Что такое ошибка усечения - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

From Wikipedia, the free encyclopedia

In numerical analysis and scientific computing, truncation error is an error caused by approximating a mathematical process.^[1]^[2]

Examples[edit]

Infinite series[edit]

A summation series for ${displaystyle e^{x}}$ is given by an infinite series such as

${displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots }$

In reality, we can only use a finite number of these terms as it would take an infinite amount of computational time to make use of all of them. So let’s suppose we use only three terms of the series, then

${displaystyle e^{x}approx 1+x+{frac {x^{2}}{2!}}}$

In this case, the truncation error is ${displaystyle {frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots }$

Example A:

Given the following infinite series, find the truncation error for x = 0.75 if only the first three terms of the series are used.

${displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots ,qquad left|xright|<1.}$

Solution

Using only first three terms of the series gives

${displaystyle {begin{aligned}S_{3}&=left(1+x+x^{2}right)_{x=0.75}\&=1+0.75+left(0.75right)^{2}\&=2.3125end{aligned}}}$

The sum of an infinite geometrical series

${displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+cdots , r<1}$

is given by

${displaystyle S={frac {a}{1-r}}}$

For our series, a = 1 and r = 0.75, to give

${displaystyle S={frac {1}{1-0.75}}=4}$

The truncation error hence is

Differentiation[edit]

The definition of the exact first derivative of the function is given by

${displaystyle f'(x)=lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

However, if we are calculating the derivative numerically, has to be finite. The error caused by choosing to be finite is a truncation error in the mathematical process of differentiation.

Example A:

Find the truncation in calculating the first derivative of ${displaystyle f(x)=5x^{3}}$ at x=7 using a step size of

Solution:

The first derivative of ${displaystyle f(x)=5x^{3}}$ is

${displaystyle f'(x)=15x^{2},}$

and at x=7 ,

The approximate value is given by

${displaystyle f'(7)={frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625}$

The truncation error hence is

Integration[edit]

The definition of the exact integral of a function f(x) from to is given as follows.

Let be a function defined on a closed interval [a,b] of the real numbers, , and

${displaystyle P=left{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],dots ,[x_{n-1},x_{n}]right},}$

be a partition of I, where

${displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<cdots <x_{n}=b.}$

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}),Delta x_{i}}$

where ${displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ and ${displaystyle x_{i}^{*}in [x_{i-1},x_{i}]}$ .

This implies that we are finding the area under the curve using infinite rectangles. However, if we are calculating the integral numerically, we can only use a finite number of rectangles. The error caused by choosing a finite number of rectangles as opposed to an infinite number of them is a truncation error in the mathematical process of integration.

Example A.

For the integral

${displaystyle int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$

find the truncation error if a two-segment left-hand Riemann sum is used with equal width of segments.

Solution

We have the exact value as

${displaystyle {begin{aligned}int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=left[{frac {x^{3}}{3}}right]_{3}^{9}\&=left[{frac {9^{3}-3^{3}}{3}}right]\&=234end{aligned}}}$

Using two rectangles of equal width to approximate the area (see Figure 2) under the curve, the approximate value of the integral

${displaystyle {begin{aligned}int _{3}^{9}x^{2},dx&approx left.left(x^{2}right)right|_{x=3}(6-3)+left.left(x^{2}right)right|_{x=6}(9-6)\&=(3^{2})3+(6^{2})3\&=27+108\&=135end{aligned}}}$

${displaystyle {begin{aligned}{text{Truncation Error}}&={text{Exact Value}}-{text{Approximate Value}}\&=234-135\&=99.end{aligned}}}$

Occasionally, by mistake, round-off error (the consequence of using finite precision floating point numbers on computers), is also called truncation error, especially if the number is rounded by chopping. That is not the correct use of «truncation error»; however calling it truncating a number may be acceptable.

Addition[edit]

Truncation error can cause within a computer when ${displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$ because (like it should), while . Here, has a truncation error equal to 1. This truncation error occurs because computers do not store the least significant digits of an extremely large integer.

