Допускает ошибки при решении примеров - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Если ребенок допускает ошибки при решении арифметических примеров (методические рекомендации).

Первой причиной может служить несформированность мыслительной операции «анализ через синтез».

Упражнения

1. «Словесные лабиринты»

Ученика учат читать написанные вертикально слова:

При при

Р ро

Ода да

2. Математический диктант (умение разбивать второе слагаемое на удобные для вычисления части).

1) Записано число 8. Как к нему прибавить 6, 7, 5? По ходу называния чисел ученик записывает :2+4, 2+5, 2+3 и т.д.

2) Записано число 7. Как его прибавит к числу 8, 6, 9? В этом задании каждый раз части числа 7 оказываются разными : 2 +5, 4+3, 1+6.

3. Составить примеры.

Второй причиной может служить недостаточное развитие анализа пространственных отношений.

Упражнения

Отработка понятий «правый» и «левый».
Предложить положить книгу на стол, под стол, около стола, за стол и т.п.
Нарисовать домик, елочку, забор в прямом и перевернутом видах.
Узнавание предмета по контурному изображению и деталям рисунка.
Написание слов справа налево.
Предложить нарисовать предмет такой какой он в действительности.
На листке бумаги, разделенном на 16 одинаковых частей.

От исходной точки провести стрелку вверх;
От исходной точки провести стрелку вправо;
От исходной точки провести стрелку влево;
От исходной точки провести стрелку в левый верхний угол;
От исходной точки провести стрелку в левый нижний угол;
От исходной точки провести стрелку в правый верхний угол;
От исходной точки провести стрелку в правый нижний угол;
От исходной точки провести стрелку вверх, потом по кругу влево;
От исходной точки провести стрелку вниз, потом по кругу вправо и т.д.

Третьей причиной может служить низкий уровень сформированности внутреннего плана действия.

Упражнения

« Передвигай фигуру, не дотрагиваясь».

Перед учеником находится большой квадрат, разделенный на девять клеточек. Ученика просят посмотреть на фигурку (треугольник, звездочка), расположенную в центральной клетке и мысленно ее передвигать на одну клеточку в соответствии с указанием учителя. Усложнение задания достигается за счет увеличения количества и скорости передвижения фигурки.

Четвертой причиной могут быть недостатки в развитии процессов произвольного внимания.

Упражнения

Ученику предлагается в течение 5-7 минут как можно быстрее просматривать текст и вычеркивать заданным образом 2-3 буквы (например, букву «а» зачеркивать, а букву «к» подчеркивать). Ошибками будут считаться пропущенные буквы и неправильно зачеркнутые, подчеркнутые, выделенные цветом и т.д.

Источник

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Одна из важнейших задач обучения школьников математике – формирование у них устных вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных вычислений. Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении. В ФГОС НОО сказано, что, изучая математику, «учащиеся овладевают основами логического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, приобретают необходимые вычислительные навыки» [5].

Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание педагогов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования М.А. Бантовой [1], Г.В. Бельтюковой [2], А.В. Белошистой [3], Т.И. Фаддейчевой [4] и многих других.

Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научится достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часто допускают ошибки.

На основе чтения учебно-методической литературы и периодических печатных изданий были выявлены и проанализированы типичные ошибки учеников при устных вычислениях. Рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий сложения и вычитания, а также методические приемы их предупреждения и устранения. В концентре «Десяток» возможны следующие ошибки:

– Смешивание действий сложения и вычитания (7+2=5, 6-4=10). Такие ошибки возникают по двум причинам. Первая причина: ученики еще не усвоили самих действий сложения и вычитания или же знаков этих действий. Чаще это происходит потому, что учитель рано стал требовать выполнения арифметических действий без использования счетного материала (палочек, геометрических фигур из набора и т.п.) Для устранения уже появившихся ошибок надо вернуть учеников к работе со счетным материалом. При этом важно, чтобы они сопровождали вычисления словесным рассуждением и соответствующей записью. Вторая причина ошибок в замене одного арифметического действия другим – это недостаточный анализ решаемого примера: при вычислениях ученики больше обращают внимание на числа, чем на знак действия. Поэтому важно с первых уроков обучения вычислениям приучать учеников к тому, чтобы они называли сначала вслух, а позднее про себя, какое арифметическое действие надо выполнить и над какими числами, и только после этого вычисляли результат.

– Получение результата на единицу больше или меньше верного (7+2=8, 9-3=7). Подобные ошибки возникают при присчитывании и отсчитывании чисел 2, 3, 4 по единице с опорой на натуральный ряд. Например, прибавляя к 7 число 2, ученики должны назвать два числа, следующие в ряду за числом 7. Однако бывает, что они первым называют данное число, а не следующее за ним (7, и думают, что они прибавили 2 и что 7+2=8. Для предупреждения таких ошибок полезно, чтобы при присчитывании и отсчитывании по единице назывались промежуточные результаты (7+1=8, 8+1=9, значит, 7+2=9).

– Использование нерациональных приемов. Например, выполняя сложение в случаях вида 3+6, часть учеников вместо приема перестановки слагаемых используют прием присчитывания по единице (по 2, по 3). А это трудно, и ученики часто забывают, сколько единиц они уже прибавили, и сколько осталось прибавить, вследствие чего получают неправильный результат (3+6=8, 3+6=10). Также объясняются ошибки вида 9-7=4. Предупреждению таких ошибок помогает сравнение рациональных и нерациональных приемов вычислений. Так, обнаружив, что некоторые ученики допускают ошибки при решении примеров вида 3+6, учитель спрашивает, как они решали пример (3+1=4. 4+1=5). Затем другие ученики объясняют, как можно решить этот пример быстрее, легче (надо переставить слагаемые 6+3=9). Здесь же ученики указывают, в каких случаях следует переставлять слагаемые (когда к меньшему числу прибавляем большее).

– Запись или называние вместо результата одного из компонентов. Например, 3+5=5, 6-4=6. Такие ошибки возникают преимущественно по невнимательности. Как правило, ученики сами находят ошибку и дают верный ответ. Для предупреждения подобных ошибок важно научить детей выполнять проверку решения путем прикидки результата: при сложении результат должен быть больше каждого из слагаемых (если ни одно из них не равно нулю). При вычитании результат должен быть меньше уменьшаемого (если вычитаемое не равно нулю). Если эти отношения не выполняются, значит, в вычислениях допущена ошибка. Чтобы научить детей такой проверке надо попутно с вычислениями чаще проводить наблюдения, сравнивая результат с компонентами действий сложения и вычитания. Устранению названных ошибок помогает анализ и обсуждение неверно решенных примеров.

– Смешивания цифр. Например, ученик пишет: 4+2=9, хотя устно называет правильный результат. Для устранения подобных ошибок необходима индивидуальная работа по запоминанию цифр. Пусть ученик нарисует названное учителем число каких-либо предметов и рядом запишет цифрой соответствующее число, пусть найдет в своем наборе названные цифры.

В концентре «Сотня» возможны следующие ошибки:

– Смешивание приемов вычитания, основанных на свойствах вычитание суммы из числа и числа из суммы. Например:

50 – 36=2656 – 30 = 14

50 – 30 = 20 50 – 30 = 20

20 + 6 = 26 20 – 6 = 14

Чтобы предупредить появление подобных ошибок. Надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый сделанный шаг:

80 – 27 = 87 – 20=

/ /

20+7 80+7

80 – 20 = 60 80 – 20 = 60

60 – 7 = 53 60 + 7 = 67

В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7. В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.

– Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов, как над числами одного разряда. Например, ученик складывает число десятков с числом единиц (54+2=74), вычитает из числа единиц число десятков (57-40=53). Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42+3=45, 25+4=65, 54+30=57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к 2 десяткам и получили 6 десятков, это неправильно, т.к. единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65. А в третьем примере 3 десятка прибавили к 4 единицам, получили 7 единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки – к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание.

– Ошибки в табличных случаях сложения и вычитания, когда они входят в качестве операций в более сложных примерах на сложение и вычитание. Например: 37+28=64, 58-6=53. Предупреждению этих ошибок будет служить постоянное внимание к усвоению учениками табличных случаев сложения и вычитания, особенно к случаям с переходом через десяток. Для устранения ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.

– Неверный результат вследствие пропуска операций, входящих в прием, или выполнение лишних операций. Например: 64+30=97, 76 – 20=50. Эти ошибки возникают, как правило, в результате невнимательности учеников. Для их устранения необходимо научить и постоянно побуждать учеников выполнять проверку решения примеров. Заметим, что способ проверки путем прикидки результата здесь не подходит, так как получили сумму (97), которая больше каждого из слагаемых (64 и 30). Поэтому в данном случае используется проверка, основанная на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания.

– Смешивание действий сложения и вычитания. Например: 36+20=16, 46-7=53. Эти ошибки обусловлены недостаточным вниманием учеников. Эффективным средством устранения таких ошибок на данном этапе обучения является умение и привычка учеников выполнять проверку решения примеров. Здесь ошибка сразу выявляется, если сравнить результат с компонентами. Например, ученик выполнил сложение так: 36+20=16. Сравнив сумму (16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу обнаруживает, что полученная сумма меньше каждого из слагаемых, значит, пример решен неверно.

Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел, больших ста те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.

Таким образом, предупреждению, а также устранению ошибок в вычислениях учеников помогает использование таких методических приемов, как: прием сравнения, т.е. выявление существенных сходств и различий в смешиваемых приемах для устных вычислений; прием анализа решения примеров для предупреждения смешивания арифметических действий; обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок; учить детей выполнять проверку решения примеров соответствующими способами и постоянно воспитывать у них эту привычку.

Список использованной литературы:

Бантова М.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа. – 1989. – № 2.
Бельтюкова Г.В. Методические ошибки при формировании у школьников вычислительных навыков // Начальная школа. – 1980. – №8.
Белошистая А.В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. – 2001. – №7.
Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. – 2003. –№10.
Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования /Министерство образования и науки Российской Федерации. – М.: Просвещение, 2010. – 41 с.

Источник

В концентре «Сотня» возможны следующие ошибки:

50 – 36=2656 – 30 = 14

50 – 30 = 20 50 – 30 = 20

20 + 6 = 26 20 – 6 = 14

80 – 27 = 87 – 20=

/ /

20+7 80+7

80 – 20 = 60 80 – 20 = 60

60 – 7 = 53 60 + 7 = 67

Список использованной литературы:

Бантова М.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа. – 1989. – № 2.
Бельтюкова Г.В. Методические ошибки при формировании у школьников вычислительных навыков // Начальная школа. – 1980. – №8.
Белошистая А.В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. – 2001. – №7.
Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. – 2003. –№10.
Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования /Министерство образования и науки Российской Федерации. – М.: Просвещение, 2010. – 41 с.

Статья м. А. Бантовой «Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждения» из журнала «Начальная школа» 1982 г., №8

Одной из главных задач обучения младших
школьников математики является
формирование у них вычислительных
навыков. Процесс овладения вычислительными
навыками довольно сложен: сначала
ученики должны усвоить тот или иной
вычислительный прием, а затем в результате
тренировки научиться достаточно быстро
выполнять вычисления, а в отношении
табличных случаев – запомнить результаты
наизусть. К тому же в каждом концентре
изучается довольно большое количество
приемов, поэтому естественно, что не
все ученики сразу усваивают их, часть
допускает ошибки.

В предлагаемой статье рассматриваются
типичные ошибки учеников при выполнении
ими арифметических действий в каждом
концентре, а также методические приемы
предупреждения и устранения таких
ошибок.

Десяток.

Смешение действий сложения и вычитания(7 + 2 = 5, 6 – 4 = 10). Такие ошибки возникают
по двум причинам. Первая причина:
ученики еще не усвоили самих действий
сложения и вычитания или же знаков
этих действий. Чаще это происходит
потому, что учитель стал рано требовать
выполнения арифметических действий
без использования счетного материала
(палочек, геометрических фигур из
набора и т. п.).

Чтобы предупредить появление названных
ошибок, не следует запрещать ученикам
пользоваться счетным материалом, если
они иначе не могут найти результат
сложения или вычитания. Для устранения
уже появившихся ошибок надо вернуть
учеников к работе со счетным материалом.
При этом важно, чтобы сопровождались
вычисления словесным рассуждением и
соответствующей записью. Например,
выполняя сложение 5 + 2, ученик берет 5
кружков и еще 2, затем придвигая к 5
кружкам 1 кружок, говорит: «К 5 прибавить
1, получится 6». Далее придвигая к 6
кружкам еще кружок, он говорит: «К 6
прибавить 1, получится 7. Записываю: 5 +
2 = 7».

Вторая причина ошибок в замене одного
арифметического действия другим – это
недостаточный анализ решаемого примера:
при вычислениях ученики больше обращают
внимание на числа, чем на знак действия.
Поэтому важно с первых уроков обучения
вычислениям приучать учеников к тому,
чтобы они называли сначала вслух, а
позднее про себя, какое арифметическое
действие надо выполнить и над какими
числами, и только после этого вычисляли
результат. Так, пусть, решая пример 6 –
4, они говорят: «Это пример на вычитание
(или: «Здесь надо вычитать»), из 6 вычесть
4, получится 2». Воспитывая привычку
выполнять такой анализ, можно полностью
устранить ошибки в замене одного
арифметического действия другим.

