Критическая масса ошибок ipeye

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Критическая масса»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А критическая масса это наименьшее количество делящийся материал, необходимый для устойчивого ядерная цепная реакция. Критическая масса делящегося материала зависит от его ядерный свойства (в частности, его ядерное деление поперечное сечение ), плотность, форма, обогащение, чистота, температура и окружение. Концепция важна в конструкция ядерного оружия.

Объяснение критичности

Когда ядерная цепная реакция в массе делящегося материала является самоподдерживающейся, говорят, что масса находится в критический состояние, в котором нет увеличения или уменьшения мощности, температуры или нейтрон Население.

Числовая мера критической массы зависит от эффективный коэффициент размножения нейтронов k, среднее количество нейтронов, высвобождаемых за одно событие деления, которые вызывают другое событие деления, а не поглощаются или покидают материал. Когда k = 1, масса критична, и цепная реакция самоподдерживающаяся.

А субкритический Масса — это масса делящегося материала, не способного выдерживать цепную реакцию деления. Популяция нейтронов, вводимых в подкритическую сборку, будет экспоненциально уменьшаться. В таком случае, k < 1. Постоянная скорость спонтанных делений вызывает пропорционально постоянный уровень нейтронной активности. Константа пропорциональности увеличивается как k увеличивается.

А сверхкритический масса — это та, которая после начала деления будет происходить с возрастающей скоростью. Материал может прийти в равновесие (т.е. снова станет критическим) при повышенной температуре / мощности или самоуничтожится. В случае сверхкритичности k > 1.

Из-за спонтанное деление сверхкритическая масса подвергнется цепной реакции. Например, сферическая критическая масса чистого уран-235 (²³⁵U) с массой около 52 кг (115 фунтов) будет испытывать около 15 событий спонтанного деления в секунду.^{[нужна цитата ]} Вероятность того, что одно такое событие вызовет цепную реакцию, зависит от того, насколько масса превышает критическую массу. Если есть уран-238 (²³⁸U) в настоящее время скорость спонтанного деления будет намного выше. Деление также может быть инициировано нейтронами, образованными космические лучи.

Изменение точки критичности

Масса, при которой возникает критичность, может быть изменена путем изменения определенных атрибутов, таких как топливо, форма, температура, плотность и установка вещества, отражающего нейтроны. Эти атрибуты имеют сложные взаимодействия и взаимозависимости. В этих примерах описаны только самые простые идеальные случаи:

Варьируя количество топлива

Топливная сборка может быть критической при почти нулевой мощности. Если бы идеальное количество топлива было добавлено к слегка подкритической массе для создания «точно критической массы», деление было бы самоподдерживающимся только для одного поколения нейтронов (тогда потребление топлива снова делает сборку подкритической).

Если бы идеальное количество топлива было добавлено к слегка подкритической массе, чтобы создать едва сверхкритическую массу, температура сборки увеличилась бы до начального максимума (например: 1K выше температуры окружающей среды), а затем через некоторое время понизится до температуры окружающей среды, поскольку топливо, израсходованное во время деления, снова возвращает сборку в докритичность.

Изменение формы

Масса может быть точно критической, не будучи идеальной однородной сферой. Более точное уточнение формы до идеальной сферы сделает массу сверхкритической. И наоборот, изменение формы на менее совершенную сферу снизит ее реактивность и сделает ее подкритической.

Изменение температуры

Масса может быть критической при определенной температуре. Сечения деления и поглощения возрастают с уменьшением относительной скорости нейтронов. При повышении температуры топлива нейтроны заданной энергии появляются быстрее, и поэтому деление / поглощение менее вероятно. Это связано с Доплеровское уширение из ²³⁸U-резонанс, но является общим для всех видов топлива / поглотителей / конфигураций. Если пренебречь очень важными резонансами, полное нейтронное сечение каждого материала показывает обратную зависимость от относительной скорости нейтронов. Горячее топливо всегда менее реактивно, чем холодное (избыточное / недостаточное замедление в LWR это отдельная тема). Тепловое расширение, связанное с повышением температуры, также вносит свой вклад в отрицательный коэффициент реактивности, поскольку атомы топлива отдаляются друг от друга. Масса, которая является критической при комнатной температуре, будет докритической в ​​среде, где температура выше комнатной, только из-за теплового расширения.

