Что такое установившаяся ошибка регулирования

Лекция 17.
Расчет
установившейся ошибки в системах
управления. Структурные признаки
астатизма. Коэффициенты ошибок

Установившейся
(статической) ошибкой называют постоянное
значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании
переходного процесса:
,
рисунок 116.

Очевидно,
установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик
входных сигналов системы. Поэтому при
ее определении принято рассматривать
так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют
степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:

,

,


и так далее.

При наличии
нескольких воздействий на линейную
систему для определения xуст
используется принцип суперпозиции –
реакция линейной системы на совокупность
входных сигналов совпадает с алгебраической
суммой ее реакций на каждый из сигналов
в отдельности:

,

где каждое слагаемое,
или составляющая сигнала ошибки,
определяется
для i-го
входного сигнала при условии, что
остальные тождественно равны нулю.
Такой подход полностью соответствует
определению передаточной функции и
позволяет выполнять расчет установившейся
ошибки на основе структурной схемы
системы.

Рассмотрим порядок
расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере
(рисунок 117).

В соответствии с
принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде
суммы трех составляющих
.

Изображение по
Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке

при известном изображении задающего
воздействия G(s):

,

где (s)
– основная передаточная функция
замкнутой системы. Для структурной
схемы на рисунке 117

,

где

— передаточная функция разомкнутой
системы, или прямой цепи системы, для
рассматриваемого примера.

Непосредственно
для расчета установившегося значения
ошибки от задающего воздействия
используют теорему о конечном значении
для преобразования Лапласа:

В результате:

.

Изображение по
Лапласу ошибки от возмущающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке от возмущения

при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):

,

где f(s)
–передаточная функция замкнутой системы
по возмущающему воздействию,

;

Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой
системы по возмущению (передаточная
функция участка прямой цепи системы от
точки приложения возмущающего воздействия
до выхода системы).

Для структурной
схемы на рисунке 8 необходимо учитывать
два возмущающих воздействия, приложенные
в различные точки системы.

Для f1:

,

,

.

Для f2:

,

,

.

Расчет упрощается
для системы с единичной отрицательной
обратной связью (рисунок 118):

,

,

где k=k1k2k3
– коэффициент передачи разомкнутой
системы.

Найдем установившуюся
ошибку для некоторых типовых вариантов
задающего воздействия.

При

получим:

.

При

получим:

.

При

получим:

.

Если установившаяся
ошибка тождественно равна нулю при
каком-либо типовом варианте входного
сигнала, независимо от его численных
характеристик, систему называют
астатической по рассматриваемому
входному сигналу.

Количество типовых
вариантов входного сигнала – членов
степенного ряда, при которых установившаяся
ошибка тождественно равна нулю, определяет
порядок астатизма.

Рассматриваемая
система обладает свойством астатизма
второго порядка по задающему воздействию.

Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f1:

,

,

где

– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f1.

При

получим:

.

При

получим:

.

При

получим тот же результат.

Отметим, что по
возмущению f1
рассматриваемая система не является
астатической. Кроме того, она не в
состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.

Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f2:

,

,

где

– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f2.

При

получим:

.

При

получим:

.

При

получим:

.

По возмущению f2
рассматриваемая система имеет астатизм
первого порядка. Она не в состоянии
отработать возмущающее воздействие,
изменяющееся во времени с постоянным
ускорением.

Подведем некоторые
итоги:

1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки
приложения входного сигнала.

2. Постоянные
времени звеньев системы не влияют на
ее точность.

3. Увеличение
значения коэффициента передачи
разомкнутой системы приводит к снижению
величины установившейся ошибки.

Для систем с
единичной отрицательной обратной связью
существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.

Рассмотрим
структуру, показанную на рисунке 119.

В общем случае
передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в
следующей форме:

,

где l0.

Тогда получим:

и для общего вида
задающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,

.

Результат нахождения
этого предела зависит от соотношения
показателей степени:

— при l>v
установившаяся ошибка равна нулю
независимо от остальных параметров, то
есть имеет место астатизм;

— при l=v
получаем константу;

— при l<v
установившаяся ошибка стремится к
бесконечности, то есть система не в
состоянии отработать входной сигнал.

Учитывая, что
минимальное значение v
нулевое, получаем условие астатизма по
задающему воздействию: l>0.

Таким образом,
структурный признак астатизма по
задающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
разомкнутой системы, или интегрирующих
звеньев в прямой цепи системы.

Нетрудно также
убедиться, что положительное значение
l
совпадает с порядком астатизма.

Для получения
признака астатизма по возмущающему
воздействию представим передаточные
функции на рисунке 10 в форме:

,

,

где l1+l2=l,
k1k2=k,
m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем

и
.

Тогда получим:

и для общего вида
возмущающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,

.

Все вышеприведенные
выводы можно повторить для показателя
степени l1.

Таким образом,
структурный признак астатизма по
возмущающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
участка системы до точки приложения
воздействия, или интегрирующих звеньев
на том же участке.

Более общий подход
к оценке точности линейных систем
управления основан на получении и
использовании коэффициентов ошибок.
Рассмотрим его на примере анализа
реакции системы на задающее воздействие.

Если рассматривать
произвольный закон изменения задающего
воздействия g(t),
то эта функция времени может быть
разложена в степенной ряд относительно
аргумента t.
Члены степенного ряда, как известно,
находятся через производные

,
,
…,
,

В общем случае ряд
бесконечен. Поэтому с практической
точки зрения рассматривать такое
представление сигнала целесообразно
только при достаточно плавном его
изменении, когда можно ограничиться
конечным числом членов ряда, имея в
виду, что при n
большем некоторого m
можно принять

,
n>m.

Для задачи оценки
установившейся ошибки при

с формулированное допущение вполне
корректно, так как в противном случае
эта задача не имеет смысла.

Коэффициенты
ошибки получают разложением передаточной
функции замкнутой системы по ошибке в
степенной ряд (ряд Тейлора) относительно
аргумента s:

,

где коэффициенты
разложения в общем случае находят как
значения производных в точке s=0:

.

Передаточные
функции, представляющие собой отношения
полиномов, при достаточно высоком
порядке системы могут оказаться слишком
сложными для дифференцирования. Поэтому
на практике коэффициенты их разложения
в ряд чаще находят путем деления полиномов
– числителя на знаменатель.

С учетом разложения
передаточной функции в ряд можно записать
изображение по Лапласу сигнала ошибки
в следующей форме:

.

Отметим, что с
учетом сформулированного выше допущения
такое представление сигнала ошибки
соответствует

или
.

Перейдя к оригиналу
с учетом теоремы дифференцирования
получим:

.

Вернемся к
рассмотренному выше примеру и предположим,
что задающее воздействие изменяется
по произвольному закону, но при достаточно
больших значениях времени этот закон
аппроксимируется выражением
.

Найдем коэффициенты
разложения передаточной функции по
ошибке

в степенной ряд.

Здесь сразу можно
отметить, что номер первого ненулевого
члена ряда определяется низшей степенью
аргумента s
в числителе дроби, то есть первые два
коэффициента c0
и c1
здесь получаем тождественно равными
нулю.

Далее получим:

В результате
получаем
,
,
,

и так далее.

Найдем производные
задающего воздействия:

,
,
.

Ясно, что для
определения установившейся ошибки
достаточно первых трех коэффициентов:

.

В заключение
отметим, что порядок астатизма системы
по какому-либо входному сигналу совпадает
с количеством нулевых коэффициентов
ошибки, получаемых в разложении в ряд
передаточной функции по ошибке от
данного входного сигнала.

Соседние файлы в папке Конспект ТАУ

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Установившаяся ошибка

Система с обратной связью предоставляет инженеру возможность влиять на вид переход­ной характеристики. Кроме того, как мы уже видели, такая система позволяет значительно уменьшить ее чувствительность к изменению параметров и ослабить влияние возмущений. Однако имеет также смысл исследовать и сравнить установившуюся ошибку в разомкну­той и в замкнутой системах. Установившаяся ошибка — это ошибка, остающаяся после окончания переходного процесса, вызванного внешним воздействием.

+ ~ я»

-R(s) —— *~С>——- *

-Y(s)

G(s)

H(s)

Рис. 4.18. Разомкнутая система управления

Рис. 4.19. Замкнутая система управления В разомкнутой системе, изображенной на рис. 4.18, ошибка равна

ад=ад — ад=[і — стт. (4.48)

В замкнутой системе на рис. 4.19 при H(s) = 1 согласно (4.3)* ошибка равна

Для вычисления установившейся ошибки используется теорема о конечном значении:

lim e(t)= lims£(s). (4.50)

_ 1 —КО А—>0

Приняв для сравнения входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции, в разо­мкнутой системе мы получим:

е0 (о°) = limaf 1 — G(s)] ■ — = lim[l — G(s)] = 1 — G(0).

■v-»0 s -‘->0

В замкнутой системе при H(s) = 1 имеем:

Случай неединичной обратной связи рассматривается в разд. 5.8.

4.5. Установившаяся ошибка

Значение G(s) при 5 = 0 часто называют коэффициентом усиления на нулевой частоте (по постоянному току), и это значение обычно больше единицы. Следовательно, в разомкну­той системе мы получим большую установившуюся ошибку, а в замкнутой системе она бу­дет незначительной.

Установившаяся ошибка

Анализ выражения (4.51) показывает, что в разомкнутой системе установившаяся ошибка может равняться нулю, если обеспечить выполнение условия 6′(0) = 1. Тогда воз­никает естественный вопрос: а в чем же заключается преимущество замкнутой системы? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется вернуться к понятию чувствительности. Действительно, в разомкнутой системе можно так подобрать ее параметры, чтобы выпол­нялось условие С(0) = 1. Однако в процессе эксплуатации системы ее параметры наверня­ка будут изменяться под влиянием внешних факторов, что приведет к отклонению коэф­фициента усиления G(0) от единицы. Значит, появится отличная от нуля установившаяся ошибка, устранить которую можно только перенастроив систему. Напротив, в замкнутой системе происходит непрерывное измерение ошибки и вырабатывается сигнал, приводя­щий к уменьшению ее установившегося значения. Таким образом, мы приходим к выво­ду, что побудительным мотивом к введению отрицательной обратной связи является сни­жение чувствительности системы к дрейфу ее параметров, неточности их настройки и внешним возмущающим факторам. Пример оригинальной системы с обратной связью приведен на рис. 4.20.