Получение результата на единицу
больше или меньше верного(7 + 2 = 8, 9 –
3 = 7). Подобные ошибки возникают при
присчитывании и отсчитывании чисел
2, 3, 4 по единице с опорой на натуральный
ряд. Например, прибавляя к 7 число 2,
ученики должны назвать два числа,
следующие в ряду за числом 7, однако
бывает, что они первым называют данное
число, а не следующее за ним (7, и
думают, что они прибавили 2 и что 7 + 2 =
8. Для предупреждения таких ошибок
полезно, чтобы при присчитывании и
отсчитывании по единице называлось
промежуточные результаты (7 + 1 = 8, 8 + 1 =
9, значит, 7 + 2 = 9).
Неверный результат получается иногда
вследствие использования нерациональных
приемов. Например, выполняя сложение
в случаях вида 3 + 6, часть учеников
вместо приема перестановки слагаемых
использует прием присчитывания по
единице (по 2, по 3), а это трудно, и ученики
часто забывают, сколько единиц они уже
прибавили и сколько осталось прибавить,
вследствие чего получают неправильный
результат (3 + 6 = 8, 3 + 6 = 10 и т. п.).

Предупреждению таких ошибок помогает
сравнение рациональных и нерациональных
приемов вычислений. Так, обнаружив, что
некоторые ученики допускают ошибки
при решении примеров вида 3 + 6, учитель
спрашивает, как они решали пример (3 + 1
= 4, 4 + 1 = 5 и т. д.), затем другие ученики
объясняют, как можно решить этот пример
быстрее, легче (надо переставить
слагаемые 6 + 3 = 9, результат помним
наизусть). Здесь же ученики указывают,
в каких случаях следует переставлять
слагаемые (когда к меньшему числу
прибавляем большее).

Запись или называние вместо результата
одного из компонентов(3 + 5 = 5, 6 – 4 =
6). Такие ошибки возникают преимущественно
по невнимательности. Как правило,
ученики сами находят ошибку и дают
верный ответ.

Для предупреждения подобных ошибок
важно научить детей выполнять проверку
решения путем прикидки результата: при
сложении результат должен быть больше
каждого из слагаемых (если ни одно из
них не равно нулю); при вычитании
результат должен быть меньше уменьшаемого
(если вычитаемое не равно нулю); если
эти отношения не выполняются, значит,
в вычислениях допущена ошибка. Чтобы
научить детей такой проверке надо
попутно с вычислениями чаще проводить
наблюдения, сравнивая результат с
компонентами действий сложения и
вычитания. Устранению названных ошибок
помогает анализ и обсуждение неверно
решенных примеров. Так, учитель
спрашивает, верно ли решен пример 5 + 3
= 5 и может ли эта сумма равняться 5.
Ученики сравнивают сумму со слагаемыми
и говорят, что сумма должна быть больше,
чем 5, так как к 5 еще прибавили 3.

Получение неверного результата в
следствии смешения цифр.Например,
ученик пишет: 4 + 2 = 9, хотя устно называет
правильный ответ. Для исправления
подобных ошибок необходима индивидуальная
работа по запоминанию цифр: пусть
ученик нарисует названное учителем
число каких-либо предметов и рядом
запишет цифрой соответствующее число,
пусть найдет в своем наборе названные
цифры и т. п.

Сотня.

Сложение и вычитание.

Смешение приемов вычитания, основанных
на свойствах вычитания суммы из числа
и числа из суммы.Например:

50 – 36 = 50 – (30 + 6) = (50 – 30) + 6 = 26

56 – 30 = (50 + 6) – 30 = (50 – 30) – 6 = 14

Чтобы предупредить появление подобных
ошибок, надо проводить специальную
работу по сравнению смешиваемых приемов,
выявляя при этом существенное различие.
Ученикам предлагаются пары примеров,
аналогичные приведенным, решая которые,
они сравнивают каждый следующий шаг:

80 – 27 = 80 – (20 + 7)

87 – 20 = (80 + 7) – 20

В первом примере надо вычитать из 80
сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать
одно число 20 из суммы чисел 80 и 7.

80 – 27 = 80 – (20 + 7) = (80 – 20) – 7 = 53

87 – 20 = (80 + 7) – 20 = (80 – 20) + 7 = 67

В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во
втором вычли только 20 из 80 и к результату
прибавили 7.

Целесообразно провести также сравнение
приемов для случаев вида 60 – 28 и 68 –
20, 14 – 6 и 16 – 4 и т. п.

Выполнение сложения и вычитания над
числами разных разрядов как над числами
одного разряда.

Например, ученик складывает число
десятков с числом единиц 54 + 2 = 74, вычитает
из числа единиц число десятков 57 – 40 =
53 и т. п.

Для предупреждения названных ошибок
полезно обсудить неверные решения
примеров. Так, учитель предлагает найти
среди данных примеров те, при решении
которых допущена ошибка: 42 + 3 = 45; 25 + 4 =
65; 54 + 30 = 57. Затем выясняется, какая
допущена ошибка: во втором примере 4
единицы прибавили к двум десяткам и
получили шесть десятков, это неправильно,
единицы надо прибавлять к единицам,
получится 29, а не 65; в третьем примере
3 десятка прибавили к четырем единицам
получили семь единиц, это неверно,
десятки надо прибавлять к десяткам,
получится 84, а не 57. После этого еще раз
повторяется, что единицы прибавляют к
единицам, а десятки к десяткам. Такую
работу следует провести и при рассмотрении
примеров на вычитание. С учениками,
которые часто допускают подобные
ошибки, полезно вернуться к использованию
счетного материала (пучки палочек и
отдельные палочки, полоски с кружками
и другие).

Ошибки в табличных случаях сложения
и вычитания, когда они входят в качестве
операций в более сложные примеры на
сложение и вычитание.

Например: 37 + 28 = 64, 58 – 6 = 53 и т. п.

Предупреждению этих ошибок будет
служить постоянное внимание к усвоению
учениками табличных случаев сложения
и вычитания, особенно случаям с переходом
через десяток. Для устранения ошибок
необходима индивидуальная работа с
учениками, допускающими их.

Получение неверного результата
вследствие пропуска операций, входящих
в прием, или выполнения лишних операций.

Например: 64 + 30 = 97, 76 – 20 = 50. Эти ошибки,
как правило, возникают в результате не
внимательности учеников. Для их
устранения необходимо научить и
постоянно побуждать учеников выполнять
проверку решения примеров. В данном
случае используется проверка, основанная
на связи между компонентами и результатом
действий сложения и вычитания. С этим
способом проверки ученики знакомятся
в концентре «Сотня». Они рассуждают:
«Проверю решение примера 64 + 30 = 97: из
суммы 97 вычту слагаемое 30 получится
67, а должно получиться первое слагаемое
64 значит, пример решен неверно. Решаю
снова». Важно при этом, чтобы ученик
сам нашел ошибку: «К четырем единицам
я прибавил 3, но это 3 десятка, я их уже
прибавил к десяткам». Вычитание
проверяется путем сложения разности
и вычитаемого, а также с помощью вычитания
разности из уменьшаемого. Заметим, что
способ проверки путем прикидки результата
здесь не подходит: получили сумму 97
которая больше каждого из слагаемых
64 и 30, однако ответ неверен. Это не
значит, что им не надо пользоваться, он
часто помогает установить, что результат
неверен. Пусть ученики сначала выполнят
сравнение результата с компонентами,
а затем обратятся к другому способу
проверки.

Смешение действий сложения и вычитания(36 + 20 = 16, 46 – 7 = 53),запись или называние
в результате одного из компонентов(14 + 8 = 14). Эти ошибки обусловлены
недостаточным вниманием учеников.

Эффективным средством устранения таких
ошибок на данном этапе обучения является
умение и привычка учеников выполнять
проверку решения примеров. Здесь ошибка
сразу выявляется, если сравнить результат
с компонентами, например, ученик выполнил
сложение так: 36 + 20 = 16. Сравнив сумму
(16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу
обнаруживает, что полученная сумма
меньше каждого из слагаемых, значит,
пример решен неверно.

Умножение и деление.

Ошибки при нахождении результатов
умножения сложением.

Ошибки при вычислении суммы одинаковых
слагаемых: 3 * 9 = 28. Вычисляя сумму
нескольких слагаемых, ученик допустил
ошибку в сложении.
Ошибки в установлении числа слагаемых:
8 * 5 = 32. Ученик нашел сумму не пяти, а
четырех слагаемых, каждое из которых
8.
Ошибки, обусловленные непониманием
смысла компонентов умножения 7 * 9 = 61.
Ученик взял число 7 слагаемым 10 раз,
получил 70, затем вычел из 70 не 7, а 9.

Предупреждению названных ошибок служит
усиление внимания к усвоению конкретного
смысла действия умножения: выполнение
достаточного числа разнообразных
упражнений на замену суммы одинаковых
слагаемых произведением и произведения
суммой одинаковых слагаемых. Кроме
того, весьма полезна специальная работа
по обсуждению неправильно решенных
примеров, аналогичных приведенным (не
надо ждать, когда ученики допустят
такие ошибки!). Здесь уместно указать
на важность запоминания наизусть
результатов табличного умножения.

Ошибки, обусловленные трудностями
запоминания результатов умножения.Трудными для запоминания являются
следующие случаи:

произведения чисел, больших пяти: 6 *
7, 6 * 8, 6 * 9, 7 * 7 и т. д.
произведения с равными значениями: 2
* 9 и 3 * 6, 6 * 4 и 8 * 3 и т. п.
произведения, значения которых близки
в натуральном ряду: 6 * 9 = 54, 7 * 8 = 56 и др.

Чтобы помочь запомнить результаты
умножения в названных случаях, не
смешивать их и не допускать ошибок,
надо чаще включать эти случаи в устные
упражнения и письменные работы, создавая
при этом занимательные ситуации. Полезно
названные случаи умножения по мере из
изучения записывать на плакатах и
вывешивать в классе для зрительного
восприятия.

Вследствие нетвердого запоминания
отдельными учениками результатов
умножения, они допускают ошибки и при
делении (54 : 9 = 7, 24 : 8 = 4 и т. п., поскольку
при нахождении результата воспроизводят
соответствующие случаи умножения.
Случаи табличного деления следует чаще
включать в устные упражнения, чем случаи
табличного умножения.

Смешение действий умножения и деления(8 * 2 = 4, 6 : 3 = 18). Эти ошибки, как правило,
— результат невнимательности учеников.

Для их предупреждения используют те
же методические приемы, которые описаны
в отношении сложения и вычитания.

Смешение случаев умножения и деления
с числами 1 и 0, например: 8 * 0 = 8, 5 * 1 =
0, 0 : 9 = 9 и т. п.

Предупреждению названных ошибок
помогают специальные упражнения на
сравнение смешиваемых случаев.

Смешение приемов внетабличного
умножения и деления с приемом сложения.
Например: 35 * 2 = 65, 68 : 2 = 38. Здесь по
аналогии с приемом сложения для случаев
вида 35 + 2 ученик умножал на 2 три десятка
и к результату прибавил 5 единиц;
разделил на 2 шесть десятков и к
результату прибавил 8 единиц.

Чтобы предупредить, а позднее устранить
подобные ошибки, следует предлагать
для решения с подробной записью и
объяснением пары примеров вида 16 * 4 и
16 + 4, попутно выявляя существенное
различие в приемах: при умножении
двузначного числа на однозначное
умножают на него и десятки, и единицы,
после чего результаты складывают, а
при сложении прибавляют однозначное
число только к единицам. Такое же
сравнение ведется при решении пар
примеров вида 36 : 3 и 36 + 3. Для устранения
подобных ошибок полезно проводить
обсуждение неверных решений, аналогичных
приведенным, в результате которого
ученики сами находят ошибку (единицы
не умножили или не разделили на число
2). Важно также, чтобы ученики выполняли
проверку решения примеров на внетабличное
умножение и деление: умножение проверяли
делением произведения на один из
компонентов, а деление – либо умножением
частного на делитель, либо делением
делимого на частное. Проверку следует
выполнять преимущественно устно.

Смешение приемов внетабличного
деления, например: 88 : 22 = 44, 36 : 12 = 33.
Здесь ученики вместо использования
приема подбора частного, как и при
делении двузначного числа на однозначное,
делят десятки, получая при этом десятки,
затем делят единицы и результаты
складывают.

Для предупреждения таких ошибок
целесообразно предложить для решения
одновременно примеры вида 88 : 22 и 88 : 2,
после чего сравнить как сами примеры,
так и приемы их вычислений. В таких
случаях также полезно проводить
обсуждение неверно решенных примеров,
выявляя при этом ошибку.

Ошибки в табличных случаях умножения
и деления, когда они входят в качестве
операций в случаи внетабличного
умножения и деления. Например:

19 * 3 = (10 + 9) * 3 = 10 * 3 + 9 * 3 = 30 + 24 = 54

72 : 4 = (40 + 32) : 4 = 40 : 4 + 32 : 4 = 10 + 6 = 16

Для устранения таких ошибок необходима
индивидуальная работа с учениками,
допускающими их.

Ошибки при делении с остатком,
обусловленные неверным выделением
числа, которое делят на делитель.Например: 65 : 7 = 8 (ост. 9). Здесь ученик
делил на 7 не 69, а 56, поэтому получил
неверное частное и остаток который
больше, чем делитель.

Для предупреждения таких ошибок следует
включать упражнения на выделение ошибок
в решении примеров вида 43 : 7 = 5 (ост. 8).
Подобные ошибки должны обсуждаться со
всеми учащимися класса. Важно также
научить учеников выполнять проверку
решения примеров на деление с остатком.
Пусть они каждый раз сравнивают остаток
с делителем, помня, что остаток не может
быть больше делителя. Однако этот способ
не всегда позволяет установить, верно
ли найдены частное и остаток, например:
42 : 5 = 7 (ост. 2). Поэтому надо использовать
и другой способ: умножить частное на
делитель и к полученному произведению
прибавить остаток, если получится
делимое, то пример решен правильно.

Тысяча. Многозначные
числа.

Сложение и вычитание.

Ошибки, вызванные неправильной
записью примеров в столбик при письменном
сложении и вычитании. Например:

С целью предупреждения подобных ошибок
надо обсуждать с учениками такие
неверные решения, в результате чего
они должны заметить, что в данном примере
неверно подписаны числа, поэтому сложили
десятки с единицами, сотни с десятками,
а надо числа подписывать так, чтобы
единицы стояли под единицами, десятки
под десятками и т. д., и складывать
единицы с единицами, десятки с десятками
и т. д. Кроме того, нужно научить учеников
проверять решение примеров. Названную
ошибку легко обнаружить, выполнив
проверку способом прикидки результата.
Так, в отношении приведенного примера
на сложение рассуждение ученика будет
таким: «К 5 сотням прибавили число,
которое меньше 1 сотни, а в сумме получили
9 сотен, значит в решении допущена
ошибка».

Ошибки при выполнении письменного
сложения, обусловленные забыванием
единиц того или иного разряда, которые
надо было запомнить, а при вычитании
– единиц, которые занимали. Например:

Предупреждению таких ошибок также
помогает обсуждение с учениками неверно
решенных примеров. После этого важно
подчеркнуть, что всегда надо проверять
себя – не забыли ли прибавить число,
которое надо было запомнить, и не забыли
ли о том, что занимали единицы какого-то
разряда. Выявлению таких ошибок самими
учениками помогает выполнение проверок
сложения вычитанием и вычитания
сложением.

Заметим, что в некоторых методических
пособиях и статьях для предупреждения
названных ошибок в письменном сложении
с переходом через десяток рекомендуется
начинать сложение с единиц, которые
запоминали. Например, при решении
приведенного примера ученик тогда
должен рассуждать: «К девяти прибавить
5, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем:
1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т. д. Этого
делать не следует потому что некоторые
ученики переносят этот прием на
письменное умножение, что вызовет
ошибку, например при умножении чисел
354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на
6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем
2 да 5 – 7, 7 умножить на 6, получится 42» и
т. д.

Ошибки в устных приемах сложения и
вычитания чисел больших ста(540 ±
300, 1600 ± 700 и т. п.)те же, что и при
сложении и вычитании чисел в пределах
ста. Для их устранения используются
методические приемы, о которых говорилось
выше.

Умножение и деление.

Ошибки в письменном умножении на
двузначное и трехзначное число
обусловленные неправильной записью
неполных произведений:

Для предупреждения таких ошибок
необходимо, чтобы ученики хорошо
усвоили, почему второе неполное
произведение начинаем подписывать под
десятками. С этой целью на этапе
ознакомления с приемом надо добиться,
чтобы ученики, выполняя умножение,
давали развернутое объяснение. Так,
при решении приведенного примера они
рассуждают: «теперь буду умножать 564
на 30; для этого 564 умножу на 3 и результат
на 10; при умножении на 10 приписывают
справа нуль; пишу нуль под единицами;
умножаю на 3; четыре умножаю на 3, получится
12, два пишу на месте десятков, а 1
запоминаю» и т. д. На этапе закрепления
знания приема ученики не пишут нуль на
месте единиц второго неполного
произведения, но говорят: «Нуль не пишу,
а умножаю 4 на 3 и подписываю под
десятками».

Полезно и в таких случаях разобрать
несколько неверных решений, подобных
приведенным, и выяснить, какая допущена
ошибка. Выявлению ошибок самими детьми
помогает проверка путем прикидки
результата (500 * 30 = 15000, а получили только
2820, пример решен неправильно), а позднее,
когда будут изучены соответствующие
случаи деления, выполняется проверка
с помощью деления произведения на один
из множителей.

Ошибки в подборе цифр частного при
письменном делении.

Получение лишних цифр в частном.
Например:

Ученик разделил на 26 не 150 десятков, а
104 десятка, вследствие чего получил
остаток 46, который можно разделить на
делитель, что он и сделал, получив лишнюю
цифру в частном.

Для предупреждения таких ошибок
необходимо, чтобы ученики начинали
деление с установления числа цифр
частного, это и будет прикидка результата.
Так, при решении приведенного примера
они рассуждают: «Первое неполное делимое
150 десятков, значит в частном будет
двузначное число». После решения примера
они устанавливают, что в частном
получилось трехзначное число, а должно
быть двузначное, значит пример решен
не верно. Полезно, чтобы при этом на
первом этапе работы над приемом ученики
после установления числа цифр частного
ставили на их месте точки, тогда нагляднее
выступит несоответствие полученного
и установленного числа цифр в частном.
Полезно также проводить анализ неверно
выполненных решений, аналогичных
приведенному. При этом выясняется, что
если после вычитания получается число,
которое можно разделить на делитель
(46), то цифра частного подобрана
неправильно, надо взять больше. Ошибка
может быть обнаружена самими учениками
в результате проверки решения на основе
связи между компонентами и результатом
деления (умножат частное на делитель).

Пропуск цифры нуль в частном.
Например:

Здесь ученик разделил на 43 число сотен
и число единиц, пропустив операцию
деления 34 десятков.

В таких случаях предупреждению и
выявлению ошибок помогает также
предварительное установление числа
цифр в частном (должно получиться
трехзначное число, а получилось
двузначное, значит в решении допущена
ошибка). Полезно своевременно провести
обсуждение неверно решенных примеров,
аналогичных приведенному. При этом
после установления числа цифр в частном
и нахождения ошибки надо обратить
внимание учеников на то, что неполных
делимых должно быть столько же, сколько
цифр в частном (в приведенном примере
– 2, а должно быть 3) и это должно выражаться
в записи:

Выполнение именно такой записи
предупреждает появление названной
ошибки. Важно, чтобы при этом ученики
вели развернутое объяснение решения.
Выявить ошибку ученики и здесь могут
сами, выполнив проверку решения путем
умножения частного на делитель.

Ошибки, вызванные смешением устных
приемов умножения на двузначные
разрядные и неразрядные числа.
Например: 34 * 20 = 408 (умножили 34 на 2, затем
34 умножили на 10 и сложили полученные
произведения 58 и 340), 34 * 12 = 680 (умножили
34 на 2 и результат 68 умножили на 10).

Как и в других случаях смешения приемов,
целесообразно сравнить их и установить
существенное различие: при умножении
на разрядные числа умножаем число на
произведение, т.е. умножаем его на один
из множителей, а при умножении на
двузначные неразрядные числа умножаем
число на сумму разрядных слагаемых:
умножаем его на каждое слагаемое и
результаты складываем. Умение выполнять
проверку решения способом прикидки
результата и, опираясь на связь между
компонентами и результатом умножения,
поможет ученикам выявить ошибку.

Ошибки, обусловленные смешением
устных приемов деления на разрядные
числа и умножения на двузначные
неразрядные числа.Например: 420 : 70 =
102. Ученик по аналогии с умножением на
двузначное неразрядное число выполнил
деление так: разделили 420 на 10, затем
420 разделили на 7 и полученные результаты
42 и 60 сложили.

Для предупреждения таких ошибок надо
сравнить приемы для соответствующих
случаев деления и умножения (420 : 70 и 42
* 17) и установить существенное различие
(при делении на разрядные двузначные
числа – делим на произведение, а при
умножении на двузначные неразрядные
числа – умножаем на сумму). Полезно с
этой же целью проанализировать решения,
в которых допущены ошибки, аналогичные
приведенным. Такие ошибки легко могут
установить сами ученики, если выполнят
проверку, умножив частное на делитель
(102 * 7 = 7140, а должно получиться 420).

Ошибки при письменном умножении и
делении в табличных случаях умножения
и деления.Такие ошибки возникают
либо по невнимательности учеников,
либо в результате слабого знания
отдельными учениками таблицы умножения.

Чтобы устранить названные ошибки, надо
проводить индивидуальную работу с
отдельными учениками по заучиванию
таблиц умножения, а также чаще включать
табличные случаи умножения и деления
в устные упражнения.

Ошибки, обусловленные невнимательностью
учеников: пропуск отдельных операций(7200 : 9 = 8, 9000 * 7 = 63 и т. п.),смешение
арифметических действий(320 : 80 =
25600) и др.

Как и в ранее описанных подобных случаях,
устранению названных ошибок и здесь
помогает воспитанная у детей привычка
анализировать данные примеры до их
решения, а также проверять решение
примеров.

Таким образом, предупреждению, а также
устранению ошибок в вычислениях учеников
помогает использование таких методических
приемов:

для предупреждения смешения вычислительных
приемов следует выполнять под
руководством учителя их сравнение,
выявляя при этом существенное различие
в смешиваемых приемах.
чтобы предупредить смешение арифметических
действий, надо научить учеников
анализировать сами примеры.
предупреждению и устранению ошибок
помогает обсуждение с учениками
неверных решений, в результате чего
выявляется причина ошибок.
для выявления ошибок и их устранения
самими учениками надо научить детей
выполнять проверку решения примеров
соответствующими способами и постоянно
воспитывать у них эту привычку.

Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

Одна из задач математической подготовки младших школьников — формирование вычислительных навыков. Это сложный и длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребёнка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Письменные вычисления имеют повсеместное применение, являются фундаментом изучения математических и других учебных дисциплин.

Проблеме формирования вычислительных навыков, в том числе навыков письменных вычислений, посвящены публикации М.А. Бантовой, М.Б. Волович, В.В. Давыдова, О.А. Ивашовой, Н.Б. Истоминой, В.Н. Медведской, С.С. Минаевой, П.Б. Ройтмана, Т.М. Чеботоревской, Я.Ф. Чекмарева. Однако, несмотря на простоту алгоритмов письменного сложения и вычитания, учащиеся допускают достаточно много ошибок. Одна из причин — игнорирование особенностей методики изучения материала, предполагающих использование наглядности в виде опорных схем и абака, применение проблемного и практического методов, самостоятельной работы, а также отработки навыка на системе специально подготовленных упражнений тренировочного и творческого характера [Истомина, 2006, с.193].

Целенаправленную деятельность по отработке вычислительных умений и навыков необходимо осуществлять, руководствуясь следующими требованиями:

1. Обязательная подготовительная работа к выполнению вычислений на каждом уроке.

2. Создание определенного настроения учащихся на предстоящие вычисления при помощи форм и приемов работы, которые активизируют внимание учащихся, повышают их ответственность и желание получить правильный результат.

3. Соблюдение постепенного нарастания сложности в письменных вычислениях (переход через один разряд, два разряда, случаи, когда уменьшаемое содержит нули).

4. Проверка полученного результата. В данном случае проверка выступает как прием самоконтроля, который воспитывает у учащихся ответственность и вызывает интерес к выполненной работе.

5. Систематический самоконтроль деятельности учащихся и анализ допущенных ими ошибок. Контроль позволяет организовать целенаправленную индивидуальную работу, вовремя обратить внимание ученика на проблемы в его знаниях, умениях и навыках, целенаправленно использовать тренировочные упражнения.

6. Соблюдение количественной меры решаемых примеров. Практика показывает, что если ученик решает подряд более 4 — 5 примеров, то количество ошибок возрастает. Это связано с напряжением внимания [Аргинская, 2005, с.15].

Рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание.

1) Ошибка в записи чисел в столбик.

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка.»

2) Ошибка в постановке знака.

3) Знак «плюс», а ученик вычитает.

4) Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:

Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например: Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя — не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 — четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 — 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д.

5) неправильно определили количество цифр в сумме.

6) допустили ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять.

Скачать материал

Сейчас обучается 136 человек из 44 регионов

Сейчас обучается 215 человек из 60 регионов

Сейчас обучается 1053 человека из 83 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Ошибки в порядке выполнения арифметических действий и пути
их предупреждения
Выполнила: Калинина Ксения
2 слайд

Для выявления характера ошибок учащихся в определении порядка выполнения действий в выражениях в конце третьей и начале четвертой четверти, когда материал уже хорошо изучен, в двенадцати вторых классах Ленинграда (415 учащихся) было проведено несколько самостоятельных работ. Приведем примеры включенных в работы выражений: выражения без скобок, содержащие действия одной ступени: 70:5·2, 100 – 50 – 25+25; выражения без скобок, содержащие действия разных ступеней: 96 – 24+12:6, 100 – 60:4, 32+64:16·2; выражения, содержащие скобки: 3·(20+4), 60:(20 – 5)·2, 90 — (36+ + 14):10.
3 слайд

Для того чтобы можно было выявить осознанное применение учащимися правил порядка выполнения действий, выражения составлены так, что вычисления в них можно производить как в правильном, так и в неправильном порядке, и отклонения от правильного порядка приводят к неверному результату. Например, вычисляя значение выражения 32+64:16 • 2, можно получить результаты: 3, 12, 34, 40. Структура использованных выражений была разной по набору и количеству действий (70:5·2, 80 – 43+17, 90 – 48+12:6), по расположению действий и скобок (78 – 24 + 12:6, 100 – 20: (10 – 6), 100 – (44 – 24):4).
4 слайд

Набор действий
3 2 1
78 – 24 + 12 : 6 = 52
2 1
80 – 43 + 17 = 20
21
70 : 5 · 2 = 7
3 1 2
60 : (20 – 5) · 2 = 2
5 слайд

Причина ошибок
Одна из причин таких ошибок — особенность восприятия и воспроизведения учащимися соответствующих правил порядка выполнения действий. Дети помнят начало формулировки, в которой сложение названо раньше вычитания, а умножение — раньше деления, и не обращают внимания на конец правила, подчеркивающий, что эти действия надо выполнять в порядке их записи. Другая причина этих ошибок — ориентировка учащихся не на правила, а на возможность выполнения действий — делают то, что делается.
6 слайд

Взаимное расположение действий
в выражении проявляется в том, что после выбора первого действия его положение в записи выражения влияет на выбор второго действия. Например, в выражении 48–24:6+2, в котором сложение и вычитание расположены одинаково близко к первому действию — делению, ошиблись в выборе второго действия 31 % учащихся, а в другом выражении с таким же набором действий — 78 – 24 + 12 : 6, в котором к делению ближе расположено сложение, такую ошибку допустили 50 % учащихся.
7 слайд

Анализ работ показал, что в выражениях без скобок учащиеся делают ошибок в 2,3 раза больше в выборе второго действия, чем в выборе первого, для которого нет предыдущих действий, а следовательно, и влияния их расположения. Поэтому в выражениях в три действия учащиеся чаще допускают ошибки в порядке выполнения действий, чем в выражениях в два действия, в которых выбирать надо только одно действие (к тому же первое) и к которым можно применить только какое-то одно правило порядка выполнения действий. В этом проявляется влияние количества действий в выражении на правильность определения порядка вычислений. Например, при вычислении значения выражения 90 – 48+12:6 ошибок значительно больше, чем при вычислении значения выражения 80 – 43+17.
8 слайд

Все учащиеся действие в скобках выполняют первым, поэтому в выражениях, содержащих всего два действия, ошибок в порядке выполнения действий нет. Напротив, в выражениях в три действия со скобками ошибок много — 74 % учащихся выполняли действия вне скобок по порядку их записи — слева направо. Например:
2 1 3
100 – (44 – 24) : 4 = 20
2 3 1
60 – 20 : (20 – 16) = 10
9 слайд

Теперь рассмотрим влияние числового материала на правильность определения порядка выполнения действий.
Вполне понятно, что если числа в выражении не позволяют производить вычисления в неверной последовательности (например, 55 – 64 : 4 – 27), то ошибки в порядке выполнения действий в таких выражениях встречаются редко. Причем если и встречаются, то вместе с вычислительными ошибками, когда учащиеся из меньшего вычитают большее или делят то, что не делится (без остатка). Например:
2 1 3
46 + 3·12 : 4 = 82 : 4 = 21
10 слайд

Если числовой материал позволяет в одном и том же выражении использовать разный порядок выполнения действий и не «наталкивает» на какой-либо один из них, то в работах встречаются все возможные варианты. Например, 25 % учащихся ошиблись в порядке выполнения действий в выражении 32 + 64 : 16 · 2. При этом ими были использованы следующие последовательности вычислений: а) деление, сложение, умножение; б) умножение, деление, сложение; в) сложение, умножение, деление; г) сложение, деление, умножение.
11 слайд

Влияние структуры выражений и числового материала на выбор порядка выполнения действий хорошо видно из сопоставления результатов двух самостоятельных работ:
Работа 1 Работа 2
Вычислите:Вычислите:
23 – 85:17+2278 – 52:13+13
46+3·12:432+64:16 · 2
28+37 – 72:696 – 24+12:6
12 слайд

Первая работа взята из учебника математики для II класса. Анализ ее содержания показывает, что у учащихся при выполнении этой работы мало возможностей ошибиться в выборе порядка выполнения действий. Так, в выражении 23–85:17+22 числовой материал не позволяет выполнять действия в неверном порядке. В двух других выражениях 46+3·12:4 и 28+37 – 72:6 можно деление выполнить раньше умножения или вычитание раньше сложения, но такое нарушение правил не сказывается на окончательном результате, поэтому нельзя определить, в каком порядке выполнял действия ученик.
13 слайд

Содержание второй работы мы составили по аналогии с первой, оставив сложность вычислений такой же, но включив числовой материал, позволяющий выполнять действия в любом порядке, и в двух последних выражениях поменяли местами умножение и деление, сложение и вычитание. В результате таких небольших преобразований во второй работе в порядке выполнения действий ошиблись 76 % учащихся против 6 % в первой работе.
14 слайд

Для уменьшения количества ошибок, связанных с предпочтением одних действий другим, необходимо всячески подчеркивать равноправие действий одной ступени.
Однако уточнение формулировок правил порядка выполнения действий лишь первый шаг в совершенствовании работы над их усвоением. Как известно, центральная роль в процессе формирования знаний и умений принадлежит системе упражнений. Прежде чем говорить о возможных видах упражнений, рассмотрим, какие выражения желательно включать в них.
15 слайд

Однако структура выражений в три действия, использованных в учебнике, недостаточно разнообразна, что иногда служит основой неверных обобщений, а следовательно, причиной ошибок. Частое использование выражений вида а·b±c·d, a:b±c:d, a·b±c:d, a:b±c·d привело к тому, что некоторые учащиеся вывели свое правило вычислений — «сначала по краям, затем по середине» и стали применять его к выражениям в три действия. Например:
1 3 2
48 – 24 : 6 + 2 = 3
1 3 2
32 + 64 : 16 · 2 = 3
16 слайд

Помещенные в статье упражнения на применение правил порядка выполнения действий предполагают постепенное усложнение деятельности учащихся. Сначала даны упражнения, для выполнения которых надо просто вычислить значение выражений. Дальше идет выбор выражений по их структурной характеристике, потом — сопоставление выражений и порядка выполнения действий в них, анализ ошибок. Более сложным является изменение выражений и порядка выполнения действий, дополнение выражений и, наконец, конструирование выражений с учетом одного или нескольких условий. Эти упражнения были апробированы в школах Ленинграда: № 206 (учитель Е. Н. Свердлова), № 320 (учитель Г. Н. Станиславская) и др. Они вызывали у учащихся заинтересованность и дали положительные результаты. Приведем некоторые упражнения.
17 слайд

1
а) Выберите значение выражения 96 – 24 + 12 : 6 из чисел 90, 74, 70, 14.
б) Выберите выражения, значения которых равны
80 : 20 + 20 · 2,
84 – 12 + 48 : 6,
95 – 10 + 5,
5 + 90 : 6 · 5.
18 слайд

2
Из всех схем выражений выберите те, в которых умножение надо выполнять вторым действием:
a) □+□·□ в) □ + □·□ + □
б)□ · □ + (□ + □) г) □ + (□ — □)·□
д)□:□·□:□ ж)□:□ + □·□
е) □ : (□ + □)·□ з) □ : □· □
19 слайд

3
Из всех выражений выпишите и найдите значения тех выражений, в которых сложение надо выполнить:
а) первым, б) вторым, в) третьим действием:
4·17+3 90 – 52 + 18 70 – (10+15)·2
37+26 – 16 15+45:(15 – 12) 60:15+5· 3
24 + 6·3 (30+70) :25·2 40+60:5·2
20 слайд

4
Проверьте, правильно ли вычислены значения выражений. Исправьте ошибки, если они есть:
2 3 1
100 – 20: (20 – 10) = 8
2 1
70:14·5=1
3 1 2
90 – 36 : 18+18 = 70
1 3 2
90 – 15+15 : 3 = 80
3 2 1
30 + 60 : 15·2 = 32
2 1 3
90 – (35 – 5) : 6 = 10
21 слайд

5
Сравните выражения и порядок выполнения действий в них. Вычислите значение каждого выражения:
12+48:4·3
(12+48):4·3
12+48:(4·3)
22 слайд

6
Расставьте в выражениях скобки несколькими способами и вычислите значения получившихся выражений:
а)76 – 27 – 12+6,б) 78—18:3 – 2.
Например: а) 76 – (27 – 12) + 6 = 67,
76 – 27 – (12 + 6) = 31;
б) (78 – 18) : 3·2,
78 – 18:(3·2) = 75.
23 слайд

7
Поставьте скобки в выражении так, чтобы оно имело указанное значение:
16 : 4 : 2 = 8
24 – 16:4:2=1
24 – 16:4:2=16
Например: (24 – 16):4:2=1,
24 – 16:(4:2) = 16.
24 слайд

8
Проверьте, правильно ли вычислены значения выражений. Если нужно, с помощью постановки или снятия скобок измените порядок выполнения действий так, чтобы выражения имели указанные значения:
а) 72:12:2·3=36, б) 72:12: (2- 3) = 9,
в) 72:12:(2·3) = 1.
Например: а) 72:(12:2)·3=36,
б) 72:12: :2·3=9, в) ничего менять не надо.
25 слайд

9
Расставьте знаки арифметических действий (можно и скобки), чтобы получились различные выражения, и вычислите их значения:
48□12□4
Например: 48+12 · 4=96, (48 + 12):4= 15, 48:12:4=1, 48:(12 – 4) = 6.
26 слайд

10
Вставьте знаки арифметических действий (если нужно, и скобки) так, чтобы получившееся выражение имело указанное значение: 45□ 15□3 = 90.
Например:45+15·3 = 90, (45 – 15)·3 = 90.
27 слайд

11
Измените один из знаков действий и вычислите значение каждого из получившихся выражений:
36+6:3
Например: 36:6:3=2, 36 – 6:3=54, 36+6 – 3 = 39 и т. п.
28 слайд

12
Измените один из знаков действий так, чтобы в получившемся выражении был другой порядок выполнения действий: 64+16·2. Вычислите значение каждого выражения.
Например: 64+16·2 = 96, а) 64:16·2 = 8, б) 64+16 – 2 = 78.
29 слайд

13
Составьте выражения, подбирая вместо «окошек» такие числа, над которыми можно выполнить указанные действия. Вычислите значения получившихся выражений:
а) □ – □ · □
б) □ + □ – □+□
в) □:□ + □
г) □ – □· □ + □
Например: а) 56 – 6 · 8, б) 58+12 – 23+ 27, в) 72:6+2, г) 24 – 4 · 3+4.
30 слайд

14
Составьте несколькими способами схемы выражений (выражения), при вычислении значений которых деление надо выполнять: а) первым, б) вторым, в) третьим действием.
Например: а) 64: 8 · 2, □ – □:□, □· (□:□);
б) □:(□· □), (60 – 48) : 3, □· □:□ + □;
в) □· (□ – □):□, □·□:(□ + □),15×2·3:5.
31 слайд

15
Составьте сначала схемы выражений, а затем и выражения, содержащие три действия, в которых:
а) вычитание записано в выражении вторым действием, а выполнять его надо первым;
б) вычитание записано в выражении первым действием, а выполнять его надо третьим;
в)сложение записано в выражении вторым действием, а выполнять его надо первым, и умножение записано третьим, а выполнять его надо вторым.
Вычислите значения составленных выражений.
Например: a) □ · (□ – □) + □,
б) □ – □· □:□, в)□ – (□ + □)· □.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 092 571 материал в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

12.10.2016
1357
1

12.10.2016
654
1

12.10.2016
941
27

Рейтинг:
4 из 5

12.10.2016
1311
2

12.10.2016
575
1

12.10.2016
407
0

Рейтинг:
3 из 5

12.10.2016
6962
57

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
2 Виды мер точности
3 Предельные погрешности
4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
5 Погрешности арифметических операций
6 Погрешности вычисления функций
7 Числовые примеры
8 Список литературы
9 См. также

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где tilde a – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

$delta(tilde a)=frac{|tilde a-a|}{a}.$

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

$Delta(tilde a)<0,5cdot10^{m-n+1} ,$

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере $Delta(tilde a)le0,5cdot10^{3-2+1}le0,5cdot10^2=50$ .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

$delta(tilde a)lefrac{Delta(tilde a)}{alpha_m}10^mlefrac{10^{m-n+1}}{alpha_m10^m}lefrac{1}{alpha_m10^{n-1}},$

где alpha_m — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем $delta(tilde a)le2^{-n}$ .

