Допустимая ошибка выборки формула

Калькулятор для расчета достаточного объема выборки
Калькулятор ошибки выборки для доли признака
Калькулятор ошибки выборки для среднего значения
Калькулятор значимости различий долей
Калькулятор значимости различий средних

1. Формула (даже две)

Бытует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с размером генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B).

Если речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная.

На рис.1. пример выборки 15000 человек (!) при опросе в муниципальном районе. Возможно, от численности населения взяли 10%?
Размер выборки никогда не рассчитывается как процент от генеральной совокупности!

Рис.1. Размер выборки 15000 человек, как реальный пример некомпетентности (или хуже).

В таких случаях для расчета объема выборки используется следующая формула:

где 

n – объем выборки,
Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня,
p – доля респондентов с наличием исследуемого признака,
q = 1 – p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует,
∆ – предельная ошибка выборки.

Доверительный уровень – это вероятность того, что реальная доля лежит в границах полученного доверительного интервала: выборочная доля (p) ± ошибка выборки (Δ). Доверительный уровень устанавливает сам исследователь в соответствии со своими требованиями к надежности полученных результатов. Чаще всего применяются доверительные уровни, равные 0,95 или 0,99. В маркетинговых исследованиях, как правило, выбирается доверительный уровень, равный 0,95. При этом уровне коэффициент Z равен 1,96.

Значения p и q чаще всего неизвестны до проведения исследования и принимаются за 0,5. При этом значении размер ошибки выборки максимален.

Допустимая предельная ошибка выборки выбирается исследователем в зависимости от целей исследования. Считается, что для принятия бизнес-решений ошибка выборки должна быть не больше 4%. Этому значению соответствует объем выборки 500-600 респондентов. Для важных стратегических решений целесообразно минимизировать ошибку выборки.

Рассмотрим кривую зависимости ошибки выборки от ее объема (Рис.2).

Рис.2. Зависимость ошибки выборки от ее объема при 95% доверительном уровне

Как видно из диаграммы, с ростом объема выборки значение ошибки уменьшается все медленнее. Так, при объеме выборки 1500 человек предельная ошибка выборки составит ±2,5%, а при объеме 2000 человек – ±2,2%. То есть, при определенном объеме выборки дальнейшее его увеличение не дает значительного выигрыша в ее точности.

ШПАРГАЛКА (скопируйте  ссылку или текст)

Подходы к решению проблемы:

Случай 1. Генеральная совокупность значительно больше выборки:

Случай 2. Генеральная совокупность сопоставима с объемом выборки: (см. раздел исследований B2B)

где 
n – объем выборки,

N – объем генеральной совокупности, 

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня,

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака,

q = 1 – p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует, (значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования) 

∆ – предельная ошибка выборки.

Например,

рассчитаем ошибку выборки объемом 1000 человек при 95% доверительном уровне, если генеральная совокупность значительно больше объема выборки: 

Ошибка выборки = 1,96 * КОРЕНЬ(0,5*0,5/1000) = 0,031 = ±3,1%

При расчете объема выборки следует также учитывать стоимость проведения исследования. Например, при цене за 1 анкету 200 рублей стоимость опроса 1000 человек составит 200 000 рублей, а опрос 1500 человек будет стоить 300 000 рублей. Увеличение затрат в полтора раза сократит ошибку выборки всего на 0,6%, что обычно неоправданно экономически.

2. Причины «раздувать» выборку

Анализ полученных данных обычно включает в себя и анализ подвыборок, объемы которых меньше основной выборки. Поэтому ошибка для выводов по подвыборкам больше, чем ошибка по выборке в целом. Если планируется анализ подгрупп / сегментов, объем выборки должен быть увеличен (в разумных пределах).

Рис.3 демонстрирует данную ситуацию. Если для исследования авиапассажиров используется выборка численностью 500 человек, то для выводов по выборке в целом ошибка составляет 4,4%, что вполне приемлемо для принятия бизнес-решений. Но при делении выборки на подгруппы в зависимости от цели поездки, выводы по каждой подгруппе уже недостаточно точны. Если мы захотим узнать какие-либо количественные характеристики группы пассажиров, совершающих бизнес-поездку и покупавших билет самостоятельно, ошибка полученных показателей будет достаточно велика. Даже увеличение выборки до 2000 человек не обеспечит приемлемой точности выводов по этой подвыборке.

Рис.3. Проектирование объема выборки с учетом необходимости анализа подвыборок

Другой пример – анализ подгрупп потребителей услуг торгово-развлекательного центра (Рис.4).

Рис.4. Потенциальный спрос на услуги торгово-развлекательного центра

При объеме выборки в 1000 человек выводы по каждой отдельной услуге (например, социально-демографический профиль, частота пользования, средний чек и др.) будут недостаточно точными для использования в бизнес планировании. Особенно это касается наименее популярных услуг (Таблица 1).

Таблица 1. Ошибка по подвыборкам потенциальных потребителей услуг торгово-развлекательного центра при выборке 1000 чел.

Чтобы ошибка в самой малочисленной подвыборке «Ночной клуб» составила меньше 5%, объем выборки исследования должен составлять около 4000 человек. Но это будет означать 4-кратное удорожание проекта. В таких случаях возможно компромиссное решение:

• увеличение выборки до 1800 человек, что даст достаточную точность для 6 самых популярных видов услуг (от кинотеатра до парка аттракционов);
• добор 200-300 пользователей менее популярных услуг с опросом по укороченной анкете (см. Таблицу 2).

Таблица 2. Разница в ошибке выборки по подвыборкам при разных объемах выборки.

При обсуждении с исследовательским агентством точности результатов планируемого исследования рекомендуется принимать во внимание бюджет, требования к точности результатов в целом по выборке и в разрезе подгрупп. Если бюджет не позволяет получить информацию с приемлемой ошибкой, лучше пока отложить проект (или поторговаться).

---

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ:

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ РАСЧЕТА
ДОСТАТОЧНОГО ОБЪЁМА ВЫБОРКИ

Доверительный уровень:

Ошибка выборки (?):
%

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

РЕЗУЛЬТАТ

Один из важных вопросов, на которые нужно ответить при планировании исследования, — это оптимальный объем выборки. Слишком маленькая выборка не сможет обеспечить приемлемую точность результатов опроса, а слишком большая приведет к лишним расходам. 

Онлайн-калькулятор объема выборки поможет рассчитать оптимальный размер выборки, исходя из максимально приемлемого для исследователя размера ошибки выборки.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке!
Формулы для других типов выборки отличаются.

Объем выборки рассчитывается по следующим формулам

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня. Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень. Ему соответствует значение Z = 1,96.

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели соков и нектаров, постоянно проживающие в Москве и Московской области). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

q = 1 — p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует. Значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования. При этом значении размер ошибки выборки максимален. В данном калькуляторе значения p и q по умолчанию равны 0,5.

Δ– предельная ошибка выборки (для доли признака), приемлемая для исследователя. Считается, что для принятия бизнес-решений ошибка выборки не должна превышать 4%.