Рис. 4.20

Грип-11 — это искусственная рука в виде протеза, управляемая с помощью троса. Она может быть использована для переключения скоростей автомобиля, забивания гвоздей, нарезания помидоров и выполнения других несложных задач, требующих двух рук. Ее действие основано на тяговом усилии троса, а сила захвата изменяется в диапазоне от 0 до 110 фунтов. Рука воспроизводит движение большого и указательного пальцев и осуществляет захват, когда на трос воздействуют спинные мышцы человека. Обратная связь осуществляется человеком визуально, но он не испытывает нормального ощущения прикосновения, присущего большинству людей при осторожных действиях с предметом

Способность замкнутой системы уменьшать установившуюся ошибку, вызванную изменениями параметров и неточностью их настройки, мы проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим систему, в которой объект управления имеет передаточную функ­цию

G(s) = —. (4.53)

TS+ 1

Такая передаточная функция характерна для тепловых объектов, регуляторов напряжения или емкостей с жидкостью при регулировании уровня. При задании входной переменной в
виде единичной ступенчатой функции мы имеем R(s) = 1/5. Тогда в соответствии с (4.51) в разомкнутой системе установившаяся ошибка будет равна

е0(со) = 1 — 6X0) = 1 — К (4.54)

при согласованных единицах измерения R(s) и К. В замкнутой системе (рис. 4.19) мы име­ем:

Ec(s) = R(s)-ns)R(s), где T(s) = (7(,v)/[ 1 + GH{s). Установившаяся ошибка равна

ес(оэ)= lim 41 — 7X5)] — = 1 — 7X0).

.v->0 s

Если H(s) = 1/(Т[Л + 1), то Я(0) =1 и G(0) = К. Следовательно,

ес(со) = 1 J! Le_L. (4.55)

1+ К 1+ К

В разомкнутой системе можно было бы, к примеру, задать К= 1, тогда установившаяся ошибка будет равна нулю. В замкнутой системе можно задать большое значение К, напри­мер, К = 100. Тогда установившаяся ошибка в ней составит ес(со) = 1/101.

Если теперь в силу каких-то факторов начальное значение К изменится на 10%, т. е. АК/К = 0,1, то в разомкнутой системе появится абсолютное приращение установившейся ошибки Де0(со) = 0,1, а относительное приращение составит

Ае0(со) 0,1

(4.56)

IKOI 1

т. е. также 10%. При таком же приращении АК/К = 0,1 в замкнутой системе установившая­ся ошибка составит ес(со) =1/91 (при отрицательном приращении К). Следовательно, абсо­лютное изменение установившейся ошибки будет равно

Аес (оо ) = ——(4.57) 91 101

а относительное приращение составит

Аес (оо)

= 0,0011, (4.58)

IKOI

или 0,11%. Как говорится, результат в комментариях не нуждается.

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

К системам автоматического регулирования (САР) предъявляются требования не только
устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества процесса управления.

Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям обьекта управления.На практике качество регулирования определяется визуально по графику переходной характеристики. Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие конкретные числовые значения (которые не рассматриваются в данной методике).

Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:

  • прямые — определяемые непосредственно по переходной характеристике процесса,
  • корневые — определяемые по корням характеристического полинома,
  • частотные — по частотным характеристикам,
  • интегральные — получаемые путем интегрирования функций.

Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые непосредственно по
переходной характеристике являются:

  1. Установившееся значение выходной величины Yуст,
  2. Степень затухания ?,
  3. Время достижения первого максимума tmax,
  4. Время регулирования tp,
  5. Ошибка регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая составляющие),
  6. Перерегулирование у,
  7. Динамический коэффициент регулирования Rd,
  8. Показатель колебательности М.

Например, переходная характеристика, снятая на объекте управления при отработке ступенчатого воздействия, имеет колебательный вид и представлена на рис.1.

Рисунок 1 — Определение показателей качества по переходной характеристике

Установившееся значение выходной величины Yуст

Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Степень затухания ?

Степень затухания ? определяется по формуле:

где А1 и А3 — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.

Время достижения первого максимума tmax

Время достижения первого максимума tmax определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Время регулирования tp

Время регулирования tp определяется согласно рис.1 следующим образом:Находится допустимое отклонение Д, например, задано Д = 5%Yуст и строится «зона» толщиной 2 Д(см. рис.1). Время tp соответствует последней точке пересечения Y(t) с данной границей. То есть время,когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
Настройки регулятора необходимо выбирать так, чтобы обеспечить минимально возможное значение общего времени регулирования, либо минимальное значение первой полуволны переходного процесса.

В непрерывных системах с типовыми регуляторами это время бывает минимальным при так называемых оптимальных апериодических переходных процессах. Дальнейшего уменьшения времени регулирования до абсолютного минимума можно достичь при использовании специальных оптимальных по быстродействию систем регулирования.

Ошибка регулирования Ест

Статическая ошибка регулирования Ест = Ув — Ууст, где Ув — входная величина (см. рис.1).В некоторых САР наблюдается ошибка, которая не исчезает даже по истечении длительногоинтервала времени — это статическая ошибка регулирования Ест. Данная ошибка не должна превышатьнекоторой наперед заданной величины. У регуляторов с интегральной составляющей ошибки в установившемся состоянии теоретическиравны нулю, но практически незначительные ошибки могут существовать из-за наличия зоннечувствительности в элементах системы.

Перерегулирование у

Величина перерегулирования у зависит от вида отрабатываемого сигнала.При отработке ступенчатого воздействия (по сигналу задания) – см. рис.1 величина перерегулирования у определяется по формуле:

где значения величин Ymax и Yуст определяются согласно рис.1.

При отработке возмущающего воздействия, величина перерегулирования у определяется изсоотношения:

где значения величин Xm и X1 определяются согласно рис. 2.

Рисунок 2 — График переходного процесса при отработке возмущения

Динамический коэффициент регулирования Rd

Динамический коэффициент регулирования Rd определяется из формулы:

где значения величин Y1 и Y0 определяются согласно рис. 3.

Рисунок 3 — К понятию динамического коэффициента регулирования

Величина динамического коэффициента Rd характеризует степень воздействия регулятора напроцесс, т.е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него.

Показатель колебательности М

Показатель колебательности M характеризует величину максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы (на частоте резонанса) и, тем самым, характеризует колебательные свойства системы. Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.

Рисунок 4 — График модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. вэтом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность всистеме возрастает.

В некоторых случаях нормируется полоса пропускания системы щп, которая соответствует уровню усиления в замкнутой системе 0,05. Чем больше полоса пропускания, тем больше быстродействие замкнутой системы. Однако при этом повышается чувствительность системы к шумам в канале измерения и возрастает дисперсия ошибки регулирования.

Автор статьи

Демьян Бондарь

Эксперт по предмету «Автоматизация технологических процессов»

преподавательский стаж — 5 лет

Задать вопрос автору статьи

Качество систем управления в переходном режиме

Определение 1

Качество системы управления – это комплексная оценка работы системы управления в зависимости от ее назначения.

Самыми распространенными показателями качества системы в переходном процессе являются:

  1. Интегральные критерии.
  2. Статическая ошибка регулирования.
  3. Степень колебательности.
  4. Динамическая ошибка регулирования.
  5. Время регулирования.
  6. Степень устойчивости.

Статическая ошибка регулирования представляет собой разность между установившемся значением регулируемого параметра и его заданным значением. Динамическая ошибка регулирования равняется наибольшему отклонению регулируемой величины от ее установившегося значения. Время регулирования определяется, как время, за которое разность между текущим значением регулируемого параметра и его заданным значением становится меньше допустимого отклонения. Степень устойчивости автоматической системы управления характеризует запас устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения и равняется расстоянию до оси ближайшего корня. Данный критерий характеризует интенсивность затухания наиболее медленно затухающей неколебательной составляющей переходного процесса.

Тренируй мозг с удовольствием

Развивай память, внимание и мышление c помощью онлайн-тренажеров

Выбрать программу

Степень колебательности равняется минимальному модулю отношения действительной и мнимой частей корня, то есть:

Рисунок 1.

Если в плоскости корней характеристического уравнения устойчивой системы провести из начала координат два луча (как показано на рисунке ниже) таким образом, чтобы одна пара корней находилась на данных лучах, а остальные лежали слева от них, то тангенс угла, который заключен между лучами и мнимой осью, равный отношению действительной и мнимой частей корней, лежащих на лучах АОВ, является степенью колебательности системы.

График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Качество систем управления в установившемся и переходном режимах» 👇

Степень затухания является количественной оценкой интенсивности затухания колебательного процесса:

Рисунок 3.

Между степенью затухания и степенью колебательности существует однозначная зависимость:

Рисунок 4.

Степень затухания может изменяться в пределах от 0,1 до 1, а степень колебательности от 0 до бесконечности. В отличии от прямых показателей интегральные критерии дают обобщенную оценку качества системы, они делятся на:

  • линейный интегральный критерий,
  • модульные интегральные критерии,
  • квадратичный интегральный критерий,
  • обобщенные интегральные критерии.

Качество системы управления в установившемся режиме

Определение 2

Установившийся режим – это режим, параметры которого не изменяются во времени или меняются в соответствии с периодическим законом.

Рассмотрим схему одноконтурной системы, которая представлена на рисунке ниже.

Схема одноконтурной системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Схема одноконтурной системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассматриваемая схема может быть упрощена следующим образом.

Упрощенная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Упрощенная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того, чтобы согласовать сигналы u3(t) и uoc(t) надо подобрать одинаковые передаточные функции Wбз(р) и Wби(р), поэтому должно выполняться следующее равенство:

$Wбз(р) = Wби(р)$

С учетом представленного выше равенства схему рассматриваемой системы можно представить в следующем виде.

Схема системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Схема системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В этом случае ошибка регулирования входит в формулу для определения сигнала рассогласования:

$ΔU(р) = Δ(р) WБИ(р)$

Ошибка δ(t) зависит от величины параметров, задающего и возмущающего воздействия, таким образом ее значение может быть выражено как сумма ошибок данных воздействий:

$δ(t) =δy(t) + δf(t)$

Передаточные функции выражаются следующим образом:

Рисунок 8.

Рисунок 9.

Передаточная функция разомкнутого контура выражается следующим образом

$Wрк (р) =WБИ(р) WБУ (р) WОУ(р)$

Исходя из представленных выше выражений величина изображения ошибки определяется следующим образом:

Рисунок 10.

Существую типовые законы оценки установившегося режима, установленные условиями:

  1. Возмущающее и задающее воздействия не изменяются во времени и постоянны, то есть — yз(t), f (t) = const.
  2. Изменения в системе происходят с постоянной скоростью, то есть — yз (t) = a t и f (t) = const.
  3. Изменения в системе происходят с постоянным ускорением, то есть — y(t) = b t2/2и f (t) = const.
  4. Изменения в системе происходят по гармоническому закону, то есть — yз (t) = y0 sin(ω t) и f (t) = const.

