Используя соотношение неопределенностей оценить наименьшие ошибки

Задача 622, Чертов А.Г., Воробьев А.А

622. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки Δp  в определении импульса электрона и протона, если координаты центра масс частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

Download (PDF, 177KB)

Максим 14 декабря, 2013

Posted In: Задача, Квантовая механика, Квантовая физика, Физика, Физика. Воробьев А.А, Чертов А.Г., 1987

Метки: Вариант 1

Решебник по физике Чертова А.Г. 1987г — вариант 2 контрольная 6

Условие

Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки Δv в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

Решение

Примеры решения задач

Задача 1.
Определить энергию фотона, соответствующего
второй линии в первой инфракрасной
серии (серии Пашена) атома водорода.

Решение

Энергия кванта
света, излучаемого атомом водорода при
переходе электрона с одной орбиты на
другую,

где E_i
– энергия ионизации атома водорода (
E_i
=13,6 эВ); n₁
= 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит
электрон;
—
номер орбиты, с которой переходит
электрон (т
— номер спектральной линии в данной
серии).

Для серии Пашена
n₁
= 3, m
= 2, n₂
= n₁
+ m
= 3 + 2 = 5.

Подставив числовые
значения, найдем энергию фотона:

Ответ: 
= 0,97 эВ.

Задача 2.
Электрон, начальной скоростью которого
можно пренебречь, прошел ускоряющую
разность потенциалов U
= 51 В. Найти длину волны де Бройля.

Решение

Длина волны де
Бройля

Дано:

U
= 51 B

m_o
= 9,1 ^.
10^-31
кг

Кл

Кл


-?

где h
– постоянная Планка, т
– масса электрона, V
– скорость. Кинетическая энергия
электрона, прошедшего ускоряющее поле,
равна работе этого поля, т.е.

,

откуда

Тогда

Ответ: 
= 1,71 ^.
10^-10
м.

Примечание.
Для решения задачи необходимо сравнить
кинетическую энергию электрона с его
энергией покоя Е_о.

Таким образом, W_к
<< E_o,
и для решения задачи можно использовать
формулы классической механики.

Если
,
то необходимо учитывать зависимость
массы от скорости и пользоваться
формулами релятивистской механики.

Задача 3.
Кинетическая энергия W_к
электрона в атоме водорода составляет
величину порядка 10 эВ. Используя
соотношение неопределенности, оценить
минимальные линейные размеры атома.

Решение

Соотношение
неопределенности для координаты и
импульса имеет вид

где х
– неопределенность координаты частицы
(в данном случае электрона); р
– неопределенность импульса частицы
(электрона);

— постоянная Планка, деленная на 2.

Из соотношения
неопределенности следует, что чем точнее
определяется положение частицы в
пространстве, тем более неопределенным
становится импульс, а следовательно, и
энергия частицы. Пусть атом имеет
линейные размеры l,
тогда электрон атома будет находиться
где-то в пределах области с неопределенностью

х
= l.

(1)

Соотношение
неопределенности (1) можно записать в
этом случае в виде

.

Откуда

.

Физически разумная
неопределенность импульса р,
во всяком случае, не должна превышать
значения самого импульса р,
т.е.

Импульс р
связан с кинетической энергией W_к
соотношением

Заменим р
значением

( такая замена не увеличит l).
Переходя от неравенства к равенству,
получим

Подставим числовые
значения и произведем вычисления:

Ответ: l_min
= 6,2 ^.
10^-11
м.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.
Исходя из первого постулата Бора, вывести
формулу, определяющую радиус n-й
орбиты электрона в атоме водорода.
Вычислить радиусы первых трех орбит.

Ответ: r₁
= 0,529 ^.
10^-10
м; r₂
= 2,12 ^.
10^-10
м; r₃
= 4,77 ^.
10^-10
м.