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОБЪЕМА ВЫБОРКИ:

Допустим, мы хотим рассчитать объем выборки, предельная ошибка которой составит 4%. Мы принимаем доверительный уровень, равный 95%. Генеральная совокупность значительно больше выборки. Тогда объем выборки составит:

n = 1,96 * 1,96 * 0,5 * 0,5 / (0,04 * 0,04) = 600,25 ≈ 600 человек

Таким образом, если мы хотим получить результаты с предельной ошибкой 4%, нам нужно опросить 600 человек. 

---

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Доля признака (p):
%

РЕЗУЛЬТАТ

Зная объем выборки исследования, можно рассчитать значение ошибки выборки (или, другими словами, погрешность выборки).

Если бы в ходе исследования мы могли опросить абсолютно всех интересующих нас людей, мы могли бы быть на 100% уверены в полученном результате. Но ввиду экономической нецелесообразности сплошного опроса применяют выборочный подход, когда опрашивается только часть генеральной совокупности. Выборочный метод не гарантирует 100%-й точности измерения, но, тем не менее, вероятность ошибки может быть сведена к приемлемому минимуму.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке! Формулы для других типов выборки отличаются.

Ошибка выборки для доли признака рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

 (в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня. Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень. Ему соответствует значение Z = 1,96.

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели шоколада, постоянно проживающие в Москве). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании. Существует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть и объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B). Если же речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная. ВАЖНО: если предполагается сравнивать какие-то группы внутри города, например, жителей разных районов, то выборку следует рассчитывать для каждой такой группы.

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

q = 1 — p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует. Значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования. При этом значении размер ошибки выборки максимален.

Δ– предельная ошибка выборки.

Таким образом, зная объем выборки исследования, мы можем заранее оценить показатель ее ошибки.
А получив значение p, мы можем рассчитать доверительный интервал для доли признака: (p — ∆; p + ∆)

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА:

Например, в ходе исследования были опрошены 1000 человек (n=1000). 20% из них заинтересовались новым продуктом (p=0,2). Рассчитаем показатель ошибки выборки по формуле 1 (выберем доверительный уровень, равный 95%):

∆ = 1,96 * КОРЕНЬ (0,2*0,8/1000) = 0,0248 = ±2,48%

Рассчитаем доверительный интервал:

(p — ∆; p + ∆) = (20% — 2,48%; 20% + 2,48%) = (17,52%; 22,48%)

Таким образом, с вероятностью 95% мы можем быть уверены, что реальная доля заинтересованных в новом продукте (среди всей генеральной совокупности) находится в пределах полученного диапазона (17,52%; 22,48%).

Если бы мы выбрали доверительный уровень, равный 99%, то для тех же значений p и n ошибка выборки была бы больше, а доверительный интервал – шире. Это логично, поскольку, если мы хотим быть более уверены в том, что наш доверительный интервал «накроет» реальное значение признака, то интервал должен быть более широким.

---

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Среднее значение (x̄):

Стандартное отклонение (s):

РЕЗУЛЬТАТ

Зная объем выборки исследования, можно рассчитать значение ошибки выборки (или, другими словами, погрешность выборки).

Если бы в ходе исследования мы могли опросить абсолютно всех интересующих нас людей, мы могли бы быть на 100% уверены в полученном результате. Но ввиду экономической нецелесообразности сплошного опроса применяют выборочный подход, когда опрашивается только часть генеральной совокупности. Выборочный метод не гарантирует 100%-й точности измерения, но, тем не менее, вероятность ошибки может быть сведена к приемлемому минимуму.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке! Формулы для других типов выборки отличаются.

Ошибка выборки для среднего значения рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня. Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень. Ему соответствует значение Z = 1,96

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели мороженого, постоянно проживающие в Москве). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании. Существует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть и объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B). Если же речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная. ВАЖНО: если предполагается сравнивать какие-то группы внутри города, например, жителей разных районов, то выборку следует рассчитывать для каждой такой группы.

s — выборочное стандартное отклонение измеряемого показателя. В идеале на месте этого аргумента должно быть стандартное отклонение показателя в генеральной совокупности (σ), но так как обычно оно неизвестно, используется выборочное стандартное отклонение, рассчитываемое по следующей формуле:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Δ– предельная ошибка выборки.

Зная среднее значение показателя x ̅ и ошибку ∆, мы можем рассчитать доверительный интервал для среднего значения:(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆)

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ:

Например, в ходе исследования были опрошены 1000 человек (n=1000). Каждого из них попросили указать их примерную среднюю сумму покупки (средний чек) в известной сети магазинов. Среднее арифметическое всех ответов составило 500 руб. (x ̅=500), а стандартное отклонение составило 120 руб. (s=120). Рассчитаем показатель ошибки выборки по формуле 1 (выберем доверительный уровень, равный 95%):

∆ = 1,96 * 120 / КОРЕНЬ (1000) = 7,44

Рассчитаем доверительный интервал:

(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆) = (500 – 7,44; 500 + 7,44) = (492,56; 507,44)

Таким образом, с вероятностью 95% мы можем быть уверены, что значение среднего чека по всей генеральной совокупности находится в границах полученного диапазона: от 492,56 руб. до 507,44 руб.

---

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ ДОЛЕЙ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Доля признака (p):	%	%
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Если в прошлогоднем исследовании вашу марку вспомнили 10% респондентов, а в исследовании текущего года – 15%, не спешите открывать шампанское, пока не воспользуетесь нашим онлайн-калькулятором для оценки статистической значимости различий.

Сравнивая два разных значения, полученные на двух независимых выборках, исследователь должен убедиться, что различия статистически значимы, прежде чем делать выводы.

Как известно, выборочные исследования не обеспечивают 100%-й точности измерения (для этого пришлось бы опрашивать всю целевую аудиторию поголовно, что слишком дорого). Тем не менее, благодаря методам математической статистики, мы можем оценить точность результатов любого количественного исследования и учесть ее в выводах.

В приведенном здесь калькуляторе используется двухвыборочный z-тест для долей. Для его применения должны соблюдаться следующие условия:

• Обе выборки – простые случайные 
• Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи) 
• Генеральные совокупности значительно больше выборок 
• Произведения n*p и n*(1-p), где n=размер выборки а p=доля признака, – не меньше 5.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень.

Доля признака (p) – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

---

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ СРЕДНИХ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Среднее значение (x̄):
Стандартное отклонение (s):
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

 

Допустим, выборочный опрос посетителей двух разных ТРЦ показал, что средний чек в одном из них равен 1000 рублей, а в другом – 1200 рублей. Следует ли отсюда вывод, что суммы среднего чека в двух этих ТРЦ действительно отличаются?

Сравнивая два разных значения, полученные на двух независимых выборках, исследователь должен убедиться, что различия статистически значимы, прежде чем делать выводы.

Как известно, выборочные исследования не обеспечивают 100%-й точности измерения (для этого пришлось бы опрашивать всю целевую аудиторию поголовно, что слишком дорого). Тем не менее, благодаря методам математической статистики, мы можем оценить точность результатов любого количественного исследования и учесть ее в выводах.