References[edit]

^ Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). New York: Wiley. p. 20. ISBN 978-0-471-62489-9. OCLC 803318878.
^ Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Princeton, N.J.: Recording for the Blind & Dyslexic, OCLC 50556273, retrieved 2022-02-08

Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 978-0-387-95452-3.

Источник

Этот
вид ошибок связан с погрешностью,
заложенной в самой задаче. Он может быть
обусловлен неточностью определения
исходных данных. Например, если в условии
задачи заданы какие-либо размеры, то на
практике для реальных объектов эти
размеры известны всегда с некоторой
точностью. То же самое касается любых
других физических параметров. Сюда же
можно отнести неточность расчетных
формул и входящих в них числовых
коэффициентов.

Большое
число расчетных формул являются
эмпирическими и дают результат с
некоторой погрешностью, содержат
подгоночные коэффициенты, обеспечивающие
приемлемую ошибку в ограниченном
диапазоне входных параметров. Поэтому,
как правило, если исходные данные
известны с некоторой погрешностью, вряд
ли стоит пытаться получить результат
с меньшей погрешностью.

2.4.2. Ошибки распространения

Данный
вид ошибок связан с применением того
или иного способа решения задачи. В ходе
вычислений неизбежно происходит
накопление или, иначе говоря, распространение
ошибки. Помимо того, что сами исходные
данные не являются точными, новая
погрешность возникает при их перемножении,
сложении и т. п. Накопление ошибки зависит
от характера и количества арифметических
действий, используемых в расчете.

Обычно
для решения одной и той же задачи может
быть использован ряд различных методов
решения. Например, систему линейных
алгебраических уравнений можно решить
методом Гаусса или через определители
(методом Крамера). Теоретически оба
метода позволяют получить точное
решение. Однако на практике при решении
больших систем уравнений метод Гаусса
обеспечивает меньшую погрешность, чем
метод Крамера, так как использует меньший
объем вычислений.

2.4.3. Ошибки округления

Это
тип ошибок связан с тем, что истинное
значение числа не всегда точно сохраняется
компьютером. При сохранении вещественного
числа в памяти компьютера оно записывается
в виде мантиссы и порядка, примерно так
же, как отображается число на дисплее
калькулятора.

На
самом деле, в отличие от дисплея
калькулятора, мантисса и порядок числа,
включая их знаки, в памяти компьютера
хранятся в двоичном виде. Но для
обсуждения природы ошибок округления
это различие не столь принципиально.

Понятно,
что иррациональные числа такие, как π
=
3,14159…
и e
= 2,712…
не могут быть представлены в памяти
компьютера в принципе. Однако же и
рациональные числа, если количество их
значащих цифр превышает число отведенных
разрядов мантиссы, будут представлены
не точно. При этом цифра последнего
сохраняемого в ЭВМ разряда может быть
записана с округлением или без него.

Фактически
при заданной структуре хранения числа
компьютер может использовать не
бесконечное, а конечное число рациональных
чисел. Поэтому любой входной параметр
решаемой задачи, ее промежуточный
результат и окончательной ответ всегда
округляются до разрешенных в компьютере
чисел.

2.5. Использование специализированных математических пакетов

В
настоящее
время
широко
известны
специальные
математические
пакеты,
облегчающие
решение
задач
на
компьютере.
Это,
например,
системы
MATLAB
и
MathCAD,
ориентированные
на
решение
широкого
круга
математических
задач.
Они
имеют
удобный
дружественный
интерфейс,
объектно-ориентированный
язык,
набор
элементарных
математических
и
специальных
функций,
встроенные
графические
средства.
Рассмотрим
их
применение
для решения
нелинейных
уравнений.