Изменение плотности массы

Чем выше плотность, тем ниже критическая масса. Плотность материала при постоянной температуре можно изменять, изменяя давление или натяжение или изменяя кристаллическую структуру (см. аллотропы плутония ). Идеальная масса станет подкритической, если ей позволено расшириться, или, наоборот, та же масса станет сверхкритической при сжатии. Изменение температуры также может изменить плотность; однако влияние на критическую массу затем усложняется температурными эффектами (см. «Изменение температуры») и тем, расширяется или сжимается материал при повышении температуры. Предполагая, что материал расширяется с температурой (обогащенный уран-235 при комнатной температуре, например), в точно критическом состоянии, он станет докритическим при нагревании до более низкой плотности или станет сверхкритическим при охлаждении до более высокой плотности. Говорят, что такой материал имеет отрицательный температурный коэффициент реактивности, что указывает на то, что его реакционная способность снижается при повышении температуры. Использование такого материала в качестве топлива означает, что деление уменьшается при повышении температуры топлива.

Использование отражателя нейтронов

Окружение сферической критической массы отражатель нейтронов дополнительно снижает массу, необходимую для критичности. Обычным материалом для отражателя нейтронов является бериллий металл. Это уменьшает количество нейтронов, покидающих делящийся материал, что приводит к увеличению реактивности.

Использование тампера

В бомбе плотная оболочка из материала, окружающая делящееся ядро, будет по инерции содержать расширяющийся делящийся материал. Это увеличивает эффективность. Тампер также имеет тенденцию действовать как отражатель нейтронов. Поскольку в бомбе используются быстрые нейтроны (а не нейтроны, замедляемые отражением от легких элементов, как в реакторе), нейтроны, отраженные тампером, замедляются из-за их столкновений с ядрами тампера, а также потому, что отраженным нейтронам требуется время, чтобы вернуться. делящемуся ядру им требуется гораздо больше времени, чтобы поглощаться делящимся ядром. Но они вносят свой вклад в реакцию и могут снизить критическую массу в четыре раза.^[1] Кроме того, если тампер представляет собой (например, обедненный) уран, он может делиться из-за нейтронов высокой энергии, генерируемых первичным взрывом. Это может значительно увеличить выход, особенно если еще больше нейтронов генерируется при синтезе изотопов водорода в так называемой усиленной конфигурации.

Критический размер

Критический размер — это минимальный размер активной зоны ядерного реактора или ядерного оружия, который может быть изготовлен для определенного геометрического расположения и состава материала. Критический размер должен как минимум включать достаточно расщепляющегося материала для достижения критической массы. Если размер активной зоны реактора меньше определенного минимума, через его поверхность выходит слишком много нейтронов деления, и цепная реакция не поддерживается.

Критическая масса голого шара

Форма с минимальной критической массой и наименьшими физическими размерами — сфера. Критические массы голой сферы при нормальной плотности актиниды перечислены в следующей таблице. Большая часть информации о массах голых сфер считается засекреченной, поскольку она важна для конструкции ядерного оружия, но некоторые документы были рассекречены.^[2]

Нуклид	Период полураспада (у)	Критическая масса (кг)	Диаметр (см)	Ссылка
уран-233	159,200	15	11	[3]
уран-235	703,800,000	52	17	[3]
нептуний-236	154,000	7	8.7	[4]
нептуний-237	2,144,000	60	18	[5][6]
плутоний-238	87.7	9.04–10.07	9.5–9.9	[7]
плутоний-239	24,110	10	9.9	[3][7]
плутоний-240	6561	40	15	[3]
плутоний-241	14.3	12	10.5	[8]
плутоний-242	375,000	75–100	19–21	[8]
америций-241	432.2	55–77	20–23	[9]
америций-242m	141	9–14	11–13	[9]
америций-243	7370	180–280	30–35	[9]
кюрий -243	29.1	7.34–10	10–11	[10]
кюрий -244	18.1	13.5–30	12.4–16	[10]
кюрий -245	8500	9.41–12.3	11–12	[10]
кюрий -246	4760	39–70.1	18–21	[10]
кюрий -247	15,600,000	6.94–7.06	9.9	[10]
берклий -247	1380	75.7	11.8-12.2	[11]
берклий -249	0.9	192	16.1-16.6	[11]
калифорний -249	351	6	9	[4]
калифорний -251	900	5.46	8.5	[4]
калифорний -252	2.6	2.73	6.9	[12]
эйнштейний -254	0.755	9.89	7.1	[11]

Критическая масса низкосортного урана сильно зависит от сорта: с 20% ²³⁵U более 400 кг; с 15% ²³⁵У, это значительно больше 600 кг.

Критическая масса обратно пропорциональна квадрату плотности. Если плотность на 1% больше, а масса на 2% меньше, то объем меньше на 3%, а диаметр на 1% меньше. Вероятность попадания нейтрона на см пройденного пути в ядро ​​пропорциональна плотности. Отсюда следует, что увеличение плотности на 1% означает, что расстояние, пройденное до выхода из системы, будет на 1% меньше. Это то, что необходимо учитывать при попытке более точных оценок критических масс изотопов плутония, чем приблизительные значения, приведенные выше, поскольку металлический плутоний имеет большое количество различных кристаллических фаз, плотность которых может сильно варьироваться.

Обратите внимание, что не все нейтроны участвуют в цепной реакции. Некоторые убегают, а другие проходят радиационный захват.

Позволять q обозначают вероятность того, что данный нейтрон вызывает деление в ядре. Считайте только быстрые нейтроны, и разреши ν обозначают количество мгновенных нейтронов, генерируемых при делении ядра. Например, ν ≈ 2.5 для урана-235. Тогда критичность наступает, когда ν · q = 1. Зависимость этого от геометрии, массы и плотности проявляется через фактор q.

Учитывая полное взаимодействие поперечное сечение σ (обычно измеряется в сараи ), длина свободного пробега быстрого нейтрона где п — плотность ядер. Большинство взаимодействий — это события рассеяния, так что данный нейтрон подчиняется случайная прогулка пока он либо не выйдет из среды, либо не вызовет реакцию деления. Пока другие механизмы потерь не имеют значения, радиус сферической критической массы довольно грубо определяется произведением длины свободного пробега и квадратный корень из единицы плюс количество событий рассеяния на событие деления (назовем это s), поскольку чистое расстояние, пройденное при случайном блуждании, пропорционально квадратному корню из числа шагов:

Однако еще раз отметим, что это лишь приблизительная оценка.

По общей массе M, ядерная масса м, плотность ρ и фактор выдумки ж учитывающим геометрические и другие эффекты, критичность соответствует

что явно восстанавливает вышеупомянутый результат, что критическая масса обратно пропорциональна квадрату плотности.

В качестве альтернативы, можно выразить это более кратко, используя поверхностную плотность массы Σ:

где фактор ж был переписан как f ‘ чтобы учесть тот факт, что эти два значения могут различаться в зависимости от геометрических эффектов и того, как определяется Σ. Например, для голого твердого шара размером ²³⁹Критичность Pu составляет 320 кг / м3.², независимо от плотности, и для ²³⁵U при 550 кг / м². В любом случае критичность зависит от типичного нейтрона, «видящего» такое количество ядер вокруг себя, что поверхностная плотность ядер превышает определенный порог.

Это применяется в ядерном оружии имплозивного типа, где сферическая масса делящегося материала, которая существенно меньше критической массы, становится сверхкритической за счет очень быстрого увеличения ρ (и, следовательно, Σ) (см. Ниже). Действительно, сложные программы создания ядерного оружия могут создать функциональное устройство из меньшего количества материала, чем требуется для более примитивных программ оружия.

Помимо математики, есть простой физический аналог, который помогает объяснить этот результат. Представьте, что из выхлопной трубы выходят пары дизельного топлива. Сначала пары кажутся черными, затем постепенно вы можете без проблем видеть сквозь них. Это происходит не потому, что общее сечение рассеяния всех частиц сажи изменилось, а потому, что сажа рассеялась. Если рассматривать прозрачный куб длиной L на стороне, залитой сажей, затем оптическая глубина этой среды обратно пропорционально квадрату L, и поэтому пропорциональна поверхностной плотности частиц сажи: мы можем облегчить просмотр воображаемого куба, просто увеличив куб.

Некоторые неопределенности способствуют определению точного значения критических масс, включая (1) подробное знание сечений деления, (2) расчет геометрических эффектов. Эта последняя проблема послужила значительной мотивацией для разработки Метод Монте-Карло в вычислительной физике Николай Метрополис и Станислав Улам. Фактически, даже для однородной твердой сферы точный расчет отнюдь не является тривиальным. Наконец, обратите внимание, что расчет также может быть выполнен в предположении континуального приближения для переноса нейтронов. Это сводит его к проблеме распространения. Однако, поскольку типичные линейные размеры не намного больше, чем длина свободного пробега, такое приближение применимо лишь в незначительной степени.