В приведенном здесь калькуляторе используется двухвыборочный z-тест для средних значений. Для его применения должны соблюдаться следующие условия:

• Обе выборки – простые случайные 
• Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
• Генеральные совокупности значительно больше выборок 
• Распределения значений в выборках близки к нормальному распределению.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень.

Среднее значение ( ̅x) – среднее арифметическое показателя.

Стандартное отклонение (s) – выборочное стандартное отклонение измеряемого показателя. В идеале на месте этого аргумента должно быть стандартное отклонение показателя в генеральной совокупности (σ), но так как обычно оно неизвестно, используется выборочное стандартное отклонение, рассчитываемое по следующей формуле:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

Размер
выборки
– это количество элементов, которые
необходимо отобрать из генеральной
совокупности для проведения выборочного
исследования.

Определение
размера выборки для вероятностного
метода отбора представляет собой сложный
процесс, включающий ряд этапов: 1) оценка
факторов, влияющих на объем выборки; 2)
выбор метода расчета размера выборки;
3) расчет размера выборки; 4) оценка
стандартного отклонения среднего в
выборочной совокупности; 5) расчет
предельной ошибки выборки; 6) оценка
среднего значения признака в генеральной
совокупности (см. рис. 4.8).

В
случае применения детерминированного
метода отбора используются только
приблизительные методы расчета размера
выборки и оценить объективно точность
результатов исследования не представляется
возможным.

1.
Оценка факторов, влияющих на размер
выборки.
К наиболее важным факторам, определяющим
объем выборки, относятся следующие:
важность принимаемого решения, характер
исследования, бюджет исследования,
стоимость сбора информации, число групп
и подгрупп в генеральной совокупности,
коэффициенты охвата и завершенности,
размер генеральной совокупности и
требуемая точность исследования (см.
рис. 4.9). На размер ошибки выборки и,
соответственно, точность результатов
исследования влияют применяемая
процедура отбора и степень вариации
признака в совокупности.

Как
правило, для
принятия важных решений
необходима детальная, максимально
точная информация. Ее получение
предусматривает создание больших
выборок, но при увеличении объема выборки
возрастает и стоимость каждой
дополнительной единицы информации.

На
величину объема выборки влияет также
характер
исследования.
В поисковых исследованиях, изучающих
качественные характеристики, объем
выборки, как правило, невелик. Для
исследований, предусматривающих
статистическое заключение, таких как
дескриптивные, необходим больший объем
выборки. Кроме того, большие выборки
нужны, когда информация собира­ется
с учетом большого количества переменных.
Большой объем выборки позволяет снизить
общий эффект от ошибок выборки по всем
переменным.

Принимая
решения об объеме выборки, нужно учитывать
фактор ограниченно­сти ресурсов или
располагаемый
бюджет исследования.
В любом исследовательском проекте
существуют временные и финансовые
ограничения. При жестких бюджетных
ограничениях исследователь будет стоять
перед выбором: использовать более
дешевые методы сбора информации или
ограничить размер выборки, допуская
снижение точности результатов.

Р
исунок
4.8.
Этапы расчета необходимого размера
выборки и оценки значения признака в
генеральной совокупности

Р
исунок
4.9.
Факторы, учитываемые при определении
размера выборки и взаимосвязи между
ними

Чем
больше размер выборки
(чем
он ближе к размерам генеральной
совокупности в целом), тем надежнее и
достовернее полученные данные, однако
стоимость
сбора информации
(включающая в себя расходы на размножение
инструментария, оплату труда интервьюеров,
супервайзеров и операторов компьютерного
набора данных) при этом значительно
возрастает;

При
проведении углубленного анализа данных
с ис­пользованием разнообразных
методов многомерного статистического
анализа необходим большой объем выборки.
Это же касается данных, которые
анализируются с особой точностью. Таким
образом, для
анализа данных на уровне группы или
подгруппы
потребуется больший объем выборки, чем
для анализа общей или генеральной
совокупности.

К примеру, мы хотим
исследовать потребительское поведение
населения города. Перед нами – структура
генеральной совокупности, которая
представляет распределение в целом
населения города и по трем квотным
признакам: район города, пол, возраст.
Совершенно очевидно, что если в
исследовании ставится задача изучить
мнения населения города в целом — это
одна ситуация; если в том числе и по
возрастным группам – это другая (здесь
мы имеем 3 группы); если необходимо
выявить распределения мнений по
возрастным и половым группам — это третья
ситуация (здесь мы имеем уже шесть
групп); наконец, если в исследовании нас
интересует распределение информации
по возрастным, половым группам и районам
города (к примеру, мы хотим определить,
как к покупкам того или иного товара
относятся молодые женщины, проживающие
во Фрунзенском районе г. Минска), то
здесь мы имеем дело уже с четвертой
ситуацией (54 группы). Для получения
репрезентативной информации в последним
случае необходимо обеспечить
представительство в минимальной из
этих пятидесяти четырех групп 25-30 чел.
Следовательно, минимальный объем
выборочной совокупности здесь будет
находиться в пределах 1600 чел.

Статистически
определенный объем выборки представляет
собой конечный, или чистый объем выборки,
который необходимо получить, чтобы
обеспечить расчет параметров с желательной
степенью точности и заданным уровнем
достоверности. При проведении опросов
он выражается в количестве завершенных
интервью. Для получения конечного объема
выборки необходимо связаться с большим
количеством потенциальных респондентов.
Другими словами, начальный объем выборки
должен намного превышать конечный,
поскольку коэффициенты охвата и
завершенности обычно составляют меньше
100%.

Коэффициентом
охвата
называется степень наличия или процент
людей, подходящих для участия в
исследовании. Коэффициент охвата
определяет, какое количество контактов
с людьми необходимо осуществить, чтобы
в итоге получить объем выборки,
соответствующий заданным критериям.

Предположим,
что для исследования характеристик
моющих средств необходимо создать
выборку из женщин – глав семьи в возрасте
от 25 до 55 лет. Приблизительно 75% женщин
в возрасте от 20 до 60 лет, к которым можно
обратиться, – это женщины – главы семьи
в возрасте от 25 до 55 лет. Это означает,
что, в среднем, необходимо обратиться
к 1,33 женщин, чтобы получить одного
подходящего респондента. Дополнительные
критерии для отбора респондентов
(например, каким образом использовался
продукт) увеличивают необходимое
количество контактов. Предположим, что
дополнительным критерием является
использование женщиной моющего средства
для пола в течение последних двух
месяцев. Предполагается, что 60% женщин,
к которым обратятся исследователи,
будут соответствовать этому критерию.
Тогда коэффициент охвата составит 0,75
х 0,60 = 0,45. Таким образом, конечный объем
выборки следует увеличить на 2,22 (1/0,45).

Точно
так же при определении объема выборки
необходимо учитывать ожидаемые отказы
людей, соответствующих критериям
исследования. Коэффициент
завершенности
указывает на процент респондентов,
соответствующих критериям отбора,
которые полностью прошли интервью.
Например, если исследователь предполагает,
что коэффициент завершенности интервью
составит 80% от числа подходящих
респондентов, необходимое количество
контактов следует умножить на коэффициент
1,25. Применение коэффициентов охвата и
завершенности означает, что число
контактов с потенциальными респондентами,
т.е. начальный объем выборки, должно
быть в 2,22 х 1,25 (или 2,77) раз больше
необходимого объема выборки.

Заранее
заданная точность
результатов исследования или допустимая
ошибка выборки
позволяют рассчитать необходимый размер
выборочной совокупности, используя
статистические методы, которые будут
рассмотрены далее.

Ошибкой
выборочного исследования
называется
любая ошибка, возникающая в результате
опроса или наблюдения и являющаяся
следствием использования выборки, а не
всей генеральной совокупности. Ошибки
выборочного исследования обусловлены
процедурой формирования выборки и
объемом выборки. Крупные выборки
порождают меньшую ошибку выборочного
исследования, чем малые.

Чтобы
извлечь выборку, как уже отмечалось в
предыдущем параграфе, сначала необходимо
определит: основу
выборки,
представляющую собой сводный список
все членов генеральной совокупности.
Как известно, списки не всегда полно
представляют генеральную совокупность,
поскольку в ней постоянно происходят
изменения: одни члены появляются, другие
– уходят. Кроме того, списки не застрахованы
от ошибок и опечаток. Таким образом,
ошибка
основы выборки
выражается
в неправильном описании всей генеральной
совокупности. Независимо от способа
формирования выборки, исследователь
должен учитывать ошибку основы. Иногда
в распоряжении исследователя оказывается
основа, лишь приблизительно описывающая
всю ге­неральную совокупность, однако,
если альтернативы нет, приходится
использовать и такие списки. Исследователь
должен тщательно выбирать основу
выборки, стре­мясь минимизировать
ошибки. Кроме того, исследователь должен
предупредить клиента о том, что
используемая основа выборки может
содержать ошибки.

Далее
будет идти речь только о случайных
ошибках выборочного
исследования, которые не связанны с
основой выборки и могут быть оценены
статистически. Иначе говоря, будем
предполагать, что основа выборки является
достаточно качественной и обеспечивает
низкий уровень ошибок, так что мы можем
извлечь из нее репрезентативную выборку.

Ошибка
выборки
зависит
не
только от ее величины, но и от
степени различий между отдельными
единицами внутри данной генеральной
совокупности.
Например, если нужно узнать, средний
размер потребления пива молодежью г.
Минска в возрасте 18-25 лет, то обнаружится,
что внутри имеющейся генеральной
совокупности нормы потребления у
различных людей существенно различны
(гетерогенная
генеральная
совокупность). Если же необходимо узнать
размер потребления хлеба в той же
генеральной совокупности, то он будет
различаться значительно меньше
(гомогенная
генеральная
совокуп­ность). Чем больше различия
(гетерогенность) внутри генеральной
совокупности, тем больше возможная
ошибка выборки.

Некоторые
методы выборочного исследования
минимизируют ошибку выборки, другие –
никак на нее не влияют.
Например, использование стратифицированного
отбора может дать выигрыш в точности
при оценивании характеристик всей
совокупности. Часто неоднородную
совокупность удается расслоить на
подсовокупности (страты), каждая из
которых внутренне однородна. Если каждая
страта однородна в том смысле, что
результаты измерений в ней мало изменяются
от единицы к единице, то можно получить
точную оценку среднего значения для
любой страты по небольшой выборке в
этой страте. Затем эти оценки можно
объединить в одну точную оценку для
всей совокупности.

2. Выбор метода
расчета размера выборки.
Если специалист из опыта знает, какой
размер выборки следует использовать,
или же существуют различные ограничения
(например, связанные с бюджетом),
используют приблизительные
методы расчета размера выборки,
к которым относятся следующие:

— произвольный
метод расчета.
В этом случае объем выборки определяется
на уровне 5-10 % от генеральной совокупности.

— по
эмпирическим правилам.
Рекомендуется
выбирать размер выборки таким образом,
чтобы при ее разделении на группы в
каждой группе было не меньше 100 элементов.
Кроме сопоставления основных групп
анализ часто может потребовать
использования подгрупп. Размеры таких
подгрупп должны составлять от 20 до 50
человек. Это основано на том, что для
подгрупп требуется меньшая точность.

Если
одна из групп или подгрупп составляет
сравнительно небольшой процент
совокупности, то будет разумно использовать
непропорциональную выборку. Допустим,
что только 10% совокупности смотрит
образовательные телепередачи, и мнения
представителей этой группы требуется
сопоставить с мнениями других членов
совокупности. Если используются
телефонные интервью, контакты с жителями
могут устанавливаться случайно до тех
пор, пока не будут набраны 100 человек,
которые не смотрят образовательные
телепередачи. Далее опрос продолжается,
однако уже опрашиваются лишь те
респонденты, кто образовательные
телепередачи смотрит. В результате
будет получена выборка из 200 человек,
половина из которых смотрят образовательные
телепередачи.

— традиционный
метод расчета
связан с проведением периодиче­ских
ежегодных исследований, охватывающих,
например, 500, 1000 или 1500 респондентов.

— на
основе опыта сопоставимых исследований.
Таблица
4.7 дает представление об объемах выборок,
используемых в различных маркетинговых
исследованиях. Эти величины установлены
опытным путем и могут использоваться
в качестве ориентировочных данных,
особенно при детерминированных методах
формирования выборки.

— затратный
метод основан
на размере расходов, которые допус­тимо
затратить на проведение исследования.

Статистический
метод определения объема выборки
основан на традиционном статистическом
заключении. В соответствии с этим методом
заранее определяется уровень (степень)
точности.

Рассмотрение
данного метода начнем с краткой
характеристики базовых
понятий математической статистики.

Наиболее
важным понятием, позволяющим делать
заключения о свойствах генеральной
совокупности на основе выборочных
методов является кривая нормального
распределения.

Таблица
4.7.
Объемы выборок, используемых в
маркетинговых исследованиях

Вид исследования	Минимальный объем	Обычный диапазон
Исследование, цель которого – определить проблему (например, изучение потенциала рынка)	500	1000-2500
Исследование, цель которого – решить проблему (например, определить цену)	200	300-500
Тестирование товара	200	300-500
Пробный маркетинг	200	300-500
Теле- радио- и печатная реклама (в расчете на одно рекламное объявление, эффективность которого исследуется)	150	200-300
Аудит на пробном рынке	10 магазинов	10-20 магазинов
Фокус-группы	2 группы	10-15 групп

Кривая нормального
распределения
– это теоретическая модель, представляющая
собой абсолютно симметричный и гладкий
вид полигона частот. Она имеет форму
колокола и одну вершину, а ее концы
уходят в бесконечность в обоих
направлениях. Важнейшим свойством,
которым обладает кривая нормального
распределения, является то, что расстояние
по абсциссе (горизонтальная ось)
распределения, измеренное в единицах
стандартного отклонения от среднего
арифметического распределения, всегда
дает одинаковую общую площадь под
кривой: между ±1 стандартным отклонением
находится 68,3% площади; между ±2 стандартными
отклонениями – 95,4% площади; между ±3
стандартными отклонениями – 99,7% площади
(см. рис. 4.10).

