)

   

6. Use the fact that a = b

   

7. Combine like terms on the left

   

8. Divide by the non-zero b

   

Q.E.D.^[6]

The fallacy is in line 5: the progression from line 4 to line 5 involves division by a − b, which is zero since a = b. Since division by zero is undefined, the argument is invalid.

Analysis[edit]

Mathematical analysis as the mathematical study of change and limits can lead to mathematical fallacies — if the properties of integrals and differentials are ignored. For instance, a naive use of integration by parts can be used to give a false proof that 0 = 1.^[7] Letting u = 1/log x and dv = dx/x, we may write:

after which the antiderivatives may be cancelled yielding 0 = 1. The problem is that antiderivatives are only defined up to a constant and shifting them by 1 or indeed any number is allowed. The error really comes to light when we introduce arbitrary integration limits a and b.

Since the difference between two values of a constant function vanishes, the same definite integral appears on both sides of the equation.

Multivalued functions[edit]

Many functions do not have a unique inverse. For instance, while squaring a number gives a unique value, there are two possible square roots of a positive number. The square root is multivalued. One value can be chosen by convention as the principal value; in the case of the square root the non-negative value is the principal value, but there is no guarantee that the square root given as the principal value of the square of a number will be equal to the original number (e.g. the principal square root of the square of −2 is 2). This remains true for nth roots.

Positive and negative roots[edit]

Care must be taken when taking the square root of both sides of an equality. Failing to do so results in a «proof» of^[8] 5 = 4.

Proof:

Start from

Write this as

Rewrite as

Add 81/4 on both sides:

These are perfect squares:

Take the square root of both sides:

Add 9/2 on both sides:

Q.E.D.

The fallacy is in the second to last line, where the square root of both sides is taken: a² = b² only implies a = b if a and b have the same sign, which is not the case here. In this case, it implies that a = –b, so the equation should read

which, by adding 9/2 on both sides, correctly reduces to 5 = 5.

Another example illustrating the danger of taking the square root of both sides of an equation involves the following fundamental identity^[9]

which holds as a consequence of the Pythagorean theorem. Then, by taking a square root,

Evaluating this when x = π , we get that

or

which is incorrect.

The error in each of these examples fundamentally lies in the fact that any equation of the form

where , has two solutions:

and it is essential to check which of these solutions is relevant to the problem at hand.^[10] In the above fallacy, the square root that allowed the second equation to be deduced from the first is valid only when cos x is positive. In particular, when x is set to π, the second equation is rendered invalid.

Square roots of negative numbers[edit]

Invalid proofs utilizing powers and roots are often of the following kind:

The fallacy is that the rule is generally valid only if at least one of and is non-negative (when dealing with real numbers), which is not the case here.^[11]

Alternatively, imaginary roots are obfuscated in the following:

The error here lies in the third equality, as the rule only holds for positive real a and real b, c.

Complex exponents[edit]

When a number is raised to a complex power, the result is not uniquely defined (see Exponentiation § Failure of power and logarithm identities). If this property is not recognized, then errors such as the following can result:

The error here is that the rule of multiplying exponents as when going to the third line does not apply unmodified with complex exponents, even if when putting both sides to the power i only the principal value is chosen. When treated as multivalued functions, both sides produce the same set of values, being {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometry[edit]

Many mathematical fallacies in geometry arise from using an additive equality involving oriented quantities (such as adding vectors along a given line or adding oriented angles in the plane) to a valid identity, but which fixes only the absolute value of (one of) these quantities. This quantity is then incorporated into the equation with the wrong orientation, so as to produce an absurd conclusion. This wrong orientation is usually suggested implicitly by supplying an imprecise diagram of the situation, where relative positions of points or lines are chosen in a way that is actually impossible under the hypotheses of the argument, but non-obviously so.

In general, such a fallacy is easy to expose by drawing a precise picture of the situation, in which some relative positions will be different from those in the provided diagram. In order to avoid such fallacies, a correct geometric argument using addition or subtraction of distances or angles should always prove that quantities are being incorporated with their correct orientation.

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

The fallacy of the isosceles triangle, from (Maxwell 1959, Chapter II, § 1), purports to show that every triangle is isosceles, meaning that two sides of the triangle are congruent. This fallacy was known to Lewis Carroll and may have been discovered by him. It was published in 1899.^[12][13]

Given a triangle △ABC, prove that AB = AC:

1. Draw a line bisecting ∠A.
2. Draw the perpendicular bisector of segment BC, which bisects BC at a point D.
3. Let these two lines meet at a point O.
4. Draw line OR perpendicular to AB, line OQ perpendicular to AC.
5. Draw lines OB and OC.
6. By AAS, △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (common side)).
7. By RHS,^{[note 2]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hypotenuse); RO = OQ (leg)).
8. Thus, AR = AQ, RB = QC, and AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

As a corollary, one can show that all triangles are equilateral, by showing that AB = BC and AC = BC in the same way.

The error in the proof is the assumption in the diagram that the point O is inside the triangle. In fact, O always lies on the circumcircle of the △ABC (except for isosceles and equilateral triangles where AO and OD coincide). Furthermore, it can be shown that, if AB is longer than AC, then R will lie within AB, while Q will lie outside of AC, and vice versa (in fact, any diagram drawn with sufficiently accurate instruments will verify the above two facts). Because of this, AB is still AR + RB, but AC is actually AQ − QC; and thus the lengths are not necessarily the same.

