Абсолютная и относительная погрешности (ошибки).
Пусть некоторая
величина x
измерена n
раз. В результате получен ряд значений
этой величины: x1,
x2,
x3,
…, xn
Величиной, наиболее
близкой к действительному значению,
является среднее арифметическое этих
результатов:
Отсюда следует,
что каждое физическое измерение должно
быть повторено несколько раз.
Разность между
средним значением
измеряемой
величины и значением отдельного измерения
называется абсолютной
погрешностью отдельного измерения:
(13)
Абсолютная
погрешность может быть как положительной,
так и отрицательной и измеряется в тех
же единицах, что и измеряемая величина.
Средняя абсолютная
ошибка результата — это среднее
арифметическое значений абсолютных
погрешностей отдельных измерений,
взятых по абсолютной величине (модулю):
(14)
Отношения
называются относительными погрешностями
(ошибками) отдельных измерений.
Отношение средней
абсолютной погрешности результата
к среднему арифметическому значению
измеряемой величины называют относительной
ошибкой результата и выражают в процентах:
Относительная
ошибка характеризует точность измерения.
Законы распределения случайных величин.
Результат измерения
физической величины зависит от многих
факторов, влияние которых заранее учесть
невозможно. Поэтому значения, полученные
в результате прямых измерений какого
— либо параметра, являются случайными,
обычно не совпадающие между собой.
Следовательно, случайные
величины —
это такие величины, которые в зависимости
от обстоятельств могут принимать те
или иные значения. Если случайная
величина принимает только определенные
числовые значения, то она называется
дискретной.
Например,
количество заболеваний в данном регионе
за год, оценка, полученная студентом на
экзамене, энергия электрона в атоме и
т.д.
Непрерывная
случайная величина принимает любые
значения в данном интервале.
Например: температура
тела человека, мгновенные скорости
теплового движения молекул, содержание
кислорода в воздухе и т.д.
Под событием
понимается всякий результат или исход
испытания. В теории вероятностей
рассматриваются события, которые при
выполнение некоторых условий могут
произойти, а могут не произойти. Такие
события называются
случайными.
Например, событие, состоящее в появлении
цифры 1 при выполнении условия — бросания
игральной кости, может произойти, а
может не произойти.
Если событие
неизбежно происходит в результате
каждого испытания, то оно называется
достоверным.
Событие называется невозможным,
если оно вообще не происходит ни при
каких условиях.
Два события,
одновременное появление которых
невозможно, называются несовместными.
Пусть случайное
событие А в серии из n
независимых испытаний произошло m
раз, тогда отношение:
называется
относительной частотой события А. Для
каждой относительной частоты выполняется
неравенство:
При небольшом
числе опытов относительная частота
событий в значительной мере имеет
случайный характер и может заметно
изменяться от одной группы опытов к
другой. Однако при увеличении числа
опытов частота событий все более теряет
свой случайный характер и приближается
к некоторому постоянному положительному
числу, которое является количественной
мерой возможности реализации случайного
события А. Предел, к которому стремится
относительная частота событий при
неограниченном увеличении числа
испытаний, называется статистической
вероятностью события:
Например, при
многократном бросании монеты частота
выпадения герба будет лишь незначительно
отличаться от ½. Для достоверного события
вероятность Р(А) равна единице. Если
Р=0, то событие невозможно.
Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины называется
сумма произведений всех ее возможных
значений хi
на вероятность этих значений рi:
Статистическим
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значений
:
,
где mi
— число дискретных случайных величин,
имеющих значение хi.
Для непрерывной
случайной величины математическим
ожиданием служит интеграл:
,
где р(х) — плотность
вероятности.
Отдельные значения
случайной величины группируются около
математического ожидания. Отклонение
случайной величины от ее математического
ожидания (среднего значения) характеризуется
дисперсией,
которая для дискретной случайной
величины определяется формулой:
(15)
(16)
Дисперсия имеет
размерность случайной величины. Для
того, чтобы оценивать рассеяние
(отклонение) случайной величины в
единицах той же размерности, введено
понятие среднего
квадратичного отклонения
σ(Х), которое
равно корню квадратному из дисперсии:
(17)
Вместо среднего
квадратичного отклонения иногда
используется термин «стандартное
отклонение».
Всякое отношение,
устанавливающее связь между всеми
возможными значениями случайной величины
и соответствующими им вероятностями,
называется законом
распределения случайной величины.
Формы задания закона распределения
могут быть разными:
а) ряд распределения
(для дискретных величин);
б) функция
распределения;
в) кривая распределения
(для непрерывных величин).
Существует
относительно много законов распределения
случайных величин.
Нормальный
закон распределения случайных
величин (закон
Гаусса).
Случайная величина
распределена по
нормальному закону, если ее плотность
вероятности f(x)
определяется формулой:
(18),
где <x>
— математическое ожидание (среднее
значение) случайной величины <x>
= M
(X);
—
среднее квадратичное отклонение;
—
основание натурального логарифма
(неперово число);
f
(x)
– плотность вероятности (функция
распределения вероятностей).
Многие случайные
величины (в том числе все случайные
погрешности) подчиняются нормальному
закону распределения (закону Гаусса).
Для этого распределения наиболее
вероятным значением
измеряемой
величины
является
её среднее
арифметическое
значение.
График нормального
закона распределения изображен на
рисунке (колоколообразная кривая).