Рисунок
4.10. Области
под теоретической кривой нормального
распределения

C
понятием кривой нормального распределения
связана центральная
предельная теорема, которая
гласит:
«Если
из генеральной совокупности, имеющей
любое распределение со средним μ
и
стандартным отклонением σ,
многократно извлекать случайные выборки
объема n,
то
при большом n
распределение всех возможных выборочных
средних будет стремиться к нормальному
распределению со средним μ
и
стандартным
отклонением σ
/
».

Таким
образом, центральная предельная теорема
позволяет распространять данные,
полученные в результате выборочного
исследования на всю генеральную
совокупность с определенной степенью
допущения при условии достаточно
большого объема выборки.

Конечно,
остается вопрос о том, что же такое
большой объем выборки. Полез­ное
эмпирическое правило гласит: если объем
выборки (n)
равен
100 или более, то применима центральная
предельная теорема и вы можете принять
допущение о нормальности распределения
всех возможных выборочных средних. Если
же n
меньше
100, то вы должны иметь веские доказательства
нормальности распределения генеральной
совокупности, и только после этого вы
можете полагать, что распределение,
которому подчиняются выборочные
статистики, является нормальным.
Следовательно, нормальность распределения
выборочных статистик гарантируется
путем использования довольно больших
выборок.

3.
Выбор требуемой степени точности и
достоверности результатов исследования.
При проведении любого выборочного
опроса или наблюдения перед исследователем
ставится задача оценить, каково истинное
значение во всей генеральной совокупности
либо среднего
значения
абсолютного
признака (доход
потребителей, размер потребления
конкретного товара), либо доли
единиц в совокупности, обладающих
каким-либо
признаком
(доля постоянных потребителей конкретного
товара; доля потребителей, удовлетворенных
уровнем обслуживания). Точность
выборки
в первом случае будет представлена в
виде абсолютной величины со знаком ±
(например, ±100 тыс. руб.; ±1 кг), или в виде
процента, во втором случае – только в
виде процента с тем же знаком (например,
±1% или ±5%).

Интерпретация
точности выборки подчиняется следующей
логике: если объем выборки обеспечивает
точность ±5%, то результаты опроса или
наблюдения, полученные с помощью выборки,
отличаются от результатов полной
переписи не более чем на 5%.

Еще одним фактором,
влияющим на объем выборки является
заданная исследователем степень
достоверности
(надежности)
оценки,
то есть степень
уверенности в том, что оценка близка к
истинному значению.

Для выборки
фиксированного объема степень точности
и степень достоверности являются
связанными величинами. На деле определение
объема выборки предполагает достижение
известного баланса между двумя этими
принципами.

Зависимость
точности выборки от ее объема для 95,4% и
99,7% уровня надежности представлена на
рисунке 4.11. Объем выборок на графике
колеблется от 50 до 2000. График демонстрирует,
что при увеличении объема вы­борки
ее ошибка уменьшается. Однако, как видим,
зависимость ошибки выборки от ее объема
не является прямолинейной. Иначе говоря,
удвоение объема выборки, не приводит к
существенному уменьшению ошибки.

Р

исунок
4.11. Зависимость
точности и достоверности от объема
выборки

Если
объем выборки превышает 500, ошибка
выборки для 95,4% надежности падает ниже
±4% и продолжает очень медленно снижаться.
С другой стороны, анализ графика в
области малых выборок показывает, что
относительно небольшое изменение объема
выборки позволяет значительно повысить
их точность. Например, если объем выборки
равен 50, то ее уровень точности равен
±13,9%, а увеличение их объема до 250 позволяет
уменьшить ошибку выборки до ±6,2%. Иными
словами, точность выборки, объем которой
равен 25 примерно вдвое выше, чем точность
выборки, объем которой равен 50. Однако
в области крупных выборок это правило
не выполняется.

4. Определение
t
параметра, связанного с уровнем
надежности.
Определить значение t,
связанное с уровнем надежности можно
воспользовавшись таблицей 1 приложения.
Как видно по данным таблицы, при объеме
выборки больше 100 для 95,4% надежности
t≈2,
для 99,7% надежности t≈3.

5. Поиск информации
об уровне стандартного отклонения
среднего значения признака в генеральной
совокупности.
Здесь возможны
две различные ситуации: 1) стандартное
отклонение среднего значения признака
(σ)
в генеральной совокупности известно и
2) стандартное отклонение среднего
значения признака в генеральной
совокупности неизвестно.

В
первом случае можно приступить к расчету
объема
выборки с помощью формулы стандартной
ошибки выборки.

6.
Определение
объема выборки с помощью формулы
стандартной ошибки с учетом корректировки
на охват и завершенность.

Принято различать
среднюю и предельную ошибки выборки.
Предельная ошибка выборки определяется
следующим образом:

где
∆
— предельная ошибка выборки;

t
– параметр, связанный с уровнем
надежности;

μ
– средняя ошибка выборки.

Формулы расчета
средней ошибки
выборки для средней и для доли с учетом
способа отбора приведены в таблице 4.8.

Доверительные
интервалы для генеральной средней
можно установить на основе соотношений

Доверительные
интервалы для генеральной доли
устанавливаются на основе соотношений

Далее
для вычисления объема выборки применяется
формула
вычисление объема выборки по заданному
доверительному интервалу.
Формулы
расчета численности выборки
для определения средней и доли с учетом
способа отбора приведены в таблице 4.9.

Например,
для обследования, преследующего цель
выявить мнение потребителей о новом
товаре, в регионе, насчитывающем 10 тыс.
семей, необходимо провести анкетирование.
Условно принимается, что в каждой
квартире проживает одна семья и на нее
будет выделена одна анкета. Предварительные
исследования установили, что дисперсия
среднего размера покупки составляет
24 тыс. руб.; σ²
= 2; предельная ошибка не должна превышать
0,5 тыс. руб. Отсюда численность выборки
(п)
составит:

Эта
величина округляется до 400 семей
(квартир), т.е. установлена 4%-я выборка.
Однако практика показывает, что некоторая
часть анкет не возвращается (предположим
каждая пятая), поэтому увеличиваем число
анкет до 500. Следовательно, необходимо
включить в выборку каждую 20-ю квартиру
(10000 : 500).

Все
вышеприведенные формулы применимы для
большой выборки.
Кроме большой выборки используются так
называемые малые
выборки (n
< 30), которые могут иметь место в случаях
нецелесообразности использования
больших выборок.

При
расчете ошибок малой
выборки
необходимо учесть два момента:

1) формула средней
ошибки имеет вид

2)
при определении доверительных интервалов
исследуемого показателя в генеральной
совокупности или при нахождении
вероятности допуска той или иной ошибки
необходимо использовать таблицы
вероятности Стьюдента. При этом
вероятность
определяется
в зависимости от объема выборки и t
(см. табл.
прил. 1).