Proof by induction[edit]

There exist several fallacious proofs by induction in which one of the components, basis case or inductive step, is incorrect. Intuitively, proofs by induction work by arguing that if a statement is true in one case, it is true in the next case, and hence by repeatedly applying this, it can be shown to be true for all cases. The following «proof» shows that all horses are the same colour.^{[14][note 3]}

1. Let us say that any group of N horses is all of the same colour.
2. If we remove a horse from the group, we have a group of N − 1 horses of the same colour. If we add another horse, we have another group of N horses. By our previous assumption, all the horses are of the same colour in this new group, since it is a group of N horses.
3. Thus we have constructed two groups of N horses all of the same colour, with N − 1 horses in common. Since these two groups have some horses in common, the two groups must be of the same colour as each other.
4. Therefore, combining all the horses used, we have a group of N + 1 horses of the same colour.
5. Thus if any N horses are all the same colour, any N + 1 horses are the same colour.
6. This is clearly true for N = 1 (i.e., one horse is a group where all the horses are the same colour). Thus, by induction, N horses are the same colour for any positive integer N, and so all horses are the same colour.

The fallacy in this proof arises in line 3. For N = 1, the two groups of horses have N − 1 = 0 horses in common, and thus are not necessarily the same colour as each other, so the group of N + 1 = 2 horses is not necessarily all of the same colour. The implication «every N horses are of the same colour, then N + 1 horses are of the same colour» works for any N > 1, but fails to be true when N = 1. The basis case is correct, but the induction step has a fundamental flaw.

See also[edit]

• Anomalous cancellation – Kind of arithmetic error
• Division by zero – Class of mathematical expression
• List of incomplete proofs
• Mathematical coincidence – Coincidence in mathematics
• Paradox – Statement that apparently contradicts itself
• Proof by intimidation – Marking an argument as obvious or trivial

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Invalid proofs at Cut-the-knot (including literature references)
• Classic fallacies with some discussion
• More invalid proofs from AhaJokes.com
• Math jokes including an invalid proof

Определенный тип ошибочного доказательства

В математике некоторые виды ошибочного доказательства часто выставляется, а иногда и собирается, как иллюстрации концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в ​​доказательстве, поскольку ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательство.

Например, причина, по которой не действует достоверность, может быть отнесена к делению на ноль, которое скрыто алгебраической записью. Есть определенное качество математической ошибки: в том виде, в котором она обычно представлена, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. Следовательно, эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий. Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логического . заблуждение. Последнее обычно применяется к форме аргумента, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно является правильным правилом, применяемым с неявным неверным предположением. Помимо педагогики, разрешение ошибки может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы Паша евклидовой геометрии, теоремы пяти цветов теории графов ). Псевдария, древняя утерянная книга ложных доказательств, приписывается Евклиду.

. Математические заблуждения существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать в себя этап, на котором выполняется деление на ноль, где корень извлекается неправильно или, в более общем смысле, когда разные значения многозначная функция приравнивается. Известные заблуждения также существуют в элементарной евклидовой геометрии и исчислении.

Содержание

• 1 Howlers
• 2 Деление на ноль
• 3 Анализ
• 4 Многозначные функции
  • 4.1 Положительные и отрицательные корни
  • 4.2 Квадратные корни из отрицательных чисел
  • 4.3 Комплексные показатели
• 5 Геометрия
  • 5.1 Ошибка равнобедренного треугольника
• 6 Доказательство индукцией
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Howlers

ddx 1 x = dd 1 x 2 = d ∖ d ∖ 1 x 2 = — 1 x 2 { displaystyle { begin {array} {l} ; ; ; { dfrac {d} {dx}} { dfrac {1} {x}} \ = { dfrac {d} {d}} { dfrac {1} {x ^ {2}} } \ = { dfrac {d ! ! ! backslash} {d ! ! ! backslash}} { dfrac {1} {x ^ {2}}} \ = — { dfrac {1} {x ^ {2}}} end {array}}}

.. Аномальное. отмена. в исчислении

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен и широко известен как вопль. Ниже приведен пример сигнализатора, включающего аномальную отмену :

16 64 = 16/6/4 = 1 4. { displaystyle { frac {16} {64}} = { frac {16 ! ! ! /} {6 ! ! ! / 4}} = { frac {1} {4}}.}

Здесь, хотя вывод 16/64 = 1/4 верен, на среднем этапе происходит ошибочная, недопустимая отмена. Другой классический пример ревуна — доказательство теоремы Кэли – Гамильтона простой заменой скалярных переменных характеристического полинома на матрицу.

Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «завываниями». Вне математики термин ревун имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль

Ошибка деления на ноль имеет множество вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

1. Пусть a и b равны, ненулевые величины

   a = b { displaystyle a = b}

2. Умножить на a

   a 2 = ab { displaystyle a ^ {2} = ab}

3. Вычтем b

   a 2 — b 2 = ab — b 2 { displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = ab-b ^ {2}}

4. Разложим на множители обе стороны: левый множитель как разность квадратов, правый множится путем извлечения b из обоих членов

   (a — b) (a + b) = b (a — b) { displaystyle (ab) (a + b) = b (ab)}

5. Разделить (a — b)

   a + b = b { displaystyle a + b = b}

6. Учитывая, что a = b

   b + b = b { displaystyle b + b = b}

7. Объедините одинаковые термины слева

   2 b = b { displaystyle 2b = b}

8. Разделите на ненулевое b

   2 = 1 { displaystyle 2 = 1}

QED

Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на a — b, которое равно нулю, поскольку a = b. Поскольку деление на ноль не определено, аргумент недопустим.

