Эквивалентная вероятность ошибки

Помехоустойчивость
кода можно оценить вероятностью искажения
(ошибки) символов дискретных сообщений,
которые передаются кодовыми комбинациями.
Выше отмечалось, что по мере увеличения
избыточности кода его помехоустойчивость
улучшается. Однако реальная
помехоустойчивость кодов с избыточностью
зависит и от конкретного способа приема
(регистрации) кодов комбинаций (символов).
Применяется поэлементный прием и прием
в целом кодовых комбинаций.

При поэлементном
приеме осуществляется регистрация
каждого из символов, составляющих
кодовую комбинацию. Последовательность
поочередно принятых сигналов образует
кодовую комбинацию, которая регистрируется
декодером и подается на устройство
преобразования кодовых комбинаций в
символы сообщения.

При приеме в целом
производится регистрация кодовых
сигналов. Под кодовым
сигналом
при этом
принимается вся последовательность
элементарных сигналов, составляющих
кодовую комбинацию.

Предположим, что
вероятность искажения отдельного
сигнала в кодовой комбинации равна

.
Будем полагать, что искажения различных
сигналов в кодовой комбинации статистически
независимые (что является справедливым
для каналов с постоянными параметрами
и флуктуационной помехой). Вероятность
того, что при поэлементном приеме
комбинация из n
элементов содержит равно

ошибок по
биномиальному закону, равна

,
(5.21)

где p
— вероятность
искажения одного элемента кодовой
комбинации.

Вероятность
правильной регистрации кодовой комбинации
из n
элементов равна вероятности того, что
в ней содержится не более

ошибок

число ошибок

и менее
исправляется кодом c

.

Тогда вероятность
ошибочного декодирования кодовой
комбинации

.
(5.22)

При оценке
эффективности помехоустойчивых кодов
используют так называемую эквивалентную
вероятность ошибки

,
определяемую по формуле

,
(5.23)

где

— количество информационных разрядов.

Эквивалентная
вероятность ошибки определяет вероятность
ошибки элементарного символа в двоичном
симметричном канале без памяти, в котором
система с примитивным кодированием
обеспечивает при передаче того же
количества информации ту же вероятность
ошибочного декодирования кодовой
комбинации, что и система с избыточным
кодом.

Соседние файлы в папке Лекции

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

5.1. Прием сигналов как статистическая задача

5.2. Критерии оптимального приема сигналов

5.3. Оптимальный прием дискретных сигналов

5.4. Вероятность ошибки при когерентном приеме двоичных сигналов

5.5. Вероятность ошибки при когерентном приеме многопозиционных сигналов

5.6. Некогерентный прием дискретных сигналов

5.7. Передача дискретных сигналов по каналам с переменными параметрами

5.8. Оптимальный прием непрерывных сообщений

5.1. Прием сигналов как статистическая задача

Обычно способ передачи (способ кодирования и модуляции) задан и нужно определить помехоустойчивость, которую обеспечивают различные способы приема. Какой из возможных способов приема является оптимальным? Указанные вопросы являются предметом рассмотрения теории помехоустойчивости, основы; которой разработаны академиком В. А. Котельниковым.

Помехоустойчивостью системы связи называется способность системы различать (восстанавливать) сигналы с заданной достоверностью.

Задача определения помехоустойчивости всей системы в целом весьма сложная. Поэтому часто определяют помехоустойчивость отдельных звеньев системы: приемника при заданном способе передачи, системы кодирования или системы модуляции при заданном способе приема и т. д.

Предельно достижимая помехоустойчивость называется, по Котельникову, потенциальной помехоустойчивостью. Сравнение потенциальной и реальной помехоустойчивости устройства позволяет дать оценку качества реального устройства и найти еще неиспользованные резервы. Зная, например, потенциальную помехоустойчивость приемника, можно судить, насколько близка к ней реальная помехоустойчивость существующих способов приема и насколько целесообразно их дальнейшее усовершенствование при заданном способе передачи.

Сведения о потенциальной помехоустойчивости приемника при различных способах передачи позволяют сравнить эти способы передачи между собой и указать, какие из них в этом отношении являются наиболее совершенными.

При отсутствии помех каждому принятому сигналу х соответствует вполне определенный сигнал s. При наличии помех это однозначное соответствие нарушается. Помеха, воздействуя на передаваемый сигнал, вносит неопределенность относительно того, какое из возможных сообщений было передано, и по принятому сигналу х только с некоторой вероятностью можно судить о том, что был передан тот или иной сигнал s. Эта неопределенность описывается апостериорным распределением вероятностей P(s/x).

Если известны статистические свойства сигнала s и помехи w, то можно создать приемник, который на основании анализа сигнала х будет находить апостериорное распределение P(s/x). Затем по виду этого распределения принимается решение о том, какое из возможных сообщений было передано. Решение принимается оператором или самим приемником по правилу, которое определяется заданным критерием.

Задача состоит в том, чтобы воспроизвести передаваемое сообщение наилучшим образом в смысле выбранного критерия. Такой приемник называется оптимальным, а его помехоустойчивость будет максимальной при заданном способе передачи.

Несмотря на случайный характер сигналов х, в большинстве случаев имеется возможность выделить множество наиболее вероятных сигналов  соответствующих передаче некоторого сигнала st. Геометрическое представление позволяет множество сигналов заменить областью многомерного пространства.

Пусть область X принимаемых сигналов разбита на неперекрывающиеся области  причем каждому сигналу sсоответствует область Х. Если принятый сигнал попал в эту область, то приемник принимает решение о том, что передавался сигнал s С некоторой вероятностью сигнал Xi может попасть в любую другую область , и тогда принимается ошибочное решение: вместо сигнала s, воспроизводится сигнал . Вероятность того, что переданный сигнал принят правильно, равна , а вероятность того, что он принят ошибочно, равна . Условная вероятность ) зависит от способа формирования сигнала, от помех, имеющихся в канале, и от выбранной решающей схемы приемника. Полная вероятность ошибочного приема элемента сигнала, очевидно, будет равна:

                                                                                     (5.1)

где  — априорные вероятности передаваемых сигналов.

В случае двоичного канала область принимаемых сигналов разбивается на две области X и Xz. Если сигнал х попадает в область X , то воспроизводится сигнал, а если в область X, то — s2.

В канале последовательность элементов входного сообщения u(t) преобразовывается в последовательность элементов выходного сообщения v(t). В геометрическом представлении это означает преобразование пространства входных сообщений U в пространство выходных сообщений V. При изучении каналов иногда удобно рассматривать вместо элементов исходного сообщения последовательность кодовых символов.

Канал называется дискретным, если входные и выходные пространства (сообщения) дискретны, и непрерывным, если эти пространства непрерывны. Если одно из пространств дискретно, а другое — непрерывно, то канал называется соответственно дискретно-непрерывным или непрерывно-дискретным.

Свойства дискретного канала определены, если заданы: алфавиты входных кодовых символов  и выходных , скорость передачи символов V и вероятности переходов т. е. вероятности того, что принят символ , когда был передан символ ,-. В общем случае  и символы  могут отличаться по своей природе от символов , . Например, звуки речи, составляющие входной алфавит при телефонной передаче, могут воспроизводиться на приемном конце не только в виде звука, но и в виде текста, записанного на пленку.

Если вероятности переходов Р(/) для каждой пары i, j не зависят от времени и от того, какие символы передавались и принимались ранее, то такой канал называется однородным без памяти. Если эти вероятности зависят от времени, то канал называется неоднородным, а если они зависят от того, какие символы передавались и принимались ранее, то канал называется каналом с памятью. Математическим описанием канала с памятью является дискретная цепь Маркова.

Если в однородном канале алфавиты кодовых символов на входе и выходе одинаковы и для любой пары  вероятности переходов постоянны , то такой канал называется симметричным (рис. 5.1а).

Среди каналов, в которых алфавиты на входе и выходе неодинаковы, представляет интерес так называемый стирающий канал,

Рис. 5.1. Графическое представление работы однородного бинарного канала: симметричный канал (а), канал со стиранием (б)

в котором . В таком канале выходной алфавит содержит дополнительный символ  обозначающий «стирание». Появление этого символа на выходе означает, что переданный символ искажен помехами и не может быть опознан. Как будет показано в дальнейшем, введение такого стирающего символа облегчает возможность правильного декодирования принятой кодовой комбинации. Геометрическое представление стирающего канала дано на рис. 5.16. В канале без помех каждому входному символу  однозначно соответствует символ a‘k на выходе (вероятности неправильных переходов равны нулю).

5.2. Критерии оптимального приема сигналов

Для того чтобы определить, какая из решающих схем является оптимальной, необходимо прежде всего установить, в каком смысле понимается оптимальность. Выбор критерия оптимальности не является универсальным, он зависит от поставленной задачи и условий работы системы.

Пусть на вход приемника поступает сумма сигнала и помехи , где S(t) — сигнал, которому соответствует кодовый символ ak,  — аддитивная помеха с известным законом распределения. Сигнал. в месте приема является случайным с априорным распределением P(S). На основании анализа колебания x(t) приемник воспроизводит сигнал . При наличии помех это воспроизведение не может быть совершенно точным. По принятой реализации сигнала приемник вычисляет апостериорное распределение, содержащее все сведения, которые можно извлечь из принятой реализации сигнала x(t). Теперь необходимо установить критерий, по которому приемник будет выдавать на основе апостериорного распределения  решение относительно переданного сигнала .

При передаче дискретных сообщений широко используется критерий Котельникова (критерий идеального наблюдателя). Согласно этому критерию принимается решение, что передан сигнал , для которого апостериорная вероятность  имеет наибольшее значение, т. е. регистрируется сигнал  если выполняются неравенства

                                                                                         (5.2)

При использовании такого критерия полная вероятность ошибочного решения будет минимальной. Действительно, если по сигналу х принимается решение о том, что был передан сигнал ,-, то, очевидно, вероятность правильного решения будет равна , а вероятность ошибки  —Отсюда следует, что максимуму апостериорной вероятности  соответствует минимум пол ной вероятности ошибки (5.1).

На основании формулы Байеса (2.26)

                                                                                         (5.3)

Тогда неравенство (5.2) можно записать в другом виде

                                                                                                        (5.4)

или

                                                                                                  (5.5)

Функцию p(x/s) часто называют функцией правдоподобия. Чем больше значение этой функции при данной реализации сигнала x, тем правдоподобнее, что передавался сигнал s. Отношение, входящее в неравенство (5.5)

                                                                                                                                    (5.6)

называется отношением правдоподобия. Пользуясь этим понятием, правило решения (5.5), соответствующее критерию Котельникова, можно записать в виде

                                                                                                           (5.7)

Если передаваемые сигналы равновероятны , то это правило решения принимает более простой вид

                                                                                                                  (5.8)

Таким образом, критерий идеального наблюдателя сводится к сравнению отношений правдоподобия (5.7). Этот критерий является более общим и называется критерием максимального правдоподобия.

Рассмотрим бинарную систему, в которой передача сообщений осуществляется с помощью двух сигналов  и , соответствующих двум кодовым символам аи a. Решение принимается по результату обработки принятого колебания x(t) пороговым методом: регистрируется s если х<х0, и s2, если , где х0— некоторый пороговый уровень х. Здесь могут быть ошибки двух видов: воспроизводится s, когда передавался  и ,когда передавался s. Условные вероятности этих ошибок (вероятности переходов) будут равны:

                                                                                  (5.9)

                                                                                  (5.10)

Значения этих интегралов могут быть вычислены как соответствующие площади, ограниченные графиком плотностей условного распределения вероятностей (рис. 5.2). Вероятности ошибок первого и второго вида соответственно:

                                                                                      (5.11)

                                                                                     (5.12)

Полная вероятность ошибки при этом

                                                                                      (5.13)

Пусть p=p, тогда

Нетрудно убедиться, что в этом случае минимум Р0имеет место. При , т. е. при выборе порога  в соответствии с рис. 5.2.

