File ended while scanning use of frac ошибка

The main issue is that you mustn’t have blank lines in an equation environment — or any display-math environment, for that matter.

An additional concern: If you use Times Roman as the text font, you should probably also load a Times Roman math font. The mathptmx and newtxtext/newtxmath packages may be suitable.

documentclass[12pt]{report}
usepackage[doublespacing,nodisplayskipstretch]{setspace}
usepackage{newtxtext,newtxmath} % Times Roman text and math fonts
usepackage[vmargin=3cm, left=4cm, right=2cm]{geometry}
usepackage{graphicx}
usepackage{amsmath,amssymb}

% For tighter spacing around left/right pairs of parentheses:
usepackage{mleftright}  mleftright 

begin{document}
begin{equation} label{eq2}
frac{partial N}{partial t}+frac{partial}{partial x}left(frac{MN}{D}right)
 +frac{partial}{partial y}left(frac{N^2}{D}right)+ gDfrac{partial z}{partial y}
 +frac{tau_{y}}{p}=0
end{equation}

end{document}

I am unable to generate the error message you say you’re getting. I would like to suggest, though, that you rewrite some of the code to use left and right much more sparingly than you do at present. If you compare the LaTeX codes for the first and second groups of equations, you will hopefully agree that the second group’s code is much simpler and easier to read.

A separate comment: The IEEEeqnarray environment is extremely powerful and flexible. However, at present you don’t really seem to be making use of the package’s machinery. You may therefore wish to look into making use of the simpler align environment, which is provided by the amsmath package. As the second and third groups of equations in the following screenshot demonstrate, the output is identical — though, arguably, the syntax of the align environment is simpler.

documentclass{article}  
usepackage{IEEEtrantools} % for 'IEEEeqnarray' env.
usepackage{geometry,amsmath}
begin{document}

OP's original form
begin{IEEEeqnarray}{rCl}label{key1}
E_{k,k}&=&frac{1}{2}left[mathcal{B}_{x}^{left(eright)}+
    mathcal{B}_{y}^{left(eright)}right]Jleft(J+1right)+
    left(mathcal{B}_{z}^{left(eright)}-frac{1}{2}
    left[mathcal{B}_{x}^{left(eright)}+mathcal{B}_{y}^{left(eright)}
    right]right)kappa^{2}  \
E_{kpm2,k}&=&frac{1}{4}[mathcal{B}_{x}^{(e)}-mathcal{B}_{y}^{(e)}]
    {[J(J+1)-k(kpm1)]times[J(J+1)-k(kpm1)(kpm2)]}^{frac{1}{2}}
end{IEEEeqnarray}

bigskip
Suggested edits
begin{IEEEeqnarray}{rCl}label{key2}
E_{k,k}&=& tfrac{1}{2}
    [mathcal{B}_{x}^{(e)}+mathcal{B}_{y}^{(e)}]J(J+1)
    +bigl( mathcal{B}_{z}^{(e)} -tfrac{1}{2}
    [mathcal{B}_{x}^{(e)}+mathcal{B}_{y}^{(e)}]
    bigr)kappa^{2}  \
E_{kpm2,k}&=& tfrac{1}{4}
    [mathcal{B}_{x}^{(e)}-mathcal{B}_{y}^{(e)}]
    [J(J+1)-k(kpm1)]times
    bigl[J(J+1)-k(kpm1)(kpm2)bigr]^{1/2}
end{IEEEeqnarray}

bigskip
Solution that uses an texttt{align} environment
begin{align}label{key3}
E_{k,k} &= tfrac{1}{2}
    [mathcal{B}_{x}^{(e)}+mathcal{B}_{y}^{(e)}]J(J+1)
    +bigl( mathcal{B}_{z}^{(e)} -tfrac{1}{2}
    [mathcal{B}_{x}^{(e)}+mathcal{B}_{y}^{(e)}]
    bigr)kappa^{2}  \
E_{kpm2,k} &= tfrac{1}{4}
    [mathcal{B}_{x}^{(e)}-mathcal{B}_{y}^{(e)}]
    [J(J+1)-k(kpm1)]times
    bigl[J(J+1)-k(kpm1)(kpm2)bigr]^{1/2}
end{align}
end{document}

Latex Error: File ended while scanning use of frac

Solution:

When marking important points, frac{}, one missing}.

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documentclass[a4paper, 
    pointlessnumbers, 
    %draft,
    parskip=half,
    automark
        ]{scrartcl}

setlength{parindent}{0pt} 

usepackage[a4paper, left=2.2cm, right=2.2cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm,]{geometry}%müsste das Design sein
usepackage{scrpage2}
clearscrheadfoot
pagestyle{scrheadings}

usepackage[ngerman]{babel}


usepackage[pdftex]{graphicx,color}

usepackage[utf8]{inputenc}

usepackage{amssymb,amsmath,amsthm, amsfonts} 
usepackage{latexsym}
usepackage[decimalsymbol=comma]{siunitx} 


usepackage{booktabs}
usepackage{tabulary} 
usepackage[dvipsnames]{xcolor}
usepackage[centerlast,small,sc]{caption}
usepackage{here} 
usepackage{siunitx}
sisetup{per-mode = fraction, locale = DE}

usepackage{titling}

usepackage{subfigure} 
usepackage{float}

usepackage{hyperref}

usepackage{esvect}

%Mathe- Makros
    renewcommand{i}{mathrm{i}}
    newcommand{e}{mathrm{e}}
    newcommand{diff}{mathrm{d}}
    newcommand{figref}[1]{Abb. ref{#1}} 
    newcommand{ImNew}{operatorname{Im}}
    newcommand{ReNew}{operatorname{Re}}
    
    newcommand{xdot}{! , cdot ! ,}
    newcommand{funof}[1]{{color{gray}(#1)}}

%Titelseite

date{Versuchsdurchführung: 23.09.2020}

%Dokument
begin{document}
setcounter{page}{0}
maketitle
thispagestyle{empty} % Keine Seitenzahl auf Titelseite
ofoot{upshapethepage}
begin{center}
text{ Gruppe 3}\
text{Versuchsleiterin: Lena Neuffer}
end{center}

clearpage
%Inhaltsverzeichnis
thispagestyle{empty}
tableofcontents

clearpage
%Hauptdokument
pagenumbering{arabic}
ihead{upshapescriptsize leftmark}
ohead{upshapescriptsize thetitle}
%ifoot{upshape scriptsize}
ofoot{upshapethepage}

section{Einleitung/Versuchsziel}
In diesem Versuch soll die spezifische und absolute Ladung des Elektrons experimentell bestimmt werden. Ersteres mithilfe eines Fadenstrahlrohrs und letzteres durch den Milikanaufbau. Daraus soll dann die Masse des Elektrons berechnet werden.


section{Theoretische Grundlagen}
    subsection{Fadenstrahlrohr}
    Um die spezifische Ladung des Elektrons ( frac{e}{m} ) zu bestimmen, wird ein Fadenstrahlrohr benutzt.
    Ein Fadenstrahlrohr ist ein physikalischer Versuchsaufbau bei dem beschleunigte Elektronen durch die Lorentzkraft innerhalb eines Glaskolben auf eine Kreisbahn gezwungen werden. Dieser ist mit einem Gas gefüllt welches bei Zusammenstoß mit den Elektronen sichtbar leuchtet. Das Magnetfeld wird senkrecht zur Flugrichtung der Elektronen durch ein Helmholtzspulenpaar um den Kolben erzeugt. 
    
    Um die Elektronen zu beschleunigen wird eine Elektronenkanone benutzt, die sich im inneren des Glaskolben befindet. Elektronen treten dabei aus einer Heizspirale aus und werden dann durch  eine Beschleunigungsspannung bis zu einer durchbohrten Anode beschleunigt. Ein Wehneltzylinder fokussiert den Elektronen gleichzeitig bevor dieser die Elektronenkanone verlässt. Da die Bahn der Elektronen senkrecht zum Magnetfeld der Helmholzspulen steht, zwingt die Lorentzkraft die Elektronen auf eine Kreisbahn.

    Die Geschwindigkeit mit der ein Elektron die Elektronenkanone verlässt kann durch gleichsetzten der kinetischen und elektrischen Energie (Energieerhaltungssatz),
    
    begin{equation*}
        W_{el} = W_{kin} 
    end{equation*}

    ermittel werden. Dabei ist (  W_{el} = QU = eU ) und ( W_{kin} = frac{1}{2} m v^2 ).
    Daraus ergibt sich dann durch Umformung
    
    begin{align}
        eU = frac{1}{2} m v^2 nonumber \ nonumber \
        label{eq:equation_v}
        v = sqrt{2Ufrac{e}{m}}.
    end{align}

    Für die Lorentzkraft gilt,
    
    begin{equation*}
        vec{F_L} = e(vec{v} times vec{B}) = e v B cdot sin{alpha},
    end{equation*} 
    
    wobei $alpha$ der Winkel zwischen $vec{v} und vec{B} ist$

    wegen ( vec{v} perp  vec{B} ) folgt,
    -
begin{figure} [H]
includegraphics[width=1linewidth]{EE/4CM.png}
end{figure}

Die Stromstärke im Quadrat ist proportional zur Spannung.\
Mithilfe von Formel (2) lässt sich die spezifische Ladung $frac{e}{m}$ berechnen mit


begin{equation}
frac{e}{m}=frac{2U}{r^2}*frac{1}{A_c^2I^2}.
end{equation}



Wobei die allgemeine Gleichung der Geraden, die die Spannung in Abhängigkeit des Stroms im Quadrat für verschiedene Kreisradien beschreibt, gegeben ist durch 

begin{align*}
U=frac{e}{m}*frac{r^2}{2}A_c^2I^2
end{align*}

hierbei entspricht der Term, den man mit dem Buchstaben a bezeichnet, 

begin{align*}
a=frac{e}{m}*frac{r^2}{2}A_c^2
end{align*}

der Steigung dieser Geraden.
Dieser Term lässt sich nun zu

begin{align*}
frac{e}{m}=frac{2a}{r^2A_c^2}
end{align*}

umformen, mit dem Fehler
begin{align*}
Deltafrac{e}{m}=frac{2*Delta a}{r^2A_c^2}.
end{align*}

Der Fehler der Steigung, also $Delta a$,was in dem Fall der Unsicherheit der Steigung der Geraden enspricht, lässt sich mit der allgemeinen Formel
begin{align}
s_a=pm t* frac{s_y}{sqrt{sum(x_i)^2}}
end{align}

berechnen, wobei 

begin{align}
s_y={sqrt{frac{sum(y_i-ax_i)^2}{n-1}}}
end{align}

und der Studentfaktor t=2 gesetzt wird.
In dieser Rechnung wurde a durch 

begin{align}
a=frac{sum x_i*y_i}{sum (x_i^2)}
end{align}

berechnet, wobei der y-Achsenabschnitt b=0 ist, da die Ausgleichsgerade den Ursprung schneiden soll. Zudem sind die $x_i$ in diesem Fall die $I^2_i$ und die $U_i$ die $y_i$.
$s_y$ bezeichnet das Maß für die Streuung der Messwerte.

Einsetzten der Messwerte in die Formeln liefert für die jeweiligen Radien 3cm,4cm und 5cm
begin{align}
s_{a,3cm}=3,4207=Delta a_{3cm}
end{align}
begin{align}
s_{a,4cm}=32,658=Delta a_{4cm}
end{align}
begin{align}
s_{a,5cm}=3,131=Delta a_{5cm}
end{align}

Somit folgt 

begin{table} [H]
centering
begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    hline