Кривая симметрична
относительно прямой х=<x>=α,
следовательно, отклонения случайной
величины вправо и влево от <x>=α
равновероятны. При х=<x>±
кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс. Если х=<x>,
то функция распределения вероятностей
f(x)
максимальна и принимает вид:
(19)
Таким образом,
максимальное значение функции fmax(x)
зависит от величины среднего квадратичного
отклонения. На рисунке изображены 3
кривые распределения. Для кривых 1 и 2
<x>
= α = 0 соответствующие значения среднего
квадратичного отклонения различны, при
этом 2>1.
(При увеличении
кривая распределения становится более
пологой, а при уменьшении
– вытягивается вверх). Для кривой 3 <x>
= α ≠ 0 и 3
= 2.
Закон
распределения
молекул в газах по скоростям называется
распределением
Максвелла.
Функция плотности вероятности попадания
скоростей молекул в определенный
интервал
теоретически была определена в 1860 году
английским физиком Максвеллом
. На рисунке
распределение Максвелла представлено
графически. Распределение движется
вправо или влево в зависимости от
температуры газа (на рисунке Т1
< Т2).
Закон распределения Максвелла определяется
формулой:
(20),
где mо
– масса молекулы, k
– постоянная Больцмана, Т – абсолютная
температура газа,
—
скорость молекулы.
Распределение
концентрации молекул газа в атмосфере
Земли (т.е.
в силовом поле) в зависимости от высоты
было дано австрийским физиком Больцманом
и называется
распределением
Больцмана:
(21)
Где n(h)
– концентрация молекул газа на высоте
h,
n0
– концентрация у поверхности Земли, g
– ускорение свободного падения, m
– масса молекулы.
Распределение
Больцмана.
Совокупность всех
значений случайной величины называется
простым
статистическим рядом.
Так как простой статистический ряд
оказывается большим, то его преобразуют
в вариационный
статистический
ряд или интервальный
статистический ряд. По интервальному
статистическому ряду для оценки вида
функции распределения вероятностей по
экспериментальным данным строят
гистограмму
– столбчатую
диаграмму. (Гистограмма – от греческих
слов “histos”–
столб и “gramma”–
запись).
n
-
h
Гистограмма
распределения Больцмана.
Для построения
гистограммы интервал, содержащий
полученные значения случайной величины
делят на несколько интервалов xi
одинаковой ширины. Для каждого интервала
подсчитывают число mi
значений случайной величины, попавших
в этот интервал. После этого вычисляют
плотность частоты случайной величины
для каждого интервала xi
и среднее значение случайной величины
<xi
> в каждом интервале.
Затем по оси абсцисс
откладывают интервалы xi,
являющиеся основаниями прямоугольников,
высота которых равна
(или
высотой
– плотностью относительной частоты
).
Расчетами показано,
что вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины в
интервале значений от <x>–
до <x>+
в среднем равна 68%. В границах вдвое
более широких (<x>–2;
<x>+2)
размещается в среднем 95% всех значений
измерений, а в интервале (<x>–3;<x>+3)
– уже 99,7%. Таким образом, вероятность
того, что отклонение значений нормально
распределенной случайной величины
превысит 3
(
– среднее квадратичное отклонение)
чрезвычайно мала (~0,003). Такое событие
можно считать практически невозможным.
Поэтому границы <x>–3
и <x>+3
принимаются за границы практически
возможных значений нормально распределенной
случайной величины («правило трех
сигм»).
Если число измерений
(объем выборки) невелико (n<30),
дисперсия вычисляется по формуле:
(22)
Уточненное среднее
квадратичное отклонение отдельного
измерения вычисляется по формуле:
(23)
Напомним, что для
эмпирического распределения по выборке
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значение
<x>
измеряемой величины.
Чтобы дать
представление о точности и надежности
оценки измеряемой величины, используют
понятия доверительного интервала и
доверительной вероятности.
Доверительным
интервалом
называется интервал (<x>–x,
<x>+x),
в который по определению попадает с
заданной вероятностью действительное
(истинное) значение измеряемой величины.
Доверительный интервал характеризует
точность полученного результата: чем
уже доверительный интервал, тем меньше
погрешность.
Доверительной
вероятностью
(надежностью)
результата серии измерений называется
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины попадает в данный
доверительный интервал (<x>±x).
Чем больше величина доверительного
интервала, т.е. чем больше x,
тем с большей надежностью величина <x>
попадает в этот интервал. Надежность
выбирается самим исследователем
самостоятельно, например, =0,95;
0,98. В медицинских и биологических
исследованиях, как правило, доверительную
вероятность (надежность) принимают
равной 0,95.
Если величина х
подчиняется нормальному закону
распределения Гаусса, а <x>
и <>
оцениваются по выборке (числу измерений)
и если объем выборки невелик (n<30),
то интервал (<x>
– t,n<>,
<x>
+ t,n<>)
будет доверительным интервалом для
известного параметра х с доверительной
вероятностью .
Коэффициент t,n
называется коэффициентом
Стьюдента
(этот коэффициент был предложен в 1908 г.
английским математиком и химиком В.С.
Госсетом, публиковавшим свои работы
под псевдонимом «Стьюдент» – студент).
Значении коэффициента
Стьюдента t,n
зависит от доверительной вероятности
и числа измерений n
(объема выборки). Некоторые значения
коэффициента Стьюдента приведены в
таблице 1.
Таблица 1
|
n |
|
||||||
|
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
|
|
2 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
|
3 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
|
4 |
0,98 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
|
5 |
0,94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
|
6 |
0,92 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
|
7 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
|
8 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
|
9 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
|
10 |
0,88 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
В таблице 1 в верхней
строке заданы значения доверительной
вероятности
от 0,6 до 0,99, в левом столбце – значение
n.