Тот факт, что число tilde a является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа tilde a и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или $a=2,347pm2cdot10^{-3}$ .

Запись вида

означает, что число tilde a является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

AX=F

характеризуется невязкой

где tilde X — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

$D(a^*) = suplimits_{(t_1, ldots ,t_n) in Omega } left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| ,$

Предельной относительной погрешностью называется величина .

Пусть $left|{t_j - t_j^*}right| le Delta (t_j^* ), qquad j = 1 div n$ — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

$a(t_1, ldots ,t_n) - a^* = sumlimits_{j = 1}^n gamma_j (alpha )(t_j - t_j^*),$

где $gamma_j (alpha ) = a^{prime}_{t_j}(t_1^* + alpha (t_1 - t_1^*), ldots ,t_n^* + alpha (t_n - t_n^*)), qquad 0 le alpha le 1$ .

Отсюда

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_1 (a^*) = sumlimits_{j = 1}^n b_j Delta (t_j^*),$

где $b_j = suplimits_Omega left|{a^{prime}_{t_j}(t_1, ldots ,t_n)}right|$ .

Можно показать, что при малых $rho = sqrt{{(Delta (t_1^* ))}^2 + ldots + {(Delta (t_n^* ))}^2 }$ эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_2 (a^*),$

где $D_2 (a^*) = sumlimits_{j = 1} left|{gamma_j (0)}right| Delta (t^*)$ .

Несложно показать, что:

— предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
$delta (t_1^* cdots t_m^* cdot d_1^{* - 1} cdots d_m^{* - 1} ) = delta (t_1^* ) + ldots + delta (t_m^*) + delta (d_1^*) + ldots + delta (d_n^*)$ — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом tilde a , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

$a=underbrace{pm2^p}_{order}underbrace{left(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}+frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+dotsright)}_{mantissa},$

где $a_j={01$ , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

$tilde a=pm2^pleft(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}right).$

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

$a-tilde a=pm2^pleft(frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+frac{a_{t+2}}{2^{t+2}}+dotsright).$

Наибольшая погрешность будет в случае $a_{t+1}=1, qquad a_{t+2}=1,$ , тогда

$|a-tilde a|lepm2^pfrac{1}{2^{t+1}}underbrace{left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+dotsright)}_{=2}=2^{p-t}.$

Т.к. , где — мантисса числа , то всегда a_1=1 . Тогда $|a|ge2^pcdot2^{-1}=2^{p-1}$ и относительная погрешность равна $frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t+1}$ . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

$frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t},$

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где $|epsilon|le2^{-t}$ – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через fl(x) (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где box — любая из арифметических операций, $|epsilon|le2^{-t}$ .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если сумма точных чисел равна

сумма приближенных чисел равна

где — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

$delta(S)=frac{Delta(S)}{S}=frac{a_1}{S}left(frac{Delta(a_1)}{a_1}right)+frac{a_2}{S}left(frac{Delta(a_2)}{a_2}right)+dots=frac{a_1delta(a_1)+a_2delta(a_2)+dots}{S},$

где — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

tilde S=(tilde S_1+x_3)(1+delta_2)=(x_1+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_3(1+delta_2).

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

tilde S=(x_3+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_1(1+delta_2).

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

tilde S=a_1cdot a_2(1+delta(a_1))(1+delta(a_2))

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно delta .

Тогда .

Если $S=frac{a_1}{a_2}$ , то $Delta(S)=frac{a_1(1+delta_1)}{a_2(1+delta_2)}-frac{a_1}{a_2}=frac{a_1(delta_1-delta_2)}{a_2(1+delta_2)}approx frac{a_1}{a_2}(delta_1-delta_2), qquad delta(S)$ ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

$delta_Sigma approx delta_{fl} quad sqrt{n},$

где – суммарная погрешность, $|delta_{fl}|leepsilon$ – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, epsilon – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции y=f(x) , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .

Если f(x)>0 , то $delta(y)=frac{|f'(x)|}{f(x)}Delta(x)=left|(ln(f(x)))'right|cdotDelta(x)$ .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:

$Delta(y)=sumlimits_{i=1}^nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|Delta(x_i)$

Если , то $delta(y)=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{f}cdotleft|frac{partial f}{partial x_i}right|cdotDelta(x_i)=sumlimits_{i=1}^{n}left|frac{partial l_n(f)}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной y=f(x) , если f(x) дифференцируема и :

$Delta(x)=frac{1}{|f'(x)|}Delta(y)$ .

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{left|frac{partial f}{partial x_i}right|}qquad$

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|},qquad i=overline{1,n}.$

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

$x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 15.underbrace{99999999}_8 = {(x - 2)}^4 - 10^{- 8} = 0.$

Точное решение задачи легко найти:

$(x - 2)^2 = pm 10^{- 4},$

$x_1= 2,01; x_2= 1,99; x_{3,4}= 2 pm 0,01i.$

Если компьютер работает при $delta _M > 10^{ - 8}$ , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до 16,0 и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. $x_{1,2,3,4} = 2$ , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена $approx10^{-8}$ привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении $approx10^{-2}$ .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

u''(t) = u(t), qquad u(0) = 1, qquad u'(0) = - 1.

Общее решение имеет вид:

$u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e^t + 0,5[u(0) - u'(0)]e^{- t}.$

При заданных начальных данных точное решение задачи: $u(x) = e^{-t}$ , однако малая погрешность delta в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

$stackrel{cdot}{u} = 10u,qquad u = u(t), u(t_0) = u_0,qquad t in [0,1].$

Его решение: $u(t) = u_0e^{10(t - t_0 )}$ , однако значение u(t_0) известно лишь приближенно: , и на самом деле $u^*(t) = u_0^*e^{10(t - t_0)}$ .

Соответственно, разность u* - u будет:

$u^* - u = (u_0^* - u_0)e^{10(t - t_0)}.$

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:

$|{u^*(t) - u(t)}| le varepsilon.$

Очевидно, что:

$maxlimits_{t in [0,1]} |{u^*(t) - u(t)}| = |{u*(1) - u(1)}| = |{u_0^* - u_0}|e^{10(1 - t_0)}.$

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных $delta: qquad|u_0^* - u_0| < delta, qquad delta le varepsilon e^{ - 10}$ при t_0= 0 .

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в $e^{10}$ раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

left{ begin{array}{l} u + 10v = 11, 100u + 1001v = 1101; end{array} right.

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на 0,01 , получим возмущенную систему:

left{ begin{array}{l} u + 10v = 11.01, 100u + 1001v = 1101; end{array} right.

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

u_M = u(1 + delta_M^u), quad v_M = v(1 + delta_M^v)

, причем

Тогда:

u_M - u approx udelta_M^u, quad v_M - v approx vdelta_M^v.

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

$delta = frac{(u_M - v_M) - (u - v)}{(u - v)} = frac{(u_M - u) - (v_M - v)}{(u - v)} = frac{delta_M^u - delta_M^v}{(u - v)}.$

Очевидно, что $delta = left|{frac{delta_M^u - delta_M^v}{Delta }} right| le frac{2delta_M}{0,001} approx 2000delta_M = 1$ , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение $u_{i+1} = qu_i, quad i ge 0, quad u_0 = a,quad q > 0, quad u_i > 0.$

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо $u_{i+1}$ получим $u_{i + 1}^M = q(u_i + delta_i) = u_{i + 1} + qdelta_i$ , т.е. $delta_{i + 1} = qdelta_i,quad i = 0,1,ldots$ .

Следовательно, если |q| > 1 , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Если ребенок допускает ошибки при решении арифметических примеров (методические рекомендации).

Первой причиной может служить несформированность мыслительной операции «анализ через синтез».

Упражнения

1. «Словесные лабиринты»

Ученика учат читать написанные вертикально слова:

При при

Р ро

Ода да

2. Математический диктант (умение разбивать второе слагаемое на удобные для вычисления части).

1) Записано число 8. Как к нему прибавить 6, 7, 5? По ходу называния чисел ученик записывает :2+4, 2+5, 2+3 и т.д.

3. Составить примеры.

Второй причиной может служить недостаточное развитие анализа пространственных отношений.

Упражнения

Отработка понятий «правый» и «левый».
Предложить положить книгу на стол, под стол, около стола, за стол и т.п.
Нарисовать домик, елочку, забор в прямом и перевернутом видах.
Узнавание предмета по контурному изображению и деталям рисунка.
Написание слов справа налево.
Предложить нарисовать предмет такой какой он в действительности.
На листке бумаги, разделенном на 16 одинаковых частей.

От исходной точки провести стрелку вверх;
От исходной точки провести стрелку вправо;
От исходной точки провести стрелку влево;
От исходной точки провести стрелку в левый верхний угол;
От исходной точки провести стрелку в левый нижний угол;
От исходной точки провести стрелку в правый верхний угол;
От исходной точки провести стрелку в правый нижний угол;
От исходной точки провести стрелку вверх, потом по кругу влево;
От исходной точки провести стрелку вниз, потом по кругу вправо и т.д.

Третьей причиной может служить низкий уровень сформированности внутреннего плана действия.

Упражнения

« Передвигай фигуру, не дотрагиваясь».

Четвертой причиной могут быть недостатки в развитии процессов произвольного внимания.

Упражнения

Источник

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ярославский государственный педагогический университет

им. К. Д. Ушинского»

Кафедра методики преподавания естественно-математических дисциплин в начальной школе

Специальность (направление) 44.03.01 Педагогическое

образование

Профиль Начальное образование

Курсовая работа

На тему: «Трудности при формировании вычислительного навыка сложения и вычитания чисел»

Выполнил:

Белехова Екатерина Евгеньевна

студент 4 курса _____________

Научный руководитель:

Ярославль

2021

Содержание

Введение3

Глава 1. Формирования вычислительных навыков у младших школьников6

1.1 Понятие «вычислительный навык» и его характеристики6

1.2 Система вычислительных приемов и вычислительных навыков в школе7

1.3 Трудности формирования вычислительного навыка сложения и вычитания чисел11

Вывод по 1 главе16

Глава 2. Организация работы по формированию вычислительного навыка17

2.1 Диагностика уровня сформированности вычислительных навыков сложения и вычитания17

2.2 Практическая работа по формированию вычислительного навыка сложения и вычитания в пределах 1022

Вывод по 2 главе27

Заключение28

Библиографический список30

Введение

Проблема преемственности в обучении математике приобрела особое значение в связи с широким внедрением Федерального государственного образовательного стандарта. ФГОС направлен на обеспечение преемственности основных образовательных программ начального общего, среднего (полного) общего образования [33]. Поэтому на выходе из начальной школы выпускник должен владеть определенным набором математических знаний и умений, иметь соответствующую логическую подготовку и определенный уровень математической грамотности, позволяющий ему успешно изучать математику и смежные предметы на основной ступени обучения.

Одной из важнейших задач при обучении математике в начальных классах является формирование вычислительных навыков, которые включают в себя устные и письменные приёмы вычислений. Уметь правильно и быстро выполнять вычисления важно для дальнейшего обучения в начальной и средней школе [35].

Одним из первых вычислительных навыков, которым должны овладеть младшие школьники, является сложение и вычитание чисел первого десятка. Навыки сложения и вычитания в пределах 10 должны быть доведены до автоматизма, то есть конечным результатом рассмотрения приёмов вычислений и выполнения соответствующей системы упражнений должно стать прочное усвоение детьми всех случаев сложения и вычитания в пределах 10 на память. Это необходимое условие для продолжения работы над сложением и вычитанием в теме «Сотня» [4].

Таким образом, тема «Сложение и вычитание в пределах 10» является фундаментом процесса обучения математики, именно поэтому данная тема является актуальной.

Набрав новый класс, я столкнулась с проблемой формирования данного навыка. Обучающиеся не могли перейти от наглядного счёта к внутреннему. Допускали много ошибок в вычислениях. Не могли запомнить случаи сложения и вычитания в первом десятке.

Проблема исследования: как более эффективно и осознанно сформировать вычислительный навык сложения и вычитания в первом десятке у обучающихся?

Тему нашего исследования мы определили так: «Трудности при формировании вычислительного навыка сложения и вычитания чисел».

Цельработы: выявление условий, которые позволят совершенствовать процесс формирования навыков сложения и вычитания в первом десятке.

Объект исследования — процесс формирования вычислительных навыков сложения и вычитания в первом десятке у обучающихся.

Предмет – задания, способствующие формированию у младших школьников вычислительного навыка.

Для реализации цели я поставила следующиезадачи:

Охарактеризовать понятие «вычислительный навык», описать этапы и пути его формирования;
Выбрать типы заданий, способствующих эффективному формированию навыка;
Провести диагностику уровня сформированности навыков сложения и вычитания в пределах 10.

Методы исследования: анализ теоретико-методической литературы;Анализ продуктов деятельности.

Гипотеза исследования: применение разнообразных методических приемов позволит устранить трудности, возникающие у обучающихся при обучении навыкам сложения и вычитания.