Задача 2. Зная
заряд электрона и радиус орбиты,
определить потенциальную, кинетическую
и полную энергии электрона, находящегося
на первой орбите в атоме водорода.

Ответ: W_п
= -27,2 эВ; W_k
= 13,6 эВ; W
= -13,6 эВ.

Задача 3. Определить
длину волны, соответствующую третьей
спектральной линии в серии Бальмера.

Ответ: 
= 4,34 ^.
10^-7
м.

Задача 4. Найти
наибольшую и наименьшую длины волн в
первой инфракрасной серии спектра
водорода (серии Пашена).

Ответ: ₁
= 1,87 ^.
10^-6
м; ₂
= 8,2 ^.
10^-7
м.

Задача 5.
Вычислить энергию фотона, испускаемого
при переходе электрона в атоме водорода
с третьего энергетического уровня на
первый.

Ответ: W
= 12,1 эВ.

Задача 6.
Определить наименьшее и наибольшее
значения энергии фотона в ультрафиолетовой
части спектра водорода (серии Лаймана).

Ответ: W₁
= 10,2 эВ; W₂
= 13,6 эВ.

Задача 7. Атомарный
водород, возбужденный светом с определенной
длиной волны, при переходе в основное
состояние испускает только три
спектральные линии. Определить длины
волн этих линий и указать, каким сериям
они принадлежат.

Ответ: серия Лаймана
₁
= 1,216 ^.
10^-7
м; ₂
= 1,026 ^.
10^-7
м; серия Бальмера 
= 6,563 ^.
10^-7
м.

Задача 8. Фотон
с энергией 16,5 эВ выбил электрон из
невозбужденного атома водорода. Какую
скорость будет иметь электрон вдали от
ядра атома?

Ответ: V
= 10 ⁶
.

Задача 9.
Вычислить длину волны, которую испускает
ион гелия Не⁺
при переходе со второго энергетического
уровня на первый. Сделать такой же
подсчет для иона лития Li
⁺⁺.

Ответ: ₁
= 0,3 ^.
10^-7
м; ₂
= 0,135 ^.
10^-7
м.

Задача 10. Найти
энергию E_i
и потенциал U_i
ионизации ионов Не⁺
и Li⁺⁺.

Ответ: гелий E_i
= 8,64 ^.
10^-18
Дж = 54 эВ; U_i
= 54 В; литий E_i
= = 1,95 ^.
10^-17
Дж = 122 эВ; U_i
= 122 В.

Задача 11.
Вычислить частоты обращения электрона
в атоме водорода на второй и третьей
орбитах. Сравнить эти частоты с частотой
излучения при переходе электрона с
третьей на вторую орбиту.

Ответ: частота
обращения 8,3 ^.
10¹⁴

и 2,4 ^.
10¹⁴
;
частота излучения 4,6 ^.
10¹⁴
.

Задача 12. Атом
водорода в основном состоянии поглотил
квант света с длиной волны 
= 1215
.
Определить радиус электронной орбиты
возбужденного атома водорода.

Ответ: r
= 2,12 ^.
10^-10м.

Задача
13.
Определить первый потенциал возбуждения
атома водорода.

Ответ: U₁
= 10,2 В.

Задача 14.
Найти: 1) радиусы первых трех боровских
электронных орбит в атоме водорода; 2)
скорость электрона на них.

Ответ: r₁
= 0,53 ^.10^-10
м; r₂
= 2,12 ^.
10^-10
м; r₃
= 4,77 ^.
10^-10
м; V₁
= = 2,19 ^.
10 ⁶
;
V₂
= 1,1 ^.
10 ⁶
;
V₃
= 7,3 ^.
10 ⁶
.

Задача 15.
Вычислить кинетическую энергию электрона,
находящегося на п-й
орбите атома водорода. Задачу решить
для п
= 1, 2, 3 и .