Определение 3

Статическая ошибка – это значение ошибки регулирования при постоянной величине входного воздействия.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Установившаяся ошибка

Cтраница 1

Установившаяся ошибка в данной системе при ступенчатом входном сигнале равна нулю, ( а) Изобразите графически частотные характеристики данной системы и обратите внимание на наличие двух всплесков на амплитудной характеристике, ( б) Предскажите вид переходной характеристики системы с учетом того, что она имеет 4 полюса и не может быть аппроксимирована моделью второго порядка, предполагающей наличие доминирующих полюсов, ( в) Получите график переходной характеристики.
 [1]

Установившаяся ошибка характеризует точность регулирования в установившемся режиме.
 [3]

Установившаяся ошибка при этом оказывается равной нулю, и система действует подобно линейной системе с однократным астатизмом в контуре ошибки. Фактически регулятор получается двухконтурным, причем пропускание низких частот регулируется параметрическим управляющим контуром, а высоких — релейным контуром.
 [5]

Установившаяся ошибка ( в силу рабочего движения) при таком законе управления, очевидно, равна нулю.
 [6]

Установившаяся ошибка по положению уменьшается при увеличении статического коэффициента усиления разомкнутой цепи.
 [7]

Установившаяся ошибка по положению ликвидируется введением интегратора2 в разомкнутую цепь.
 [8]

Установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях называется статической.
 [9]

Установившаяся ошибка характеризует точность регулирования в установившемся режиме.
 [10]

Установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях называется статической. Поэтому статические и астатические системы можно определить следующим образом: система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если она равна нулю.
 [11]

Установившаяся ошибка является ошибкой, которая остается после окончания переходного процесса.
 [12]

Установившаяся ошибка равняется сумме статической, ошибки, вызванной действием Мот и скоростной ошибки, обусловленной заданной скоростью изменения входного сигнала.
 [13]

Установившаяся ошибка является ошибкой, которая остается после окончания переходного процесса.
 [14]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

К системам автоматического регулирования (САР) предъявляются требования не только
устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества процесса управления.

Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям обьекта управления.На практике качество регулирования определяется визуально по графику переходной характеристики. Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие конкретные числовые значения (которые не рассматриваются в данной методике).

Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:

  • прямые — определяемые непосредственно по переходной характеристике процесса,
  • корневые — определяемые по корням характеристического полинома,
  • частотные — по частотным характеристикам,
  • интегральные — получаемые путем интегрирования функций.

Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые непосредственно по
переходной характеристике являются:

  1. Установившееся значение выходной величины Yуст,
  2. Степень затухания ?,
  3. Время достижения первого максимума tmax,
  4. Время регулирования tp,
  5. Ошибка регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая составляющие),
  6. Перерегулирование у,
  7. Динамический коэффициент регулирования Rd,
  8. Показатель колебательности М.

Например, переходная характеристика, снятая на объекте управления при отработке ступенчатого воздействия, имеет колебательный вид и представлена на рис.1.

Рисунок 1 — Определение показателей качества по переходной характеристике

Установившееся значение выходной величины Yуст

Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Степень затухания ?

Степень затухания ? определяется по формуле:

где А1 и А3 — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.

Время достижения первого максимума tmax

Время достижения первого максимума tmax определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Время регулирования tp

Время регулирования tp определяется согласно рис.1 следующим образом:Находится допустимое отклонение Д, например, задано Д = 5%Yуст и строится «зона» толщиной 2 Д(см. рис.1). Время tp соответствует последней точке пересечения Y(t) с данной границей. То есть время,когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
Настройки регулятора необходимо выбирать так, чтобы обеспечить минимально возможное значение общего времени регулирования, либо минимальное значение первой полуволны переходного процесса.

В непрерывных системах с типовыми регуляторами это время бывает минимальным при так называемых оптимальных апериодических переходных процессах. Дальнейшего уменьшения времени регулирования до абсолютного минимума можно достичь при использовании специальных оптимальных по быстродействию систем регулирования.

Ошибка регулирования Ест

Статическая ошибка регулирования Ест = Ув — Ууст, где Ув — входная величина (см. рис.1).В некоторых САР наблюдается ошибка, которая не исчезает даже по истечении длительногоинтервала времени — это статическая ошибка регулирования Ест. Данная ошибка не должна превышатьнекоторой наперед заданной величины. У регуляторов с интегральной составляющей ошибки в установившемся состоянии теоретическиравны нулю, но практически незначительные ошибки могут существовать из-за наличия зоннечувствительности в элементах системы.

Перерегулирование у

Величина перерегулирования у зависит от вида отрабатываемого сигнала.При отработке ступенчатого воздействия (по сигналу задания) – см. рис.1 величина перерегулирования у определяется по формуле:

где значения величин Ymax и Yуст определяются согласно рис.1.

При отработке возмущающего воздействия, величина перерегулирования у определяется изсоотношения:

где значения величин Xm и X1 определяются согласно рис. 2.

Рисунок 2 — График переходного процесса при отработке возмущения

Динамический коэффициент регулирования Rd

Динамический коэффициент регулирования Rd определяется из формулы:

где значения величин Y1 и Y0 определяются согласно рис. 3.

Рисунок 3 — К понятию динамического коэффициента регулирования

Величина динамического коэффициента Rd характеризует степень воздействия регулятора напроцесс, т.е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него.

Показатель колебательности М

Показатель колебательности M характеризует величину максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы (на частоте резонанса) и, тем самым, характеризует колебательные свойства системы. Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.

Рисунок 4 — График модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. вэтом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность всистеме возрастает.

В некоторых случаях нормируется полоса пропускания системы щп, которая соответствует уровню усиления в замкнутой системе 0,05. Чем больше полоса пропускания, тем больше быстродействие замкнутой системы. Однако при этом повышается чувствительность системы к шумам в канале измерения и возрастает дисперсия ошибки регулирования.

Установившаяся ошибка

Cтраница 1

Установившаяся ошибка в данной системе при ступенчатом входном сигнале равна нулю, ( а) Изобразите графически частотные характеристики данной системы и обратите внимание на наличие двух всплесков на амплитудной характеристике, ( б) Предскажите вид переходной характеристики системы с учетом того, что она имеет 4 полюса и не может быть аппроксимирована моделью второго порядка, предполагающей наличие доминирующих полюсов, ( в) Получите график переходной характеристики.
 [1]

Установившаяся ошибка характеризует точность регулирования в установившемся режиме.
 [3]

Установившаяся ошибка при этом оказывается равной нулю, и система действует подобно линейной системе с однократным астатизмом в контуре ошибки. Фактически регулятор получается двухконтурным, причем пропускание низких частот регулируется параметрическим управляющим контуром, а высоких — релейным контуром.
 [5]

Установившаяся ошибка ( в силу рабочего движения) при таком законе управления, очевидно, равна нулю.
 [6]

Установившаяся ошибка по положению уменьшается при увеличении статического коэффициента усиления разомкнутой цепи.
 [7]

Установившаяся ошибка по положению ликвидируется введением интегратора2 в разомкнутую цепь.
 [8]

Установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях называется статической.
 [9]

Установившаяся ошибка характеризует точность регулирования в установившемся режиме.
 [10]

Установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях называется статической. Поэтому статические и астатические системы можно определить следующим образом: система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если она равна нулю.
 [11]

Установившаяся ошибка является ошибкой, которая остается после окончания переходного процесса.
 [12]

Установившаяся ошибка равняется сумме статической, ошибки, вызванной действием Мот и скоростной ошибки, обусловленной заданной скоростью изменения входного сигнала.
 [13]

Установившаяся ошибка является ошибкой, которая остается после окончания переходного процесса.
 [14]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Установившаяся ошибка

Система с обратной связью предоставляет инженеру возможность влиять на вид переход­ной характеристики. Кроме того, как мы уже видели, такая система позволяет значительно уменьшить ее чувствительность к изменению параметров и ослабить влияние возмущений. Однако имеет также смысл исследовать и сравнить установившуюся ошибку в разомкну­той и в замкнутой системах. Установившаяся ошибка — это ошибка, остающаяся после окончания переходного процесса, вызванного внешним воздействием.

+ ~ я»

-R(s) —— *~С>——- *

-Y(s)

G(s)

H(s)

Рис. 4.18. Разомкнутая система управления

Рис. 4.19. Замкнутая система управления В разомкнутой системе, изображенной на рис. 4.18, ошибка равна

ад=ад — ад=[і — стт. (4.48)

В замкнутой системе на рис. 4.19 при H(s) = 1 согласно (4.3)* ошибка равна

Для вычисления установившейся ошибки используется теорема о конечном значении:

lim e(t)= lims£(s). (4.50)

_ 1 —КО А—>0

Приняв для сравнения входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции, в разо­мкнутой системе мы получим:

е0 (о°) = limaf 1 — G(s)] ■ — = lim[l — G(s)] = 1 — G(0).

■v-»0 s -‘->0

В замкнутой системе при H(s) = 1 имеем:

Случай неединичной обратной связи рассматривается в разд. 5.8.

4.5. Установившаяся ошибка

Значение G(s) при 5 = 0 часто называют коэффициентом усиления на нулевой частоте (по постоянному току), и это значение обычно больше единицы. Следовательно, в разомкну­той системе мы получим большую установившуюся ошибку, а в замкнутой системе она бу­дет незначительной.

Установившаяся ошибка

Анализ выражения (4.51) показывает, что в разомкнутой системе установившаяся ошибка может равняться нулю, если обеспечить выполнение условия 6′(0) = 1. Тогда воз­никает естественный вопрос: а в чем же заключается преимущество замкнутой системы? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется вернуться к понятию чувствительности. Действительно, в разомкнутой системе можно так подобрать ее параметры, чтобы выпол­нялось условие С(0) = 1. Однако в процессе эксплуатации системы ее параметры наверня­ка будут изменяться под влиянием внешних факторов, что приведет к отклонению коэф­фициента усиления G(0) от единицы. Значит, появится отличная от нуля установившаяся ошибка, устранить которую можно только перенастроив систему. Напротив, в замкнутой системе происходит непрерывное измерение ошибки и вырабатывается сигнал, приводя­щий к уменьшению ее установившегося значения. Таким образом, мы приходим к выво­ду, что побудительным мотивом к введению отрицательной обратной связи является сни­жение чувствительности системы к дрейфу ее параметров, неточности их настройки и внешним возмущающим факторам. Пример оригинальной системы с обратной связью приведен на рис. 4.20.

