Как устранить случайные ошибки

Two Types of Experimental Error

No matter how careful you are, there is always error in a measurement. Error is not a «mistake»—it’s part of the measuring process. In science, measurement error is called experimental error or observational error.

There are two broad classes of observational errors: random error and systematic error. Random error varies unpredictably from one measurement to another, while systematic error has the same value or proportion for every measurement. Random errors are unavoidable, but cluster around the true value. Systematic error can often be avoided by calibrating equipment, but if left uncorrected, can lead to measurements far from the true value.

Key Takeaways

• Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
• Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
• Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors can be reduced.

Random Error Example and Causes

If you take multiple measurements, the values cluster around the true value. Thus, random error primarily affects precision. Typically, random error affects the last significant digit of a measurement.

The main reasons for random error are limitations of instruments, environmental factors, and slight variations in procedure. For example:

• When weighing yourself on a scale, you position yourself slightly differently each time.
• When taking a volume reading in a flask, you may read the value from a different angle each time.
• Measuring the mass of a sample on an analytical balance may produce different values as air currents affect the balance or as water enters and leaves the specimen.
• Measuring your height is affected by minor posture changes.
• Measuring wind velocity depends on the height and time at which a measurement is taken. Multiple readings must be taken and averaged because gusts and changes in direction affect the value.
• Readings must be estimated when they fall between marks on a scale or when the thickness of a measurement marking is taken into account.

Because random error always occurs and cannot be predicted, it’s important to take multiple data points and average them to get a sense of the amount of variation and estimate the true value.

Systematic Error Example and Causes

Systematic error is predictable and either constant or else proportional to the measurement. Systematic errors primarily influence a measurement’s accuracy.

Typical causes of systematic error include observational error, imperfect instrument calibration, and environmental interference. For example:

• Forgetting to tare or zero a balance produces mass measurements that are always «off» by the same amount. An error caused by not setting an instrument to zero prior to its use is called an offset error.
• Not reading the meniscus at eye level for a volume measurement will always result in an inaccurate reading. The value will be consistently low or high, depending on whether the reading is taken from above or below the mark.
• Measuring length with a metal ruler will give a different result at a cold temperature than at a hot temperature, due to thermal expansion of the material.
• An improperly calibrated thermometer may give accurate readings within a certain temperature range, but become inaccurate at higher or lower temperatures.
• Measured distance is different using a new cloth measuring tape versus an older, stretched one. Proportional errors of this type are called scale factor errors.
• Drift occurs when successive readings become consistently lower or higher over time. Electronic equipment tends to be susceptible to drift. Many other instruments are affected by (usually positive) drift, as the device warms up.

Once its cause is identified, systematic error may be reduced to an extent. Systematic error can be minimized by routinely calibrating equipment, using controls in experiments, warming up instruments prior to taking readings, and comparing values against standards.

While random errors can be minimized by increasing sample size and averaging data, it’s harder to compensate for systematic error. The best way to avoid systematic error is to be familiar with the limitations of instruments and experienced with their correct use.

Key Takeaways: Random Error vs. Systematic Error

• The two main types of measurement error are random error and systematic error.
• Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
• Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
• Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors may be reduced.

Sources

• Bland, J. Martin, and Douglas G. Altman (1996). «Statistics Notes: Measurement Error.» BMJ 313.7059: 744.
• Cochran, W. G. (1968). «Errors of Measurement in Statistics». Technometrics. Taylor & Francis, Ltd. on behalf of American Statistical Association and American Society for Quality. 10: 637–666. doi:10.2307/1267450
• Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. ISBN 0-19-920613-9.
• Taylor, J. R. (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94. ISBN 0-935702-75-X.

Природа случайных ошибок и распределение выборочных статистик — Никто не любит ошибаться, но некоторые ошибки просто неизбежны! 0 Нажми, если пригодилось =ъ Дембицкий С. Природа случайных ошибок и распределение выборочных средних, — Режим доступа: http://www.soc-research.info/quantitative/3.html Отличия в характеристиках выборочной и генеральной совокупностей называются ошибками репрезентативности.

1. Можно выделить два вида таких ошибок – систематические и случайные.
2. Систематические ошибки — это определенные постоянные смещения, не уменьшающиеся при увеличении количества опрошенных.
3. В свою очередь, случайные ошибки – это те, которые при увеличении выборки изменяются по вероятностным законам.
4. Систематическую ошибку можно устранить, изменяя процедуру формирования выборки; случайная же ошибка будет всегда, при любом выборочном опросе.

Тем не менее, систематическая ошибка является значительно опаснее, поскольку: а) ее невозможно оценить; б) она не уменьшается с увеличением выборки. Классическим примером краха исследования по причине систематических ошибок является предвыборный опрос, проведеленный Литерири дайджест в 1936 году.

1. По его результатам на выборах президента США должен был победить Альфред Лэндон.
2. Показательно то, что для исследования проводимого Литерари Дайджест было отобрано более 2 млн.
3. Респондентов.
4. На самих же выборах победил Теодор Рузвельт, победу которого предсказывали Гэлап и Роупер на основе опроса всего 4000 человек.

Ошибка Литерари Дайджест заключалась в том, что основой выборки (часть генеральной совокупности из которой отбирались респонденты) выступили телефонные книги. Телефоны же в 1936 году имели преимущественно зажиточные слои населения США, большинство которых собиралось голосовать за Альфреда Лэндона.

• Следовательно полученная выборка отражала не всех избирателей США, а лишь их специфическую группу.
• Очевидно и то, что увеличении выборки получаемой таким способом никак бы не помогло, так как новые респонденты точно так же представляли бы зажиточных американцев.
• Выборка же Гэлапа и Роупера носила случайный характер и отображала все населения США, что позволило им сделать правильный прогноз.

Но если систематические ошибки не уменьшаются с увеличением количества опрошенных и способ устранения таких ошибок следует искать прежде всего в особенностях построения самой выборки, то случайные ошибки подчиняются вероятностным законам и подлежат оценке.

Одно из главных их свойств заключается в том, что они уменьшаются с увеличением выборки. Рассмотрим соответствующий пример (отчасти фантастический). Рассмотрим следующий премер. Представим себе огромный лототрон на 100.000 шаров, в котором 10.000 шаров с №1, 10.000 — с №2, 10.000 — с №3, 10.000 — с №4, 10.000 — с №5, 10.000 — с №6, 10.000 — с №7, 10.000 — с №8, 10.000 — с №9 и 10.000 — с №10.

При условии правильной работы лототрона каждый шар имеет равную вероятность выпадения (по крайней мере в самом начале, а после того как шары начнут выпадать, вероятности будут очень близки).

Что такое случайная ошибка исследования?