Ответ: W₁
= 2,18 ^.
10 ^–18
Дж = 13,6 эВ; W₂
= 5,44 ^.
10^-19
Дж = 3,4 эВ; W₃
= 2,42 ^.
10 ^-19
Дж = 1,51 эВ; W₄
= 0.

Задача 16. Найти:
1) период обращения электрона на первой
боровской орбите в атоме водорода; 2)
его угловую скорость.

Ответ: Т
= 1,43 ^.
10 ^–16с;

= 4,4 ^.
10 ¹⁶
.

Задача 17.
Найти наименьшую и наибольшую длины
волн спектральных линий водорода в
видимой области спектра.

Ответ: ₁
= 3,65 ^.
10 ^–7
м; ₂
= 6,56 ^.
10 ^–7
м.

Задача 18.
1) Найти наибольшую длину волны в
ультрафиолетовой серии спектра водорода.
2) Какую наименьшую скорость должны
иметь электроны, чтобы при возбуждении
атомов водорода ударами электронов
появилась эта линия?

Ответ: 
= 1,21 ^. 10
^–7 м; V
= 1,9 ^.
10 ⁶
.

Задача 19. Определить
потенциал ионизации атома водорода.

Ответ: U_i
=13,6 В.

Задача 20. 1)
Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах)
должны иметь электроны, чтобы при
возбуждении атомов водорода ударами
этих электронов появились все линии
всех серий спектра водорода? 2) Какую
наименьшую скорость должны иметь эти
электроны?

Ответ: V
= 2,2 ^.
10 ⁶
;
W
= 13,6 эВ.

Задача 21.
В каких пределах должна лежать энергия
бомбардирующих электронов, чтобы при
возбуждении атомов водорода ударами
этих электронов спектр водорода имел
только одну спектральную линию?

Ответ:
.

Задача 22.
Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах)
должны иметь электроны, чтобы при
возбуждении атомов водорода ударами
этих электронов спектр водорода имел
три спектральные линии? Найти длины
волн этих линий.

Ответ: W
= 12,1 эВ; ₁
= 1,21 ^.10
^–7 м; ₂
= 1,03 ^.10
^–7 м; ₃
= 6,56 ^.10
^–7 м.

Задача 23. В
каких пределах должны лежать длины волн
монохроматического света, чтобы при
возбуждении атомов водорода квантами
этого света наблюдались три спектральные
линии?

Ответ:
.

Задача 24.
На сколько изменилась кинетическая
энергия электрона в атоме водорода при
излучении атомом фотона с длиной волны
?

Ответ: на 2,56 эВ.

Задача 25.
В каких пределах должны лежать длины
волн монохроматического света, чтобы
при возбуждении атомов водорода квантами
этого света радиус орбиты электрона
увеличился в 9 раз?

Ответ:

Задача 26. Определить
максимальную энергию _max
фотона серии Бальмера в спектре излучения
атомарного водорода.

Ответ: _max
= 3,4 эВ.

Задача 27.
В каких пределах должны лежать длины
волн монохроматического света, чтобы
при возбуждении атома водорода квантами
этого света наблюдались три спектральные
линии?

Ответ:
.

Задача 28.
Определить наибольшее и наименьшее
значения энергии фотона в ультрафиолетовой
серии спектра водорода (серия Лаймана).

Ответ: _min
= 10,2 эВ; _max
= 13,6 эВ.

Задача 29.
Невозбужденный атом водорода поглощает
квант излучения с длиной волны 
= 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией
Бора, радиус электронной орбиты
возбужденного атома водорода.

Ответ: r
= 4,75 ^.
10 ^–10
м.

Задача 30.
Электрон в атоме водорода перешел с
четвертого энергетического уровня на
второй. Определить энергию испущенного
при этом фотона.

Ответ: 
= 2,55 эВ.

Задача 31. Определить
энергию фотона, испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с третьего
энергетического уровня на основной.

Ответ: 
= 12,1 эВ.