Рис. 4.20

Грип-11 — это искусственная рука в виде протеза, управляемая с помощью троса. Она может быть использована для переключения скоростей автомобиля, забивания гвоздей, нарезания помидоров и выполнения других несложных задач, требующих двух рук. Ее действие основано на тяговом усилии троса, а сила захвата изменяется в диапазоне от 0 до 110 фунтов. Рука воспроизводит движение большого и указательного пальцев и осуществляет захват, когда на трос воздействуют спинные мышцы человека. Обратная связь осуществляется человеком визуально, но он не испытывает нормального ощущения прикосновения, присущего большинству людей при осторожных действиях с предметом

Способность замкнутой системы уменьшать установившуюся ошибку, вызванную изменениями параметров и неточностью их настройки, мы проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим систему, в которой объект управления имеет передаточную функ­цию

G(s) = —. (4.53)

TS+ 1

Такая передаточная функция характерна для тепловых объектов, регуляторов напряжения или емкостей с жидкостью при регулировании уровня. При задании входной переменной в
виде единичной ступенчатой функции мы имеем R(s) = 1/5. Тогда в соответствии с (4.51) в разомкнутой системе установившаяся ошибка будет равна

е0(со) = 1 — 6X0) = 1 — К (4.54)

при согласованных единицах измерения R(s) и К. В замкнутой системе (рис. 4.19) мы име­ем:

Ec(s) = R(s)-ns)R(s), где T(s) = (7(,v)/[ 1 + GH{s). Установившаяся ошибка равна

ес(оэ)= lim 41 — 7X5)] — = 1 — 7X0).

.v->0 s

Если H(s) = 1/(Т[Л + 1), то Я(0) =1 и G(0) = К. Следовательно,

ес(со) = 1 J! Le_L. (4.55)

1+ К 1+ К

В разомкнутой системе можно было бы, к примеру, задать К= 1, тогда установившаяся ошибка будет равна нулю. В замкнутой системе можно задать большое значение К, напри­мер, К = 100. Тогда установившаяся ошибка в ней составит ес(со) = 1/101.

Если теперь в силу каких-то факторов начальное значение К изменится на 10%, т. е. АК/К = 0,1, то в разомкнутой системе появится абсолютное приращение установившейся ошибки Де0(со) = 0,1, а относительное приращение составит

Ае0(со) 0,1

(4.56)

IKOI 1

т. е. также 10%. При таком же приращении АК/К = 0,1 в замкнутой системе установившая­ся ошибка составит ес(со) =1/91 (при отрицательном приращении К). Следовательно, абсо­лютное изменение установившейся ошибки будет равно

Аес (оо ) = ——(4.57) 91 101

а относительное приращение составит

Аес (оо)

= 0,0011, (4.58)

IKOI

или 0,11%. Как говорится, результат в комментариях не нуждается.

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Автор статьи

Демьян Бондарь

Эксперт по предмету «Автоматизация технологических процессов»

преподавательский стаж — 5 лет

Задать вопрос автору статьи

Качество систем управления в переходном режиме

Определение 1

Качество системы управления – это комплексная оценка работы системы управления в зависимости от ее назначения.

Самыми распространенными показателями качества системы в переходном процессе являются:

  1. Интегральные критерии.
  2. Статическая ошибка регулирования.
  3. Степень колебательности.
  4. Динамическая ошибка регулирования.
  5. Время регулирования.
  6. Степень устойчивости.

Статическая ошибка регулирования представляет собой разность между установившемся значением регулируемого параметра и его заданным значением. Динамическая ошибка регулирования равняется наибольшему отклонению регулируемой величины от ее установившегося значения. Время регулирования определяется, как время, за которое разность между текущим значением регулируемого параметра и его заданным значением становится меньше допустимого отклонения. Степень устойчивости автоматической системы управления характеризует запас устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения и равняется расстоянию до оси ближайшего корня. Данный критерий характеризует интенсивность затухания наиболее медленно затухающей неколебательной составляющей переходного процесса.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 4 500 ₽

Степень колебательности равняется минимальному модулю отношения действительной и мнимой частей корня, то есть:

Рисунок 1.

Если в плоскости корней характеристического уравнения устойчивой системы провести из начала координат два луча (как показано на рисунке ниже) таким образом, чтобы одна пара корней находилась на данных лучах, а остальные лежали слева от них, то тангенс угла, который заключен между лучами и мнимой осью, равный отношению действительной и мнимой частей корней, лежащих на лучах АОВ, является степенью колебательности системы.

График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Качество систем управления в установившемся и переходном режимах» 👇

Степень затухания является количественной оценкой интенсивности затухания колебательного процесса:

Рисунок 3.

Между степенью затухания и степенью колебательности существует однозначная зависимость:

Рисунок 4.

Степень затухания может изменяться в пределах от 0,1 до 1, а степень колебательности от 0 до бесконечности. В отличии от прямых показателей интегральные критерии дают обобщенную оценку качества системы, они делятся на:

  • линейный интегральный критерий,
  • модульные интегральные критерии,
  • квадратичный интегральный критерий,
  • обобщенные интегральные критерии.

Качество системы управления в установившемся режиме

Определение 2

Установившийся режим – это режим, параметры которого не изменяются во времени или меняются в соответствии с периодическим законом.

Рассмотрим схему одноконтурной системы, которая представлена на рисунке ниже.

Схема одноконтурной системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Схема одноконтурной системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассматриваемая схема может быть упрощена следующим образом.

Упрощенная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Упрощенная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того, чтобы согласовать сигналы u3(t) и uoc(t) надо подобрать одинаковые передаточные функции Wбз(р) и Wби(р), поэтому должно выполняться следующее равенство:

$Wбз(р) = Wби(р)$

С учетом представленного выше равенства схему рассматриваемой системы можно представить в следующем виде.

Схема системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Схема системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В этом случае ошибка регулирования входит в формулу для определения сигнала рассогласования:

$ΔU(р) = Δ(р) WБИ(р)$

Ошибка δ(t) зависит от величины параметров, задающего и возмущающего воздействия, таким образом ее значение может быть выражено как сумма ошибок данных воздействий:

$δ(t) =δy(t) + δf(t)$

Передаточные функции выражаются следующим образом:

Рисунок 8.

Рисунок 9.

Передаточная функция разомкнутого контура выражается следующим образом

$Wрк (р) =WБИ(р) WБУ (р) WОУ(р)$

Исходя из представленных выше выражений величина изображения ошибки определяется следующим образом:

Рисунок 10.

Существую типовые законы оценки установившегося режима, установленные условиями:

  1. Возмущающее и задающее воздействия не изменяются во времени и постоянны, то есть — yз(t), f (t) = const.
  2. Изменения в системе происходят с постоянной скоростью, то есть — yз (t) = a t и f (t) = const.
  3. Изменения в системе происходят с постоянным ускорением, то есть — y(t) = b t2/2и f (t) = const.
  4. Изменения в системе происходят по гармоническому закону, то есть — yз (t) = y0 sin(ω t) и f (t) = const.

Определение 3

Статическая ошибка – это значение ошибки регулирования при постоянной величине входного воздействия.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Вместо введения

Системы автоматического управления (САУ) предназначены для автоматического изменения одного или нескольких параметров объекта управления с целью установления требуемого режима его работы. САУ обеспечивает поддержание постоянства заданных значений регулируемых параметров или их изменение по заданному закону либо оптимизирует определенные критерии качества управления. Например, к таким системам относятся:

  • системы стабилизации,
  • системы программного управления,
  • следящие системы

Это достаточно широкий класс систем, которые можно найти где угодно. Но какое это отношение имеет к Unity3D и вероятно к играм в частности? В принципе прямое: в любой игре так или иначе использующей симуляцию как элемент геймплея реализуются САУ, к таким играм относятся, например, Kerbal Space Programm, Digital Combat Simulator (бывший Lock On), Strike Suit Zero и т.д. (кто знает еще примеры — пишите в комментариях). В принципе любая игра, моделирующая реальные физические процессы, в том числе и просто кинематику с динамикой движения, может реализовывать те или иные САУ — этот подход проще, естественнее, а у разработчика уже есть есть набор готовых инструментов, предоставленных всякими Вышнеградскими, Ляпуновыми, Калманами, Чебышевами и прочими Коломогоровами, поэтому можно обойтись без изобретения велосипеда, т.к. его уже изобрели, да так, что получилась отдельная наука: Теория автоматического управления. Главное тут не переусердствовать. Одна тут только проблема: рассказывают про ТАУ не везде, не всем, зачастую мало и не очень понятно.

Немножко теории

Классическая система автоматического управления представленная на следующем рисунке:

image

Ключевым элементом любой САУ является регулятор представляющий из себя устройство, которое следит за состоянием объекта управления и обеспечивает требуемый закон управления. Процесс управления включает в себя: вычисление ошибки управления или сигнала рассогласования e(t) как разницы между желаемой уставкой (set point или SP) и текущей величиной процесса (process value или PV), после чего регулятор вырабатывает управляющие сигналы (manipulated value или MV).

Одной из разновидностью регуляторов является пропорционально-интегрально-дифференцирующий (ПИД) регулятор, который формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых: пропорционального, интегрального и дифференциального.

image

Где, $e(t)$ ошибка рассогласования, а также, $ P = K_p cdot e(t)$ — пропорциональная, $ I = K_i cdot int_0^t e(tau)dtau$ — интегральная, $D = K_d cdot frac{de(t)}{dt}$ — дифференциальная составляющие (термы) закона управления, который в итоговом виде описывается следующими формулами

$ e(t) = SP(t) - PV(t), $

$ MV(t) = underbrace{K_p cdot e(t)}_{P} + underbrace{K_i cdot int_0^t e(tau)dtau}_{I} + underbrace{K_d cdot frac{de(t)}{dt}}_{D}, $

Пропорциональная составляющая P — отвечает за т.н. пропорциональное управление, смысл которого в том, что выходной сигнал регулятора, противодействует отклонению регулируемой величины (ошибки рассогласования или еще это называют невязкой) от заданного значения. Чем больше ошибка рассогласования, тем больше командное отклонение регулятора. Это самый простой и очевидный закон управления. Недостаток пропорционального закона управления заключается в том, что регулятор никогда не стабилизируется в заданном значении, а увеличение коэффициента пропорциональности всегда приводит к автоколебаниям. Именно поэтому в довесок к пропорциональному закону управления приходиться использовать интегральный и дифференциальный.

Интегральная составляющая I накапливает (интегрирует) ошибку регулирования, что позволяет ПИД-регулятору устранять статическую ошибку (установившуюся ошибку, остаточное рассогласование). Или другими словами: интегральное звено всегда вносит некоторое смещение и если система подвержена некоторыми постоянным ошибкам, то оно их компенсирует (за счет своего смещения). А вот если же этих ошибок нет или они пренебрежительно малы, то эффект будет обратным — интегральная составляющая сама будет вносить ошибку смещения. Именно по этой причине её не используют, например, в задачах сверхточного позиционирования. Ключевым недостатком интегрального закона управления является эффект насыщения интегратора (Integrator windup).