Теоретическая значимость данной работы состоит в том, что в ней изучены основные трудности по усвоению вычислительного навыка сложения и вычитания.

Практическая значимость заключается в том, что разработанный материал (подбор заданий) по прочному усвоению приемов сложения и вычитания может быть использован начинающими учителями начальных классов, а также студентами на педагогической практике.

Курсовая работа состоит из введения, теоретической значимости, практической значимости, заключения, библиографического списка.

Глава 1. Формирования вычислительных навыков у младших школьников

1.1 Понятие «вычислительный навык» и его характеристики

Формирование любого навыка происходит в процессе деятельности, а в данном случае формирование вычислительного навыка происходит в процессе учебной деятельности. Успешное овладение учебной деятельностью зависит от знаний, умений и навыков, которыми обладает обучающийся.

Знания – факты, явления окружающей действительности.

Умения – это успешный способ выполнения деятельности в новых условиях, сознательное применение имеющихся знаний.

Навыки– частично автоматизированные действия, которые образуются в результате упражнений.

В учебной деятельности на уроках математики при изучении темы «Сложение и вычитание в пределах 10» у обучающихся формируются вычислительные умения и вычислительные навыки [6].

Дадим теперь характеристику вычислительного умения и навыка по М.А. Бантовой [4].

Вычислительное умение – развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется.

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщённостью, автоматизмом и прочностью.

Правильность – обучающийся правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие приём.

Осознанность — обучающийся осознаёт, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Осознанность проявляется в том, что обучающийся в любой момент объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свёртываться.

Рациональность – обучающийся, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщённость – обучающийся может применить приём вычисления к большему числу, т. е. он способен перенести приём вычисления на новые случаи.

Автоматизм (свёрнутость) – обучающийся выделяет и выполняет операции быстро и в свёрнутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Прочность – обучающийся сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Таким образом, вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами.

1.2 Система вычислительных приемов и вычислительных навыков в школе

Вычислительный навык понимается как высокая степень овладения вычислительными приемами. Вычислительный прием — это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату требуемого арифметического действия. Выбор операций в каждом вычислительном приеме определяется теми теоретическими положениями, которые заложены и используются в его теоретической основе [2, с. 38].

Рассмотрим классификацию вычислительных приемов по Бантовой М.А., основанием которой является теоретическая основа вычислительного приема [4].

1. Приемы, у которых теоретическая основа — конкретный смысл арифметических действий.

К ним относятся такие вычислительные приемы, как приемы сложения и вычитания в пределах 10 для случаев вида а 2, а, а, а приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20.

Эти приемы вычисления являются первыми. Они вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Вычислительные приемы дают возможность для усвоения конкретного смысла арифметических действий, так как требуют его применения. Также первые вычислительные приемы готовят учащихся к усвоению свойств арифметических действий. В некоторых приемах лежат свойства арифметических действий, но эти свойства учащимся явно не раскрываются. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.

2. Приемы, у которых теоретическая основа — это свойства арифметических действий.

К этой группе вычислительных приемов относятся такие приемы как приемы сложения и вычитания для случаев вида 28, 5420, 273, 406, 45, 5023, 67,7418; аналогичные вычислительные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больше, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания

При введении вычислительных приемов на основе свойств арифметических действий целесообразно соблюсти следующие этапы: сначала изучаются соответствующие приемам свойства, затем на их основе вводятся вычислительные приемы.

3. Приемы, у которых теоретическая основа — связи между компонентами и результатом арифметических действий.

К этой группе вычислительных приемов относятся приемы для случаев вида 9-7

При введении приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, а затем на этой основе вводится вычислительный прием.

4. Приемы, у которых теоретическая основа — это изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

К этой группе вычислительных приемов относятся такие приемы как прием округления при выполнении сложения и вычитания чисел, например, 46+19, 512 — 298

При введении этих вычислительных приемов требуется предварительно изучить соответствующие зависимости.

5. Приемы, у которых теоретическая основа — это вопросы нумерации чисел.

К этой группе вычислительных приемов относятся такие приемы случаев вида а1, 10+6, 1610, 166, 5710

Эти приемы вводятся после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел).

Вычислительный прием строится на той или иной теоретической основе, причем учащиеся осознают факт использования соответствующих теоретических положений, которые лежат в основе вычислительных приемов, что является предпосылкой овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы является залогом овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления, например, для случая сложения 46+19, является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков[25]..

Порядок введения вычислительных приемов обусловлен постепенным введением приемов, включающих большое число операций, а ранее усвоенные приемы включаются в качестве основных операций в новые приемы. При такой системе создаются благоприятные условия для выработки у учащихся прочных и автоматизированных навыков [2, с. 40- 41].

Методика обучения младших школьников устным и письменным вычислениям наиболее полно и подробно изучена и представлена в работах Н.А. Менчинской и М.И. Моро [17]. Основные приемы устных и письменных вычислений, которыми должны овладеть в начальной школе учащиеся, основаны на свойствах чисел в десятичной системе счисления и свойствах арифметических действий.

При изучении чисел первого десятка учащиеся знакомятся с образованием чисел присоединением к числу единицы. Изучается сложение и вычитание в пределах десяти при помощи наглядности.

При изучении темы «Второй десяток» дети овладевают основными приемами устных и письменных вычислений (представление числа в виде суммы разрядных единиц, способы сложения и вычитания без перехода и с переходом через десяток). Знание этих принципов поможет учащимся сознательно использовать вычислительный прием, также послужит подготовкой для дальнейшего рассмотрения свойств арифметических действий. На этом этапе усваиваются знания связи умножения со сложением (умножение как сложение равных слагаемых), случаи вычитания, когда в остатке нуль, случай умножения на 1 и др.

В Концентре «Сотня» продолжается работа над формированием и совершенствованием навыков устных вычислений. Нужно применять способ решения на наглядных пособиях, использовать словесные пояснения. Учащиеся легко улавливают сходство между сложением (и вычитанием) в пределах 20 и в пределах 100. Обучение письменным вычислениям приводит к осознанию учащимися смысла тех операций, которые производятся в каждом конкретном случае [6, с.93 99].

Таким образом, усвоение и формирование вычислительных навыков происходит за счет освоения устных и письменных вычислений. Знание вычислительных приемов является основой для осознанного овладения вычислительными навыками.

1.3 Трудности формирования вычислительного навыка сложения и вычитания чисел

Формирование приемов устных и письменных вычислений одна из важнейших задач обучения математике младших школьников. Большое число ошибок, допускаемое учащимися при решении задач, уравнений, говорит о том, что сформированные вычислительные умения и навыки не являются прочными и осознанными. Ученики делают большинство ошибок в письменных вычислениях с большими числами не потому, что они не знают приемов вычисления, а потому, что они перестают удерживать свое внимание на самом процессе вычисления.

Н.А. Менчинская и М.И. Моро изучили причины ошибок и разделили их на две группы: ошибки в условиях выполнения данной операции или в качестве усвоения арифметического знания[12].

Ошибки, вызванные условиями выполнения операции, являются «механическими» ошибками. Эти ошибки возникают при определенных обстоятельствах: утомление, утрата интереса, волнение, отвлечение внимания, что ведет к ослаблению сознательного контроля учащихся при вычислениях, но это не говорит о незнании или недостаточном усвоении арифметической операции. Выделяют такие ошибки как оговорки, описки; «персеверативные» ошибки (число навязчиво удерживается в сознании, например, 43+7=70), также выполнение действий, несоответствующих знаку. Эти механические ошибки разнообразны и с трудом поддаются объяснению.

Ослабление сознательного контроля в силу утомления проявляется в письменных вычислениях: наблюдается рост ошибок по мере перехода от низших разрядов к высшим. Множество чисел и обилие операций над ними быстро утомляет и рассеивает внимание учащихся.

Вторая группа ошибок связана с недостаточным овладением вычислительными навыками. Если навык вычисления основан на заучивании определенных числовых результатов и если он недостаточно закреплен, то ошибочный ответ бывает различен, а иногда может чередоваться и с правильным ответом. Например, в случае 78 у одного ученика наблюдалось три различных ответа: 54,56,58.

Ошибки, относящиеся к навыкам, основаны на общем правиле. Характер ошибки определяется в этом случае характером усвоения правила, степенью обобщенности правила, в соответствии с которым выполняется операция.

В особую группу ошибок относят ошибки, обусловленные привычкой (привычное действие, привычное обобщение).

Методами борьбы с ошибками можно использовать при «механических ошибках» приемы повышения внимания к арифметическим упражнениям, мобилизации внимания, повышения чувства ответственности [27].

При возникновении ошибок, основанных на ложном понимании правила, нужно проанализировать ошибку, показать ученику, как она возникла. Нужно стремиться к тому, чтобы ученик осознал ошибку. При возникновении ошибки, которая получена в результате недостаточного закрепления навыка (78=54), нужно дать дополнительное упражнение в слабо закрепленном навыке, что является эффективном методом во избежание дальнейших ошибок [6, с. 99 106].

Дадим описание групп ошибок, выделенных М.А. Бантовой в концентре «Десяток».[4]

1. Смешение действия сложения и вычитания (5+2=3, 7-3=10). Ошибки появляются, если учащиеся не осознали действий вычитания и сложения или действий этих знаков. Причиной может быть недостаточный анализ решаемого примера: ученики больше обращают внимание на числа, а не на знаки.

2. Ученик получает результат на единицу меньше или больше верного (5+3=9, 6-2=5). Такие ошибки возникают при отсчитывании, либо присчитывании чисел по единице с опорой на натуральный ряд.

3. Получение неверного результата вследствие применения нерациональных приемов. Например, 2+5 используют прием присчитывания по единице, вместо приема перестановки слагаемых. Это является трудным приемом в этом примере, т.к. ученики часто забывают, сколько уже прибавили, а сколько осталось прибавить.

4. Название или запись на месте результата одного из компонентов (3+4=4, 5-2=5). В данном случае ошибки учащиеся допускают по невнимательности. Важно выполнять прикидку результата во избежание ошибки.

5. Ученик получил ложный результат из-за смешения цифр. Посмотрим на запись учащегося: 4+3=8. Выражение выполнено неправильно, хотя при устном счете говорит правильный ответ. При устранении ошибок нужна индивидуальная работа, где ученик будет запоминать цифры.

Далее представим группы ошибок, которые делают младшие школьники при сложении и вычитании в концентре «Сотня», а также возможные приемы их предупреждения и исправления.

1. Ученик смешивает приемы вычитания, которые основаны на свойствах вычитания числа на суммы и суммы из числа. Например, 40-26=40-(20+6)=(40-20)+6=16. Чтобы предупредить появление таких ошибок, нужно подобрать аналогичные примеры. Решая их, они будут сравнивать каждый шаг.

2. Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов, как над числами одного разряда. К примеру, учащийся при сложении числа десятков с числом единиц допускает ошибку (56+4 = 96). Чтобы предупредить ошибки, необходимо обсуждать неправильные решения. Учитель может предложить примеры учащимся, которые решены неверно, и попросить их найти ошибки.

3. Ошибки, допущенные в табличных случаях вычитания и сложения, входящие в качестве операций в более сложных примерах на вычитание и сложение. К примеру, 27+18=46. Для предотвращения ошибок необходимо обращать внимание на освоение учениками таблиц сложения и вычитания, особенно в случае с переходом через десяток.

4. Ошибки, в которых получен неправильный результата из-за пропуска операций, которые входят в прием, а также когда ученик выполняет лишние операции. К примеру, 55+30=88, 43-10=30. Ошибки учащиеся допускают вследствие невнимательности. Для их устранения необходимо использовать проверку решения примеров.

5. Смешение действий вычитания и сложения. Например, 36+20=16. Ученик допускает ошибку в результате невнимательности. Для их устранения необходимо использовать проверку решения примеров.

Перечислим группы ошибок в концентре «Тысяча. Многозначные числа» при выполнении сложения и вычитания.

1. Ошибки, вызванные неправильной записью примеров при письменном сложении и вычитании. Например: при сложении столбиком 546+43=978.

2. Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании — единиц, которые занимали. Например, 539+225=754, 692-427=275. Для устранения таких ошибок необходимо решать подобные примеры.

3. Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел больших ста (540300, 1600800).

Таким образом, можно выделить ряд методических приемов для предупреждения по устранению ошибок в вычислениях учеников:

1. Для предупреждения смешения вычислительных приемов следует выполнять под руководством учителя их сравнение, выявляя при этом существенное различие в смешиваемых приемах.

2. Чтобы предупредить смешение арифметических действий, надо научить учеников анализировать сами выражения и их значения.

3. Предупреждению и устранению ошибок помогает обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок.

4. Для выявления ошибок и их устранения самими учениками надо научить детей выполнять проверку вычислений соответствующими способами и постоянно воспитывать у них эту привычку [3, с. 58 61].

Вывод по 1 главе

Таким образомв первой главе курсовой работы мы познакомились с понятием «вычислительный навык».

Рассмотрели классификацию вычислительных приемов по Бантовой М.А., основанием которой является теоретическая основа вычислительного приема. Знание вычислительных приемов является основой для осознанного овладения вычислительными навыками.