Анализ

Математический анализ как математическое исследование изменений и пределов может привести к математическим ошибкам — если свойства интегралов и дифференциалы игнорируются. Например, наивное использование интегрирования по частям может быть использовано для ложного доказательства того, что 0 = 1. Полагая u = 1 / log x и dv = dx / x, мы может писать:

∫ 1 x журнал ⁡ xdx = 1 + ∫ 1 x журнал ⁡ xdx { displaystyle int { frac {1} {x , log x}} , dx = 1 + int { frac {1} {x , log x}} , dx}

, после чего первообразные могут быть отменены с получением 0 = 1. Проблема в том, что первообразные определены только до a константа и их смещение на 1 или любое другое число разрешено. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования a и b.

∫ a b 1 x журнал ⁡ x d x = 1 | ab + ∫ ab 1 x журнал ⁡ xdx = 0 + ∫ ab 1 x log ⁡ xdx = ∫ ab 1 x log ⁡ xdx { displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x , log x}} , dx = 1 | _ {a} ^ {b} + int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x , log x}} , dx = 0 + int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x log x}} , dx = int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x log x} } , dx}

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, один и тот же определенный интеграл появляется с обеих сторон уравнения.

Многозначные функции

Многие функции не имеют уникального обратного. Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратных корня из положительного числа. Квадратный корень — это многозначный. Одно значение может быть выбрано по соглашению в качестве основного значения ; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для корней n-й степени.

Положительных и отрицательных корней

Необходимо соблюдать осторожность при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства. В противном случае «доказательство» составляет 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

— 20 = — 20 { displaystyle -20 = -20}

Запишите это как

25-45 = 16-36 { displaystyle 25-45 = 16-36}

Перепишите как

5 2–5 × 9 = 4 2–4 × 9 { displaystyle 5 ^ {2 } -5 times 9 = 4 ^ {2} -4 times 9}

Добавьте 81/4 с обеих сторон:

5 2 — 5 × 9 + 81 4 = 4 2 — 4 × 9 + 81 4 { displaystyle 5 ^ {2} -5 times 9 + { frac {81} {4}} = 4 ^ {2} -4 times 9 + { frac {81} {4}}}

Это полные квадраты:

(5 — 9 2) 2 = (4 — 9 2) 2 { displaystyle left (5 — { frac {9} {2}} right) ^ {2} = left (4 — { frac {9} {2}} right) ^ {2}}

Извлеките квадратный корень из обеих сторон:

5 — 9 2 = 4 — 9 2 { displaystyle 5 — { frac {9} {2}} = 4 — { frac {9} {2}}}

Добавьте 9/2 с обеих сторон:

5 = 4 { displaystyle 5 = 4}

QED

Ошибка заключается в предпоследней строке, где берется квадратный корень из обеих частей: a = b означает, что a = b, только если a и b имеют одинаковый знак, что здесь не так. В данном случае это означает, что a = –b, поэтому уравнение должно выглядеть так:

5 — 9 2 = — (4 — 9 2) { displaystyle 5 — { frac {9} {2}} = — left (4 — { frac {9} {2}} right)}

которое, добавив 9/2 с обеих сторон, правильно сокращается до 5 = 5.

Еще один пример, иллюстрирующий опасность извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения включает следующее фундаментальное тождество:

cos 2 ⁡ x = 1 — sin 2 ⁡ x { displaystyle cos ^ {2} x = 1- sin ^ {2} x }

, которое выполняется как следствие теоремы Пифагора. Затем, извлекая квадратный корень,

cos ⁡ x = 1 — sin 2 ⁡ x { displaystyle cos x = { sqrt {1- sin ^ {2} x}}}

так, чтобы

1 + соз ⁡ х знак равно 1 + 1 — грех 2 ⁡ х. { displaystyle 1+ cos x = 1 + { sqrt {1- sin ^ {2} x}}.}

Но оценивая это при x = π, мы получаем, что

1 — 1 = 1 + 1–0 { displaystyle 1-1 = 1 + { sqrt {1-0}}}

или

0 = 2 { displaystyle 0 = 2}

, что неверно.

Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида

x 2 = a 2 { displaystyle x ^ {2} = a ^ {2}}

где a ≠ 0 { displaystyle a neq 0}, имеет два решения:

x = ± a { displaystyle x = pm a}

и важно, чтобы проверьте, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме. В приведенной выше ошибке квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cos x положителен. В частности, когда x установлен в π, второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни из отрицательных чисел

Недействительные доказательства с использованием степеней и корней часто бывают следующего вида:

1 = 1 = (- 1) (- 1) = — 1 — 1 знак равно я ⋅ я знак равно — 1. { displaystyle 1 = { sqrt {1}} = { sqrt {(-1) (- 1)}} = { sqrt {-1}} { sqrt {-1 }} = i cdot i = -1.}

Ошибка заключается в том, что правило xy ​​= xy { displaystyle { sqrt {xy}} = { sqrt {x}} { sqrt {y }}}обычно допустимо, только если оба x { displaystyle x}и y { displaystyle y}неотрицательны (при работе с действительными числами), что здесь не так.