Дифференциальная составляющая D пропорциональна темпу изменения отклонения регулируемой величины и предназначена для противодействия отклонениям от целевого значения, которые прогнозируются в будущем. Примечательно то, что дифференциальная компонента устраняет затухающие колебания. Дифференциальное регулирование особенно эффективно для процессов, которые имеют большие запаздывания. Недостатком дифференциального закона управления является его неустойчивость к воздействую шумов (Differentiation noise).

Таким образом, в зависимости от ситуации могут применятся П-, ПД-, ПИ- и ПИД-регуляторы, но основным законом управления в основном является пропорциональный (хотя в некоторых специфических задачах и могут использоваться исключительно только звенья дифференциаторов и интеграторов).

Казалось бы, вопрос реализации ПИД-регуляторов уже давно избит и здесь на Хабре есть парочка неплохих статей на эту тему в том числе и на Unity3D, также есть неплохая статья PID Without a PhD (перевод) и цикл статей в журнале «Современные технологии автоматизации» в двух частях: первая и вторая. Также к вашим услугам статья на Википедии (наиболее полную читайте в английском варианте). А на форумах коммьюнити Unity3D нет-нет, да и всплывет PID controller как и на gamedev.stackexchange

При вопрос по реализации ПИД-регуляторов несколько глубже чем и кажется. Настолько, что юных самоделкиных, решивших, реализовать такую схему регулирования ждет немало открытий чудных, а тема актуальная. Так что надеюсь сей опус, кому-нибудь да пригодиться, поэтому приступим.

Попытка номер раз

В качестве примера попытаемся реализовать схему регулирования на примере управления поворотом в простенькой космической 2D-аркаде, по шагам, начиная с самого начала (не забыли, что это туториал?).

Почему не 3D? Потому что реализация не измениться, за исключением того, что придется воротить ПИД-регулятор для контроля тангажа, рысканья и крена. Хотя вопрос корректного применения ПИД-регулирования вместе с кватернионами действительно интересный, возможно в будущем его и освящу, но даже в NASA предпочитают углы Эйлера вместо кватернионов, так что обойдемся простенькой моделью на двухмерной плоскости.

Для начала создадим сам объект игровой объект космического корабля, который будет состоять из собственно самого объекта корабля на верхнем уровне иерархии, прикрепим к нему дочерний объект Engine (чисто спецэффектов ради). Вот как это выглядит у меня:

image

А на сам объект космического корабля накидаем в инспекторе всяческих компонент. Забегая вперед, приведу скрин того, как он будет выглядеть в конце:

image
Но это потом, а пока в нем еще нет никаких скриптов, только стандартный джентльменский набор: Sprite Render, RigidBody2D, Polygon Collider, Audio Source (зачем?).

Собственно физика у нас сейчас самое главное и управление будет осуществляться исключительно через неё, в противном случае, применение ПИД-регулятора потеряло бы смысл. Масса нашего космического корабля оставим также в 1 кг, а все коэффициенты трения и гравитации равны нулю — в космосе же.

Т.к. помимо самого космического корабля есть куча других, менее умных космических объектов, то сначала опишем родительский класс BaseBody, который в себе будет содержать ссылки на на наши компоненты, методы инициализации и уничтожения, а также ряд дополнительных полей и методов, например для реализации небесной механики:

BaseBody.cs

using UnityEngine;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies
{
    [RequireComponent(typeof(SpriteRenderer))]
    [RequireComponent(typeof(AudioSource))]
    [RequireComponent(typeof(Rigidbody2D))]
    [RequireComponent(typeof(Collider2D))]

    public class BaseBody : MonoBehaviour
    {
        readonly float _deafultTimeDelay = 0.05f;

[HideInInspector]
        public static List<BaseBody> _bodies = new List<BaseBody>();

        #region RigidBody

        [HideInInspector]
        public Rigidbody2D _rb2d;

        [HideInInspector]
        public Collider2D[] _c2d;

        #endregion

        #region References

        [HideInInspector]
        public Transform _myTransform;

        [HideInInspector]
        public GameObject _myObject;

        /// <summary>
        /// Объект, который появляется при уничтожении
        /// </summary>
        public GameObject _explodePrefab;

        #endregion

        #region  Audio

        public AudioSource _audioSource;

        /// <summary>
        /// Звуки, которые проигрываются при получении повреждения
        /// </summary>
        public AudioClip[] _hitSounds;

        /// <summary>
        /// Звуки, которые проигрываются при появлении объекта
        /// </summary>
        public AudioClip[] _awakeSounds;

        /// <summary>
        /// Звуки, которые воспроизводятся перед смертью
        /// </summary>
        public AudioClip[] _deadSounds;

        #endregion

        #region External Force Variables
        /// <summary>
        /// Внешние силы воздйствующие на объект
        /// </summary>
        [HideInInspector]
        public Vector2 _ExternalForces = new Vector2();

        /// <summary>
        /// Текущий вектор скорости
        /// </summary>
        [HideInInspector]
        public Vector2 _V = new Vector2();

        /// <summary>
        /// Текущий вектор силы гравитации
        /// </summary>
        [HideInInspector]
        public Vector2 _G = new Vector2();
        #endregion

        public virtual void Awake()
        {
            Init();
        }

        public virtual void Start()
        {

        }

        public virtual void Init()
        {
            _myTransform = this.transform;
            _myObject = gameObject;

            _rb2d = GetComponent<Rigidbody2D>();
            _c2d = GetComponentsInChildren<Collider2D>();
            _audioSource = GetComponent<AudioSource>();

            PlayRandomSound(_awakeSounds);

            BaseBody bb = GetComponent<BaseBody>();
            _bodies.Add(bb);
        }

        /// <summary>
        /// Уничтожение персонажа
        /// </summary>
        public virtual void Destroy()
        {
            _bodies.Remove(this);
            for (int i = 0; i < _c2d.Length; i++)
            {
                _c2d[i].enabled = false;
            }
            float _t = PlayRandomSound(_deadSounds);
            StartCoroutine(WaitAndDestroy(_t));
        }

        /// <summary>
        /// Ждем некоторое время перед уничтожением
        /// </summary>
        /// <param name="waitTime">Время ожидания</param>
        /// <returns></returns>
        public IEnumerator WaitAndDestroy(float waitTime)
        {
            yield return new WaitForSeconds(waitTime);

            if (_explodePrefab)
            {
                Instantiate(_explodePrefab, transform.position, Quaternion.identity);
            }

            Destroy(gameObject, _deafultTimeDelay);
        }

        /// <summary>
        /// Проигрывание случайного звука
        /// </summary>
        /// <param name="audioClip">Массив звуков</param>
        /// <returns>Длительность проигрываемого звука</returns>
        public float PlayRandomSound(AudioClip[] audioClip)
        {
            float _t = 0;
            if (audioClip.Length > 0)
            {
                int _i = UnityEngine.Random.Range(0, audioClip.Length - 1);
                AudioClip _audioClip = audioClip[_i];
                _t = _audioClip.length;
                _audioSource.PlayOneShot(_audioClip);
            }
            return _t;
        }

        /// <summary>
        /// Получение урона
        /// </summary>
        /// <param name="damage">Уровень урона</param>
        public virtual void Damage(float damage)
        {
            PlayRandomSound(_hitSounds);
        }

    }
}

Вроде описали все что надо, даже больше чем нужно (в рамках этой статьи). Теперь отнаследуем от него класс корабля Ship, который должен уметь двигаться и поворачивать:

SpaceShip.cs

using UnityEngine;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies
{
    public class Ship : BaseBody
    {
        public Vector2 _movement = new Vector2();
        public Vector2 _target = new Vector2();
        public float _rotation = 0f;

        public void FixedUpdate()
        {
            float torque = ControlRotate(_rotation);
            Vector2 force = ControlForce(_movement);

            _rb2d.AddTorque(torque);
            _rb2d.AddRelativeForce(force);
        }

        public float ControlRotate(Vector2 rotate)
        {
            float result = 0f;

            return result;
        }

        public Vector2 ControlForce(Vector2 movement)
        {
            Vector2 result = new Vector2();

            return result;

        }
    }
}

Пока в нем нет ничего интересно, на текущий момент это просто класс-заглушка.

Также опишем базовый(абстрактный) класс для всех контроллеров ввода BaseInputController:

BaseInputController.cs

using UnityEngine;
using Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies;

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.InputController
{
    public enum eSpriteRotation
    {
        Rigth = 0,
        Up = -90,
        Left = -180,
        Down = -270
    }

    public abstract class BaseInputController : MonoBehaviour
    {
        public GameObject _agentObject;
        public Ship _agentBody; // Ссылка на компонент логики корабля
        public eSpriteRotation _spriteOrientation = eSpriteRotation.Up; //Это связано с нестандартной 
                                                                           // ориентации спрайта "вверх" вместо "вправо"

        public abstract void ControlRotate(float dt);
        public abstract void ControlForce(float dt);

        public virtual void Start()
        {
            _agentObject = gameObject;
            _agentBody = gameObject.GetComponent<Ship>();
        }

        public virtual void FixedUpdate()
        {
            float dt = Time.fixedDeltaTime;
            ControlRotate(dt);
            ControlForce(dt);
        }

        public virtual void Update()
        {
            //TO DO
        }
    }
}

И наконец, класс контроллера игрока PlayerFigtherInput:

PlayerInput.cs

using UnityEngine;
using Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies;

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.InputController
{
    public class PlayerFigtherInput : BaseInputController
    {
        public override void ControlRotate(float dt)
        {
            // Определяем позицию мыши относительно игрока
            Vector3 worldPos = Input.mousePosition;
            worldPos = Camera.main.ScreenToWorldPoint(worldPos);

            // Сохраняем координаты указателя мыши
            float dx = -this.transform.position.x + worldPos.x;
            float dy = -this.transform.position.y + worldPos.y;

            //Передаем направление
            Vector2 target = new Vector2(dx, dy);
            _agentBody._target = target;

            //Вычисляем поворот в соответствии с нажатием клавиш
            float targetAngle = Mathf.Atan2(dy, dx) * Mathf.Rad2Deg;
            _agentBody._targetAngle = targetAngle + (float)_spriteOrientation;
        }

        public override void ControlForce(float dt)
        {
            //Передаем movement
            _agentBody._movement = Input.GetAxis("Vertical") * Vector2.up 
                + Input.GetAxis("Horizontal") * Vector2.right;
        }
    }
}

Вроде бы закончили, теперь наконец можно перейти к тому, ради чего все это затевалось, т.е. ПИД-регуляторам (не забыли надеюсь?). Его реализация кажется простой до безобразия:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace Assets.Scripts.Regulator
{
    [System.Serializable] // Этот атрибут необходим для того что бы поля регулятора 
                                   // отображались в инспекторе и сериализовывались
    public class SimplePID
    {
        public float Kp, Ki, Kd;

        private float lastError;
        private float P, I, D;

        public SimplePID()
        {
            Kp = 1f;
            Ki = 0;
            Kd = 0.2f;
        }

        public SimplePID(float pFactor, float iFactor, float dFactor)
        {
            this.Kp = pFactor;
            this.Ki = iFactor;
            this.Kd = dFactor;
        }

        public float Update(float error, float dt)
        {
            P = error;
            I += error * dt;
            D = (error - lastError) / dt;
            lastError = error;

            float CO = P * Kp + I * Ki + D * Kd;

            return CO;
        }
    }
}

Значения коэффициентов по умолчанию возьмем с потолка: это будет тривиальный единичный коэффициент пропорционального закона управления Kp = 1, небольшое значение коэффициента для дифференциального закона управления Kd = 0.2, который должен устранить ожидаемые колебания и нулевое значение для Ki, которое выбрано потому, что в нашей программной модели нет никаких статичных ошибок (но вы всегда можете их внести, а потом героически побороться с помощью интегратора).

