Математическая ошибка как называется

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Invalid proof» redirects here. For any type of invalid proof besides mathematics, see Fallacy.

«0 = 1» redirects here. For the algebraic structure where this equality holds, see Null ring.

In mathematics, certain kinds of mistaken proof are often exhibited, and sometimes collected, as illustrations of a concept called mathematical fallacy. There is a distinction between a simple mistake and a mathematical fallacy in a proof, in that a mistake in a proof leads to an invalid proof while in the best-known examples of mathematical fallacies there is some element of concealment or deception in the presentation of the proof.

For example, the reason why validity fails may be attributed to a division by zero that is hidden by algebraic notation. There is a certain quality of the mathematical fallacy: as typically presented, it leads not only to an absurd result, but does so in a crafty or clever way.^[1] Therefore, these fallacies, for pedagogic reasons, usually take the form of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle, or designed to show that certain steps are conditional, and are not applicable in the cases that are the exceptions to the rules.

The traditional way of presenting a mathematical fallacy is to give an invalid step of deduction mixed in with valid steps, so that the meaning of fallacy is here slightly different from the logical fallacy. The latter usually applies to a form of argument that does not comply with the valid inference rules of logic, whereas the problematic mathematical step is typically a correct rule applied with a tacit wrong assumption. Beyond pedagogy, the resolution of a fallacy can lead to deeper insights into a subject (e.g., the introduction of Pasch’s axiom of Euclidean geometry,^[2] the five colour theorem of graph theory). Pseudaria, an ancient lost book of false proofs, is attributed to Euclid.^[3]

Mathematical fallacies exist in many branches of mathematics. In elementary algebra, typical examples may involve a step where division by zero is performed, where a root is incorrectly extracted or, more generally, where different values of a multiple valued function are equated. Well-known fallacies also exist in elementary Euclidean geometry and calculus.^[4]^[5]

Howlers[edit]

${displaystyle {begin{array}{l};;;{dfrac {d}{dx}}{dfrac {1}{x}}\={dfrac {d}{d}}{dfrac {1}{x^{2}}}\={dfrac {d!!!backslash }{d!!!backslash }}{dfrac {1}{x^{2}}}\=-{dfrac {1}{x^{2}}}end{array}}}$

Anomalous cancellation in calculus

Examples exist of mathematically correct results derived by incorrect lines of reasoning. Such an argument, however true the conclusion appears to be, is mathematically invalid and is commonly known as a howler. The following is an example of a howler involving anomalous cancellation:

${displaystyle {frac {16}{64}}={frac {16!!!/}{6!!!/4}}={frac {1}{4}}.}$

Here, although the conclusion 16/64 = 1/4 is correct, there is a fallacious, invalid cancellation in the middle step.^{[note 1]} Another classical example of a howler is proving the Cayley–Hamilton theorem by simply substituting the scalar variables of the characteristic polynomial by the matrix.

Bogus proofs, calculations, or derivations constructed to produce a correct result in spite of incorrect logic or operations were termed «howlers» by Maxwell.^[2] Outside the field of mathematics the term howler has various meanings, generally less specific.

Division by zero[edit]

The division-by-zero fallacy has many variants. The following example uses a disguised division by zero to «prove» that 2 = 1, but can be modified to prove that any number equals any other number.

Let a and b be equal, nonzero quantities
Multiply by a

$a^{2}=ab$
Subtract b²

$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
Factor both sides: the left factors as a difference of squares, the right is factored by extracting b from both terms
Divide out (a − b)
Use the fact that a = b
Combine like terms on the left
Divide by the non-zero b

Q.E.D.^[6]

The fallacy is in line 5: the progression from line 4 to line 5 involves division by a − b, which is zero since a = b. Since division by zero is undefined, the argument is invalid.

Analysis[edit]

Mathematical analysis as the mathematical study of change and limits can lead to mathematical fallacies — if the properties of integrals and differentials are ignored. For instance, a naive use of integration by parts can be used to give a false proof that 0 = 1.^[7] Letting u = 1/log x and dv = dx/x, we may write:

$int {frac {1}{x,log x}},dx=1+int {frac {1}{x,log x}},dx$

after which the antiderivatives may be cancelled yielding 0 = 1. The problem is that antiderivatives are only defined up to a constant and shifting them by 1 or indeed any number is allowed. The error really comes to light when we introduce arbitrary integration limits a and b.

