Корреляционная матрица ошибок измерений

15

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА ВОЙСК ПВО

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Начальник военной кафедры Войск ПВО

ФВО при МГУ им. М.В. Ломоносова

полковник

И.Я. КАЛАШНИКОВ

“ “ _____________ 199 г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

для проведения занятий по военно-специальной

подготовке со студентами, обучающимися по ВУС — 530700

ТЕМА 7. Применение методов статистических решений к задачам

обработки информации.

Занятие 7.2 Завязка и сопровождение траектории цели.

Последовательное сглаживание и оценка параметров

траектории цели.

Обсуждена на методическом заседании цикла №24

протокол №___ от « » ____________ 199 года

МОСКВА — 199 год

Учебные и воспитательные цели

Изучить математический аппарат подалгоритмов завязывания траекторий, стробирования и сопровождения целей. Познакомится с алгоритмом сглаживания, параметров траектории методом последовательного сглаживания. Научится определять точностные характеристики сглаженной траектории. Получить практику в решении задачи сглаживания путем выполнения контрольного задания.

Воспитывать у студентов строевую подтянутость, вырабатывать у них методические и командные навыки.

.

Учебные вопросы:

1. Автозахват траектории цели. Координатные и точностные характеристики захваченной цели.

2. Экстраполяция параметров траектории.

3. Автосопровождение цели.

4. Алгоритм последовательного сглаживания (фильтр Кальмана)

5. Последовательное сглаживание параметров линейной траектории.

Учебное время: 4 часа

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

Напомнить студентам о правилах сглаживания траектории и оценки ее параметров. Провести опрос студентов по пройденному занятию (занятие 7.1)

Далее следует рассмотреть вопрос, связанный с этапом захвата и завязывания траекторий. При этом рекомендуется использовать слайды с заранее подготовленными рисунками. Вопрос рассматривается преподавателем.

Рассмотрение вопроса последовательного сглаживания траектории необходимо начать с повторения вопросов теоремы Байеса. Далее с помощью слайдов и работы у доски вывести выражения для уточнения параметров траектории движения цели методом последовательного сглаживания. Представить последовательность действий алгоритма по решению этой задачи. Далее необходимо остановится на особенностях применения данного алгоритма сглаживания. (Вопрос рассматривается преподавателем)

После рассмотрения данного вопроса студенты с помощью преподавателя составляют алгоритм решения задачи сглаживания.

Последним этапом занятия является выполнение контрольного задания. В случае если задание выполнить на занятии удается, ее окончание необходимо дать на самоподготовку.

В ходе занятий обращать внимание на правильность выполнения студентами строевых приемов, а также на последовательность изложения материала при ответах на поставленные вопросы.

В процессе вторичной обработки радиолокационной информации решаются следующие задачи:

1. автозахват и обнаружение траекторий целей,

2. сопровождение траекторий целей,

3. траекторные расчеты.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС 1.

АВТОЗАХВАТ ТРАЕКТОРИИ ЦЕЛИ.

КООРДИНАТНЫЕ И ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАХВАЧЕННОЙ ТРАЕКТОРИИ ЦЕЛИ.

Обнаружение траекторий целей в процессе вторичной обработки обычно осуществляется автоматически. Рассмотрим один из возможных способов автоматического обнаружения траектории цели по данным двухкоординатной РЛС.

Примечание Поскольку в системе обработки РЛИ применяются различные системы координат и различные обозначения, то в дальнейшем, координаты будем обозначать переменными x и y

Пусть появилась одиночная отметка в некоторой точке зоны обзора РЛС.

Очевидно эту отметку необходимо принять за первую (начальную) отметку траектории новой цели. Теперь если известны минимальная скорость движения цели , и максимальная скорость движения цели то область в которой следует искать принадлежащую этой цели вторую отметку в следующем обзоре, можно представить в виде кольца с внутренним и внешним радиусами.

где Т- период обзора

Операция формирования области поиска вторых отметок называется стробированием, а сама область – стробом первичного захвата. В строб захвата может попасть не одна, а несколько отметок

Отметки полученные за второй период обзора.

T- период oбзора

Каждую из них следует считать возможным продолжением предпологаемой траектории. По двум отметкам можно вычислить скорость, направление полета и корреляционную матрицу каждой из предпологаемой траекторий (т.е провести сглаживание). Данная операция называется захвытом траектории.

ПРИМЕЧАНИЕ Если обработка идет в прямоугольной системе координат, то факт попадания второй отметки в строб захвата определяется из условия:

R_min < < R_max где:

Для каждой из захваченной траектории вычисляется:

Подобные расчеты необходимо провести по каждой захваченной траектории

и

и

Подробнее смотри ПРИМЕЧАНИЕ

Схема захвата траектории

Y

ПАРАМЕТРЫ

ЗАВЯЗАННЫХ

ТРАЕКТОРИЙ

X

ПРИМЕЧАНИЕ:

где

Аналогично и для координаты y

УЧЕБНЫЙ Вопрос 2.

Экстраполяция параметров траектории.

2.1 Экстраполяция параметров траектории.

Под экстраполяцией понимают операцию расчета возможного положения отметки на следующий обзор (или на несколько обзоров вперед иди назад). Таким образом, задачей экстраполяции является определение параметров траектории в точке, лежащей вне интервала наблюдения по их значениям внутри этого интервала.

На практике задача экстраполяции решается путем использования сглаженных значений параметров в выбранной точке внутри интервала наблюдения и гипотезе о законе изменения этих параметров вне интервала наблюдения. (Рисунок)

При полиномиальной модели движения цели экстраполированные на время параметры определяются следующим образом:

В векторно-матричной форме данное выражение выглядит следующим образом:

,

где — матричный оператор, записываемый в виде

.

Тогда выражение для экстраполированных параметров в развернутом виде будет выглядеть так:

1. Экстраполяция ошибок сглаживания.

Ввиду того, что для экстраполяции используются не реальные, а сглаженные значения параметров, то экстраполированные параметры рассчитываются с ошибкой, и поэтому для оценки точности экстраполированных значений необходимо знать ошибки экстраполяции.

Корреляционная матрица ошибок экстраполяции вычисляется следующим образом. Аналогично, как и для экстраполяции параметров, выражение для экстраполяции ошибок записывается в виде:

, где .

По определению корреляционная матрица ошибок экстраполяции равна

,

так как , то

,

где

.

и тогда

.

Таким образом, корреляционная матрица ошибок экстраполяции получается путем преобразования матрицы ошибок оценки.

При экстраполяции корреляционной матрицы изменяются значения элементов матрицы. Зависимость элементов матрицы от времени экстраполяции представлены на следующем графике

Рис

Некоторые характеристики сглаженной и экстраполированной точки представлены на графике

y

x

Рис

Итак, результатом экстраполяции на очередном шаге вторичной обработки является:

1. Экстраполированный вектор параметров траектории.

2. Корреляционная матрица ошибок экстраполяции.

УЧЕБНЫЙ Вопрос 3.

Автосопровождение цели.

Постановка задачи

По окончании цикла сглаживания, алгоритм обработки информации ожидает появления новых отметок.

Итак, по результатам очередного обзора получено несколько новых отметок. Возникает задача идентификации, т.е. определения того, к каким уже сопровождаемым траекториям относятся вновь полученные отметки. Эта задача может быть решена путем сравнения координат предполагаемого положения отметки с координатами вновь полученных отметок. Однако объем вычислений при этом будет очень велик.

Для упрощения процесса идентификации и сокращения объема вычислений сравнение координат обычно производится в стробах.

Строб — это область пространства с центром в точке предполагаемого появления отметки.

Центр строба рассчитывается путем экстраполяции сглаженных параметров на время следующего обзора. Вокруг этого центра формируется область, именуемая стробом. Размеры и форма строба обычно выбирается так, чтобы вероятность попадания в него отметки, принадлежащей данной экстраполированной траектории, была близка к единице.

3.1 Стробирование отметок от цели

Под стробированием мы будем понимать формирование предполагаемой области появления новой отметки в виде некоторой совокупности чисел (границ строба). Форму строба, как правило, выбирают простейшей, легко реализуемой.

При обработке информации в прямоугольной системе координат простейший строб задается

Матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок (матрица в)

	Сухое	Высокое
	δZ1	δZ2	δZ3	δZ4	δZ5	ζ4	η4	ζ5	η5
М1-2	-1	0	0	0	0	0	0	0	0
М1-5	-1	0	0	0	0	0	0	-0,603	-0,025
М2-1	0	-1	0	0	0	0	0	0	0
М2-5	0	-1	0	0	0	0	0	-0,105	0,375
М2-4	0	-1	0	0	0	-0,336	0,180	0	0
М2-3	0	-1	0	0	0	0	0	0	0
М3-2	0	0	-1	0	0	0	0	0	0
М3-4	0	0	-1	0	0	0,029	0,382	0	0
М4-3	0	0	0	-1	0	0,029	0,382	0	0
М4-2	0	0	0	-1	0	-0,336	0,180	0	0
М4-5	0	0	0	-1	0	-0,392	-0,297	0,392	0,297
М5-1	0	0	0	0	-1	0	0	-0,603	-0,025
М5-4	0	0	0	0	-1	-0,392	-0,297	0,392	0,297
М5-2	0	0	0	0	-1	0	0	-0,105	0,375

Установление единицы веса и вычисление исходной весовой матрицы p для уравниваемых величин

Измеряемые
углы на пунктах триангуляции представляются
рядом равноточных независимых направлений.
Поэтому в качестве единицы веса взят
вес измерения направлений. Корреляционная
матрица ошибок направлений и ее весовая
матрица P_М
будут равны единичной матрице:

Q
=
P_М
= Е.

Вычисление
корреляционной матрицы

ошибок
координат определяемых пунктов

Корреляционная
матрица ошибок необходимых параметров
равна обратной матрице коэффициентов
нормальных уравнений:

В результате
вычислений получим:

_{Матрица
Qt}

0,7105	0,0842	-0,0424	0,0387	0,2327	-0,4865	-0,1851	-0,7126	0,3513
0,0842	0,4167	0,0845	0,2515	0,2513	-0,7253	0,4974	-0,3124	0,8016
-0,0424	0,0845	0,6499	0,1763	0,0112	-0,2376	0,8027	0,1266	0,3385
0,0387	0,2515	0,1763	0,815	0,2907	-1,3887	1,0286	-0,1655	0,8979
0,2327	0,2513	0,0112	0,2907	0,8551	-1,0492	0,1385	-0,8317	1,4412
-0,4865	-0,7253	-0,2376	-1,3887	-1,0492	5,6764	-1,6748	1,6706	-1,3785
-0,1851	0,4974	0,8027	1,0286	0,1385	-1,6748	4,3298	0,5361	1,8769
-0,7126	-0,3124	0,1266	-0,1655	-0,8317	1,6706	0,5361	2,4223	-1,4148
0,3513	0,8016	0,3385	0,8979	1,4412	-1,3785	1,8769	-1,4148	6,018

матрицу

можно
разбить на блоки

где

—
корреляционная матрица ошибок уравненных
значений

ориентирующих
углов:

Матрица

0,7105	0,0842	-0,0424	0,0387	0,2327
0,0842	0,4167	0,0845	0,2515	0,2513
-0,0424	0,0845	0,6499	0,1763	0,0112
0,0387	0,2515	0,1763	0,815	0,2907

—
матрица
взаимных весовых коэффициентов между

уравненными
значениями ориентирующих углов и
уравненными значениями

координат
определяемых пунктов:

Матрица

-0,4865	-0,7253	-0,2376	-1,3887	-1,0492
-0,1851	0,4974	0,8027	1,0286	0,1385
-0,7126	-0,3124	0,1266	-0,1655	-0,8317
0,3513	0,8016	-0,8317	0,8979	1,4412

—
корреляционная
матрица ошибок координат определяемых
пунктов:

Матрица

-1,0492	5,6764	-1,6748	1,6706	-1,3785
0,1385	-1,6748	4,3298	0,5361	1,8769
-0,8317	1,6706	0,5361	2,4223	-1,4148
1,4412	-1,3785	1,8769	-1,4148	6,018

Вычисление
корреляционных матриц

ошибок
дирекционных углов и длин сторон сети

Дирекционные
углы и длины сторон геодезической сети
являются функциями координат

Корреляционные
матрицы их ошибок в уравненной сети
вычисляются по формулам:

F_
— матрица частных производных оцениваемых
дирекционных углов;

F_s —
матрица частных производных оцениваемых
длин сторон сети.

Известно, что

,

,

,

где

и

—
модельные значения дирекционных углов
и длин сторон проектируемой сети.

Производные

,

,

и

равны

,

,

.

Значения
производных оцениваемых функций
представляют собой матрицы F_
и F_s
соответственно

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

координатами центра строба , и его размерами , относительно центра. На рисунке представлена схема стробирования отметок для решения задачи сопровождения цели.

у

R_max

R_min

x

При решении задачи идентификации, т.е. принадлежности отметки стробу экстраполированной траектории, проверяются неравенства:

Все отметки, удовлетворяющие этому неравенству, могут явиться продолжением траектории. Отбор единственной отметки решается путем селекции отметок в стробе.

Размеры строба выбираются из условия обеспечения заданной вероятности попадания в него истинных отметок.

Так, например, если

, , ,

то вероятность попадания истинных отметок в строб будет равна

если , , , то ;

если , , , то .

где , , — суммарные среднеквадратические отклонения истинных отметок от экстраполированных по осям , , .

Дисперсии суммарных отклонений определяются по следующим формулам:

,

,

,

где , , — дисперсии ошибок измерения координат,

, , — дисперсии ошибок экстраполяции. (элементы экстраполированных

корреляционных матриц

Но размеры строба в реальной ситуации не могут оставаться постоянными. На размеры строба в сильной степени влияют

• маневр цели,

• пропуски отметок.

При наличии маневра строб необходимо расширять на величину динамической ошибки. Размеры строба при этом будут зависеть от интенсивности маневра. Для обнаружения маневра размер строба настраивают на максимальную интенсивность маневра, которая определяется способностью техники и человека выдерживать определенные перегрузки.

При наличии пропусков одной или даже нескольких отметок система продолжает экстраполяцию на следующие обзоры в надежде дождаться появления отметки. Но ошибки экстраполяции при этом значительно возрастают (смотри экстраполяцию матрицы ошибок). Следовательно, при пропуске отметок размеры строба должны быть увеличены на величину, пропорциональную ошибки экстраполяции.

В строб, размеры которого выбраны исходя из приведенных выше соображений, может попасть не одна, а несколько отметок принадлежащих как помехам, так и реальным но другим целям. Попадание ложных отметок в строб создает в нем ситуацию неопределенности, требующую дальнейшего анализа. Анализ ситуации неопределенности заключается в выборе истинной отметки из всех попавших в строб. Данная задача называется задачей селекции.

3.2 Селекция отметок в стробе

При решении задачи селекции используются различия в статистике отклонений от центра строба истинных и ложных отметок. Первые ввиду нормального распределения сосредотачиваются вблизи центра строба. Вторые (ложные) считаются равномерно распределенными в объеме строба. Поэтому более вероятно, что ближайшая к центру строба отметка является истинной.

Следовательно, величины отклонений отметок от центра строба можно использовать в качестве критерия для селекции. Оптимизация процесса селекции отметок по их отклонениям от центра строба производится по критерию максимального правдоподобия. В соответствии с этим критерием необходимо найти максимум функции правдоподобия для всех отметок, попавших в строб:

,

где ; — число отметок попавших в строб

Отметка, по которой получено наибольшее значение данной функции, и будет считаться истинной. Нахождение максимума функции эквивалентно нахождению минимума показателя экспоненты.

Отметка, по которой получено наименьшее значение, и будет считаться истинной для продолжения траектории.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС 4

АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ (ФИЛЬТР КАЛМАНА)

Пусть в некоторый момент времени , известен вектор оцениваемых параметров и корреляционная матрица ошибок оценки

Пусть в момент времени , априори, получен предполагаемый на момент времени вектор оцениваемых параметров и его предполагаемая корреляционная матрица ошибок оценки .

В момент времени проводится опыт по измерению координат цели. В результате этого опыта получен вектор измеренных значений и корреляционная матрица ошибок измерений

ВОПРОС. Какими будут значения вектора оцениваемых параметров и его корреляционная матрица ошибок оценки в момент времени после проведения нового измерения координат?

Согласно формуле Байеса, апостериорное распределение вектора оценок параметров после n-го измерения координат определяется следующим выражением:

В качестве предполагаемого вектора оцениваемых параметров, , будем использовать вектор, экстраполированный на момент времени

А в качестве предполагаемой корреляционной матрицы ошибок оценки , будем использовать матрицу, экстраполированную на момент времени

Тогда выражение для формулы Байеса можно записать:

1. 

г

Априорная плотность распределения вектора оцениваемых параметров.

де

(2)

Плотность распределения вектора измеренных координат

(3)

Апостериорная плотность распределения вектора оцениваемых параметров

(4)

Используя выражения (2), (3), (4) для плотностей входящих в формулу (1) после логарифмирования получим

Рекуррентные соотношения для оценки параметров и получаются путем дифференцирования данного выражения по оцениваемым параметрам с последующим приравниванием результатов дифференцирования нулю и решением уравнения относительно . ( По аналогии как и в случае сглаживаниния по методу максимального правдоподобия)

Опустим громоздкие операции по решению этого уравнения и дадим окончательный результат

Последовательность вычислений состоит в следующем порядке выполнения операций:

1. , экстраполяция сглаженного вектора

2. , экстраполяция ошибок сглаживания

3. , расчет ошибок сглаживания

4. расчет параметров траектории

где:

— оператор линейной экстраполяции

вектор измеренных значений

матрица ошибок измеренных координат

Н- линейный оператор соответствия оцениваемых параметров и измеряемых координат

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС 5

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ТРАЕКТОРИИ.

Закон изменения координат линейной траектории записывается в виде:

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Пусть начальные значения параметров траектории и корреляционная матрица ошибок оценки получены по предыдущим измерениям и соответствуют времени

; ;

В момент времени получено новое измеренное значение координаты и

НЕОБХОДИМО НА МОМЕНТ ВРЕМЕНИ ОПРЕДЕЛИТЬ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1. Экстраполяция параметров траектории на время

1. Экстраполяция корреляционной матрицы ошибок оценки на

1. Расчет корреляционной матрицы ошибок оценки на время

учитывая, что сглаживание осуществляется по одной координате то , и тогда

и окончательно получаем выражение

4. Получим теперь выражения для вычисления сглаженных параметров цели в момент времени

рассчитаем выражение

и тогда окончательно получим формулы, по которым осуществляется сглаживание параметров траектории

Величины А_n и B_n получили название коэффициентов сглаживания (или: весовые коэффициенты)

; ;

График изменения коэффициентов сглаживания по времени

A_n

B_n

B_n

A_n

t

П

x

ОЯСНЕНИЕ ПРОЦЕССА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

(

t_n-1

t_n

t

Методическое пособие разработал

подполковник ШВЫДКОВ С.А

к вопросу 5)