Дали описание групп ошибок, выделенных М.А. Бантовой при формирования вычислительного навыка сложения и вычитания. Можно выявить, что места, в которых ученики делают ошибки, являются трудными и для их предотвращения необходимо проработать их самостоятельно, проанализировав с учителем на подобных примерах. Группировка ошибок по концентрам помогает сориентироваться в случае ошибки и подобрать нужные приемы для предотвращения ошибок учеников в будущих работах.

Глава 2. Организация работы по формированию вычислительного навыка

2.1 Диагностика уровня сформированности вычислительных навыков сложения и вычитания

После проведения теоретического анализа нами был проведён констатирующий этап в 1 классах. В эксперименте участвовало 26 человек.

База исследования: 1 «В» класс, МОУ «Средняя школа №8», г. Ярославля.

Цель эксперимента: выявление уровня сформированности вычислительных навыков сложения и вычитания в пределах 10.

Для данной диагностики были выделены такие показатели, как: правильность, осознанность, автоматизм, обобщённость, рациональность. Эксперимент проводился в форме самостоятельной работы. Ученикам были предложены задания на [36] :

Правильность. Цель: выявить уровень сформирования такого показателя, как правильность.

Реши примеры, прибавляя и вычитая по частям:

3+4= 7 – 4=

6-4= 8 – 5=

Запиши состав числа:

Осознанность. Цель: выявить уровень осознанности усвоения вычислительных навыков сложения и вычитания в первом концентре.

Найди ошибки и исправь:

7 – 3 =5

4 + 2 =7

10 – 4 =7

Правильно ли представили состав числа:

Автоматизм. Цель: выявить уровень сформирования умений быстро и в свёрнутом виде выполнять вычислительные операции.

Обобщённость. Цель: выявить уровень сформирования умений переносить приём вычисления на новые случаи.

Заполни пропуски:

… +3=7 10 — … =7

2 +…=6 9 — …=2

+4 =… … — 3=6

Составь пример на сложение, в котором результат меньше 6, но больше 3.

Рациональность. Цель: выявить сформированность умения выбирать те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия.

Реши пример удобным способом:

1 + 5 = 2+ 6=

2 + 7= 1+ 7=

3 + 4= 4 + 6=

Вычисли:

4 + 3= 6 + 4=

7 + 3= 4 + 4=

Каждое задание оценивалось в баллах. За правильно выполненное задание ребёнок получал 1 балл. Если все задания выполнены правильно, то ученик получал 31 балл. Этовысокий уровень формирования вычислительных навыков сложения и вычитания в пределах 10. Который характеризуется тем, что у ребёнка на осознанном уровне сформированы вычислительные навыки сложения и вычитания в пределах 10. Он умеет выбирать рациональный способ вычислений. Без труда применяет знания при решении учебных задач. Не допускает ошибок.

Если ребёнок допустил от 5 – 7 ошибок, то вычислительные навыки у него сформированы на среднем уровне. Это говорит о том, что ученик усвоил приёмы вычислений. Но испытывает трудности при выборе рациональных способ вычислений. Навык не доведён до автоматизма. Допускает незначительные ошибки.

Если у ребёнка меньше 20 баллов, то у него не сформирован вычислительный навык сложения и вычитания в пределах 10. Он находится на низком уровне. Для которого характерно то, что ребёнок не усвоил приёмы вычислений, не знает о рациональных способах вычислений. Допускает ошибки при решении примеров.

Если меньше 15 баллов, то вычислительный навык не сформирован.

Результаты анализа работ учеников, обучающихся 1 «В» класса приведены в таблице 1

Таблица № 1

Результаты диагностики обучающихся 1 «В» класса

Имя	Правильность	Осознанность	Автоматизм	Обобщённость	Рациональность	Общее кол-во баллов
Ученик 1	6	5	3	7	10	30
Ученик 2	6	5	3	5	6	25
Учение 3	5	5	2	5	7	24
Ученик 4	5	5	3	6	6	25
Ученик 5	3	3	1	4	5	16
Ученик 6	2	3	0	3	2	10
Ученик 7	4	3	0	3	4	14
Ученик 8	6	3	3	5	7	24
Ученик 9	5	5	2	5	7	24
Ученик 10	4	3	0	3	5	15
Ученик 11	4	1	0	3	4	12
Ученик 12	3	2	1	3	3	12
Ученик 13	6	5	2	6	10	29
Ученик 14	6	5	3	6	7	25
Ученик 15	6	4	2	6	6	24
Ученик 16	6	2	2	6	6	22
Ученик 17	6	5	3	7	10	31
Учение 18	5	5	2	5	7	24
Имя	Правильность	Осознанность	Автоматизм	Обобщённость	Рациональность	Общее кол-во баллов
Ученик 19	5	2	3	1	6	17
Ученик 20	6	4	2	5	6	23
Ученик 21	6	4	2	6	6	24
Ученик 22	6	5	0	6	5	22
Ученик 23	6	2	2	5	4	18
Ученик 24	3	4	2	5	7	21
Ученик 25	5	4	1	6	10	26
Ученик 26	6	5	3	7	10	31

Из таблицы видно, что только у 2 обучающихся сформирован высокий уровень вычислительных навыков сложения и вычитания в пределах 10. На среднем уровне – 15 человек, на низком уровне – 4 человека, у 4 человек вычислительный навык не сформирован.

Рис 1. Уровень сформированности навыка

Если брать средний балл по классу, то это 24, что соответствует среднему уровню сформированности данного вычислительного навыка. Самые худшие показатели по критериям: осознанность, обобщённость и рациональность. Есть дети, которые не умеют подбирать рациональные способы вычислений. Не умеют применять знания при решении заданий нового вида. Допускают ошибки при решении выражений.

2.2 Практическая работа по формированию вычислительного навыка сложения и вычитания в пределах 10

Передо мной встала проблема – как сформировать данный навык на должном уровне, какие упражнения и виды заданий способствуют более эффективному развитию вычислительного навыка.

Как уже было сказано выше, существует два пути формирования вычислительного навыка прямой и косвенный. Какой же из них более эффективный?

Решено было начать с прямого пути. В течение недели на уроках математики решалось большое количество выражений на сложение и вычитание в пределах 10. В конце недели была проведена диагностика.

Рис 2. Уровень сформированности навыка

Улучшение оказалось незначительным. У обучающихся не было заинтересованности в правильном решении выражений, они не стремились решить большее число выражений. Следовательно, не было мотивации.

Рис 3. Результаты исследований

Как это исправить? Необходимо добавить элементы игры и соревнования [24]. Этим требованиям очень хорошо отвечает математический биатлон. В нём нужно быстро вычислять, но не ошибаться – за «промах» тоже начисляются штрафные очки. В начале соревнования обучающийся получает листок с вариантом для решения. Закончив решение, получает новый вариант. К концу биатлона кто-то из детей решит 2 варианта, а кто-то 4 варианта и более. За каждое правильно решённое выражение начисляется очко, а за каждое неправильно решённое выражение очко снимается. И не всегда тот, кто решил больше выражений побеждает. Он может проиграть тому, кто не торопился и не ошибался. На математический биатлон можно отводить разное время на уроке. У нас это было от 3 до 10 минут. С каждым новым биатлоном увеличивалось количество решённых выражений, а главное правильно решённых.

Кроме этого я заметила, что обучающимся интересно решать и тогда, когда в результате решения получается что-то ещё. Например, интересная картинка. Тогда я стала применять такие задания. Одно из них – это то, когда даётся готовая картинка и нужно раскрасить её части в зависимости от ответа, который получается при вычислении. В интернете большое количество таких картинок. Другое – это математические пазлы [15]. Обучающийся решает выражение, выкладывает его на определённое поле с ответом и получается интересная картинка из сказки.

На протяжении трёх недель на каждом уроке математики выполнялось одно из этих заданий. По желанию дети могли брать задания на раскрашивание картинки и домой. Желающих было много.

После трёх недель была проведена ещё одна диагностика сформированности вычислительного навыка.

Результаты анализа работ учеников, обучающихся 1 «В» класса приведены в таблице 2.

Таблица № 2

Результаты диагностики обучающихся 1 «В» класса

Имя	Правильность	Осознанность	Автоматизм	Обобщённость	Рациональность	Общее кол-во Баллов
Ученик 1	6	5	3	7	10	31
Ученик 2	6	5	3	6	10	30
Учение 3	5	5	2	5	7	24
Ученик 4	5	5	3	6	6	25
Ученик 5	3	3	1	4	5	16
Ученик 6	3	3	3	6	6	21
Ученик 7	4	3	3	6	6	22
Ученик 8	6	3	3	5	7	24
Ученик 9	5	5	2	5	7	24
Ученик 10	4	3	3	3	5	18
Ученик 11	4	1	3	3	6	17
Ученик 12	4	2	1	6	3	16
Ученик 13	6	5	3	6	10	30
Ученик 14	6	5	3	6	7	25
Ученик 15	6	4	2	6	6	24
Ученик 16	6	2	2	6	6	22

Ученик 17	6	5	3	7	10	31
Учение 18	5	5	2	5	7	24
Ученик 19	5	2	3	1	6	17
Ученик 20	6	4	2	5	6	23
Имя	Правильность	Осознанность	Автоматизм	Обобщённость	Рациональность	Общее кол-во Баллов
Ученик 21	6	4	2	6	6	24
Ученик 22	6	5	0	6	5	22
Ученик 23	6	2	2	5	4	18
Ученик 24	3	4	2	5	7	21
Ученик 25	6	5	3	6	10	30
Ученик 26	6	5	3	7	10	31

Из таблицы видно, что высокий уровень у 5 обучающихся. Все задания выполнены без ошибок. У 14 обучающихся средний уровень. Это говорит о том, что осознанно усвоили вычислительные приёмы. Большинство детей умеют подбирать рациональные способы вычислений. У 5 низкий уровень.

Рис 4. Уровень сформированности навыка

Чуть больше половины класса показывают средний уровень усвоения данного навыка. 73% обучающихся имеют высокий и средний уровень.

Рис 5. Результаты исследований

Видно значительное улучшение сформированности данного навыка. На низком уровне остались только пять обучающихся. Нет обучающихся у которого не сформирован навык. Для тех детей которые имеют низкий уровень сформированности вычислительного навыка будут разработаны дополнительные задания.

Вывод по 2 главе

Во второй главе нашего исследования мы провели диагностическую работу по уровню сфорсированности навыков сложения и вычитания чисел в 1 классе.

По результатам диагностики мы можем сделать вывод, что уровень сформированности вычислительного навыка сложения и вычитания стал лучше. Ребята стали больше решать заданий не допуская ошибок. Улучшились показатели. У детей появился интерес к изучению сложению и вычитанию.

Ребята познакомились с многими приёмами по решению математических заданий. В урок стали добавлять игры математические, чтобы интерес у детей не проходил и был соревновательный дух.

Осознанное формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в пределах 10 происходит на основе применения деятельностного подхода.

Заключение

В ходе работы над данной проблемой, было изучено понятие «вычислительный навык», описаны этапы и пути его формирования. Найдены и подобраны такие типы заданий, которые способствуют эффективному формированию навыка. Проведена диагностика, которая подтвердила правильность выбранного пути и подобранных заданий.

Выявила, что вопрос о формировании вычислительных навыков, обучающихся в первом десятке, всегда остаётся актуальным.

Работая над данной темой, я выделила условия совершенствования процесса формирования навыков сложения и вычитания в пределах 10, которые необходимы для того, чтобы каждый ребёнок осознанно подошёл к теме:

Пришли к выводу о том, что осознанное формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в пределах 10 происходит на основе применения деятельностного подхода, в котором соблюдаются выделенные нами условия.

Обеспечивает, с одной стороны, включение детей в деятельность, а с другой – прохождение всех необходимых этапов усвоения понятий. Основная идея состоит в такой организации обучения, когда ребёнок не просто усваивает готовое знание, а «открывает» новое в процессе своей собственной деятельности.

Таким образом, формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в пределах 10 через деятельность приводит к прочному и осознанному усвоению знаний.

Необходимо с первых уроков формирования вычислительного навыка применять те задания и упражнения, которые способствуют его прочному усвоению.

Данное исследование можно использовать в других классах при формировании вычислительного навыка сложения и вычитания в первом десятке.

Планирую организовать подобную работу при формировании навыка сложения и вычитания в пределах 20 с переходом через десяток.