${displaystyle int _{a}^{b}{frac {1}{x,log x}},dx=1|_{a}^{b}+int _{a}^{b}{frac {1}{x,log x}},dx=0+int _{a}^{b}{frac {1}{xlog x}},dx=int _{a}^{b}{frac {1}{xlog x}},dx}$

Since the difference between two values of a constant function vanishes, the same definite integral appears on both sides of the equation.

Multivalued functions[edit]

Many functions do not have a unique inverse. For instance, while squaring a number gives a unique value, there are two possible square roots of a positive number. The square root is multivalued. One value can be chosen by convention as the principal value; in the case of the square root the non-negative value is the principal value, but there is no guarantee that the square root given as the principal value of the square of a number will be equal to the original number (e.g. the principal square root of the square of −2 is 2). This remains true for nth roots.

Positive and negative roots[edit]

Care must be taken when taking the square root of both sides of an equality. Failing to do so results in a «proof» of^[8] 5 = 4.

Proof:

Start from

Write this as

Rewrite as

${displaystyle 5^{2}-5times 9=4^{2}-4times 9}$

Add 81/4 on both sides:

${displaystyle 5^{2}-5times 9+{frac {81}{4}}=4^{2}-4times 9+{frac {81}{4}}}$

These are perfect squares:

${displaystyle left(5-{frac {9}{2}}right)^{2}=left(4-{frac {9}{2}}right)^{2}}$

Take the square root of both sides:

${displaystyle 5-{frac {9}{2}}=4-{frac {9}{2}}}$

Add 9/2 on both sides:

Q.E.D.

The fallacy is in the second to last line, where the square root of both sides is taken: a² = b² only implies a = b if a and b have the same sign, which is not the case here. In this case, it implies that a = –b, so the equation should read

${displaystyle 5-{frac {9}{2}}=-left(4-{frac {9}{2}}right)}$

which, by adding 9/2 on both sides, correctly reduces to 5 = 5.

Another example illustrating the danger of taking the square root of both sides of an equation involves the following fundamental identity^[9]

$cos ^{2}x=1-sin ^{2}x$

which holds as a consequence of the Pythagorean theorem. Then, by taking a square root,

${displaystyle cos x={sqrt {1-sin ^{2}x}}}$

Evaluating this when x = π , we get that

which is incorrect.

The error in each of these examples fundamentally lies in the fact that any equation of the form

$x^{2}=a^{2}$

where aneq 0 , has two solutions:

and it is essential to check which of these solutions is relevant to the problem at hand.^[10] In the above fallacy, the square root that allowed the second equation to be deduced from the first is valid only when cos x is positive. In particular, when x is set to π, the second equation is rendered invalid.

Square roots of negative numbers[edit]

Invalid proofs utilizing powers and roots are often of the following kind:

1={sqrt {1}}={sqrt {(-1)(-1)}}={sqrt {-1}}{sqrt {-1}}=icdot i=-1.

The fallacy is that the rule is generally valid only if at least one of and is non-negative (when dealing with real numbers), which is not the case here.^[11]

Alternatively, imaginary roots are obfuscated in the following:

${displaystyle i={sqrt {-1}}=left(-1right)^{frac {2}{4}}=left(left(-1right)^{2}right)^{frac {1}{4}}=1^{frac {1}{4}}=1}$

The error here lies in the third equality, as the rule ${displaystyle a^{bc}=(a^{b})^{c}}$ only holds for positive real a and real b, c.

Complex exponents[edit]

When a number is raised to a complex power, the result is not uniquely defined (see Exponentiation § Failure of power and logarithm identities). If this property is not recognized, then errors such as the following can result:

${displaystyle {begin{aligned}e^{2pi i}&=1\left(e^{2pi i}right)^{i}&=1^{i}\e^{-2pi }&=1\end{aligned}}}$

The error here is that the rule of multiplying exponents as when going to the third line does not apply unmodified with complex exponents, even if when putting both sides to the power i only the principal value is chosen. When treated as multivalued functions, both sides produce the same set of values, being {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometry[edit]

Many mathematical fallacies in geometry arise from using an additive equality involving oriented quantities (such as adding vectors along a given line or adding oriented angles in the plane) to a valid identity, but which fixes only the absolute value of (one of) these quantities. This quantity is then incorporated into the equation with the wrong orientation, so as to produce an absurd conclusion. This wrong orientation is usually suggested implicitly by supplying an imprecise diagram of the situation, where relative positions of points or lines are chosen in a way that is actually impossible under the hypotheses of the argument, but non-obviously so.

In general, such a fallacy is easy to expose by drawing a precise picture of the situation, in which some relative positions will be different from those in the provided diagram. In order to avoid such fallacies, a correct geometric argument using addition or subtraction of distances or angles should always prove that quantities are being incorporated with their correct orientation.

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

The fallacy of the isosceles triangle, from (Maxwell 1959, Chapter II, § 1), purports to show that every triangle is isosceles, meaning that two sides of the triangle are congruent. This fallacy was known to Lewis Carroll and may have been discovered by him. It was published in 1899.^[12]^[13]

Given a triangle △ABC, prove that AB = AC:

Draw a line bisecting ∠A.
Draw the perpendicular bisector of segment BC, which bisects BC at a point D.
Let these two lines meet at a point O.
Draw line OR perpendicular to AB, line OQ perpendicular to AC.
Draw lines OB and OC.
By AAS, △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (common side)).
By RHS,^{[note 2]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hypotenuse); RO = OQ (leg)).
Thus, AR = AQ, RB = QC, and AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

As a corollary, one can show that all triangles are equilateral, by showing that AB = BC and AC = BC in the same way.

The error in the proof is the assumption in the diagram that the point O is inside the triangle. In fact, O always lies on the circumcircle of the △ABC (except for isosceles and equilateral triangles where AO and OD coincide). Furthermore, it can be shown that, if AB is longer than AC, then R will lie within AB, while Q will lie outside of AC, and vice versa (in fact, any diagram drawn with sufficiently accurate instruments will verify the above two facts). Because of this, AB is still AR + RB, but AC is actually AQ − QC; and thus the lengths are not necessarily the same.

Proof by induction[edit]

There exist several fallacious proofs by induction in which one of the components, basis case or inductive step, is incorrect. Intuitively, proofs by induction work by arguing that if a statement is true in one case, it is true in the next case, and hence by repeatedly applying this, it can be shown to be true for all cases. The following «proof» shows that all horses are the same colour.^[14]^{[note 3]}

Let us say that any group of N horses is all of the same colour.
If we remove a horse from the group, we have a group of N − 1 horses of the same colour. If we add another horse, we have another group of N horses. By our previous assumption, all the horses are of the same colour in this new group, since it is a group of N horses.
Thus we have constructed two groups of N horses all of the same colour, with N − 1 horses in common. Since these two groups have some horses in common, the two groups must be of the same colour as each other.
Therefore, combining all the horses used, we have a group of N + 1 horses of the same colour.
Thus if any N horses are all the same colour, any N + 1 horses are the same colour.
This is clearly true for N = 1 (i.e., one horse is a group where all the horses are the same colour). Thus, by induction, N horses are the same colour for any positive integer N, and so all horses are the same colour.

The fallacy in this proof arises in line 3. For N = 1, the two groups of horses have N − 1 = 0 horses in common, and thus are not necessarily the same colour as each other, so the group of N + 1 = 2 horses is not necessarily all of the same colour. The implication «every N horses are of the same colour, then N + 1 horses are of the same colour» works for any N > 1, but fails to be true when N = 1. The basis case is correct, but the induction step has a fundamental flaw.

Notes[edit]

^ The same fallacy also applies to the following:

${displaystyle {begin{aligned}{frac {19}{95}}={frac {19!!!/}{9!!!/5}}&={frac {1}{5}}\{frac {26}{65}}={frac {26!!!/}{6!!!/5}}&={frac {2}{5}}\{frac {49}{98}}={frac {49!!!/}{9!!!/8}}&={frac {4}{8}}={frac {1}{2}}end{aligned}}}$
^ Hypotenuse–leg congruence
^ George Pólya’s original «proof» was that any n girls have the same colour eyes.

References[edit]

^ Maxwell 1959, p. 9
^ ^a ^b Maxwell 1959
^ Heath & Heiberg 1908, Chapter II, §I
^ Barbeau, Ed (1991). «Fallacies, Flaws, and Flimflam» (PDF). The College Mathematics Journal. 22 (5). ISSN 0746-8342.
^ «soft question – Best Fake Proofs? (A M.SE April Fools Day collection)». Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2019-10-24.
^ Heuser, Harro (1989), Lehrbuch der Analysis – Teil 1 (6th ed.), Teubner, p. 51, ISBN 978-3-8351-0131-9
^ Barbeau, Ed (1990), «Fallacies, Flaws and Flimflam #19: Dolt’s Theorem», The College Mathematics Journal, 21 (3): 216–218, doi:10.1080/07468342.1990.11973308
^ Frohlichstein, Jack (1967). Mathematical Fun, Games and Puzzles (illustrated ed.). Courier Corporation. p. 207. ISBN 0-486-20789-7. Extract of page 207
^ Maxwell 1959, Chapter VI, §I.1
^ Maxwell 1959, Chapter VI, §II
^ Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of «i«. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12
^ S.D.Collingwood, ed. (1899), The Lewis Carroll Picture Book, Collins, pp. 190–191
^ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll in Numberland, Penguin Books, pp. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
^ Pólya, George (1954). Induction and Analogy in Mathematics. Mathematics and plausible reasoning. Vol. 1. Princeton. p. 120.

Barbeau, Edward J. (2000), Mathematical fallacies, flaws, and flimflam, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-529-4, MR 1725831.
Bunch, Bryan (1997), Mathematical fallacies and paradoxes, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-29664-7, MR 1461270.
Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908), The thirteen books of Euclid’s Elements, Volume 1, The University Press.
Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-05700-0, MR 0099907.

External links[edit]

Invalid proofs at Cut-the-knot (including literature references)
Classic fallacies with some discussion
More invalid proofs from AhaJokes.com
Math jokes including an invalid proof

Источник

«Недействительное доказательство» перенаправляется сюда. По поводу любого типа недействительных доказательств, кроме математических, см. Заблуждение.

В математика, некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математическая ошибка. Есть различие между простым ошибка и математическая ошибка в доказательстве, когда ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент утаивания или обмана в представлении доказательства.^[1]

Например, причину, по которой не действует достоверность, можно отнести к деление на ноль что скрыто алгебраической записью. Есть определенное качество математической ошибки: в том виде, в котором ее обычно представляют, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом.^[2] Поэтому эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательства очевидного противоречия. Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение заблуждение здесь немного отличается от логическая ошибка. Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно является правильным правилом, применяемым с неявным неправильным предположением. Помимо педагогики, разрешение ошибки может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение Аксиома Паша из Евклидова геометрия^[3], то теорема пяти цветов из теория графов ). Псевдария, древняя утерянная книга ложных доказательств, приписывается Евклид.^[4]

Математические ошибки существуют во многих областях математики. В элементарная алгебра, типичные примеры могут включать этап, на котором деление на ноль выполняется, где корень неправильно извлекается или, в более общем смысле, где разные значения многозначная функция приравниваются. Известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчисление.^[5]^[6]

Ревуны

${ displaystyle { begin {array} {l} ; ; ; { dfrac {d} {dx}} { dfrac {1} {x}} = { dfrac {d} {d} } { dfrac {1} {x ^ {2}}} = { dfrac {d ! ! ! backslash} {d ! ! ! backslash}} { dfrac {1} {x ^ {2}}} = - { dfrac {1} {x ^ {2}}} end {массив}}}$

Аномальный
отмена
в исчислении

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен. инвалид и широко известен как ревун.^[1] Ниже приводится пример ревуна, включающего аномальная отмена:

${ frac {16} {64}} = { frac {16 ! ! ! /} {6 ! ! ! / 4}} = { frac {1} {4}}.$

Здесь хотя вывод 16/64 = 1/4 правильно, на среднем этапе происходит ошибочная, недействительная отмена.^{[примечание 1]} Другой классический пример ревуна — доказательство теоремы Кэли – Гамильтона простой заменой скалярных переменных характеристического полинома матрицей.

Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «воплями».^[7] За пределами области математики термин ревун имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль

В ошибка деления на ноль есть много вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

Позволять а и б равны, ненулевые величины
Умножить на а

$а ^ {2} = ab$
Вычесть б²

$a ^ {2} -b ^ {2} = ab-b ^ {2}$
Фактор обе стороны: левые факторы как разница квадратов, право факторизуется путем извлечения б с обоих условий
Разделить (а − б)
Наблюдая за этим а = б
Объедините похожие термины слева
Разделить на ненулевое б

Q.E.D.^[8]

Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на а − б, который равен нулю, поскольку а = б. С деление на ноль не определено, аргумент недопустим.

Анализ

Математический анализ как математическое исследование изменений и пределы может привести к математическим ошибкам — если свойства интегралы и дифференциалы игнорируются. Например, наивное использование интеграция по частям может использоваться для ложного доказательства того, что 0 = 1.^[9] Сдача ты = 1/бревно Икс и dv = dx/Икс, мы можем написать:

$int { frac {1} {x , log x}} , dx = 1 + int { frac {1} {x , log x}} , dx$

после чего первообразные могут быть отменены, давая 0 = 1. Проблема в том, что первообразные определены только вплоть до а постоянный и смещение их на 1 или любое другое число разрешено. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования а и б.

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x , log x}} , dx = 1 | _ {a} ^ {b} + int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x , log x}} , dx = 0 + int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x log x}} , dx = int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x log x}} , dx}$

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, по обе стороны уравнения появляется один и тот же определенный интеграл.

Многозначные функции

Многие функции не имеют уникального обратный. Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратные корни положительного числа. Квадратный корень многозначный. По соглашению можно выбрать одно значение в качестве основная стоимость; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для энные корни.

Положительные и отрицательные корни

Следует соблюдать осторожность при приеме квадратный корень обеих сторон равенство. Невыполнение этого требования приводит к «доказательству»^[10] 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

Напишите это как

Перепишите как

${ displaystyle 5 ^ {2} -5 times 9 = 4 ^ {2} -4 times 9}$

Добавлять 81/4 с обеих сторон:

${ displaystyle 5 ^ {2} -5 times 9 + { frac {81} {4}} = 4 ^ {2} -4 times 9 + { frac {81} {4}}}$

Это идеальные квадраты:

${ displaystyle left (5 - { frac {9} {2}} right) ^ {2} = left (4 - { frac {9} {2}} right) ^ {2}}$

Извлеките квадратный корень из обеих частей:

${ displaystyle 5 - { frac {9} {2}} = 4 - { frac {9} {2}}}$

Добавлять 9/2 с обеих сторон:

Q.E.D.

Ошибка заключается в предпоследней строке, где извлекается квадратный корень из обеих частей: а² = б² только подразумевает а = б если а и б имеют такой же знак, чего здесь нет. В этом случае это означает, что а = –б, поэтому уравнение должно выглядеть так:

${ displaystyle 5 - { frac {9} {2}} = - left (4 - { frac {9} {2}} right)}$

который, добавив 9/2 с обеих сторон правильно уменьшается до 5 = 5.

Другой пример, иллюстрирующий опасность извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, включает следующее фундаментальное тождество^[11]

$cos ^ {2} x = 1- sin ^ {2} x$

которое выполняется как следствие теорема Пифагора. Затем, извлекая квадратный корень,

${ Displaystyle соз х = { sqrt {1- грех ^ {2} х}}}$

так что

${ displaystyle 1+ cos x = 1 + { sqrt {1- sin ^ {2} x}}.}$

Но оценивая это, когда Икс = π мы получаем это

или же

что неверно.

Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида

$х ^ {2} = а ^ {2}$

куда , имеет два решения:

и важно проверить, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме.^[12] В указанном выше заблуждении квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cosИкс положительный. В частности, когда Икс установлен на π, второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни отрицательных чисел

Недействительные доказательства, использующие силы и корни, часто бывают следующего вида:

Ошибка в том, что правило обычно действует, только если оба Икс и неотрицательны (при работе с действительными числами), что здесь не так.^[13]

В качестве альтернативы мнимые корни запутываются в следующем:

${ displaystyle i = { sqrt {-1}} = left (-1 right) ^ { frac {2} {4}} = left ( left (-1 right) ^ {2} справа) ^ { frac {1} {4}} = 1 ^ { frac {1} {4}} = 1}$

Ошибка здесь заключается в последнем равенстве, где мы игнорируем другие корни четвертой степени из 1,^{[заметка 2]} которые равны −1, я и —я (куда я это мнимая единица ). Поскольку мы возводили нашу фигуру в квадрат, а затем пустили корни, мы не всегда можем предположить, что все корни будут правильными. Итак, правильные корни четвертой степени я и —я, которые представляют собой мнимые числа, которые возводятся в квадрат до -1.