Задача 32.
Определить длину волны де Бройля,
характеризующую волновые свойства
электрона, если его скорость равна 1000
.
Сделать такой же подсчет для протона.

Ответ: ₁
= 7,3 ^.
10 ^–10
м; ₂
= 4 ^.
10 ^–13
м.

Задача 33. Электрон
движется со скоростью 200000
.
Определить длину волны де Бройля,
учитывая изменение массы в зависимости
от скорости.

Ответ: 
= 2,7 ^.
10 ^–12
м.

Задача 34. Какую
ускоряющую разность потенциалов должен
пройти электрон, чтобы длина волны де
Бройля была равна 1?

Ответ: U
= 150 В.

Задача 35.
Определить длину волны де бройля
электрона, если его кинетическая энергия
равна 1кэВ.

Ответ: 
= 0,38 ^.
10 ^–10
м.

Задача 36.
Найти длину волны де Бройля для протона,
прошедшего ускоряющую разность
потенциалов в 1 кВ и 1 МВ.

Ответ: ₁=
9,07 ^.
10 ^–13
м; ₂
= 2,86 ^.
10^-14
м.

Задача 37.
Вычислить длину волны де Бройля для
электрона, движущегося по круговой
орбите атома водорода, находящегося в
основном состоянии.

Ответ: 
= 3,3 ^.
10 ^–10
м.

Задача 38. Определить
длину дебройлевской волны электрона,
находящегося на второй орбите в атоме
водорода.

Ответ: 
= 6,7 ^.
10 ^–10
м.

Задача 39.
С какой скоростью движется электрон,
если дебройлевская длина волны электрона
численно равна его комптоновской длине
волны?

Ответ: V
= 2,12 ^.
10 ⁸
.

Задача 40.
Определить длину дебройлевской волны
электронов, бомбардирующих антикатод
рентгеновской трубки, если граница
сплошного спектра рентгеновских лучей
приходится на длину волны
.

Ответ: 
= 0,6 ^.
10
^–10 м.

Задача 41.
Электрон движется по окружности радиусом
0,5 см в однородном магнитном поле с
индукцией 8
^. 10 ^–3
Тл. Определить длину волны де Бройля
электрона.

Ответ: 
= 10 ^–10
м.

Задача 42.
Вычислить длину волны де Бройля для
электрона, прошедшего ускоряющую
разность потенциалов U
= 22,5 В.

Ответ: 
= 2,58 ^. 10
^–10 м.

Задача 43. Вычислить
длину волны де Бройля для протона,
движущегося со скоростью V
= 0,6 с
(с
— скорость света в вакууме).

Ответ: 
= 1,76 ^.
10 ^–15
м.

Задача 44.
На узкую щель шириной 1 мкм направлен
параллельный пучок электронов, имеющих
скорость 3,65 ^.
10 ⁸
.
Учитывая волновые свойства электронов,
определить расстояние между двумя
максимумами первого порядка в дифракционной
картине, полученной на экране, отстоящем
на L
= 10 cм
от щели.

Ответ: х
= 6 ^. 10
^–5м.

Задача 45.
Рассчитать длину волны де Бройля для:
а) электрона, прошедшего ускоряющее
поле с разностью потенциалов 100 В; б)
камня массой 100 г, летящего со скоростью
1
;
в) Земли на своей орбите (М_з
= 6 ^.
10²⁷ кг).
R_з-с
= 1,510¹¹
м. v
=
.

Ответ: а) 
= 10 ^–10
м; б) 
= 6,6 ^.
10
^–33 м; в) 
= 3,6 ^.
10 ^–63
м.

Задача 46.
Получить в общем виде формулу, выражающую
зависимость волны де Бройля от ускоряющего
потенциала для релятивистской частицы.

Задача 47. Какую
ускоряющую разность потенциалов U
должен пройти протон, чтобы дебройлевская
длина волны 
была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?