Коэффициент Стьюдента следует искать
на пересечении соответствующих строки
и столбца.
Окончательный
результат измерений записывается в
виде:
(25)
Где
– полуширина доверительного интервала.
Результат серии
измерений оценивается относительной
погрешностью:
(26)
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Как рассчитать экспериментальную ошибку в химии
На чтение 1 мин. Просмотров 387 Опубликовано 05.06.2021
Ошибка – это мера точности значений в вашем эксперименте. Важно уметь вычислить экспериментальную ошибку, но есть несколько способов ее вычислить и выразить. Вот наиболее распространенные способы вычисления экспериментальной ошибки:
Содержание
- Формула ошибки
- Формула относительной ошибки
- Формула процента ошибки
- Пример расчета ошибки
Формула ошибки
В общем, ошибка – это разница между принятым или теоретическое значение и экспериментальное значение.
Ошибка = экспериментальное значение – известное значение
Формула относительной ошибки
Относительная ошибка = ошибка/известное значение
Формула процента ошибки
% Error = относительная ошибка x 100%
Пример расчета ошибки
Допустим, исследователь измеряет массу образца, который должен быть 5,51 грамм. Известно, что фактическая масса образца составляет 5,80 грамма. Рассчитайте погрешность измерения.
Экспериментальное значение = 5,51 грамма
Известное значение = 5,80 грамма
Ошибка = экспериментальное значение – известное значение
Ошибка = 5,51 г – 5,80 грамма
Ошибка = – 0,29 грамма
Относительная ошибка = ошибка/известное значение
Относительная ошибка = – 0,29 г/5,80 г
Относительная ошибка = – 0,050
% Error = относительная ошибка x 100%
% Error = – 0,050 x 100%
% Error = – 5,0%
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2201.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2201.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2201.
А какая ваша оценка?
Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях
1. Абсолютная погрешность
Оценить отклонение
каждого из результатов измерения от
истинной величины можно лишь при наличии
данных большого числа измерений с
использованием теории вероятности.
Однако на практике, в лабораторных
условиях проводят 3-5 измерений. В этом
случае абсолютная погрешность отдельного
i-го
измерения будет следующей:
|DАi|
= |АСР
— Аi|,
где
АСР
— средняя величина размера А. Средняя
арифметическая величина всех ½DАi½
значений
называется
абсолютной погрешностью опыта.
Окончательный результат измерения
может быть записан в виде
А = АСР
±
DАСР,
где
А — искомая величина, которая лежит
внутри интервала
АСР
±
DАСР.
Н
14
апример, если сделаем несколько
измерений длины заготовки в столярной
мастерской и получим среднее значение
lСР
= 75.5 см, а среднее
арифметическое абсолютной погрешности
lСР
= 0.3 см, то результат
запишется в виде
l
= (75.5 ± 0.3) см.
Это
означает, что истинное значение длины
заготовки лежит в интервале от 75.2 см до
75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять
среднее значение с большим числом знаков
после запятой, так как от этого точность
не увеличивается.
2. Относительная погрешность
Абсолютная
погрешность измерения не характеризует
точности проведенных измерений. Поэтому
для того, чтобы сравнить точность
различных измерений и величин разной
размерности, находят среднюю относительную
погрешность результата (ЕА).
Относительная погрешность определяется
отношением абсолютной погрешности к
среднему арифметическому значению
измеряемой величины, которая определяется
в процентах:
ЕА=
100%.
Относительная
погрешность показывает, какая часть
абсолютной погрешности приходится на
каждую единицу измеренной величины.
Это дает возможность оценить точность
проведенных измерений, качество работы.
Так,
например, пусть при измерении бруска
длиной l
= 1.51 см была допущена абсолютная
погрешность 0.03 мм, а при измерении
расстояния от Земли до Луны L
= 3.64.105
км абсолютная погрешность составила
100 км. Может показаться, что первое
измерение выполнено намного точнее
второго. Однако о точности измерения
можно судить по относительной погрешности,
а она показывает, что второе измерение
было выполнено в семь раз точнее первого:
El
=
100% = 0.2%
и
ЕL
=
100%
= 0.03%.
Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях
В
большинстве случаев при выполнении
физических экспериментов исследуемая
величина не может быть измерена
непосредственно, а является функцией
одной или нескольких переменных,
измеренных непосредственно. При косвенных
измерениях абсолютная и относительная
погрешности результатов измерений
находятся вычислением через абсолютные
и относительные погрешности непосредственно
измеренных величин.
Использование формул дифференцирования
Для
определения абсолютных и относительных
погрешностей искомой величины при
косвенных измерениях можно воспользоваться
формулами дифференцирования, потому
что абсолютная ошибка функции равна
абсолютной ошибке аргумента, умноженной
на производную этой функции, то есть
полному дифференциалу функции.
Рассмотрим
это более подробно. Допустим, что
физическая величина А является функцией
многих переменных:
A
= f
(x,
y,
z
…).
Правило
I. Вначале
находят абсолютную погрешность величины
А, а затем относительную погрешность.
Для этого необходимо:
1) Найти полный
дифференциал функции
.
2
16
) Заменить бесконечно малые dx, dу,
dz, … соответствующими абсолютными
ошибками аргументовDx,
Dy,
Dz,
… (при этом знаки «минус» в абсолютных
ошибках аргументов заменяют знаками
«плюс», так чтобы величина ошибки
была максимальной):
.