Комплексные показатели

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Несостоятельность тождеств силы и логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

${ displaystyle { begin {align} e ^ {2 pi i} & = 1 влево (e ^ {2 pi i} right) ^ {i} & = 1 ^ {i} e ^ {- 2 pi} & = 1 конец {выровнено}}}$

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений со сложными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень я выбирается только главное значение. Когда рассматривается как многозначные функции, обе стороны производят одинаковый набор значений, будучи {е^2πп | п ∈ ℤ}.

Геометрия

Многие математические ошибки в геометрия возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов в плоскости) к действительной идентичности, но которое фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов должен всегда доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Ошибка равнобедренного треугольника

Ошибочность равнобедренного треугольника из (Максвелл 1959, Глава II, § 1), имеет целью показать, что каждый треугольник является равнобедренный, что означает, что две стороны треугольника равны конгруэнтный. Это заблуждение было приписано Льюис Кэрролл.^[14]

Для треугольника △ ABC докажите, что AB = AC:

Нарисуйте линию деление пополам ∠А.
Нарисуйте серединный перпендикуляр к отрезку BC, который делит BC пополам в точке D.
Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
Проведите линию OR перпендикулярно AB, линию OQ перпендикулярно AC.
Нарисуйте линии OB и OC.
К ААС, △ RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
К RHS,^{[заметка 3]} △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

Как следствие, можно показать, что все треугольники равносторонние, показав, что AB = BC и AC = BC таким же образом.

Ошибка доказательства состоит в предположении на диаграмме, что точка O внутри треугольник. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Кроме того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать в AB, а Q будет лежать за пределами переменного тока, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеуказанных факта). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ — QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.

Доказательство по индукции.

Существует несколько ошибочных доказательства по индукции в котором один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, индукционные доказательства работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета.^[15]^{[примечание 4]}

Скажем, что любая группа N лошади все одного цвета.
Если мы удалим лошадь из группы, у нас будет группа N — 1 лошадь такого же цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа N лошади. По нашему предыдущему предположению, все лошади в этой новой группе одного цвета, поскольку это группа N лошади.
Таким образом, мы построили две группы N лошади все одного цвета, с N — 1 общая лошадь. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, они должны быть одного цвета.
Следовательно, объединив всех используемых лошадей, мы получим группу N + 1 лошадь одного цвета.
Таким образом, если N лошади все одного цвета, любые N + 1 лошади одного цвета.
Это явно верно для N = 1 (т.е. одна лошадь — это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции N лошади одного цвета для любого положительного целого числа N. т.е. все лошади одного цвета.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. Ибо N = 1, две группы лошадей имеют N — 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа N + 1 = 2 лошади не обязательно одного цвета. Значение «каждый N лошади одного цвета, то N + 1 лошадь одного цвета «работает на любые N > 1, но это не так, когда N = 1. Базовый случай правильный, но индукционный шаг имеет фундаментальный недостаток. Если бы нам дополнительно дали тот факт, что любые две лошади одного цвета, то мы могли бы правильно произвести индукцию из базового случая N = 2.

Смотрите также

Аномальная отмена — арифметическая ошибка
Деление на ноль — Результат, полученный как действительное число при делении на ноль
Список неполных доказательств — Статья со списком Википедии
Математическое совпадение — совпадение по математике
Парадокс — Заявление, которое явно противоречит самому себе
Доказательство запугиванием — Метод убедить кого-то, используя жаргон или заявляя, что он понятен

Примечания

внешняя ссылка

Недействительные доказательства в Разрезать узел (включая литературные ссылки)
Классические заблуждения с некоторым обсуждением
Больше недействительных доказательств с AhaJokes.com
Математические анекдоты с недействительным доказательством

Источник

Тео́рия оши́бок, раздел математической статистики, посвящённый построению выводов о численных значениях приближённо измеренных величин и об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. к. каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают три основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки постоянно либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на результаты измерений и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики. Например, в астрономии при измерении величины угла между направлением на светило и плоскостью горизонта систематическая ошибка является суммой двух ошибок: систематической ошибки, которую даёт прибор при отсчёте данного угла (инструментальная ошибка) и систематической ошибки, обусловленной преломлением лучей света в атмосфере (рефракция). Инструментальная ошибка учитывается с помощью таблицы или графика поправок для данного прибора; ошибку, связанную с рефракцией (для углов, меньших 80°), можно достаточно точно вычислить теоретически. Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, как правило, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредсказуемым образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результата.

Теория ошибок занимается изучением лишь случайных и грубых ошибок. Основные задачи теории ошибок: определение законов распределения случайных ошибок, построение статистических оценок неизвестных величин по результатам измерений, вычисление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате nn независимых измерений некоторой неизвестной величины μmu получены значения X1,X2,…,XnX_1,X_2,dots,X_n. Разности

δ1=X1−μ, δ2=X2−μ, …, δn=Xn−μdelta_1=X_1-mu,, delta_2=X_2-mu, ,dots, , delta_n=X_n-muназываются истинными ошибками; в терминах вероятностной теории ошибок все δidelta_i рассматриваются как случайные величины, независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин δ1,…,δndelta_1, dots, delta_n. При этом измерения называются равноточными (в широком смысле), если эти величины имеют одно и то же распределение. Т. о., истинные ошибки равноточных измерений суть независимые одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание истинных ошибок b=Eδ1=…=Eδnb=text{E}delta_1=ldots =text{E}delta_n называется систематической ошибкой, а разности δ1−b,…,δn−bdelta_1-b,dots,delta_n-b – случайными ошибками. Отсутствие систематической ошибки означает, что b=0b=0, в этом случае δ1,…,δndelta_1,dots,delta_n суть случайные ошибки. Величину 1/(2σ)1/(sqrt{2}sigma), где σsigma – квадратичное отклонение ошибок δ1,…,δndelta_1,dots,delta_n, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности есть 1/2(b2+σ2)1/sqrt{2(b^2+sigma^2)}. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений.

В качестве оценки неизвестной величины μ mu обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений X1,…,XnX_1,dots,X_n:

X‾=1n∑i=1nXi,displaystyleoverline X=frac{1}{n}sum^n_{i=1}X_i,а разности Δ1=X1−X‾,…,Δn−X‾Delta_1=X_1- overline X, dots, Delta_n — overline X называются кажущимися ошибками. Выбор X‾overline X в качестве оценки для μmu основан на том, что при достаточно большом числе nn равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка X‾overline X с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины μmu (это связано с Законом больших чисел); оценка X‾overline X лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещёнными оценками); дисперсия этой оценки есть

DX‾=E(X‾−μ)2=σ2/n.text Doverline X=text E(overline X-mu)^2=sigma^2/n.Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки имеют распределения, близкие к нормальным (это объясняется центральной предельной теоремой). В этом случае распределение величины X‾overline X мало отличается от нормального распределения с математическим ожиданием μmu и дисперсией σ2/nsigma^2/n. Если распределение величин δ1,…,δndelta_1,dots,delta_n в точности нормально, то дисперсия всякой другой несмещённой оценки для μmu, например медианы, не меньше DX‾text Doverline X. Если же распределение величин δ1,…,δndelta_1,dots,delta_n отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия σ2sigma^2 отдельных измерений заранее неизвестна, то для её оценки пользуются величиной

s2=1n−1∑i=1nΔi2;displaystyle s^2=frac{1}{n-1}sum^n_{i=1}Delta^2_i;

s2s^2 – несмещённая оценка для σ2sigma^2, т. к. Es2=σ2text E s^2=sigma^2.

Если случайные ошибки δ1,…,δndelta_1,dots,delta_n имеют нормальное распределение, то отношение

t=(X‾−μ)nst=dfrac{(overline X -mu)sqrt{n}}{s}имеет распределение Стьюдента с n−1n-1 степенью свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства μ≈X‾mu approx overline X (см. Метод наименьших квадратов). Величина

χ2=(n−1)s2σ2chi^2=dfrac{(n-1)s^2}{sigma^2}при тех же предположениях имеет распределение хи-квадрат с n−1n-1 степенью свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства σ≈ssigma approx s. Относительная погрешность ∣s−σ∣/s|s-sigma|/s не превосходит числа qq с вероятностью

ω=F(z2,n−1)−F(z1,n−1),omega=F(z^2,n-1)-F(z_1,n-1),
где F(z,n−1)F(z, n-1) – функция распределения хи-квадрат, а

z1=n−11+q,z2=n−11−q.z_1=dfrac{sqrt{n-1}}{1+q},quad z_2 = dfrac{sqrt{n-1}}{1-q}.

Дата публикации: 1 августа 2022 г. в 13:27 (GMT+3)

Источник

В математике некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в доказательстве, поскольку ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательство. ^[1]

Например, причина того, что достоверность не соответствует действительности, может быть отнесена к делению на ноль , которое скрыто алгебраической нотацией. В математической ошибке есть определенное качество: в том виде, в котором ее обычно представляют, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. ^[2] Следовательно, эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий . Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логической ошибки . Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно является правильным правилом, применяемым с молчаливым неправильным предположением. Помимо педагогики, решение о заблуждении может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы паша в евклидовой геометрии , ^[3] теорема пятицветной из теории графов ). ПсевдарияДревняя утерянная книга ложных доказательств приписывается Евклиду . ^[4]

Математические ошибки существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать этап, на котором выполняется деление на ноль , когда корень извлекается неправильно или, в более общем смысле, приравниваются разные значения многозначной функции . Хорошо известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчислении . ^[5]^[6]

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен и широко известен как вопль . ^[1] Ниже приводится пример ревуна, включающего аномальную отмену :

При этом, хотя вывод 16 / 64 = 1 / 4 является правильным, есть ошибочная, недействительная отмена в середине шага. ^{[примечание 1]} Другой классический пример ревуна — доказательство теоремы Кэли – Гамильтона путем простой замены скалярных переменных характеристического многочлена на матрицу.

Источник

Математическое ожидание — ошибка

Cтраница 1

Математическое ожидание ошибки называется систематической ошибкой, ее среднее квадратическое отклонение — среднеквадра-тической ошибкой. Анализ качества систем управления сводится к определению указанных ошибок по вероятностным характеристикам случайных внешних воздействий.
[2]

Математическое ожидание ошибки слежения равно ее среднеарифметическому значению.
[3]

Система имеет математическое ожидание ошибки тст 0 и центрированную составляющую С, подчиненную нормальному закону распределения.
[4]

Известно, что математическое ожидание ошибки уменьшается с увеличением частоты замеров и с уменьшением скорости линейного изменения коэффициентом.
[5]

В этом случае математическое ожидание ошибки равно нулю.
[6]

Учитывая, что при усечении математическое ожидание ошибки квантования отлично от нуля, более целесообразно использовать округление.
[7]

При совпадении ПФ с видом г математическое ожидание ошибки прогноза будет равно нулю.
[9]

Получаемые вероятностные оценки поступают на сумматор 2, который определяет величину математического ожидания ошибок Мп для каждой из сравниваемых кодовых комбинаций.
[10]

Формулы (5.5.12) и (5.5.14) характеризуют собой общие выражения соответственно корреляционной функции и математического ожидания ошибки положения для партии механизмов.
[11]

При приеме в целом принятая кодовая комбинация будет ошибочной, если при математическом ожидании ошибок на ее длине Мл Мп mln и зафиксированное значение кодовой комбинации содержит любые варианты ошибок.
[12]

Согласно соотношению ( 11) каждому из возможных состояний канала связи соответствует случайная величина математического ожидания ошибок Мс, которая через финальные вероятности состояний принятой модели может указать на наличие того или иного состояния с некоторой вероятностью правдоподобия рс.
[13]

Чтобы упростить сравнение указанных методов, будем полагать, что первичные параметры взаимонезависимы, а математическое ожидание ошибок ( допусков) равно нулю.
[14]

Функция потерь) в общем случае является функционалом от выходных сигналов объекта и модели или от математического ожидания ошибок оценок параметров.
[15]

Страницы:

Источник

Howlers[edit]

Division by zero[edit]

Analysis[edit]

Multivalued functions[edit]

Positive and negative roots[edit]

Square roots of negative numbers[edit]

Complex exponents[edit]

Geometry[edit]

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

Proof by induction[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

Ревуны

Деление на ноль

Анализ

Многозначные функции

Положительные и отрицательные корни

Квадратные корни отрицательных чисел

Комплексные показатели

Геометрия

Ошибка равнобедренного треугольника

Доказательство по индукции.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

Математическое ожидание — ошибка