Таблица 4.8.
Формулы определения стандартной ошибки
выборки при различных способах отбора

Виды выборки Способы отбора	Повторная выборка	Бесповторная выборка
	Для средней
Простая случайная выборка
Стратифицированная или типическая выборка
Кластерная, гнездовая или серийная выборка	—
	Для доли
Простая случайная выборка
Стратифицированная или типическая выборка
Кластерная, гнездовая или серийная выборка	—	—

В
таблице используются следующие условные
обозначения:

N
– объем генеральной совокупности;

п
– объем выборочной совокупности;

– средняя в
генеральной совокупности;

–
средняя в выборочной
совокупности;

р
– доля единиц в генеральной совокупности;

w
– доля единиц в выборочной совокупности;

– генеральная
дисперсия (заменяется на выборочную
(S²) в случае, если она
не известна);

– межсерийная
дисперсия

;

r
— число отобранных серий;

R—
число серий в генеральной совокупности.

Таблица 4.9.
Формулы определения численности выборки
(n)
при различных способах отбора

Виды выборки Способы отбора	Повторная выборка	Бесповторная выборка
	Для средней
Простая случайная выборка
Стратифицированная или типическая выборка
Кластерная, гнездовая или серийная выборка	—
	Для доли
Простая случайная выборка
Стратифицированная или типическая выборка
Кластерная, гнездовая или серийная выборка	—	—

Например, для
разработки бизнес-плана нового ресторана,
который открывается в центральной части
г. Минска необходимо узнать ожидаемый
диапазон расходов одного посетителя в
вечернее время. Удалось получить
информацию о том, что стандартное
отклонение расходов посетителей близкого
по уровню и месту расположения ресторана
составляет 30$. Существует возможность
опросить около 26 посетителей ресторана.
С какой достоверностью можно получить
результат при заданной точности ±10$?

Рассчитаем среднюю
ошибку выборки:

Тогда

Из
таблицы приложения 1 для n=26
и t=1,66
можно определить, что при допуске ошибки
±10$ достоверность
результатов составит менее 90%. Более
точное значение достоверности для тех
же параметров можно получить, например,
при помощи функции СТЬЮДРАСП в Microsoft
Excel
— 89,2%.

С 95,4% надежностью
будет обеспечена меньшая точность:

7. Отбор
произвольной пробной выборки.
В случае если стандартное
отклонение среднего значения признака
в генеральной совокупности неизвестно,
необходимо сформировать произвольную
пробную выборку.

8. Расчет
стандартного отклонения средней в
выборочной совокупности.
На основе полученных данных рассчитывается
стандартное отклонение признака в
выборочной совокупности и, затем –
необходимый размер выборки по приведенным
выше формулам.

9. Расчет точности
полученных результатов по формуле
предельной ошибки выборки.По
данным, собранным в ходе проведенного
выборочного исследования, рассчитывается
точность результатов. Если полученная
точность не устраивает исследователя,
может возникнуть необходимость увеличить
размер выборки с учетом рассчитанного
стандартного отклонения и коэффициентов
отклика и завершенности.

Предположим, что
в предыдущем примере не было возможности
узнать стандартное отклонение расходов
посетителей ресторана. По данным опроса
30 случайно отобранных респондентов
получены следующие данные: 25$ – 2 чел.;
30$ – 3 чел.; 45$ – 7 чел.; 55$ – 6 чел.; 70$ – 3
чел.; 85$ – 5 чел.; 110$ – 2 чел.; 150$ – 2 чел.

Определяем среднее
значение по формуле средней взвешенной:

Далее
рассчитываем дисперсию (квадрат
стандартного отклонения) расходов
посетителей ресторана по выборочной
совокупности.

Тогда
точность полученных результатов с
достоверностью 95,4%:

Для
того, чтобы обеспечить заданную точность
(±10$) рассчитываем
необходимый размер выборки:

В
целом, для принятия взвешенного решения
по размеру выборки наряду со статистическими
методами расчета следует применить
рассмотренные ранее приблизительные
методы и сравнить полученные результаты.

10. Оценка значения
признака в генеральной совокупности.
Основными
методами распространения выборочного
наблюдения на генеральную совокупность
являются прямой пересчет и способ
коэффициентов.

Прямой
пересчет есть
произведение среднего значения признака
на объем генеральной совокупности.
Однако большое число факторов не
позволяет в полной мере использовать
точечную оценку прямого пересчета при
распространении результатов выборки
на генеральную совокупность. На практике
чаще пользуются интервальной оценкой,
которая дает возможность учитывать
размер предельной ошибки выборки,
которая рассчитана для средней или для
доли признака.

Оценка
среднего по совокупности при использовании
стратифицированной выборки является
взвешенным средним средних значений
по каждой страте выборки.

Например,
производителю пива для оценки емкости
внутреннего рынка в частности необходимо
определить долю потребителей пива в
общей численности населения региона в
возрасте от 20 до 60 лет с точностью ±5%.
Можно предположить, что данный показатель
будет варьировать по полу и возрасту.
В таблице 4.10 представлена информация
о численности и структуре населения
региона в возрасте от 20 до 60 лет.

Таблица
4.10. Численность
населения региона в возрасте от 20 до 60
лет

Возрастные категории населения	Всего, тыс. чел.	В том числе
мужчины	женщины
20-29	1576,0	802,0	774,0
30-39	1357,3	671,4	685,9
40-49	1559,6	751,9	807,7
50-59	1276,1	582,7	693,4
Всего	5769,0	2807,9	2961,1

Ранее
проведенный опрос 200 респондентов в
возрасте от 20 до 60 лет показал, что доля
потребителей пива в общей численности
населения региона составляет 83%. По
имеющейся информации был рассчитан
необходимый объем выборки:

С
учетом необходимости обеспечить
необходимый минимальный размер подгрупп
округляем полученный результат до 300
человек и рассчитываем объем выборки
для каждой из страт по полу и возрасту
пропорционально соответствующей
численности населения. Результаты
расчета представлены в таблице 4.11.

Таблица
4.11. Структура
населения региона в возрасте от 20 до 60
лет и численность выборки.

Возрастные категории населения	В % к общей численности населения	Численность выборки
всего	мужчины	женщины	мужчины	женщины
20-29	27,3	13,9	13,4	42	40
30-39	23,6	11,7	11,9	35	36
40-49	27,0	13,0	14,0	39	42
50-59	22,1	10,1	12,0	30	36
Всего	100,0	48,7	51,3	146	154

В
результате опроса получены данные,
представленные в таблице 4.12.

Таблица
4.12. Доля
потребителей пива в общей численности
населения в разрезе возрастных категорий
по данным выборочного опроса.

Возрастные категории населения	Доля потребителей пива
мужчины	женщины
20-29	0,812	0,795
30-39	0,855	0,743
40-49	0,848	0,683
50-59	0,867	0,542

Определяем долю
потребителей пива по формуле средней
взвешенной:

Средняя
ошибка выборки:

Предельная ошибка
выборки для 95,4% надежности составит:

Таким
образом, с 95,4% надежностью можно
утверждать, что доля потребителей пива
в общей численности населения региона
в возрасте от 20 до 60 лет находится в
интервале от 71,8% (76,6% — 4,8%) до 81,4% (76,6% +
4,8%).

Опрос
обычно не ограничивается одним вопросом
–
иногда их сотни. Поэтому повторять
подобный процесс для каждого вопроса
смысла не имеет. Разумный подход –
выбрать несколько репрезентативных
вопросов и по ним определить размер. В
этот набор следует включить наиболее
критичные вопросы с максимальным уровнем
ожидаемой дисперсии.

