Динамическая и флуктуационная ошибка - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

случайного
процесса. Формирующий фильтр

Вычисление
СКО наиболее просто, если случайный
входной сигнал имеет вид белого шума.
При воздействии на вход замкнутой
системы белого шума f(t)
с единичной
спектральной плотностью ошибка системы
может быть определена выражением

,
(8.73)

где
—
импульсная переходная функция замкнутой
системы.

Воспользовавшись
теоремой Парсеваля, выражение (8.73) можно
записать в виде:

,
(8.74)

где
изображение
по Лапласу импульсной переходной
функции, т.е. передаточная функция
замкнутой системы.

В
реальных условиях на САУ действуют
сигналы, отличные от белого шума.
Поэтому для определения СКО при
реальных возмущениях необходимо
сформировать сигнал со спектральной
плотностью, соответствующей реально
действующему на САУ сигналу, для чего
белый шум надо предварительно пропустить
через линейный формирующий фильтр.

Положим,
что воздействие

на входе САУ является реакцией
некоторого формирующего фильтра с
передаточной функцией F_ф(p),
возбуждаемого белым шумом

единичного уровня
.
Тогда согласно формуле
(8.70) на
выходе фильтра и на входе САУ имеем

;
(8.75)

откуда
передаточная функций формирующего
фильтра

Подключая
фильтр в единую схему с системой,
получаем эквивалентную передаточную
функцию

.
(8.76)

В
результате любой стационарный случайный
процесс можно представить эквивалентным
ему процессом на выходе формирующего
фильтра при воздействии на его вход
белого шума. Такое представление
реального сигнала облегчает определение
СКО, так как позволяет анализировать
САУ методами для входного белого шума.

8.9.2. Расчет флуктуационных ошибок и ошибок

от
задающих воздействий

Предположим,
что на вход системы (рис.8.12)
поступает помеха f(t),
а полезный сигнал x(t)=0.
Требуется определить флуктуационную
ошибку, вызываемую отработкой системы
помехи на ее входе. Спектральная плотность
помехи равна
.
Передаточная функция системы известна.

Рис.
8.12. К определению флуктуационной ошибки

Поскольку
в этом случае весь сигнал на выходе
системы представляет собой сигнал
ошибки, спектральная плотность ошибки
равна

,
(8.77)

где
квадрат
амплитудно-частотной характеристики
замкнутой системы.

Для
облегчения вычисления интеграла
(8.74) и
приведения его к табличному спектральную
плотность входного сигнала представляем
в виде

.
(8.78)

Подставляя
(8.78) в
(8.77) и
обозначая
,
получим

.
(8.79)

Обычно
К₀(Р)
—
рациональная
дробь,

также может быть представлено в виде
рациональной дроби.

Учитывая
(8.72) и
(8.74), получим
выражение для среднего квадрата ошибки
в виде табличного интеграла:

,
(8.80)

где многочлены
под интегралом

причем
.

Таблицы
интегралов до п
= 6 приведены
в литературе [9].

Если
помеха действует не на входе системы,
то вместо К₀(р)
берется передаточная функция K_yf(p),
соответствующая месту приложения
воздействия f.

Рассмотрим
более общий случай, когда на систему
помимо задающего воздействияx(t)
действует одновременно помеха f(t)/

Суммарная ошибка

Спектральная
плотность ошибки

(8.81)

где

представляют
собой взаимные спектральные плотности
полезного сигнала и помехи, а

и
—
частотные характеристики ошибки от
полезного сигнала и помехи. При отсутствии
корреляции между полезным сигналом и
помехой

и
формула
(8.81)
упрощается:

.
(8.82).

Для
помехи, приложенной совместно с задающим
воздействием, когда

и при отсутствии корреляции между ними
получим

(8.83).

Средний квадрат
ошибки

,
(8.84)

где

(8.85)

—
составляющая дисперсии ошибки, вызываемая
задающим воздействием
;

(8.86)

—
составляющая дисперсии ошибки, вызываемая
возмущающим воздействием f(t).

Среднеквадратическое
значение суммарной ошибки системы

.
(8.87)

Среднеквадратическую
ошибку системы, определяемую по
формуле
(8.87), не
следует смешивать со среднеквадратическим
отклонением
,
которое равно положительному
квадратному корню из дисперсии
.