СЛУЧАЙНАЯ ОШИБКА отклонение результата отдельного наблюдения в выборке от истинного значения в популяции, обусловленное исключительно случайностью.

Что такое случайная ошибка в физике?

Случайная погрешность — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера величины с одинаковой тщательностью. В появлении этого вида погрешности не наблюдается какой-либо закономерности.

Почему возникает случайная ошибка?

Случайные ошибки берут свое происхождение из множества одновременно действующих источников помех. Они проявляют- ся лишь при многократных измерениях. Это ошибки, которые поддаются обработке с помощью математической статистики, более точно, теории вероятностей. Их непредсказуемость, таким образом, сводится к минимуму.

Какие ошибки называются систематическими и случайными?

Природа случайных ошибок и распределение выборочных статистик — Никто не любит ошибаться, но некоторые ошибки просто неизбежны! 0 Нажми, если пригодилось =ъ Дембицкий С. Природа случайных ошибок и распределение выборочных средних, — Режим доступа: http://www.soc-research.info/quantitative/3.html Отличия в характеристиках выборочной и генеральной совокупностей называются ошибками репрезентативности.

• Можно выделить два вида таких ошибок – систематические и случайные.
• Систематические ошибки — это определенные постоянные смещения, не уменьшающиеся при увеличении количества опрошенных.
• В свою очередь, случайные ошибки – это те, которые при увеличении выборки изменяются по вероятностным законам.
• Систематическую ошибку можно устранить, изменяя процедуру формирования выборки; случайная же ошибка будет всегда, при любом выборочном опросе.

Тем не менее, систематическая ошибка является значительно опаснее, поскольку: а) ее невозможно оценить; б) она не уменьшается с увеличением выборки. Классическим примером краха исследования по причине систематических ошибок является предвыборный опрос, проведеленный Литерири дайджест в 1936 году.

По его результатам на выборах президента США должен был победить Альфред Лэндон. Показательно то, что для исследования проводимого Литерари Дайджест было отобрано более 2 млн. респондентов. На самих же выборах победил Теодор Рузвельт, победу которого предсказывали Гэлап и Роупер на основе опроса всего 4000 человек.

Ошибка Литерари Дайджест заключалась в том, что основой выборки (часть генеральной совокупности из которой отбирались респонденты) выступили телефонные книги. Телефоны же в 1936 году имели преимущественно зажиточные слои населения США, большинство которых собиралось голосовать за Альфреда Лэндона.

• Следовательно полученная выборка отражала не всех избирателей США, а лишь их специфическую группу.
• Очевидно и то, что увеличении выборки получаемой таким способом никак бы не помогло, так как новые респонденты точно так же представляли бы зажиточных американцев.
• Выборка же Гэлапа и Роупера носила случайный характер и отображала все населения США, что позволило им сделать правильный прогноз.

Но если систематические ошибки не уменьшаются с увеличением количества опрошенных и способ устранения таких ошибок следует искать прежде всего в особенностях построения самой выборки, то случайные ошибки подчиняются вероятностным законам и подлежат оценке.

Одно из главных их свойств заключается в том, что они уменьшаются с увеличением выборки. Рассмотрим соответствующий пример (отчасти фантастический). Рассмотрим следующий премер. Представим себе огромный лототрон на 100.000 шаров, в котором 10.000 шаров с №1, 10.000 — с №2, 10.000 — с №3, 10.000 — с №4, 10.000 — с №5, 10.000 — с №6, 10.000 — с №7, 10.000 — с №8, 10.000 — с №9 и 10.000 — с №10.

При условии правильной работы лототрона каждый шар имеет равную вероятность выпадения (по крайней мере в самом начале, а после того как шары начнут выпадать, вероятности будут очень близки).

Как рассчитать ошибку эксперимента?

Для оценки истинности данных эксперимента следует рассмотреть возможные причины ошибок и степень их влияния на измеряемую величину. Приборные погрешности. Эта погрешность равна той доле шкалы прибора, до которой с уверенностью можно производить отсчет, что определяется конструкцией и ценой деления шкалы прибора.

Как считается случайная погрешность?

Случайная погрешность измерения равна разности погрешности измерения и систематической погрешности измерения.

Как оценить ошибку измерений?

1.1 Результат измерения — Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с общепринятым стандартным эталоном.

• Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат x = x изм,
• Можно ли утверждать, что x изм — это длина стержня? Во-первых, значение x не может быть задано точно, хотя бы потому, что оно обязательно округлено до некоторой значащей цифры: если линейка «обычная», то у неё есть цена деления ; а если линейка, к примеру, «лазерная» — у неё высвечивается конечное число значащих цифр на дисплее.

Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно, мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим и т.п.

1. И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной точности измерения, теряет смысл само понятие «длины стержня».
2. Ведь на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значит говорить о его геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно! Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть произведено абсолютно точно, то есть у любого измерения есть погрешность,

Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения (от англ. error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка», — это не означает, что оно неправильно и его надо переделать.

• Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет погрешность,
• Количественно погрешность можно было бы определить как разность между измеренным и «истинным» значением длины стержня: δ ⁢ x = x изм — x ист,
• Однако на практике такое определение использовать нельзя: во-первых, из-за неизбежного наличия погрешностей «истинное» значение измерить невозможно, и во-вторых, само «истинное» значение может отличаться в разных измерениях (например, стержень неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.).

Поэтому говорят обычно об оценке погрешности. Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчеркивая, что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств исследуемого объекта, но и от процедуры измерения. Замечание. Термин оценка имеет и более формальное значение.

Что такое абсолютная ошибка?

Смотреть что такое «Ошибка Абсолютная» в других словарях: —

ОШИБКА, АБСОЛЮТНАЯ — абсолютная величина расхождения (разности) между величиной признака (показателя), установленной на основе статистического наблюдения, и действительной его величиной. Понятие А.о. используется, главным образом, при выборочном наблюдении Большой экономический словарь ОШИБКА, АБСОЛЮТНАЯ — Абсолютное значение (то есть безотносительно к знаку) различия между наблюдаемым значением и истинным значением измерения. Например, переоценка чьего то роста на два дюйма приводит к такой абсолютной ошибке, как переоценка на два дюйма Толковый словарь по психологии абсолютная ошибка — абсолютная погрешность — Тематики электросвязь, основные понятия Синонимы абсолютная погрешность EN absolute error Справочник технического переводчика абсолютная ошибка — absoliučioji paklaida statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Matas, rodantis skirtumą tarp išmatuotos reikšmės ir matuojamojo dydžio tikrosios reikšmės. Absoliučioji paklaida nustatoma pagal vieno arba kelių bandymų rezultatų Sporto terminų žodynas АБСОЛЮТНАЯ ОШИБКА — См. ошибка, абсолютная Толковый словарь по психологии абсолютная погрешность — absoliučioji paklaida statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Matas, rodantis skirtumą tarp išmatuotos reikšmės ir matuojamojo dydžio tikrosios reikšmės. Absoliučioji paklaida nustatoma pagal vieno arba kelių bandymų rezultatų Sporto terminų žodynas Абсолютная пустота — Doskonała próżnia Жанр: Сборник рассказов Автор: Станислав Лем Язык оригинала: польский Год написания: 1971 год Википедия Абсолютная ошибка (точность) прогноза метеорологической величины — Абсолютная ошибка (точность) прогноза метеорологической величины: разность между прогностическим значением метеорологической величины и фактически наблюдавшимся ее значением. Источник: РД 52.27.724 2009. Руководящий документ. Наставление по Официальная терминология абсолютная ошибка измерений — — Тематики релейная защита EN absolute error of measurement Справочник технического переводчика Ошибка измерения — Погрешность измерения оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой Википедия

Что такое грубая ошибка?