Применяя
это правило к частным случаям, получим:
—
абсолютная погрешность суммы равна
сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Если X
= a
+ b,
то DX
= Da
+ Db;
—
абсолютная погрешность разности равна
сумме абсолютных погрешностей
уменьшаемого и вычитаемого. Если X
= a
— b,
то DX
= Da
+ Db;
—
абсолютная погрешность произведения
двух сомножителей равна сумме произведений
среднего значения первого множителя
(aCP)
на абсолютную погрешность второго и
среднего значения второго множителя
(bCP)
на абсолютную погрешность первого. Если
X
= а
b,
то DX
= aCP
Db
+ bCP
Dа.
Если X
= a n
, то DX
= n
аCPn-1
Dа;
—
абсолютная погрешность дроби равна
сумме произведения знаменателя на
абсолютную погрешность числителя и
числителя на абсолютную погрешность
знаменателя, деленной на квадрат
знаменателя. Если X
=
,
то DX=
.
3) По определению
найдем относительную погрешность
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
12.02.2015183.3 Кб27Пример работы по теме ПЕРЕСКАЗ.doc
- #
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Абсолютная погрешность – это фактическая ошибка, допущенная при измерении какой-либо величины. Относительная погрешность сравнивает абсолютную погрешность со значением измеряемой величины. Чтобы вычислить относительную погрешность, следует найти и абсолютную погрешность. Если вы измеряете предмет, длина которого равна 12 см, и вы допустили ошибку в 6 см, то относительная погрешность будет огромной. Но если длина измеряемого предмета равна 12 м, а ошибка – 6 см, то относительная погрешность будет значительно меньше, даже с учетом того, что абсолютная погрешность (6 см) не изменилась.[1]
-
1
Если вам дано ожидаемое значение, вычтите из него полученное вами значение, чтобы вычислить абсолютную погрешность. Как правило, ожидаемое значение находится в ходе тестовых или лабораторных испытаний. Ожидаемое значение является наиболее точным значением некоторой величины, которое используется при различных вычислениях. Чтобы получить абсолютную погрешность, сравните результаты ваших измерений с ожидаемым значением – так вы узнаете, насколько ваши результаты отличаются от ожидаемого значения. Для этого просто вычтите полученное вами значение из ожидаемого. Если разность отрицательная, превратите ее в положительную, проигнорировав знак «минус». Вы получите абсолютную погрешность.[2]
-
Например, вы хотите узнать точность измерения расстояния при помощи шагов. Вы идете от одного дерева к другому, считаете шаги и выясняете, что деревья расположены на расстоянии 5,4 м друг от друга. Это экспериментальное значение. Потом вы берете рулетку и измеряете точное расстояние между деревьями, которое равно 6 м. Это действительное значение. Абсолютная погрешность равна: 6 – 5,4 = 0,6 м = 60 см.[3]
-
Например, вы хотите узнать точность измерения расстояния при помощи шагов. Вы идете от одного дерева к другому, считаете шаги и выясняете, что деревья расположены на расстоянии 5,4 м друг от друга. Это экспериментальное значение. Потом вы берете рулетку и измеряете точное расстояние между деревьями, которое равно 6 м. Это действительное значение. Абсолютная погрешность равна: 6 – 5,4 = 0,6 м = 60 см.[3]
-
2
Теперь допустим, что абсолютная погрешность – это наименьшая единица измерения. Например, рулетка имеет миллиметровые деления, то есть ее наименьшей единицей является 1 мм. Таким образом, вы можете измерить расстояние с точностью до ± 1 мм; в этом случае абсолютная погрешность составляет 1 мм.
- Это верно для любых измерительных инструментов или систем. Например, на корпус многих научных инструментов, таких как прецизионные весы и измерительные приборы, наносят маркировку об абсолютной погрешности в виде «± ____».
-
3
Не забудьте приписать соответствующие единицы измерения. Предположим, что абсолютная погрешность равна 2 м. Такая информация позволит наглядно представить величину ошибки. Но если вы записываете, что погрешность равна 2, то эта цифра ничего не значит. Используйте те же единицы измерения, которыми вы пользовались в ваших измерениях.[4]
-
4
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Это наилучший способ научиться вычислять погрешность. Решите следующие задачи (ответы приведены в конце каждой задачи).
- На уроке химии в результате реакции ученик получил вещество массой 32 г. Известно, что действительное значение выхода этой реакции равно 34 г. Абсолютная погрешность равна ± 2 г.
- На уроке химии ученику необходимо 10 мл воды, чтобы вызвать реакцию; при этом погрешность капельницы составляет «± 0,5 мл». В этом случае абсолютная погрешность измерений равна ± 0,5 мл.
-
5
Уясните, что приводит к появлению погрешности и как ее устранить. Всякое научное исследование подразумевает наличие ошибок – даже в научных работах, за которые вручаются Нобелевские премии, сообщается о допущениях или погрешностях. Но если вы определите причину появления погрешности, вы, возможно, сможете устранить ее.[5]
- Человеческий фактор – наиболее распространенная причина появления ошибок. Сюда относятся неподобающие условия для проведения измерений и плохо продуманные эксперименты.
- Одной из причин появления ошибок может являться внезапное отключение энергии, недостаточное количество рабочего материала или изменение других условий, например, нехватка воды в результате ее испарения, внезапное изменение температуры окружающей среды и так далее.
- Еще одной причиной является несовершенство оборудования, используемого для измерений или исследований, например, прецизионных инструментов или горелок, которые обеспечивают неравномерное распределение тепла.[6]
Реклама
-
1
Разделите абсолютную погрешность на действительное значение исследуемой величины. Так вы вычислите относительную погрешность. Эта формула позволит вам выяснить, насколько полученное вами значение отличается от действительного значения изучаемой величины. Конечно, прекрасно, если относительная погрешность мала. Продолжим рассматривать пример с измерением расстояния между двумя деревьями.
- Абсолютная погрешность равна 0,6 м, а действительное значение равно 6 м.
- 0,6 м / 6 м
- Относительная погрешность равна 0,1 м.[7]
-
2
Полученный результат умножьте на 100, чтобы выразить относительную погрешность в процентах. Вы можете представить относительную погрешность в виде обыкновенной дроби, десятичной дроби или в процентах – в этом случае умножьте десятичную дробь на 100. Так вы узнаете, какой процент от полученного вами значения составляет погрешность. Если вы измеряете длину 60 м лодки, а погрешность составляет 0,6 м, то процент ошибки будет значительно меньше, чем при вычислении расстояния между деревьями (6 м) с погрешностью 0,6 м. Погрешность представляет собой небольшой процент от экспериментального значения. [8]
- 0,6 м / 6 м = 0,1 м
- 0,1 * 100 = 10% – относительная погрешность.
-
3
Вычислите относительную погрешность без нахождения абсолютной погрешности. Для этого выражение для вычисления абсолютной погрешности запишите в числителе выражения для нахождения относительной погрешности. Уяснив разницу между абсолютной и относительной погрешностями, нет необходимости отдельно вычислять абсолютную погрешность. Просто замените значение абсолютной погрешности на выражение для ее вычисления. Обратите внимание, что вертикальные черты обозначают абсолютную величину, то есть любое полученное значение нужно превратить в положительное.
- Относительная погрешность: , где Е — экспериментальное значение, D — действительное значение.
- Умножьте это выражение на 100, чтобы выразить относительную погрешность в процентах.[9]
- Относительная погрешность:
-
4
Не забудьте приписать соответствующие единицы измерения. Предположим, что абсолютная погрешность равна 2 м. Такая информация позволит наглядно представить величину ошибки. Но если вы записываете, что погрешность равна 2, то эта цифра ничего не значит. Также не имеет смысла указывать погрешность в виде процентов от ошибки (10% от 0,6 м) – следует писать, например, так: относительная погрешность равна 10%.[10]
Реклама
Советы
- Удостоверьтесь, что экспериментальное значение и действительное значение измеряются в одних единицах измерения. Например, если экспериментальное значение измеряется в сантиметрах, а действительное значение – в миллиметрах, преобразуйте одну из этих единиц измерения в другую.
Реклама
Предупреждения
- Убедитесь, что вы правильно округляете числа.
Реклама
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 169 943 раза.
Была ли эта статья полезной?
Как определять погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое
измерение
– определение значения физической
величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное
измерение
– определение значения физической
величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми
прямыми измерениями.
А, В, С, … — физические величины.
Апр. – приближенное значение физической величины.
А – абсолютная погрешность измерения физической
величины.
— относительная погрешность измерения
физической величины.
иА
– абсолютная
инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора.
оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в
большинстве случаев
половине цены деления; при
измерении времени – цене деления секундомера или часов.
Абсолютную погрешность измерения
обычно округляют до одной значащей цифры:
Численное значение результата
измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде,
что и цифра погрешности:
Результат
измерения записывается так:
%
Определение погрешности методом среднего арифметического
При многократных
измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом:
1.
Определить среднее
значение величины А:
(при трех
измерениях).
2.Определить отклонение каждого значения от среднего:
3.Определить среднее значение отклонения,
его и принимают за абсолютную погрешность:
4.Определить
относительную погрешность и выразить ее в процентах:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
3 |
|
|
Многократные измерения
предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных
факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка
изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются
Определение
погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение
физической величины находится путем расчетов по формуле.
Относительную погрешность
определяют так, как показано в таблице:
|
Формула величины |
Формула |
|
1. |
|
|
2. 3. |
|
|
4. |
|
Абсолютную погрешность определяют
по формуле:
(
выражается десятичной дробью)
Пример: пусть измеряется сопротивление проводника. 
.
Результаты прямых измерений: 
Тогда 
;
, 
;
, 
;
, 
, 
.
Графическое
представление результатов эксперимента
Правила построения
графиков
выберите соответствующую бумагу;
выберите масштаб по осям координат;
напишите обозначения измеряемых физических величин;
нанесите на график данные;
нанесите на график доверительные интервалы;
проведите кривую через нанесенные точки;
составьте заголовок графика.
Для построения графиков выпускают
специальную бумагу-миллиметровку.
При выборе масштабов по осям
координат следует руководствоваться следующими правилами:
— значение независимой переменной
откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат;
— цена наименьшего деления масштабной
сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения;
— точка пересечения оси абсцисс и оси
ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0).
При построении графиков следует
иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник
со сторонами 
и
.
В
|
|
|||||
|
|
|||||
 |
|||||
 |
0
А
При выполнении простых лабораторных
работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить
крестиком, не указывая доверительных интервалов.
Этот кружок или крестик будут
обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное
значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности.
Правила
приближенных вычислений
1. Основное
правило округления.
Если первая
отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр
увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из
сохраняемых цифр оставляют без изменения, например:
2. При сложении и
вычитании приближенных чисел
в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе
с наименьшим количеством десятичных знаков, например:
3. При умножении
и делении приближенных чисел
в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет
приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например:
4. При возведении
в квадрат приближенного числа
нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое
в степень число, например:
5. При извлечении
квадратного корня в результате
нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число,
например:
6. При вычислении
промежуточных результатов в
них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при
подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном
результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления.
7. При нахождении
углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если
значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с
точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две
значащие цифры, например:
Свойства физического объекта (явления, процесса) определяются набором
количественных характеристик — физических величин.
Как правило, результат измерения представляет
собой число, задающее отношение измеряемой величины к некоторому эталону.
Сравнение с эталоном может быть как
прямым (проводится непосредственно
экспериментатором), так и косвенным (проводится с помощью некоторого
прибора, которому экспериментатор доверяет).
Полученные таким образом величины имеют размерность, определяемую выбором эталона.
Замечание. Результатом измерения может также служить количество отсчётов некоторого
события, логическое утверждение (да/нет) или даже качественная оценка
(сильно/слабо/умеренно). Мы ограничимся наиболее типичным для физики случаем,
когда результат измерения может быть представлен в виде числа или набора чисел.
Взаимосвязь между различными физическими величинами может быть описана
физическими законами, представляющими собой идеализированную
модель действительности. Конечной целью любого физического
эксперимента (в том числе и учебного) является проверка адекватности или
уточнение параметров таких моделей.
1.1 Результат измерения
Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня
с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью
некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину
стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с
общепринятым стандартным эталоном.
Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат
x=xизм. Можно ли утверждать, что xизм — это длина
стержня?
Во-первых, значение x не может быть задано точно, хотя бы
потому, что оно обязательно округлено до некоторой значащей
цифры: если линейка «обычная», то у неё
есть цена деления; а если линейка, к примеру, «лазерная»
— у неё высвечивается конечное число значащих цифр
на дисплее.
Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на
самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно,
мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть
изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим
и т.п.
И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной
точности измерения, теряет смысл само понятие «длины стержня». Ведь
на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значит говорить о его
геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно!
Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть
произведено абсолютно точно, то есть
у любого измерения есть погрешность.
Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения
(от англ. error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от
общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка»,
— это не означает, что оно неправильно и его надо переделать.
Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет
погрешность.
Количественно погрешность можно было бы определить как разность между
измеренным и «истинным» значением длины стержня:
δx=xизм-xист. Однако на практике такое определение
использовать нельзя: во-первых, из-за неизбежного наличия
погрешностей «истинное» значение измерить невозможно, и во-вторых, само
«истинное» значение может отличаться в разных измерениях (например, стержень
неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.).
Поэтому говорят обычно об оценке погрешности.
Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчеркивая,
что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств
исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.
Замечание.
Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе 3, но для более серьезного понимания следует обратиться к [5].
Для оценки значения физической величины корректно использовать
не просто некоторое фиксированное число xизм, а интервал (или
диапазон) значений, в пределах которого может лежать её
«истинное» значение. В простейшем случае этот интервал
может быть записан как
где δx — абсолютная величина погрешности.
Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале
x∈(xизм-δx;xизм+δx)
с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о
вероятностном содержании интервалов см. п. 2.2).
Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать
относительную величину погрешности:
Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с
самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах:
ε=δxx⋅100%).
Пример. Штангенциркуль —
прибор для измерения длин с ценой деления 0,1мм. Пусть
диаметр некоторой проволоки равен 0,37 мм. Считая, что абсолютная
ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения
можно будет записать как d=0,40±0,05мм (или
d=(40±5)⋅10-5м).
Относительная погрешность составляет ε≈13%, то
есть точность измерения весьма посредственная — поскольку
размер объекта близок к пределу точности прибора.
О необходимости оценки погрешностей.
Измерим длины двух стержней x1 и x2 и сравним результаты.
Можно ли сказать, что стержни одинаковы или различны?
Казалось бы,
достаточно проверить, справедливо ли x1=x2. Но никакие
два результата измерения не равны друг другу с абсолютной точностью! Таким
образом, без указания погрешности измерения ответ на этот вопрос дать
невозможно.
С другой стороны, если погрешность δx известна, то можно
утверждать, что если измеренные длины одинаковы
в пределах погрешности опыта, если |x2-x1|<δx
(и различны в противоположном случае).
Итак, без знания погрешностей невозможно сравнить между собой никакие
два измерения, и, следовательно, невозможно сделать никаких
значимых выводов по результатам эксперимента: ни о наличии зависимостей
между величинами, ни о практической применимости какой-либо теории,
и т. п. В связи с этим задача правильной оценки погрешностей является крайне
важной, поскольку существенное занижение или завышение значения погрешности
(по сравнению с реальной точностью измерений) ведёт к неправильным выводам.
В физическом эксперименте (в том числе лабораторном практикуме) оценка
погрешностей должна проводиться всегда
(даже когда составители задания забыли упомянуть об этом).
1.2 Многократные измерения
Проведём серию из n одинаковых (однотипных) измерений одной
и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим
ряд значений
Что можно сказать о данном наборе чисел и о длине стержня?
И можно ли увеличивая число измерений улучшить конечный результат?
Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться
на практике, величины {xi} почти наверняка окажутся
различными. Причиной тому могут быть
самые разные обстоятельства, например: у нас недостаточно остроты
зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково;
стенки стержня могут быть слегка неровными; у стержня может и не быть
определённой длины, например, если в нём возбуждены звуковые волны,
из-за чего его торцы колеблются, и т. д.
В такой ситуации результат измерения интерпретируется как
случайная величина, описываемая некоторым вероятностным законом
(распределением).
Подробнее о случайных величинах и методах работы с ними см. гл. 2.