В качестве альтернативы, мнимые корни затемняются следующим образом:

i = — 1 = (- 1) 2 4 = ((- 1) 2) 1 4 = 1 1 4 = 1 { displaystyle i = { sqrt {-1}} = left (-1 right) ^ { frac {2} {4}} = left ( left (-1 right) ^ {2} right) ^ { frac {1} {4}} = 1 ^ { frac {1} {4}} = 1}

Ошибка здесь в последнем равенство, где мы игнорируем другие корни четвертой степени из 1, которые равны -1, i и -i (где i — мнимая единица ). Поскольку мы возводили нашу фигуру в квадрат, а затем пустили корни, мы не всегда можем предположить, что все корни будут правильными. Таким образом, правильные корни четвертой степени — это i и −i, которые представляют собой мнимые числа, возведенные в квадрат до −1.

Комплексные показатели

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Отказ мощности и тождества логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

e 2 π i = 1 (e 2 π i) i = 1 ie — 2 π = 1 { displaystyle { begin {align} e ^ {2 pi i} = 1 \ влево (e ^ {2 pi i} right) ^ {i} = 1 ^ {i} \ e ^ {- 2 pi} = 1 \ end {align}}}

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений с комплексными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень i только главный значение выбрано. Когда они рассматриваются как многозначные функции, обе стороны производят одинаковый набор значений, являющихся {e | n ∈ ℤ}.

Геометрия

Многие математические ошибки в геометрии возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов в плоскости) к действительной идентичности, но которая фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов должен всегда доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Ошибка равнобедренного треугольника

Ошибка равнобедренного треугольника из (Максвелл 1959, Глава II, § 1) имеет целью показать, что каждый треугольник равно равнобедренный, что означает, что две стороны треугольника конгруэнтны. Это заблуждение было приписано Льюису Кэрроллу.

. Дан треугольник △ ABC, докажите, что AB = AC:

1. Проведите линию пополам ∠A.
2. Проведите серединный перпендикуляр отрезка BC, который делит BC пополам в точке D.
3. Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
4. Нарисуйте линию OR перпендикулярно AB, прямую OQ перпендикулярно AC.
5. Нарисуйте линии OB и OC.
6. По AAS, RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
7. По RHS, △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
8. Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

В качестве следствия можно показать, что все треугольники равносторонние, показав, что AB = BC и AC = BC таким же образом.

Ошибка доказательства заключается в предположении на диаграмме, что точка O находится внутри треугольника. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Более того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать внутри AB, а Q будет лежать вне AC, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеупомянутых факта.). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ — QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.

Доказательство по индукции

Существует несколько ошибочных доказательств по индукции, в которых один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, доказательства с помощью индукции работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета..

1. Допустим, что любая группа из N лошадей одного цвета.
2. Если мы удалим лошадь из группы, у нас есть группа из N — 1 лошадей одного цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа из N лошадей. Согласно нашему предыдущему предположению, все лошади одного цвета в этой новой группе, так как это группа из N лошадей.
3. Таким образом, мы построили две группы из N лошадей одного цвета, с N — 1 общая лошадь. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, эти две группы должны быть одного цвета друг с другом.
4. Следовательно, объединяя всех используемых лошадей, мы получаем группу из N + 1 лошадей одного цвета..
5. Таким образом, если все N лошадей одного цвета, все N + 1 лошади одного цвета.
6. Это явно верно для N = 1 (т.е. одна лошадь — это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции N лошадей одного цвета для любого натурального числа N. т. Е. Все лошади одного цвета.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. При N = 1 две группы лошадей имеют N — 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа из N + 1 = 2 лошадей не обязательно будет всех одного цвета. Импликация «все N лошадей одного цвета, тогда N + 1 лошадей одного цвета» работает для любого N>1, но не выполняется, когда N = 1. Базовый случай верен, но шаг индукции имеет фундаментальный недостаток. Если бы нам дополнительно дали тот факт, что любые две лошади одного цвета, то мы могли бы правильно произвести индукцию из базового случая N = 2.

См. Также

• Аномальное исключение — арифметическая ошибка
• Деление на ноль — Результат, полученный при делении действительного числа на ноль
• Список неполных доказательств — Статья в Википедии со списком
• Математическое совпадение — совпадение в математике
• Парадокс — Утверждение, которое явно противоречит самому себе
• Доказательство запугиванием — Метод убедить кого-то, используя жаргон или заявляя его ясным

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Недействительными доказательствами.

Дистанционный тур муниципального этапа краевого форума

«Молодежь и наука»

К чему может привести математическая ошибка

Физико-математическая секция

Проектно-исследовательская работа

Аннотация

Архипова Татьяна Викторовна

с.Локшино, МБОУ «Локшинская СОШ», 7 класс

«К чему может привести математическая ошибка»

Руководитель: Леонова Ирина Алексеевна, учитель математики МБОУ «Локшинская СОШ»

Цели работы:

собрать и оформить информацию о последствиях математической ошибки;

показать значимость математической ошибки.

Гипотеза: математическая ошибка может привести как к курьёзным ситуациям, так и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям)

Методы, используемые при исследовании  

• Изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете.
• Проведение и анализ анкетирования.
• Наблюдения, сопоставления.
• Анализ и классификация ошибок в работах учащихся 7 класса.
• Отбор и классификация материала.
• Оформление результата

Основные результаты научного исследования 

Нашла своё подтверждение гипотеза: математическая ошибка может привести как к курьёзным ситуациям, так и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям).

Собран, классифицирован и оформлен материал о последствиях математической ошибки. Продемонстрирована значимость математической ошибки.

Основная часть работы.

1. Введение.

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми                         мелкими ошибками.

                                                                                  И. Ньютон.

Актуальность данной проблемы имеет как личный аспект, так и масштабный характер (ошибиться может каждый). Но к чему может привести математическая ошибка – это ключевой вопрос, в котором и хотелось разобраться. Ведь математика касается всех сфер нашей жизни, как частной, так и в масштабе государства.

После опроса одноклассников и анкетирования учащихся 6-8 классов пришла к выводу, что не только я, но и мои ровесники не задумывались над этой проблемой.  Захотелось не только получить ответ на ключевой вопрос, но и поделиться информацией с учащимися школы.

Информацию решено было искать в различных источниках: в математических книгах, справочниках, Интернете.   Исследовать математические ошибки, которые делают одноклассники. Найти примеры ошибок, которые приводили к курьёзным ситуациям. Узнать, что такое софизмы. Историю софизмов. Типы софизмов. Разобрать интересные задачи.

Обратиться в Интернет за информацией  «Были ли случаи, когда математические ошибки повлекли за собой серьёзные проблемы: катастрофы, аварии, разрушения».  

1. Основное содержание.

Цели работы: 

собрать и оформить информацию о последствиях математической ошибки;

показать значимость математической ошибки.

Гипотеза: математическая ошибка может привести как к курьёзным ситуациям, так и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям)

Методы, используемые при исследовании:

• изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете;
• наблюдения, сопоставления;
• анализ и классификация ошибок в работах учащихся 7 класса;
• отбор и классификация материала;

Основные задачи:

• провести анкетирование на тему «К чему может привести  математическая ошибка» среди учащихся 6-8 классов;
• исследовать типичные ошибки одноклассников;  
• найти примеры ошибок, которые приводили к курьёзным ситуациям;
• узнать, что такое софизмы, историю софизмов разобрать интересные задачи;
• найти в Интернете ответ на вопрос: были ли случаи, когда математические ошибки, повлекли за собой серьёзные проблемы: катастрофы, аварии, разрушения.  

Описание хода работы

1). Провела анкетирование среди учащихся 6-8 классов. В анкетировании приняли участие 23 ученика. Было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Как часто на уроках математики вы допускаете ошибки?
2. Задумывались ли вы о последствиях математической ошибки?
3. Знакомы ли вам примеры, когда математическая ошибка привела к катастрофе?
4.  Подумайте и запишите, к чему может привести математическая ошибка?
5. Знаете ли вы, что такое софизмы?
6. Хотели бы вы познакомиться с курьёзными случаями математических ошибок?

На вопрос «Как часто на уроках математики вы допускаете ошибки?» ответили «часто» и «почти всегда» — 12 человек. На вопрос «Задумывались ли вы о последствиях математической ошибки?» ответили  «нет»  — 11 человек.

На вопрос «Знакомы ли вам примеры, когда математическая ошибка привела к катастрофе?» ответили «нет» — 15 человек.

На вопрос  «Знаете ли вы, что такое софизмы?» ответили «нет» — все 23 ученика.

На вопрос  «Хотели бы вы познакомиться с курьёзными случаями математических ошибок?» ответили положительно – 8 человек.

Ответы на задание «Подумайте и запишите, к чему может привести математическая ошибка?» были следующие: «от неудовлетворительной оценки за домашнюю работу до аварий на дорогах, столкновений поездов и т.д.», «при строительстве дома допустили ошибку и дом разрушился», «при построении самолёта ошиблись в расчётах и он разбился», «продавец ошибся, и у него недостача», «при полёте самолёта неправильно вычислили запас топлива и это привело к гибели людей».

Анкетирование показало, что школьники не задумываются о последствиях математической ошибки и не знакомы с математическими софизмами.

 2).  Наблюдения на уроках математики и анализ ошибок в тетрадях одноклассников показал, что ошибками могут стать неправильные расчёты, неправильное применение определений, аксиом, теорем, незнание формул, правил. Ряд ошибок одноклассники допускают из-за неразборчивого почерка, неаккуратно выполненного чертежа, по невнимательности. Некоторые ошибки носят курьёзный характер.

         3). Оказалось, что на основе математических ошибок, искусно скрытых, основаны, так называемые, математические софизмы.

Изучив литературу, узнала, что такое софизмы. Разобралась в некоторых из них. Узнала историю. Познакомилась с основными типами софизмов. Выбрала наиболее интересные задания и включила их в работу.

Софизм – доказательство ложного утверждения, причём ошибка в доказательстве искусно замаскирована [1]. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения.  

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон).          

Примеры софизмов.     

Алгебраический софизм [2].

 Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше цифры единиц. Если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначив цифру десятков через х, а цифру единиц — через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:

Подставим во второе уравнение значение х из первого, найдем:

10у+у-4-(10(у-4)+у)=27, а после преобразований: 36=27.

У нас не определились значения неизвестных, зато мы узнали, что 36=27…

Что это значит? Где ошибка???

Это означает лишь, что двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, не существует и что составленные уравнения противоречат один другому. В самом деле: умножив обе части первого уравнения на 9, мы найдем из него:

9у-9х=36,

а из второго (после раскрытия скобок и приведения подобных членов):

9у-9х=27.

Одна и та же величина 9у-9х согласно первому уравнению равна 36, а согласно второму 27. Это, безусловно, невозможно, т.к. 36 не равно 27.

Подобное же недоразумение ожидает решающего следующую систему уравнений:

х2у2=8,

ху=4.

Разделив первое уравнение на второе, получаем:

ху=2, а сопоставляя полученное уравнение со вторым, видим, что

т.е. 4=2. Чисел, удовлетворяющих этой системе  не существует. (Системы уравнений, которые, подобно сейчас рассмотрены, не имеют решений,  называются  несовместными.)

         Логический софизм «Ахиллес никогда не догонит черепаху» [1].

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка???

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.

Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях  (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха  до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.

Геометрический софизм-фокус [3].

На прямоугольном куске картона начерчен прямоугольник с 13 одинаковыми палочками на равном расстоянии друг от друга. Разрезав его пополам и чуть сдвинув обе части, заметим любопытные явление: вместо 13 палочек окажется всего 12. Одна палочка исчезла бесследно. Куда же она подевалась?

Если сопоставить длину палочек на прямоугольниках, то обнаружится, что палочки на втором фото на 1/12 длиннее палочек первого фото. Исчезнувшая 13-я палочка улетучилась не бесследно: она словно растворилась в12 остальных, удлинив каждую из них на 1/12 своей длины.  Геометрическую причину этого понять очень легко. Прямая МN и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют угол, стороны которого пересечены рядом параллельных прямых. Из подобия треугольников следует, что прямая MN отсекает от второй палочки 1/12 её длины, от третьей 2/12, от четвертой 3/12 и т.д. Когда же сдвигаются обе части картона, то приставляя отсеченный отрезок каждой палочки (начиная с второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на1/12, то каждая палочка должна удлиниться на 1/12 своей длины. На глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13-й палочки на первый взгляд представляется довольно загадочным.

4). Процесс поиска скрытых ошибок в софизмах оказался очень интересным и поучительным. Но в жизни достаточно курьёзных ошибок, которые совершаются неосознанно, большей частью по невнимательности.

В Интернете удалось найти курьёзные случаи математических ошибок. Один пример из рубрики «Математические киноляпы» [7].  Мультфильм “Дональд в Матемагии’’, 1959 г. Геометрические фигурки (прямоугольник, треугольник и круг) дружно сообщают утенку, что “число пи равняется трем целым, один-четыре-один-пять-девять-два-шесть-пять-три-пять-восемь-девять-семь-четыре-семь и так далее…’’ А теперь сравните с правильным значением: 3,14159265358979323…

Ещё один пример: Сериал “Звездный путь’’ Военный суд, 1967 г. Керк говорит, что компьютер может усилить звук в число раз, равное “единице в сороковой степени’’ (one to the fourth power), а это равно единице.

5). Через Интернет я узнала о фактах, приводящих и к негативным последствиям из-за математических просчётов. Интернет пестрит заголовками: «Маленькие математические ошибки мирового масштаба», «К аварии привела  математическая ошибка», «Простые математические ошибки – причины разрушений и человеческих жертв».   Некоторые подробности:  РИА новости [5]  сообщает: «К неудачному запуску трех спутников системы ГЛОНАСС могла привести математическая ошибка в программе, заложенной в бортовой комплекс ракеты-носителя. Сейчас ее эксперты занимаются выяснением всех обстоятельств аварии. По некоторым данным, ракета-носитель «Протон-М» после запуска отклонилась от заданной траектории на восемь градусов. Дмитрий Медведев  поручил найти виновных в утрате спутников и проверить расходование средств на выполнение программы создания отечественной навигационной группировки».

Особый интерес представляет информация под заголовком «Шесть маленьких математических ошибок, обернувшихся чудовищными катастрофами» [6].  Эта статья адресована школьникам с подробным  описанием математических ошибок, которые привели к катастрофам. 

Приведу два примера: «Это был ультрасовременный реактивный пассажирский самолёт с уникальными для того времени техническими характеристиками и герметичной кабиной. К сожалению,  в 1954-м две «Кометы» развалились прямо в полёте, угробив в общей сложности 56 человек. Причина до смешного проста: квадратные иллюминаторы».  

«Угол взлетно-посадочной полосы становится причиной крушения истребителей» —   сообщает РИА Новости [5]. «Не надо быть пилотом, чтобы понять – посадить самолёт на авианосец чрезвычайно сложно… Но была еще одна проблема… (угол взлетно-посадочной полосы был равен 0º )». Как удалось исправить ситуацию? «…отвернули посадочную полосу примерно на 9º». Эта инновация позволила обезопасить приземление.

И ещё один пример математической ошибки, который захотелось разобрать подробнее [6]: Мост Такома-Нэрроуз разрушился из-за того, что был слишком цельным. Мост Такома-Нэрроуз (Один из крупнейших в США висячих мостов;  прим. mixednews) считался чудом инженерной мысли, пока не рухнул в пролив  Такома-Нэрроуз.   Причина случившегося до смешного проста: мост был слишком цельным, без полостей. Вы замечали, какими хрупкими выглядят самые большие мосты? Они буквально просвечиваются. Если вы думаете, что это делается для красоты или экономии металла, вы глубоко заблуждаетесь. Настоящее предназначение всего этого ажура – пропускать воздух. Вы можете укрепить мост как угодно прочно – и он всё равно будет раскачиваться на ветру. Этого нельзя не учитывать. Проектировщики моста через пролив Такома решили не забивать себе голову подобной ерундой.  Они решили, что для ветра тут и без того достаточно места.   Они ошибались. С самого начала было ясно – с мостом что-то не так. Как только поднимался ветер,  полотно начинало  изгибаться, трястись и выручиваться, за что ещё во время возведения  мост получил в народе прозвище «Галопирующая Герти». В один прекрасный день частота колебаний ветрового потока совпала с собственной частотой колебаний конструкций моста. Центральный пролет моста затрепетал, как осенний лист, забился в конвульсиях и рухнул.        

Строительство нового моста завершилось только в 1943-м. На этот раз в конструкцию были введены открытые фермы, стойки жёсткости, деформационные швы и системы гашения вибраций.  

 Все приведённые выше примеры заставляют задуматься над тем, что фактов, когда математическая ошибка ведет к серьёзным авариям, катастрофам, разрушениям значительно больше, чем можно было себе представить.

1. Заключение.

Основные результаты исследования.  

Собран и оформлен материал о последствиях математической ошибки. Продемонстрирована значимость математической ошибки.

Нашла своё подтверждение гипотеза: математическая ошибка может привести не только к курьёзным ситуациям, но и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям).

В ходе работы над темой научилась разбирать математические ошибки, поняла, что поиск ошибок – очень полезное занятие. Поиск ошибок приучает  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.  Если нашел ошибку, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.  

Главный вывод исследования: последствия даже маленьких математических ошибок могут быть непредсказуемыми. Необходимо помнить об этом каждому и учиться находить и своевременно исправлять свои ошибки. Взять себе за правило: не позволять себе  допускать даже самых незначительных математических ошибок.  

Список литературы

1. А.П.Савин Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989.-352 с.
2. Я.И.Перельман Занимательная алгебра – Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.- 184 с.
3. Е.И.Игнатьев В царстве смекалки – Москва: Наука, 1984.- 192 с.
4. М.Гарднер Математические чудеса и тайны — Москва: Наука, 1982.- 128 с.

Источники, представленные в Internet:

1. РИА Новости  (RIA.RU).
2. http://mixednews.ru/archives/15234
3. http://hijos.ru/2011/11/06/matematicheskie-kinolyapy/

«Недействительное доказательство» перенаправляется сюда. По поводу любых недействительных доказательств, кроме математических, см. Заблуждение .

В математике некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в доказательстве, поскольку ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательство.

Например, причина того, что достоверность не соответствует действительности, может быть отнесена к делению на ноль , которое скрыто алгебраической нотацией. В математической ошибке есть определенное качество: в том виде, в котором ее обычно представляют, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. Поэтому эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий . Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг дедукции, смешанный с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логической ошибки . Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно является правильным правилом, применяемым с молчаливым неправильным предположением. Помимо педагогики, решение о заблуждении может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы паша в евклидовой геометрии , тем теорема пятицветной из теории графов ). Псевдария , древняя утерянная книга ложных доказательств, приписывается Евклиду .

Математические ошибки существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать этап, на котором выполняется деление на ноль , когда корень извлекается неправильно или, в более общем смысле, приравниваются разные значения многозначной функции . Хорошо известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчислении .

Ревуны

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен и широко известен как вопль . Ниже приведен пример ревуна, включающего аномальную отмену :

Здесь хотя вывод 16/64 знак равно 1/4правильно, на среднем этапе происходит ошибочная, недействительная отмена. Другой классический пример ревуна — доказательство теоремы Кэли – Гамильтона путем простой подстановки скалярных переменных характеристического многочлена на матрицу.

Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «воплями». Вне математики термин « ревун» имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль

У ошибки деления на ноль много вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

1. Пусть a и b равны, ненулевые величины

   

2. Умножьте а

   

3. Вычтем b ²

   

4. Разложите на множители обе стороны: левые множители как разность квадратов , правая множители путем извлечения b из обоих членов

   

5. Разделить ( а — б )

   

6. Заметив, что a = b

   

7. Объедините похожие термины слева

   

8. Разделить на ненулевое b

   

QED

Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на a  —  b , которое равно нулю, поскольку a  =  b . Поскольку деление на ноль не определено, аргумент недействителен.

Анализ

Математический анализ как математическое исследование изменений и ограничений может привести к математическим ошибкам, если игнорировать свойства интегралов и дифференциалов . Например, наивное использование интегрирования по частям может быть использовано для ложного доказательства того, что 0 = 1. Положив u  = 1/журнал xи dv  = dx/Икс, мы можем написать:

после чего первообразные может быть отменена с получением 0 = 1. Проблема состоит в том, что первообразные определены только до более постоянной и сдвига их на 1 или действительно любое число допускается. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования a и b .