Теперь вернемся к нашему классу SpaceShip и попробуем заюзать наше творение в качестве регулятора поворота космического корабля в методе ControlRotate:

 public float ControlRotate(Vector2 rotate)
 {
      float MV = 0f;
      float dt = Time.fixedDeltaTime;

      //Вычисляем ошибку
      float angleError = Mathf.DeltaAngle(_myTransform.eulerAngles.z, targetAngle);

      //Получаем корректирующее ускорение
      MV = _angleController.Update(angleError, dt);

      return MV;
 }

ПИД-регулятор будет осуществлять точное угловое позиционировая космического корабля только за счет крутящего момента. Все честно, физика и САУ, почти как в реальной жизни.

И без этих ваших Quaternion.Lerp

 if (!_rb2d.freezeRotation)
     rb2d.freezeRotation = true;

 float deltaAngle = Mathf.DeltaAngle(_myTransform.eulerAngles.z, targetAngle);
 float T = dt *  Mathf.Abs( _rotationSpeed / deltaAngle);

 // Трансформируем угол в вектор
Quaternion rot = Quaternion.Lerp(
                _myTransform.rotation,
                Quaternion.Euler(new Vector3(0, 0, targetAngle)),
                T);

 // Изменяем поворот объекта
 _myTransform.rotation = rot;

Получившейся исходный код Ship.cs под спойлером

using UnityEngine;
using Assets.Scripts.Regulator;

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies
{
    public class Ship : BaseBody
    {
        public GameObject _flame;

        public Vector2 _movement = new Vector2();
        public Vector2 _target = new Vector2();

        public float _targetAngle = 0f;
        public float _angle = 0f;

        [Header("PID")]
        public SimplePID _angleController = new SimplePID();

        public void FixedUpdate()
        {
            float torque = ControlRotate(_targetAngle);
            Vector2 force = ControlForce(_movement);

            _rb2d.AddTorque(torque);
            _rb2d.AddRelativeForce(force);
        }

        public float ControlRotate(float rotate)
        {
            float MV = 0f;
            float dt = Time.fixedDeltaTime;

            _angle = _myTransform.eulerAngles.z;

            //Вычисляем ошибку
            float angleError = Mathf.DeltaAngle(_angle, rotate);

            //Получаем корректирующее ускорение
            MV = _angleController.Update(angleError, dt);

            return MV;
        }

        public Vector2 ControlForce(Vector2 movement)
        {
            Vector2 MV = new Vector2();

            //Кусок кода спецэффекта работающего двигателя ради
            if (movement != Vector2.zero)
            {
                if (_flame != null)
                {
                    _flame.SetActive(true);
                }
            }
            else
            {
                if (_flame != null)
                {
                    _flame.SetActive(false);
                }
            }

            MV = movement;
            return MV;
        }
    }
}

Все? Расходимся по домам?

WTF! Что происходит? Почему корабль поворачивается как-то странно? И почему он так резко отскакивает от других объектов? Неужели этот глупый ПИД-регулятор не работает?

Без паники! Давайте попробуем разобраться что происходит.

В момент получения нового значения SP, происходит резкий (ступенчатый) скачок рассогласования ошибки, которая, как мы помним, вычисляется вот так: $e(t) = SP(t) - PV(t), $ соответственно происходит резкий скачок производной ошибки $frac{de(t)}{dt}$, которую мы вычисляем в этой строчке кода:

D = (error - lastError) / dt;

Можно, конечно, попробовать другие схемы дифференцирования, например, трехточечную, или пятиточечную, или… но все равно это не поможет. Ну вот не любят производные резких скачков — в таких точках функция не является дифференцируемой. Однако поэкспериментировать с разными схемами дифференцирования и интегрирования стоит, но потом и не в этой статье.

Думаю что настал момент построить графики переходного процесса: ступенчатое воздействие от S(t) = 0 в SP(t) = 90 градусов для тела массой в 1 кг, длинной плеча силы в 1 метр и шагом сетки дифференцирования 0.02 с — прям как в нашем примере на Unity3D (на самом деле не совсем, при построении этих графиков не учитывалось, что момент инерции зависит от геометрии твердого тела, поэтому переходный процесс будет немножко другой, но все же достаточно похожий для демонстрации). Все величены на грифике приведены в абсолютных значениях:
image
Хм, что здесь происходит? Куда улетел отклик ПИД-регулятора?

Поздравляю, мы только что столкнулись с таким явлением как «удар» (kick). Очевидно, что в момент времени, когда процесс еще PV = 0, а уставка уже SP = 90, то при численном дифференцировании получим значение производной порядка 4500, которое умножится на Kd=0.2 и сложится с пропорциональным теромом, так что на выходе мы получим значение углового ускорения 990, а это уже форменное надругательство над физической моделью Unity3D (угловые скорости будут достигать 18000 град/с… я думаю это предельное значение угловой скорости для RigidBody2D).

  • Может стоит подобрать коэффициенты ручками, так чтобы скачок был не таким сильным?
  • Нет! Самое лучше чего мы таким образом сможем добиться — небольшая амплитуда скачка производной, однако сам скачок как был так и останется, при этом можно докрутиться до полной неэффективности дифференциальной составляющей.

Впрочем можете поэкспериментировать.

Попытка номер два. Сатурация

Логично, что привод (в нашем случае виртуальные маневровые двигатели SpaceShip), не может отрабатывать сколько угодно большие значения которые может выдать наш безумный регулятор. Так что первое что мы сделаем — сатурируем выход регулятора:

public float ControlRotate(Vector2 rotate, float thrust)
{
    float CO = 0f;
    float MV = 0f;
    float dt = Time.fixedDeltaTime;

    //Вычисляем ошибку
    float angleError = Mathf.DeltaAngle(_myTransform.eulerAngles.z, targetAngle);

    //Получаем корректирующее ускорение
    CO = _angleController.Update(angleError, dt);

    //Сатурируем
    MV = CO;
    if (MV > thrust) MV = thrust;
    if (MV< -thrust) MV = -thrust;

    return MV;
}

А очередной раз переписанный класс Ship полностью выглядит так

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies
{
    public class Ship : BaseBody
    {
        public GameObject _flame;

        public Vector2 _movement = new Vector2();
        public Vector2 _target = new Vector2();

        public float _targetAngle = 0f;
        public float _angle = 0f;

        public float _thrust = 1f;

        [Header("PID")]
        public SimplePID _angleController = new SimplePID(0.1f,0f,0.05f);

        public void FixedUpdate()
        {
            _torque = ControlRotate(_targetAngle, _thrust);
            _force = ControlForce(_movement);

            _rb2d.AddTorque(_torque);
            _rb2d.AddRelativeForce(_force);
        }

        public float ControlRotate(float targetAngle, float thrust)
        {
            float CO = 0f;
            float MV = 0f;
            float dt = Time.fixedDeltaTime;

            //Вычисляем ошибку
            float angleError = Mathf.DeltaAngle(_myTransform.eulerAngles.z, targetAngle);

            //Получаем корректирующее ускорение
            CO = _angleController.Update(angleError, dt);

            //Сатурируем
            MV = CO;
            if (MV > thrust) MV = thrust;
            if (MV< -thrust) MV = -thrust;

            return MV;
        }

        public Vector2 ControlForce(Vector2 movement)
        {
            Vector2 MV = new Vector2();

            if (movement != Vector2.zero)
            {
                if (_flame != null)
                {
                    _flame.SetActive(true);
                }
            }
            else
            {
                if (_flame != null)
                {
                    _flame.SetActive(false);
                }
            }

            MV = movement * _thrust;

            return MV;
        }

        public void Update()
        {

        }        
    }
}

Итоговая схема нашего САУ тогда станет уже вот такой
image

При этом уже становится понятно, что выход контроллера CO(t) немного не одно и тоже, что управляемая величина процесса MV(t).

Собственно с этого места можно уже добавлять новую игровую сущность — привод, через которую и будет осуществляться управление процессом, логика работы которой может быть более сложной, чем просто Mathf.Clamp(), например, можно ввести дискретизацию значений (дабы не перегружать игровую физику величинами идущими шестыми после запятой), мертвую зону (опять таки не имеет смысл перегружать физику сверхмалыми реакциями), ввести задержку в упраление и нелинейность (например, сигмоиду) привода, после чего посмотреть, что из этого получится.

Запустив игру, мы обнаружим, что космический корабль стал наконец управляемым:

Если построить графики, то можно увидеть, что реакция контроллера стала уже вот такой:
image
Здесь уже используются нормированные величены, углы поделены на значение SP, а выход контроллера отнормирован относительно максимального значения на котором уже происходит сатурация.

Теперь на графике видно наличие ошибки перерегулирования (overshooting) и затухающие колебания. Уменьшая Kp и увеличивая Kd можно добиться уменьшения колебаний, но зато увеличится время реакции контроллера (скорость поворота корабля). И наоборот, увеличивая Kp и уменьшая Kd — можно добиться увеличения скорости реакции контроллера, но появятся паразитные колебания, которые при определенных (критических) значениях, перестанут быть затухающими.

Ниже приведена известна таблица влияния увеличения параметров ПИД-регулятора (как уменьшить шрифт, а то таблица безе переносов не лезет?):

А общий алгоритм ручной настройки ПИД-регулятора следующий:

  1. Подбираем пропорциональный коэффициенты при отключенных дифференциальных и интегральных звеньях до тех пор пока не начнутся автоколебания.
  2. Постепенно увеличивая дифференциальную составляющую избавляемся от автоколебаний
  3. Если наблюдается остаточная ошибка регулирования (смещение), то устраняем её за счет интегральной составляющей.