Ответ: 1) U
= 8,2 ^.
10^-4
В; 2) U
= 820 В.

Задача 48. Определить
длины волн де Бройля -частицы
и протона, прошедших одинаковую ускоряющую
разность потенциалов U
= 1 кВ.

Ответ: ₁
= 3,2 ^. 10
^–13 м; ₂
= 9 ^.
10 ^–13
м.

Задача 49.
Протон обладает кинетической энергией
W_k
= 1 кэВ. Определить величину дополнительной
энергии W
, которую необходимо ему сообщить для
того, чтобы дебройлевская длина волны
уменьшилась в три раза.

Ответ: W
= 8 кэВ.

Задача 50. Определить
длину волны де Бройля для частицы массой
т
= 1 г, движущейся со скоростью V
= 10
.
Нужно ли учитывать в этом случае волновые
свойства частицы? Почему?

Ответ: 
= 6,62 ^.
10 ^–32 м.

Задача 51.
Вычислить длину волны 
де Бройля для электрона, обладающего
кинетической энергией W_k
= 13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода).
Сравнить полученное значение 
с диаметром d
атома водорода (найти отношение
).
Нужно ли учитывать волновые свойства
электрона при изучении движения электрона
в атоме водорода? Диаметр атома водорода
принять равным удвоенному значению
боровского радиуса.

Ответ: 
= 3,3 ^.
10 ^–10
м.

Задача
52.
Вычислить длину волны 
де Бройля для тепловых (Т
= 300 К) нейтронов. Следует ли учитывать
волновые свойства нейтронов при анализе
их взаимодействия с кристаллом? Расстояние
между атомами в кристалле принять равным
0,5 нм (масса нейтрона т_n
= 1,67 ^.
10
^–27
кг).

Ответ: 
= 1,78 ^.
10 ^–10
м.

Задача 53.
Определить неточность в определении
координаты электрона, движущегося в
атоме водорода со скоростью V
= 1,5 ^.
10 ⁶
,
если допускаемая неточность в определении
скорости V
составляет 10 % от ее величины. Сравнить
с диаметром атома водорода и указать,
применимо ли понятие траектории в данном
случае (d

10 ^–10м).

Ответ: х
= 7,7 ^.
10 ^–10
м.

Задача 54.
Определить с помощью соотношения
неопределенностей минимальную
кинетическую энергию W_min
электрона, движущегося внутри сферической
области диаметром d
= 0,1 нм.

Ответ: W_min
= 3,8
эВ.

Задача 55.
Электрон находится в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной «яме» шириной
l
= 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах
наименьшую разность энергетических
уровней электрона.

Ответ: W_min
= 112,5 эВ.

Задача 56*.
Показать, используя соотношение
неопределенностей, что в ядре не могут
находиться электроны. Линейные размеры
ядра принять равными 5 ^.
10 ^–15
м.

Задача 57. Электрон,
неопределенность импульса которого не
превышает 1 %, движется в электронно-лучевой
трубке со скоростью 10 ⁸

.
Можно ли в данном случае рассматривать
электрон как материальную частицу, т.е.
не учитывать его волновые свойства?

Ответ: х
= 0,7 ^.
10 ^–7
м.

Задача 58.
Используя соотношение неопределенностей,
оценить наименьшие ошибки в определении
скорости электрона и протона, если
координаты центра масс этих частиц
могут быть установлены с неопределенностью
1 мкм.

Задача 59.
Электрон с кинетической энергией W
= 15 эВ находится в металлической пылинке
диаметром d
= 1 мкм. Оценить (в процентах) относительную
неточность, с которой может быть
определена скорость электрона.

Ответ: 5 ^.
10 ^–3
%.

Задача 60.
Используя соотношение неопределенностей

,
оценить низший энергетический уровень
электрона в атоме водорода. Принять
линейные размеры атома l

1 ^. 10
^–10 м.

Ответ: 
= 4 эВ.