Библиографический список

Абдуллина Л.Б., Мустафина Р.З., Шмелева Н.Г. Избранные вопросы теории и технологии обучения математике: Учеб.-метод. материалы для студентов 1-5-х курсов по специальности «050708 – Педагогика и методика начального образования». – Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. акад. им. Зайнаб Биишевой, 2012. – 148 с.
Абдуллина Л.Б., Мустафина Р.З., Шмелева Н.Г. Избранные вопросы теории и технологии обучения математике: Учеб.-метод. материалы для студентов 1-5-х курсов по специальности «050708 – Педагогика и методика начального образования»: Часть 2 (материалы для самоподготовки). – Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. – 204 с.
Байрамукова П.У. Методика обучения математике в начальных классах. – Ростов н/Дону: Феникс, 2009. – 299 с.
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах . Учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ. (спец. № 2001) — Под ред. М.А. Бантовой. — 3-е изд., испр. — М.: Просвещение, 2010. — 335 с
Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: Учебное пособие для вузов. – М.: Владос, 2007. – 455 с.
Белошистая А.В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. – 2001. – № 7. – С. 44 – 49.
Белошистая А.В. Уроки математики в начальной школе. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 448 с.
Борисенко А.А., Галанов А.С., Галанова Т.В. Математическое лото 2. Счет от 1 до 100, сложение и вычитание. Складываем и вычитаем. Сравниваем числа от 1 до 100. Четные и нечетные числа. – М.: Дрофа, 2005. – 81 с.
Гребенникова Н.Л., Косцова С.А. Теория и практика организации обучения математике в начальных классах: Дидактические материалы: Учебное пособие. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. – 186 с.

Гребнева Ю.А. Тетрадь-практикум по математике для 2-3 классов. Сложение и вычитание в пределах 100. – М., 2010. – 64 с.
Долгошеева Е.В. Общие вопросы методики преподавания математики в начальных классах: курс лекций. – Елец: Елецкий государственный университет им И.А. Бунина, 2012. – 83 с.
Дорофеева Г.В. Считаем и решаем. Счет в пределах 100. – М., 2011. – 64 с.
Зайцева С.А., Румянцева И.Б., Целищева И.И. Методика обучения математике в начальной школе. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2008. – 192 с.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студентов сред. пед. учеб, заведений и ф-тов. нач. классов педвузов. – М.: Linka-Press; Издательский центр «Академия», 1998. – 265 с.
Кузнецова В.И. Контроль и самоконтроль – важные условия формирования вычислительных навыков // Начальная школа. –1985. – № 2. – С. 36-39.
Липатникова И.Г. Роль письменных упражнений на уроках математики // Начальная школа. – 1998. – № 2. – С. 79-85.
Математика: Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 80 с.
Математика: Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) / М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 96 с.
Математика. 1 кл.: учеб. для общеобразовательных учреждений. В 3 ч. Ч. 1. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. – М.: Баласс, 2016. – 80 с.
Математика. 2 кл.: учеб. для общеобразовательных учреждений. В 3 ч. Ч. 2. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. – М.: Баласс, 2016. – 80 с.
Математика. 2 кл.: учеб. для общеобразовательных учреждений. В 3 ч. Ч. 3. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. – М.: Баласс, 2016. – 96 с.
Никитина М.П. Учимся выполнять действия с числами // Начальная школа. – 2001. – № 8. – С. 69 – 72.
Образовательные технологии. Сборник материалов. Образовательная система «Школа 2100». – М.: Баласс, 2008. – 160 с.
Планируемые результаты начального общего образования / Л.Л. Алексеева, С.В. Анащенкова, М.З. Биболетова и др., под ред. Г.С. Ковалевой. – М., 2010. – 120 с.
Попова Е.В. Игра помогает учиться // Начальная школа. –1987. – № 2. – С. 39-40.
Свитлик Г.В. Карточки для формирования вычислительных навыков младших школьников // Начальная школа. – 2005. – № 12. – С. 67 – 70.
Тематический тестовый контроль по математике в начальной школе / Сост. Н.Г. Кувашова. – Волгоград: Учитель, 2003. – 138 с.
Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе / под ред. А.В. Тихоненко. – Ростов н/Д : Феникс, 2008. – 350 с.

Туркина В.М. Математические квадраты как средство развития умения вычислять и рассуждать // Начальная школа. – 2001. – № 9. – С. 83-87.
Узорова О.В. Контрольные и проверочные работы по теме «Сложение и вычитание в пределах 100». – М.: АСТ, 2005. – 16 с.
Узорова О.В., Нефедова Е.А. Сложение и вычитание в пределах 100. Раскраска. – М., 2011. – 65 с.
Устинова М.А. Формирует ли вычислительные навыки учебник «Моя математика» // Начальная школа плюс до и после. – 2008. – № 10. – С. 13-16.
Фадейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. 2003. – № 10. – С. 66-69.
Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2021. – 31с.
Чернова Л.И. Проблемы формирования вычислительных умений и навыков у школьников // Начальная школа плюс до и после. – 2007. – № 12. – С. 22-24.
Царева С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе: учебник для студ. учреждений высш. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 496 с.
Целищева И.И. Карточки для профилактики и диагностики ошибок в вычисления // Начальная школа плюс до и после. – 2006. – № 2. – С. 42-46.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/508615-kursovaja-rabota-trudnosti-pri-formirovanii-v

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 245 человек из 55 регионов

Сейчас обучается 59 человек из 31 региона

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Примеры типичных ошибок в вычислениях, которые допускают учащиеся начальных классов при необоснованном использовании приема аналогии
2 слайд

Неверный результат получается иногда вследствие использования нерациональных приемов.

Например, выполняя сложение в случаях вида 3 + 6, часть учеников вместо приема перестановки слагаемых использует прием присчитывания по единице (по 2, по 3), а это трудно, и ученики часто забывают, сколько единиц они уже прибавили и сколько осталось прибавить, вследствие чего получают неправильный результат (3 + 6 = 8, 3 + 6 = 10 и т. п.).
Предупреждению таких ошибок помогает сравнение рациональных и нерациональных приемов вычислений. Так, обнаружив, что некоторые ученики допускают ошибки при решении примеров вида 3 + 6, учитель спрашивает, как они решали пример (3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5 и т. д.), затем другие ученики объясняют, как можно решить этот пример быстрее, легче (надо переставить слагаемые 6 + 3 = 9, результат помним наизусть). Здесь же ученики указывают, в каких случаях следует переставлять слагаемые (когда к меньшему числу прибавляем большее).
3 слайд

Смешение приемов вычитания, основанных на свойствах вычитания суммы из числа и числа из суммы.

Например:
50 – 36 = 50 – (30 + 6) = (50 – 30) + 6 = 26
56 – 30 = (50 + 6) – 30 = (50 – 30) – 6 = 14
Чтобы предупредить появление подобных ошибок, надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый следующий шаг:
80 – 27 = 80 – (20 + 7)
87 – 20 = (80 + 7) – 20
В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7.
80 – 27 = 80 – (20 + 7) = (80 – 20) – 7 = 53
87 – 20 = (80 + 7) – 20 = (80 – 20) + 7 = 67
В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.
Целесообразно провести также сравнение приемов для случаев вида 60 – 28 и 68 – 20, 14 – 6 и 16 – 4 и т. п.
4 слайд

Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов как над числами одного разряда.

Например, ученик складывает число десятков с числом единиц 54 + 2 = 74, вычитает из числа единиц число десятков 57 – 40 = 53 и т. п.
Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42 + 3 = 45; 25 + 4 = 65; 54 + 30 = 57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к двум десяткам и получили шесть десятков, это неправильно, единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65; в третьем примере 3 десятка прибавили к четырем единицам получили семь единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание. С учениками, которые часто допускают подобные ошибки, полезно вернуться к использованию счетного материала (пучки палочек и отдельные палочки, полоски с кружками и другие).
5 слайд

Смешение приемов внетабличного умножения и деления с приемом сложения.

Например: 35 * 2 = 65, 68 : 2 = 38.
Чтобы предупредить, а позднее устранить подобные ошибки, следует предлагать для решения с подробной записью и объяснением пары примеров вида 16 * 4 и 16 + 4, попутно выявляя существенное различие в приемах: при умножении двузначного числа на однозначное умножают на него и десятки, и единицы, после чего результаты складывают, а при сложении прибавляют однозначное число только к единицам. Такое же сравнение ведется при решении пар примеров вида 36 : 3 и 36 + 3. Для устранения подобных ошибок полезно проводить обсуждение неверных решений, аналогичных приведенным, в результате которого ученики сами находят ошибку (единицы не умножили или не разделили на число 2). Важно также, чтобы ученики выполняли проверку решения примеров на внетабличное умножение и деление: умножение проверяли делением произведения на один из компонентов, а деление – либо умножением частного на делитель, либо делением делимого на частное. Проверку следует выполнять преимущественно устно.
6 слайд

Смешение приемов внетабличного деления.

Например: 88 : 22 = 44, 36 : 12 = 33.
Здесь ученики вместо использования приема подбора частного, как и при делении двузначного числа на однозначное, делят десятки, получая при этом десятки, затем делят единицы и результаты складывают.
Для предупреждения таких ошибок целесообразно предложить для решения одновременно примеры вида 88 : 22 и 88 : 2, после чего сравнить как сами примеры, так и приемы их вычислений. В таких случаях также полезно проводить обсуждение неверно решенных примеров, выявляя при этом ошибку.
7 слайд

Ошибки, вызванные смешением устных приемов умножения на двузначные разрядные и неразрядные числа.
Например: 34 * 20 = 408 (умножили 34 на 2, затем 34 умножили на 10 и сложили полученные произведения 58 и 340), 34 * 12 = 680 (умножили 34 на 2 и результат 68 умножили на 10).
Как и в других случаях смешения приемов, целесообразно сравнить их и установить существенное различие: при умножении на разрядные числа умножаем число на произведение, т.е. умножаем его на один из множителей, а при умножении на двузначные неразрядные числа умножаем число на сумму разрядных слагаемых: умножаем его на каждое слагаемое и результаты складываем. Умение выполнять проверку решения способом прикидки результата и, опираясь на связь между компонентами и результатом умножения, поможет ученикам выявить ошибку.
8 слайд

Ошибки, обусловленные смешением устных приемов деления на разрядные числа и умножения на двузначные неразрядные числа.

Например: 420 : 70 = 102.
Ученик по аналогии с умножением на двузначное неразрядное число выполнил деление так: разделили 420 на 10, затем 420 разделили на 7 и полученные результаты 42 и 60 сложили.
Для предупреждения таких ошибок надо сравнить приемы для соответствующих случаев деления и умножения (420 : 70 и 42 * 17) и установить существенное различие (при делении на разрядные двузначные числа – делим на произведение, а при умножении на двузначные неразрядные числа – умножаем на сумму). Полезно с этой же целью проанализировать решения, в которых допущены ошибки, аналогичные приведенным. Такие ошибки легко могут установить сами ученики, если выполнят проверку, умножив частное на делитель (102 * 7 = 7140, а должно получиться 420).
9 слайд

С целью формирования у младших школьников приема аналогии можно предложить следующие задания:
– предлагать образец и требовать выполнения задания в точности по образцу;
– предлагать задания, в котором даётся образец и требуется выполнить задание по аналогии с образцом, но в измененных условиях;
– предлагать задания, не требующие вычислений;
– составлять задачу, аналогичную данной;
– проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 275 780 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

02.02.2022
753
1

02.02.2022
179
8

02.02.2022
580
24

02.02.2022
597
10

02.02.2022
598
0

02.02.2022
117
0

02.02.2022
151
1

02.02.2022
99
0

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Роль педагога в реализации концепции патриотического воспитания школьников в образовательном процессе в свете ФГОС»
Курс повышения квалификации «Использование мини-проектов в школьном: начальном, основном и среднем общем и среднем профессиональном естественнонаучном образовании в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Сетевые и дистанционные (электронные) формы обучения в условиях реализации ФГОС по ТОП-50»
Курс повышения квалификации «Профессиональная компетентность педагогов в условиях внедрения ФГОС»
Курс повышения квалификации «Психолого-педагогические аспекты инклюзивного образования в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Теория и практика инклюзивного обучения в образовательной организации в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Мотивационное сопровождение учебного процесса младших школьников «группы риска» в общеобразовательном учреждении»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности педагога-дефектолога: специальная педагогика и психология»
Курс повышения квалификации «Система работы учителя-дефектолога при обучении и воспитании детей с особыми образовательными потребностями (ООП) в общеобразовательном учреждении»
Курс повышения квалификации «Применение методов арт-терапии в работе со старшими дошкольниками и младшими школьниками»
Курс повышения квалификации «Организация рабочего времени учителя начальных классов с учетом требований ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Видеотехнологии и мультипликация в начальной школе»
Курс повышения квалификации «Новые методы и технологии преподавания в начальной школе по ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика преподавания в начальных классах компенсирующего и коррекционно-развивающего вида»

Источник

Статья м. А. Бантовой «Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждения» из журнала «Начальная школа» 1982 г., №8

Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

Описание презентации по отдельным слайдам:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

Предельные погрешности

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Погрешности арифметических операций

Погрешности вычисления функций

Числовые примеры

Список литературы

См. также

Введение

Глава 1. Формирования вычислительных навыков у младших школьников

1.1 Понятие «вычислительный навык» и его характеристики

1.2 Система вычислительных приемов и вычислительных навыков в школе

1.3 Трудности формирования вычислительного навыка сложения и вычитания чисел

Вывод по 1 главе

Глава 2. Организация работы по формированию вычислительного навыка

2.1 Диагностика уровня сформированности вычислительных навыков сложения и вычитания

2.2 Практическая работа по формированию вычислительного навыка сложения и вычитания в пределах 10

Вывод по 2 главе

Заключение

Библиографический список

Описание презентации по отдельным слайдам:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: