Функция ошибок нормального распределения - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Error function
Plot of the error function
General information
General definition	${displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t}$
Fields of application	Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain
Image
Basic features
Parity	Odd
Specific features
Root	0
Derivative	${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}}$
Antiderivative	${displaystyle int operatorname {erf} z,dz=zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}+C}$
Series definition
Taylor series	${displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}}$

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:^[1]

${displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t.}$

Some authors define without the factor of .^[2]
This integral is a special (non-elementary) sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

{displaystyle operatorname {erfc} z=1-operatorname {erf} z,}

and the imaginary error function (erfi) defined as

{displaystyle operatorname {erfi} z=-ioperatorname {erf} iz,}

where i is the imaginary unit.

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»^[3] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.^[4]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

${displaystyle f(x)=left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}}$

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

${displaystyle left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}int _{p}^{q}e^{-cx^{2}},mathrm {d} x={tfrac {1}{2}}left(operatorname {erf} left(q{sqrt {c}}right)-operatorname {erf} left(p{sqrt {c}}right)right).}$

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

${displaystyle {begin{aligned}Pr[Xleq L]&={frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {L-mu }{{sqrt {2}}sigma }}\&approx Aexp left(-Bleft({frac {L-mu }{sigma }}right)^{2}right)end{aligned}}}$

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

${displaystyle Pr[Xleq L]leq Aexp(-Bln {k})={frac {A}{k^{B}}}}$

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [L_a, L_b] can be derived as

${displaystyle {begin{aligned}Pr[L_{a}leq Xleq L_{b}]&=int _{L_{a}}^{L_{b}}{frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x\&={frac {1}{2}}left(operatorname {erf} {frac {L_{b}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}-operatorname {erf} {frac {L_{a}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}right).end{aligned}}}$

Properties[edit]

Integrand exp(−z²)

erf z

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e^−t² is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

{displaystyle operatorname {erf} {overline {z}}={overline {operatorname {erf} z}}}

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z²) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»^[5]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions (see Liouville’s theorem), but by expanding the integrand e^−z² into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}-{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}-cdots right)end{aligned}}}$

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }left(zprod _{k=1}^{n}{frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}right)\[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}end{aligned}}}$

because −(2k − 1)z²/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z+{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}+{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}+cdots right)end{aligned}}}$

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}.}$

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

${displaystyle {frac {d}{dz}}operatorname {erfi} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{z^{2}}.}$

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

${displaystyle zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}$

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

${displaystyle zoperatorname {erfi} z-{frac {e^{z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}$

Higher order derivatives are given by

${displaystyle operatorname {erf} ^{(k)}z={frac {2(-1)^{k-1}}{sqrt {pi }}}{mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={frac {2}{sqrt {pi }}}{frac {mathrm {d} ^{k-1}}{mathrm {d} z^{k-1}}}left(e^{-z^{2}}right),qquad k=1,2,dots }$

where H are the physicists’ Hermite polynomials.^[6]

Bürmann series[edit]

An expansion,^[7] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:^[8]

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} x&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left(1-{frac {1}{12}}left(1-e^{-x^{2}}right)-{frac {7}{480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{2}-{frac {5}{896}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{3}-{frac {787}{276480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{4}-cdots right)\[10pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+sum _{k=1}^{infty }c_{k}e^{-kx^{2}}right).end{aligned}}}$

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c₁ = 31/200 and c₂ = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

${displaystyle operatorname {erf} xapprox {frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+{frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}right).}$

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf⁻¹ x satisfying

${displaystyle operatorname {erf} left(operatorname {erf} ^{-1}xright)=x.}$

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series^[9]

${displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}$

where c₀ = 1 and

${displaystyle {begin{aligned}c_{k}&=sum _{m=0}^{k-1}{frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\&=left{1,1,{frac {7}{6}},{frac {127}{90}},{frac {4369}{2520}},{frac {34807}{16200}},ldots right}.end{aligned}}}$

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

${displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z={frac {sqrt {pi }}{2}}left(z+{frac {pi }{12}}z^{3}+{frac {7pi ^{2}}{480}}z^{5}+{frac {127pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{frac {4369pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{frac {34807pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+cdots right).}$

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf⁻¹ z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

${displaystyle operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=operatorname {erf} ^{-1}z.}$

For real x, there is a unique real number erfi⁻¹ x satisfying erfi(erfi⁻¹ x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi⁻¹ x.^[10]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi⁻¹ x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

${displaystyle operatorname {erfi} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}$

where c_k is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}left(1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{frac {1cdot 3cdot 5cdots (2n-1)}{left(2x^{2}right)^{n}}}right)\[6pt]&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}},end{aligned}}}$

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

${displaystyle operatorname {erfc} x={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}}+R_{N}(x)}$

where the remainder is

${displaystyle R_{N}(x):={frac {(-1)^{N}}{sqrt {pi }}}2^{1-2N}{frac {(2N)!}{N!}}int _{x}^{infty }t^{-2N}e^{-t^{2}},mathrm {d} t,}$

which follows easily by induction, writing

${displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}$

and integrating by parts.

The asymptotic behavior of the remainder term, in Landau notation, is

${displaystyle R_{N}(x)=Oleft(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}right)}$

as x → ∞. This can be found by

${displaystyle R_{N}(x)propto int _{x}^{infty }t^{-2N}e^{-t^{2}},mathrm {d} t=e^{-x^{2}}int _{0}^{infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx},mathrm {d} tleq e^{-x^{2}}int _{0}^{infty }x^{-2N}e^{-2tx},mathrm {d} tpropto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:^[11]

${displaystyle operatorname {erfc} z={frac {z}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}{cfrac {1}{z^{2}+{cfrac {a_{1}}{1+{cfrac {a_{2}}{z^{2}+{cfrac {a_{3}}{1+dotsb }}}}}}}},qquad a_{m}={frac {m}{2}}.}$

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

${displaystyle int _{-infty }^{infty }operatorname {erf} left(ax+bright){frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x=operatorname {erf} {frac {amu +b}{sqrt {1+2a^{2}sigma ^{2}}}},qquad a,b,mu ,sigma in mathbb {R} }$

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3^[12] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} z&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{bar {n}}}}\&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}left(1-{frac {1}{2}}{frac {1}{(z^{2}+1)}}+{frac {1}{4}}{frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-cdots right)end{aligned}}}$

converges for Re(z²) > 0. Here

${displaystyle {begin{aligned}Q_{n}&{overset {text{def}}{{}={}}}{frac {1}{Gamma left({frac {1}{2}}right)}}int _{0}^{infty }tau (tau -1)cdots (tau -n+1)tau ^{-{frac {1}{2}}}e^{-tau },dtau \&=sum _{k=0}^{n}left({tfrac {1}{2}}right)^{bar {k}}s(n,k),end{aligned}}}$

zⁿ denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.^[13]^[14]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

${displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:

${displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}right)^{4}}},qquad xgeq 0}$

(maximum error: 5×10⁻⁴)

where a₁ = 0.278393, a₂ = 0.230389, a₃ = 0.000972, a₄ = 0.078108

${displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}},qquad xgeq 0}$

(maximum error: 2.5×10⁻⁵)

where p = 0.47047, a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

${displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{6}x^{6}right)^{16}}},qquad xgeq 0}$

(maximum error: 3×10⁻⁷)

where a₁ = 0.0705230784, a₂ = 0.0422820123, a₃ = 0.0092705272, a₄ = 0.0001520143, a₅ = 0.0002765672, a₆ = 0.0000430638

${displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{5}t^{5}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}}}$

(maximum error: 1.5×10⁻⁷)

where p = 0.3275911, a₁ = 0.254829592, a₂ = −0.284496736, a₃ = 1.421413741, a₄ = −1.453152027, a₅ = 1.061405429

All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).
Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by^[15]

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&leq {tfrac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},&quad x&>0\operatorname {erfc} x&approx {tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-{frac {4}{3}}x^{2}},&quad x&>0.end{aligned}}}$
The above have been generalized to sums of N exponentials^[16] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where

${displaystyle {tilde {Q}}(x)=sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(a_n,b_n)}^N
_{n = 1} that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(a_n,b_n)}^N
_{n = 1} for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.^[17]
A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that

${displaystyle operatorname {erfc} xapprox {frac {left(1-e^{-Ax}right)e^{-x^{2}}}{B{sqrt {pi }}x}}.}$

They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.^[19]
A single-term lower bound is^[20]

${displaystyle operatorname {erfc} xgeq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,quad beta >1,}$

where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.
Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:^[21]^[22]^: 2–3

${displaystyle operatorname {erf} xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-exp left(-x^{2}{frac {{frac {4}{pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}right)}}}$

where

${displaystyle a={frac {8(pi -3)}{3pi (4-pi )}}approx 0.140012.}$

This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.^[23]

This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

${displaystyle operatorname {erf} ^{-1}xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {{sqrt {left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)^{2}-{frac {ln left(1-x^{2}right)}{a}}}}-left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)}}.}$
An approximation with a maximal error of 1.2×10⁻⁷ for any real argument is:^[24]

${displaystyle operatorname {erf} x={begin{cases}1-tau &xgeq 0\tau -1&x<0end{cases}}}$

with

${displaystyle {begin{aligned}tau &=tcdot exp left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}right.\&left.qquad qquad qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}right)end{aligned}}}$

and

${displaystyle t={frac {1}{1+{frac {1}{2}}|x|}}.}$

Table of values[edit]

x	erf x	1 − erf x
0	0	1
0.02	0.022564575	0.977435425
0.04	0.045111106	0.954888894
0.06	0.067621594	0.932378406
0.08	0.090078126	0.909921874
0.1	0.112462916	0.887537084
0.2	0.222702589	0.777297411
0.3	0.328626759	0.671373241
0.4	0.428392355	0.571607645
0.5	0.520499878	0.479500122
0.6	0.603856091	0.396143909
0.7	0.677801194	0.322198806
0.8	0.742100965	0.257899035
0.9	0.796908212	0.203091788
1	0.842700793	0.157299207
1.1	0.880205070	0.119794930
1.2	0.910313978	0.089686022
1.3	0.934007945	0.065992055
1.4	0.952285120	0.047714880
1.5	0.966105146	0.033894854
1.6	0.976348383	0.023651617
1.7	0.983790459	0.016209541
1.8	0.989090502	0.010909498
1.9	0.992790429	0.007209571
2	0.995322265	0.004677735
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0.001862846
2.3	0.998856823	0.001143177
2.4	0.999311486	0.000688514
2.5	0.999593048	0.000406952
3	0.999977910	0.000022090
3.5	0.999999257	0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&=1-operatorname {erf} x\[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{x}^{infty }e^{-t^{2}},mathrm {d} t\[5pt]&=e^{-x^{2}}operatorname {erfcx} x,end{aligned}}}$

which also defines erfcx, the scaled complementary error function^[25] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow^[25]^[26]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:^[27]

${displaystyle operatorname {erfc} (xmid xgeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}$

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:^[28]

${displaystyle operatorname {erfc} (x+ymid x,ygeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}-{frac {y^{2}}{cos ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}$

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} x&=-ioperatorname {erf} ix\[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{t^{2}},mathrm {d} t\[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{x^{2}}D(x),end{aligned}}}$

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow^[25]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

$w(z)=e^{-z^{2}}operatorname {erfc} (-iz)=operatorname {erfcx} (-iz).$

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages^{[citation needed]}, as they differ only by scaling and translation. Indeed,

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

${displaystyle {begin{aligned}Phi (x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{tfrac {-t^{2}}{2}},mathrm {d} t\[6pt]&={frac {1}{2}}left(1+operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}right)\[6pt]&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} left(-{frac {x}{sqrt {2}}}right)end{aligned}}}$

or rearranged for erf and erfc:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} (x)&=2Phi left(x{sqrt {2}}right)-1\[6pt]operatorname {erfc} (x)&=2Phi left(-x{sqrt {2}}right)\&=2left(1-Phi left(x{sqrt {2}}right)right).end{aligned}}}$

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

${displaystyle {begin{aligned}Q(x)&={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}\&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} {frac {x}{sqrt {2}}}.end{aligned}}}$

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

${displaystyle operatorname {probit} (p)=Phi ^{-1}(p)={sqrt {2}}operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{sqrt {2}}operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

${displaystyle operatorname {erf} x={frac {2x}{sqrt {pi }}}Mleft({tfrac {1}{2}},{tfrac {3}{2}},-x^{2}right).}$

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.^{[further explanation needed]}

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

${displaystyle operatorname {erf} x=operatorname {sgn} xcdot Pleft({tfrac {1}{2}},x^{2}right)={frac {operatorname {sgn} x}{sqrt {pi }}}gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}$

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Graph of generalised error functions E_n(x):
grey curve: E₁(x) = 1 − e^−x/√π
red curve: E₂(x) = erf(x)
green curve: E₃(x)
blue curve: E₄(x)
gold curve: E₅(x).

Some authors discuss the more general functions:^{[citation needed]}

${displaystyle E_{n}(x)={frac {n!}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{n}},mathrm {d} t={frac {n!}{sqrt {pi }}}sum _{p=0}^{infty }(-1)^{p}{frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}$

Notable cases are:

E₀(x) is a straight line through the origin: E₀(x) = x/e√π
E₂(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the E_n for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the E_n for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

${displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),qquad x>0.}$

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

${displaystyle operatorname {erf} x=1-{frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}$

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by^[29]

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z&=int _{z}^{infty }operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} zeta ,mathrm {d} zeta \[6pt]operatorname {i} ^{0}!operatorname {erfc} z&=operatorname {erfc} z\operatorname {i} ^{1}!operatorname {erfc} z&=operatorname {ierfc} z={frac {1}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}-zoperatorname {erfc} z\operatorname {i} ^{2}!operatorname {erfc} z&={tfrac {1}{4}}left(operatorname {erfc} z-2zoperatorname {ierfc} zright)\end{aligned}}}$

The general recurrence formula is

${displaystyle 2ncdot operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=operatorname {i} ^{n-2}!operatorname {erfc} z-2zcdot operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} z}$

They have the power series

${displaystyle operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=sum _{j=0}^{infty }{frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!,Gamma left(1+{frac {n-j}{2}}right)}},}$

from which follow the symmetry properties

${displaystyle operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} (-z)=-operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

and

${displaystyle operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} (-z)=operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

In POSIX-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.^[30]

The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.^[31]

As complex function of a complex argument[edit]

libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

References[edit]

^ Andrews, Larry C. (1998). Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press. p. 110. ISBN 9780819426161.
^ Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. p. 341. ISBN 978-0-521-58807-2.
^ Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). «On a class of definite integrals». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294–302. doi:10.1080/14786447108640568. Retrieved 6 December 2017.
^ Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). «On a class of definite integrals. Part II». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (279): 421–436. doi:10.1080/14786447108640600. Retrieved 6 December 2017.
^ «A007680 – OEIS». oeis.org. Retrieved 2 April 2020.
^ Weisstein, Eric W. «Erf». MathWorld.
^ Schöpf, H. M.; Supancic, P. H. (2014). «On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion». The Mathematica Journal. 16. doi:10.3888/tmj.16-11.
^ Weisstein, Eric W. «Bürmann’s Theorem». MathWorld.
^ Dominici, Diego (2006). «Asymptotic analysis of the derivatives of the inverse error function». arXiv:math/0607230.
^ Bergsma, Wicher (2006). «On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence». arXiv:math/0604627.
^ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
^ Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). «A table of integrals of the Error functions». Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 73B (1): 1. doi:10.6028/jres.073B.001.
^ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). «Ueber facultätenreihen». Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German). 4: 390–415.
^ Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (in German). Leipzig: B. G. Teubner. p. 283 Eq. 3. Retrieved 4 December 2017.
^ Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, M.K. (2003). «New Exponential Bounds and Approximations for the Computation of Error Probability in Fading Channels» (PDF). IEEE Transactions on Wireless Communications. 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761. doi:10.1109/TWC.2003.814350.
^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Global minimax approximations and bounds for the Gaussian Q-function by sums of exponentials». IEEE Transactions on Communications. 68 (10): 6514–6524. arXiv:2007.06939. doi:10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID 220514754.
^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]». Zenodo. doi:10.5281/zenodo.4112978.
^ Karagiannidis, G. K.; Lioumpas, A. S. (2007). «An improved approximation for the Gaussian Q-function» (PDF). IEEE Communications Letters. 11 (8): 644–646. doi:10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID 4043576.
^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2021). «Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function». IEEE Communications Letters. 25 (5): 1468–1471. arXiv:2101.07631. doi:10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID 231639206.
^ Chang, Seok-Ho; Cosman, Pamela C.; Milstein, Laurence B. (November 2011). «Chernoff-Type Bounds for the Gaussian Error Function». IEEE Transactions on Communications. 59 (11): 2939–2944. doi:10.1109/TCOMM.2011.072011.100049. S2CID 13636638.
^ Winitzki, Sergei (2003). «Uniform approximations for transcendental functions». Computational Science and Its Applications – ICCSA 2003. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2667. Springer, Berlin. pp. 780–789. doi:10.1007/3-540-44839-X_82. ISBN 978-3-540-40155-1.
^ Zeng, Caibin; Chen, Yang Cuan (2015). «Global Padé approximations of the generalized Mittag-Leffler function and its inverse». Fractional Calculus and Applied Analysis. 18 (6): 1492–1506. arXiv:1310.5592. doi:10.1515/fca-2015-0086. S2CID 118148950. Indeed, Winitzki [32] provided the so-called global Padé approximation
^ Winitzki, Sergei (6 February 2008). «A handy approximation for the error function and its inverse».
^ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 0-521-43064-X), 1992, page 214, Cambridge University Press.
^ ^a ^b ^c Cody, W. J. (March 1993), «Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers» (PDF), ACM Trans. Math. Softw., 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394, doi:10.1145/151271.151273, S2CID 5621105
^ Zaghloul, M. R. (1 March 2007), «On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 375 (3): 1043–1048, Bibcode:2007MNRAS.375.1043Z, doi:10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
^ John W. Craig, A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations Archived 3 April 2012 at the Wayback Machine, Proceedings of the 1991 IEEE Military Communication Conference, vol. 2, pp. 571–575.
^ Behnad, Aydin (2020). «A Novel Extension to Craig’s Q-Function Formula and Its Application in Dual-Branch EGC Performance Analysis». IEEE Transactions on Communications. 68 (7): 4117–4125. doi:10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID 216500014.
^ Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
^ «math.h — mathematical declarations». opengroup.org. 2018. Retrieved 21 April 2023.
^ «Special Functions – GSL 2.7 documentation».

External links[edit]

A Table of Integrals of the Error Functions

Источник

График функции ошибок

В математике функция ошибки (также называемый Функция ошибок Гаусса), часто обозначаемый Эрф, является сложной функцией комплексной переменной, определяемой как:^[1]

${ displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}$

Этот интеграл является специальный (неэлементарный ) и сигмовидный функция, которая часто встречается в вероятность, статистика, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение функции также является действительным.

В статистике при неотрицательных значениях Икс, функция ошибки имеет следующую интерпретацию: для случайная переменная Y это нормально распределенный с иметь в виду 0 и отклонение 1/2, Эрф Икс вероятность того, что Y попадает в диапазон [−Икс, Икс].

Две тесно связанные функции: дополнительная функция ошибок (erfc) определяется как

и функция мнимой ошибки (Эрфи) определяется как

где я это мнимая единица.