Источник

Ошибка — усечение

Cтраница 3

Естественно, чем больше членов содержит конечно-разностная схема, тем лучшим оказывается приближение к непрерывным данным и, следовательно, более точной формула интегрирования или дифференцирования. Первые отброшенные члены в этих выражениях обычно хорошо оценивают ошибку усечения.
[31]

Многошаговые методы, основанные на этой идее, весьма эффективны. Если требуется высокая точность, то они обычно более экономичны, чем одношаговые методы, и часто можно тривиально получить оценку ошибки усечения. Порядок метода может выбираться автоматически и динамически изменяться, тем самым получаются методы, работающие для очень широкого круга задач. В процессе решения могут выявляться некоторые виды ошибок. Жесткие уравнения ( обсуждаемые ниже) могут решаться некоторыми многошаговыми методами, и уравнения можно автоматически классифицировать как жесткие или нежесткие. Эти достоинства приобретаются ценой усложнения программы и в некоторых случаях за счет возможной численной неустойчивости.
[32]

Такое поведение связано с тем, что повышение температуры на входе в реактор вызывает увеличение постоянных скоростей. Это ведет к увеличению ошибок усечения при итеративном процессе с фиксированным А.
[33]

Приведенные выше выражения достаточно просты и, конечно, написать программу для вычисления траекторий лучей не составляет труда. Однако следует обратить внимание на два важных аспекта. Очевидно, что слишком большая величина h приведет к ошибкам усечения, в то время как слишком маленькая величина h скажется в ошибках округления. Шаг должен быть выбран так, чтобы отношение ( k2 — k3) / ( kl-k 2) оставалось малой величиной ( максимум 0 02 — 0 03) вдоль всей траектории. Для расчета линзы обычно требуется 400 — 500 шагов.
[34]

Используя эту формулу для численной аппроксимации f ( t), мы вводим ошибку усечения Ет, которую необходимо добавить к предыдущей для вычисления общей ошибки приближения. Чтобы уменьшить ошибку Ed, применяется так называемый метод корректировки. Кроме того, для ускорения сходимости, используют е-алго-ритм, уменьшающий ошибку усечения.
[35]

Чтобы обнаружить расходящееся решение при отсутствии колебаний, а при сходящемся решении проверить точность, необходим какой-либо метод. Для этих целей, как показывают численные расчеты, нельзя использовать метод Ричардсона замедленного приближения к пределу [ 33, стр. В методе Ричардсона принято, что поведение общей ошибки решения непосредственно связано с ошибкой усечения на каждом шаге.
[36]

Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге-Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения. Основная трудность [ см. уравнения ( 177) — ( 180), ( 192) и ( 193) ] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора.
[37]

Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге-Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения, Основная трудность [ см. уравнения ( 177) — ( 180), ( 192) и ( 193) ] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора.
[38]

Необходимо обратить внимание на следующее. Некоторые из них могут привести к ошибочным выводам. Ошибочность заключается в том, что в этом случае ошибка усечения очень чувствительна к остаточной ошибке, что ведет к выводу о сходимости уравнений в конечных разностях в тех случаях, когда имеется сходимость для системы дифференциальных уравнений ( см. [ 25, стр.
[39]

Необходимо обратить внимание на следующее. Некоторые из них могут привести к ошибочным выводам. Ошибочность заключается в том, что в этом случае ошибка усечения очень чувствительна к остаточной ошибке, что ведет к выводу о сходимости уравнений в конечных разностях в тех случаях — когда имеется сходимость для системы дифференциальных уравнений ( см. [ 25, стр.
[40]

Страницы:

Источник

В численном анализе и научных вычислениях , ошибка усечения будет ошибка вызвана аппроксимирующим математический процесс. Давайте рассмотрим три примера, чтобы развеять мифы, связанные с определением ошибки усечения.

Ряд суммирования для дается бесконечным рядом, таким как

На самом деле мы можем использовать только конечное число этих терминов, поскольку для их использования потребуется бесконечное количество вычислительного времени. Итак, предположим, что мы используем только три члена ряда, тогда

В этом случае ошибка усечения равна

Источник

Examples[edit]

Infinite series[edit]

Differentiation[edit]

Integration[edit]

Addition[edit]

See also[edit]

References[edit]

2.4.2. Ошибки распространения

2.4.3. Ошибки округления

2.5. Использование специализированных математических пакетов

Ошибка — усечение