В таком случае
может оказаться полезным подход
к расчету объема выборки, основанный
на сценарии максимально возможной
вариации признака в совокупности. Как
видно на рисунке 6, вариант,
когда w=
0,5 (50%) является наиболее консервативным,
поскольку он порождает максимальный
размер ошибки и, соответственно,
максимальный объем выборки. Следовательно,
его следует выбирать, когда измен­чивость
не известна. Тогда формула размера
выборки упрощается:

Для 95% уровня
надежности и 5% уровня точности:

Р
исунок
4.12.
График

Использование
номограмм для
расчета
объема выборки. Стремление
упростить процедуру расчета объема
выборки приводит к созданию таблиц,
шкал или программ, которые ориентированы
на обе­спечение статистической
надежности информации, но при этом не
обре­меняют пользователя знаниями
специальных формул из области стати­стики.
Например, существует калькулятор выборки
(www.
shortway.
to/few/calculator,
htm).

Номограмма является
графическим способом определения
размера выборки. Номограмма включает
три шкалы (рис. 7). На шкале слева
устанавливается разметка показателя
среднеквадратического откло­нения
или распределения доли признака. На
правой шкале наносится разметка точности
измерения в виде допустимой ошибки при
заданной доверительной вероятности
95,4% или 99,7%. На средней шкале делается
разметка, соответствующая требуемому
объ­ему выборки. На правой и левой
шкалах делаются отметки на уровне
желаемых значений показателей (доли
признака и допустимой ошиб­ки). Линейкой
эти две отметки соединяются, на пересечении
линейки со средней шкалой делается
отметка, соответствующая тому объему
выборки, который отвечает пожеланиям
исследователя.

Приведенная ниже формула для расчета объема выборки используется в тех случаях, когда опрашиваемым (респондентам) задается только один вопрос, на который существует только два варианта ответа. Например: «Да» и «Нет», «Покупаю» и «Не покупаю», «Пользуюсь» и «Не пользуюсь». Конечно, данную формулу можно применять только при проведении простейших исследований. Если Вам нужно определить объем выборочной совокупности при проведении более масштабных исследований, например анкетирования, то следует использовать другие формулы.

Простая формула для расчета объема выборки

Ниже приведена простая формула для расчета объема выборки для тех случаев когда на заданный вопрос возможны лишь два варианта ответа:

где: n – объем выборки;

z – нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности (доверительного интервала, доверительной вероятности).

Этот показатель характеризует вероятность попадания ответов в специальный доверительный интервал — диапазон, границам которого соответствует определенный процент определенных ответов на некоторый вопрос.

Можно сказать, что уровень доверительности выражает вероятность того, что респонденты генеральной совокупности ответят так же, как и представители анализируемой выборки.

На практике доверительный интервал при проведении маркетинговых исследований часто принимают за 95% или 99%. Тогда значения z будут соответственно 1,96 и 2,58.

Также существует специальная таблица «Значение интеграла вероятностей», используя которую можно найти значение z для различных доверительных интервалов. Сокращенный вариант такой таблицы приведен ниже;

p – вариация для выборки, в долях.

Вариация характеризует величину схожести / несхожести ответов респондентов на вопрос. По сути, p — вероятность того, что респонденты выберут той или иной вариант ответа.

Допустим, если мы считаем, что четверть опрашиваемых выберут ответ «Да», то p будет равно 25%, то есть p = 0,25;

q = 1 — p.

Можно сказать, что q — это вероятность того, что респонденты не выберут анализируемый вариант ответа (в нашем примере ответят «Нет»). Например, если p = 0,25, то q = 1 — 0,25 = 0,75;

e – допустимая ошибка, в долях.

Значение допустимой ошибки заранее определяют исследователь и заказчик маркетингового исследования.

Пример расчета объема выборочной совокупности

Маркетинговая компания получила заказ на проведение социологического исследования с целью выявить долю курящих лиц в населении города. Для этого сотрудники компании будут задавать прохожим один вопрос: «Вы курите?». Возможных вариантов ответа, таким образом, только два: «Да» и «Нет».

Объем выборки в этом случае рассчитывается следующим образом. Уровень доверительности принимается за 95% (одно из стандартных значений для маркетинговых исследований), тогда нормированное отклонение z = 1,96. Проведя предварительный анализ населения города, вариацию принимаем за 50%, то есть условно считаем, что половина респондентов может ответить на вопрос о том, курят ли они — «Да». Тогда p = 0,5. Отсюда находим q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5. исходя из требуемой заказчиком точности, допустимую ошибку выборки принимаем за 10%, то есть e = 0,1.

Подставляем эти данные в формулу и считаем:

Округлив расчетное значение, получаем объем выборки n = 96 человек.

Следовательно, для проведения исследования с заданными параметрами (уровень доверительности, допустимая ошибка) компании необходимо опросить 96 человек.

Значение нормированного отклонения для различных доверительных интервалов

В таблице приведены некоторые значения нормированного отклонения (z) для важнейших уровней доверительности, или, иначе, доверительной вероятности (α):

α (%)	60	70	80	85	90	95	97	99	99,7
z	0,84	1,03	1,29	1,44	1,65	1,96	2,18	2,58	3,0

Конечно, в таблице приведены значения z только для основных уровней доверительности. Полную версию таблицы можно найти в интернете.

Область применения простой формулы выборки

При проведении простых исследований, когда нужно получить ответ всего на один простой вопрос. При этом шкала ответов, как правило, дихотомического характера. То есть предлагаются (или подразумеваются) варианты ответов по типу «Да» — «Нет», «Черное» — «Белое», «Куплю» — «Не куплю», и т. д. Иными словами возможны лишь два варианта ответа на заданный вопрос.

Особенности формулы расчета размера выборки

Для рассмотренной нами простой формулы определения объема выборки можно выделить несколько характерных особенностей:

• перед тем, как рассчитывать объем выборки в данном случае желательно предварительно провести качественный анализ изучаемой генеральной совокупности. В частности установить степень схожести, близости изучаемых единиц совокупности в части их социальных, демографических, географических, иных характеристик. Также полезно провести пилотное (разведочное) исследование, чтобы установить приблизительную величину p;
• нужно иметь в виду, что максимальная изменчивость (вариация ответов) соответствует значению p = 50%, так как тогда q = 50% и p × q = 0,5 × 0,5 = 0,25. Это наихудший случай, все другие значения p дадут изменчивость меньшего размера (например, при p = 80%, p × q = 0,8 × 0,2 = 0,16; а при p = 10%, p × q = 0,1 × 0,9 = 0,09). Впрочем, данный показатель влияет на объем выборки не очень сильно.

Также стоит отметить, что существует ряд иных формул для определения объема выборки в случаях с дихотомической шкалой ответов на единственный вопрос. Для более сложных маркетинговых исследований применяются другие формулы.

Статья дополнена и доработана автором 10 дек 2020 г.

© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl + Enter.

Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Формула выборки — простая // Сайт преподавателя экономики. [2020]. URL: https://galyautdinov.ru/post/formula-vyborki-prostaya (дата обращения: 04.06.2023).

Повторный и бесповторный отбор.
Ошибка выборки

Краткая теория

---

На основании выборочных данных дается оценка статистических
показателей по всей (генеральной) совокупности. Подобное возможно, если выборка
основывается на принципах случайности отбора и репрезентативности
(представительности) выборочных данных. Каждая единица генеральной совокупности
должна иметь равную возможность (вероятность) попасть в выборку.

При формировании выборочной совокупности используются следующие
способы отбора: а) собственно-случайный отбор; б) механическая выборка; в)
типический (районированный) отбор; г) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; д) моментно-выборочное наблюдение.

Выборка может осуществляться по схеме повторного и бесповторного
отбора.

В первом случае единицы совокупности, попавшие в выборку, снова
возвращаются в генеральную, а во втором случае – единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность уже не возвращаются.

Выборка может осуществляться отдельными единицами или сериями
(гнездами).

Собственно-случайная выборка

Отбор в этом случае производится либо по жребию, либо по таблицам
случайных чисел.

На основании приемов классической выборки решаются следующие
задачи:

а) определяются границы среднего значения показателя по генеральной
совокупности;

б) определяются границы доли признака по генеральной совокупности.

Предельная ошибка средней при собственно-случайном отборе
исчисляется по формулам:

а) при повторном отборе:

б) при бесповторном отборе:

где

 – численность выборочной совокупности;

 – численность генеральной совокупности;

 – дисперсия признака;

 – критерий кратности ошибки: при

;
при

;
при

.

Значения

 
определяются

по таблице функции Лапласа.

Границы (пределы) среднего значения признака по генеральной
совокупности определяются следующим неравенством:

где

 – среднее значение признака по выборочной
совокупности.

Предельная ошибка доли при собственно-случайном отборе определяется
по формулам:

а) при повторном отборе:

при бесповторном отборе:

где

 – доля единиц совокупности с заданным
значением признака в обзей численности выборки,

 – дисперсия доли признака.

Границы (пределы) доли признака по всей (генеральной) совокупности
определяются неравенством:

где

 – доля признака по генеральной совокупности.

Типическая (районированная) выборка

Особенность этого вида
выборки заключается в том, что предварительно генеральная совокупность по
признаку типизации разбивается на частные группы (типы, районы), а затем в
пределах этих групп производится выборка.

Предельная ошибка средней
при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

где

 – средняя из внутригрупповых дисперсий

 по каждой типичной группе.

При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности
средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

где

 – численности единиц совокупности групп по выборке.

Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основании
данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что при
собственно-случайной выборке. Только предварительно необходимо вычислить общую
выборочную среднюю

 из частных выборочных средних

.
Для случая пропорционального отбора это определяется по формуле:

При непропорциональном отборе средняя из  внутригрупповых дисперсий вычисляется по
формуле:

где

 – численность единиц групп по генеральной
совокупности.

Общая выборочная средняя в этом случае определяется по формуле:

Предельная ошибка доли
признака при типическом бесповторном отборе определяется формулой:

Средняя дисперсия доли
признака из групповых дисперсий доли

 при
типической пропорциональной выборке вычисляется по формуле:

Средняя доля признака по
выборке из показателей групповых долей рассчитывается формуле:

Средняя дисперсия доли при
непропорциональном типическом отборе определяется следующим образом:

а средняя доля признака:

Формулы ошибок выборки при типическом повторном отборе будут те же,
то и для случая бесповторного отбора. Отличие заключается только в том, что в
них будет отсутствовать по корнем сомножитель

.

Серийная выборка

Серийная ошибка выборки
может применяться в двух вариантах:

а) объем серий различный

б) все серии имеют
одинаковое число единиц (равновеликие серии).

Наиболее распространенной
в практике статистических исследований является серийная выборка с
равновеликими сериями. Генеральная совокупность делится на одинаковые по объему
группы-серии

 и
производится отбор не единиц совокупности, а серий

. Группы (серии) для обследования отбирают в
случайном порядке или путем механической выборки как повторным, так и
бесповторными способами. Внутри каждой отобранной серии осуществляется сплошное
наблюдение. Предельные ошибки выборки

 при
серийном отборе исчисляются по формулам:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

где

 – число
серий в генеральной совокупности;

 – число
отобранных серий;

 – межсерийная дисперсия, исчисляемая для случая равновеликих
серий по формуле:

где

 –
среднее значение признака в каждой из отобранных серий;

 – межсерийная
средняя, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:

Определение численности выборочной совокупности

При проектировании
выборочного наблюдения важно наряду с организационными вопросами решить одну из
основных постановочных задач: какова должна быть необходимая численность
выборки с тем, чтобы с заданной степенью точности (вероятности) заранее
установленная ошибка выборки не была бы превзойдена.

Примеры решения задач

---

Задача 1

На основании результатов проведенного на заводе 5%
выборочного наблюдения (отбор случайный, бесповторный) получен следующий ряд
распределения рабочих по заработной плате:

Группы рабочих по размеру заработной платы, тыс.р.	до 200	200-240	240-280	280-320	320 и выше	Итого
Число рабочих	33	35	47	45	40	200

На основании приведенных данных определите:

1) с вероятностью 0,954 (t=2) возможные пределы, в которых
ожидается средняя заработная плата рабочего в целом по заводу (по генеральной
совокупности);

2) с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку и границы доли
рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Вычислим среднюю з/п: Для этого просуммируем произведения середин
интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму
частот.

2) Выборочная дисперсия:

Найдем доверительный интервал для средней. Предельная ошибка выборочной
средней считается по формуле:

где

 —

аргумент функции Лапласа.  

Искомые возможные пределы, в которых ожидается средняя заработная плата
рабочего в целом по заводу:

Найдем доверительный интервал для выборочной доли. Предельная ошибка
выборочной доли считается по формуле:

Доля рабочих с з/п от 320 тыс.р.:

 

Искомые границы доли рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше:

---

Задача 2

В
городе 23560 семей. В порядке механической выборки предполагается определить
количество семей в городе с числом детей трое и более. Какова должна быть
численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
0,02 человека. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна
0,3.

Решение

Численность
выборки можно найти по формуле:

В нашем случае:

Вывод к задаче

Таким образом численность
выборки должна составить 2661 чел.

---

Задача 3

С
целью определения средней месячной заработной платы персонала фирмы было
проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором
единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников
внутри каждого филиала использовался механический отбор. Результаты
обследования представлены в следующей таблице:

Номер филиала	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.
1	870	40	30
2	1040	160	80
3	1260	190	140
4	1530	215	190

С
вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех
сотрудников гостиниц.

Решение

Предельная
ошибка выборочной средней:

Средняя
из внутригрупповых дисперсий:

Получаем:

Средняя
месячная заработная плата по всей совокупности филиалов:

Искомые
пределы средней месячной заработной платы:

Вывод к задаче

Таким
образом с вероятностью 0,954 средняя месячная заработная плата всех сотрудников
гостиниц находится в пределах от 1294,3 руб. до 1325,7 руб.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.