Как
следует из формулы
(8.84) среднее
значение квадрата ошибки зависит от
структуры системы (вида ее передаточной
функции и параметров) и от спектральных
плотностей входного сигнала и помехи.

Для
минимизации соответствующей составляющей
ошибки системы необходимо уменьшать
площадь под кривой произведения
спектральной плотности входного сигнала
на квадрат амплитудно-частотной
характеристики.

Заменяя
в выражении
(8.85)
передаточную функцию ошибки на
передаточную функцию замкнутой системы
K₀(p),
получим средний квадрат выходной
величины
.

Если
в задающем сигнале x(t)
можно выделить воздействие в виде
неслучайной составляющей
m_x(t),
представляющей собой медленно
меняющуюся функцию времени, и
стационарный центрированный случайный
процесс, т. е.

то
точность системы можно оценить средним
квадратом ошибки, равным сумме квадратов
динамической и случайной ошибок:

или

Здесь

—
коэффициент, определяющий удельный вес
динамической ошибки;

где
D₀,
D₁,D₂,…
— коэффициенты
ошибки.

Для
случая, когда можно предположить, что
скорость изменения задающего воздействия
постоянна в течение рассматриваемого
интервала времени, т. е.
,
а помеха — белый шум, в соответствии с
(8.84) получим
для систем с астатизмом 1-го порядка

Пример.
Определить средний квадрат суммарной
ошибки САУ с передаточной функцией
,
если на входе системы действует задающее
воздействие со спектральной плотностью

и помеха со спектральной плотностью
.
Ошибка системы определяется формулой
(8.84). Вторая
доставляющая ошибки уже была определена.

Вычислим
первую составляющую ошибки (от задающего
воздействия).

Передаточная
функция ошибки

Представим
спектральную плотность через сопряженные
составляющие:

Находим

Табличный интеграл

Окончательно
получим

Из
данного выражения следует, что для
уменьшения составляющей ошибки от
полезного сигнала необходимо увеличение
,
а для уменьшения составляющей ошибки
от помех

нужно уменьшать.

Основным
достоинством аналитического метода
является возможность установления
связи между величиной СКО и параметрами
системы, что позволяет определять
значения параметров системы, при которых
СКО оказывается минимальной.

Лекция
30

План лекции:

Графоаналитический
метод расчета случайных ошибок САУ.
Оценка флуктуационных
ошибок, обусловленных широкополосными

воздействиями.

Расчет
дисперсии помехи с помощью корреляционной
функции.
Определение
флуктуационных ошибок с помощью
электронной модели
Рекомендуемая
литература [9].

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Понятие о динамических и флуктуационных ошибках БПЛА.

Качество управления полётом БПЛА определяется ошибками установившегося полёта при отработке входного полезного сигнала (команд управления) при наличии помех.

Рисунок- 4.8 Общая схема управления полётом БПЛА

где — входной сигнал команд управления;

— помехи линии радиоуправления.

Для качественного представления ошибок управления будем считать, что канал тангажа БПЛА есть ФНЧ (фильтр нижних частот) с полосой (рис. 4.9).

где — передаточная характеристика замкнутого канала тангажа;

— полоса пропускания замкнутого канала тангажа.

Пусть входной сигнал имеет энергетический спектр , мощность которого уменьшается с увеличением частоты. В качестве помехи будем рассматривать «белый» шум с постоянной спектральной плотностью .

Тогда динамическая ошибка отработки полезного входного сигнала будет определятся (рис 4.9):

(4.13)

т.е. определяется частью спектра полезного сигнала, который находится за пределами полосы пропускания ?0 и не отрабатывается системой.

Флуктуационная ошибка определяется спектром помехи, который находится внутри полосы пропускания:

(4.14)

Из рис. 4.9 легко увидеть следующее:

1) Увеличение полосы пропускания ?0 приводит к уменьшению динамической ошибки и увеличению флуктуационной ошибки.

2) Уменьшение полосы пропускания ?0 приводит к увеличению динамической ошибки и уменьшению флуктуационной.

Рисунок- 4.9 Полоса пропускания БПЛА

Существует оптимальная полоса , когда суммарная ошибка будет минимальной:

(4.15)

Для этого в канале тангажа должна быть система, обеспечивающая её оптимальную полосу.

Для компьютерного исследования полосы пропускания БПЛА (нахождения динамической ошибки) на вход канала управления нужно подать сигнал «Ramp» и с помощью ключей обеспечить включение всех цепей ООС. По разности между входной функцией и выходной определяется динамическая ошибка (рис 4.10).

Рисунок- 4.10Динамическая ошибка

В работе «X» выводится на один экран дисплея, а «Y» — на другой экран при одинаковом масштабе развёртки. Выход системы (канал управления) при подаче сигнала «Ramp» показан на рис. 4.11. Из рисунка видно, что чем уже полоса пропускания канала управления, тем больше динамическая ошибка при постоянных параметрах входного сигнала [10].

а)

б)

Рисунок.4.11Выход системы (канал управления) при подаче сигнала «Ramp»: а) средняя полоса; б) узкая полоса.

Стохастическое исследование канала управления

Для этого на вход канала управления нужно подавать сигнал типа «белый шум» с ограниченной полосой («Band-LimitedWhiteNoise»). Для определения зависимости флуктуационной ошибки от полосы пропускания системы необходимо на вход подавать случайный сигнал с постоянными параметрами и изменять полосу системы. Результат — флуктуационная ошибка определяется на выходе системы в виде среднеквадратического значения ?ш. При этом в зависимости от полосы пропускания системы изменяются корреляционные свойства выходного шума и его уровень.

На рис. 4.12 и 4.13 показаны эпюры шума на выходе канала управления в зависимости от его полосы пропускания, где чётко видно изменение уровня шума и его корреляционных свойств.

а)

б)

Рисунок.4.12 Эпюры шума на выходе канала управления: а) очень широкая полоса системы; б) средняя полоса системы

Рисунок. 4.13 Эпюры шума на выходе канала управления — узкая полоса системы

Источник

Ошибки оценки координат целей

Ошибка оценки координат или параметра определяется:

1) флуктуационной ошибкой, обусловленной возмущающим воздействием (наличие шумов, флуктуаций ОС);

2) динамической ошибкой, обусловленной инерционностью измерителя или устройства оценки координат.

Ошибку оценки параметра можно характеризовать среднеквадратическим значением ошибки, которое в силу независимости флуктуационной и динамической ошибок определяется выражением:

где и — соответственно, дисперсии флуктуационной и динамической ошибок.

Наиболее правильно рассматривать динамическую ошибку как смещение или математическое ожидание ошибки изменения D, а флуктуационную ошибку как случайное состояние. Соответственно, закон распределения ошибки изменения (в установившемся состоянии, то есть когда переходные процессы закончились) имеет вид:

Рассмотрим ошибки оценки параметра измерителем за время наблюдения . В этом случае флуктуационная ошибка определяется как произведение эквивалентной спектральной плотности возмущающего воздействия на полосу пропускания устройства оценки (измерителя):

где — полоса пропускания устройства оценки.

Динамическая ошибка устройства оценки обусловлена изменением среднего значения параметра за время наблюдения и равна:

где — математические ожидания скорости и ускорения изменения параметра .

Пример расчета:

Рассчитать среднеквадратическое значение суммарной ошибки измерения дальности в РЛС кругового обзора.

Дано:

РЛС кругового обзора, ЗС – последовательность ЛЧМ-радиоимпульсов с . Когерентный накопитель отсутствует. . Отношение с/п на выходе устройства ККМО . Время наблюдения ОС . РЛС обладает внутренней когерентностью. Цель: а) истребитель с радиальной протяженностью , б) бомбардировщик с радиальной протяженностью .

Решение:

Разрешающая способность РЛС по дальности:

Эффективный диапазон блужданий равен:

а) для истребителя ;

б) для бомбардировщика .

Так как соизмеримо с , то цели являются близкими к “умеренно протяженной” цели. Кроме того, велико и для расчета эквивалентной спектральной плотности возмущающего воздействия можно воспользоваться выражением: