Нейронная сеть вычисление ошибки

Рад снова всех приветствовать, и сегодня продолжим планомерно двигаться в выбранном направлении. Речь, конечно, о масштабном разборе искусственных нейронных сетей для решения широкого спектра задач. Продолжим ровно с того момента, на котором остановились в предыдущей части, и это означает, что героем данного поста будет ключевой процесс — обучение нейронных сетей.

Тема эта крайне важна, поскольку именно процесс обучения позволяет сети начать выполнять задачу, для которой она, собственно, и предназначена. То есть нейронная сеть функционирует не по какому-либо жестко заданному на этапе проектирования алгоритму, она совершенствуется в процессе анализа имеющихся данных. Этот процесс и называется обучением нейронной сети. Математически суть процесса обучения заключается в корректировке значений весов синапсов (связей между имеющимися нейронами). Изначально значения весов задаются случайно, затем производится обучение, результатом которого будут новые значения синаптических весов. Это все мы максимально подробно разберем как раз в этой статье.

На своем сайте я всегда придерживаюсь концепции, при которой теоретические выкладки по максимуму сопровождаются практическими примерами для максимальной наглядности. Так мы поступим и сейчас 👍

Итак, суть заключается в следующем. Пусть у нас есть простейшая нейронная сеть, которую мы хотим обучить (продолжаем рассматривать сети прямого распространения):

То есть на входы нейронов I1 и I2 мы подаем какие-либо числа, а на выходе сети получаем соответственно новое значение. При этом нам необходима некая выборка данных, включающая в себя значения входов и соответствующее им, правильное, значение на выходе:

Допустим, сеть выполняет суммирование значений на входе, тогда данный набор данных может быть таким:

Эти значения и используются для обучения сети. Как именно — рассмотрим чуть ниже, пока сконцентрируемся на идее процесса в целом. Для того, чтобы иметь возможность тестировать работу сети в процессе обучения, исходную выборку данных делят на две части — обучающую и тестовую. Пусть имеется 1000 образцов, тогда можно 900 использовать для обучения, а оставшиеся 100 — для тестирования. Эти величины взяты исключительно ради наглядности и демонстрации логики выполнения операций, на практике все зависит от задачи, размер обучающей выборки может спокойно достигать и сотен тысяч образцов.

Итак, итог имеем следующий — обучающая выборка прогоняется через сеть, в результате чего происходит настройка значений синаптических весов. Один полный проход по всей выборке называется эпохой. И опять же, обучение нейронной сети — это процесс, требующий многократных экспериментов, анализа результатов и творческого подхода. Все перечисленные параметры (размер выборки, количество эпох обучения) могут иметь абсолютно разные значения для разных задач и сетей. Четкого правила тут просто нет, в этом и кроется дополнительный шарм и изящность )

Возвращаемся к разбору, и в результате прохода обучающей выборки через сеть мы получаем сеть с новыми значениями весов синапсов.

Далее мы через эту, уже обученную в той или иной степени, сеть прогоняем тестовую выборку, которая не участвовала в обучении. При этом сеть выдает нам выходные значения для каждого образца, которые мы сравниваем с теми верными значениями, которые имеем.

Анализируем нашу гипотетическую выборку:

Таким образом, для тестирования подаем на вход сети значения x_{(M+1)1}, x_{(M+1)2} и проверяем, чему равен выход, ожидаем очевидно значение y_{(M+1)}. Аналогично поступаем и для оставшихся тестовых образцов. После чего мы можем сделать вывод, успешно или нет работает сеть. Например, сеть дает правильный ответ для 90% тестовых данных, дальше уже встает вопрос — устраивает ли нас данная точность или процесс обучения необходимо повторить, либо провести заново, изменив какие-либо параметры сети.

В этом и заключается суть обучения нейронных сетей, теперь перейдем к деталям и конкретным действиям, которые необходимо осуществить для выполнения данного процесса. Двигаться снова будем поэтапно, чтобы сформировать максимально четкую и полную картину. Поэтому начнем с понятия градиентного спуска, который используется при обучении по методу обратного распространения ошибки. Обо всем этом далее…

Обучение нейронных сетей. Градиентный спуск.

Рассмотрев идею процесса обучения в целом, на данном этапе мы можем однозначно сформулировать текущую цель — необходимо определить математический алгоритм, который позволит рассчитать значения весовых коэффициентов таким образом, чтобы ошибка сети была минимальна. То есть грубо говоря нам необходима конкретная формула для вычисления:

Здесь Delta w_{ij} — величина, на которую необходимо изменить вес синапса, связывающего нейроны i и j нашей сети. Соответственно, зная это, необходимо на каждом этапе обучения производить корректировку весов связей между всеми элементами нейронной сети. Задача ясна, переходим к делу.

Пусть функция ошибки от веса имеет следующий вид:

Для удобства рассмотрим зависимость функции ошибки от одного конкретного веса:

В начальный момент мы находимся в некоторой точке кривой, а для минимизации ошибки попасть мы хотим в точку глобального минимума функции:

Нанесем на график вектора градиентов в разных точках. Длина векторов численно равна скорости роста функции в данной точке, что в свою очередь соответствует значению производной функции по данной точке. Исходя из этого, делаем вывод, что длина вектора градиента определяется крутизной функции в данной точке:

Вывод прост — величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Это важный вывод, к которому мы еще вернемся. А тем временем разберемся с направлением вектора, для чего рассмотрим еще несколько возможных точек:

Находясь в точке 1, целью является перейти в точку 2, поскольку в ней значение ошибки меньше (E_2 < E_1), а глобальная задача по-прежнему заключается в ее минимизации. Для этого необходимо изменить величину w на некое значение Delta w (Delta w = w_2 — w_1 > 0). При всем при этом в точке 1 градиент отрицательный. Фиксируем данные факты и переходим к точке 3, предположим, что мы находимся именно в ней.

Тогда для уменьшения ошибки наш путь лежит в точку 4, а необходимое изменение значения: Delta w = w_4 — w_3 < 0. Градиент же в точке 3 положителен. Этот факт также фиксируем.

А теперь соберем воедино эту информацию в виде следующей иллюстрации:

Вывод напрашивается сам собой — величина, на которую необходимо изменить значение w, в любой точке противоположна по знаку градиенту. И, таким образом, представим эту самую величину в виде:

Delta w = -alpha cdot frac{dE}{dw}

Имеем в наличии:

• Delta w — величина, на которую необходимо изменить значение w.
• frac{dE}{dw} — градиент в этой точке.
• alpha — скорость обучения.

Собственно, логика метода градиентного спуска и заключается в данном математическом выражении, а именно в том, что для минимизации ошибки необходимо изменять w в направлении противоположном градиенту. В контексте нейронных сетей имеем искомый закон для корректировки весов синаптических связей (для синапса между нейронами i и j):

Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}}

Более того, вспомним о важном свойстве, которое мы отдельно пометили. И заключается оно в том, что величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Что это нам дает? А то, что в том случае, если наша текущая дислокация далека от места назначения, то величина, корректирующая вес связи, будет больше. А это обеспечит скорейшее приближение к цели. При приближении к целевому пункту, величина frac{dE}{dw_{ij}} будет уменьшаться, что поможет нам точнее попасть в нужную точку, а кроме того, не позволит нам ее проскочить. Визуализируем вышеописанное:

Скорость же обучения несет в себе следующий смысл. Она определяет величину каждого шага при поиске минимума ошибки. Слишком большое значение приводит к тому, что точка может «перепрыгнуть» через нужное значение и оказаться по другую сторону от цели:

Если же величина будет мала, то это приведет к тому, что спуск будет осуществляться очень медленно, что также является нежелательным эффектом. Поэтому скорость обучения, как и многие другие параметры нейронной сети, является очень важной величиной, для которой нет единственно верного значения. Все снова зависит от конкретного случая и оптимальная величина определяется исключительно исходя из текущих условий.

И даже на этом еще не все, здесь присутствует один важный нюанс, который в большинстве статей опускается, либо вовсе не упоминается. Реальная зависимость может иметь совсем другой вид:

Из чего вытекает потенциальная возможность попадания в локальный минимум, вместо глобального, что является большой проблемой. Для предотвращения данного эффекта вводится понятие момента обучения и формула принимает следующий вид:

Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}} + gamma cdot Delta w_{ij}^{t - 1}

То есть добавляется второе слагаемое, которое представляет из себя произведение момента на величину корректировки веса на предыдущем шаге.

Итого, резюмируем продвижение к цели:

• Нашей задачей было найти закон, по которому необходимо изменять величину весов связей между нейронами.
• Наш результат — Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}} + gamma cdot Delta w_{ij}^{t — 1} — именно то, что и требовалось 👍

И опять же, полученный результат логичным образом перенаправляет нас на следующий этап, ставя вопросы — что из себя представляет функция ошибки, и как определить ее градиент.

Обучение нейронных сетей. Функция ошибки.

Начнем с того, что определимся с тем, что у нас в наличии, для этого вернемся к конкретной нейронной сети. Пусть вид ее таков:

Интересует нас, в первую очередь, часть, относящаяся к нейронам выходного слоя. Подав на вход определенные значения, получаем значения на выходе сети: O_{net, 1} и O_{net, 2}. Кроме того, поскольку мы ведем речь о процессе обучения нейронной сети, то нам известны целевые значения: O_{correct, 1} и O_{correct, 2}. И именно этот набор данных на этом этапе является для нас исходным:

• Известно: O_{net, 1}, O_{net, 2}, O_{correct, 1} и O_{correct, 2}.
• Необходимо определить величины Delta w_{ij} для корректировки весов, для этого нужно вычислить градиенты (frac{dE}{dw_{ij}}) для каждого из синапсов.

Полдела сделано — задача четко сформулирована, начинаем деятельность по поиску решения.

В плане того, как определять ошибку, первым и самым очевидным вариантом кажется простая алгебраическая разность. Для каждого из выходных нейронов:

E_k = O_{correct, k} - O_{net, k}

Дополним пример числовыми значениями:

Недостатком данного варианта является то, что в том случае, если мы попытаемся просуммировать ошибки нейронов, то получим:

E_{sum} = e_1 + e_2 = -0.4 + 0.4 = 0

Что не соответствует действительности (нулевая ошибка, говорит об идеальной работе нейронной сети, по факту оба нейрона дали неверный результат). Так что вариант с разностью откидываем за несостоятельностью.

Вторым, традиционно упоминаемым, методом вычисления ошибки является использование модуля разности:

E_k = | O_{correct, k} - O_{net, k} |

Тут в действие вступает уже проблема иного рода:

Функция, бесспорно, симпатична, но при приближении к минимуму ее градиент является постоянной величиной, скачкообразно меняясь при переходе через точку минимума. Это нас также не устраивает, поскольку, как мы обсуждали, концепция заключалась в том числе в том, чтобы по мере приближения к минимуму значение градиента уменьшалось.

В итоге хороший результат дает зависимость (для выходного нейрона под номером k):

E_k = (O_{correct, k} - O_{net, k})^2

Функция по многим своим свойствам идеально удовлетворяет нуждам обучения нейронной сети, так что выбор сделан, остановимся на ней. Хотя, как и во многих аспектах, качающихся нейронных сетей, данное решение не является единственно и неоспоримо верным. В каких-то случаях лучше себя могут проявить другие зависимости, возможно, что какой-то вариант даст большую точность, но неоправданно высокие затраты производительности при обучении. В общем, непаханное поле для экспериментов и исследований, это и привлекательно.

Краткий вывод промежуточного шага, на который мы вышли:

• Имеющееся: frac{dE}{dw_{jk}} = frac{d}{d w_{jk}}(O_{correct, k} — O_{net, k})^2.
• Искомое по-прежнему: Delta w_{jk}.

Несложные диффернциально-математические изыскания выводят на следующий результат:

frac{dE}{d w_{jk}} = -(O_{correct, k} - O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(sum_{j}w_{jk}O_j) cdot O_j

Здесь эти самые изыскания я все-таки решил не вставлять, дабы не перегружать статью, которая и так выходит объемной. Но в случае необходимости и интереса, отпишите в комментарии, я добавлю вычисления и закину их под спойлер, как вариант.

Освежим в памяти структуру сети:

Формулу можно упростить, сгруппировав отдельные ее части:

• (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(sum_{j}w_{jk}O_j) — ошибка нейрона k.
• O_j — тут все понятно, выходной сигнал нейрона j.

f{Large{prime}}(sum_{j}w_{jk}O_j) — значение производной функции активации. Причем, обратите внимание, что sum_{j}w_{jk}O_j — это не что иное, как сигнал на входе нейрона k (I_{k}). Тогда для расчета ошибки выходного нейрона: delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(I_k).

Итог: frac{dE}{d w_{jk}} = -delta_k cdot O_j.

Одной из причин популярности сигмоидальной функции активности является то, что ее производная очень просто выражается через саму функцию:

f{'}(x) = f(x)medspace (1medspace-medspace f(x))

Данные алгебраические вычисления справедливы для корректировки весов между скрытым и выходным слоем, поскольку для расчета ошибки мы используем просто разность между целевым и полученным результатом, умноженную на производную.

Для других слоев будут незначительные изменения, касающиеся исключительно первого множителя в формуле:

frac{dE}{d w_{ij}} = -delta_j cdot O_i

Который примет следующий вид:

delta_j = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j)

То есть ошибка для элемента слоя j получается путем взвешенного суммирования ошибок, «приходящих» к нему от нейронов следующего слоя и умножения на производную функции активации. В результате:

frac{dE}{d w_{ij}} = -(sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j) cdot O_i

Снова подводим промежуточный итог, чтобы иметь максимально полную и структурированную картину происходящего. Вот результаты, полученные нами на двух этапах, которые мы успешно миновали:

• Ошибка:
  • выходной слой: delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(I_k)
  • скрытые слои: delta_j = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j)
• Градиент: frac{dE}{d w_{ij}} = -delta_j cdot O_i
• Корректировка весовых коэффициентов: Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}} + gamma cdot Delta w_{ij}^{t — 1}

Преобразуем последнюю формулу:

Delta w_{ij} = alpha cdot delta_j cdot O_i + gamma cdot Delta w_{ij}^{t - 1}

Из этого мы делаем вывод, что на данный момент у нас есть все, что необходимо для того, чтобы произвести обучение нейронной сети. И героем следующего подраздела будет алгоритм обратного распространения ошибки.

Метод обратного распространения ошибки.

Данный метод является одним из наиболее распространенных и популярных, чем и продиктован его выбор для анализа и разбора. Алгоритм обратного распространения ошибки относится к методам обучение с учителем, что на деле означает необходимость наличия целевых значений в обучающих сетах.

Суть же метода подразумевает наличие двух этапов:

• Прямой проход — входные сигналы двигаются в прямом направлении, в результате чего мы получаем выходной сигнал, из которого в дальнейшем рассчитываем значение ошибки.
• Обратный проход — обратное распространение ошибки — величина ошибки двигается в обратном направлении, в результате происходит корректировка весовых коэффициентов связей сети.

Начальные значения весов (перед обучением) задаются случайными, есть ряд методик для выбора этих значений, я опишу в отдельном материале максимально подробно. Пока вот можно полистать — ссылка.

Вернемся к конкретному примеру для явной демонстрации этих принципов:

Итак, имеется нейронная сеть, также имеется набор данных обучающей выборки. Как уже обсудили в начале статьи — обучающая выборка представляет из себя набор образцов (сетов), каждый из которых состоит из значений входных сигналов и соответствующих им «правильных» значений выходных величин.

Процесс обучения нейронной сети для алгоритма обратного распространения ошибки будет таким:

1. Прямой проход. Подаем на вход значения I_1, I_2, I_3 из обучающей выборки. В результате работы сети получаем выходные значения O_{net, 1}, O_{net, 2}. Этому целиком и полностью был посвящен предыдущий манускрипт.
2. Рассчитываем величины ошибок для всех слоев:
   • для выходного: delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(I_k)
   • для скрытых: delta_j = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j)
3. Далее используем полученные значения для расчета Delta w_{ij} = alpha cdot delta_j cdot O_i + gamma cdot Delta w_{ij}^{t — 1}
4. И финишируем, рассчитывая новые значения весов: w_{ij medspace new} = w_{ij} + Delta w_{ij}
5. На этом один цикл обучения закончен, данные шаги 1 — 4 повторяются для других образцов из обучающей выборки.

Обратный проход завершен, а вместе с ним и одна итерация процесса обучения нейронной сети по данному методу. Собственно, обучение в целом заключается в многократном повторении этих шагов для разных образцов из обучающей выборки. Логику мы полностью разобрали, при повторном проведении операций она остается в точности такой же.

Таким образом, максимально подробно концентрируясь именно на сути и логике процессов, мы в деталях разобрали метод обратного распространения ошибки. Поэтому переходим к завершающей части статьи, в которой разберем практический пример, произведя полностью все вычисления для конкретных числовых величин. Все в рамках продвигаемой мной концепции, что любая теоретическая информация на порядок лучше может быть осознана при применении ее на практике.

Пример расчетов для метода обратного распространения ошибки.

Возьмем нейронную сеть и зададим начальные значения весов:

Здесь я задал значения не в соответствии с существующими на сегодняшний день методами, а просто случайным образом для наглядности примера.

В качестве функции активации используем сигмоиду:

f(x) = frac{1}{1 + e^{-x}}

И ее производная:

f{Large{prime}}(x) = f(x)medspace (1medspace-medspace f(x))

Берем один образец из обучающей выборки, пусть будут такие значения:

• Входные: I_1 = 0.6, I_1 = 0.7.
• Выходное: O_{correct} = 0.9.

Скорость обучения alpha пусть будет равна 0.3, момент — gamma = 0.1. Все готово, теперь проведем полный цикл для метода обратного распространения ошибки, то есть прямой проход и обратный.

Прямой проход.

Начинаем с выходных значений нейронов 1 и 2, поскольку они являются входными, то:

O_1 = I_1 = 0.6 
O_2 = I_2 = 0.7

Значения на входе нейронов 3, 4 и 5:

I_3 = O_1 cdot w_{13} + O_2 cdot w_{23} = 0.6 cdot (-1medspace) + 0.7 cdot 1 = 0.1 
I_4 = 0.6 cdot 2.5 + 0.7 cdot 0.4 = 1.78 
I_5 = 0.6 cdot 1 + 0.7 cdot (-1.5medspace) = -0.45

На выходе этих же нейронов первого скрытого слоя:

O_3 = f(I3medspace) = 0.52 
O_4 = 0.86
O_5 = 0.39

Продолжаем аналогично для следующего скрытого слоя:

I_6 = O_3 cdot w_{36} + O_4 cdot w_{46} + O_5 cdot w_{56} = 0.52 cdot 2.2 + 0.86 cdot (-1.4medspace) + 0.39 cdot 0.56 = 0.158 
I_7 = 0.52 cdot 0.34 + 0.86 cdot 1.05 + 0.39 cdot 3.1 = 2.288 
O_6 = f(I_6) = 0.54 
O_7 = 0.908

Добрались до выходного нейрона:

I_8 = O_6 cdot w_{68} + O_7 cdot w_{78} = 0.54 cdot 0.75 + 0.908 cdot (-0.22medspace) = 0.205 
O_8 = O_{net} = f(I_8) = 0.551

Получили значение на выходе сети, кроме того, у нас есть целевое значение O_{correct} = 0.9. То есть все, что необходимо для обратного прохода, имеется.

Обратный проход.

Как мы и обсуждали, первым этапом будет вычисление ошибок всех нейронов, действуем:

delta_8 = (O_{correct} - O_{net}) cdot f{Large{prime}}(I_8) = (O_{correct} - O_{net}) cdot f(I_8) cdot (1-f(I_8)) = (0.9 - 0.551medspace) cdot 0.551 cdot (1-0.551medspace) = 0.0863 
delta_7 = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_7) = (delta_8 cdot w_{78}) cdot f{Large{prime}}(I_7) = 0.0863 cdot (-0.22medspace) cdot 0.908 cdot (1 - 0.908medspace) = -0.0016 
delta_6 = 0.086 cdot 0.75 cdot 0.54 cdot (1 - 0.54medspace) = 0.016 
delta_5 = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_5) = (delta_7 cdot w_{57} + delta_6 cdot w_{56}) cdot f{Large{prime}}(I_7) = (-0.0016 cdot 3.1 + 0.016 cdot 0.56) cdot 0.39 cdot (1 - 0.39medspace) = 0.001 
delta_4 = (-0.0016 cdot 1.05 + 0.016 cdot (-1.4)) cdot 0.86 cdot (1 - 0.86medspace) = -0.003 
delta_3 = (-0.0016 cdot 0.34 + 0.016 cdot 2.2) cdot 0.52 cdot (1 - 0.52medspace) = -0.0087

С расчетом ошибок закончили, следующий этап — расчет корректировочных величин для весов всех связей. Для этого мы вывели формулу:

Delta w_{ij} = alpha cdot delta_j cdot O_i + gamma cdot Delta w_{ij}^{t - 1}

Как вы помните, Delta w_{ij}^{t — 1} — это величина поправки для данного веса на предыдущей итерации. Но поскольку у нас это первый проход, то данное значение будет нулевым, соответственно, в данном случае второе слагаемое отпадает. Но забывать о нем нельзя. Продолжаем калькулировать:

Delta w_{78} = alpha cdot delta_8 cdot O_7 = 0.3 cdot 0.0863 cdot 0.908 = 0.0235 
Delta w_{68} = 0.3 cdot 0.0863 cdot 0.54= 0.014 
Delta w_{57} = alpha cdot delta_7 cdot O_5 = 0.3 cdot (−0.0016medspace) cdot 0.39= -0.00019 
Delta w_{47} = 0.3 cdot (−0.0016medspace) cdot 0.86= -0.0004 
Delta w_{37} = 0.3 cdot (−0.0016medspace) cdot 0.52= -0.00025 
Delta w_{56} = alpha cdot delta_6 cdot O_5 = 0.3 cdot 0.016 cdot 0.39= 0.0019 
Delta w_{46} = 0.3 cdot 0.016 cdot 0.86= 0.0041 
Delta w_{36} = 0.3 cdot 0.016 cdot 0.52= 0.0025 
Delta w_{25} = alpha cdot delta_5 cdot O_2 = 0.3 cdot 0.001 cdot 0.7= 0.00021 
Delta w_{15} = 0.3 cdot 0.001 cdot 0.6= 0.00018 
Delta w_{24} = alpha cdot delta_4 cdot O_2 = 0.3 cdot (-0.003medspace) cdot 0.7= -0.00063 
Delta w_{14} = 0.3 cdot (-0.003medspace) cdot 0.6= -0.00054 
Delta w_{23} = alpha cdot delta_3 cdot O_2 = 0.3 cdot (−0.0087medspace) cdot 0.7= -0.00183 
Delta w_{13} = 0.3 cdot (−0.0087medspace) cdot 0.6= -0.00157

И самый что ни на есть заключительный этап — непосредственно изменение значений весовых коэффициентов:

w_{78 medspace new} = w_{78} + Delta w_{78} = -0.22 + 0.0235 = -0.1965 
w_{68 medspace new} = 0.75+ 0.014 = 0.764 
w_{57 medspace new} = 3.1 + (−0.00019medspace) = 3.0998
w_{47 medspace new} = 1.05 + (−0.0004medspace) = 1.0496
w_{37 medspace new} = 0.34 + (−0.00025medspace) = 0.3398
w_{56 medspace new} = 0.56 + 0.0019 = 0.5619 
w_{46 medspace new} = -1.4 + 0.0041 = -1.3959 
w_{36 medspace new} = 2.2 + 0.0025 = 2.2025 
w_{25 medspace new} = -1.5 + 0.00021 = -1.4998 
w_{15 medspace new} = 1 + 0.00018 = 1.00018 
w_{24 medspace new} = 0.4 + (−0.00063medspace) = 0.39937 
w_{14 medspace new} = 2.5 + (−0.00054medspace) = 2.49946 
w_{23 medspace new} = 1 + (−0.00183medspace) = 0.99817 
w_{13 medspace new} = -1 + (−0.00157medspace) = -1.00157

И на этом данную масштабную статью завершаем, конечно же, не завершая на этом деятельность по использованию нейронных сетей. Так что всем спасибо за прочтение, любые вопросы пишите в комментариях и на форуме, ну и обязательно следите за обновлениями и новыми материалами, до встречи!

Нейронные сети обучаются с помощью тех или иных модификаций градиентного спуска, а чтобы применять его, нужно уметь эффективно вычислять градиенты функции потерь по всем обучающим параметрам. Казалось бы, для какого-нибудь запутанного вычислительного графа это может быть очень сложной задачей, но на помощь спешит метод обратного распространения ошибки.

Открытие метода обратного распространения ошибки стало одним из наиболее значимых событий в области искусственного интеллекта. В актуальном виде он был предложен в 1986 году Дэвидом Э. Румельхартом, Джеффри Э. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно красноярскими математиками С. И. Барцевым и В. А. Охониным. С тех пор для нахождения градиентов параметров нейронной сети используется метод вычисления производной сложной функции, и оценка градиентов параметров сети стала хоть сложной инженерной задачей, но уже не искусством. Несмотря на простоту используемого математического аппарата, появление этого метода привело к значительному скачку в развитии искусственных нейронных сетей.

Суть метода можно записать одной формулой, тривиально следующей из формулы производной сложной функции: если $f(x) = g_m(g_{m-1}(ldots (g_1(x)) ldots))$, то $frac{partial f}{partial x} = frac{partial g_m}{partial g_{m-1}}frac{partial g_{m-1}}{partial g_{m-2}}ldots frac{partial g_2}{partial g_1}frac{partial g_1}{partial x}$. Уже сейчас мы видим, что градиенты можно вычислять последовательно, в ходе одного обратного прохода, начиная с $frac{partial g_m}{partial g_{m-1}}$ и умножая каждый раз на частные производные предыдущего слоя.

Backpropagation в одномерном случае

В одномерном случае всё выглядит особенно просто. Пусть $w_0$ — переменная, по которой мы хотим продифференцировать, причём сложная функция имеет вид

$$f(w_0) = g_m(g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots)),$$

где все $g_i$ скалярные. Тогда

$$f'(w_0) = g_m'(g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots))cdot g’_{m-1}(g_{m-2}(ldots g_1(w_0)ldots))cdotldots cdot g’_1(w_0)$$

Суть этой формулы такова. Если мы уже совершили forward pass, то есть уже знаем

$$g_1(w_0), g_2(g_1(w_0)),ldots,g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots),$$

то мы действуем следующим образом:

• берём производную $g_m$ в точке $g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots)$;

• умножаем на производную $g_{m-1}$ в точке $g_{m-2}(ldots g_1(w_0)ldots)$;

• и так далее, пока не дойдём до производной $g_1$ в точке $w_0$.

Проиллюстрируем это на картинке, расписав по шагам дифференцирование по весам $w_i$ функции потерь логистической регрессии на одном объекте (то есть для батча размера 1):

Собирая все множители вместе, получаем:

$$frac{partial f}{partial w_0} = (-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$frac{partial f}{partial w_1} = x_1cdot(-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$frac{partial f}{partial w_2} = x_2cdot(-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

Таким образом, мы видим, что сперва совершается forward pass для вычисления всех промежуточных значений (и да, все промежуточные представления нужно будет хранить в памяти), а потом запускается backward pass, на котором в один проход вычисляются все градиенты.

Почему же нельзя просто пойти и начать везде вычислять производные?

В главе, посвящённой матричным дифференцированиям, мы поднимаем вопрос о том, что вычислять частные производные по отдельности — это зло, лучше пользоваться матричными вычислениями. Но есть и ещё одна причина: даже и с матричной производной в принципе не всегда хочется иметь дело. Рассмотрим простой пример. Допустим, что $X^r$ и $X^{r+1}$ — два последовательных промежуточных представления $Ntimes M$ и $Ntimes K$, связанных функцией $X^{r+1} = f^{r+1}(X^r)$. Предположим, что мы как-то посчитали производную $frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r+1}_{ij}}$ функции потерь $mathcal{L}$, тогда

$$frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r}_{st}} = sum_{i,j}frac{partial f^{r+1}_{ij}}{partial X^{r}_{st}}frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r+1}_{ij}}$$

И мы видим, что, хотя оба градиента $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{ij}^{r+1}}$ и $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{st}^{r}}$ являются просто матрицами, в ходе вычислений возникает «четырёхмерный кубик» $frac{partial f_{ij}^{r+1}}{partial X_{st}^{r}}$, даже хранить который весьма болезненно: уж больно много памяти он требует ($N^2MK$ по сравнению с безобидными $NM + NK$, требуемыми для хранения градиентов). Поэтому хочется промежуточные производные $frac{partial f^{r+1}}{partial X^{r}}$ рассматривать не как вычисляемые объекты $frac{partial f_{ij}^{r+1}}{partial X_{st}^{r}}$, а как преобразования, которые превращают $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{ij}^{r+1}}$ в $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{st}^{r}}$. Целью следующих глав будет именно это: понять, как преобразуется градиент в ходе error backpropagation при переходе через тот или иной слой.

  Вы спросите себя: надо ли мне сейчас пойти и прочитать главу учебника про матричное дифференцирование?

Встречный вопрос. Найдите производную функции по вектору $x$:

$$f(x) = x^TAx, Ain Mat_{n}{mathbb{R}}text{ — матрица размера }ntimes n$$

А как всё поменяется, если $A$ тоже зависит от $x$? Чему равен градиент функции, если $A$ является скаляром? Если вы готовы прямо сейчас взять ручку и бумагу и посчитать всё, то вам, вероятно, не надо читать про матричные дифференцирования. Но мы советуем всё-таки заглянуть в эту главу, если обозначения, которые мы будем дальше использовать, покажутся вам непонятными: единой нотации для матричных дифференцирований человечество пока, увы, не изобрело, и переводить с одной на другую не всегда легко.

Мы же сразу перейдём к интересующей нас вещи: к вычислению градиентов сложных функций.

Градиент сложной функции

Напомним, что формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$$left[D_{x_0} (color{#5002A7}{u} circ color{#4CB9C0}{v}) right](h) = color{#5002A7}{left[D_{v(x_0)} u right]} left( color{#4CB9C0}{left[D_{x_0} vright]} (h)right)$$

Теперь разберёмся с градиентами. Пусть $f(x) = g(h(x))$ – скалярная функция. Тогда

$$left[D_{x_0} f right] (x-x_0) = langlenabla_{x_0} f, x-x_0rangle.$$

С другой стороны,

$$left[D_{h(x_0)} g right] left(left[D_{x_0}h right] (x-x_0)right) = langlenabla_{h_{x_0}} g, left[D_{x_0} hright] (x-x_0)rangle = langleleft[D_{x_0} hright]^* nabla_{h(x_0)} g, x-x_0rangle.$$

То есть $color{#FFC100}{nabla_{x_0} f} = color{#348FEA}{left[D_{x_0} h right]}^* color{#FFC100}{nabla_{h(x_0)}}g$ — применение сопряжённого к $D_{x_0} h$ линейного отображения к вектору $nabla_{h(x_0)} g$.

Эта формула — сердце механизма обратного распространения ошибки. Она говорит следующее: если мы каким-то образом получили градиент функции потерь по переменным из некоторого промежуточного представления $X^k$ нейронной сети и при этом знаем, как преобразуется градиент при проходе через слой $f^k$ между $X^{k-1}$ и $X^k$ (то есть как выглядит сопряжённое к дифференциалу слоя между ними отображение), то мы сразу же находим градиент и по переменным из $X^{k-1}$:

Таким образом слой за слоем мы посчитаем градиенты по всем $X^i$ вплоть до самых первых слоёв.

Далее мы разберёмся, как именно преобразуются градиенты при переходе через некоторые распространённые слои.

Градиенты для типичных слоёв

Рассмотрим несколько важных примеров.

Примеры

1. $f(x) = u(v(x))$, где $x$ — вектор, а $v(x)$ – поэлементное применение $v$:

   $$vbegin{pmatrix}
   x_1
   vdots
   x_N
   end{pmatrix}
   = begin{pmatrix}
   v(x_1)
   vdots
   v(x_N)
   end{pmatrix}$$

   Тогда, как мы знаем,

   $$left[D_{x_0} fright] (h) = langlenabla_{x_0} f, hrangle = left[nabla_{x_0} fright]^T h.$$

   Следовательно,

   $$begin{multline*}
   left[D_{v(x_0)} uright] left( left[ D_{x_0} vright] (h)right) = left[nabla_{v(x_0)} uright]^T left(v'(x_0) odot hright) =[0.1cm]
   = sumlimits_i left[nabla_{v(x_0)} uright]_i v'(x_{0i})h_i
   = langleleft[nabla_{v(x_0)} uright] odot v'(x_0), hrangle.
   end{multline*},$$

   где $odot$ означает поэлементное перемножение. Окончательно получаем

   $$color{#348FEA}{nabla_{x_0} f = left[nabla_{v(x_0)}uright] odot v'(x_0) = v'(x_0) odot left[nabla_{v(x_0)} uright]}$$

   Отметим, что если $x$ и $h(x)$ — это просто векторы, то мы могли бы вычислять всё и по формуле $frac{partial f}{partial x_i} = sum_jbig(frac{partial z_j}{partial x_i}big)cdotbig(frac{partial h}{partial z_j}big)$. В этом случае матрица $big(frac{partial z_j}{partial x_i}big)$ была бы диагональной (так как $z_j$ зависит только от $x_j$: ведь $h$ берётся поэлементно), и матричное умножение приводило бы к тому же результату. Однако если $x$ и $h(x)$ — матрицы, то $big(frac{partial z_j}{partial x_i}big)$ представлялась бы уже «четырёхмерным кубиком», и работать с ним было бы ужасно неудобно.