Наконец, обратите внимание, что для некоторых идеализированных геометрий критическая масса формально может быть бесконечной, а для описания критичности используются другие параметры. Например, рассмотрим бесконечный лист расщепляющегося материала. Для любой конечной толщины это соответствует бесконечной массе. Однако критичность достигается только тогда, когда толщина этой плиты превышает критическое значение.

Важность конструкции ядерного оружия

Пока не требуется детонация, ядерное оружие должны поддерживаться в субкритическом состоянии. В случае урановой бомбы это может быть достигнуто путем хранения топлива в нескольких отдельных частях, каждая ниже критический размер либо потому, что они слишком маленькие, либо неправильной формы. Чтобы произвести детонацию, куски урана быстро собираются вместе. В Маленький мальчик, это было достигнуто путем выстрела куска урана («бублика») в ствол пистолета на другой кусок («шип»). Эта конструкция называется орудие деления пушечного типа.

Теоретическая 100% чистота ²³⁹Оружие из полиуретана также может быть сконструировано как оружие пушечного типа, как предложенное Манхэттенским проектом. Тонкий человек дизайн. На самом деле это непрактично, потому что даже «оружейный класс» ²³⁹Pu загрязнен небольшим количеством ²⁴⁰Pu, который имеет сильную склонность к спонтанному делению. Из-за этого оружие типа пушки разумного размера будет подвергаться ядерной реакции (преддонация ) до того, как массы плутония будут в состоянии, чтобы произойти полноценный взрыв.

Вместо этого плутоний присутствует в виде подкритической сферы (или другой формы), которая может быть или не быть полой. Детонация производится при взрыве кумулятивный заряд окружая сферу, увеличивая плотность (и схлопывая полость, если она есть), чтобы произвести срочный критический конфигурация. Это известно как оружие имплозивного типа.

Оперативная критичность

Событие деления должно высвободить, в среднем, более одного свободного нейтрона желаемого уровня энергии для поддержания цепной реакции, и каждый должен найти другие ядра и вызвать их деление. Большая часть нейтронов, высвобождаемых в результате деления, происходит сразу же после этого события, но часть из них приходит позже, когда продукты деления распадаются, что может произойти в среднем от микросекунд до минут. Это удачно для атомной энергетики, поскольку без этой задержки «критическое состояние» было бы немедленно катастрофическим событием, как в случае ядерной бомбы, где более 80 поколений цепной реакции происходят менее чем за микросекунду, что слишком быстро для человек или даже машина, чтобы отреагировать. Физики выделяют два важных момента в постепенном увеличении потока нейтронов: критический, когда цепная реакция становится самоподдерживающейся благодаря вкладу обоих видов генерации нейтронов,^[13] и срочный критический, где только немедленные «мгновенные» нейтроны будут поддерживать реакцию без необходимости в нейтронах распада. Атомные электростанции работают между этими двумя точками реактивность, в то время как выше критической точки находится область ядерного оружия и некоторых аварий на атомной электростанции, таких как Чернобыльская катастрофа.

Удобная единица измерения реактивности предложена Луи Слотин: что из доллар и центы.

Смотрите также

• Критичность аварии
• Безопасность ядерной критичности
• Геометрическая форма и деформация материала

Рекомендации

In nuclear engineering, a critical mass is the smallest amount of fissile material needed for a sustained nuclear chain reaction. The critical mass of a fissionable material depends upon its nuclear properties (specifically, its nuclear fission cross-section), density, shape, enrichment, purity, temperature, and surroundings. The concept is important in nuclear weapon design.

Explanation of criticality[edit]

When a nuclear chain reaction in a mass of fissile material is self-sustaining, the mass is said to be in a critical state in which there is no increase or decrease in power, temperature, or neutron population.

A numerical measure of a critical mass is dependent on the effective neutron multiplication factor k, the average number of neutrons released per fission event that go on to cause another fission event rather than being absorbed or leaving the material. When k = 1, the mass is critical, and the chain reaction is self-sustaining.