Рис. 5.2. График плотности условного распределения вероятностей при передаче сигналов st и s2

Для такого порога . На рис. 5.2 значение  определяется заштрихованной площадью. При любом другом значении порога величина  будет больше.

Несмотря на естественность и простоту, критерий Котельникова имеет недостатки. Первый заключается в том, что для построения решающей схемы, как это следует из соотношения (5.4), не-

обходимо знать априорные вероятности передачи различных символов кода. Вторым недостатком этого критерия является то, что все ошибки считаются одинаково нежелательными (имеют одинаковый вес). В некоторых случаях такое допущение не является правильным. Например, при передаче чисел ошибка в первых значащих цифрах более опасна, чем ошибка в последних цифрах. Пропуск команды или ложная тревога в различных системах оповещения могут иметь различные последствия.

Следовательно, в общем случае при выборе критерия оптимального приема необходимо учитывать те потери, которые несет получатель сообщения при различных видах ошибок. Эти потери можно выразить некоторыми весовыми коэффициентами, приписываемыми каждому из ошибочных решений. Обозначим потери ошибочных решений первого и второго видов соответственно и l. Тогда можно определить средние ожидаемые потери или средний риск

                                                                        (5.14)

Оптимальной решающей .схемой будет такая, которая обеспечивает минимум среднего риска. Критерий минимального риска относится к классу так называемых байесовых критериев.

В радиолокации широко используется критерий Неймана — Пирсона. При выборе этого критерия учитывается, во-первых, что ложная тревога и пропуск цели не являются равноценными по своим последствиям, и, во-вторых, что неизвестна априорная вероятность передаваемого сигнала. Если пропуск цели является более нежелательным, то можно задать некоторую величину  допустимой вероятности ложной тревоги и потребовать, чтобы решающая схема максимизировала вероятность правильного обнаружения Р(или, что то же, минимизировать вероятность пропуска Р).

Согласно критерию Неймана—Пирсона приемник является оптимальным в том случае, если при заданной вероятности ложной тревоги

                                                                                            (5.15)

он обеспечивает наибольшую вероятность правильного обнаружения

                                                                                  (5.16)

Можно показать, что критерий Неймана—Пирсона приводит к следующему правилу решения: цель считается обнаруженной, если

                                                                                                                              (5.17)

где  — некоторое число, определяемое допустимой вероятностью ложной тревоги

5.3. Оптимальньй прием дискретных сигналов

Источник дискретных сообщений характеризуется совокупностью возможных элементов сообщения и вероятностями появления этих элементов на выходе источника . В передающем устройстве сообщение преобразовывается в сигнал таким образом, что каждому элементу сообщения соответствует определенный сигнал. Обозначим эти сигналы через , a их вероятности появления на выходе передатчиков (априорные вероятности) соответственно через . Очевидно, априорные вероятности сигналов P(s) равны априорным вероятностям P(u) соответствующих сообщений . В процессе передачи на сигнал накладывается помеха. Пусть эта помеха имеет равномерный спектр мощности с интенсивностью

Тогда сигнал на входе можно представить как сумму переданного сигнала S(t) и помехи w (t):

 Поскольку сигналы x(t) и помеха (t) заданы на конечном интервале (0<t<Т), то согласно (2.70) их можно представить в виде разложений по ортогональным функциям:

                                                                                                                            (5.18)

                                                                                                  (5.19)

                                                                                                    (5.20)

где

                                                                                                         (5.21)

                                                                                                 (5.22)

                                                                                                 (5.23)

Так как мы предполагаем, что помеха имеет нормальное распределение, то и коэффициенты Фурье в выражении (5.23) будут иметь нормальное распределение с дисперсией  и средним значением, равным нулю:

                                                                                      (5.24)

Коэффициенты x также имеют нормальное распределение с той же дисперсией и средним значением

                                                                                             (5.25)

                                                        (5.26)

В силу независимости коэффициентов  многомерное распределение коэффициентов хт. е. условное распределение p(x/s), будет равно произведению одномерных распределений (5.25):

                                           (5.26)

Подставляя это выражение в (5.5), получим следующее неравенство, определяющее условие оптимального приема по Котельникову:

                                                                           (5.27)

Логарифмируя обе части неравенства, приходим к эквивалентному выражению

                                                                   (5.28)

В соответствии с выражениями (5.20) и (5.18) имеем

                                                                                 (5. 29)

После возведения в квадрат и усреднения по времени выражения (5.29) с учетом свойств ортогональных функций (t) (2.55) получаем

                                                                                 (5.30)

Тогда условие оптимального приема (5.28) можно записать в другом виде:

                                                                               (5.31)

Неравенства  (5.27) или им эквивалентные неравенства (5.28) и (5.31) определяют условия правильного приема сигнала s(t). В случае, когда априорные вероятности сигналов одинаковы

— , критерий Котельникова принимает более простой вид:

                                                                     (5.32)

Отсюда следует, что при равновероятных сигналах оптимальный приемник воспроизводит сообщение, соответствующее тому переданному сигналу, который имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение от принятого сигнала.

Неравенство (5.32) можно записать в другом виде, раскрыв скобки:

00

Для сигналов, энергии которых одинаковы, это неравенство для всех  принимает более простую форму:

                                                                                       (5.33)

В этом случае условие оптимального приема можно сформулировать следующим образом. Если все возможные сигналы равновероятны и имеют одинаковую энергию, оптимальный приемник воспроизводит сообщение, соответствующее тому переданному сигналу, взаимная корреляция которого с принятым сигналом максимальна.

Для двоичной системы полученным результатам можно дать весьма наглядную геометрическую трактовку. Пусть передаются два равновероятных сообщения ии u2 с помощью сигналов и s2. Первому сигналу соответствует вектор  в n-мерном пространстве, а второму — вектор s2. Принятому сигналу соответствует вектор х, равный сумме векторов сигнала s и помехи w. Пространство возможных значений сигнала можно разбить на две области так, чтобы при попадании конца вектора х в первую область воспроизводился сигнал  (область сигнала ) а при попадании в другую область — воспроизводился сигнал s2 (область сигнала s2). Если х, соответствующий данному сигналу, попадает в область другого сигнала, то происходит ошибка (вместо s воспроизводится s2 или, наоборот, s2 вместо s1). Вероятность ошибки, очевидно, зависит от конфигурации областей сигнала. В оптимальном приемнике Котельникова пространство сигналов разбивается на области сигнала si и сигнала s2 так, чтобы полная вероятность ошибки (5.13) была минимальной.

В случае равновероятных сигналов и помехи с равномерным распределением оптимальным разбиением пространства будет такое, при котором любая точка х относится к области того сигнала s, конец вектора которого ближе всего к точке х. В двухмерной модели (рис. 5.3) для двоичной системы граница областей сигналов  и s2 есть геометрическое место точек, равноотстоящих от  и s2, т. е. гиперплоскость, перпендикулярная к вектору разности  и делящая его пополам.

Если, например, передавался сигнал , то ошибка произойдет в том случае, когда выполняется неравенство

                                                                                                                 (5.34)

Или

                                                                                                                                             (5.35)

где , и — проекция w на вектор, коллинеарный s, т. е.

.Вместо неравенства (5.34) можно записать  или в эвклидовой метрике

                                                                          (5.36)

Условие (5.36) полностью совпадает с условием (5.32). Структурная схема приемника, реализующего    операции    (5.36), приведена на рис. 5.4. Здесь Г и Г2 — генераторы опорных сигналов, формирующие точные копии переданных сигналов s1 и s2, В — вычитающее устройство, KB — квадратирующее устройство, И — интегратор, РУ — схема сравнения и выбора  (решающее устройство).

Рис. 5.3. Геометрическое представление работы оптимального приемника

Рис. 5.4. Оптимальный приемник Котельникова

Неравенство (5.36) можно записать в другом виде, раскрыв скобки под интегралами:

или

                                                                             (5.37)

Рис. 5.5. Оптимальный пороговый приемник

Это неравенство совершенно эквивалентно неравенству (5.36), но оно ведет к другой схемной реализации оптимального приемника.

На рис. 5.5 приведена структурная схема приемника, реализующего условия работы (6.37). В этой схеме после операции перемножения (П) и интегрирования (И) производится сравнение полученного результата с постоянным порогом, равным разности энергий сигналов

Эта схема проще, чем схема рис. 5.4. Однако она обладает тем недостатком, что при изменении уровня сигналов порог нужно автоматически регулировать. Этот недостаток устраняется, если сигналы имеют равную энергию E2=E, тогда порог равен нулю и решающая схема определяет только знак сигнала на выходе.

При  упрощается и схема приемника рис. 5.4. Раскрывая скобки в (5.36), получаем условия оптимального приема в следующем виде:

                                                                                      (5.38)

что совпадает с условием (5.33). Таким образом, при  приемник Котельникова превращается в корреляционный (когерентный) (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Корреляционный приемник                         Рис. 5.7.  Приемник с согласованными фильтрами

Оптимальный прием можно также реализовать в схеме с согласованными линейными фильтрами (рис. 5.7), импульсные реакции которых должны быть , где с — постоянный коэффициент (см. § 4.6).

Рассмотренные схемы оптимальных приемников относятся к типу когерентных, в них учитывается не только амплитуда, но и фаза высокочастотного сигнала.

Заметим, что в схемах оптимальных приемников отсутствуют фильтры на входе, которые в реальных приемниках всегда имеются. Это означает, что оптимальный приемник при флуктуационных помехах не требует фильтрации на входе. Его помехоустойчивость, как мы увидим дальше, не зависит от ширины полосы пропускания приемника.

5.4. Вероятность ошибки при когерентном приеме двоичных сигналов

Определим вероятность ошибки в системе передачи двоичных сигналов при приеме на оптимальный приемник. Эта вероятность, очевидно, будет минимально возможной и будет характеризовать потенциальную, помехоустойчивость при данном способе передачи. При приеме на реальный приемник помехоустойчивость может быть равна потенциальной, но не может быть больше ее.

Пусть сигнал принимает значения s(t)  с вероятностью Ри значения s(t) с вероятностью . Если передавался сигнал  s то согласно условию (5.31) ошибка произойдет в том случае, когда

                                                                                 (5.39)

Так как x(t) = s1(t)+w(t), то неравенство (5.39) может быть приведено к виду

или

                                                 (5.40)

В соответствии с выражениями (5.18) и (5.19) левую, часть неравенства  (5.40) можно записать в следующем виде:

                                                                                    (5.41)

Так как каждый коэффициент имеет нормальное распределение со средним значением, равным нулю, то сумма (5.41) будет также представлять собой нормальную случайную величину  с нулевым средним значением и дисперсией

                                              (5.42)

Плотность вероятности случайной величины |

Согласно (5.40) ошибка произойдет при передаче   сигнала -s, если

Величина этой ошибки будет равна:

                                                                            (5,43)

Вводя  новую  переменную  на    основании    соотношения (2.29) имеем

где

После несложных преобразований окончательно получаем

                                                                                                (5.44)

где

                                                                                                (5.45)

                                                                                                                      (5.46)

Совершенно аналогично определяется вероятность ошибки при передаче сигнала s(t):

                                                                                                (5.47)

где

                                                                                                (5.48)

Полная вероятность ошибки при   оптимальном   приеме бинарных. сигналов s(t) и s(t) будет равна:

                                                                                                  (5,49)

или согласно (5.44) и (5.47)

                                                                       (5.50)

Из полученных формул следует, что вероятность ошибки, определяющая потенциальную помехоустойчивость, зависит от двух величин: ² и P/P. Первая величина определяется отношением удельной энергии разности сигналов к интенсивности помехи N. Чем больше это отношение, тем больше потенциальная помехоустойчивость. Отношение априорных вероятностей P/P определяется статистическими свойствами передаваемых сообщений.