По набору результатов 𝐱 можно вычислить их среднее арифметическое:
| ⟨x⟩=x1+x2+…+xnn≡1n∑i=1nxi. | (1.1) |
Это значение, вычисленное по результатам конечного числа n измерений,
принято называть выборочным средним. Здесь и далее для обозначения
выборочных средних будем использовать угловые скобки.
Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются
результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как
Разброс данных относительно среднего принято характеризовать
среднеквадратичным отклонением:
| s=Δx12+Δx22+…+Δxn2n=1n∑i=1nΔxi2 | (1.2) |
или кратко
Значение среднего квадрата отклонения s2 называют
выборочной дисперсией.
Будем увеличивать число измерений n (n→∞). Если объект измерения и методика
достаточно стабильны, то отклонения от среднего Δxi будут, во-первых,
относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательные отклонения будут
встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении (1.1)
почти все отклонения Δxi скомпенсируются и можно ожидать,
что выборочное среднее при n≫1 будет стремиться к некоторому пределу:
Тогда предельное значение x¯ можно отождествить с «истинным» средним
для исследуемой величины.
Предельную величину среднеквадратичного отклонения при n→∞
обозначим как
Замечание. В общем случае указанные пределы могут и не существовать. Например, если измеряемый параметр
меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие
случайные скачки и т. п. Такие ситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не
останавливаемся.
Замечание. Если n мало (n<10), для оценки среднеквадратичного отклонения
математическая статистика рекомендует вместо формулы (1.3) использовать
исправленную формулу (подробнее см. п. 5.2):
sn-12=1n-1∑i=1nΔxi2,
(1.4)
где произведена замена n→n-1. Величину sn-1
часто называют стандартным отклонением.
Итак, можно по крайней мере надеяться на то, что результаты небольшого числа
измерений имеют не слишком большой разброс, так что величина ⟨x⟩
может быть использована как приближенное значение (оценка) истинного значения
⟨x⟩≈x¯,
а увеличение числа измерений позволит уточнить результат.
Многие случайные величины подчиняются так называемому нормальному закону
распределения (подробнее см. Главу 2). Для таких величин
могут быть строго доказаны следующие свойства:
-
•
при многократном повторении эксперимента бо́льшая часть измерений
(∼68%) попадает в интервал x¯-σ<x<x¯+σ
(см. п. 2.2). -
•
выборочное среднее значение ⟨x⟩ оказывается с большей
вероятностью ближе к истинному значению x¯, чем каждое из измерений
{xi} в отдельности. При этом ошибка вычисления среднего
убывает пропорционально корню из числа опытов n
(см. п. 2.4).
Упражнение. Показать, что
s2=⟨x2⟩-⟨x⟩2.
(1.5)
то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата
⟨x2⟩=1n∑i=1nxi2
и квадрата среднего ⟨x⟩2=(1n∑i=1nxi)2.
1.3 Классификация погрешностей
Чтобы лучше разобраться в том, нужно ли многократно повторять измерения,
и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта,
проанализируем источники и виды погрешностей.
В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить
воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых
условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае
исследование будет существенно затруднено, если вообще возможно.
Таким образом, многократные измерения необходимы для того,
чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в существовании измеряемой
величины как таковой.
При любых измерениях возможны грубые ошибки — промахи
(англ. miss). Это «ошибки» в стандартном
понимании этого слова — возникающие по вине экспериментатора
или в силу других непредвиденных обстоятельств (например, из-за сбоя
аппаратуры). Промахов, конечно, нужно избегать, а результаты таких
измерений должны быть по возможности исключены из рассмотрения.
Как понять, является ли «аномальный» результат промахом? Вопрос этот весьма
непрост. В литературе существуют статистические
критерии отбора промахов, которыми мы, однако, настоятельно не рекомендуем
пользоваться (по крайней мере, без серьезного понимания последствий
такого отбора). Отбрасывание аномальных данных может, во-первых, привести
к тенденциозному искажению результата исследований, а во-вторых, так
можно упустить открытие неизвестного эффекта. Поэтому при научных
исследованиях необходимо максимально тщательно проанализировать причину
каждого промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Лишь
только если факт и причина промаха установлены вполне достоверно,
соответствующий результат можно отбросить.
Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе
обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту
утеряна. Единственным способ борьбы с этим — это максимально подробное описание всего
процесса измерений в лабораторном журнале. Подробнее об этом
см. п. 4.1.1.
При многократном повторении измерении одной и той же физической величины
погрешности могут иметь систематический либо случайный
характер. Назовём погрешность систематической, если она повторяется
от опыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно
меняется в процессе измерений. Случайные (или статистические)
погрешности меняются хаотично при повторении измерений как по величине,
так и по знаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.
Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно
выделить
-
•
инструментальные (или приборные) погрешности,
связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при
изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными
условиями эксплуатации измерительных приборов; -
•
методические погрешности, связанные с несовершенством
теоретической модели явления (использование приближенных формул и
моделей явления) или с несовершенством методики измерения (например,
влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения); -
•
естественные погрешности, связанные со случайным
характером
измеряемой физической величины — они являются не столько
«ошибками» измерения, сколько характеризуют
природу изучаемого объекта или явления.
Замечание. Разделение погрешностей на систематические и случайные
не является однозначным и зависит от постановки опыта. Например, производя
измерения не одним, а несколькими однотипными приборами, мы переводим
систематическую приборную ошибку, связанную с неточностью шкалы и
калибровки, в случайную. Разделение по происхождению также условно,
поскольку любой прибор подвержен воздействию «естественных»
случайных и систематических ошибок (шумы и наводки, тряска, атмосферные
условия и т. п.), а в основе работы прибора всегда лежит некоторое
физическое явление, описываемое не вполне совершенной теорией.