Каких-то общих значений параметров ПИД-регулятора нет: конкретные значения зависят исключительно от параметров процесса (его передаточной характеристики): ПИД-регулятор отлично работающий с одним объектом управления окажется неработоспособным с другим. Более того, коэффициенты при пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих еще и взаимозависимы.

В общем не будем о грустном, дальше нас ждет самое интересное…

Попытка номер три. Еще раз производные

Приделав костыль в виде ограничения значений выхода контроллера мы так и не решили самую главную проблему нашего регулятора — дифференциальная составляющая плохо себя чувствует при ступенчатом изменении ошибки на входе регуляторе. На самом деле есть множество других костылей, например, в момент скачкообразного изменения SP «отключать» дифференциальную составляющую или же поставить фильтры нижних частот между SP(t) и операцией $SP(t)-PV(t)$ за счет которого будет происходить плавное нарастание ошибки, а можно совсем развернуться и впендюрить самый настоящий фильтр Калмана для сглаживания входных данных. В общем костылей много, и добавить наблюдателя конечно хотелось бы, но не в этот раз.

Поэтому снова вернемся к производной ошибки рассогласования и внимательно на неё посмотрим:

$ frac{de(t)}{dt} = frac{d(SP(t)-PV(t))}{dt} = frac{dSP(t)}{dt} - frac{dPV(t)}{dt}, $

Ничего не заметили? Если хорошенько присмотреться, то можно обнаружить, что вообще-то SP(t), не меняется во времени (за исключением моментов ступенчатого изменения, когда регулятор получает новую команду), т.е. её производная равна нулю:

$ frac{dSP(t)}{dt} = 0, $

тогда

$ frac{de(t)}{dt} = - frac{dPV(t)}{dt}, $

Иными словами, вместо производной ошибки, которая дифференцируема не везде мы можем использовать производную от процесса, который в мире классической механики как правило непрерывен и дифференцируем везде, а схема нашей САУ уже приобретет следующий вид:
image

$ e(t) = SP(t) - PV(t), $

$ CO(t) = underbrace{K_p cdot e(t)}_{P} + underbrace{K_i cdot int_0^t e(tau)dtau}_{I} - underbrace{K_d cdot frac{dPV(t)}{dt}}_{D}, $

Модифицируем код регулятора:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace Assets.Scripts.Regulator
{
    [System.Serializable]
    public class SimplePID
    {
        public float Kp, Ki, Kd;
        private float P, I, D;

        private float lastPV = 0f;   

        public SimplePID()
        {
            Kp = 1f;
            Ki = 0f;
            Kd = 0.2f;
        }

        public SimplePID(float pFactor, float iFactor, float dFactor)
        {
            this.Kp = pFactor;
            this.Ki = iFactor;
            this.Kd = dFactor;
        }

        public float Update(float error, float PV, float dt)
        {
            P = error;
            I += error * dt;
            D = -(PV - lastPV) / dt;

            lastPV = PV;

            float CO = Kp * P + Ki * I + Kd * D;

            return CO;
        }
    }
}

И немного изменим метод ControlRotate:

public float ControlRotate(Vector2 rotate, float thrust)
{
     float CO = 0f;
     float MV = 0f;
     float dt = Time.fixedDeltaTime;

     //Вычисляем ошибку
     float angleError = Mathf.DeltaAngle(_myTransform.eulerAngles.z, targetAngle);

     //Получаем корректирующее ускорение
     CO = _angleController.Update(angleError, _myTransform.eulerAngles.z, dt);

     //Сатурируем
     MV = CO;
     if (CO > thrust) MV = thrust;
     if (CO < -thrust) MV = -thrust;

     return MV;
}

И-и-и-и… если запустить игру, то обнаружиться, что на самом деле ничего ничего не изменилось с последней попытки, что и требовалось доказать. Однако, если убрать сатурацию, то график реакции регулятора будет выглядеть вот так:
image
Скачок CO(t) по прежнему присутствует, однако он уже не такой большой как был в самом начале, а самое главное — он стал предсказуемым, т.к. обеспечивается исключительно пропорциональной составляющей, и ограничен максимально возможной ошибкой рассогласования и пропорциональным коэффициентом ПИД-регулятора (а это уже намекает на то, что Kp имеет смысл выбрать все же меньше единицы, например, 1/90f), но не зависит от шага сетки дифференцирования (т.е. dt). В общем, я настоятельно рекомендую использовать именно производную процесса, а не ошибки.

Думаю теперь никого не удивит, но таким же макаром можно заменить $K_p cdot e(t)$ на $-K_p cdot PV(t)$, однако останавливаться на этом мы не будем, можете сами поэкспериментировать и рассказать в комментариях, что из этого получилось (самому интересно)

Попытка номер четыре. Альтернативные реализации ПИД-регулятор

Помимо описанного выше идеального представления ПИД-регулятора, на практике часто применяется стандартная форма, без коэффициентов Ki и Kd, вместо которых используются временные постоянные.

Такой подход связан с тем, что ряд методик настройки ПИД-регулятора основан на частотных характеристиках ПИД-регулятора и процесса. Собственно вся ТАУ и крутится вокруг частотных характеристик процессов, поэтому для желающих углубиться, и, внезапно, столкнувшихся с альтернативной номенклатурой, приведу пример т.н. стандартной формы ПИД-регулятора:

$ e(t) = SP(t) - PV(t), $

$ CO(t) =CO_{bias} + K_p cdot Bigl(e(t) + frac{1}{T_i} cdot int_0^t e(tau)dtau - T_d cdot frac{dPV(t)}{dt} Bigl), $

где, $T_d= frac{K_d}{K_p}$ — постоянная дифференцирования, влияющая на прогнозирование состояния системы регулятором,
$T_i = frac{K_p}{K_i}$ — постоянная интегрирования, влияющая на интервал усреднения ошибки интегральным звеном.

Основные принципы настройки ПИД-регулятора в стандартной форме аналогичны идеализированному ПИД-регулятору:

  • увеличение пропорционального коэффициента увеличивает быстродействие и снижает запас устойчивости;
  • с уменьшением интегральной составляющей ошибка регулирования с течением времени уменьшается быстрее;
  • уменьшение постоянной интегрирования уменьшает запас устойчивости;
  • увеличение дифференциальной составляющей увеличивает запас устойчивости и быстродействие

Исходный код стандартной формы, вы можете найти под спойлером

namespace Assets.Scripts.Regulator
{
    [System.Serializable]    
    public class StandartPID
    {
        public float Kp, Ti, Td;
        public float error, CO;
        public float P, I, D;

        private float lastPV = 0f;

        public StandartPID()
        {
            Kp = 0.1f;
            Ti = 10000f;
            Td = 0.5f;
            bias = 0f;
        }

        public StandartPID(float Kp, float Ti, float Td)
        {
            this.Kp = Kp;
            this.Ti = Ti;
            this.Td = Td;
        }

        public float Update(float error, float PV, float dt)
        {
            this.error = error;
            P = error;
            I += (1 / Ti) * error * dt;
            D = -Td * (PV - lastPV) / dt;

            CO = Kp * (P + I + D);
            lastPV = PV;

            return CO;
        }
    }
}

В качестве значений по умолчанию, выбраны Kp = 0.01, Ti = 10000, Td = 0.5 — при таких значениях корабль поворачивается достаточно быстро и обладает некоторым запасом устойчивости.

Помимо такой формы ПИД-регулятора, часто используется т.н. реккурентная форма:

$ CO(t_k)=CO(t_{k-1})+K_pleft[left(1+dfrac{Delta t}{T_i}+dfrac{T_d}{Delta t}right)e(t_k)+left(-1-dfrac{2T_d}{Delta t}right)e(t_{k-1})+dfrac{T_d}{Delta t}e(t_{k-2})right] $

Не будем на ней останавливаться, т.к. она актуальна прежде всего для хардверных программистов, работающих с FPGA и микроконтроллерами, где такая реализация значительно удобнее и эффективнее. В нашем же случае — давайте что-нибудь сваям на Unity3D — это просто еще одна реализация ПИД-контроллера, которая ни чем не лучше других и даже менее понятная, так что еще раз дружно порадуемся как хорошо программировать в уютненьком C#, а не в жутком и страшном VHDL, например.

Вместо заключения. Куда бы еще присобачить ПИД-регулятор

Теперь попробуем немного усложнить управление корабля используя двухконтурное управление: один ПИД-регулятор, уже знакомый нам _angleController, отвечает по прежнему за угловое позиционирование, а вот второй — новый, _angularVelocityController — контролирует скорость поворота:

public float ControlRotate(float targetAngle, float thrust)
{
    float CO = 0f;
    float MV = 0f;
    float dt = Time.fixedDeltaTime;

    _angle = _myTransform.eulerAngles.z;

    //Контроллер угла поворота
    float angleError = Mathf.DeltaAngle(_angle, targetAngle);
    float torqueCorrectionForAngle = 
    _angleController.Update(angleError, _angle, dt);

    //Контроллер стабилизации скорости
    float angularVelocityError = -_rb2d.angularVelocity;
    float torqueCorrectionForAngularVelocity = 
        _angularVelocityController.Update(angularVelocityError, -angularVelocityError, dt);

    //Суммарный выход контроллера
    CO = torqueCorrectionForAngle + torqueCorrectionForAngularVelocity;

    //Дискретизируем с шагом 100            
    CO = Mathf.Round(100f * CO) / 100f;

    //Сатурируем
    MV = CO;
    if (CO > thrust) MV = thrust;
    if (CO < -thrust) MV = -thrust;

    return MV;
}

Назначение второго регулятора — гашение избыточных угловых скоростей, за счет изменения крутящего момента — это сродни наличию углового трения, которое мы отключили еще при создании игрового объекта. Такая схема управления [возможно] позволит получить более стабильное поведение корабля, и даже обойтись только пропорциональными коэффициентами управления — второй регулятор будет гасить все колебания, выполняя функцию, аналогичную дифференциальной составляющей первого регулятора.

Помимо этого, добавим новый класс ввода игрока — PlayerInputCorvette, в котором повороты буду осуществляться уже за счет нажатия клавиш «вправо-влево», а целеуказание с помощью мыши мы оставим для чего-нибудь более полезного, например, для управления турелью. Заодно у нас теперь появился такой параметр как _turnRate — отвечающий за скорость/отзывчивость поворота (не понятно только куда его поместить лучше в InputCOntroller или все же Ship).

public class PlayerCorvetteInput : BaseInputController
{
     public float _turnSpeed = 90f;

     public override void ControlRotate()
     {
         // Находим указатель мыши
         Vector3 worldPos = Input.mousePosition;
         worldPos = Camera.main.ScreenToWorldPoint(worldPos);

         // Сохраняем относительные координаты указателя мыши
         float dx = -this.transform.position.x + worldPos.x;
         float dy = -this.transform.position.y + worldPos.y;

         //Передаем направление указателя мыши
         Vector2 target = new Vector2(dx, dy);
         _agentBody._target = target;

         //Вычисляем поворот в соответствии с нажатием клавиш
         _agentBody._rotation -= Input.GetAxis("Horizontal") * _turnSpeed * Time.deltaTime;
    }

    public override void ControlForce()
    {            
         //Передаем movement
         _agentBody._movement = Input.GetAxis("Vertical") * Vector2.up;
    }
}

Также для наглядности накидаем на коленках скрипт для отображения отладочной информации

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.UI
{
    [RequireComponent(typeof(Ship))]
    [RequireComponent(typeof(BaseInputController))]
    public class Debugger : MonoBehaviour
    {
        Ship _ship;
        BaseInputController _controller;
        List<SimplePID> _pids = new List<SimplePID>();
        List<string> _names = new List<string>();

        Vector2 _orientation = new Vector2();

        // Use this for initialization
        void Start()
        {
            _ship = GetComponent<Ship>();
            _controller = GetComponent<BaseInputController>();

            _pids.Add(_ship._angleController);
            _names.Add("Angle controller");

            _pids.Add(_ship._angularVelocityController);
            _names.Add("Angular velocity controller");

        }

        // Update is called once per frame
        void Update()
        {
            DrawDebug();
        }

        Vector3 GetDiretion(eSpriteRotation spriteRotation)
        {
            switch (_controller._spriteOrientation)
            {
                case eSpriteRotation.Rigth:
                    return transform.right;
                case eSpriteRotation.Up:
                    return transform.up;
                case eSpriteRotation.Left:
                    return -transform.right;
                case eSpriteRotation.Down:
                    return -transform.up;
            }
            return Vector3.zero;
        }

        void DrawDebug()
        {
            //Направление поворота
            Vector3 vectorToTarget = transform.position 
                + 5f * new Vector3(-Mathf.Sin(_ship._targetAngle * Mathf.Deg2Rad), 
                    Mathf.Cos(_ship._targetAngle * Mathf.Deg2Rad), 0f);

            // Текущее направление
            Vector3 heading = transform.position + 4f * GetDiretion(_controller._spriteOrientation);

            //Угловое ускорение
            Vector3 torque = heading - transform.right * _ship._Torque;

            Debug.DrawLine(transform.position, vectorToTarget, Color.white);
            Debug.DrawLine(transform.position, heading, Color.green);
            Debug.DrawLine(heading, torque, Color.red);
        }

        void OnGUI()
        {
            float x0 = 10;
            float y0 = 100;

            float dx = 200;
            float dy = 40;

            float SliderKpMax = 1;
            float SliderKpMin = 0;
            float SliderKiMax = .5f;
            float SliderKiMin = -.5f;
            float SliderKdMax = .5f;
            float SliderKdMin = 0;

            int i = 0;
            foreach (SimplePID pid in _pids)
            {
                y0 += 2 * dy;

                GUI.Box(new Rect(25 + x0, 5 + y0, dx, dy), "");

                pid.Kp = GUI.HorizontalSlider(new Rect(25 + x0, 5 + y0, 200, 10), 
                    pid.Kp, 
                    SliderKpMin, 
                    SliderKpMax);
                pid.Ki = GUI.HorizontalSlider(new Rect(25 + x0, 20 + y0, 200, 10), 
                    pid.Ki, 
                    SliderKiMin, 
                    SliderKiMax);
                pid.Kd = GUI.HorizontalSlider(new Rect(25 + x0, 35 + y0, 200, 10), 
                    pid.Kd, 
                    SliderKdMin, 
                    SliderKdMax);

                GUIStyle style1 = new GUIStyle();
                style1.alignment = TextAnchor.MiddleRight;
                style1.fontStyle = FontStyle.Bold;
                style1.normal.textColor = Color.yellow;
                style1.fontSize = 9;

                GUI.Label(new Rect(0 + x0, 5 + y0, 20, 10), "Kp", style1);
                GUI.Label(new Rect(0 + x0, 20 + y0, 20, 10), "Ki", style1);
                GUI.Label(new Rect(0 + x0, 35 + y0, 20, 10), "Kd", style1);

                GUIStyle style2 = new GUIStyle();
                style2.alignment = TextAnchor.MiddleLeft;
                style2.fontStyle = FontStyle.Bold;
                style2.normal.textColor = Color.yellow;
                style2.fontSize = 9;

                GUI.TextField(new Rect(235 + x0, 5 + y0, 60, 10), pid.Kp.ToString(), style2);
                GUI.TextField(new Rect(235 + x0, 20 + y0, 60, 10), pid.Ki.ToString(), style2);
                GUI.TextField(new Rect(235 + x0, 35 + y0, 60, 10), pid.Kd.ToString(), style2);

                GUI.Label(new Rect(0 + x0, -8 + y0, 200, 10), _names[i++], style2);
            }
        }
    }
}

Класс Ship также претерпел необратимые мутации и теперь должен выглядеть вот так:

namespace Assets.Scripts.SpaceShooter.Bodies
{
    public class Ship : BaseBody
    {
        public GameObject _flame;

        public Vector2 _movement = new Vector2();
        public Vector2 _target = new Vector2();

        public float _targetAngle = 0f;
        public float _angle = 0f;

        public float _thrust = 1f;

        [Header("PID")]
        public SimplePID _angleController = new SimplePID(0.1f,0f,0.05f);
        public SimplePID _angularVelocityController = new SimplePID(0f,0f,0f);

        private float _torque = 0f;
        public float _Torque
        {
            get
            {
                return _torque;
            }
        }

        private Vector2 _force = new Vector2();
        public Vector2 _Force
        {
            get
            {
                return _force;
            }
        }

        public void FixedUpdate()
        {
            _torque = ControlRotate(_targetAngle, _thrust);
            _force = ControlForce(_movement, _thrust);

            _rb2d.AddTorque(_torque);
            _rb2d.AddRelativeForce(_force);
        }

        public float ControlRotate(float targetAngle, float thrust)
        {
            float CO = 0f;
            float MV = 0f;
            float dt = Time.fixedDeltaTime;

            _angle = _myTransform.eulerAngles.z;

            //Контроллер угла поворота
            float angleError = Mathf.DeltaAngle(_angle, targetAngle);
            float torqueCorrectionForAngle = 
                _angleController.Update(angleError, _angle, dt);

            //Контроллер стабилизации скорости
            float angularVelocityError = -_rb2d.angularVelocity;
            float torqueCorrectionForAngularVelocity = 
                _angularVelocityController.Update(angularVelocityError, -angularVelocityError, dt);

            //Суммарный выход контроллера
            CO = torqueCorrectionForAngle + torqueCorrectionForAngularVelocity;

            //Дискретизируем с шагом 100            
            CO = Mathf.Round(100f * CO) / 100f;

            //Сатурируем
            MV = CO;
            if (CO > thrust) MV = thrust;
            if (CO < -thrust) MV = -thrust;

            return MV;
        }

        public Vector2 ControlForce(Vector2 movement, float thrust)
        {
            Vector2 MV = new Vector2();

            if (movement != Vector2.zero)
            {
                if (_flame != null)
                {
                    _flame.SetActive(true);
                }
            }
            else
            {
                if (_flame != null)
                {
                    _flame.SetActive(false);
                }
            }

            MV = movement * thrust;

            return MV;
        }

        public void Update()
        {

        }        
    }
}

А вот, собственно заключительное видео того, что должно получиться:

К сожалению получилось охватить не все, что хотелось бы, в частности почти не затронут вопрос настройки ПИД-регулятора и практически не освящена интегральная составляющая — фактически приведен пример только для ПД-регулятора. Собственно изначально планировалось несколько больше примеров (круиз-контроль, вращение турели и компенсация вращательного момента), но статья итак уже разбухла, да и вообще:
image

Немного ссылок

  1. Годная статья на английской вики
  2. PID tutorial
  3. ПИД-регуляторы: вопросы реализации. Часть 1
  4. ПИД-регуляторы: вопросы реализации. Часть 2
  5. PID Without a PhD
  6. PID Without a PhD. Перевод
  7. Derivative Action and PID Control
  8. Control System Lab: PID
  9. ПИД-регулятор своими руками
  10. Корректная реализация разностной схемы ПИД регулятора
  11. Программируем квадрокоптер на Arduino (часть 1)
  12. Виртуальный квадрокоптер на Unity + OpenCV (Часть 1)
  13. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для чайников
  14. PID control system analysis, design, and technology
  15. Aidan O’Dwyer. Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules (3rd ed.)
  16. PID process control, a “Cruise Control” example
  17. https://www.mathworks.com/discovery/pid-control.html
  18. http://scilab.ninja/study-modules/scilab-control-engineering-basics/module-4-pid-control/
  19. https://sourceforge.net/p/octave/control/ci/default/tree/inst/optiPID.m

Еще немного ссылок на другие примеры
http://luminaryapps.com/blog/use-a-pid-loop-to-control-unity-game-objects/
http://www.habrador.com/tutorials/pid-controller/3-stabilize-quadcopter/
https://www.gamedev.net/articles/programming/math-and-physics/pid-control-of-physics-bodies-r3885/
https://ksp-kos.github.io/KOS/tutorials/pidloops.html

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

Хлеба и зрелищ


31.01%
Таки давайте попробуем прикрутить нейросеть к Unity3D
40


24.81%
Алгоритмы самонаведения ракет в Unity3D
32


19.38%
Так как же настраивать этот ПИД-регулятор? Желательно автоматически пока я ем зефирки с кофе
25


10.85%
Мы хотим больше всяких разных регуляторов, например, линейно-квадратичный
14


3.1%
МНК, градиентный спуск, квази-ньютоновские методы. Куда это можно впихнуть в Unity3D?
4


1.55%
Может в Unity3D найдется место для цифровой фильтрации?
2


3.1%
Изложение не достаточно формальное. Больше математики богу математики!
4


6.2%
Кинуть в автора куриным яйцом
8

Проголосовали 129 пользователей.

Воздержались 23 пользователя.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Что такое уровень бит ошибки на телевизоре самсунг
  • Что такое ур бит ошибки 2000
  • Что такое умение признавать свои ошибки
  • Что такое трейс ошибки
  • Что такое точность и ошибка наблюдения