Грубая ошибка — Ошибка типа неверная команда или ‘случайно’ нажатая клавиша, обычно возникающая по вине обслуживающего персонала и приводящая к большой погрешности. [Л.

В чем выражают относительную ошибку?

Физические величины и погрешности их измерений — Задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Сразу оговоримся, что при выборе измерительного оборудования часто нужно также знать диапазон измерения и какое именно значение интересует: например, среднеквадратическое значение (СКЗ) измеряемой величины в определённом интервале времени, или требуется измерять среднеквадратическое отклонение (СКО) (для измерения переменной составляющей величины), или требуется измерять мгновенное (пиковое) значение.

При измерении переменных физических величин (например, напряжение переменного тока) требуется знать динамические характеристики измеряемой физической величины: диапазон частот или максимальную скорость изменения физической величины, Эти данные, необходимые при выборе измерительного оборудования, зависят от физического смысла задачи измерения в конкретном физическом эксперименте,

Итак, повторимся: задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Эта задача решается с помощью прямых или косвенных измерений, При прямом измерении осуществляется количественное сравнение физической величины с соответствующим эталоном при помощи измерительных приборов.

1. Отсчет по шкале прибора указывает непосредственно измеряемое значение.
2. Например, термометр дает значения измеряемой температуры, а вольтметр – значение напряжения.
3. При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина находится при помощи математических операций над непосредственно измеренными физическими величинами (непосредственно измеряя напряжение U на резисторе и ток I через него, вычисляем значение сопротивления R = U / I ).

Точность прямых измерений некоторой величины X оценивается величиной погрешности или ошибки, измерений относительно действительного значения физической величины X Д, Действительное значение величины X Д (согласно РМГ 29-99 ) – это значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Различают абсолютную (∆ X) и относительную (δ) погрешности измерений. Абсолютная погрешность измерения – это п огрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины, характеризующая абсолютное отклонение измеряемой величины от действительного значения физической величины: ∆X = X – X Д,

Относительная погрешность измерения – это п огрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины. Обычно относительную погрешность выражают в процентах: δ = (∆X / Xд) * 100%, При оценке точности косвенных измерений некоторой величины X 1, функционально связанной с физическими величинами X 2, X 3,, X 1 = F (X 2, X 3, ), учитывают погрешности прямых измерений каждой из величин X 2, X 3, и характер функциональной зависимости F (),

Какие виды погрешностей ошибок могут встречаться при работе лаборатории?

Внутрилабораторные ошибки — Надежность результатов исследования при проведении анализов в лаборатории зависит от целого ряда факторов. Погрешность в аналитическом процессе — это внутрилабораторные ошибки, появление и предупреждение которых зависит только от работников лабораторий.

Результаты анализов в большой мере зависят от индивидуальных способностей лабораторного персонала, важным фактором является и качество применяемых измерительных инструментов. Существенным источником ошибок является приготовление стандартных растворов, который может иметь иную концентрацию, чем должна быть по расчету.

Многочисленность применяемых методов, из которых большая часть уже устарела, также является частой причиной многих ненадежных результатов. Помочь этому может последовательное внедрение унифицированных методов. Наиболее распространена следующая классификация ошибок.

Различают три основных вида ошибок: грубые, случайные и систематические. Грубая ошибка — это одиночное значение исследуемого компонента, выходящее за пределы установленного для данного компонента области (за допустимые пределы погрешности). Причиной грубых ошибок является недостаточная тщательность в работе.

Случайная ошибка — одиночное значение, не выходящее за пределы установленной для данного компонента области. Случайными называются неопределенные по величине и знаку ошибки, в появлении каждой из которых не наблюдается какой-либо закономерности. Эти ошибки происходят при любом аналитическом определении.

• Наличие их сказывается в том, что повторные определения того или иного компонента в данном образце, выполненные одним и тем же методом, дают как правило несколько различающиеся между собой результаты.
• Случайные ошибки практически невозможно исключить совсем, они могут возникать из-за негомогенности пробы материала, недостаточно высокого качества оборудования, чаще случайные ошибки вызываются субъективными факторами.

Этот вид ошибок можно значительно ограничить после оценки их размера, величина ошибки (разброс данных) является мерилом воспроизводимости лабораторных результатов. Чем меньше величина случайных ошибок, тем лучше воспроизводимость исследований. Распространенным способом характеристики воспроизводимости результатов является величина среднеквадратического отклонения.

• Для суждения о правильности анализа совпадение или расхождение результатов параллельных проб не имеет значения.
• В этом случае на первый план выступают систематические ошибки.
• Систематическими ошибками называют погрешности, одинаковые по знаку, имеющие определенную причину, влияющие на результат либо в сторону увеличения, либо в сторону уменьшения его.

Систематические ошибки можно обычно предусмотреть или же ввести соответствующие поправки (ошибки методического характера). Систематические ошибки повторяются при каждом измерении, так как они вызываются постоянными причинами, влияют они на всю серию определений.

Методы исключения систематических погрешностей

Результаты
измерений, содержащие систематическую
погрешность, относятся к неисправленным.
При проведении измерений стремятся
исключить, уменьшить или учесть влияние
систематических погрешностей. Однако
вначале их надо обнаружить.

Постоянные
систематические погрешности можно
обнаружить только путем сравнения
результатов измерений с другими,
полученными с использованием более
точных методов и средств измерения. В
ряде случаев такие погрешности можно
устранить, используя специальные методы
измерений.

Рассмотрим
наиболее известные методы исключения
(существенного уменьшения) постоянных
систематических погрешностей.

Метод замещения
обеспечивает наиболее полное решение
задачи компенсации постоянной
систематической погрешности. Суть
метода состоит в такой замене измеряемой
величины Хи известной величиной А,
получаемой с помощью регулируемой меры,
чтобы показание измерительного прибора
сохранилось неизменным. Значение
измеряемой величины считывается в этом
случае по указателю меры.

При использовании
данного метода погрешность неточного
измерительного прибора устраняется, а
погрешность измерения определяется
только погрешностью самой меры и
погрешностью отсчета измеряемой величины
по указателю меры.

Пример. Измерялось
сопротивление резистора Rx
омметром малой точности. Результат
измерения равен Х = Rx
+ Δс, где Х и Δс — соответственно показание
омметра и систематическая погрешность
измерения. Заменив Rx
магазином сопротивлений и отрегулировав
его так, чтобы сохранилось показание
омметра, получим Х = Rм
+ Δс. Из приведенных двух выражений для
х следует, что Rx
= Rм.

Метод компенсации
погрешности
по знаку
(метод двух отсчетов или изменения знака
систематической погрешности) используется
для устранения постоянной систематической
погрешности, у которой в зависимости
от условий измерения изменяется только
знак. При этом методе выполняют два
измерения, результаты которых должны
быть равны

Х₁
= Хи + Δс

и

Х₂
= Хи — Δс.

где Хи — измеряемая
величина. Среднее значение из полученных
результатов

(Х₁
+ Х₂)/2
= Хи

представляет собой
окончательный результат измерения, не
содержащий погрешности ±Δс. Данный
метод часто используется при измерении
экстремальных значений (максимума и
нуля) неизвестной величины.

Пример. Измерить
значение ЭДС потенциометром постоянного
тока, который обладает паразитной
термоЭДС.

Решение.
Уравновесив потенциометр и выполнив
первое измерение, получаем ЭДС U₁.
Затем меняем полярность измеряемой
ЭДС, а значит и направление тока в
потенциометре. Снова проводим его
уравновешивание и в результате второго
измерения получаем значение U₂.
Если термоЭДС дает погрешность ΔU
и напряжение

U₁
= Ux
+ ΔU,
то U₂
= Uх
— ΔU.

Отсюда напряжение

Ux
= (U₁
+ U₂)/2.

Итак, систематическая
погрешность, обусловленная действием
термоЭДС потенциометра, устранена.

Метод
противопоставления
применяется в радиоизмерениях для
уменьшения постоянных систематических
погрешностей при сравнении измеряемой
величины с известной величиной примерно
равного значения, воспроизводимой
соответствующей образцовой мерой. Этот
метод является разновидностью метода
сравнения, при котором измерение
выполняется дважды и проводится так,
чтобы в обоих случаях причина постоянной
погрешности оказывала разные, но
известные по закономерности воздействия
на результаты наблюдений.

Пример. Измерить
сопротивление резистора с помощью
одинарного моста методом противопоставления.

Решение. Сначала
измеряемое сопротивление Rx
уравновешивают образцовой мерой —
известным сопротивлением R1
включенным в плечо сравнения моста. При
этом

Rx
= R1R3/R4,

где R3,
R4
— сопротивления плеч моста. Затем
резисторы Rx
и R1
меняют местами и вновь уравновешивают
мост, регулируя сопротивление образцового
резистора R1
= R’1
В этом случае

Rx
= R’1R3/R4.

Из двух уравнений
для Rx
исключается отношение R3/R4.
Тогда

.

Метод рандомизации
(от англ. random
— случайный, беспорядочный; в переводе
на русский означает: перемешивание,
создание беспорядка, хаоса) основан на
принципе перевода систематических
погрешностей в случайные.

Этот метод
позволяет эффективно уменьшать постоянную
систематическую погрешность (методическую
и инструментальную) путем измерения
некоторой величины рядом однотипных
приборов с последующей оценкой результата
измерений в виде математического
ожидания (среднего арифметического
значения) выполненного ряда наблюдений.
В данном методе при обработке результатов
измерений используются случайные
изменения погрешности от прибора к
прибору. Уменьшение систематической
погрешности достигается и при изменении
случайным образом методики и условий
проведения измерений.

Поясним действие
метода рандомизации простым примером.
Пусть некоторая физическая величина
измеряется n
(число n
достаточно велико) однотипными приборами,
имеющими систематические погрешности
одинакового происхождения. Для одного
прибора эта погрешность — величина
постоянная, но от прибора к прибору она
изменяется случайным образом. Поэтому,
если измерить неизвестную величину n
приборами и затем вычислить математическое
ожидание всех результатов, то значение
погрешности существенно уменьшится
(как и в случае усреднения случайной
погрешности).

Метод введения
поправок.
Довольно часто систематические
погрешности могут быть вычислены и
исключены из результата измерения с
помощью поправки. Поправка С — величина,
одноименная с измеряемой Хи, которая
вводится в результат измерения Х = Хи +
Δс + С с целью исключения систематической
погрешности Δс,.. В случае С = -Δс,
систематическая погрешность полностью
исключается из результата измерения.
Поправки определяются экспериментально
или путем специальных теоретических
исследований и задаются в виде формул,
таблиц или графиков.

Наиболее просто
методом введения поправок исключают
постоянные инструментальные систематические
погрешности, которые обычно выявляют
посредством поверки средства измерения.

Пример. При
измерении напряжения в сети переменного
тока показания вольтметра составили
218 В. В свидетельстве о поверке прибора
указано, что на этой отметке его шкалы
систематическая погрешность вольтметра
составляет -2 В. С учетом поправки
напряжение в сети равно 218 + 2 = 220 В.

Пример. Напряжение
источника ЭДС Ux
измерено вольтметром, сопротивление
которого R_V
= 5 кОм
определено с погрешностью ± 0,5 %. Внутреннее
сопротивление источника ЭДС Ri
= 60 ±10 Ом. Показание вольтметра Uv
= 12,50 В. Найти поправку, которую нужно
внести, и показание прибора для определения
действительного значения напряжения
источника.

Решение. Показания
вольтметра соответствуют падению
напряжения на нем:

Относительная
систематическая методическая погрешность,
обусловленная ограниченным значением
сопротивления R_V,

Поправка измерения
напряжения равна абсолютной систематической
погрешности, взятой с обратным знаком:

Δс= 12,50-0,012 = 0,15В.

Погрешность
полученного значения поправки определяется
погрешностью, с которой известно
сопротивление Ri
а это Δ = ± 10 Ом. Ее предельное значение
составит

Δ_сRi
= 10/60 = 0,167.

Погрешностью
Δ_RV
= 0,005 неточности оценки R_V
можно пренебречь. Следовательно,
погрешность определения поправки

Δ = ± 0,167 · 0,15 = 0,0251
≈ 0,03 В.

Итак, в показания
вольтметра необходимо ввести поправку:

ΔU=
+ 0,15 В.

Тогда исправленное
значение

= 12,5 + 0,15 = 12,65 В.