Если передаваемые сигналы равновероятны P=P=0,5, то ф-ла (5.50) упрощается и принимает вид

                                                                                                   (5.51)

Формулу (5.51) легко получить из геометрических представлений. Как это видно из рис. 5.3, при передаче сигнала s1 ошибка произойдет в том случае, если будет выполняться неравенство r>r2

или . Следовательно, вероятность ошибки можно определить как вероятность выполнения одного из этих неравенств, т. е.

Умножив обе части неравенства на d, получаем

где =— случайная величина (5.41), имеющая нормальное распределение с дисперсией (5.42). Тогда на основании (2.32) имеем

где

что совпадает с (5.51) и (5.46).

При малой интенсивности помех, когда , в ф-лах (5.45) и (5.48) вторым членом можно пренебречь. В этом случае ф-ла (5.50) также приводится к ф-ле (5.51). Вероятность ошибки при этом практически не зависит от Pи Р2. при большом уровне помех, когда мало, зависимость вероятности ошибки от отношения априорных вероятностей P/ Р2 становится заметной. С увеличением этого отношения вероятность ошибки увеличивается [4].

Таким образом, при равновероятных сигналах вероятность ошибки полностью определяется величиной . Значение этой величины зависит от спектральной плотности помех N0 и передаваемых сигналов s(t) и s(t).

Для систем с активной паузой, в которых сигналы имеют одинаковую энергию , выражение для ² можно представить в следующем виде:

                                                                                                            (5.52)

— коэффициент   взаимной   корреляции

между сигналами, — отношение энергии сигнала к удельной мощности помехи.

Вероятность ошибки для таких систем определяется формулой

                                                                                     (5.53)

Отсюда следует, что при , т. е. , система обеспечивает наибольшую потенциальную помехоустойчивость. Эта система с противоположными сигналами. Для нее — Практической реализацией системы с противоположными сигналами является система с фазовой манипуляцией.

Сравнение различных систем передачи дискретных сообщений удобно производить по параметру ², представляющему собой приведенное отношение сигнала к помехе на выходе оптимального приемника при заданном способе передачи , или по величине выигрыша

                                                                                            (5.54)

где . Множитель TF определяет выигрыш за счет оптимальной обработки сигнала на приеме, а (1 —) — за счет способа передачи.

В общем виде радиотелеграфный сигнал можно записать

                                                                (5.55)

где параметры колебания  принимают определенные значения в зависимости от вида манипуляции. Согласно (5.46) для сигналов (5.55) имеем:

             (5.56)

Для амплитудной манипуляции A(t)=A0, A2(t)=0

2       —

Для частотной манипуляции A(t)=A2(t)=A0. При оптимальном выборе разноса частот (), где k— целое

число и  Тогда на основании (5.56) получаем

Для фазовой манипуляции A(t)=A2t)=A0, ,

Сравнение полученных формул показывает, что из всех систем передачи бинарных сигналов наибольшую потенциальную помехоустойчивость обеспечивает система с фазовой манипуляцией. По сравнению с ЧМ она позволяет получить двукратный, а по сравнению с AM — четырехкратный выигрыш по мощности.

В системах связи сигнал обычно, составляется из последовательности простых сигналов. Так, в телеграфии каждой букве соответствует кодовая комбинация, состоящая из даты элементарных посылок. Возможны и более сложные комбинации. Если элементарные сигналы, составляющие кодовую комбинацию, независимы, то вероятность ошибочного приема кодовой комбинации определяется следующей формулой:

                                                                                                                            (5.57)

где — вероятность ошибки элементарного сигнала, п — число элементарных сигналов в кодовой комбинации (значность кода).

 Следует заметить, что вероятность ошибки в рассмотренных выше случаях полностью определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности помехи и не зависит от формы сигнала. В общем случае, когда спектр помехи отличается от равномерного, вероятность ошибки можно уменьшить, изменяя спектр сигнала, т. е. его форму.

Работа приемника в многопозиционных системах сводится к различению m сигналов, соответствующих m позициям кода. Схему приемника можно представить себе состоящей из m каналов (ветвей), каждый из которых рассчитан на прием одного определенного сигнала. Одним из примеров многопозиционной системы является система с частотной манипуляцией, в которой сигналы представляют собой гармонические колебания различных частот. Приемник в этой системе содержит m фильтров, настроенных на частоты передаваемых Сигналов. С помощью этих фильтров и осуществляется разделение (различение) сигналов.

Пусть st), s2(t),…, sm(t) — сигналы, используемые для передачи, и w(t) — аддитивная помеха, воздействующая на приемник.  Принимаемые сигналы при этом будут x,x,…, xm. Если передавался сигнал s(t), то в первом фильтре будут сигнал и помеха ,а в остальных фильтрах — только помеха. Приемник сравнивает принятые сигналы и воспроизводит наибольший из них, т. е. выносит решение о том, что передан k-й сигнал, если . Поскольку мы предположили, что передавался сигнал s, это вероятность правильного решения будет равна:

а вероятность ошибки

Оптимальный когерентный приемник в m-позиционной системе представляет собой многоканальный коррелятор или систему из т согласованных фильтров. Структурная схема такого приемника аналогична схемам рис. 5.6 или рис. 5.7 для двоичных сигналов (разница лишь в числе каналов). В этом случае приемник в соответствии с условиями (5.33) вычисляет функцию взаимной корреляции принятого сигнала x(t) со всеми т опорными сигналами

                                                  (5.58)

и выдает решение о том, что был передан тот сигнал, для которого корреляция имеет наибольшее значение. Вероятность правильного решения (если передается сигнал s) будет равна:

                                                                                              (5.59)

Рис. 5.8. Оптимальный когерентный приемник многопозиционных сигналов

На рис. 5.8 приведена структурная схема когерентного приемника ,много-позиционных сигналов, построенная на базе корреляционной техники. В каждом канале этой схемы производятся синхронное детектирование принятых, сигналов, интегрирование и отсчет в конце каждого элемента сигнала. Полученные отсчеты поступают на схему сравнения (решающее устройство РУ). В результате сравнения выдается решение о том, какой из т сигналов был передан.

Определим вероятность ошибки при оптимальном когерентном приеме Ортогональных m-позиционных сигналов. Будем полагать, что все (возможные сигналы равновероятны и имеют одинаковую энергию Е. Для этого случая условия правильного приема сигнала s согласно (5.33) запишутся

Так как , и ,   то это неравенство принимает вид г

                                                                                                               (5.60)

Или

                                                                                                      (5.61)

            Рассмотрим  функцию ,   представляющую   собой нормальную случайную величину (помеху на выходе j-го канала) с дисперсией

Плотность вероятности величины |

Вероятность того, что помеха в j-м канале не превысит суммарного значения сигнала и помехи в первом канале, т. е. вероятность того, что , будет равна:

, где

,

Вероятность того, что помеха  во всех m— 1 каналах без сигнала не превысит суммарного значения сигнала и помехи в первом канале,

Интегрирование этого выражения по всем возможным значениям помехи | дает вероятность правильного приема

                                                               (5.62)

Вероятность ошибки при этом

                                                        (5.63)

В частном случае при m=2 выражение (5.63) преобразовывается в ф-лу (5.51) для двоичных систем

При m>2 интеграл в правой части (5.63) может быть вычислен приближенными методами. При относительно больших значениях отношения сигнала к помехе (q0>1) имеет место асимптотическое выражение

                                                                                         (5.64)

При неоптимальном когерентном приеме дискретных сигналов в схеме рис. 5.8 интегратор отсутствует. В этом случае после синхронного детектора ставится фильтр нижних частот и берется отсчет (стробирование) на выходе фильтра в середине посылки. Можно показать, что вероятность ошибки при неоптимальном когерентном приема определяется полученными выше выражениями (5.63) и (5.64), если в последних вместо q0 подставить

5.6. Некогерентный прием дискретных сигналов

При некогерентном приеме информация о фазе принимаемых сигналов не используется. Такой способ приема применяется в каналах с переменными параметрами, когда фаза сигнала случайно изменяется и ее определение вызывает значительные трудности, а также в каналах с постоянными параметрами с целью упрощения схемы приемника.

Оптимальный некогерентный приемник вычисляет модуль (огибающую) функции взаимной корреляции

решает, что был передан тот сигнал, для которого z в некоторый момент времени ,t=t0 имеет наибольшеее значение. Пусть передавался сигнал s(t), тогда условие правильного приема этого сигнала можно записать в следующем виде: z<z или

                                                                                             (5.65)

Схема приемника, реализующего условие (5.65), приведена на рис. 5.9. Эта схема содержит т согласованных фильтров (Ф), соответствующих т

Рис. 5.9. Оптимальный некогерентный приемник m-ичных сигналов

отдельным сигналам. На выходе каждого фильтра получается напряжение, пропорциональное функции взаимной корреляции . Амплитудный детектор (Д) выделяет огибающую (модуль) этой функции. Затем производится отсчет и принимается решение.

Согласно (4.25) имеем

Если передавался сигнал s(t), то x(t)= s(t)+w(t) и

Предположим, что сигналы равновероятны, имеют одинаковую энергию и являются ортогональными в усиленном смысле (2.105). При этих условиях:

                                                                                                                        (5.66)

где

Случайные величины ξ и  имеют нормальное распределение s нулевым средним значением и дисперсией, равной . В этом легко убедиться так же, как это было сделано при выводе ф-лы (5.42).

Случайная величина  является суммой квадратов двух независимых случайных величин  и  с нормальным распределением, нулевым средним значением и одинаковыми дисперсиями, равными . Такая величина, как известно, имеет распределение Рэлея (2.43). В нашем случае

 (5.67)

Случайную величину  можно рассматривать как квадрат длины векторной суммы постоянного вектора длиной L=2E и случайного вектора с нормально распределенными независимыми составляющими, имеющими дисперсию =. Поэтому величина  подчиняется обобщенному распределению Рэлея (2.48) с плотностью вероятностей

                                                                    (5.68)

Случайные величины  есть не что иное, как огибающие напряжения в каналах без сигнала, т. е. огибающие помех. Так как помехи мы считаем гауссовыми, то этим и объясняется, что  будут иметь рэлеевское распределение. Случайная величина  есть огибающая суммарного колебания сигнала и помехи в канале с сигналом, поэтому она и подчиняется закону обобщенного распределения Рэлея.

Теперь можно определить вероятность ошибки при некогерентном приеме. В общем случае эта вероятность будет равна:

                                                                                                           (5.69)

При бинарной передаче (m=2)

Для вычисления вероятности ошибки сначала вычисляется при некотором фиксированном значении  вероятность того, что >. Эта вероятность выражается интегралом

который имеет различные значения при различных . Для того чтобы найти полную вероятность >, необходимо   усреднить по всем возможным значениям  в соответствии с распределением  Таким образом,

                                                      (5.70)

После подстановки в (5.70) выражений  и  в соответствии с (5.67) и (5.68) и интегрирования получаем следующее выражение для вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме двоичных сигналов:

                                                                                                                                      (5.71)

где .

Для  m-позиционных  систем справедливо приближенное соотношение

Из уравнения ф-л (5.64) и (5.72) следует, что вероятность ошибки в многопозиционных системах Ротприближенно определяется через вероятность ошибки в соответствующей двоичной системе P. Это соотношение имеет следующий вид:

                                                                                                                                (5.73)

На рис. 5.10 приведены графики зависимости вероятности ошибки в двоичной системе с активной паузой от отношения сигнала к помехе при когерентном и некогерентном приемах. Сравнение кривых показывает, что оптимальный когерентный прием несущественно отличается по помехоустойчивости от оптимального некогерентного приема. При неоптимальном приеме и большом уровне помех (q<1) это различие, как уже отмечалось, может быть значительным.

5.7. Передача дискретных сигналов по каналам с переменными параметрами

До сих пор мы рассматривали системы передачи информации, в которых параметры канала неизменны. Вероятность ошибки в таких системах обусловлена лишь наличием аддитивных помех. Оптимальный приемник использует все параметры сигнала и обеспечивает максимально возможную помехоустойчивость. В реальных условиях параметры канала и соответственно параметры сигнала могут случайно изменяться. Эффективное использование параметров сигнала на приеме в этих условиях затрудняется и помехоустойчивость неизбежно ухудшается.

В реальных каналах сигналы на вход приемника могут приходить по разным путям с различными затуханиями μк и различными запаздываниями τк. Принимаемый сигнал x(t) в этом случае можно представить в виде суммы

                                                                                                              (5.74)

где μк и τк. — случайные процессы, вообще говоря, зависящие от времени, w(t) — аддитивная помеха. Каналы, описываемые выражением (5.74), называются многолучевыми.

Во многих случаях имеет место только один путь распространения

                                                                                                                            (5.75)

Такие каналы называются однолучевыми. Если величины μ и τ фиксированы во времени, то имеем канал с постоянными параметрами. К таким каналам можно отнести каналы проводной связи и укв каналы при передаче в пределах прямой видимости.

Почти все виды радиоканалов относятся к каналам со случайно изменяющимися параметрами. К этому классу каналов принадлежат коротковолновые линии связи, в которых благодаря изменению состояния ионосферы происходят непрерывные колебания амплитуды сигнала в точке приема. Случайные изменения условий распространения радиоволн имеют место на ультракоротких волнах, а также на средних и даже длинных волнах.

Любые изменения коэффициента передачи и времени распространения сигналов вызывают флуктуации сигналов на выходе каналов и могут рассматриваться как действие помех. Изменения коэффициента μ проявляются в виде флуктуации амплитуды сигнала и называются мультипликативной помехой. Случайные задержки лучей вызывают фазовые и временные флуктуации сигналов.

Воздействие мультипликативной помехи на передаваемый сигнал s можно рассматривать как модуляцию этого сигнала случайным процессом μ . Такую помеху можно свести к аддитивной:

где — эквивалентная аддитивная помеха, равная  Эквивалентная помеха  представляется произведением случайного процесса  на детерминированную функцию времени s. Это значит, что — нестационарный процесс и что все его распределения и их моменты зависят от времени. Практически это означает, что при анализе нужно после усреднения по множеству прибегать к усреднению по времени. Заметим также, что μ есть случайный процесс с ненулевым средним  и что . Процесс  имеет уже нулевое среднее и соответственно смещенное распределение. Величины μ и ξ безразмерны, тогда как  имеет размерность сигнала.

Эквивалентная мощность мультипликативной помехи, очевидно, будет равна ее дисперсии:

Отношение сигнала к эквивалентной помехе при этом будет равно:

                                                                                                                  (5.76)

т. е. оно определяется только средним значением и дисперсией процесса μ(t), характеризующего мультипликативную помеху.

Распространенным явлением, приводящим к случайным колебаниям параметров сигнала в точке приема, является многолучевое распространение радиоволн. Многолучевость — основная причина замирания сигнала. Вследствие разностей хода лучей, приходящих от передатчика к приемнику, сигнал в приемной антенне представляет собой сумму отдельных колебаний с различными фазами и амплитудами. Интерференция этих колебаний в условиях, когда разности хода лучей не остаются постоянными, и является основной причиной флуктуации как амплитуд, так и фаз составляющих сигнала. В зависимости от ширины спектра сигнала F и свойств канала различают общие (или гладкие) и селективные замирания, которые, в свою очередь, могут быть быстрыми и медленными.

Общие замирания имеют место, когда время запаздывания лучей . При этом коэффициент передачи канала μ (или амплитуда сигнала) и фаза сигнала ф для всех частотных составляющих изменяются одинаково. (При большом числе лучей можно считать, что случайная величина ф имеет равномерную плотность вероятности на интервале от 0 до 2π, а μ- распределение Рэлея

                                                                                                                                (5.77)

где  — среднеквадратичное значение коэффициента передачи μ .

В ряде случаев сигнал в точке приема состоит из двух составляющих: регулярной с медленно изменяющимися параметрами и рассеянной быстро флуктуирующей составляющей. В этих случаях коэффициент передачи μ описывается обобщенным распределением Рэлея

                                                                       (5.78)

где — регулярная   составляющая коэффициента    передачи, среднее значение квадрата    флуктуирующей составляющей, среднее квадратичное значение μ. Фаза сигнала φ в этом случае распределена неравномерно.

В случае сильных замираний, когда , распределение (5.78) приближается к рэлеевскому (5.77). Такие замирания иногда называют рэлеевскими. Замирания, подчиняющиеся обобщенному закону Рэлея, называют квазирэлеевскими.

Для слабых замираний, когда , на основании (5.78) получаем распределение, близкое к нормальному:

Слабые замирания поэтому называют гауссовыми замираниями.

Согласно экспериментальным данным в диапазонах средних и коротких волн рэлеевские и квазирэлеевские замирания встречаются примерно одинаково часто. В укв диапазоне при дальнем ионосферном или тропосферном распространении преобладают рэлеевские замирания, при ближнем распространении — квазирэлеевские.

Селективные замирания наблюдаются тогда, когда время запаздывания лучей соизмеримо с величиной 1/F. В этом случае амплитуды и фазы частотных составляющих сигнала изменяются независимо друг от друга. При быстрых замираниях амплитуды и фазы смежных элементов сигнала некоррелированы между собой, а при медленных замираниях они изменяются одинаково.

В случае медленных замираний, которые мы и рассмотрим, коэффициент передачи канала μ и фазы сигнала φ практически не изменяются за время длительности нескольких элементов сигнала. Анализ ранее принятых элементов сигнала позволяет с достаточной степенью точности предсказать ожидаемые параметры следующего элемента. В этих условиях прием может быть осуществлен так же, как если бы замирания отсутствовали, и оптимальными будут схемы, рассмотренные в предыдущих параграфах, с той лишь разницей, что в схемах должны производиться непрерывные регулировки μ (регулировка усиления) и φ (регулировка фазы) в соответствии с ожидаемыми значениями μ и φ. В связи с трудностями подстройки фазы более широкое применение находят некогерентные методы приема, в которых сведения о фазе сигнала не используются. В каналах, где случайно изменяется только фаза сигнала, некогерентный прием является оптимальным (см. § 5.6).

Формулы, определяющие вероятность ошибки элемента сигнала при медленных замираниях для данного значения q, остаются теми же, что и в канале без замираний. Но в процессе замираний величина q изменяется пропорционально μ². Поэтому для определения полной вероятности ошибки необходимо усреднить вероятность P( q) в соответствии с распределением р(μ), т. е.

                                                                (5.79)

где учтено, что .

Найдем в качестве примера вероятность ошибки при когерентном приеме бинарных сигналов в условиях медленных рэлеевских замираний. Подставив в (5.79) выражение для вероятности ошибки (5.53) и плотность вероятности р(μ ) из (5.77), получим

Интегрирование по частям дает следующий результат:

(5.80)

                                                                                                          (5.80)

При q>>1 имеем приближенную формулу

При некогерентном приеме для систем с активной паузой вероятность ошибки при медленных рэлеевских замираниях определяется путем усреднения (5.71) по μ в соответствии с (5.77)

                                                                                                   (5.81)

График зависимости (5.81) приведен на рис. 5.10. Из сравнения кривых видно, что наличие замираний сигнала значительно снижает помехоустойчивость системы связи.

В случае квазирэлеевских замираний плотность вероятности  определяется обобщенным распределением Рэлея (5.78). Для этого случая полная вероятность ошибки при некогерентном приеме бинарных сигналов в соответствии с (5.78), (5.71) и (5.79) будет

                                                                                            (5.82)

где

При с=0 это выражение переходит в ф-лу (5.81) для рэлеевских замирании.

Канал с квазирэлеевскими замираниями является промежуточным случаем между каналом без замираний и каналом с рэлеевскими замираниями. Графики вероятности ошибки для этого случая на рис. 5.10 будут размещаться между кривыми б и в. При малых значениях с графики будут ближе к кривой в, а при больших — к кривой б.

Естественным методом устранения мультипликативной помехи, в том числе и замираний, является   применение   автоматическойрегулировки усиления (АРУ). При отсутствии аддитивной помехи идеальная система АРУ позволяет полностью устранять мультипликативную помеху. Действие такой системы должно сводиться к умножению сигнала х на , т. е. . При наличии аддитивной помехи  Здесь хотя и получается сигнал постоянной интенсивности, но с флуктуирующей по интенсивности аддитивной помехой.

Рис. 5.10. Зависимость вероятности ошибки в бинарной системе с активной паузой от отношения сигнала к помехе: когерентный прием (а), некогерентный прием (б), некогерентный прием в канале с рэлеев-скими замираниями (в)

Эффективной мерой борьбы с замираниями является разнесенный прием сигналов. Суть его состоит в том, что на приеме переданное сообщение воспроизводится не по одному принятому сигналу, а по двум или нескольким сигналам, несущим одно и то же сообщение. Этими сигналами могут быть сигналы нескольких передатчиков, работающих на различных частотах (разнесение по частоте), или сигналы одного и того же передатчика, принятые на различные антенны, разнесенные по пространству или по поляризации. Возможно также и разнесение по времени (например, повторения передачи).

Обработка нескольких сигналов на приеме в общем случае сводится к суммированию с весом. В частных случаях это может быть простое сложение принятых сигналов или выбор наибольшего из них.

5.8. Оптимальный прием непрерывных сообщений

Определим условия оптимального приема непрерывных сообщений. Пусть сообщение представляет собой некоторое колебание (ut), которое может непрерывно изменяться со временем и принимать любую форму. С такими сообщениями мы встречаемся, например, в телефонии, телевидении, телеметрии.

Для простоты анализа будем считать, что функция u(t) принимает значения в пределах от +1 до -1. Будем также полагать, что передаваемое колебание является периодическим с периодом (это всегда можно допустить, взяв Т достаточно большим) и что спектр этого колебания ограничен частотами от i/T до i/T. При этих условиях функцию u(t) можно представить согласно (2.70) в виде

                                      (5.83)

где —некоторые параметры, определяющие передаваемое колебание и(t), φe(t)—единичные ортогональные функции,

Для передачи по каналу колебание u(t) преобразовывается в сигнал s(u, t). Поскольку колебание (5.83) определяется  параметрами , то сигнал будет зависеть от этих параметров: . Принятый сигнал вследствие наложения помехи ω(t) равен .

Задача заключается в том, чтобы по колебанию x(t) восстановить переданное сообщение u(t) с возможно большей точностью. Как мы уже установили, самое большее, что может сделать приемник на основе анализа принятого сигнала x(t), это вычислить распределение вероятностей P(s/x) для всех возможных реализаций u(t). При передаче непрерывных колебаний функция P(s/x) есть плотность распределения вероятности.

Согласно (5.2) оптимальный приемник вычисляет апостериорное распределение вероятностей P(s/x) и выдает на выходе ту реализацию сообщения u(t), при которой функция P(s/x) будет максимальна. При этом приемник не обязательно должен определять апостериорное распределение вероятностей P(s/x) в явном виде— он должен выдавать на выходе результат, эквивалентный этой функции.

Согласно формуле Байеса (5.3) выражение P(s/x) для рассматриваемого случая можно записать в следующем виде:

                                                                                                        (5.84)

где k — некоторая постоянная, которая может быть вычислена из условия нормировки .

Полагаем, что все возможные сообщения u(t) и соответствующие им сигналы s(u, t) равновероятны, т. е. P(s)=const для всех реализаций u(t), лежащих в интервале (-1, +1). При этом согласно (5.26) и (5.84)

                                                                  (5.85)

Отсюда максимуму апостериорной вероятности P(s/x)  соответствует минимум по u(t) величины

                                                                                                        (5.86)

Таким образом, оптимальный приемник должен воспроизводить сообщение u(t), при котором среднеквадратическое отклонение Δ² имеет минимальное значение. При отсутствии то мех такой приемник воспроизводит сообщение без искажений (без ошибок): x(t)=s(u, t), v(t)=u(t) и Δ²=0, при наличии помех ошибка будет минимальной.

Из выражения (5.86) следует, что операции оптимальной фильтрации и детектирования дают достаточное решение задачи об извлечении максимальной информации из принятого сигнала x(t) относительно переданного сообщения u(t). Структурная схема приемника с, оптимальным фильтром приведена на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Структурная схема оптимального приемника непрерывных сигналов

Теория линейной фильтрации. Колмогорова—Винера для стационарных процессов была рассмотрена в § 4.8. Согласно этой теории коэффициент передачи оптимального фильтра определяется выражением (4.63), а минимальная среднеквадратическая ошибка фильтрации — выражением (4.65). Практическая реализация таких фильтров сопряжена с большими трудностями. А если учесть, что реальные модулированные сигналы не являются стационарными, то задача построения оптимального фильтра на базе лилейной теории становится практически неразрешимой. Недостатком этой теории является и то, что линейный фильтр оптимален для сигнала s(u, t), а не для самого сообщения u(t). Поэтому представляет интерес рассмотреть другие пути построения оптимального приемника непрерывных сообщений.

Запишем выражение (5.85) в другом виде:

             (5.87)

Первый экспоненциальный множитель, не зависящий от и, может быть включен в постоянную k. Второй множитель вообще не представляет операции над x(t), он может быть вынесен в виде отдельного множителя, подобного априорной вероятности во многих случаях этот множитель, равный ехр(-E/N0), где Е — энергия сигнала, также можно включить в постоянную k. Следовательно, выражение (5.87) можно записать

                                                                                                     (5.58)

где                                                                                     (5.89)

Отсюда следует, что при известной априорной вероятности определение апостериорной вероятности сводится к вычислению функции h(u), т. е. к вычислению взаимной корреляции между принятым сигналом x(t) и переданным (ожидаемым) сигналом s(u, t).. Иными словами, корреляционная обработка сигнала является оптимальной.

Функция h(u) легко вычисляется, когда сигнал является полностью известным. Достигается это с помощью коррелятора или согласованного фильтра. Такая ситуация обычно имеет место при передаче дискретных сообщений (§ 5.3).

При передаче непрерывных сообщений сигнал s(u, t) не является полностью известным. Однако мы располагаем некоторой, априорной информацией об этом сигнале. Известны, например, несущая частота, вид модуляции, ширина спектра сигнала и т. п. Недостающую часть информации можно получить в результате наблюдения над принятой реализацией сигнала x(t) за предшествующий промежуток времени. В результате имеется возможность на приеме определить оценку сигнала s(v, t) и вычислить функцию h(v) для этой оценки:

                                                                                                      (5.90)

Функцию h(v) можно вычислить с помощью фильтра с переменными параметрами (рис. 5.12) или схемы следящего коррелятора (рис. 5.1.3). Каждая из этих схем имеет основной информационный канал, на выходе которого получается оценочное значение v(t) передаваемого сообщения u(t), и канал обратной связи, с помощью которого в схеме рис. 5.13

Рис.  5.12.  Структурная    схема              Рис.    5.13.    Структурная

приемника со следящим филь-                схема   следящего   корре-

тром                                                            ляционного приемника

формируется опорный сигнал s(v, t), а в схеме рис. 5.12 производится изменение параметров фильтра. В схеме рис. 5.12 с помощью управляющего элемента (УЭ) изменяют параметры фильтра (СФ) так, чтобы он был согласован с непрерывно изменяющимся ожидаемым сигналом s(t, v). В схеме же рис. 5.1З с помощью УЭ изменяется модулируемый параметр несущего колебания, формируемого генератором Г. При частотной модуляций, например, этим параметром является частота, при времяимпульсной модуляции — временной сдвиг импульсов и т. п. Фильтр нижних частот (ФНЧ),в этой схеме выполняет роль интегратора на интервале наблюдения Т, который связан с максимальной частотой Fm в спектре передаваемого сообщения соотношением Т=1/2Fm.

При различных видах модуляции принцип следящего приема остается тем же. Вид модуляции определяет параметр, за которым должно осуществляться слежение. Схемы следящего приема позволяют практически реализовать помехоустойчивость, близкую к потенциальной, и тем самым, как будет показано в § 9.3, снизить порог помехоустойчивости до его предельного значения.

До сих пор мы предполагали, что амплитуда и фаза несущего колебания сигнала неизменны во времени, а помеха имеет постоянную спектральную плотность . В каналах с переменными параметрами амплитуда и фаза сигнала изменяются во времени. В этом случае схемы рис. 5.12 и рис. 5.13 должны быть дополнены устройством автоматической регулировки уровня сигнала и системой фазовой автоподстройки. При неизвестном значении  или его изменении во времени для осуществления оптимального приема необходимо специальное устройство измерения и выравнивания интенсивности помех. В частности, для сосредоточенных по спектру или во времени помех с резко выраженной интенсивностью, достаточно близкой к оптимальной оказывается схема со стиранием участков спектра или длительности сигнала, пораженных помехой (см. § 8.8).

Таким образом, в общем случае при оптимальном приеме необходимо осуществлять слежение за формой как сигнала, так и помехи. Чем большее число параметров при этом будет учтено, тем выше будет помехоустойчивость. При этом схема приемника должна быть адаптивной.

Оптимальный приемник представляет собой устройство, воспроизводящее переданное сообщение u(t) с наименьшей ошибкой. Так как полезный сигнал s(u, t) зависит от u(t) нелинейно, то оптимальный приемник также должен быть нелинейным устройством (нелинейным фильтром). Примером такого устройства (фильтра) является рассмотренный выше следящий приемник. Таким образом, теорию оптимального приема можно рассматривать как теорию оптимальной нелинейной фильтрации.

Общая теория нелинейной фильтрации охватывает разнообразные и весьма сложные задачи. В настоящее время эта теория разработана лишь для случаев, когда переданное сообщение u(t) представляет собой марковский или нормальный случайный процесс [9].

Вопросы для повторения

1. Что называется помехоустойчивостью связи? Какой приемник называется оптимальным?

2. Что такое симметричный и несимметричный канал; канал с памятью и канал со стиранием?

3. Перечислите основные статистические критерии приема сигналов. Сформулируйте критерий Котельникова.

4. При каких условиях критерий минимального среднего риска совпадает с критерием Котельникова?

5. Как определяется полная вероятность ошибки при передаче дискретных сообщений?

6. Какие схемы приемников реализуют условия оптимального приема?

7. При каких условиях схема оптимального приемника Котельникова  переходит в схему корреляционного приемника?

8. Дайте сравнительную оценку помехоустойчивости связи при различных  видах манипуляции: AM, ЧМ и ФМ.

9. Что называется мультипликативной помехой? Как такую помеху можно свести к эквивалентной аддитивной помехе?

10. Какие виды замираний Вам известны? Поясните причины появления замираний.

11. В чем разница между рэлеевскими и квазирэлеевскими замираниями?

12. Поясните метод вычисления вероятности ошибки при медленных общих замираниях.

13. Сформулируйте условия оптимального приема непрерывных сообщений.

14. Какие трудности возникают при реализации Оптимального приемника непрерывных сигналов?

15. Нарисуйте структурную схему следящего приемника и поясните принцип его работы.

ГЛАВА 10. Помехоустойчивое кодирование, кодеки дискретного канала

10.1. Принципы построения корректирующих кодов

         Повышение требований к скорости и достоверности передачи информации, увеличение протяженности линий связи приводит к необходимости применения специальных мер, уменьшающих вероятность появления ошибок. В настоящее время найден ряд возможностей для решения указанной задачи. Одной из них является применение помехоустойчивого кодирования.

         Под помехоустойчивыми понимаются коды, позволяющие обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие при передаче из-за действия помех. Идея их построения заключается в том, что из N₀ возможных комбинаций длиной n применяется лишь некоторая часть. Пусть их число равно N. Используемые при передаче кодовые комбинации обычно называются разрешенными, а остальные, число которых N₀-N, — запрещенными.

         Поясним способность кода исправлять ошибки. Разобьем множество кодовых комбинаций на N подмножеств M_i, i=1,2,…,N, и каждому подмножеству поставим в соответствие разрешенную кодовую комбинацию B_i. Зададимся следующим правилом приема: если принятая кодовая комбинация попадает в подмножество M_i, то принимается решение в пользу кодовой комбинации B_i. Очевидно, что при таком правиле приема будут исправляться все те ошибки, которые не выводят передаваемую кодовую комбинацию за пределы принадлежащего ей подмножества.

         При построении кода, работающего в режиме декодирования с исправлением ошибок, основной сложностью является разбиение множества запрещенных кодовых комбинаций на N подмножеств и сопоставление их разрешенным кодовым комбинациям. Очевидно, что для уменьшения вероятности ошибочного декодирования в подмножество M_i следует включать те запрещенные кодовые комбинации  , для которых

где P(B_i) — априорная вероятность передачи кодовой комбинации B_i,  — условная вероятность принятия кодовой комбинации  при передаче кодовой комбинации B_i. Таким образом, в подмножество M_i должны входить кодовые комбинации , при приеме которых наиболее вероятной переданной комбинацией является B_i.

         При декодировании по максимуму правдоподобия решение принимается в пользу кодовой комбинации B_i, если вероятность  максимальна. Для симметричного двоичного канала без памяти

Рекомендуемые материалы

              (10.1)

Где р_ош — вероятность искажения символа,  — число разрядов, в которых комбинации  и B_i отличаются друг от друга (расстояние Хэмминга между B_k и B_i). Из (10.1) следует, что при р_ош<1/2 вероятность  монотонно убывает с возрастанием расстояния , принимая максимальное значение для кодовой комбинации B_i, которая отличается от принятой комбинации  в меньшем числе символов. Таким образом, сформулированное правило декодирования соответствует критерию максимума правдоподобия.

10.2. Классификация кодов

Известно большое число помехоустойчивых кодов, которые классифицируются по различным признакам. Прежде всего помехоустойчивые коды можно разделить на два больших класса: блочные и непрерывные. При блочном кодировании последовательность элементарных сообщений источника разбивается на отрезки и каждому отрезку ставится в соответствие определенная последовательность (блок) кодовых символов, называемая обычно кодовой комбинацией. Множество всех кодовых комбинаций, возможных при данном способе блочного кодирования, и есть блочный код.

         Длина блока может быть как постоянной, так и переменной. Соответственно различают равномерные и неравномерные блочные коды. Помехоустойчивые коды являются, как правило, равномерными. Поэтому неравномерные коды в дальнейшем не рассматриваются.

         Блочные коды бывают разделимыми и неразделимыми. К разделимым относятся коды, в которых символы по их назначению могут быть разделены на информационные (символы, несущие информацию о сообщениях) и проверочные. Такие коды обозначаются как (n, k), где n — длина кода, k — число информационных символов. Число комбинаций в коде не превышает 2^k. К неразделимым относятся коды, символы которых нельзя разделить по их назначению на информационные и проверочные. К ним относятся, например, коды с постоянным весом и коды на основе матриц Адамара.

         Среди разделимых кодов различают линейные и нелинейные. К линейным относятся коды, в которых поразрядная сумма по модулю 2 любых двух кодовых слов также является кодовым словом. Линейный код называется систематическим, если первые k символов его любой кодовой комбинации являются информационными, остальные (n-k) символов — проверочными.

         Среди линейных систематических кодов наиболее простым является код (n, n-k), содержащий один проверочный символ, который равен сумме по модулю 2 всех информационных символов. Этот код, называемый кодом с проверкой на четность, позволяет обнаружить все сочетания ошибок нечетной кратности. Вероятность необнаруженной ошибки в первом приближении можно определить как вероятность искажения двух символов:

         Подклассом линейных кодов являются циклические коды. Они характеризуются тем, что все наборы, образованные циклической перестановкой любой кодовой комбинации, являются также кодовыми комбинациями. Это свойство позволяет в значительной степени упростить кодирующее и декодирующее устройства, особенно при обнаружении ошибок и исправлении одиночной ошибки. Примерами циклических кодов являются коды Хэмминга, коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ — коды) и др.

         Непрерывные коды характеризуются тем, что операции кодирования и декодирования производятся над непрерывной последовательностью символов без разбиения ее на блоки. Среди непрерывных наиболее применимы сверточные коды.

10.3. Основные характеристики и корректирующие свойства

 блочных кодов

К числу основных характеристик кода относятся длина кода n, его основание m, мощность N (число разрешенных кодовых комбинаций), полное число кодовых комбинаций N₀, число информационных символов k, число проверочных символов r = n — k, вес кодовой комбинации (число единиц в комбинации), избыточность кода, кодовое расстояние. Из перечисленных характеристик лишь две последние нуждаются в пояснении.

         Избыточность кода в общем случае определяется выражением

или для двоичного кода (m=2) при N=2^k

где величина k/n называется относительной скоростью кода.

         Введем понятие кодового расстояния. Предварительно отметим, что для оценки отличия одной кодовой комбинации от другой можно использовать расстояние Хэмминга d(B_i, B_j), определяемое числом разрядов, в которых одна кодовая комбинация отличается от другой. Для двоичного кода

где b_ik и b_jk —  символы кодовых комбинаций B_i и B_j соответственно, ⊕ — символ суммирования по модулю 2. Наименьшее расстояние Хэмминга для данного кода называется кодовым расстоянием. В дальнейшем его будем обозначать через d.

         Если существует блочный линейный код (n, k), то для него справедливо неравенство

                                      (10.2)

называемое верхней границей Хэмминга, где  означает целую часть числа  .

         Граница Хэмминга (10.2) близка к оптимальной для кодов с большими значениями k/n. Для кодов с малыми значениями k/n более точной является верхняя граница Плоткина:

                               (10.3)

         Можно также показать, что существует блочный линейный код (n, k) с кодовым расстоянием d, для которого справедливо неравенство

                                (10.4)

называемое нижней границей Варшамова — Гильберта.

         Таким образом, границы Хэмминга и Плоткина являются необходимыми условиями существования кода, а граница Варшамова — Гильберта — достаточным.

         Приведенные границы (10.2), (10.3) и (10.4) можно обобщить на недвоичные коды, а границу (10.3) — и на нелинейные.

         Равенство в (10.2) справедливо только для так называемых совершенных кодов. Они исправляют все ошибки кратности [(d-1)/2] и не менее и не исправляют ни одной ошибки кратности  где  — целая часть числа . Следует отметить, что число совершенных кодов невелико. Примером таких кодов являются коды Хэмминга.

         Равенство в (10.3) справедливо только для эквидистантных кодов, в которых расстояние Хэмминга между любыми двумя различными кодовыми комбинациями одно и то же. К ним относятся, например, коды, построенные на основе матриц Адамара.

10.4. Блочные коды. Построение кодеков

10.4.1. Линейные коды

         Из определения следует, что любой линейный код (n, k) можно получить из k  линейно независимых кодовых комбинаций путем их посимвольного суммирования по модулю 2 в различных сочетаниях. Исходные линейно — независимые кодовые комбинации называются базисными.

         Представим базисные кодовые комбинации в виде матрицы

                                (10.5)

         В теории кодирования она называется порождающей. Тогда процесс кодирования заключается в выполнении операции B=AG, где А — вектор размерностью k, соответствующий сообщению, B — вектор размерностью n, соответствующий кодовой комбинации.

         Таким образом, порождающая матрица (10.5) содержит всю необходимую для кодирования информацию. Она должна храниться в памяти кодирующего устройства. Для двоичного кода объем памяти равен двоичных символов. При табличном задании кодирующее устройство должно запомнить  двоичных символов.

         Две порождающие матрицы, которые отличаются друг от друга только порядком расположения столбцов, задают коды, которые имеют одинаковое расстояние Хэмминга между соответствующими кодовыми комбинациями, а следовательно, одинаковые корректирующие способности. Такие коды называются эквивалентными.

         Линейный (n, k) код может быть задан так называемой проверочной матрицей Н размерности . При этом комбинация В принадлежит коду только в том случае, если вектор В ортогонален всем строкам матрицы Н, т.е. если выполняется равенство

                                         (10.6)

где Т — символ транспонирования матрицы.

         Так как (10.6) справедливо для любой кодовой комбинации, то

         Каноническая форма матрицы Н имеет вид

         (10.7)

где Р^Т — подматрица, столбцами которой служат строки подматрицы Р (10.5),   I — единичная  подматрица.

         Подставляя (10.7) в (10.6), можно получить n-k уравнений вида

                 (10.8)

которые называются уравнениями проверки.

         С помощью проверочной матрицы сравнительно легко можно построить с заданным кодовым расстоянием. Это построение основано на следующей теореме: кодовое расстояние линейного (n, k) кода равно d тогда и только тогда, когда любые d-1 столбцов проверочной матрицы этого кода линейно независимы, но некоторые d столбцов проверочной матрицы линейно зависимы.      Заметим, что строки проверочной матрицы линейно независимые. Поэтому проверочную матрицу можно использовать в качестве порождающей для некоторого другого линейного кода (n, n-k), называемого двойственным.

         Кодирующее устройство для линейного кода (n, k) (рис. 10.1) состоит из k- разрядного сдвигающего регистра и r = n — k блоков сумматоров по модулю 2. Информационные символы одновременно поступают на вход регистра и на выход кодирующего устройства через коммутатор К. С поступлением k-го информационного символа на выходах блоков сумматоров в соответствии с уравнениями (10.8) формируются проверочные символы, которые затем поступают на выход кодера.

         Процесс декодирования сводится к выполнению операции

где S — вектор размерностью (n-k), называемый синдромом,  — вектор принятой кодовой комбинации.

         Если принятая кодовая комбинация  совпадает с одной из разрешенных В (это имеет место тогда, когда — либо ошибки в принятых символах отсутствуют, либо из-за действия помех одна разрешенная комбинация переходит в другую), то

В противном случае , причем вид синдрома зависит только от вектора ошибок е. Действительно

где В — вектор, соответствующий передаваемой кодовой комбинации. При S=0 декодер принимает решение об отсутствии ошибок, а при  — о наличии ошибок. Число различных синдромов, соответствующих различным сочетаниям ошибок, равно 2^n—k-1. По конкретному виду синдрома можно в пределах корректирующей способности кода указать на ошибочные символы и их исправить.

         Декодер линейного кода (рис. 10.2) состоит из k-разрядного сдвигающего регистра, n-k блоков сумматоров по модулю 2, схемы сравнения, анализатора ошибок и корректора. Регистр служит для запоминания информационных символов принятой кодовой последовательности, из которых в блоках сумматоров формируются проверочные символы. Анализатор ошибок по конкретному виду синдрома, получаемого в результате сравнения формируемых на приемной стороне и принятых проверочных символов, определяет места ошибочных символов. Исправление информационных символов производится в корректоре.

Заметим, что в общем случае при декодировании линейного кода с исправлением ошибок в памяти декодера должна храниться таблица соответствий между синдромами и векторами ошибок, содержащая 2^n—k строк. С приходом каждой кодовой комбинации декодер должен перебрать всю таблицу. При небольших значениях n-k эта операция не вызывает затруднений. Однако для высокоэффективных кодов длиной n, равной нескольким десяткам, разность n-k принимает такие значения, что перебор таблицы из 2^n—k строк оказывается практически невозможным. Например, для кода, имеющего кодовое расстояние d = 5, таблица состоит из 2¹² = 4096 строк.

При заданных значениях n и k существует 2^k(n—k) линейных кодов. Задача заключается в выборе наилучшего (с позиции того или иного критерия) кода.

10.4.2. Циклические коды

Циклические коды относятся к классу линейных систематических. Поэтому для их построения в принципе достаточно знать порождающую матрицу.

Можно указать другой способ построения циклических кодов, основанный на представлении кодовых комбинаций многочленами b(x) вида

где b_n-1 b_n-2 … b₀ -кодовая комбинация. Над данными многочленами можно производить все алгебраические действия с учетом того, что сложение здесь осуществляется по модулю 2.

         Каждый циклический код (n, k) характеризуется так называемым порождающим многочленом. Им может быть любой многочлен р(х) степени n-k, который делит без остатка двучлен . Циклические коды характеризуются тем, что многочлены b(х) кодовых комбинаций делятся без остатка на р(х). Поэтому процесс кодирования сводится к отысканию многочлена b(х) по известным многочленам а(х) и р(х), делящегося на р(х), где а(х) — многочлен степени k-1, соответствующий информационной последовательности символов.

         Очевидно, что в качестве многочлена b(х) можно использовать произведение а(х)р(х). Однако при этом информационные и проверочные символы оказываются перемешанными, что затрудняет процесс декодирования. Поэтому на практике в основном применяется следующий метод нахождения многочлена b(x).

         Умножим многочлен а(х) на х^n—k и полученное произведение разделим на р(х). Пусть

                            (10.9)

где m(х) — частное, а с(х) — остаток. Так как операции суммирования и вычитания по модулю 2 совпадают, то выражение (10.9) перепишем в виде

                          (10.10)

Из (10.10) следует, что многочлен  делится на р(х) и, следовательно, является искомым.

         Многочлен a(x)x^n—k имеет следующую структуру: первые n-k членов низшего порядка равны нулю, а коэффициенты остальных совпадают с соответствующими коэффициентами информационного многочлена а(х). Многочлен с(х) имеет степень меньше n-k. Таким образом, в найденном многочлене b(x) коэффициенты при х в степени n-k и выше совпадают с информационными символами, а коэффициенты при остальных членах, определяемых многочленом с(х), совпадают с проверочными символами.

         В соответствии с (10.10) процесс кодирования заключается в умножении многочлена а(х) на x^n—k и нахождении остатка от деления

а(х)х^n—k на р(х) с последующим его сложением по модулю 2 с многочленом

а(х)х^n—k.

         На рис. 10.3. в качестве примера приведена схема кодера для кода (7, 4) с порождающим многочленом . В исходном состоянии ключи К1 и К2 находятся в положении 1. Информационные символы поступают одновременно на вход канала и на выход ячейки х³ сдвигающего регистра (это соответствует умножению многочлена а(х) на х³). В течение четырех тактов происходит деление многочлена а(х)х³ на многочлен . В результате в регистре записывается остаток, представляющий собой проверочные символы. Ключи К1 и К2 перебрасываются в положение 2, и в течение трех последующих тактов содержащиеся в регистре символы поступают в канал.

         Циклический код может быть задан проверочным многочленом h(x): кодовая комбинация В принадлежит данному циклическому коду, если . Проверочный многочлен связан с порождающим отношением

         Задание кода проверочным многочленом эквивалентно заданию кода системой проверочных уравнений (10.8). Характерной особенностью циклического кода является то, что все проверочные уравнения можно получить из одного путем циклического сдвига индексов символов, входящих в исходное уравнение. Так, для кода (7, 4) с порождающим многочленом  проверочный многочлен имеет вид . Проверочные уравнения получаются из условия

         Осуществив умножение и приравняв коэффициенты при х⁴, х⁵ и х⁶ нулю, получим следующие уравнения

                                      (10.11)

В качестве примера на рис.10.4 показана схема кодера циклического кода (7, 4), задаваемого проверочным многочленом  или, что то же самое, проверочными соотношениями (10.11). в исходном состоянии ключ находится в положении 1. В течение четырех тактов импульсы поступают в регистр, после чего ключ переводится в положение 2. При этом обратная связь замыкается. Начиная с пятого такта, формируются проверочные символы в соответствии с (10.11). После седьмого такта все проверочные символы оказываются сформированными, ключ вновь переключается в положение 1. Кодер готов к приему очередного сообщения. Символы кодовой комбинации поступают в канал, начиная с пятого такта.

         Корректирующая способность кода зависит от порождающего многочлена р(х). Поэтому его выбор очень важен при построении циклического кода. Необходимо помнить, что степень порождающего многочлена должна быть равна числу проверочных символов. Кроме того, многочлен р(х) должен делить двучлен .

         Обнаружение ошибок при использовании таких кодов заключается в делении многочлена , соответствующего принятой комбинации , на р(х). Если остаток s(х) оказывается равным нулю, то считается, что ошибки нет, в противном случае фиксируется ошибка.

         Один из алгоритмов исправления ошибок основан на следующих свойствах циклического кода. Пусть имеется циклический код с кодовым расстоянием d, исправляющий все ошибки до кратности  включительно, где   — целая часть числа . Тогда можно показать, что

¨ если исправляемый вектор ошибок искажает только проверочные символы, то вес синдрома будет меньше или равен , а сам синдром будет совпадать с вектором ошибок;

¨ если вектор ошибки искажает хотя бы один информационный символ, то вес синдрома будет больше ;

¨ если s(х) — остаток от деления многочлена b(х) на р(х), то остатком от деления многочлена b(x)xⁱ на р(х) является многочлен s(x)xⁱmodp(x), другими словами, синдром некоторого циклического сдвига многочлена b(х) является соответствующим циклическим сдвигом синдрома исходного многочлена, взятого по модулю р(х).

         Существуют и другие, более универсальные алгоритмы декодирования.

         К циклическим кодам относятся коды Хэмминга, которые являются примерами немногих известных совершенных кодов. Они имеют кодовое расстояние d=3 и исправляют все одиночные ошибки. Длина кода выбирается из условия 2^n—k-1 = n, которое имеет простой смысл: число различных ненулевых синдромов равно числу символов в кодовой последовательности. Так существуют коды Хэмминга (2^r-1, 2^r-r-1), в частности коды (7,4), (15,11), (31,26), (63,57) и т.д.

         Заметим, что ранее использованный многочлен  является порождающим для кода Хэмминга (7,4).

         Среди циклических кодов широкое применение нашли коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ). Можно показать, что для любых целых положительных чисел m и  существует двоичный код БЧХ длины        n = 2^m-1 с кодовым расстоянием , причем число проверочных символов .

         Для кодов БЧХ умеренной длины и ФМ при передаче символов можно добиться значительного выигрыша (4 дБ и более). Он достигается при скоростях . При очень высоких и очень низких скоростях выигрыш от кодирования существенно уменьшается.

10.4.3. Мажоритарные циклические коды

         Иногда целесообразно использовать коды с несколько худшей корректирующей способностью по сравнению с лучшими известными кодами, но простые в реализации. К ним относятся коды, допускающие мажоритарное декодирование. Оно основано на возможности для некоторых циклических кодов выразить каждый информационный символ с помощью Q различных линейных соотношений. Решение о значении символа принимается по большинству значений, даваемых каждым отдельным соотношением. Для исправления всех ошибок до кратности  включительно необходимо иметь  независимых соотношений.

         В некоторой области значений параметров мажоритарные коды имеют корректирующую способность незначительно уступающую корректирующей способности кодов БЧХ. В то же время их реализация сравнительно проста.

         Проиллюстрируем принцип мажоритарного декодирования на примере кода (7.3) с проверочной матрицей

                    (10.12)

         Рассматриваемый код является циклическим с порождающим многочленом . Он имеет кодовое расстояние d = 4.

         Используя матрицу (10.12), можно записать следующие соотношения для символа b₁:

                   (10.13)

         С учетом (10.13) в декодере имеется возможность четырьмя разными способами вычислить первый информационный символ:

                      (10.14)

где  — принятая кодовая комбинация.

         При отсутствии ошибок , т.е. все проверочные соотношения (10.14) дают один и тот же результат. При наличии одного ошибочного символа три проверочных соотношения дают правильное значение, а соотношение, в котором участвует ошибочный символ, дает неверный результат. Принимая решение по большинству, декодер выдает правильный символ b₁.

         Пусть ошибочно приняты два символа. Если они входят в различные проверочные соотношения, то две проверки дадут значение 1, а две проверки — значение 0. В этом случае декодер выдает сигнал отказа от декодирования. Если оба искаженных символа входят в одно проверочное соотношение, то все четыре проверки выдают один и тот же результат. Декодер выдает правильный символ b₁.

         Аналогично определяются остальные информационные символы. Проверочные соотношения для символов  и  получаются из (10.14) циклической перестановкой:

         Схема декодера (рис.10.5) состоит из сдвигающего регистра, сумматоров по модулю 2 и мажоритарного элемента М. Простота ее обусловлена тем, что в данном случае каждый символ кодовой комбинации участвует в одном проверочном соотношении. Код, для которого выполняется это условие, называется кодом с разделенными проверками.

         Мажоритарное декодирование возможно и тогда, когда один и тот же символ участвует в нескольких проверочных соотношениях. Однако алгоритм декодирования усложняется.

10.5. Свёрточные коды

10.5.1. Методы задания сверточных кодов

         Сверточный код — это линейный рекуррентный код. В общем случае он образуется следующим образом. В каждый i-й тактовый момент времени на вход корректирующего устройства поступает k₀ символ сообщения: a_i1a_i2…a_ik0. Выходные символы b_i1b_i2…b_in0 формируются с помощью рекуррентного соотношения из К символов сообщения, поступивших в данный и в предшествующие тактовые моменты времени:

              (10.15)

где  — коэффициенты, принимающие значения 0 или 1.

         Символы сообщения, из которых формируются выходные символы, хранятся в памяти кодирующего устройства. Величина К называется длиной кодового ограничения. Она показывает, на какое максимальное число выходных символов влияет данный информационный символ, и играет ту же роль, что и длина блочного кода. Сверточный код имеет избыточность  и обозначается как ().

Типичные параметры сверточного кода: k₀, n₀ = 1, 2,…, 8; k₀/n₀ = 1/4…7/8; K = 3…10.

         Сверточный код получается систематическим, если в каждый тактовый момент k₀ выходных символов совпадают с символами сообщения. На практике обычно используются несистематические сверточные коды.

         Различают прозрачные и непрозрачные сверточные коды. Первые характеризуются свойством инвариантности по отношению к операции инвертирования кода, которое заключается в следующем: если значения символов на входе кодера поменять на противоположные, то выходная последовательность символов также инвертируется. Соответственно декодированная последовательность символов будет иметь такую же неопределенность в знаке, что и принятая последовательность символов, а следовательно, неопределенность знака последовательности можно устранить после декодирования сверточного кода. Указанное свойство прозрачных кодов особенно важно для СПИ, использующих противоположные фазоманипулированные сигналы, которым свойственно явление обратной работы.

         Для непрозрачного кода неопределенность знака последовательности символов приходится устранять до сверточного декодирования, что приводит к увеличению вероятности ошибок. Нетрудно показать, что сверточный код будет прозрачным, если каждый его порождающий многочлен содержит нечетное число членов.

         Помимо рассмотренного способа задания сверточного кода, возможны и другие. В частности, выходные символы можно рассматривать как свертку импульсной характеристики кодера с информационной последовательностью (отсюда происходит название кода).

10.5.2. Методы декодирования сверточных кодов

         Сверточные коды можно декодировать различными методами. Различают декодирование с вычислением и без вычисления проверочной последовательности.

         Декодирование с вычислением проверочной последовательности применяется только для систематических кодов. По своей сущности оно ничем не отличается от соответствующего метода декодирования блочных кодов. На приемной стороне из принятых информационных символов формируют проверочные символы по тому закону, что и на передающей стороне, которые затем сравнивают с принимаемыми проверочными символами. В результате сравнения формируется проверочная последовательность, которая при отсутствии ошибок состоит из одних нулей. При наличии ошибок на определенных позициях последовательности появляются единичные символы. Закон формирования проверочных символов выбирается таким образом, чтобы по структуре проверочной последовательности можно было определить искаженные символы.

         К числу методов декодирования без вычисления проверочной последовательности относятся декодирование по принципу максимума правдоподобия и последовательное декодирование.

         Декодирование по принципу максимума правдоподобия сводится к задаче отождествления принятой последовательности с одной из 2^N возможных, где N — длина информационной последовательности. Решение принимается в пользу той кодовой последовательности, которая в меньшем числе позиций отличается от принятой. Метод применим для любого сверточного кода. Однако при больших значениях N, он практически нереализуем из-за необходимости перебора 2^N возможных кодовых последовательностей. Существенное упрощение процедуры декодирования по максимуму правдоподобия предложил Витерби. Характерной особенностью его метода является то, что на каждом шаге декодирования запоминается только 2^К-1 наиболее правдоподобных путей.

         Алгоритм Витерби обладает рядом преимуществ. При небольших значениях длины кодового ограничения декодирующее устройство оказывается достаточно простым, реализуя в то же время высокую помехоустойчивость. Так, исследования показывают, что применение сверточных кодов с К = 3, 5 и 7 при фиксированной вероятности ошибки р_ош=10^-5 позволяет получить энергетический выигрыш 4…6 дБ по сравнению с системой, использующей ФМ сигналы без кодирования. Важным преимуществом по сравнению с методом последовательного декодирования является фиксация числа вычислительных операций на один декодированный символ. Декодирование по методу Витерби особенно перспективно в каналах с независимыми ошибками.

10.5.3. Реализация алгоритма Витерби

         Декодер Витерби (рис.10.6) состоит из синхронизатора, устройства управления и тактирования, устройства для вычисления метрики ветвей, устройства для обновления и хранения метрик ветвей, устройства для обновления и хранения гипотетических информационных последовательностей и решающего устройства.

Устройство хранения и обновления метрик путей осуществляет сложение метрик ветвей с хранящимися метриками путей, проделывает необходимые сравнение и запоминает новые метрики путей.

         Устройство хранения и обновления гипотетических информационных последовательностей может быть выполнено на сдвигающих регистрах, в каждом из которых хранится полная информационная последовательность символов, соответствующая одному из «выживших» путей. Их число равно числу узлов. После обработки новой ветви регистры обмениваются содержимым в соответствии с тем, какие последовательности «выживают» при сравнении. В последнюю ячейку каждого регистра поступает новый информационный символ, а самый старый символ каждого регистра поступает в выходное решающее устройство.

         Выходное решающее устройство принимает решение о переданных информационных символах. Наилучшие результаты получаются, когда в качестве переданного информационного символа берется наиболее старый символ в последовательности с наименьшей метрикой. Иногда используют мажоритарный принцип: за переданный информационный символ выбирается чаще всего встречающийся символ из самых старых символов всех последовательностей.

         Устройство управления и тактирования задает необходимый ритм работы декодера.

10.6. Использование кодов в системах с обратной связью

         Во многих системах кроме основного (прямого) канала, с помощью которого сообщение передается от источника кпотребителю, имеется обратный канал для вспомогательных сообщений, которые позволяют улучшить качество передачи сообщений по прямому каналу.

         Наиболее распространены системы с обратной связью, в которых для обнаружения ошибок применяют избыточные коды. Такие системы называются системами с решающей обратной связью, или системами с переспросом. В качестве кодов часто используют коды с проверкой на четность, простейшие интерактивные коды, циклические коды и др. Они позволяют хорошо обнаруживать ошибки при сравнительно небольшой избыточности и простой аппаратурной реализации.

         Передаваемое сообщение кодируется избыточным кодом. Полученная комбинация передается потребителю и одновременно запоминается в накопителе-повторителе. Принятая последовательность символов декодируется с обнаружением ошибок. Если при этом ошибки не обнаружены, то сообщение поступает потребителю. В противном случае сообщение бракуется и по обратному каналу передается специальный сигнал переспроса. По этому сигналу производится повторная передача забракованной кодовой комбинации, которая извлекается из накопителя-повторителя.

         Можно показать, что если в обратом канале ошибки отсутствуют, то остаточная вероятность ошибочного приема кодовой комбинации

,

где Р_н.о — вероятность необнаруженной ошибки (вероятность того, что переданная кодовая комбинация перешла в другую разрешенную), Р_о.о — вероятность обнаружения ошибки (вероятность того, что вместо переданной кодовой комбинации принята какая-либо запрещенная кодовая комбинация). Вероятности  и  можно найти, если известны свойства канала и задан код.

         Соответственно эквивалентная вероятность ошибки определяется как

,

где k — число информационных символов в кодовой комбинации.

         Среднее число передач одного сообщения

         Хотя обратный канал можно сделать весьма помехоустойчивым (обычно скорость передачи информации в обратном канале значительно меньше, чем в прямом), тем не менее существует конечная вероятность того, что сигнал переспроса будет принят как сигнал подтверждения, и наоборот. В первом случае сообщение не поступает к потребителю, а во втором случае оно поступает дважды.

         Одним из средств борьбы с ошибками в обратном канале, приводящими к потере сообщения, является использование несимметричного правила декодирования, при котором вероятность ошибки приема сигнала переспроса существенно меньше вероятности ошибочного приема сигнала подтверждения. Например, сигнал переспроса передается кодовой комбинацией из n единичных символов, а сигнал подтверждения — комбинацией из n нулей. При приеме кодовой комбинации, содержащей хотя бы одну единицу, решение принимается в пользу сигнала переспроса. Очевидно, что в этом вероятность ошибочного приема сигнала переспроса может быть сделана ничтожно малой.

         Для того чтобы к потребителю не поступали лишние сообщения из-за ошибочного приема сигнала подтверждения, передаваемые кодовые комбинации либо снабжаются номерами, либо дополняются опознавательными символами, по которым можно узнать, передается ли кодовая комбинация в первый раз или она повторяется. При этом принятая повторная комбинация при отсутствии сигнала переспроса стирается и не поступает потребителю. Возможны и другие способы борьбы с такого рода ошибками.

         Системы с решающей обратной связью весьма эффективны в случае каналов с замираниями. При ухудшении состояния канала увеличивается частота переспроса (уменьшается скорость передачи информации), но вероятность ошибочных сообщений, поступающих потребителю, практически не увеличивается. При улучшении состояния канала частота переспроса уменьшается. Таким образом, система как бы автоматически приспосабливается к состоянию канала связи, используя все его возможности в отношении передачи информации.

         Следует заметить, что применение решающей обратной связи, конечно, не увеличивает пропускной способности прямого канала, но позволяет простыми средствами по сравнению с длинными кодами приблизить скорость передачи информации к пропускной способности канала.

10.7. Сигнально-кодовые комбинации

         Как известно, многопозиционные сигналы, такие, как сигналы многократной ФМ, сигналы АФМ, обеспечивают высокую удельную скорость передачи информации (высокую частотную эффективность) при уменьшении энергетической эффективности, а помехоустойчивые коды позволяют повышать энергетическую эффективность при снижении удельной скорости передачи. Сочетание методов многопозиционной модуляции и помехоустойчивого кодирования дает возможность повысить либо энергетическую эффективность без уменьшения частотной, либо частотную эффективность без уменьшения энергетической, а в ряде случаев — оба параметра. Задача заключается в формировании сигнальных последовательностей, которые можно достаточно плотно разместить в многомерном пространстве (для обеспечения высокой частотной эффективности) и в то же время разнести на достаточно большие расстояния (для обеспечения высокой энергетической эффективности). Такие последовательности, построенные на базе помехоустойчивых кодов и многопозиционных сигналов с плотной упаковкой, называют сигнально-кодовыми конструкциями.

         В качестве помехоустойчивого кода обычно используют каскадные, интерактивные и сверточные коды, а в качестве многопозиционных сигналов — сигналы многократной ФМ и сигналы АФМ.

         Для согласования кодека двоичного помехоустойчивого кода и модема многопозиционных сигналов используется манипуляционный код, при котором большему расстоянию по Хэммингу между кодовыми комбинациями соответствует большее расстояние между соответствующими им сигналами. Этому требованию частично удовлетворяет код Грея. Возможны и другие способы такого преобразования.

10.8. Прием кодированных сигналов в целом

         До сих пор предполагалось, что кодовые комбинации принимаются посимвольно, т.е. на приемной стороне вначале выносится решение о каждом символе кодовой комбинации, а затем по совокупности n принятых символов принимается решение о том, какая кодовая комбинация была передана.

         При избыточных кодах такая двухэтапная процедура принятия решения оказывается неоптимальной. Объясняется это тем, что процесс демодуляции является необратимой операцией и может сопровождаться потерей информации. Действительно, после принятия решения о символе ни соответствующий элемент сигнала, ни фактическое значение результата обработки этого символа (значение апостериорной вероятности или функции правдоподобия) в дальнейшем процессе приема (при декодировании) не принимаются во внимание. В то же время их учет мог бы привести к уменьшению вероятности ошибочного декодирования кодовой комбинации.

         Вся информация, содержащаяся в принимаемом сигнале, будет наиболее полно использована, если отказаться от посимвольного приема и демодулировать кодовую комбинацию в целом.

         Можно показать, что при использовании кода с избыточностью помехоустойчивость приема в целом выше помехоустойчивости поэлементного приема с исправлением ошибок, однако уступает помехоустойчивости поэлементного приема с обнаружением ошибок и переспросом по обратному каналу. При использовании кода без избыточности прием в целом не имеет преимуществ по сравнению с поэлементным приемом.

Рекомендуем посмотреть лекцию «11 Аннотирование цикла».

         В общем случае вычислить вероятность ошибочного приема кодовой комбинации трудно. Однако иногда, например, при использовании ортогональных, биортогональных и симплексных кодов, эту вероятность можно вычислить через интегралы, которые можно определить численными методами.

         Недостатком приема в целом является то, что он требует значительно более сложной аппаратуры по сравнению с поэлементным приемом. В частности, для его реализации требуется 2^k корреляторов. Очевидно, что при достаточно эффективном коде (такой код является длинным) прием в целом технически не реализуем. Так, если используется код (n, k) c k=10, то демодулятор, реализующий прием в целом, будет состоять из 1024 корреляторов или согласованных фильтров.

         В связи с трудностями построения оптимального демодулятора для приема в целом большое внимание уделяется алгоритмам приема, которые не используют всю информацию о принятом сигнале, но допускают меньшие потери по сравнению с поэлементным приемом. Такие алгоритмы являются двухэтапными, как и при поэлементном приеме. Однако на первом этапе решение о переданном символе не принимается, а запоминаются значения напряжений на выходах корреляторов или согласованных фильтров, предназначенных для приема различных символов, из которых составляются кодовые комбинации. Такой вид решения  называется «мягким». Как известно, эти напряжения пропорциональны логарифму функций правдоподобия и несут информацию о степени соответствия принятого сигнала тому или иному символу. Их использование при дальнейшей обработке (декодировании) и позволяет получить лучшие результаты по сравнению с поэлементным приемом.

         В реальных системах выходные напряжения обычно квантуются и представляются числами, т.е. вместо оптимального аналогового декодирования по максимуму правдоподобия используют цифровое декодирование. Цифровое декодирование уже при восьми уровнях квантования практически дает те же результаты, что и аналоговое декодирование. В то же время оно значительно проще в реализации.

         Существуют и другие методы приема, занимающие промежуточное положение между поэлементным приемом и приемом в целом, например, прием по наиболее надежным символам. В его основу положен тот факт, что при применении кода с кодовым расстоянием d любую его комбинацию можно декодировать, если «стереть» d-1 символов. Устройство приема состоит из двух решающих схем. Первая из них вычисляет апостериорные вероятности и принимает предварительно решение о переданном символе. Полученная последовательность символов подается на вторую решающую схему, куда также поступает  информация об апостериорных вероятностях. Декодирование выполняется по n-d+1 наиболее надежным (имеющим большие значения апостериорной вероятности) символам.

         Описанный метод дает лучшие результаты, чем поэлементный прием, так как в нем частично используется информация об апостериорных вероятностях, но уступает приему в целом, так как информация о d-1 менее надежных символах не используется.