A subcritical mass is a mass of fissile material that does not have the ability to sustain a fission chain reaction. A population of neutrons introduced to a subcritical assembly will exponentially decrease. In this case, k < 1. A steady rate of spontaneous fissions causes a proportionally steady level of neutron activity. The constant of proportionality increases as k increases.

A supercritical mass is one which, once fission has started, will proceed at an increasing rate. The material may settle into equilibrium (i.e. become critical again) at an elevated temperature/power level or destroy itself. In the case of supercriticality, k > 1.

Due to spontaneous fission a supercritical mass will undergo a chain reaction. For example, a spherical critical mass of pure uranium-235 (²³⁵U) with a mass of about 52 kilograms (115 lb) would experience around 15 spontaneous fission events per second.^{[citation needed]} The probability that one such event will cause a chain reaction depends on how much the mass exceeds the critical mass. If there is uranium-238 (²³⁸U) present, the rate of spontaneous fission will be much higher. Fission can also be initiated by neutrons produced by cosmic rays.

Changing the point of criticality[edit]

The mass where criticality occurs may be changed by modifying certain attributes such as fuel, shape, temperature, density and the installation of a neutron-reflective substance. These attributes have complex interactions and interdependencies. These examples only outline the simplest ideal cases:

Varying the amount of fuel[edit]

It is possible for a fuel assembly to be critical at near zero power. If the perfect quantity of fuel were added to a slightly subcritical mass to create an «exactly critical mass», fission would be self-sustaining for only one neutron generation (fuel consumption then makes the assembly subcritical again).

Similarly, if the perfect quantity of fuel were added to a slightly subcritical mass, to create a barely supercritical mass, the temperature of the assembly would increase to an initial maximum (for example: 1 K above the ambient temperature) and then decrease back to the ambient temperature after a period of time, because fuel consumed during fission brings the assembly back to subcriticality once again.

Changing the shape[edit]

A mass may be exactly critical without being a perfect homogeneous sphere. More closely refining the shape toward a perfect sphere will make the mass supercritical. Conversely changing the shape to a less perfect sphere will decrease its reactivity and make it subcritical.

Changing the temperature[edit]

A mass may be exactly critical at a particular temperature. Fission and absorption cross-sections increase as the relative neutron velocity decreases. As fuel temperature increases, neutrons of a given energy appear faster and thus fission/absorption is less likely. This is not unrelated to Doppler broadening of the ²³⁸U resonances but is common to all fuels/absorbers/configurations. Neglecting the very important resonances, the total neutron cross-section of every material exhibits an inverse relationship with relative neutron velocity. Hot fuel is always less reactive than cold fuel (over/under moderation in LWR is a different topic). Thermal expansion associated with temperature increase also contributes a negative coefficient of reactivity since fuel atoms are moving farther apart. A mass that is exactly critical at room temperature would be sub-critical in an environment anywhere above room temperature due to thermal expansion alone.

Varying the density of the mass[edit]

The higher the density, the lower the critical mass. The density of a material at a constant temperature can be changed by varying the pressure or tension or by changing crystal structure (see allotropes of plutonium). An ideal mass will become subcritical if allowed to expand or conversely the same mass will become supercritical if compressed. Changing the temperature may also change the density; however, the effect on critical mass is then complicated by temperature effects (see «Changing the temperature») and by whether the material expands or contracts with increased temperature. Assuming the material expands with temperature (enriched uranium-235 at room temperature for example), at an exactly critical state, it will become subcritical if warmed to lower density or become supercritical if cooled to higher density. Such a material is said to have a negative temperature coefficient of reactivity to indicate that its reactivity decreases when its temperature increases. Using such a material as fuel means fission decreases as the fuel temperature increases.

Use of a neutron reflector[edit]

Surrounding a spherical critical mass with a neutron reflector further reduces the mass needed for criticality. A common material for a neutron reflector is beryllium metal. This reduces the number of neutrons which escape the fissile material, resulting in increased reactivity.

Use of a tamper[edit]

In a bomb, a dense shell of material surrounding the fissile core will contain, via inertia, the expanding fissioning material, which increases the efficiency. This is known as a tamper. A tamper also tends to act as a neutron reflector. Because a bomb relies on fast neutrons (not ones moderated by reflection with light elements, as in a reactor), the neutrons reflected by a tamper are slowed by their collisions with the tamper nuclei, and because it takes time for the reflected neutrons to return to the fissile core, they take rather longer to be absorbed by a fissile nucleus. But they do contribute to the reaction, and can decrease the critical mass by a factor of four.^[1] Also, if the tamper is (e.g. depleted) uranium, it can fission due to the high energy neutrons generated by the primary explosion. This can greatly increase yield, especially if even more neutrons are generated by fusing hydrogen isotopes, in a so-called boosted configuration.

Critical size[edit]

The critical size is the minimum size of a nuclear reactor core or nuclear weapon that can be made for a specific geometrical arrangement and material composition. The critical size must at least include enough fissionable material to reach critical mass. If the size of the reactor core is less than a certain minimum, too many fission neutrons escape through its surface and the chain reaction is not sustained.

Critical mass of a bare sphere[edit]

The shape with minimal critical mass and the smallest physical dimensions is a sphere. Bare-sphere critical masses at normal density of some actinides are listed in the following table. Most information on bare sphere masses is considered classified, since it is critical to nuclear weapons design, but some documents have been declassified.^[2]

Nuclide	Half-life (y)	Critical mass (kg)	Diameter (cm)	Ref
uranium-233	159,200	15	11	[3]
uranium-235	703,800,000	52	17	[3]
neptunium-236	154,000	7	8.7	[4]
neptunium-237	2,144,000	60	18	[5][6]
plutonium-238	87.7	9.04–10.07	9.5–9.9	[7]
plutonium-239	24,110	10	9.9	[3][7]
plutonium-240	6561	40	15	[3]
plutonium-241	14.3	12	10.5	[8]
plutonium-242	375,000	75–100	19–21	[8]
americium-241	432.2	55–77	20–23	[9]
americium-242m	141	9–14	11–13	[9]
americium-243	7370	180–280	30–35	[9]
curium-243	29.1	7.34–10	10–11	[10]
curium-244	18.1	13.5–30	12.4–16	[10]
curium-245	8500	9.41–12.3	11–12	[10]
curium-246	4760	39–70.1	18–21	[10]
curium-247	15,600,000	6.94–7.06	9.9	[10]
berkelium-247	1380	75.7	11.8-12.2	[11]
berkelium-249	0.9	192	16.1-16.6	[11]
californium-249	351	6	9	[4]
californium-251	900	5.46	8.5	[4]
californium-252	2.6	2.73	6.9	[12]
einsteinium-254	0.755	9.89	7.1	[11]

The critical mass for lower-grade uranium depends strongly on the grade: with 20% ²³⁵U it is over 400 kg; with 15% ²³⁵U, it is well over 600 kg.

The critical mass is inversely proportional to the square of the density. If the density is 1% more and the mass 2% less, then the volume is 3% less and the diameter 1% less. The probability for a neutron per cm travelled to hit a nucleus is proportional to the density. It follows that 1% greater density means that the distance travelled before leaving the system is 1% less. This is something that must be taken into consideration when attempting more precise estimates of critical masses of plutonium isotopes than the approximate values given above, because plutonium metal has a large number of different crystal phases which can have widely varying densities.

Note that not all neutrons contribute to the chain reaction. Some escape and others undergo radiative capture.

Let q denote the probability that a given neutron induces fission in a nucleus. Consider only prompt neutrons, and let ν denote the number of prompt neutrons generated in a nuclear fission. For example, ν ≈ 2.5 for uranium-235. Then, criticality occurs when ν·q = 1. The dependence of this upon geometry, mass, and density appears through the factor q.

Given a total interaction cross section σ (typically measured in barns), the mean free path of a prompt neutron is where n is the nuclear number density. Most interactions are scattering events, so that a given neutron obeys a random walk until it either escapes from the medium or causes a fission reaction. So long as other loss mechanisms are not significant, then, the radius of a spherical critical mass is rather roughly given by the product of the mean free path and the square root of one plus the number of scattering events per fission event (call this s), since the net distance travelled in a random walk is proportional to the square root of the number of steps:

Note again, however, that this is only a rough estimate.

In terms of the total mass M, the nuclear mass m, the density ρ, and a fudge factor f which takes into account geometrical and other effects, criticality corresponds to

which clearly recovers the aforementioned result that critical mass depends inversely on the square of the density.

Alternatively, one may restate this more succinctly in terms of the areal density of mass, Σ:

where the factor f has been rewritten as f’ to account for the fact that the two values may differ depending upon geometrical effects and how one defines Σ. For example, for a bare solid sphere of ²³⁹Pu criticality is at 320 kg/m², regardless of density, and for ²³⁵U at 550 kg/m².
In any case, criticality then depends upon a typical neutron «seeing» an amount of nuclei around it such that the areal density of nuclei exceeds a certain threshold.

This is applied in implosion-type nuclear weapons where a spherical mass of fissile material that is substantially less than a critical mass is made supercritical by very rapidly increasing ρ (and thus Σ as well) (see below). Indeed, sophisticated nuclear weapons programs can make a functional device from less material than more primitive weapons programs require.

Aside from the math, there is a simple physical analog that helps explain this result. Consider diesel fumes belched from an exhaust pipe. Initially the fumes appear black, then gradually you are able to see through them without any trouble. This is not because the total scattering cross section of all the soot particles has changed, but because the soot has dispersed. If we consider a transparent cube of length L on a side, filled with soot, then the optical depth of this medium is inversely proportional to the square of L, and therefore proportional to the areal density of soot particles: we can make it easier to see through the imaginary cube just by making the cube larger.

Several uncertainties contribute to the determination of a precise value for critical masses, including (1) detailed knowledge of fission cross sections, (2) calculation of geometric effects. This latter problem provided significant motivation for the development of the Monte Carlo method in computational physics by Nicholas Metropolis and Stanislaw Ulam. In fact, even for a homogeneous solid sphere, the exact calculation is by no means trivial. Finally, note that the calculation can also be performed by assuming a continuum approximation for the neutron transport. This reduces it to a diffusion problem. However, as the typical linear dimensions are not significantly larger than the mean free path, such an approximation is only marginally applicable.

Finally, note that for some idealized geometries, the critical mass might formally be infinite, and other parameters are used to describe criticality. For example, consider an infinite sheet of fissionable material. For any finite thickness, this corresponds to an infinite mass. However, criticality is only achieved once the thickness of this slab exceeds a critical value.

Criticality in nuclear weapon design[edit]

Until detonation is desired, a nuclear weapon must be kept subcritical. In the case of a uranium gun-type bomb, this can be achieved by keeping the fuel in a number of separate pieces, each below the critical size either because they are too small or unfavorably shaped. To produce detonation, the pieces of uranium are brought together rapidly. In Little Boy, this was achieved by firing a piece of uranium (a ‘doughnut’) down a gun barrel onto another piece (a ‘spike’). This design is referred to as a gun-type fission weapon.

A theoretical 100% pure ²³⁹Pu weapon could also be constructed as a gun-type weapon, like the Manhattan Project’s proposed Thin Man design. In reality, this is impractical because even «weapons grade» ²³⁹Pu is contaminated with a small amount of ²⁴⁰Pu, which has a strong propensity toward spontaneous fission. Because of this, a reasonably sized gun-type weapon would suffer nuclear reaction (predetonation) before the masses of plutonium would be in a position for a full-fledged explosion to occur.

Instead, the plutonium is present as a subcritical sphere (or other shape), which may or may not be hollow. Detonation is produced by exploding a shaped charge surrounding the sphere, increasing the density (and collapsing the cavity, if present) to produce a prompt critical configuration. This is known as an implosion type weapon.

Prompt criticality[edit]

The event of fission must release, on the average, more than one free neutron of the desired energy level in order to sustain a chain reaction, and each must find other nuclei and cause them to fission. Most of the neutrons released from a fission event come immediately from that event, but a fraction of them come later, when the fission products decay, which may be on the average from microseconds to minutes later. This is fortunate for atomic power generation, for without this delay «going critical» would be an immediately catastrophic event, as it is in a nuclear bomb where upwards of 80 generations of chain reaction occur in less than a microsecond, far too fast for a human, or even a machine, to react. Physicists recognize two points in the gradual increase of neutron flux which are significant: critical, where the chain reaction becomes self-sustaining thanks to the contributions of both kinds of neutron generation,^[13] and prompt critical, where the immediate «prompt» neutrons alone will sustain the reaction without need for the decay neutrons. Nuclear power plants operate between these two points of reactivity, while above the prompt critical point is the domain of nuclear weapons and some nuclear power accidents, such as the Chernobyl disaster.

See also[edit]

• Criticality (status)
• Criticality accident
• Nuclear criticality safety
• Geometric and material buckling

References[edit]