имя

Название «функция ошибки» и его сокращение. Эрф были предложены Дж. У. Л. Глейшер в 1871 г. из-за его связи с «теорией вероятностей, и особенно теорией Ошибки.»^[2] Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году.^[3]Для «закона легкости» ошибок, плотность дан кем-то

${ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

(в нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между и в качестве:

${ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) - operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right) .}$

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальное распределение с среднеквадратичное отклонение и ожидаемое значение 0, тогда ${ displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}}}} right)}$ вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между —а и +а, для положительного а. Это полезно, например, при определении частота ошибок по битам цифровой системы связи.

Функции ошибок и дополнительных ошибок встречаются, например, в решениях уравнение теплопроводности когда граничные условия даны Ступенчатая функция Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые верны. с большой вероятностью или с малой вероятностью. Учитывая случайную величину и постоянный L < mu :

${ displaystyle Pr [X leq L] = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} верно)}$

где А и B — определенные числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, т.е. , тогда:

${ Displaystyle Pr [Икс Leq L] Leq A ехр (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}$

так что вероятность стремится к 0 как .

Характеристики

Интегрируем exp (-z²)

эрф (z)

Недвижимость означает, что функция ошибок является нечетная функция. Это напрямую связано с тем, что подынтегральное выражение $е ^ {- т ^ {2}}$ является даже функция.

Для любого комплексное число z:

operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}

где это комплексно сопряженный из z.

Подынтегральное выражение ж = ехр (-z²) и ж = erf (z) показаны в комплексе z-плоскость на рисунках 2 и 3. Уровень Im (ж) = 0 отображается толстой зеленой линией. Отрицательные целые значения Im (ж) показаны толстыми красными линиями. Положительные целочисленные значения Im (ж) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (ж) = constant показаны тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (ж) = constant показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Гауссов интеграл ). На действительной оси erf (z) приближается к единице при z → + ∞ и −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ±я∞.

Серия Тейлор

Функция ошибок — это вся функция; он не имеет особенностей (кроме бесконечности) и его Расширение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] плохая сходимость, если x> 1».^[4]

Определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытая форма с точки зрения элементарные функции, но за счет расширения интегрировать е^−z² в его Серия Маклорена и интегрируя почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3}) } {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} - cdots right)}$

которое справедливо для каждого комплексное число z. Члены знаменателя — это последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

$operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}$

потому что ${ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}}$ выражает множитель, чтобы повернуть k^th член в (k + 1)^ул срок (учитывая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

${ displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1 }} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}$

которое справедливо для каждого комплексное число z.

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}$

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}$

An первообразный функции ошибок, которую можно получить интеграция по частям, является

${ displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}.$

Первообразной функции мнимой ошибки, также получаемой интегрированием по частям, является

${ displaystyle z operatorname {erfi} (z) - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}$

Производные высшего порядка даются формулами

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}$

где физики Полиномы Эрмита.^[5]

Bürmann серии

Расширение,^[6] который сходится быстрее для всех реальных значений Икс чем разложение Тейлора, получается с помощью Ганс Генрих Бюрманн Теорема:^[7]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} - cdots right) [10pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {выровнено }}}$

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая $c_ {1} = { frac {31} {200}}$ и ${ displaystyle c_ {2} = - { frac {341} {8000}},}$ полученное приближение показывает наибольшую относительную ошибку при где меньше чем ${ displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}}$ :

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}$

Обратные функции

Функция обратной ошибки

Учитывая комплексное число z, это не уникальный комплексное число ш удовлетворение , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < Икс < 1, есть уникальный настоящий число обозначено $operatorname {erf} ^ {- 1} (х)$ удовлетворение

${ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}$

В функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (−1,1), и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно расширить на диск |z| < 1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}$

где c₀ = 1 и

$c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200} }, ldots right }.$

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right). }$

(После отмены дроби числителя / знаменателя являются записями OEIS: A092676/OEIS: A092677 в OEIS; без отмены условия в числителе приведены в записи OEIS: A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

За |z| < 1, у нас есть $operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z$ .

В обратная дополнительная функция ошибок определяется как

$operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).$

За настоящий Икс, есть уникальный настоящий количество $operatorname {erfi} ^ {- 1} (х)$ удовлетворение $operatorname {erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x$ . В функция обратной мнимой ошибки определяется как $operatorname {erfi} ^ {- 1} (х)$ .^[8]

Для любого реального Икс, Метод Ньютона можно использовать для вычисления $operatorname {erfi} ^ {- 1} (х)$ , и для сходится следующий ряд Маклорена:

${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}$

где c_k определяется, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезный асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (а, следовательно, и функции ошибок) для больших вещественных Икс является

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} right ] = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}$

где (2п — 1) !! это двойной факториал из (2п — 1), который является произведением всех нечетных чисел до (2п — 1). Этот ряд расходится для каждого конечного Икс, и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого N in N надо

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N -1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}$

где остаток, в Обозначения Ландау, является

${ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}$

так как

Действительно, точное значение остатка равно

${ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}$

что легко следует по индукции, записывая

${ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2t) ^ {- 1} left (e ^ {- t ^ {2}} right) '}$

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x нужны только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc (Икс) (при не слишком больших значениях Икс, приведенное выше разложение Тейлора в 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Непрерывное расширение фракции

А непрерывная дробь расширение дополнительной функции ошибок:^[9]

${ displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}}}} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}$

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}} }} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}}$

Факторный ряд

Обратное факториальный ряд:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1)} ^ { bar {n}}}} & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1 } {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)} } - cdots right) end {выравнивается}}}$

сходится для ${ displaystyle operatorname {Re} (z ^ {2})> 0.}$ Здесь

${ displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- 1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}$

${ Displaystyle г ^ { бар {п}}}$ обозначает возрастающий факториал, и

обозначает подписанный Число Стирлинга первого рода.^[10]^[11]

Представление бесконечной суммой, содержащей двойной факториал:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ { n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} z ^ {2n + 1}}$

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с различной точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности это:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3}) + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad x geq 0}$

(максимальная ошибка: 5 × 10⁻⁴)

где а₁ = 0.278393, а₂ = 0.230389, а₃ = 0.000972, а₄ = 0.078108

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2 }}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}$

(максимальная ошибка: 2,5 × 10⁻⁵)

где п = 0.47047, а₁ = 0.3480242, а₂ = −0.0958798, а₃ = 0.7478556

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0}$

(максимальная ошибка: 3 × 10⁻⁷)

где а₁ = 0.0705230784, а₂ = 0.0422820123, а₃ = 0.0092705272, а₄ = 0.0001520143, а₅ = 0.0002765672, а₆ = 0.0000430638

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}$

(максимальная погрешность: 1,5 × 10⁻⁷)

где п = 0.3275911, а₁ = 0.254829592, а₂ = −0.284496736, а₃ = 1.421413741, а₄ = −1.453152027, а₅ = 1.061405429

Все эти приближения справедливы для Икс ≥ 0. Чтобы использовать эти приближения для отрицательных Икс, используйте тот факт, что erf (x) — нечетная функция, поэтому erf (Икс) = −erf (-Икс).

Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок даются формулами ^[12]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) & leq { frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, qquad x> 0 имя оператора {erfc} (x) & приблизительно { frac {1} {6 }} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x> 0. конец {выровнено}}}$

${ displaystyle { tilde {Q}} (x) = sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}$

В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ что дает минимакс приближение или оценка тесно связанных Q-функция:

{ Displaystyle Q (х) приблизительно { тильда {Q}} (х)}

{ Displaystyle Q (х) leq { тильда {Q}} (х)}

, или

{ Displaystyle Q (х) geq { тильда {Q}} (х)}

за

. Коэффициенты ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ для многих вариаций экспоненциальных приближений и оценок вплоть до

были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных.^[14]

${ displaystyle operatorname {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} x}}.}$

Они определили

{ Displaystyle {А, В } = {1.98,1.135 },}

что дало хорошее приближение для всех

Одноканальная нижняя граница^[16]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, beta> 1,}$

где параметр β можно выбрать, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.

Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:^[17]^[18]^:2–3

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} {) pi}} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} right)}}}$

где

${ displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}$

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и в окрестности бесконечности, а родственник ошибка меньше 0,00035 для всех реальных Икс. Использование альтернативного значения а ≈ 0,147 снижает максимальную относительную погрешность примерно до 0,00013.^[19]

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение обратной функции ошибок:

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right) ^ {2} - { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}$

Полиномиальный

Приближение с максимальной ошибкой $1,2 раз 10 ^ {- 7}$ для любого реального аргумента это:^[20]

{ displaystyle operatorname {erf} (x) = { begin {cases} 1- tau & x geq 0 tau -1 & x <0 end {cases}}}

${ displaystyle { begin {align} tau & = t cdot exp left (-x ^ {2} -1.26551223 + 1.00002368t + 0.37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0.18628806t ^ {4} right. & left. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {align}}}$

$t = { frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.$

Таблица значений

Икс	erf (x)	1-эрф (х)
0	0	1
0.02	0.022564575	0.977435425
0.04	0.045111106	0.954888894
0.06	0.067621594	0.932378406
0.08	0.090078126	0.909921874
0.1	0.112462916	0.887537084
0.2	0.222702589	0.777297411
0.3	0.328626759	0.671373241
0.4	0.428392355	0.571607645
0.5	0.520499878	0.479500122
0.6	0.603856091	0.396143909
0.7	0.677801194	0.322198806
0.8	0.742100965	0.257899035
0.9	0.796908212	0.203091788
1	0.842700793	0.157299207
1.1	0.88020507	0.11979493
1.2	0.910313978	0.089686022
1.3	0.934007945	0.065992055
1.4	0.95228512	0.04771488
1.5	0.966105146	0.033894854
1.6	0.976348383	0.023651617
1.7	0.983790459	0.016209541
1.8	0.989090502	0.010909498
1.9	0.992790429	0.007209571
2	0.995322265	0.004677735
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0.001862846
2.3	0.998856823	0.001143177
2.4	0.999311486	0.000688514
2.5	0.999593048	0.000406952
3	0.99997791	0.00002209
3.5	0.999999257	0.000000743

Дополнительная функция ошибок

В дополнительная функция ошибок, обозначенный , определяется как

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) & = 1- operatorname {erf} (x) [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}} } int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt [5pt] & = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x) , end {align}}}$

который также определяет , то масштабированная дополнительная функция ошибок^[21] (который можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметическое истощение^[21]^[22]). Другая форма для неотрицательных Икс известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя:^[23]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Это выражение действительно только для положительных значений Икс, но его можно использовать вместе с erfc (Икс) = 2 — erfc (-Икс) для получения erfc (Икс) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом:^[24]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Функция мнимой ошибки

В функция мнимой ошибки, обозначенный Эрфи, определяется как

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) & = - i operatorname {erf} (ix) [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}} } int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}$

где D(Икс) это Функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметическое переполнение^[21]).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», реально, когда Икс реально.

Когда функция ошибок оценивается для произвольного сложный аргументы z, результирующий сложная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как Функция Фаддеева:

$w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).$

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок практически идентична стандартной. нормальная кумулятивная функция распределения, обозначаемый Φ, также называемый нормой (Икс) некоторыми языками программного обеспечения^{[нужна цитата ]}, так как они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

${ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right ] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right)}$

или переставил для erf и erfc:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) & = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 operatorname {erfc} (x) & = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {выравнивается} }}

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функция, которая представляет собой хвостовую вероятность стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

${ displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}) } right) = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}$

В обратный из Phi известен как нормальная квантильная функция, или пробит функция и может быть выражена через обратную функцию ошибок как

${ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}$

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок — это частный случай Функция Миттаг-Леффлера, а также может быть выражено как конфлюэнтная гипергеометрическая функция (Функция Куммера):

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2 }}, - x ^ {2} right).}$

Он имеет простое выражение в терминах Интеграл Френеля.^{[требуется дальнейшее объяснение ]}

Что касается регуляризованная гамма-функция P и неполная гамма-функция,

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}$

это функция знака.

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E_п(Икс):
серая кривая: E₁(Икс) = (1 — e^−Икс)/
красная кривая: E₂(Икс) = erf (Икс)
зеленая кривая: E₃(Икс)
синяя кривая: E₄(Икс)
золотая кривая: E₅(Икс).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}$

Известные случаи:

E₀(Икс) — прямая линия, проходящая через начало координат: ${ displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}$
E₂(Икс) — функция ошибок, erf (Икс).

После деления на п!, все E_п для нечетных п похожи (но не идентичны) друг на друга. Точно так же E_п даже для п похожи (но не идентичны) друг на друга после простого деления на п!. Все обобщенные функции ошибок для п > 0 похожи на положительные Икс сторона графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для Икс > 0 с помощью гамма-функция и неполная гамма-функция:

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) - Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), quad quad x> 0.}$

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} верно).}$

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как^[25]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {i ^ {n} erfc} (z) & = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta ) , d zeta operatorname {i ^ {0} erfc} (z) & = operatorname {erfc} (z) OperatorName {i ^ {1} erfc} (z) & = operatorname {ierfc} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc} (z) operatorname {i ^ { 2} erfc} (z) & = { frac {1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] конец {выровнено} }}$

Общая рекуррентная формула

${ displaystyle 2n operatorname {я ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }$

У них есть степенной ряд

${ displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j ! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}$

откуда следуют свойства симметрии

${ displaystyle i ^ {2m} operatorname {erfc} (-z) = - i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}$

${ displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { гидроразрыв {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}$

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

В Posix совместимые операционные системы, заголовок math.h объявляет и математическая библиотека libm обеспечивает функции Эрф и erfc (двойная точность ) а также их одинарная точность и повышенная точность аналоги эрфф, эрфл и erfc, erfcl.^[26]
В Научная библиотека GNU обеспечивает Эрф, erfc, журнал (erf), и масштабированные функции ошибок.^[27]

Как сложная функция сложного аргумента

libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет сложные функции Cerf, Cerfc, Cerfcx и реальные функции Эрфи, erfcx с точностью примерно 13–14 цифр, в зависимости от Функция Фаддеева как реализовано в Пакет МИТ Фаддеева

Смотрите также

Гауссов интеграл, по всей реальной линии
Функция Гаусса, производная
Функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
Интеграл Гудвина – Стэтона

По вероятности

Нормальное распределение
Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
Пробит, обратное или квантильная функция нормального CDF
Q-функция, хвостовая вероятность нормального распределения

дальнейшее чтение

Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. Г-Н 0167642. LCCN 65-12253.
Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88068-8
Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, Г-Н 2723248

внешняя ссылка

MathWorld — Эрф
Таблица интегралов функций ошибок

Источник

График функции

В математике функция ошибок (также называемая Функция ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf, является сложной функцией комплексной определяемой как:

erf ⁡ z = 2 π ∫ 0 ze — t 2 dt. { displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.} ${ displaystyle operatorname {erf} z = { гидроразрыва {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}$

Этот интеграл является особой (не элементарной ) и сигмоидной функцией, которая часто встречается в статистике вероятность, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция имеет интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена с среднее 0 и дисперсия 1/2, erf x — это вероятность того, что Y попадает в диапазон [-x, x].

Две связанные функции: дополнительные функции ошибок (erfc ), определенная как

erfc ⁡ z = 1 — erf ⁡ z, { displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z,}

и функция мнимой ошибки (erfi ), определяемая как

erfi ⁡ z = — i erf ⁡ (iz), { displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}

, где i — мнимая единица.

Содержание

1 Имя
2 Приложения
3 Свойства
- 3.1 Ряд Тейлора
- 3.2 Производная и интеграл
- 3.3 Ряд Бюрмана
- 3.4 Обратные функции
- 3.5 Асимптотическое разложение
- 3.6 Разложение на непрерывную дробь
- 3,7 Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
- 3.8 Факториальный ряд
4 Численные приближения
- 4.1 Аппроксимация с элементарными функциями
- 4.2 Полином
- 4.3 Таблица значений
5 Связанные функции
- 5.1 функция дополнительных ошибок
- 5.2 Функция мнимой ошибки
- 5.3 Кумулятивная функци я распределения на
- 5.4 Обобщенные функции ошибок
- 5.5 Итерированные интегралы дополнительных функций ошибок
6 Реализации
- 6.1 Как действующая функция действительного аргумента
- 6.2 Как комплексная функция комплексного аргумента
7 См. Также
- 7.1 Связанные функции
- 7.2 Вероятность
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Имя

Название «функция ошибки» и его аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшер в 1871 г. по причине его связи с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок плотность задана как

f (x) = (c π) 1 2 e — cx 2 { displaystyle f (x) = left ({ frac {c } { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}} ${ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

(нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p { displaystyle p}и q { displaystyle q}как:

(c π) 1 2 ∫ pqe — cx 2 dx = 1 2 (erf ⁡ (qc) — erf ⁡ (pc)). { displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) — operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right).} ${ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2 }} dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) - operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right).}$

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ { displaystyle sigma} sigma и ожидаемое значение 0, затем erf ⁡ (a σ 2) { displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}) }}} right)} ${ displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}}}}} right)}$ — это вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между −a и + a, для положительного a. Это полезно, например, при определении коэффициента битовых ошибок цифровой системы связи.

Функции и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные ошибки задаются ступенчатой функцией Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения Программу присвоили себе преподавателей, которые получили с высокой вероятностью или с низкой вероятностью. Дана случайная величина X ∼ Norm ⁡ [μ, σ] { displaystyle X sim operatorname {Norm} [ mu, sigma]}и константа L < μ {displaystyle L<mu } L < mu :

Pr [X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ⁡ (L — μ 2 σ) ≈ A ехр (- B (L — μ σ) 2) { Displaystyle Pr [X Leq L] = { frac {1} {2 }} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)} ${ displaystyle Pr [X leq L ] = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma }} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)}$

где A и B — верх числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, то есть μ — L ≥ σ ln ⁡ k { displaystyle mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}}}, то:

Pr [X ≤ L] ≤ A exp ⁡ (- B ln ⁡ k) = A К B { displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}} ${ displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}$

, поэтому становится вероятность 0 при k → ∞ { displaystyle k to infty}.

Свойства

Графики на комплексной плоскости Интегрируем exp (-z) erf (z)

Свойство erf ⁡ (- z) = — erf ⁡ (z) { displaystyle operatorname {erf} (-z) = — operatorname {erf} (z)}означает, что функция является ошибкой нечетной функции. Это связано с тем, что подынтегральное выражение e — t 2 { displaystyle e ^ {- t ^ {2}}} $e ^ {- t ^ {2}}$ является четной функцией.

Для любого комплексное число z:

erf ⁡ (z ¯) = erf ⁡ (z) ¯ { displaystyle operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}}

где z ¯ { displaystyle { overline {z}}}— комплексное сопряжение число z.

Подынтегральное выражение f = exp (−z) и f = erf (z) показано в комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im (f) = 0 показан жирным зеленым цветом. линия. Отрицательные целые значения Im (f) показаны жирными красными линиями. Положительные целые значения Im (f) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (f) = проявляются тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (f) = показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf (z) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i∞.

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x>1».

определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытой форме в терминах элементарных функций, но путем расширения подынтегрального выражения e в его ряд Маклорена и интегрирована почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z — z 3 3 + z 5 10 — z 7 42 + z 9 216 — ⋯) { displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z — { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} — { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} — cdots right)} ${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { (-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {п! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} - cdots right)}$

, которое выполняется для каждого комплексного числа г. Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления нового ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (z ∏ К знак равно 1 N — (2 К — 1) Z 2 К (2 К + 1)) знак равно 2 π ∑ N = 0 ∞ Z 2 N + 1 ∏ К = 1 N — Z 2 К { Displaystyle OperatorName { erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}} $operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}$

потому что что — (2 k — 1) z 2 k (2 k + 1) { displaystyle { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} } ${ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}}$ выражает множитель для превращения члена k в член (k + 1) (рассматривая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:

erfi ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z + z 3 3 + z 5 10 + z 7 42 + z 9 216 + ⋯) { displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)} ${ displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}$

, которое выполняется для любого комплексного числа z.

Производная и интеграл

Производная функция ошибок сразу следует из ее определения:

ddz erf ⁡ (z) = 2 π e — z 2. { displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.} ${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} е ^ {- z ^ {2}}.}$

Отсюда немедленно вычисляется производная функция мнимой ошибки :

ddz erfi ⁡ (z) = 2 π ez 2. { displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi }}} e ^ {z ^ {2}}.} ${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}$

первообразная функции ошибок, которые можно получить посредством интегрирования по частям, составляет

z erf ⁡ (z) + е — z 2 π. { displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.} ${ displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}$

Первообразная мнимой функции ошибок, также можно получить интегрированием по частям:

z erfi ⁡ (z) — ez 2 π. { displaystyle z operatorname {erfi} (z) — { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.} ${ displaystyle z operatorname {erfi} (z) - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}$

Производные высшего порядка задаются как

erf (k) ⁡ (z) = 2 (- 1) k — 1 π H k — 1 (z) e — z 2 = 2 π dk — 1 dzk — 1 (e — z 2), k = 1, 2, … { Displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H} } _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots} ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ { 2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}$

где H { displaystyle { mathit {H}}}— физики многочлены Эрмита.

ряд Бюрмана

Расширение, которое сходится быстрее для всех реальных значений x { displaystyle x}, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

erf ⁡ (x) = 2 π sgn ⁡ (x) 1 — e — x 2 (1 — 1 12 ( 1 — e — x 2) — 7 480 (1 — e — x 2) 2 — 5 896 (1 — e — x 2) 3 — 787 276480 (1 — e — x 2)) 4 — ⋯) знак равно 2 π знак ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + ∑ k = 1 ∞ cke — kx 2). { displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} left (1 — { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) — { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} — { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {3} — { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} — cdots right) \ [10pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {выровнено}} ${ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1 -e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {4} - cdots right) \ [10pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1 -e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {align}}}$

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c 1 = 31 200 { displaystyle c_ {1} = { frac {31} {200}}} $c_ {1} = { frac {31} {200}}$ и c 2 = — 341 8000, { displaystyle c_ {2} = — { frac {341} {8000}},} ${ displayst yle c_ {2} = - { frac {341} {8000}},}$ результирующая аппроксимация дает наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796, { displaystyle x = pm 1,3796,}, где оно меньше 3,6127 ⋅ 10 — 3 { displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}} ${ displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}}$ :

erf ⁡ (x) ≈ 2 π sign ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + 31 200 e — x 2 — 341 8000 e — 2 х 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} — { frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} right).} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}} }} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000 }} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}$

Обратные функции

Обратная функция

Учитывая комплексное число z, не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf ⁡ (w) = z { displaystyle operatorname {erf} (w) = z}, поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x)} $operatorname {erf} ^ {- 1} (х)$ , удовлетворяющего

erf ⁡ (erf — 1 ⁡ ( х)) = х. { displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.} ${ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}$

Обратная функция ошибок обычно определяется с помощью домена (- 1,1), и он ограничен этой областью многих систем компьютерной алгебры. Однако его можно продолжить и на диск | z | < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

erf — 1 ⁡ (z) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ ck 2 k + 1 (π 2 z) 2 k + 1, { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},} ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}$

где c 0 = 1 и

ck = ∑ m = 0 k — 1 cmck — 1 — m (m + 1) (2 m + 1) = {1, 1, 7 6, 127 90, 4369 2520, 34807 16200,…}. { displaystyle c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.} $c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.$

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители были удалены из числителей и знаменателей):

erf — 1 ⁡ (z) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯). { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12} } z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right). } ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320} } z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right).}$

(После отмены дроби числителя / знаменателя характерми OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены членов числителя в записи OEIS : A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

Для | z | < 1, we have erf ⁡ (erf — 1 ⁡ (z)) = z { displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z} $OperatorName {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z$ .

обратная дополнительная функция ошибок определяется как

erfc — 1 ⁡ (1 — z) = erf — 1 ⁡ (z). { displaystyle operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).} $operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).$

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} $имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x)$ удовлетворяет erfi ⁡ (erfi — 1 ⁡ (x)) = x { displaystyle operatorname { erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x} $operatorname {erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x$ . функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} $имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x)$ .

Для любого действительного x, Метод Ньютона можно использовать для вычислений erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} $имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x)$ , а для — 1 ≤ x ≤ 1 { displaystyle -1 leq x leq 1}, сходится следующий ряд Маклорена:

erfi — 1 ⁡ (z) = ∑ k = 0 ∞ (- 1) ККК 2 К + 1 (π 2 Z) 2 К + 1, { Displaystyle OperatorName {erfi} ^ {- 1} (г) = сумма _ {к = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},} ${ displaystyle имя оператора {erfi} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z справа) ^ {2k + 1},}$

, где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезным асимптотическим разложением дополнительные функции (и, следовательно, также и функции ошибок) для больших вещественных x

erfc ⁡ (x) = e — x 2 x π [1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ (2 n — 1) (2 x 2) n] = e — x 2 x π ∑ n = 0 ∞ (- 1) п (2 п — 1)! ! (2 х 2) n, { displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} right] = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( -1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},} ${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ { n}}} right] = { frac {e ^ {-x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}$

где (2n — 1) !! — это двойной факториал числа (2n — 1), которое является произведением всех нечетных чисел до (2n — 1). Этот ряд расходуется для любого конечного x, и его значение как асимптотического разложения состоит в том, что для любого N ∈ N { displaystyle N in mathbb {N}} N in N имеется

erfc ⁡ (Икс) знак равно е — Икс 2 Икс π ∑ N знак равно 0 N — 1 (- 1) N (2 N — 1)! ! (2 х 2) n + RN (x) { displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)} ${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ { - x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N- 1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}$

где остаток в нотации Ландау равен

RN (x) = O (x 1 — 2 N e — x 2) { displaystyle R_ {N} ( x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)} ${ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}$

при x → ∞. { displaystyle x to infty.}

Действительно, точное значение остатка равно

R N (x): = (- 1) N π 2 1 — 2 N (2 N)! N! ∫ Икс ∞ T — 2 N e — T 2 dt, { Displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ { 1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,} ${ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}$

который легко следует по индукции, записывая

e — t 2 = — (2 t) — 1 (e — t 2) ′ { displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = — (2t) ^ {- 1} left (e ^ {- t ^ {2}} right) ‘} ${displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}$

и интегрирование по частям.

Для достаточно больших значений x, только первые несколько этих асимптотических разностей необходимы, чтобы получить хорошее приближение erfc (x) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Расширение непрерывной дроби

A Разложение непрерывной дроби дополнительные функции ошибок:

erfc ⁡ (z) = z π e — z 2 1 z 2 + a 1 1 + a 2 z 2 + a 3 1 + ⋯ am = м 2. { displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+) dotsb}}}}}}}} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.} ${ displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2 } + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}} }} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}$

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

∫ — ∞ ∞ erf ⁡ (ax + б) 1 2 π σ 2 е — (Икс — μ) 2 2 σ 2 dx знак равно erf ⁡ [a μ + b 1 + 2 a 2 σ 2], a, b, μ, σ ∈ R { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b } { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}} ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, му, sigma in mathbb {R}}$

Факториальный ряд

Обратное:

erfc ⁡ z = e — z 2 π z ∑ n = 0 ∞ (- 1) n Q n (z 2 + 1) n ¯ = e — z 2 π z (1 — 1 2 1 (z 2 + 1) + 1 4 1 (z 2 + 1) (z 2 + 2) — ⋯) { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} + 1)} ^ { ba r {n}}}} \ = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left ( 1 — { frac {1} {2}} { frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)}} — cdots right) end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1) } ^ { bar {n}}}} \ = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2 } +1) (z ^ {2} +2)}} - cdots right) end {align}}}$

сходится для Re ⁡ (z 2)>0. { displaystyle operatorname {Re} (z ^ {2})>0.} ${displaystyle operatorname {Re} (z^{2})>0.}$

Здесь

Q n = def 1 Γ (1/2) ∫ 0 ∞ τ (τ — 1) ⋯ ( τ — n + 1) τ — 1/2 е — τ d τ знак равно ∑ К знак равно 0 N (1 2) к ¯ s (n, k), { displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {-1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),} ${ displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def} } {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- 1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}$

zn ¯ { displaystyle z ^ { bar {n}}} ${ displaystyle z ^ { bar {n}}}$ обозначает возрастающий факториал, а s (n, k) { displaystyle s (n, k)}

обозначает знаковое число Стирлинга первого рода.

Представление бесконечной суммой, составляющей двойной факториал :

ERF ⁡ (Z) знак равно 2 π ∑ N знак равно 0 ∞ (- 2) N (2 N — 1)! (2 N + 1)! Z 2 N + 1 { Displaystyle OperatorName {ERF} (г) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( -2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}} ${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { число Пи}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ {n} (2n-1) !!} { (2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}$

Численные приближения

Приближение элементов сарными функциями

Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности они следующие:

erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4) 4, x ≥ 0 { displaystyle имя оператора {erf} (x) приблизительно 1 — { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ { 4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad x geq 0} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- { frac {1 } {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad х geq 0}$

(максимальная ошибка: 5 × 10)

, где a 1 = 0,278393, a 2 = 0,230389, a 3 = 0,000972, a 4 = 0,078108

erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3) e — x 2, t = 1 1 + px, x ≥ 0 { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}$

(максимальная ошибка: 2,5 × 10)

где p = 0,47047, a 1 = 0,3480242, a 2 = -0,0958798, a 3 = 0,7478556

erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a 6 x 6) 16, x ≥ 0 { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 — { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a _ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0}$

(максимальная ошибка: 3 × 10)

, где a 1 = 0,0705230784, a 2 = 0,0422820123, a 3 = 0,0092705272, a 4 = 0,0001520143, a 5 = 0,0002765672, a 6 = 0,0000430638

erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a 5 t 5) e — x 2, t = 1 1 + px { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}$

(максимальная ошибка: 1,5 × 10)

, где p = 0,3275911, a 1 = 0,254829592, a 2 = −0,284496736, a 3 = 1,421413741, a 4 = −1,453152027, a 5 = 1,061405429

Все эти приближения действительны для x ≥ 0 Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x, викорируйте тот факт, что erf (x) — нечетная функция, поэтому erf (x) = −erf (−x).

Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительных функций задаются как

erfc ⁡ (x) ≤ 1 2 e — 2 x 2 + 1 2 e — x 2 ≤ e — x 2, x>0 erfc ⁡ ( х) ≈ 1 6 е — х 2 + 1 2 е — 4 3 х 2, х>0. { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) leq { frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, qquad x>0 \ имя оператора {erfc} (x) приблизительно { frac {1} { 6}} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x>0. end {align}}} ${displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} (x)leq {frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{frac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},qquad x>0 \ operatorname {erfc} (x) приблизительно { frac {1} {6}} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x>0. end {align}}}$

erfc ⁡ (x) ≈ (1 — e — A x) e — x 2 B π х. { displaystyle operatorname {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} x}}.} ${ Displaystyle имя оператора {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi }} x}}.}$

Они определили {A, B} = {1.98, 1.135}, { displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },}

, что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0. { displaystyle x geq 0.}

Одноканальная нижняя граница:

erfc ⁡ (x) ≥ 2 e π β — 1 β е — β Икс 2, Икс ≥ 0, β>1, { Displaystyle OperatorName {erfc} (x) geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, beta>1,} ${displaystyle operatorname {erfc} (x)geq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,beta>1, }$

где параметр β может быть выбран, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.

Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:

erf ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) 1 — exp ⁡ (- x 2 4 π + ax 2 1 + ax 2) { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно Operatorname {sgn} (x) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi) })} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} right)}}} ${ Displaystyle OperatorName {ERF} (х) приблизительно OperatorName {SGN } (х) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi}} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2 }}} right)}}}$

где

a = 8 (π — 3) 3 π (4 — π) ≈ 0, 140012. { displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.} ${ displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}$

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестностях 0 и добавление бесконечности, а относительная погрешность меньше 0,00035 для всех действительных x. Использование альтернативного значения ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для других функций ошибок:

erf — 1 ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2) 2 — ln ⁡ (1 — x 2) a — (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2). { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right) ^ {2} — { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} — left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.} ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} ( x) приблизительно OperatorName {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2}))} {2}} right) ^ {2} - { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a }} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}$

Многочлен

Приближение с максимальной ошибкой 1,2 × 10-7 { displaystyle 1,2 times 10 ^ {- 7}} $1,2 times 10 ^ {- 7}$ для любого действительного аргумента:

erf ⁡ ( x) = {1 — τ x ≥ 0 τ — 1 x < 0 {displaystyle operatorname {erf} (x)={begin{cases}1-tau xgeq 0\tau -1x<0end{cases}}} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { begin {case} 1- tau x geq 0 \ тау -1 x <0 end {cases}}$

τ = t ⋅ exp ⁡ (- x 2 — 1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196 t 2 + 0,09678418 t 3 — 0,18628806 t 4 + 0,27886807 t 5 — 1,13520398 t 6 + 1,48851587 t 7 — 0,82215223 t 8 + 0,17087277 t 9) { displaystyle { begin {align} tau = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} вправо. \ left. qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087 277t ^ {9} right) end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} tau = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ { 2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} right. \ осталось. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1.48851587t ^ {7} - 0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {align}}}$

t = 1 1 + 0,5 | х |. { displaystyle t = { frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.} $t = { frac {1} {1 + 0,5 | х |}}.$

Таблица значений

x	erf(x)	1-erf (x)
0	0	1
0,02	0,022564575	0,977435425
0,04	0,045111106	0,954888894
0,06	0,067621594	0, 932378406
0,08	0.090078126	0,909921874
0,1	0,112462916	0,887537084
0,2	0,222702589	0,777297411
0,3	0,328626759	0,671373241
0, 4	0,428392355	0,571607645
0,5	0,520499878	0,479500122
0,6	0.603856091	0,396143909
0,7	0,677801194	0,322198806
0,8 257>	0,742100965	0,257899035
0,9	0,796908212	0,203091788
1	0,842700793	0, 157299207
1,1	0,88020507	0,11979493
1,2	0,910313978	0,089686022
1,3	0,934007945	0,065992055
1,4	0.95228512	0,04771488
1,5	0, 966105146	0,033894854
1,6	0,976348383	0,023651617
1,7	0,983790459	0,016209541
1,8	0,989090502	0,010909498
1,9	0,992790429	0,007209571
2	0,995322265<25767>	0,00477
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0,001862846
2,3	0,998856823	0,001143177
2,4	0,999311486	0,000688514
2,5	0.999593048	0.000406952
3	0.99997791	0,00002209
3,5	0,999999257	0,000000743

Связанные функции

Дополнительная функция

дополнительная функция ошибок, обозначается erfc { displaystyle mathrm {erfc}}, определяется как

erfc ⁡ (x) = 1 — erf ⁡ (x) = 2 π ∫ x ∞ e — t 2 dt знак равно е — Икс 2 erfcx ⁡ (х), { displaystyle { begin {выровнено} OperatorName {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x) \ [5p t] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x), end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x) \ [5pt ] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x), end {align}}}$

, который также определяет erfcx { displaystyle mathrm {erfcx} }, масштабированная дополнительная функция ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Известна другая форма erfc ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfc} (x)}для неотрицательного x { displaystyle x}как формула Крейга после ее первооткрывателя:

erfc ⁡ (x ∣ x ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 exp ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ) d θ. { displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.} ${ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Это выражение действительно только для положительных значений x, но его можно использовать вместе с erfc (x) = 2 — erfc (−x), чтобы получить erfc (x) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc { displaystyle mathrm {erfc}}суммы двух неотрицательных чисел следующим образом:

erfc ⁡ (x + y ∣ x, y ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 ехр ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ — y 2 cos 2 ⁡ θ) d θ. { displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} — { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.} ${ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Функция мнимой ошибки

мнимой ошибки, обозначаемая erfi, обозначает ошибки как

erfi ⁡ (x) = — i erf ⁡ (ix) Знак равно 2 π ∫ 0 xet 2 dt знак равно 2 π ex 2 D (x), { displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) = — i operatorname {erf} (ix) \ [ 5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) = - i operatorname {erf} (ix) \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2 }} , dt \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}$

где D (x) — функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», erfi ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} (x)}реально, когда x действительно.

Функция Когда ошибки оценивается для произвольных сложных аргументов z, результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

w (z) = e — z 2 erfc ⁡ (- iz) = erfcx ⁡ (- iz). { displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).} $вес (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).$

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существующей стандартной стандартной функции нормального кумулятивного распределения, обозначаемой нормой (x) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

Φ (x) = 1 2 π ∫ — ∞ xe — t 2 2 dt = 1 2 [1 + erf ⁡ (x 2)] = 1 2 erfc ⁡ (- x 2) { displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right)} ${ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x } e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x } { sqrt {2}}} right) right] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} справа)}$

или переставлен для erf и erfc:

erf ⁡ ( x) = 2 Φ (x 2) — 1 erfc ⁡ (x) = 2 Φ (- x 2) = 2 (1 — Φ (x 2)). { displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ operatorname {erfc} (x) = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {выравнивается} }} ${ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ имя оператора {erfc} (x) = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {align}}}$

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией, которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

Q (x) = 1 2 — 1 2 erf ⁡ (x 2) = 1 2 erfc ⁡ (x 2). { displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} — { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}) } right) = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).} ${ displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) = { frac {1 } {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}$

Обратное значение из Φ { displaystyle Phi} Phi известен как функция нормальной квантиля или функция пробит и может быть выражена в терминах обратная функция ошибок как

пробит ⁡ (p) = Φ — 1 (p) = 2 erf — 1 ⁡ (2 p — 1) = — 2 erfc — 1 ⁡ (2 p). { displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = — { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).} ${ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {-1 } (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}$

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибки является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и может также быть выражена как сливающаяся гипергеометрическая функция (функция Куммера):

erf ⁡ (х) знак равно 2 х π M (1 2, 3 2, — х 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2 }}, — x ^ {2} right).} ${ displaystyle operatorname {erf } (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2}}, - x ^ { 2} right).}$

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля.

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполная гамма-функция,

erf ⁡ (x) = sgn ⁡ (x) P (1 2, x 2) = sgn ⁡ (x) π γ (1 2, x 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}$

sgn ⁡ (x) { displaystyle operatorname {sgn} (x)}— знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n (x):. серая кривая: E 1 (x) = (1 — e) /

π { displaystyle scriptstyle { sqrt { pi}}}

. красная кривая: E 2 (x) = erf (x). зеленая кривая: E 3 (x). синяя кривая: E 4 (x). золотая кривая: E 5 (x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

E n (x) = n! π ∫ 0 Икс е — Т N д т знак равно N! π ∑ п знак равно 0 ∞ (- 1) п Икс N п + 1 (N п + 1) п!. { displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.} ${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi }}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}.}.}.}.}$

Примечательные случаи:

E0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 (x) = xe π { displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}} ${ displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}$
E2(x) — функция, erf (x) ошибки.

После деления на n!, все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n!. Все обобщенные функции ошибок для n>0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x>0 с помощью гамма-функции и неполной гамма-функции :

E n (x) = 1 π Γ (n) (Γ (1 n) — Γ (1 n, xn)), x>0. { displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) — Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), quad quad x>0.} ${displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),quad quad x>0.}$

Следовательно, мы можем определить ошибку функция в терминах неполной гамма-функции:

erf ⁡ (x) = 1 — 1 π Γ (1 2, x 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 — { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).} ${ displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}$

Итерированные интегралы дополнительных функций

Повторные интегралы дополнительные функции ошибок определения как

inerfc ⁡ (z) = ∫ z ∞ in — 1 erfc ⁡ (ζ) d ζ i 0 erfc ⁡ (z) = erfc ⁡ (z) i 1 erfc ⁡ (z) = ierfc ⁡ (z) знак равно 1 π е — z 2 — z erfc ⁡ (z) я 2 erfc ⁡ (z) = 1 4 [erfc ⁡ (z) — 2 z ierfc ⁡ (z)] { displaystyle { begin {align } operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta) , d zeta \ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = operat orname {ierfc} (z) = { frac { 1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} — z operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = { frac {1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] \ end {выровнено}} ${ displaystyle { begin {align} operatorname { i ^ {n} erfc} (z) = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta) , d zeta \ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = operatorname {ierfc} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = { frac { 1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] \ конец {выровнено}}}$

Общая рекуррентная формула:

2 ninerfc ⁡ (z) = in — 2 erfc ⁡ (z) — 2 цинк — 1 erfc ⁡ (z) { displaystyle 2n operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ { n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z)} ${ displaystyle 2n operatorname {я ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }$

У них есть степенной ряд

в erfc ⁡ (z) = ∑ j = 0 ∞ (- Z) J 2 N — JJ! Γ (1 + N — J 2), { displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ { j}} {2 ^ {nj} j! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},} ${ displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}$

из следуют свойства симметрии

i 2 m ERFC ⁡ (- Z) знак равно — я 2 m ERFC ⁡ (Z) + ∑ Q знак равно 0 мZ 2 д 2 2 (м — д) — 1 (2 д)! (м — д)! { displaystyle i ^ {2m} operatorname {erfc} (-z) = — i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}} ${ displaystyle i ^ {2m} OperatorName {erfc} (-z) = - i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ { 2 (кв.) - 1} (2 кв.)! (Mq)!}}}$

i 2 m + 1 erfc ⁡ (- z) = i 2 m + 1 erfc ⁡ (г) + ∑ ä знак равно 0 ìZ 2 ä + 1 2 2 ( м — д) — 1 (2 д + 1)! (м — д)!. { displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { гидроразрыва {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.} ${ displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}$

Реализации

Как действительная функция вещественного аргумента

В операционных системах, совместимых с Posix, заголовок math.h должен являть, а математическая библиотека libm должна быть функция erf и erfc (двойная точность ), а также их одинарная точность и расширенная точность аналоги erff, erfl и erfc, erfcl.
Библиотека GNU Scientific предоставляет функции erf, erfc, log (erf) и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция комплексного аргумента

libcerf, числовая библиотека C для сложных функций, предоставляет комплексные функции cerf, cerfc, cerfcx и реальные функции erfi, erfcx с точностью 13–14 цифр на основе функции Фаддеева, реализованной в пакете MIT Faddeeva Package

См. также

Связанные ции

интеграл Гаусса, по всей действительной прямой
функция Гаусса, производная
функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
интеграл Гудвина — Стона

по вероятности

Нормальное распределение
Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функций ошибок
Пробит, обратная или квантильная функция нормального CDF
Q-функция, вероятность хвоста нормального распределения

Ссылки

Дополнительная литература

Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Press, William H.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок », Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 88068-8
Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Лозье, Даниэль М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

Внешние ссылки

MathWorld — Erf
Таблица интегралов функций ошибок

Источник

Гипотеза о функции нормальногораспределения случайных ошибок

Пусть
в некотором ряде измерений возможность
промахов устранена, а систематические
ошибки исследованы и полностью исключены.
Тогда разность между результатом
измерения Х_i
и истинным значением измеряемой
величины X₀
равна истинной случайной ошибке
отдельного измерения

(21)

Центральная
предельная теорема Ляпунова утверждает,
если среди членов суммы нет таких,
которые доминируют над всеми остальными,
то сумма бесконечного числа случайных
величин распределена нормально. Теория
ошибок основана на гипотезе, что случайная
ошибка удовлетворяет требованиям этой
теоремы и поэтому распределена нормально.
В силу равенства (21) результат отдельного
измерения Х_i
также будет нормально распределенной
случайной величиной.

Нормированная
нормальная функция распределения Гаусса
для генеральной совокупности ¹⁾
результатов ²⁾
измерения Х имеет вид:

(22)

где
е
— основание натуральных логарифмов,
М(Х) — матема-тическое ожидание случайной
величины, равное ее истинному значению,
т.е. М(Х) = Х_о,
σ²
— дисперсия случайной величины, σ —
среднее квадратичное отклонение.

Учитывая,
что
,
а математическое ожидание ошибки,
можно записать распределение истинных
погрешностей:

(23)

Распределения
(22) и (23) имеют одинаковую дисперсию и
отличаются лишь центрами распределения
М(Х)=Х₀
и М(∆Х)=0. График

___________________________________________________________________________

Примечания:
1) Под генеральной совокупностью
подразумевают все множество возможных
значений измерений Х или возможных
значений их погрешностей ∆Х.

2)
Для упрощения расчетов в теории результаты
измерения Х_i
и их ошибки ∆x_io
считают
непрерывными случайными величинами Х
и ∆X.

————————————————————————————————————————

функции
плотности нормального распределения
называется нормальной кривой распределения
или кривой Гаусса.

На
рис.3 приведены графики функции плотности
нормального распределения ошибок,
различающиеся дисперсиями, откуда
видно:

1.
Кривая имеет максимум в точке ∆Х=0.
равный

,
т.е. наивероятнейшим значением случайной
ошибки является нуль.

2.
Кривая Гаусса симметрично убывает в
обе стороны от центра распределения,
асимптотически приближаясь к оси
абсцисс, т.е. ошибка одинаковой величины,
но разного знака встречаются одинаково
часто, причем при увеличении абсолютной
погрешности вероятность ее появления
уменьшается.

3.
Две точки перегиба кривой соответствует
среднеквадратичному отклонению ±σ.
Величина σ определяет форму кривой. С
увеличением σ (ухудшением качества
измерений) кривая становится более
пологой и растянутой вдоль оси абсцисс.

Дифференциальная
функция нормального распределения
довольно сложна, зависит от σ и неудобна
для вычислений. Поэтому при расчетах
используют нормированную функцию
распределения, в которой случайная
величина выражена в долях среднеквадратичного
отклонения σ.

Действительно,
если ввести новую переменную

(24)

то
нормальные функции распределения
случайных величия с разными М(Х) и D(X)
примут стандартный вид:

(25)

у
которого математическое ожидание равно
нулю, а дисперсия равна единице.

По
имеющимся таблицам значений функции
(25), используя зависимость (24), можно
найти плотность вероятности для любого
значения X.

Соседние файлы в папке МЕХАНИКА

#
23.03.20161.05 Mб117BAZA.XLS
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Нормальное распределение

Время на прочтение
7 мин

Количество просмотров 37K

Автор статьи: Виктория Ляликова

Нормальный закон распределения или закон Гаусса играет важную роль в статистике и занимает особое положение среди других законов. Вспомним как выглядит нормальное распределение

$frac{1}{sigmasqrt{2pi}}e^left(-frac{(x-a)^2)}{2sigma^2}right)$

где a -математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение.

Тестирование данных на нормальность является достаточно частым этапом первичного анализа данных, так как большое количество статистических методов использует тот факт, что данные распределены нормально. Если выборка не подчиняется нормальному закону, тогда предположении о параметрических статистических тестах нарушаются, и должны использоваться непараметрические методы статистики

Нормальное распределение естественным образом возникает практически везде, где речь идет об измерении с ошибками. Например, координаты точки попадания снаряда, рост, вес человека имеют нормальный закон распределения. Более того, центральная предельная теорема вообще утверждает, что сумма большого числа слагаемых сходится к нормальной случайной величине, не зависимо от того, какое было исходное распределение у выборки. Таким образом, данная теорема устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.

Можно выделить следующие этапы проверки выборочных значений на нормальность

Подсчет основных характеристик выборки. Выборочное среднее, медиана, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Графический. К этому методу относится построение гистограммы и график квантиль-квантиль или кратко QQ
Статистические методы. Данные методы вычисляют статистику по данным и определяют, какая вероятность того, что данные получены из нормального распределения

При нормальном распределении, которое симметрично, значения медианы и выборочного среднего будут одинаковы, значения эксцесса равно 3, а асимметрии равно нулю. Однако ситуация, когда все указанные выборочные характеристики равны именно таким значениям, практически не встречается. Поэтому после этапа подсчета выборочных характеристик можно переходить к графическому представлению выборочных данных.

Гистограмма позволяет представить выборочные данные в графическом виде – в виде столбчатой диаграммы, где данные делятся на заранее определенное количество групп. Вид гистограммы дает наглядное представление функции плотности вероятности некоторой случайной величины, построенной по выборке.

График QQ (квантиль-квантиль) является графиком вероятностей, который представляет собой графический метод сравнения двух распределений путем построения их квантилей. QQ график сравнивает наборы данных теоретических и выборочных (эмпирических) распределений. Если два сравниваемых распределения подобны, тогда точки на графике QQ будут приблизительно лежать на линии y=x. Основным шагом в построении графика QQ является расчет или оценка квантилей.

Существует множество статистических тестов, которые можно использовать для проверки выборочных значений на нормальность. Каждый тест использует разные предположения и рассматривает разные аспекты данных.

Чтобы применять статистические критерии сформулируем задачу. Выдвигаются две гипотезы H0 и H1, которые утверждают

H0 — Выборка подчиняется нормальному закону распределения

H1 — Выборка не подчиняется нормальному распределению

Установи уровень значимости alpha=0,05.

Теперь задача состоит в том, чтобы на основании какого-то критерия отвергнуть или принять основную нулевую гипотезу при уровне значимости

Критерий Шапиро-Уилка

Критерий Шапиро-Уилка основан на отношении оптимальной линейной несмещенной оценки дисперсии к ее обычной оценке методом максимального правдоподобия. Статистика критерия имеет вид

$W=frac{1}{s^2}{sumlimits_{i=1}^n{a_{n-i+1}(x_{n-i+1}-x_{i})}} s^2=sumlimits_{i=1}^n(x_i-overline x^2) overline x=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^n{x}$

Числитель является квадратом оценки среднеквадратического отклонения Ллойда. Коэффициенты ${a_{n-i+1}}$ и критические значения статистики являются табулированными значениями. Если , то нулевая гипотеза нормальности распределения отклоняется на уровне значимости .

В Python функция содержится в библиотеке scipy.stats и возвращает как статистику, рассчитанную тестом, так и значение p. В Python можно использовать выборку до 5000 элементов. Интерпретация вывода осуществляется следующим образом

Если значение , тогда принимается гипотеза H0, в противном случае, т.е. если, , тогда принимается гипотеза H1, т.е. что выборка не подчиняется нормальному закону.

Критерий Д’Агостино

В данном критерии в качестве статистики для проверки нормальности распределения используется отношение оценки Даутона для стандартного отклонения к выборочному стандартному отклонению, оцененному методом максимального правдоподобия

$D=frac{T}{n^2s} T=sumlimits_{i=1}^nbigg(i-frac{n+1}{2}bigg)x_i s^2=sumlimits_{i=1}^n(x_i-overline x^2), {x_1}leq...leq{x_n}$

В качестве статистики критерия Д’Агостино используется величина

$Y=sqrt{n}frac{(D-0,28209479)}{0,02998598}$

значение которой рассчитывается на основе центральной предельной теоремы, которая утверждает, что при

$limlimits_{x to infty}Pbigg(frac{D-M[D]}{sqrt{D[D]}}{<x}bigg)=Phi(x)$

гдестандартная нормальная случайная величина.

Критические значения являются табулированными значениями. Гипотеза нормальности принимается, если значение статистики лежит в интервале критических значений. Данный критерий показывает хорошую мощность против большого спектра альтернатив, по мощности немного уступая критерию Шапиро-Уилка.

В Python функция normaltest() также содержится в библиотеке scipy.stats и возвращает статистику теста и значение p. Интерпретация результата аналогична результатам в критерии Шапиро-Уилка.

Критерий согласия— Пирсона

Данный критерий является одним из наиболее распространенных критериев проверки гипотез о виде закона распределения и позволяет проверить значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Таким образом, данный критерий позволяет проверить гипотезу о принадлежности наблюдаемой выборки некоторому теоретическому закону. Можно сказать, что критерий является универсальным, так как позволяет проверить принадлежность выборочных значений практическому любому закону распределения.

Для решения задачи используется статистика — Пирсона

$G=sumlimits_{k=1}^mfrac{(v_k-np_k)^2}{np_k}$

где — эмпирические частоты (подсчитывается число элементов выборки, попавших в интервал), ${np_k}$ — теоретические частоты. Подсчитывается критическое значение $chi^2_{кр}$ . Если $Ggeq chi^2_{кр}$ , отклоняется гипотеза о принадлежности выборки нормальному распределению и принимается, если $G< chi^2_{кр}$ .

Теперь перейдем к практической части. Для демонстрации функций будем использовать Dataset, взятый с сайта kaggle.com по прогнозированию инсульта по 11 клиническим характеристикам.

Загружаем необходимые библиотеки

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import numpy as np

Загружаем датасет

data_healthcares = pd.read_csv('E:/vika/healthcare-dataset-stroke-data.csv')

Набор состоит из 5110 строк и 12 столбцов.

Посмотрим на основные характеристики, каждого признака.
data_healthcares.describe()

Из данных характеристик можно увидеть, что есть пропущенные значения в показателях индекс массы тела. Посчитаем количество пропущенных значений.

Если бы нам необходимо было делать модель для прогноза, то пропущенные значения bmi являются достаточно большой проблемой, в которой возникает вопрос как их восстановить. Поэтому будем предполагать, что значения столбца bmi (индекс массы тела) подчиняются нормальному закону распределения (предварительно был построен график распределения, поэтому сделано такое предположение). Но так как, на данный момент, у нас нет необходимости в построении модели для прогноза, то удалим все пропущенные значения

new_data=data_healthcares.dropna()

Теперь можем приступать к проверке выборочных значений показателя bmi на нормальность. Вычислим основные выборочные характеристики

Выборочная характеристика	Код в python	Значение характеристики
Выборочное среднее	new_data.bmi.mean()	28,89
Выборочная медиана	new_data.bmi.median()	28,1
Выборочная мода	new_data.bmi.mode()	28,7
Выборочное среднеквадратическое отклонение	new_data.bmi.std()	7.854066729680458
Выборочный коэффициент асиметрии	new_data.bmi.skew()	1.0553402052962928
Выборочный эксцесс	new_data.bmi.kurtosis()	3.362659165623678

После вычислений основных характеристик мы видим, что выборочное среднее и медиана можно сказать принимают одинаковые значения и коэффициент эксцесса равен 3. Но, к сожалению коэффициент асимметрии равен 1, что вводить нас в некоторое замешательство, т.е. мы уже можем предположить, что значения bmi не подчиняются нормальному закону. Продолжим исследования, перейдем к построению графиков.

Строим гистограмму

fig = plt.figure
fig,ax= plt.subplots(figsize=(7,7))
sns.distplot(new_data.bmi,color='red',label='bmi',ax=ax)
plt.show()

Гистограмма достаточно хорошо напоминает нормальное распределение, кроме конечно, небольшого выброса справа, но смотрим дальше. Тут скорее, можно предположить, что значения bmi подчиняются распределению .

Строим QQ график. В python есть отличная функция qqplot(), содержащаяся в библиотеке statsmodel, которая позволяет строить как раз такие графики.

from statsmodels.graphics.gofplots import qqplot
from matplotlib import pyplot
qqplot(new_data.bmi, line=’s’)
Pyplot.show

Что имеем из графика QQ? Наши выборочные значений имеют хвосты слева и справа, и также в правом верхнем углу значения становятся разреженными.

На основе данных графика можно сделать вывод, что значения bmi не подчиняются нормальному закону распределения. Рядом приведен пример QQ графика распределения хи-квадрат с 8 степенями свободы из выборки в 1000 значений.

Для примера построим график QQ для выборки из нормального распределения с такими же показателями стандартного отклонения и среднего, как у bmi.

std=new_data.bmi.std() # вычисляем отклонение
mean=new_data.bmi.mean() #вычисляем среднее
Z=np.random.randn(4909)*std+mean # моделируем нормальное распределение
qqplot(Z,line='s') # строим график
pyplot.show()

Продолжим исследования. Перейдем к статистическим критериям. Будем использовать критерий Шапиро-Уилка и Д’Агостино, чтобы окончательно принять или опровергнуть предположение о нормальном распределении. Для использования критериев подключим библиотеки

from scipy.stats import shapiro
from scipy.stats import normaltest
shapiro(new_data.bmi)
ShapiroResult(statistic=0.9535483717918396, pvalue=6.623218133972133e-37)
Normaltest(new_data.bmi)
NormaltestResult(statistic=1021.1795052962864, pvalue=1.793444363882936e-222)

После применения двух тестов мы имеем, что значение p-value намного меньше заданного критического значения alpha , значит выборочные значения не принадлежат нормальному закону.

Конечно, мы рассмотрели не все тесты на нормальности, которые существуют. Какие можно дать рекомендации по проверке выборочных значений на нормальность. Лучше использовать все возможные варианты, если они уместны.

На этом все. Еще хочу порекомендовать бесплатный вебинар, который 15 июня пройдет на платформе OTUS в рамках запуска курса Математика для Data Science. На вебинаре расскажут про несколько часто используемых подходов в анализе данных, а также разберут, какие математические идеи работают у них под капотом и почему эти подходы вообще работают так, как нам нужно. Регистрация на вебинар доступна по этой ссылке.

Источник

Name[edit]

Applications[edit]

Properties[edit]

Taylor series[edit]

Derivative and integral[edit]

Bürmann series[edit]

Inverse functions[edit]

Asymptotic expansion[edit]

Continued fraction expansion[edit]

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

Factorial series[edit]

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

Table of values[edit]

[edit]

Complementary error function[edit]

Imaginary error function[edit]

Cumulative distribution function[edit]

Generalized error functions[edit]

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

As complex function of a complex argument[edit]

See also[edit]

[edit]

In probability[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

имя

Приложения

Характеристики

Серия Тейлор

Производная и интеграл

Bürmann серии

Обратные функции

Асимптотическое разложение

Непрерывное расширение фракции

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

Факторный ряд

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

Полиномиальный

Таблица значений

Дополнительная функция ошибок

Функция мнимой ошибки

Кумулятивная функция распределения

Обобщенные функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

Как сложная функция сложного аргумента

Смотрите также

По вероятности

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

Содержание

Имя

Приложения

Свойства

Серия Тейлора

Производная и интеграл

ряд Бюрмана

Обратные функции

Асимптотическое разложение

Расширение непрерывной дроби

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

Факториальный ряд

Численные приближения

Приближение элементов сарными функциями

Многочлен

Таблица значений

Связанные функции

Дополнительная функция

Функция мнимой ошибки

Кумулятивная функция распределения

Обобщенные функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительных функций

Реализации