Методы оценки ошибок вычислений - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.Е. Кувайскова

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Учебное пособие

УДК	519.61 (075.8)
ББК	22.193я73
	К 88
	Рецензенты: зав. кафедрой «Информационная безопасность и
	теория управления» Ульяновского государственного университета,
	д-р физ.-мат. наук, профессор А.С. Андреев,
	кафедра «Телекоммуникационные	технологии	и » сети
	Ульяновского государственного университета.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Кувайскова, Ю.Е.

К 88 Численные методы. Лабораторный практикум : учебное пособие / Ю.Е. Кувайскова. – Ульяновск : УлГТУ, 2014. – 113 с.

ISBN 978-5-9795-0000-0

Содержание учебного пособия включает краткие теоретические сведения по методам оценки погрешностей приближенных вычислений, численным методам решения нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, методам интерполяции и аппроксимации таблично заданных функций и методам численного интегрирования. Приведена методика выполнения лабораторных работ и варианты заданий.

Пособие написано в соответствии с программами курсов«Численные


методы» для	студентов	направления«Прикладная	математика» и
дисциплине «Вычислительная	математика» для студентов направления
«Информатика	и	вычислительная	техника»	может	служить
руководством к выполнению лабораторных работ.

УДК 519.61 (075.8) ББК 22.193я73

	Ó Кувайскова Ю. Е., 2014
ISBN 978-5-9795-0000-0	Ó Оформление. УлГТУ, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………………………	6
1. Лабораторная работа №1. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 7
1.1. Погрешности приближенных вычислений……………………………..	7
1.1.1. Правила оценки погрешностей…………………………………………	7
1.1.2. Оценка ошибок при вычислении функций ………………………….	8
1.1.3. Правила подсчета цифр…………………………………………………..	9
1.1.4. Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных
погрешностей………………………………………………………………………..	10
1.1.5. Вычисления по методу границ………………………………………..	10
1.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	11
1.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	11
1.2.2. Решение типового примера ……………………………………………	12
1.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	19
2. Лабораторная работа №2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ……………………….	22
2.1. Прямые методы решения ……………………………………………………	22
2.1.1. Постановка задачи ……………………………………………………….	22
2.1.2. Метод Гаусса ……………………………………………………………….	23
2.1.3. Оценки погрешностей решения системы………………………..	26
2.2. Итерационные методы решения ………………………………………….	26
2.2.1. Метод простой итерации (МПИ) ………………………………….	26
2.2.2. Метод Якоби ………………………………………………………………..	27
2.2.3. Метод Зейделя………………………………………………………………	28
2.2.4. Метод релаксации…………………………………………………………	29
2.3. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	30
2.3.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	30
2.3.2. Решение типового примера ……………………………………………	31
2.3.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	40
3. Лабораторная работа №3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ……………………………………………	45
3.1. Численные методы решения нелинейных уравнений ……………	45
3.1.1. Локализация корней……………………………………………………….	45
3.1.2. Метод Ньютона …………………………………………………………..	46
3.1.3. Модификации метода Ньютона…………………………………….	47
3.1.4. Метод Стеффенсена…………………………………………………….	48
3.1.5. Метод секущих……………………………………………………………..	48
3.1.6. Задача «лоцмана»………………………………………………………….	49

3.1.7. Метод хорд…………………………………………………………………..	49
3.1.8. Метод простой итерации ……………………………………………..	50
3.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	51
3.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	51
3.2.2. Решение типового примера ……………………………………………	52
3.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	59
4. Лабораторная работа №4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ …………………………………………………………………………….	60
4.1. Численные методы решения систем нелинейных уравнений …	60
4.1.1. Метод Ньютона …………………………………………………………..	60
4.1.2. Метод простой итерации ……………………………………………..	62
4.1.3. Метод наискорейшего спуска ………………………………………..	63
4.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	65
4.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	65
4.2.2. Решение типового примера ……………………………………………	65
4.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	68
5. Лабораторная работа №5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО
ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ ……………………………………………………………	70
5.1. Интерполяция таблично заданных функций…………………………	70
5.1.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа……………………….	70
5.1.2. Полином Ньютона ………………………………………………………..	71
5.1.3. Кусочно-линейная и кусочно-квадратичная аппроксимация 73
5.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	74
5.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	74
5.2.2. Решение типового примера ……………………………………………	75
5.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	80
6. Лабораторная работа №6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ………………………………..	82
6.1. Метод наименьших квадратов …………………………………………….	82
6.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	83
6.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	83
6.2.2. Решение типового примера ……………………………………………	84
6.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	88
7. Лабораторная работа №7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ …	90
7.1. Численное интегрирование …………………………………………………	90
7.1.1. Задача численного интегрирования ………………………………..	90
7.1.1. Квадратурная формула прямоугольников ……………………….	90
7.1.2. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса ………………….	91
7.1.3. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона ………………	92

7.1.4. Правило Рунге……………………………………………………………….	94
7.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………….	95
7.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………….	95
7.2.2. Решение типового примера ……………………………………………	95
7.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………..	98
8. Лабораторная работа №8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ………	99
8.1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений………………………………………………………………………………..	99
8.1.1. Постановка задачи ……………………………………………………….	99
8.1.2. Метод Эйлера……………………………………………………………….	99
8.1.3. Методы Рунге – Кутта……………………………………………….	100
8.1.4. Выбор шага интегрирования………………………………………..	101
8.1.5. Многошаговые методы Адамса ……………………………………	102
8.2. Пример выполнения лабораторной работы ………………………..	104
8.2.1. Задание к лабораторной работе…………………………………..	104
8.2.2. Решение типового примера ………………………………………….	104
8.2.3. Варианты заданий ………………………………………………………	110
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………………..	111
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………	112

ВВЕДЕНИЕ

Численные	методы (Вычислительная	математика) –	раздел
прикладной	математики, в	котором	проводятся	разработка,
обоснование и реализация (на базе вычислительной техники) методов
приближенного	решения	разнообразных	задач	на	уров
математических моделей.
Основное	содержание	дисциплины	составляют	численные
методы, представляющие собой упорядоченные схемы (итерационные
процедуры, расчетные	формулы, алгоритмы)	переработки


информации		с	целью	нахождения	приближенного	решения
рассматриваемой задачи в числовой форме.
Следует подчеркнуть компьютерно-ориентированный характер
численных	методов –	в конечном итоге их реализация	связана	с
применением вычислительной техники и программирования.
В настоящем пособии представлены лабораторные работы, целью
проведения которых является ознакомление студентов с численными
методами	решения	практических	задач. Лабораторные	работы
нацелены	на	выработку	навыков, необходимых	при	решении

проектных	и	научных	задач	с	использованием	электронных
вычислительных машин. Для выполнения расчетов рекомендуется
использовать		математически	ориентированные		программные
системы, такие как MathCAD, MathLAB и другие.
Пособие предназначено для студентов направления«Прикладная
математика» по	дисциплине «Численные	методы» и для	студентов
направления	«Информатика	и	вычислительная	техника» по

дисциплине «Вычислительная математика» и служит руководством к выполнению лабораторных работ.

1.1. Погрешности приближенных вычислений

1.1.1. Правила оценки погрешностей

Пусть A и a – два «близких» числа. A – точное, a –

приближенное.

Определение.

Величина D(a) =

A — a

называется

абсолютной

погрешностью приближенного

числаa ,

величина d (a) =

–

относительной погрешностью.

Числа Da и da

такие, что Da ³ Da и da

³ da

называются оценками

или

границами

абсолютной

или

относительной

погрешностей

(предельные погрешности).

Пусть a и b – два приближенных числа.

Абсолютные погрешности:

D(a + b) = Da + Db ,

D(a — b) = Da + Db ,

D(a × b) = aDb + bDa ,

æ a ö		aDb + bDa	.
Dç		÷	=
	b2
è b ø

Относительные погрешности:

+ b) =

D(a + b)

Da + Db

a + b

— b) =

D(a — b)

Da + Db

a — b

æ a ö

×b) = d ç ÷ = da + db , è b ø

k ) = kda .

da +

db ,

a + b

da +

db ,

a — b

Определение.	Для	приближенного		числа, полученного
округлением, предельная	абсолютная	погрешностьDa	равна
половине единицы последнего разряда числа.
Пример. a = 0,817, Da = 0,0005 .
Определение.	Значащими цифрами числа	называются	все его
цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Пример. 0,00015 – две	значащие цифры,	12,150 – все цифры
значащие.

Определение. Округлением числа a называется замена его числом b с меньшим количеством значащих цифр.

Определение. Значащую цифру приближенного числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра(в узком смысле) или единицы разряда (в широком смысле).

1.1.2. Оценка ошибок при вычислении функций

Пусть

дана

функцияy

= f(x) и

a – приближенное

значение

аргумента x,

Da – его абсолютная погрешность. Тогда за абсолютную

погрешность

функции

можно

принять

ее

приращение

ил

дифференциал.

Dy » dy , Dy =

f ‘(a)

× Da .

Для функции n переменных можно записать:

Dy =

f /

(x ,…, x

)

× Dx + … +

f /

(x ,…, x

)

× Dx

где Dx1 ,…,Dxn

– абсолютные погрешности.

dy =

– относительная погрешность.

f (x1 ,…, xn )

Пример. y = sin x, a – приближенное значение х.

Dy = D(sin x) =

cos(a)

× Da .

	1.1.3. Правила подсчета цифр
Принцип	Крылова:	Согласно	техническому	, подходу
приближенное	число должно	записываться	,такчтобы в нем	все

значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна и притом в среднем не более чем на одну единицу.

Чтобы результаты арифметических действий, совершенных над

приближенными числами, записанными в соответствии с принципом

Крылова,	так	же	соответствовали	этому	принципу, нужно
придерживаться следующих правил:
1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате
следует	сохранять	столько	десятичных	знаков, сколько их в
приближенном	данном с	наименьшим	количеством десятичных
знаков.

2.При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

3.При определении количества верных цифр в значениях

элементарных функций от приближенных значений аргумента

следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении

функции	можно	считать верными столько знаков после запятой,
сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной
функции	в	окрестности	приближенного	значения	аргумента

превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в значении аргумента на величинуk,

где k – наименьший показатель степени, при котором имеет место f `(x) <10k .

4. Результаты промежуточных вычислений должны иметь1–2

запасных знака, которые затем должны быть отброшены.

1.1.4. Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей.

При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу,

состоящую из двух параллельно заполняемых частей– для результатов и их погрешностей.

	1.1.5. Вычисления по методу границ
Если	нужно	иметь	абсолютно	гарантированные	границы
возможных	значений	вычисляемой	величины, используют
специальный метод вычислений – метод границ.

Пусть f(x,y) – функция непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументовх и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b – приближенные значения аргументов,

причем достоверно известно, что НГa < а < ВГa;

НГb < b < ВГb.

Здесь НГ, ВГ – обозначения соответственно нижней и верхней

границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значенияf(a, b) при известных границах значений а и b.

Допустим, что	функция f(x,y) возрастает	по	каждому	из
аргументов х и у. Тогда
f(НГa, НГb) < f(a, b) < f(ВГa, ВГb).
Пусть теперь f(x,y) возрастает	по аргументух и	убывает	по
аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство
f(НГa, ВГb) < f(a, b) < f(ВГa, НГb).
Рассмотрим	указанный	принцип	на	примере	основных

арифметических действий.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание

Глава 1 «Методы оценки ошибок вычислений»

Лабораторная работа №1

Тема: «Методы оценки погрешностей»

Задание 1. Число x, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного числа найдите предельную абсолютную и предельную относительную погрешности. В записи числа укажите количество верных цифр (в строгом и широком смысле).

Задание 2. Вычислите с помощью МК значение величины при заданных значениях параметров , используя «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

по правилам подсчета цифр;
с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;
по способу границ.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.

Задание 3. Вычислите значение величины при заданных значениях параметров , используя один из инструментальных пакетов, с пошаговой и итоговой регистрацией результатов вычислений двумя способами:

по методу строго учета границ абсолютных погрешностей;
по методу границ.

Задание 4. Составьте программы и вычислите на ЭВМ значения величины при заданных значениях с пошаговой и итоговой регистрацией результатов двумя способами:

по методу строго учета границ абсолютных погрешностей;
по методу границ.

Результаты, полученные в заданиях 3 и 4 разными способами, сопоставьте между собой и сравните с ответами, полученными при выполнении задания 2.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №1

Исходные данные для выполнения всех заданий содержаться в табл. 1.7 (числа — приближенные, в их записи все цифры верны в строгом смысле, коэффициенты – точные числа).

Для выполнения заданий необходимо изучить материал гл. 1 «Методы оценки ошибок вычислений» учебника «Численные методы» под ред. М.П. Лапчика, подробно разобрав все приведенные в тексте примеры (лучше всего при этом иметь под руками МК, а также компьютер хотя бы с одним из инструментальных средств: Excel, MathCad, Maple и др.).

Для выполнения задания 1 требуется владение основными определениями и понятиями теории приближенных вычислений (см. подразд. 1.3 и 1.4).

При выполнении задания 2 составляются «ручные» расчетные таблицы, аналогичные табл. 1.4 – 1.6 (см. подразд. 1.9).

Для выполнения задания 3 требуется владение по крайней мере одним из инструментальных программных средств. При этом тщательно разобрать примеры, рассмотренные в подразд. 1.9 и 1.11.

При выполнении задания 4 составляются программы для ЭВМ с использованием процедур и функций, приведенных в примерах гл.1. Примеры аналогичных программ имеются в подразд. 1.9.

Поскольку при выполнении заданий 2,3 и 4 используется одна и та же расчетная формула, в результате выполнения лабораторной работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.

Таблица 1.7

2,3143

3,4

6,22

0,149

0,012147

4,05

6,723

0,03254

0,86138

0,7219

135,347

0,013

0,1385

3,672

4,63

0,0278

23,394

1,24734

0,346

0,051

0,003775

11,7

0,0937

5,081

718,54

1,75

1,21

0,041

9,73491

18,0354

3,7251

0,071

11,456

0,113

0,1056

89,4

3549

0,317

3,27

4,7561

7,32147

0,0399

4,83

0,072

35,085

1,574

1,40

1,1236

7,544

12,72

0,34

0,0290

198,745

3,49

0,845

0,0037

37,4781

0,0976

2,371

1,15874

0,183814

82,3574

34,1

7,00493

0,009145

0,11587

4,25

3,00971

11,3721

3,71452

3,03

0,765

0,2538

7,345

0,31

0,09872

10,2118

0,038

3,9353

5,75

Глава 2 «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Лабораторная работа №2

Тема: «Решение уравнение с одной переменной»

Задание 1. Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом (схематически, на бумаге). Это же задание выполните с помощью программы для компьютера и с применением одного из инструментальных средств.

Задание 2. По методу половинного деления вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10^-3;

с помощью «ручной» расчетной таблиц и калькулятора;
с помощью программы для компьютера.

Задание 3. Вычислите один корень заданного уравнения с помощью программы для компьютера с точностью 10^-6, используя метод простой итерации.

Задание 4. Вычислите один корень заданного уравнения с помощью программы для компьютера с точностью 10^-6, используя один из методов Ньютона.

Задание 5. Вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10^-6, используя один из инструментальных пакетов.

Сопоставьте и прокомментируйте полученные результаты.

Варианты заданий приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Уравнение

Пояснения

—

При x < 10

При x > -10

При x < 5

—

На отрезке [-1;1]

—

Пояснения к выполнению лабораторной работы №2

При выполнении задания 1 отделение корней заданного уравнения выполнятся с помощью схематического графика на бумаге. Во многих случая задачу графического отделения корня модно упростить, заменив исходное уравнение вида равносильным ему уравнением .

Для решения этой же задачи с помощью компьютера сначала составляется и запускается программа отделения корней уравнения (см. подразд. 2.1). Задание шага может варьироваться в зависимости от величины выбранного участка и характера поведения функции . Результатом выполнения задания должен быть перечень отрезков, содержащих по одному корню уравнения. Затем отделение корней выполняется с помощью одного из инструментальных пакетов (см. пример 2.2, а также примеры 2.8, 2.9, рис. 2.21 учебника).

При выполнении задания 2 сначала уточняется один корень заданного уравнения по методу половинного деления с заданной точностью с помощью «ручной» расчетной таблицы и калькулятора. Если корней несколько, в пояснении к заданию указано, на каком участке выбирается корень, подлежащий уточнению. Форма расчетной таблицы, которую можно использовать для организации «ручных» вычислений, показана ниже.

F(a)

F(c)

F(b)

Затем эта же задача решается с помощью программы для компьютера (см. подразд. 2.2 учебника).

При выполнении задания 3 исходное уравнение приводится к виду таким образом, чтобы на выбранном для выполнения задания отрезке [a; b] функция удовлетворяла условию (2.13): существует такое число что для любыъ имеет место . Приемы преобразования уравнения к итерационному виду и установление условий сходимости подробно рассмотрены в п.2.3.2 учебника.

При выполнении задания 4 составляется и запускается программы вычисления одного корня заданного уравнения с точностью 10^-6 с использованием одного из методов Ньютона. Суть алгоритмов методов Ньютона, а также способы оценки точности результата подробно рассмотрены на примерах «ручного» счета (см. примеры 2.5 и 2.6).

При выполнении задания 5 корень заданного уравнения вычисляется с использованием одно из инструментальных пакетов (см. подразд. 2.5).

После выполнения заданий требуется сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.

Глава 3 «Численные методы решения систем уравнений»

Лабораторная работа №3

Тема: «Численные методы решения систем уравнений»

Задание 1. Дана систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Задание 1.1. Решите систему (1) методом Гаусса:

используя «ручную» схему единственного деления, двумя способами: без перестановки строк; с перестановкой строк; расчеты выполняйте с тремя знаками после запятой (с применением калькулятора); подставьте найденные решения в исходную систему, вычислите невязки и сравните полученные решения; выбрав ведущие элементы схемы единственного деления, найдите значение определителя системы;
с помощью программы для ЭВМ с пооперационным учетом ошибок.

Задание 1.2. Решите систему (1) методом простой итерации с точностью с помощью программы для ЭВМ:

с оценкой погрешности метода по одной из метрик с применением оценочной формулы .
с использованием эмпирического критерия близости соседних приближений.

Задание 1.3. Решите систему (1), используя одно из инструментальных средств. Сопоставьте найденное решение с решениями, полученными при выполнении заданий 1.1 и 1.2.

Задание 2. Найдите решение заданной системы нелинейных уравнений с прикидкой точности результата с помощью эмпирического критерия:

методом простой итерации;
методом Ньютона;
с использованием одного из инструментальных средств.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №3

Перед выполнением лабораторной работы необходимо изучить материал гл.3 учебника и тщательно разобрать все приведенные в тексте примеры.

Коэффициенты и свободные члены заданной системы уравнений (1) для 20 вариантов к заданию 1 приведены в табл. 3.7.

Для «ручного» решения системы уравнений методом Гаусса (задание 1.1, а) составляется расчетная схема (см. пример 3.1, табл. 3.1). Решение с перестановкой строк показано в п. 3.2.4 учебника (пример 3.6).

Задание 1.1, б выполняется с помощью программы для компьютера (см. пример 3.3 в п.3.2.3), предусматривающей систематический учет границ абсолютной погрешности вычислений. Границы абсолютных погрешностей исходных данных – коэффициентов системы и свободных членов – принимаются из предположения, что исходные числовые значения в табл. 3.7 заданы цифрами, верными в строгом смысле. Вычисления производятся для различных числовых типов данных; полученные результаты необходимо сопоставить и прокомментировать.

При выполнении задания 1.2 составляются две программы решения заданной системы линейных уравнений по методу итераций – с учетом достаточных условий сходимости и без учета этих условий. Для применения метода итераций с предварительным доказательством условий сходимости исходная система преобразуется к системе с преобладающими диагональными коэффициентами, а затем к нормальному виду (см. п. 3.4.2). Вслед за этим производится проверка достаточных условий сходимости (в смысле одной из метрик); в результате получается значение коэффициента сжатия , которое используется в программе для проверки окончания цикла (формула ). При использовании другого подхода (на основе эмпирического критерия совпадения значащих цифр в одной позиции трех соседних приближений, см. п. 3.4.2) исходную систему достаточно преобразовать в систему с преобладающими диагональными коэффициентами. Затем с помощью ЭВМ, вводя различные ограничения на число итераций, производится эксперимент по отысканию решения системы с учетом эмпирического критерия.

Таблица 3.7

a₁₁

a₁₂

a₁₃

b_i

0.21

0.30

0.60

-0.45

0.25

-0.35

-0.20

0.43

-0.25

1.91

0.32

1.83

-3

0.5

-6.0

0.5

-3

-56.5

-100

-210

0.45

-0.01

-0.35

-0.94

0.34

0.05

-0.15

0.06

0.63

-0.15

0.31

0.37

0.63

0.15

0.03

0.05

0.10

0.34

0.15

0.71

0.10

0.34

0.42

0.32

-0.20

-0.30

1.20

1.60

0.10

-0.20

-0.10

-1.50

0.30

0.40

-0.60

0.30

-0.10

0.05

1.20

-0.20

0.34

-0.20

1.60

0.10

-0.60

0.30

0.32

0.20

0.58

0.05

0.44

-0.29

0.34

0.81

0.05

0.10

0.74

0.02

0.32

6.36

7.42

5.77

11.75

19.03

7.48

11.75

6.36

-41.40

-49.49

-27.67

-9.11

7.61

-4.64

1.02

6.25

1.13

-0.73

-2.32

-8.88

-1.25

2.33

-3.75

-9.11

7.61

-4.64

-1.06

6.35

1.23

-0.67

-2.42

-8.88

-1.56

2.33

-3.57

1.02

6.25

1.13

-0.73

-2.32

-8.88

-9.11

7.62

4.64

-1.25

2.33

-3.75

0.06

0.99

1.01

0.92

0.01

0.02

0.03

0.07

0.99

-0.82

0.66

-0.98

0.10

0.04

0.91

-0.07

-0.99

1.04

-0.96

-0.85

0.19

-2.04

-3.73

-1.67

0.62

0.03

0.97

0.81

-1.11

0.02

0.77

-1.08

-8.18

0.08

0.06

0.63

0.90

0.13

-0.37

0.99

-0.95

1.76

0.05

0.69

-9.29

0.12

0.69

0.98

0.16

9.74

0.88

-0.44

-10.00

-0.24

-0.88

1.71

1.36

-1.27

-5.31

0.21

0.98

0.87

-0.94

-0.19

0.87

-0.94

0.93

-0.14

-0.25

0.23

0.33

3.43

74.4

3.34

4.07

1.84

94.3

-106.00

-1.85

1.02

46.8

-26.5

92.3

0.66

1.54

1.42

0.44

0.74

1.42

0.22

1.54

0.86

-0.58

-0.32

0.83

0.78

0.02

0.12

-0.02

-0.86

0.44

-0.12

0.04

-0.72

0.56

0.77

1.01

Заданием 1.3 предусматривается решение той же системы линейных уравнений (1) с использование одного из инструментальных средств (см. подразд. 3.6).

В итоге требуется сопоставить в пределах достигнутой точности найденное решение с решениями, полученными при выполнении заданий 1.1 и 1.2.

Задание 2 предусматривает решение системы нелинейных уравнений тремя способами: а) методом простой итерации; б) методом Ньютона; в) с использованием одного из инструментальных средств.

Примеры программ, реализующих методы простой итерации и Ньютона, приведены в подразд. 3.5, применение инструментальных средств рассмотрено в подразд. 3.6. Инструментальные средства могут быть использованы, в частности, для графического отделения корней. Варианты систем нелинейных уравнений приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Система уравнений

Номер варианта

Система уравнений

Глава 4 «Методы приближения функций»

Лабораторная работа №4

Тема: «Приближение функций»

Задание 1. По данной таблице значений функций

x₀

x₁

x₂

x₃

y₀

y₁

y₂

y₃

составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить на нем узловые точки . Это же задание выполнить с помощью инструментальных программных средств.

Задание 2. Вычислить с помощью калькулятора одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции. Этот же результат получить с помощью программы для компьютера и с применением математических пакетов.

Задание 3. Для функций, заданной таблицей узловых значений, вычислить коэффициенты и составить формулы кубического сплайна в узловых узлах. Построить график кубического сплайна и отобразить на нем узловые точки с помощью одного из инструментальных программных средств.

Задание 4. С помощью программы для компьютера уплотнить часть таблицы заданной функции, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона.

Задание 5. По заданной таблице значений x и y построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений. Задание выполнить тремя способами: а) с помощью ручных расчетов на калькуляторе; б) путем использования программы для компьютера; в) с помощью табличного процессора Excel или иного инструментального средства.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №4

Исходные данные ко всем заданиям лабораторной работы содержаться в табл. 4.14-4.23.

При выполнении задания 1 составляют многочлен Лагранжа по формуле , производят необходимые вычисления и приведение подобных членов (см. пример 4.1 учебника). По полученной формуле строится график интерполирующей функции, на котором отмечаются узловые точки. Это же задание выполняют и с помощью инструментальных пакетов Maple и MathCad (см. подразд. 4.15).

Исходные данные для выполнения задания 1 берутся из табл. 4.14.

Задание 2 сначала выполняют с помощью калькулятора по специальной расчетной схеме (см. табл. 4.2). Для достижения наилучшей точности берут максимально возможное четное или нечетное число узлов, симметричных относительно заданного значения . Использование расчетной таблицы показано в примере 4.2. Пример использования компьютерной программы для интерполирования по формуле Лагранжа рассмотрен в подразд. 4.5. Это же задание выполняется и с помощью инструментальных пакетов (см. подразд. 4.15, рис. 4.8, 4.25 учебника).

Поскольку аналитическое выражение интерполируемой функции в данном случае известно, то оценку погрешности интерполирования производят по формуле . Кроме того, имеется возможность сравнить результат интерполирования со значением функции, вычисленным по ее аналитическому выражению, заданному в таблице.

Для определения содержания задания 2 используется табл. 4.15, из которой по заданному варианту извлекается номер другой таблицы (4.16-4.19), задающей интерполируемую функцию, а также значение аргумента x, для которого требуется вычислить искомое значение интерполяционного многочлена. Так, например, для варианта 4 задание состоит в вычислении значения функции, заданной табл. 4.19 при x = 4,8.

Исходными данными для выполнения задания 3 служит таблично заданная функция из задания 1 (см. табл. 4.14). Перед выполнением задания следует внимательно изучить материал подразд. 4.11 и разобрать пример 4.7, а также примеры по использованию инструментальных программных средств для сплайновой аппроксимации в подразд. 4.15 (рис. 4.9, 4.21, 4.22, 4.26 учебника).

Для выполнения задания 4 по заданной таблице функции с равноотстоящими значениями аргумента составляют таблицу конечных разностей и определяют порядок интерполяционного полинома Ньютона. В зависимости от расположения участка субтабулирования относительно исходной таблицы и потребности в конечных разностях избирается первая:

или вторая:

интерполяционные формулы Ньютона. Исходные данные для выполнения задания 4 (номер таблицы функции, концы отреза и шаг субтабулирования) берут из табл. 4.15. В программе субтабулирования необходимо предусмотреть подсчет погрешности метода по одной из формул или . Перед выполнением задания полезно рассмотреть пример 4.4 из подразд. 4.9 учебника.

При выполнении задания 5 по заданной таблице значений x и y (см. варианты в табл. 4.24) строится точечный график, с помощью которого выбираются два наиболее предпочтительных вида приближающей функции. Здесь невозможно указать какой-либо общий метод угадывания наилучшего вида приближения, во многих случаях удачное решение этой задачи зависит от интуиции и опыта исследователя. При использовании компьютера появляется возможность испытания разных способов без сколько-нибудь значительных усилий.

Исследование точечного графика и выбор вида приближающей функции как в случае ручного, так и в случае компьютерного исполнения облегчаются при умелом расположении графика в системе координат и правильном сочетании масштабов на осях OX и OY, подчеркивающих характер данной зависимости. Следует заметить, что при построении эмпирической формулы всегда можно добиться, чтобы исходные значения аргумента и функции были положительны. Для этого достаточно сделать параллельный перенос в направлении осей, т.е. фактически перейти к новым переменным; в записи окончательного результата при этом необходимо вернуться к прежним обозначениям.

После выбора вида приближающей функции следует приступить к вычислениям. Когда расчеты ведутся с помощью калькулятора (задание 5, а), удобно использовать вспомогательные таблицы вида 4.9-4.11 (см. пример 4.8 учебника). При использовании компьютера сначала (задание 5, б) составляется программа с выводом значений параметров приближающей функции заданного вида и соответствующих им сумм квадратов уклонений (см. программу в подразд. 4.13), а затем (задание 5, в) – проводится исследование заданной табличной зависимости средствами инструментальных пакетов (см. подразд. 4.15, рис. 4.5-4.7, 4.11-4.14, 4.17-4.20, 4.21, 4.23, 4.27 учебного пособия).

Таблица 4.14

x₀

x₁

x₂

x₃

y₀

y₁

y₂

y₃

-1

-3

-6

-1

-4

-8

-2

-4

-3

-1

-6

-3

-7

-1

-3

-2

-4

-2

-0

1.5

-7

-8

-1

-6

-9

-7

-4

-1

-3

-9

-1

-8

-5

-2

-7

-5

-4

-1

-4

-2

-7

-2

-10

-4

-2

-9

-3

-1

-2

-4

-8

Таблица 4.15

Задание 2

Задание 4

Таблица

4.16

3.8

4.20

0.65

0.75

0.01

4.17

3.5

4.21

0.30

0.45

0.025

4.18

0.5

4.22

1.45

1.55

0.01

4.19

4.8

4.23

1.20

1.40

0.02

4.16

4.1

4.21

0.10

0.20

0.01

4.17

3.9

4.22

1.10

1.30

0.02

4.18

3.3

4.23

1.05

1.25

0.025

4.19

4.0

4.20

0.70

0.90

0.02

4.16

2.9

4.22

1.25

1.50

0.025

4.17

5.3

4.23

1.00

1.10

0.01

4.18

4.1

4.20

0.60

0.70

0.01

4.19

7.6

4.21

0.15

0.35

0.025

4.16

4.4

4.22

1.15

1.25

0.01

4.17

2.5

4.20

0.65

0.85

0.025

4.18

5.2

4.21

0.20

0.40

0.02

4.19

6.8

4.22

1.15

1.25

0.01

4.16

0.4

4.21

0.35

0.55

0.01

4.17

3.7

4.23

1.05

1.25

0.025

4.18

7.5

4.22

1.35

1.60

0.02

4.19

8.6

4.23

1.25

1.45

0.01

1.3

2.1

3.7

4.5

6.1

7.7

8.5

1.7777

4.5634

13.8436

20.3952

37.3387

59.4051

72.3593

Таблица 4.17

1.2

1.9

3.3

4.7

5.4

6.8

7.5

0.3486

1.0537

1.7844

2.2103

2.3712

2.6322

2.7411

Таблица 4.18

-3.2

-0.8

0.4

2.8

4.0

6.4

7.6

-1.9449

-0.6126

0.3097

1.8068

2.0913

1.4673

0.6797

Таблица 4.19

2.6

3.3

4.7

6.1

7.5

8.2

9.6

2.1874

2.8637

3.8161

3.8524

3.1905

2.8409

2.6137

Таблица 4.20

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

0.56464

0.60519

0.64422

0.68164

0.71736

0.75128

0.78333

0.81342

0.84147

0.86742

0.89121

Таблица 4.21

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.99375

0.99500

0.99877

0.98007

0.96891

0.95534

0.93937

0.92106

0.90045

0.87758

0.85252

Таблица 4.22

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60

0.89121

0.91276

0.93204

0.94898

0.96356

0.97572

0.98545

0.99271

0.99749

0.99973

0.99957

Таблица 4.23

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

0.54090

0.49757

0.45360

0.40849

0.36236

0.31532

0.26750

0.21901

0.16997

0.12050

0.07074

Таблица 4.24

1.73

2.56

3.39

4.22

5.05

5.87

6.70

7.53

0.63

1.11

1.42

1.94

2.30

2.89

3.29

3.87

-1.33

-3.84

-3.23

-2.76

-2.22

-1.67

-1.13

-0.60

2.25

2.83

3.44

4.31

5.29

6.55

8.01

10.04

1.00

1.64

2.28

2.91

3.56

4.19

4.84

5.48

0.28

0.19

0.15

0.11

0.09

0.08

0.07

0.06

1.20

1.57

1.94

3.31

2.68

3.05

3.42

3.79

2.59

2.06

1.58

1.25

0.91

0.66

0.38

0.21

1.10

1.74

2.38

3.02

3.66

4.30

4.94

5.18

1.73

2.98

3.53

3.89

4.01

4.25

4.32

4.38

1.74

2.32

2.90

3.48

4.06

4.64

5.22

5.80

0.66

0.45

0.36

0.33

0.30

0.29

0.28

0.27

1.92

2.84

3.76

4.68

5.60

6.52

7.44

8.36

1.48

2.69

4.07

5.67

7.42

9.35

11.36

13.54

1.28

1.76

2.24

2.72

3.20

3.68

4.16

4.64

2.10

2.62

3.21

3.98

4.98

6.06

7.47

9.25

-4.84

-4.30

-3.76

-3.22

-2.68

-2.14

-1.60

-1.06

-0.09

-0.11

-0.13

-0.16

-0.19

-0.26

-0.39

-0.81

0.68

1.13

1.58

2.03

2.48

2.93

3.33

3.83

-2.16

-1.69

-1.36

-1.12

-0.95

-0.75

-0.65

-0.52

2.4

2.91

3.42

3.93

4.44

4.95

5.46

5.97

4.03

3.10

2.44

1.96

1.58

1.29

1.04

0.85

1.16

1.88

2.60

3.32

4.04

4.76

5.48

6.20

0.18

0.26

0.32

0.36

0.40

0.43

0.46

0.48

1.00

1.71

2.42

3.13

3.84

4.55

5.26

5.97

12.49

4.76

2.55

1.60

1.11

0.82

0.63

0.50

-0.64

-0.36

-0.08

0.20

0.48

0.76

1.04

1.32

29.51

18.86

12.05

7.70

4.92

3.14

2.01

1.28

-2.45

-1.84

-1.43

-0.92

-0.41

0.10

0.61

1.12

0.87

1.19

1.68

2.23

3.04

4.15

5.66

7.72

1.54

1.91

2.28

2.65

3.02

3.39

3.76

4.13

-2.52

-3.08

-3.54

-3.93

-4.27

-4.57

-4.84

-5.09

1.2

2.0

2.8

3.6

4.4

5.2

6.0

6.8

-10.85

-6.15

-4.14

-3.02

-2.30

-1.81

-1.45

-1.17

-1.04

-0.67

-0.30

0.07

0.44

0.81

1.18

1.55

10.80

8.08

5.97

4.44

3.31

2.46

1.83

1.36

0.41

0.97

1.53

2.09

2.65

3.21

3.77

4.33

0.45

1.17

1.56

1.82

2.02

2.18

2.31

2.44

0.80

1.51

2.22

2.93

3.64

4.35

5.06

5.77

9.22

6.35

5.31

4.77

4.45

4.23

4.07

3.44

Глава 5 «Численное дифференцирование и интегрирование»

Лабораторная работа №5

Тема: «Численное дифференцирование и интегрирование»

Задание 1. Вычислить с помощью программы для компьютера значение производной аналитически заданной функции в точке .

Задание 2. Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона, и оценить погрешности метода.

Задание 3. Вычислить интеграл от заданной функции на отрезке при делении отрезка на 10 равных частей тремя способами: 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона; 3) по формулам Гаусса. Произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов.

Задание 4. С помощью программ для компьютера вычислить значение интеграла заданной функции на отрезке двумя способами: 1) по формуле Симпсона методом повторного счета с точностью 10^-6; 2) методом Монте-Карло. Сопоставить полученные результаты с результатом, полученным с использованием одного из инструментальных пакетов.

Пояснения к выполнению лабораторной работы№5

Для выполнения задания 1 используются аналитические выражения функции , содержащиеся в табл. 5.7. Значение задается преподавателем. Программа для приближенного вычисления производной функции в точке рассмотрена в примере 5.1. Используя программу, произвести численные эксперименты для различных типов числовых данных. Для сопоставления точности полученных числовых результатов рекомендуется также вычислить значение производной заданной функции в точке с помощью одного из инструментальных пакетов, а также путем непосредственного дифференцирования формулы и последующего вычисления .

Исходные данные к выполнению задания 2 берутся из таблицы 4.20-2.23, которые выбираются в соответствии с номером варианта по табл. 4.15 в разделе «задание 4» (см. л/р №4). Участок таблицы для дифференцирования, значение аргумента x, а также используемый метод задаются преподавателем. Для оценки погрешности метода используются формулы:

;

где – промежуточное значение между ;

где .

Или

;

Когда :

;

5.18-5.20.

Учитывая, что аналитическое выражение таблично заданной функции в табл. 4.20-4.23 также известно, предоставляется возможность – как и при выполнении предыдущего задания – для сопоставления точности полученных числовых результатов вычислить значение производной заданной функции в точке путем непосредственного дифференцирования формулы и последующего вычисления значения ; эти вычисления могут быть выполнены с помощью одного из инструментальных пакетов. Перед выполнением задания следует прочитать подразд. 5.2, 5.3, 5.12 учебника, разобрать все приведенные в тексте примеры.

Исходные данные для выполнения задания 3 берутся из табл. 5.7. Отрезок интегрирования разбивается на 10 равных частей и производится ручное вычисление интеграла по формулам трапеций, Симпсона и Гаусса. Для расчетов по формулам трапеций и Симпсона удобно составить единую таблицу значений подынтегральной функции по схеме:

;

Их применение предполагает исследование модулей соответственно второй и четвертой производной подынтегральной функции на отрезке [a;b]. В случае, когда исследование общими методами оказывается слишком затруднительным, можно воспользоваться табулированием указанных производных на заданном отрезке с подходящим шагом на ЭВМ (по необходимости такая таблица может локально уплотнятся на экстремальных участках отрезка [a;b]).

Перед выполнением задания 4 необходимо изучить подразд. 5.9 и 5.11, тщательно разобраться в сущности и алгоритме метода повторного счета по формуле Симпсона, а также метода Монте-Карло. Исходные данные для выполнения задания берутся из табл. 5.7. Примеры использования для вычисления интегралов инструментальных средств показаны в подразд. 5.12 учебника.

Таблица 5.7

f(x)

1.2

2.2

0.5

1.5

-1

-0.5

0.5

0.2

1.2

1.5

2.5

0.1

1.1

1.4

2.4

2.3

3.3

Глава 6 «Численные методы решения дифференциальных уравнений»

Лабораторная работа №6

Тема: «Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка»

Задание. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения на отрезке [a;b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.

Задание 1.1. Методом Эйлера с применением «ручных» вычислений с шагом 2h, а также с помощью программы для компьютера с шагом h. Свести результаты вычисления в одну таблицу и сопоставить точность полученных значений функции. Пользуясь таблицей, сделать ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Задание 1.2. Методом Рунге-Кутта с помощью программы для компьютера с шагом h и шагом h/2. На основе результатов двойного расчета сделать вывод о точности полученного решения.

Задание 1.3. С помощью одного из инструментальных пакетов методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса, предусмотрев вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

Исходные данные для задания содержаться в табл. 6.5.

Таблица 6.5

y = f(x,y)

0.7

0.1

2.6

4.6

1.8

0.2

-1

0.2

1.2

0.1

0.5

0.3

0.05

0.9

0.1

0.6

2.6

3.4

0.2

1.5

2.1

0.05

2.1

3.1

2.5

0.1

1.7

0.2

1.5

0.2

0.9

0.1

2.3

0.1

0.5

1.25

0.2

-2

-1

0.1

2.9

0.2

1.5

2.5

0.5

0.1

1.5

1.4

0.05

0.5

2.6

0.1

1.8

0.2

Пояснения к выполнению лабораторной работы №6

Первая часть задания (метод Эйлера) выполняется двумя способами: с помощью ручных вычислений (например, с помощью калькулятора) и с помощью программы для ЭВМ (см. пример 6.2 учебника). Результаты ручных и машинных вычислений вносятся в одну таблицу (см. табл. 6.2 учебника). Значения искомой функции в соответствующих узлах сравниваются между собой и составляется представление о точности полученного результата. По вычисленной таблице функции строится точечный график и проводится плавная кривая.

По второй части задания составляется программа для компьютера, которая пускается дважды – для шага h и шага h/2 (на одном и том же отрезке интегрирования [a;b]). Путем сравнения полученных значений делается вывод о точности результата, которая сопоставляется с точностью интегрирования по методу Эйлера.

Для оценки погрешности используется полуэмпирическая формула:

, где

;

При выполнении третьей части задания используется один из инструментальных математических пакетов. Их применение для решения задачи Коши методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса показано в подразд. 6.8 учебного пособия.

Вопросы к экзамену по дисциплине «Численные методы»

Приближенные числа и действия над ними.
Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность, относительная погрешность.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод хорд.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод касательных.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод половинного деления.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод итераций.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Полиноминальная интерполяция функций.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием показательной функции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием тригонометрической функции.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Сравнение методов решения.
Решение СЛАУ. Метод Гаусса.
Решение СЛАУ. Метод Зейделя.
Метод итераций решения СЛАУ.
Сравнение методов решений СЛАУ.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Задачи интерполяции и приближения функций. Постановка задачи интерполяции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Полиноминальная интерполяция функций.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием показательной функции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием тригонометрической функции.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Сходимость интерполяционных сплайнов.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционные формулы Ньютона.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполирование сплайнами.
Интерполяция и экстраполяция. Сравнение методов интерполяции.
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод прямоугольников.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод трапеций.
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод парабол.
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод Симпсона.
Численное интегрирование функций одной переменной. Сравнение методов.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Численное интегрирование. Понятие о приближенных вычислениях интеграла.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера
Решение алгебраических уравнений. Метод дихотомии.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Рунге-Кутты.
Решение СЛАУ. Метод Зейделя.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Интерполирование и экстраполирование функций.
Вывод формулы Симпсона для приближенных вычислений определенных интегралов.
Приближенные решения алгебраических уравнений. Комбинированный метод хорд и касательных.
Постановка задачи оптимизации. Необходимое и достаточное условие экстремума функции.
Минимум функции одной переменной. Постановка задачи одномерной минимизации.
Постановка задачи оптимизации. Необходимое и достаточное условие экстремума функции.
Минимум функции одной переменной. Постановка задачи одномерной минимизации.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционные формулы Ньютона.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполирование сплайнами.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Полиноминальная интерполяция функций.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием показательной функции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием тригонометрической функции.

Источник

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений.
Вычисление погрешностей величин и арифметических действий
Методы оценки погрешности приближенных вычислений

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.

Пусть X — точное значение некоторой величины, а х — наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число для которого справедливо неравенство

Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х — это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.

Пример: Возьмем число . Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГХ= 5,2, ВГХ = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14|<0,0015927<0,0016=по формуле связи получаем таким образом

Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592… число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.

В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку

Рис. Приближение числа π

разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример а) 0,2409 — четыре значащие цифры; б) 24,09 — четыре значащие цифры; в) 100,700 — шесть значащих цифр.

Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х — данное число, а х1 — результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

В отдельных случаях вместо ∆окр приходится использовать его верхнюю оценку.

Пример Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила записи приближенных чисел.

Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам: x-x <= X <= x+x

При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы

а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;

б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.

Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,970,10.

Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи (мантиссе) должны присутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.

Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.

Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в записи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Округление чисел.

Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
При округлении числа, записанного в форме х±х, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.

Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 , так как погрешность округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления. В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 . Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ: 4,54±0,06.

Пример Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a1 = 16,40. Погрешность округления Для нахождения полной погрешности , нужно сложить c погрешностью исходного значения а1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

Вычисление погрешностей арифметических действий

1. Сложение и вычитание. Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма соответствующих погрешностей слагаемых:

Ф.1 (X+Y) = Х + Y , (X-Y) = Х + Y .

Пример. Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти (X-Y) и (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:

(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

Относительную погрешность получим по формуле связи:

2. Умножение и деление. Если Х << |Х| и Y << |Y|, то имеет место следующая формула:

Ф.2 (X · Y) = (X/Y) = X + Y.

Пример. Найти (X·Y) и (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с помощью формулы Ф.2 найдем (X·Y):

(X·Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048

Теперь (X·Y) найдем с помощью формулы связи:

(X·Y) = |X·Y|·(X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048  0,26 .

3. Возведение в степень и извлечение корня. Если Х << |Х| , то справедливы формулы

Ф.З

4. Функция одной переменной.

Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± с. Тогда, обозначая через  малое приращение аргумента, можно написать

Если f ‘(с)  0, то приращение функции f(с+) — f(c) можно оценить ее дифференциалом:

f(c+) — f(c)  f ‘(c) ·.

Если погрешность с достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу:

Ф.4 f(c) = |f ‘(с)|· с .

Пример. Даны f(x) = arcsin x , с = 0,5 , с = 0,05 . Вычислить f(с).

Применим формулу Ф.4:

5. Функция нескольких переменных.

Для функции нескольких переменных f(x1, … , хn) при xk= ck ± ck справедлива формула, аналогичная Ф.4:

Ф.5 f(c1, … ,сn)  l df(c1, … ,сn) | = |f ‘x1 (с1)|·с1+… + |f ‘xn (сn)|· сn.

Пример Пусть х = 1,5, причем т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x. С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность: отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.

Методы оценки погрешности приближенных вычислений

Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.

1. Строгий метод итоговой оценки. Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод формулы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного метода.

Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения

С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:

т.е.

Пользуясь МК, получим 5, что дает . Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.

2. Метод строгого пооперационного учета погрешностей. Иногда попытка применения метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом случае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заключается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.

3. Метод подсчета верных цифр. Данный метод относится к нестрогим. Оценка точности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.

П.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.

П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед выполнением этих действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну значащую цифру больше него.

П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.

П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k (k — целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то — больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для определенности примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет место неравенство:

0,2·10K < |f ‘(X) |  2·10k .

П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну сомнительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.

Вычисления по методу границ

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений — метод границ.

Пусть f(x, у) — функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b — приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

Здесь НГ, ВГ — обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

f(НГа, НГb< f(a, b)<f(ВГa ВГb).

Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство

f(НГa ВГb)< f(a, b)< f(ВГa, НГb).

Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=х + у. Тогда очевидно, что

Точно так же для функции f2(x, у) = х—у (она по х возрастает, а по у убывает) имеем

Аналогично для умножения и деления:

	НГаНГb<а b<ВГa*ВГb.
	НГа/ВГb<а / b<ВГa/НГb.

Пример. Вычислите значение где 2,57<=x<=2,58; 1,45<=y<=1,46; 8,33<=z<=8,34

Действие	Содержимое	НГ	ВГ
1	X	2.57	2.58
2	Y	1.45	1.46
3	Z	8.33	8.34
4	x+y	4.02	4.04
5	x-y	1.11	1.13
6	(x-y)z	9.24	9.43
7		2.28	2.35

Пример. В табл. приведены вычисления по формуле методом границ. Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0,927 все цифры верны в строгом смысле (∆a = ∆b = 0,0005), т.е. 2,1555<а<2,1565; 0,92650,9275.

	a	b	ea			b2	a+b2		A
НГ	2,1555	0,9265	8,63220	0,96255	9,59475	0,85840	3,01434	1,10338	8,6894
ВГ	2,15,65	0,9275	8,64084	0,96307	9,60391	0,86026	3,01676	1,10419	8,7041

Рис. Связь между абсолютной погрешностью и границами

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет следующий вид:

8,6894 <А< 8,7041.

Источник

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
2 Виды мер точности
3 Предельные погрешности
4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
5 Погрешности арифметических операций
6 Погрешности вычисления функций
7 Числовые примеры
8 Список литературы
9 См. также

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где tilde a – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

$delta(tilde a)=frac{|tilde a-a|}{a}.$

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

$Delta(tilde a)<0,5cdot10^{m-n+1} ,$

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере $Delta(tilde a)le0,5cdot10^{3-2+1}le0,5cdot10^2=50$ .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

$delta(tilde a)lefrac{Delta(tilde a)}{alpha_m}10^mlefrac{10^{m-n+1}}{alpha_m10^m}lefrac{1}{alpha_m10^{n-1}},$

где alpha_m — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем $delta(tilde a)le2^{-n}$ .

Тот факт, что число tilde a является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа tilde a и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или $a=2,347pm2cdot10^{-3}$ .

Запись вида

означает, что число tilde a является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

AX=F

характеризуется невязкой

где tilde X — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

$D(a^*) = suplimits_{(t_1, ldots ,t_n) in Omega } left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| ,$

Предельной относительной погрешностью называется величина .

Пусть $left|{t_j - t_j^*}right| le Delta (t_j^* ), qquad j = 1 div n$ — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

$a(t_1, ldots ,t_n) - a^* = sumlimits_{j = 1}^n gamma_j (alpha )(t_j - t_j^*),$

где $gamma_j (alpha ) = a^{prime}_{t_j}(t_1^* + alpha (t_1 - t_1^*), ldots ,t_n^* + alpha (t_n - t_n^*)), qquad 0 le alpha le 1$ .

Отсюда

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_1 (a^*) = sumlimits_{j = 1}^n b_j Delta (t_j^*),$

где $b_j = suplimits_Omega left|{a^{prime}_{t_j}(t_1, ldots ,t_n)}right|$ .

Можно показать, что при малых $rho = sqrt{{(Delta (t_1^* ))}^2 + ldots + {(Delta (t_n^* ))}^2 }$ эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_2 (a^*),$

где $D_2 (a^*) = sumlimits_{j = 1} left|{gamma_j (0)}right| Delta (t^*)$ .

Несложно показать, что:

— предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
$delta (t_1^* cdots t_m^* cdot d_1^{* - 1} cdots d_m^{* - 1} ) = delta (t_1^* ) + ldots + delta (t_m^*) + delta (d_1^*) + ldots + delta (d_n^*)$ — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом tilde a , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

$a=underbrace{pm2^p}_{order}underbrace{left(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}+frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+dotsright)}_{mantissa},$

где $a_j={0\1$ , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

$tilde a=pm2^pleft(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}right).$

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

$a-tilde a=pm2^pleft(frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+frac{a_{t+2}}{2^{t+2}}+dotsright).$

Наибольшая погрешность будет в случае $a_{t+1}=1, qquad a_{t+2}=1,$ , тогда

$|a-tilde a|lepm2^pfrac{1}{2^{t+1}}underbrace{left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+dotsright)}_{=2}=2^{p-t}.$

Т.к. , где — мантисса числа , то всегда a_1=1 . Тогда $|a|ge2^pcdot2^{-1}=2^{p-1}$ и относительная погрешность равна $frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t+1}$ . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

$frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t},$

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где $|epsilon|le2^{-t}$ – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через fl(x) (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где box — любая из арифметических операций, $|epsilon|le2^{-t}$ .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если сумма точных чисел равна

сумма приближенных чисел равна

где — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

$delta(S)=frac{Delta(S)}{S}=frac{a_1}{S}left(frac{Delta(a_1)}{a_1}right)+frac{a_2}{S}left(frac{Delta(a_2)}{a_2}right)+dots=frac{a_1delta(a_1)+a_2delta(a_2)+dots}{S},$

где — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

tilde S=(tilde S_1+x_3)(1+delta_2)=(x_1+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_3(1+delta_2).

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

tilde S=(x_3+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_1(1+delta_2).

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

tilde S=a_1cdot a_2(1+delta(a_1))(1+delta(a_2))

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно delta .

Тогда .

Если $S=frac{a_1}{a_2}$ , то $Delta(S)=frac{a_1(1+delta_1)}{a_2(1+delta_2)}-frac{a_1}{a_2}=frac{a_1(delta_1-delta_2)}{a_2(1+delta_2)}approx frac{a_1}{a_2}(delta_1-delta_2), qquad delta(S)$ ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

$delta_Sigma approx delta_{fl} quad sqrt{n},$

где – суммарная погрешность, $|delta_{fl}|leepsilon$ – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, epsilon – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции y=f(x) , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .

Если f(x)>0 , то $delta(y)=frac{|f'(x)|}{f(x)}Delta(x)=left|(ln(f(x)))'right|cdotDelta(x)$ .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:

$Delta(y)=sumlimits_{i=1}^nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|Delta(x_i)$

Если , то $delta(y)=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{f}cdotleft|frac{partial f}{partial x_i}right|cdotDelta(x_i)=sumlimits_{i=1}^{n}left|frac{partial l_n(f)}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной y=f(x) , если f(x) дифференцируема и :

$Delta(x)=frac{1}{|f'(x)|}Delta(y)$ .

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{left|frac{partial f}{partial x_i}right|}qquad$

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|},qquad i=overline{1,n}.$

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

$x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 15.underbrace{99999999}_8 = {(x - 2)}^4 - 10^{- 8} = 0.$

Точное решение задачи легко найти:

$(x - 2)^2 = pm 10^{- 4},$

$x_1= 2,01; x_2= 1,99; x_{3,4}= 2 pm 0,01i.$

Если компьютер работает при $delta _M > 10^{ - 8}$ , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до 16,0 и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. $x_{1,2,3,4} = 2$ , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена $approx10^{-8}$ привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении $approx10^{-2}$ .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

u''(t) = u(t), qquad u(0) = 1, qquad u'(0) = - 1.

Общее решение имеет вид:

$u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e^t + 0,5[u(0) - u'(0)]e^{- t}.$

При заданных начальных данных точное решение задачи: $u(x) = e^{-t}$ , однако малая погрешность delta в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

$stackrel{cdot}{u} = 10u,qquad u = u(t),\ u(t_0) = u_0,qquad t in [0,1].$

Его решение: $u(t) = u_0e^{10(t - t_0 )}$ , однако значение u(t_0) известно лишь приближенно: , и на самом деле $u^*(t) = u_0^*e^{10(t - t_0)}$ .

Соответственно, разность u* - u будет:

$u^* - u = (u_0^* - u_0)e^{10(t - t_0)}.$

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:

$|{u^*(t) - u(t)}| le varepsilon.$

Очевидно, что:

$maxlimits_{t in [0,1]} |{u^*(t) - u(t)}| = |{u*(1) - u(1)}| = |{u_0^* - u_0}|e^{10(1 - t_0)}.$

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных $delta: qquad|u_0^* - u_0| < delta, qquad delta le varepsilon e^{ - 10}$ при t_0= 0 .

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в $e^{10}$ раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на 0,01 , получим возмущенную систему:

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11.01, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

u_M = u(1 + delta_M^u), quad v_M = v(1 + delta_M^v)

, причем

Тогда:

u_M - u approx udelta_M^u, quad v_M - v approx vdelta_M^v.

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

$delta = frac{(u_M - v_M) - (u - v)}{(u - v)} = frac{(u_M - u) - (v_M - v)}{(u - v)} = frac{delta_M^u - delta_M^v}{(u - v)}.$

Очевидно, что $delta = left|{frac{delta_M^u - delta_M^v}{Delta }} right| le frac{2delta_M}{0,001} approx 2000delta_M = 1$ , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение $u_{i+1} = qu_i, quad i ge 0, quad u_0 = a,quad q > 0, quad u_i > 0.$

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо $u_{i+1}$ получим $u_{i + 1}^M = q(u_i + delta_i) = u_{i + 1} + qdelta_i$ , т.е. $delta_{i + 1} = qdelta_i,quad i = 0,1,ldots$ .

Следовательно, если |q| > 1 , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Источник

1.1. Погрешности приближенных вычислений

1.1.1. Правила оценки погрешностей

1.1.2. Оценка ошибок при вычислении функций

1.1.3. Правила подсчета цифр

1.1.4. Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей

1.1.5. Вычисления по методу границ

Глава 1 «Методы оценки ошибок вычислений»

Лабораторная работа №1

Пояснения к выполнению лабораторной работы №1

Глава 2 «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Лабораторная работа №2

Пояснения к выполнению лабораторной работы №2

Глава 3 «Численные методы решения систем уравнений»

Лабораторная работа №3

Пояснения к выполнению лабораторной работы №3

Глава 4 «Методы приближения функций»

Лабораторная работа №4

Пояснения к выполнению лабораторной работы №4

Глава 5 «Численное дифференцирование и интегрирование»

Лабораторная работа №5

Пояснения к выполнению лабораторной работы№5

Глава 6 «Численные методы решения дифференциальных уравнений»

Лабораторная работа №6

Пояснения к выполнению лабораторной работы №6

Вопросы к экзамену по дисциплине «Численные методы»

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

Предельные погрешности

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Погрешности арифметических операций

Погрешности вычисления функций

Числовые примеры

Список литературы

См. также