Задача 61.
Приняв, что минимальная энергия нуклона
в ядре W_min
= 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения
неопределенностей, размеры ядра.

Ответ: d
= 1,44
^.
10 ^–15
м.

Задача 62.
Рассмотрим следующий мысленный
эксперимент. Пусть моноэнергетический
(W
= 10 эВ) пучок электронов падает на щель
шириной а.
Можно считать, что если электрон прошел
через щель, то его координата известна
с неточностью х
= а.
Оценить получаемую при этом относительную
неточность в определении импульса

электрона в двух случаях: а) а
= 1 ^.
10 ^–8
м; б) а
= 1 ^.
10 ^–10
м.

Ответ: а) 0,6 %; б) 60
%.

Задача 63*.
При какой скорости электрона его
дебройлевская длина волны будет равна:
а) 5 ^.
10 ^–7
м; б) 1 ^.
10 ^–10
м? Каким областям спектра электромагнитных
волн соответствуют эти длины волн?

Задача 64. При
движении вдоль оси х
скорость оказывается определенной с
точностью V_x
= 10 ^–2

.
Оценить неопределенность координаты
х:
а) для электрона; б) для броуновской
частицы массой т

10 ^–15
кг; в) для дробинки массой т

10 ^–4
кг.

Задача 65.
Исходя из того, что радиус атома имеет
величину порядка 10 ^–10
м, оценить
скорость движения электрона в атоме
водорода.

Ответ: V

2 ^.
10 ⁶

.

Задача
66.
Положение пылинки массой т

10
^–15
г определено с точностью до 10 ^–6
м. Определить неточность в определении
скорости пылинки.

Задача 67*.
Во сколько раз дебройлевская длина
волны -частицы
меньше неопределенности ее координаты
х,
которая соответствует неопределенности
импульса в 1 %?

Ответ: 16 раз.

Задача 68.
Если допустить, что неопределенность
координаты движущейся частицы равна
дебройлевской длине волны, то какова
будет относительная неточность

импульса этой частицы?

Ответ: 16 %.

Задача 69.
Используя соотношение неопределенностей

,
найти выражение, позволяющее оценить
минимальную энергию W_min
электрона, находящегося в одномерном
потенциальном ящике шириной l
.

Ответ:
.

Задача 70.
Используя соотношение неопределенностей
,
оценить низший энергетический уровень
электрона в атоме водорода. Принять
линейные размеры атома l

.

Ответ: W
= 4 эВ.

Задача 71.
Электронный
пучок ускоряется в электронно-лучевой
трубке разностью потенциалов U
= 1кВ. Известно, что неопределенность
скорости составляет 0,1% от ее числового
значения. Определите неопределенность
координаты электрона. Являются ли
электроны в данных условиях квантовой
или классической частицей?

Ответ: х
= 38,8 нм.

Задача 72. Определите
отношение неопределенности скорости
элктрона, если его координата установлена
с точностью до 10^-5
м, и пылинки массой m
= 10^-12
кг, если ее координата установлена с
такой же точностью.

Ответ:
.

Задача 73. Протон
движется в однородном магнитном поле
с индукцией
В = 15 мТл по
окружности радиусом R
= 1,4 м. Определите длину волны де Бройля
для протона.

Ответ: 
= 0,197 пм.

Задача 74.
Определите,
какую ускоряющую разность потенциалов
должен пройти протон, чтобы длина волны
де Бройля 
для него была равна 1 нм.

Ответ: U
= 0,822 мВ.

Задача 75. Определите
длину волны де Бройля для электрона,
находящегося в атоме водорода на третьей
боровской орбите.

Ответ: 
= 1 нм.

Задача 76. Заряженная
частица, ускоренная разностью потенциалов
U
= 500 В, имеет длину волны де Бройля 
= 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы
равным заряду электрона, определите ее
массу.

Ответ: m
= 1,67210^-27
кг.