1.3.1 Случайные погрешности
Случайный характер присущ большому количеству различных физических
явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключения
приборов. Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном
повторении опыта — в виде хаотичных изменений (флуктуаций)
значений {xi}.
Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны
примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислении среднего
арифметического (1.1) эти отклонения скомпенсируются,
и погрешность результирующего значения ⟨x⟩ будем меньше,
чем погрешность отдельного измерения.
Случайные погрешности бывают связаны, например,
-
•
с особенностями используемых приборов: техническими
недостатками
(люфт в механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки
прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических
цепях, тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за
хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными
факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки); -
•
с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка
при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером); -
•
с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность,
неоднородность состава); -
•
со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный
распад, броуновское движение).
Остановимся несколько подробнее на двух последних случаях. Они отличаются
тем, что случайный разброс данных в них порождён непосредственно объектом
измерения. Если при этом приборные погрешности малы, то «ошибка»
эксперимента возникает лишь в тот момент, когда мы по своей
воле совершаем замену ряда измеренных значений на некоторое среднее
{xi}→⟨x⟩. Разброс данных при этом
характеризует не точность измерения, а сам исследуемый объект или
явление. Однако с математической точки зрения приборные и
«естественные»
погрешности неразличимы — глядя на одни только
экспериментальные данные невозможно выяснить, что именно явилось причиной
их флуктуаций: сам объект исследования или иные, внешние причины.
Таким образом, для исследования естественных случайных процессов необходимо
сперва отдельно исследовать и оценить случайные инструментальные погрешности
и убедиться, что они достаточно малы.
1.3.2 Систематические погрешности
Систематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить,
исключить или уменьшить просто многократным повторением измерений.
Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов
(инструментальная погрешность), например, сдвигом нуля отсчёта
по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями
из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-за износа
или деформации деталей прибора, изменением параметров прибора во времени
из-за нагрева и т.п. Во-вторых, их причиной может быть ошибка в интерпретации
результатов (методическая погрешность), например, из-за использования
слишком идеализированной физической модели явления, которая не учитывает
некоторые значимые факторы (так, при взвешивании тел малой плотности
в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда; при измерениях в электрических
цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров
и т. д.).
Систематические погрешности условно можно разделить на следующие категории.
-
1.
Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычислены
или измерены. При необходимости они могут быть учтены непосредственно:
внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений.
Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления. -
2.
Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна,
но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически
или экспериментально. Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом
опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму,
совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимо
учесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует,
что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать
особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные
опыты. -
3.
Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либо
причинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении
электронных приборов). Такие погрешности должны быть обязательно исключены
посредством модификации методики измерения или замены приборов. -
4.
Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о
которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты
измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можно только
многократной независимой проверкой измерений, разными методами
и в разных условиях.
В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается,
как правило, паспортными погрешностями приборов и теоретическими поправками
к упрощенной модели исследуемого явления.
Точный учет систематической ошибки возможен только при учете специфики конкретного эксперимента. Особенное внимание надо обратить на зависимость (корреляцию) систематических смещений при повторных измерениях. Одна и та же погрешность в разных случаях может быть интерпретирована и как случайная, и как систематическая.
Пример.
Калибровка электромагнита производится при помощи внесения в него датчика Холла или другого измерителя магнитного потока. При последовательных измерениях с разными токами (и соотственно полями в зазоре) калибровку можно учитыать двумя различными способами:
•
Измерить значение поля для разных токов, построить линейную калибровочную кривую и потом использовать значения, восстановленные по этой кривой для вычисления поля по току, используемому в измерениях.
•
Для каждого измерения проводить допольнительное измерения поля и вообще не испльзовать значения тока.
В первом случае погрешность полученного значения будет меньше, поскльку при проведении прямой, отдельные отклонения усреднятся. При этом погрешность измерения поля будет носить систематический харрактер и при обработке данных ее надо будет учитывать в последний момент. Во втором случае погрешность будет носить статистический (случайный) харрактер и ее надо будет добавить к погрешности каждой измеряемой точки. При этом сама погрешность будет больше. Выбор той или иной методики зависит от конретной ситуации. При большом количестве измерений, второй способ более надежный, поскольку статистическая ошибка при усреднении уменьшается пропорционально корню из количества измерений. Кроме того, такой способ повзоляет избежать методической ошибки, связанной с тем, что зависимость поля от тока не является линейной.
Пример.
Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру. В показаниях прибора будет присутствовать три типа погрешности:
1.
Статистическая погрешность, связанная с дрожанием стрелки и ошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деления.
2.
Систематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля.
3.
Систематическая погрешность, связанная с неправильным коэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонением стрелки. Как правило приборы сконструированы таким образом, чтобы максимальное значение этой погрешности было так же равно половине цены деления (хотя это и не гарантируется).
Не пойму, что я делаю не правильно:
p.s. по лабораторной работе «определение теплоты нейтрализации»
Чтобы найти относительную погрешность опыта надо: е = (Qтеорит-Qэксп)/Qтеорит * 100%
Qтеорит = 56,9 кдж/моль, а Qэксп я нашла , получилось 1161,4 Дж и перевела в килоджоули 1,1614 кДж.
Но когда я их подставляю в формулу, у меня получается значение 98!
Такое может быть? Или где-то ошибка?