Этот результат
имеет определенную погрешность, в том
числе неисключенный остаток систематической
погрешности

Δ = ± 0,03 В

или

δ = ± 0,24 %

из-за потребления
некоторой мощности вольтметром.

Ввод одной
поправки позволяет исключить влияние
только одной составляющей систематической
погрешности. Для устранения всех
составляющих, в результат измерения
приходится вводить ряд поправок.

Рассмотрим далее
некоторые методы, применяющиеся для
обнаружения и уменьшения переменных и
монотонно изменяющихся во времени
систематических погрешностей.

Метод симметричных
наблюдений
весьма эффективен при выявлении и
исключении погрешности, являющейся
линейной функцией соответствующего
аргумента (амплитуды, напряжения,
времени, температуры и т. д.).

Предположим,
что измеряется величина Хи, а результаты
наблюдений Хi
зависят от времени t.
Для выявления характера изменения
погрешности выполняют несколько
наблюдений через равные промежутки
времени Δt.
Пусть выполнено пять наблюдений Х₁
… Х₅
в моменты времени t₁
… t₅.
Далее вычисляют средние арифметические
значения двух пар наблюдений

(Х₁
+ Х₅)/2
и (Х₂
+ Х₄)/2.

Наблюдения в
этих парах проведены в моменты t₁,
t₅
и t₂,
t₄,
симметричные относительно момента t3.
При линейном характере изменения
погрешности, полученные средние значения
должны быть одинаковы. Убедившись в
этом, результаты наблюдений можно
записать в виде

Х_i
= Хи + kt_i

где k
— некоторая постоянная.

Пусть

Х1 = Хи + kt₁
и Х2 = Хи + kt₂.

Решение системы
этих уравнений дает значение Хи свободное
от переменной систематической погрешности:

Хи = (Х₂t₁
– X₁t₂)/(t₂
– t₁).

Подобным образом
удается исключить погрешности,
обусловленные, например, постепенным
падением уровня напряжения источника
питания (аккумулятора, батареи).

Метод анализа
знаков неисправленных случайных
погрешностей.
Когда знаки неисправленных случайных
погрешностей чередуются с некоторой
закономерностью, имеет место переменная
систематическая погрешность. Если у
случайных погрешностей последовательность
знаков «+» сменяется последовательностью
знаков «-» или наоборот, то присутствует
монотонно изменяющаяся систематическая
погрешность. Если же у случайных
погрешностей группы знаков «+» и «-»
чередуются, то имеет место периодическая
систематическая погрешность.

Графический
метод является
наиболее простым для обнаружения
переменной систематической погрешности
в ряде результатов наблюдений. При этом
методе рекомендуется построить график,
на который нанесены результаты наблюдений
в той последовательности, в какой они
были получены. На графике через точки
наблюдений проводят плавную линию,
которая выражает тенденцию результата
измерения, если она существует. Если
тенденция не прослеживается, то переменную
систематическую погрешность считают
практически отсутствующей.

В заключение
отметим, что при измерениях всегда
остаются неисключенные остатки
систематических погрешностей (НСП).

Вопрос №4
Случайные
погрешности (ошибки)

Случайными
являются такие ошибки, которые меняются
непредсказуемо от одного измерения к
другому при определении одной и той же
физической величины с помощью одной и
той же измерительной системы при
неизменных условиях. Обычно они
обусловлены большим числом факторов,
которые влияют на результат измерения
независимо. Мы не можем скорректировать
случайные ошибки, так как нам неизвестны
их причины и следствием их являются
случайные (непредсказуемые) колебания
результата измерения.

Примерами
случайных ошибок служат:

ошибки наблюдателя;

ошибки регулировки
и настройки Ипри;

ошибки округления
и т. д.

Все, о чем мы
можем говорить, имея дело со случайными
ошибками, это вероятность того, что
ошибка будет той или иной величины.
Теория вероятностей и мат. статистика
дают возможность делать определенные
утверждения при наличии случайных
ошибок.

Можно считать,
что как систематические, так и случайные
ошибки вызываются сигналом помехи,
который накладывается на истинный
сигнал при его измерении. Флюктуация
помехи вызывает случайную ошибку, а
постоянный сигнал помехи является
причиной систематической погрешности.
К сожалению, постоянный характер помехи
делает задачу обнаружения систематических
ошибок более трудной.

Влияние случайных
ошибок можно уменьшить, осуществляя
измерения несколько раз и принимая в
качестве конечного результата среднее
значение результатов отдельных измерений.
Возможно это тогда, когда измеряемая
величина не изменяется на протяжении
всех этих измерений и измерения
выполняются быстро. Среднее значение

результатов

измерений

имеет вид:

.

Среднее

представляет собой лучшую возможную
оценку значения

постоянной ФВ по

результатам измерений. Такой вывод
можно сделать из того факта, что

Таким образом,
сумма всех отклонений

равна нулю. Кроме того, величина

минимальна.

Другими словами,
минимальными являются рассеяние

или разброс выборочных значений

относительно среднего

.

Мерой рассеяния

в окрестности среднего

является дисперсия

(мера концентрированности распределения),
равная по определению,

.

Обычно указывается
квадратный корень из дисперсии; эта
величина называется среднеквадратическим
отклонением


.
Выборки

,
полученные в отдельных измерениях
величины

,
при наличии случайный ошибок, можно
представить на диаграмме в виде столбцов.
Чтобы построить такую диаграмму, нам
следует разбить диапазон всех возможных
значений

,
включающий все выборки

полученные в измерениях, на небольшие
интервалы ширины

,
а затем отложить число выборок

,
попавших в эти небольшие интервалы

,
как функцию от

(см рис.1). Обычно размер мелких интервалов
выбирается по правилу

.

Если

,
то лучшее определить значение

по правилу Старджеса

.

Если ширину
интервала

выбрать слишком малой, то «огибающая»
диаграммы будет сильно изрезанной. При
слишком большом значении

«огибающая» оказывается квантованной
слишком грубо, и форма распределения
проступает не так явно.

Можно построить
нормализованную диаграмму, откладывая

,
а не

.
Тогда по вертикали указывается
относительное число измерений, результаты
которых лежат в данном интервале. В этом
случае можно утверждать, что теперь по
оси ординат отложена вероятность
попадания результата измерения в данный
интервал. Кроме того, можно произвести
нормализацию также и по ширине интервала

,
откладывая

вместо

.
Диаграмму, получающуюся в результате
нормализации, обычно называют
гистограммой.

Рис.1 Гистограммы:

а.
при правильном выборе ширины интервалов
Δх,
на которые разбивается весь диапазон
возможных значений х;

1. при слишком малых
   значениях Δх;

2. при слишком больших
   значениях Δх.

Если число
выборок растет, а диапазон

остается в ограниченных пределах, как
это бывает на практике при измерении
всех физических величин, то число
интервалов, на которые разбивается этот
диапазон, и число столбцов в гистограмме,
увеличиваются, тогда как ширина одного
интервала

уменьшается. При

огибающая гистограммы переходит в
гладкую кривую. Такая (дважды)
нормализованная гистограмма носит
название плотности
распределения вероятностей

.
По определению,

.

Это соотношение
можно также записать в виде:

.

Это означает,
что

есть вероятность того, что значение
выборки попадает в интервал между

и

;
отсюда и следует название: плотность
распределения вероятности.
Из последнего равенства следует, что

.

Интеграл в этом
выражении представляет собой сумму
всех вероятностей

.
Он равен вероятности того, что очередная
выборка попадет в первый интервал ширины

,
или во второй, или в третий и т.д. Так как
результат измерения должен принадлежать
одному из этих интервалов, сумма должна
равняться 1. Последнее соотношение
показывает, что единице равна площадь
под плотностью распределения вероятностей
(что и достигается, главным образом,
путем двукратной нормализации). Зная
плотность распределения вероятностей,
легко найти вероятность того, что
результат очередного измерения окажется
меньше определенного значения а
(см. рис.2).
Обозначая эту вероятность

,
получим

Эта величина в
точности равна площади под

слева от линии х
= а (см. рис.2).

Рис.2 Плотность
распределения вероятностей.

Точно так же при
заданной плотности распределения

можно найти среднее

набора выборочных значений

:

.

Эта величина
получила название
МОЖ случайной
величины и равна сумме бесконечно
большого числа произведений всех
возможных значений случайной величины
на бесконечно малые площади f(x)dx.

Дисперсию, как
меру рассеяния случайной величины,
можно представить в виде:

.

Отметим ещё раз,
что СКО
– это квадратный корень из дисперсии:

СКО
чаще всего используется для характеристики
рассеяния (степени разбросанности)
случайной величины и имеет ту же
размерность, что и сама случайная
величина.

Рис. 3. Кривые
нормального распределения случайных
погрешностей: 1—σ = 0,5а; 2—σ = 1а; 3—σ = 2а,
где а — исходное значение

Рис. 4. Кривая
нормального распределения случайных
погрешностей и среднее квадратическое
отклонение ± σ

На рис.3 указаны
относительные значения среднего
квадратического отклонения σ. Как видим,
чем меньше σ, тем больше вероятность
появления малых погрешностей и меньше
вероятность появления больших
погрешностей. Другими словами, тем
больше сходимость результатов наблюдений.

Среднее
квадратическое отклонение соответствует
характерной точке кривой нормального
распределения. Абсциссам +σ, -σ соответствуют
точки перегиба кривой. Вероятность
того, что случайные погрешности измерения
не выйдут за пределы ±σ составляет
0,6826, приближенно 2/3. На рис.4 это
соответствует попаданию в заштрихованную
площадь, примерно в два раза большую,
чем в незаштрихованную.

Если ошибки,
содержащиеся в результатах измерений,
обусловлены большим числом взаимно
независимых событий, то можно доказать,
что они распределены по вполне
определенному закону: в этом случае
распределение вероятностей является
нормальным
или
гауссовым.
Доказательство
содержится в центральной
предельной теореме теории вероятностей.

Нормальное
распределение плотности вероятности
характерно тем, что, согласно центральной
предельной теореме теории вероятностей,
такое распределение имеет сумма
бесконечно большого числа бесконечно
малых случайных возмущений с любыми
распределениями. Применительно к
измерениям это означает, что нормальное
распределение случайных погрешностей
возникает тогда, когда на результат
измерения действует множество случайных
возмущений, ни одно из которых не является
преобладающим. Практически, суммарное
воздействие даже сравнительно небольшого
числа возмущений приводит к закону
распределения результатов и погрешностей
измерений, близкому к нормальному.

Плотность
вероятности нормального распределения
имеет вид:

;

график такого
распределения показан на рис.5. Вероятности
того, что

или х >

+ а, выражаются
следующими интегралами, соответственно:

и

;

эти интегралы
нельзя представить с помощью элементарных
функций.

Рис.5 Нормальное
или гауссово распределение

Примеры найденных
численно приближенных значений этих
интегралов представлены в табл.1.

«Вероятность того,
что результат измерения, имеющий
нормальное распределение со средним
значением и СКО, лежит вне интервалов
шириной 1
,
2

и 3

с центром в точке

»

Табл.1

находится вне интервала	Вероятность
	0,32
	0,045
	0,0026

На рис.6 показан
случай, когда результаты измерений
содержат как случайные, так и систематические
ошибки. Здесь случайные ошибки распределены
по нормальному закону.

Истинное значение
измеряемой величины равно
а.
Систематическая ошибка вызывает сдвиг
среднего значения выборок, которое
равно b.
Полная ошибка (при верояности больших
уклонений 0,14%) равна сумме систематической
ошибки а-b
и
«максимальной случайной ошибки». Этой
полной ошибкой определяется погрешность
измерения. Неопределенность результата
измерения является мера разброса между
выборками, обусловленного только
случайными ошибками. Строго говоря,
неопределенность результата измерения
задается интервалом, в пределах которого
истинное значение измеряемой величины
находится с заданной доверительной
вероятностью.

Рис.6 Случайные и
систематические ошибки

Оценка результата
измерения.
Задача состоит в том, чтобы по полученным
экспериментальным путем результатам
наблюдений, содержащим случайные
погрешности, найти оценку истинного
значения измеряемой величины — результат
измерения. Будем полагать, что
систематические погрешности в результатах
наблюдений отсутствуют или исключены.

К оценкам,
получаемым по статистическим данным,
предъявляются требования состоятельности,
несмещенности и
эффективности.
Оценка называется
состоятельной,
если при увеличении числа наблюдений
она стремится к истинному значению
оцениваемой величины.

Оценка называется
несмещенной,
если ее математическое ожидание равно
истинному значению оцениваемой величины.
В том случае, когда можно найти несколько
несмещенных оценок, лучшей из них
считается та, которая имеет наименьшую
дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки,
тем более эффективной считают эту
оценку.

Способы нахождения
оценок результата зависят от вида
функции распределения и от имеющихся
соглашений по этому вопросу, регламентируемых
в рамках законодательной метрологии.
Общие соображения по выбору оценок
заключаются в следующем.

Распределения
погрешностей результатов наблюдений,
как правило, являются симметричными
относительно центра распределения,
поэтому истинное значение измеряемой
величины может быть определено как
координата центра рассеивания Хц, т.е.
центра симметрии распределения случайной
погрешности (при условии, что систематическая
погрешность исключена). Отсюда следует
принятое в метрологии правило оценивания
случайной погрешности в виде интервала,
симметричного относительно результата
измерения (Хц ± Δх). Координата Хц может
быть найдена несколькими способами.
Наиболее общим является определение
центра симметрии из принципа симметрии
вероятностей, т.е. нахождение такой
точки на оси х, слева и справа от которой
вероятности появления различных значений
случайных погрешностей равны между
собой и составляют P₁
= Р₂
= 0,5. Такое значение Хц называется
медианой.

Координата Хц
может быть определена и как центр тяжести
распределения, т.е. как математическое
ожидание случайной величины.

При ассиметричной
кривой плотности распределения
вероятностей оценкой центра распределения
может служить абсцисса моды распределения,
т.е. координата максимума плотности.
Однако есть распределения, у которых
не существует моды (например, равномерное),
и распределения, у которых не существует
математического ожидания.

В практике
измерений встречаются различные формы
кривой закона распределения, однако
чаще всего имеют дело с нормальным и
равномерным распределением плотности
вероятностей.

Учитывая
многовариантность подходов к выбору
оценок и в целях обеспечения единства
измерений, правила обработки результатов
наблюдений обычно регламентируются
нормативно-техническими документами
(стандартами, методическими указаниями,
инструкциями). Так, в стандарте на методы
обработки результатов прямых измерений
с многократными наблюдениями указывается,
что приведенные в нем методы обработки
установлены для результатов наблюдений,
принадлежащих нормальному распределению.

Educational Technology & Society 10(1) 2007

ISSN 1436-4522

Методика тестирования знаний и устранение случайных ошибок.

Кузнецов А.В. кафедра прикладных информационных технологий Саратовский государственный технический университет, Саратов, Россия. kuznecov@aptechsar. com

АННОТАЦИЯ

При описании моделей тестовых систем обычно выделяют три основных компонента: предметная область, испытуемый и собственно тестовая система. Для каждого из них необходимо построение своего типа моделей. В данной работе рассматриваются модели испытуемого, предметной области и тестирования знаний, проведен анализ модели Раша и предложен метод устранения случайных ошибок в ходе выполнения заданий.

Модель предметной области

Предметная область характеризуется рассматриваемыми в данной области сущностями и связями между ними. При построении моделей учебных курсов в качестве сущностей выступают темы, подтемы и отдельные понятия курса, не требующие разбиения на более простые составные части [2]. Связи между сущностями определяют необходимость рассмотрения одной из них перед другой и, фактически, задают порядок следования сущностей (тем) в процессе обучения. Связи между темами могут быть факультативными и обязательными. В случае факультативной связи последовательность изучения тем носит рекомендательный характер.

Для описания модели предметной области традиционно используются семантические сети [1, 7]. При этом вершинам графа сети соответствуют темы и подтемы курса, а дугам — связи между ними. Подобная организация позволяет использовать для анализа предметной области элементы теории графов [4, 5].

Модели тестирования

В настоящее время существует два подхода к построению моделей тестирования — это классическая теория тестов и теория моделирования и параметризации педагогических тестов (Item Response Theory — IRT). При этом классическая теория тестов считается устаревшей, хотя и применяется до сих пор во многих тестовых системах [8].

Модели IRT типа опираются на понятия «трудность задания» и «уровень подготовленности испытуемого». Считается, что задание i более трудное, чем задание j, если выполняется условие:

V (pk < Pjk ), (1)

ke[1..N ] J

где N — число испытуемых, pik , p jk — вероятности правильного ответа на

задания с номерами i и j k-м испытуемым. Аналогично, уровень подготовленности i-го испытуемого больше уровня подготовленности j-го испытуемого, если

V (Рш < Ры ), (2)

ke[1..K Р ш

где K — число заданий в тесте, ры , pkj — вероятности правильных ответов i-го и j-го испытуемых на k-е задание.

Величина р^ зависит от qt — латентного параметра способности i-го испытуемого и bj — латентного параметра трудности j-го задания:

Вид функции / различен для разных моделей. Для наиболее часто используемой модели Раша:

Для анализа данной модели в [6] был предложен следующий подход:

1. На основании параметров и Ьраспределенных на интервале [-3…3] по нормальному, либо равномерному закону вычислялись коэффициенты ру и генерировалась матрица X, представляющая собой матрицу ответов испытуемых на задания теста:

2. Решалась обратная задача: по полученной матрице X определялись уровни знаний и трудности заданий.

Численный эксперимент, поставленный для анализа модели Раша в соответствии с приведенной методикой, показывает, что погрешность определения коэффициентов данной модели убывает обратно пропорционально экспоненте числа испытуемых и заданий (см. рис. 1). При этом количество операций, необходимое для проведения расчетов, имеет, при равном числе испытуемых и заданий, квадратичную зависимость (см. рис. 2).

1

(4)

ху = т1;(р у — гапёош(2) +1).

(5)

[1.1

о

50 100 150 200 250 300 350 400 450

количество испытчсмых

Рис. 1. Зависимость точности расчетов от количества испытуемых.

количество испытуемых

Рис. 2. Зависимость числа операций от количества испытуемых.

Как видно из приведенных графиков, при относительно небольшом (50-200) числе испытуемых погрешность определения уровня их знаний и уровня сложности вопросов остается достаточно большой и колеблется в интервале от ±0,18 до ±0,35 логита. Данная погрешность является погрешностью модели и не может быть устранена без изменения вида самой модели.

Модели испытуемого

Под моделью испытуемого обычно понимают набор параметров, измеряемых в ходе работы системы с испытуемым и определяющей степень усвоения им знаний по изучаемому предмету. Существует три основных типа моделей испытуемого:

1. Модели оверлейного типа. В данном классе моделей предполагается, что знания обучаемого описываются графом, имеющим структуру, аналогичную структуре графа модели предметной области. При этом каждой вершине графа ставится в соответствие неотрицательное число, характеризующее степень понимания испытуемым материала по указанной теме. Значение атрибута определятся в ходе опроса обучаемого в соответствии с выбранной моделью тестирования.

2. Модели разностного типа. Модели данного типа анализируют величину различия между ответами обучаемого и теми знаниями, которые заложены в системе экспертом. Такие модели позволяют учитывать не только отсутствие знаний у испытуемого, но и неправильное их использование. По сути, разностные модели представляют собой модификации моделей оверлейного типа.