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, по обе стороны уравнения появляется один и тот же определенный интеграл.

Многозначные функции

Многие функции не имеют уникального обратного . Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратных корня из положительного числа. Квадратный корень многозначен . Одно значение может быть выбрано по соглашению в качестве основного значения ; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для корней n-й степени .

Положительные и отрицательные корни

Следует проявлять осторожность при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства . В противном случае «доказательство» 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

Напишите это как

Перепишите как

Добавлять 81 год/4 с обеих сторон:

Это идеальные квадраты:

Извлеките квадратный корень из обеих частей:

Добавлять 9/2 с обеих сторон:

QED

Ошибка заключается в предпоследней строке, где берется квадратный корень из обеих частей: a ²  =  b ² означает, что a  =  b, только если a и b имеют одинаковый знак, что здесь не так. В данном случае это означает, что a  = — b , поэтому уравнение должно выглядеть так:

который, добавив 9/2 с обеих сторон правильно уменьшается до 5 = 5.

Другой пример, иллюстрирующий опасность извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, включает следующее фундаментальное тождество

которое выполняется как следствие теоремы Пифагора . Затем, извлекая квадратный корень,

Оценивая это при x  =  π , получаем, что

или

что неверно.

Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида

где , имеет два решения:

и важно проверить, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме. В указанном выше заблуждении квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cos  x положителен. В частности, когда x установлен в π , второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни отрицательных чисел

Недействительные доказательства, использующие силы и корни, часто бывают следующего вида:

Заблуждением является то , что это правило действует , как правило , только если по крайней мере , один из и неотрицательна (при работе с вещественными числами), которые не в данном случае.

В качестве альтернативы мнимые корни запутываются следующим образом:

Ошибка здесь заключается в третьем равенстве, так как правило справедливо только для положительных вещественных a и вещественных b , c .

Комплексные показатели

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Несостоятельность степеней и тождества логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений с комплексными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень i выбирается только главное значение. Если рассматривать их как многозначные функции , обе стороны производят один и тот же набор значений, равный { e ^{2 π n} | n ∈ ℤ} .

Геометрия

Многие математические ошибки в геометрии возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов на плоскости) к действительному тождеству, но которое фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. . Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов всегда должен доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Заблуждение о равнобедренном треугольнике

Ошибочность равнобедренного треугольника, из ( Maxwell , 1959 , Глава II, § 1), имеет целью показать , что каждый треугольник является равнобедренным , а это означает , что две стороны треугольника конгруэнтны . Это заблуждение приписывают Льюису Кэрроллу .

Для треугольника △ ABC докажите, что AB = AC:

1. Проведите линию, разделяющую ∠A пополам .
2. Нарисуйте серединный перпендикуляр к отрезку BC, который делит BC пополам в точке D.
3. Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
4. Проведите линию ИЛИ перпендикулярно AB, линию OQ перпендикулярно AC.
5. Нарисуйте линии OB и OC.
6. По AAS , RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
7. Согласно RHS , ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
8. Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

В качестве следствия можно показать, что все треугольники равносторонние, показав таким же образом, что AB = BC и AC = BC.

Ошибка доказательства состоит в предположении на диаграмме, что точка O находится внутри треугольника. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Более того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать внутри AB, а Q будет лежать вне AC, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеупомянутых факта. ). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ — QC; и поэтому длины не обязательно должны быть одинаковыми.

Доказательство по индукции.

Существует несколько ошибочных доказательств с помощью индукции, в которых один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, доказательства с помощью индукции работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем случае, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета .

1. Допустим, любая группа из N лошадей одного цвета.
2. Если мы удалим лошадь из группы, мы получим группу из N  — 1 лошадей одного цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа из N лошадей. Согласно нашему предыдущему предположению, в этой новой группе все лошади одного цвета, поскольку это группа из N лошадей.
3. Таким образом, мы построили две группы из N лошадей одного цвета с N  — 1 общей лошадью. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, они должны быть одного цвета.
4. Таким образом, объединив всех используемых лошадей, мы получим группу из N  + 1 лошадей одного цвета.
5. Таким образом, если все N лошадей одного цвета, все N  + 1 лошади одного цвета.
6. Это явно верно для N  = 1 (т.е. одна лошадь — это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции, N лошади имеют такой же цвет для любого натурального N . т.е. все лошади одного цвета.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. При N  = 1 две группы лошадей имеют N  — 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа из N  + 1 = 2 лошади не обязательно должны быть одного цвета. Импликация «все N лошадей одного цвета, тогда N  + 1 лошадей одного цвета» работает для любого N  > 1, но не выполняется, когда N  = 1. Базовый случай правильный, но шаг индукции имеет фундаментальный недостаток.

Смотрите также

• Аномальная отмена  — вид арифметической ошибки
• Деление на ноль  — класс математического выражения
• Список неполных доказательств  — статья со списком Википедии
• Математическое совпадение  — совпадение в математике
• Парадокс  — утверждение, которое явно противоречит самому себе
• Доказательство запугиванием  — метод убедить кого-либо, используя жаргон или заявляя, что он ясен.

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Недействительные доказательства в Cut-the knot (включая литературные ссылки)
• Классические заблуждения с некоторым обсуждением
• Больше недействительных доказательств от AhaJokes.com
• Математические анекдоты с недействительным доказательством