3. Модели пертурбационного типа строятся в предположении, что знания пользователя и знания системы могут частично не совпадать. В этом случае важной предпосылкой построения таких моделей является определение причин расхождения. Различают следующие причины расхождений:

— недостаток знаний — испытуемый не обладает знаниями, достаточными для того, чтобы правильно ответить на задания определенных тем;

— ошибочные знания — знания испытуемого идут вразрез со знаниями системы;

— неверное использование знаний — испытуемый владеет необходимыми знаниями, но не умеет их правильно применять;

— случайные ошибки — ошибки в вычислениях, или ошибки, порожденные недостаточно внимательным чтением формулировок заданий и ответов на них;

— умышленные ошибки — ошибки, возникающие в том случае, когда испытуемый пытается использовать какую-либо «стратегию» ответа на задания (например, при использовании заданий в закрытой форме всегда выбирает только первый вариант ответа).

Беря за основу модель пертурбационного типа, можно утверждать, что полностью подготовившийся испытуемый, обладающий всеми необходимыми знаниями и навыками по рассматриваемой теме, в состоянии выполнить любое типовое задание из данной темы с вероятностью 1. Возникновение неверного ответа возможно, если имеет место быть одно из перечисленных выше расхождений. Неверный ответ фиксируется правильно, если он возник по причине недостатка знаний, ошибочных знаний, или неверного использования знаний. Данный блок причин возникновения неверных ответов не коррелирует со случайными и умышленными ошибками. Таким образом, вероятность успешного выполнения испытуемым задания теста выражается формулой:

Р = 1 — Рі — Р2 — Рз, (6)

где рі — вероятность ошибки по причине недостаточных знаний, ошибочности знаний, или неверного использования знаний, р2 — вероятность случайных ошибок и Рз — вероятность умышленных ошибок.

Для выявления умышленных ошибок можно использовать критерий серий [3]. При этом анализируются цепочки выбранных вариантов ответов на задания, с целью обнаружения в них слишком длинных последовательностей одинаково указанных вариантов ответов. Таким образом, умышленные ошибки можно исключить и преобразовать формулу (6) к виду:

Р = 1 — Рі — Р2. (7)

Для анализа случайных ошибок предлагается следующий подход.

Пусть дисциплина Д состоит из различных разделов и пусть для проверки знаний по разделу Д, необходимо предъявить испытуемому задания Ыщ различных

блоков. Задание д блока Ту (] є [1…АД, ]) назовем простым, если в рамках

изучаемого раздела подразумевается, что испытуемому должен быть известен правильный ответ на это задание. Аналогично, задание q назовем составным, если в рамках изучаемого раздела подразумевается, что испытуемый должен уметь получать правильный ответ, опираясь на знание ответов на простые, либо другие составные задания. Множество заданий Q’, образующих задание д, назовем подгруппой этого задания, а множество Q заданий д1, д2,…, дп, подгруппы которых

совпадают — параллельными заданиями. Тогда блок представляет собой совокупность параллельных заданий и заданий из их подгруппы. Множество заданий подгруппы блока может быть пустым, а задания, считающиеся составными в одном разделе — относиться к классу простых в другом.

Пусть каждое из заданий может быть выполнено испытуемым либо верно, либо неверно. Сформируем базу заданий так, чтобы выполнялось условие:

и V (2 є Т ^ Q *0) (8)

гє[1..Ад ]

]є[1—Ад,і]

Тогда порядок тестирования будет иметь вид:

Шаг 1. Испытуемому предъявляется задание Ц є2 блока Ту. При этом предполагается, что порядок предъявления блоков должен соответствовать порядку следования тем в курсе. Если задание д является простым, то ответ на него учитывается непосредственно. Также непосредственно учитывается и правильный ответ на составное задание.

Шаг 2. Если 2 є Ті . и 2*0, а испытуемый неверно отвечает на задание

д, то ему последовательно предъявляются задания из множества 2. Порядок

V (Д *0)

іє[1..Ад ] —

следования заданий определяется преподавателем, хотя рекомендуется располагать их в порядке возрастания трудности.

Шаг 3. Если испытуемый отвечает на задания подгруппы так, что количество его правильных ответов больше порогового значения, то ему предлагается выполнить задание, параллельное д. При правильном ответе на параллельное задание ошибка, допущенная на шаге 1, считается случайной.

Величина порогового значения для шага 3 выбирается исходя из необходимой общей трудности серии заданий, которая рассчитывается по формуле:

N (6)

Р, = 1 -П (1 — Рг ), (9)

г=1

где Рг — трудность г-го задания, определяемая как отношения количества испытуемых, правильно выполнивших задание, к общему числу испытуемых, а N (6) — количество заданий в подгруппе.

При пересечении подгрупп заданий возможна ситуация, когда испытуемому может быть предъявлено одно и то же задание. Для ее устранения необходимо вести список предъявленных заданий с тем, чтобы перезачитывать ранее данные ответы.

В работе рассмотрены модели испытуемого, предметной области и тестирования знаний, проведен анализ модели Раша и предложен метод устранения случайных ошибок в ходе выполнения заданий. Использование данного подхода позволит повысить качество обучения. В то же время, предлагаемая в подходе методика ближе, скорее, к классическому подходу, чем к современным Ш.Т моделям.

Литература

[Брусиловский П.Л., Зырянов М.И., 1992] Брусиловский П.Л., Зырянов М.И. Интеллектуальная учебная среда «Остров». //3-я Конференция по искусственному интеллекту. — Тверь: Ассоциация искусственного интеллекта, 1992. — с.33-35. [Горюнов Ю.П., 1963] Горюнов Ю.П. Логическая структура курса и обучающий алгоритм курса. / В сб.: Программированное обучение и кибернетические обучающие машины. / Под ред. Шестакова А.И. — М.: Сов. Радио, 1963. — с. 24-31.

[Елисеев Д.В., 2005] Елисеев Д.В. Проблема угадывания при оценке знаний с помощью тестирования. — Технологии Интернет на службу обществу. Сборник статей по материалам Всероссийской научно-практической конференции. Саратов: изд. Сарат. ГТУ, 2005 г. ISBN 5-7433-1549-3 с. 173-176.

[Емеличев В.А., Мельников О.И. и др., 1990] Емеличев В.А., Мельников О.И. Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 384 с.

[Карпова И.П., 2002] Карпова И.П. Исследование и разработка подсистемы контроля знаний в распределенных автоматизированных обучающих системах. // Диссертация на соискание звания канд. техн. наук по специальности 05.13.13. — М.: МГИЭМ, 2002.

[А.В. Колпаков, А. А. Захаров.] А.В. Колпаков, А. А. Захаров. Анализ модели G. Rash методом численного эксперимента. http ://kolsarat.chat.ru/DOKLAD4 .htm [Мазурина С.М., 1995] Мазурина С.М. Разработка моделей представления и обработки знаний в продукционных экспертно-обучающих системах // Диссертация на соискание звания канд. техн. наук по специальности 05.13.11. — М.: МГИЭМ, 1995. [Челышкова М.Б., 2002] Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов. — М.: Логос, 2002 — 432с. ISBN: 5-94010-143-7