2. $f(X) = g(XW)$, где $X$ и $W$ — матрицы. Как мы знаем,

   $$left[D_{X_0} f right] (X-X_0) = text{tr}, left(left[nabla_{X_0} fright]^T (X-X_0)right).$$

   Тогда

   $$begin{multline*}
   left[ D_{X_0W} g right] left(left[D_{X_0} left( ast Wright)right] (H)right) =
   left[ D_{X_0W} g right] left(HWright)=
   = text{tr}, left( left[nabla_{X_0W} g right]^T cdot (H) W right) =
   =
   text{tr} , left(W left[nabla_{X_0W} (g) right]^T cdot (H)right) = text{tr} , left( left[left[nabla_{X_0W} gright] W^Tright]^T (H)right)
   end{multline*}$$

   Здесь через $ast W$ мы обозначили отображение $Y hookrightarrow YW$, а в предпоследнем переходе использовалось следующее свойство следа:

   $$
   text{tr} , (A B C) = text{tr} , (C A B),
   $$

   где $A, B, C$ — произвольные матрицы подходящих размеров (то есть допускающие перемножение в обоих приведённых порядках). Следовательно, получаем

   $$color{#348FEA}{nabla_{X_0} f = left[nabla_{X_0W} (g) right] cdot W^T}$$

3. $f(W) = g(XW)$, где $W$ и $X$ — матрицы. Для приращения $H = W — W_0$ имеем

   $$
   left[D_{W_0} f right] (H) = text{tr} , left( left[nabla_{W_0} f right]^T (H)right)
   $$

   Тогда

   $$ begin{multline*}
   left[D_{XW_0} g right] left( left[D_{W_0} left(X astright) right] (H)right) = left[D_{XW_0} g right] left( XH right) =
   = text{tr} , left( left[nabla_{XW_0} g right]^T cdot X (H)right) =
   text{tr}, left(left[X^T left[nabla_{XW_0} g right] right]^T (H)right)
   end{multline*} $$

   Здесь через $X ast$ обозначено отображение $Y hookrightarrow XY$. Значит,

   $$color{#348FEA}{nabla_{X_0} f = X^T cdot left[nabla_{XW_0} (g)right]}$$

4. $f(X) = g(softmax(X))$, где $X$ — матрица $Ntimes K$, а $softmax$ — функция, которая вычисляется построчно, причём для каждой строки $x$

   $$softmax(x) = left(frac{e^{x_1}}{sum_te^{x_t}},ldots,frac{e^{x_K}}{sum_te^{x_t}}right)$$

   В этом примере нам будет удобно воспользоваться формализмом с частными производными. Сначала вычислим $frac{partial s_l}{partial x_j}$ для одной строки $x$, где через $s_l$ мы для краткости обозначим $softmax(x)_l = frac{e^{x_l}} {sum_te^{x_t}}$. Нетрудно проверить, что

   $$frac{partial s_l}{partial x_j} = begin{cases}
   s_j(1 — s_j), & j = l,
   -s_ls_j, & jne l
   end{cases}$$

   Так как softmax вычисляется независимо от каждой строчки, то

   $$frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} = begin{cases}
   s_{ij}(1 — s_{ij}), & r=i, j = l,
   -s_{il}s_{ij}, & r = i, jne l,
   0, & rne i
   end{cases},$$

   где через $s_{rl}$ мы обозначили для краткости $softmax(X)_{rl}$.

   Теперь пусть $nabla_{rl} = nabla g = frac{partialmathcal{L}}{partial s_{rl}}$ (пришедший со следующего слоя, уже известный градиент). Тогда

   $$frac{partialmathcal{L}}{partial x_{ij}} = sum_{r,l}frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} nabla_{rl}$$

   Так как $frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} = 0$ при $rne i$, мы можем убрать суммирование по $r$:

   $$ldots = sum_{l}frac{partial s_{il}}{partial x_{ij}} nabla_{il} = -s_{i1}s_{ij}nabla_{i1} — ldots + s_{ij}(1 — s_{ij})nabla_{ij}-ldots — s_{iK}s_{ij}nabla_{iK} =$$

   $$= -s_{ij}sum_t s_{it}nabla_{it} + s_{ij}nabla_{ij}$$

   Таким образом, если мы хотим продифференцировать $f$ в какой-то конкретной точке $X_0$, то, смешивая математические обозначения с нотацией Python, мы можем записать:

   $$begin{multline*}
   color{#348FEA}{nabla_{X_0}f =}
   color{#348FEA}{= -softmax(X_0) odot text{sum}left(
   softmax(X_0)odotnabla_{softmax(X_0)}g, text{ axis = 1}
   right) +}
   color{#348FEA}{softmax(X_0)odot nabla_{softmax(X_0)}g}
   end{multline*}
   $$

Backpropagation в общем виде

Подытожим предыдущее обсуждение, описав алгоритм error backpropagation (алгоритм обратного распространения ошибки). Допустим, у нас есть текущие значения весов $W^i_0$ и мы хотим совершить шаг SGD по мини-батчу $X$. Мы должны сделать следующее:

1. Совершить forward pass, вычислив и запомнив все промежуточные представления $X = X^0, X^1, ldots, X^m = widehat{y}$.
2. Вычислить все градиенты с помощью backward pass.
3. С помощью полученных градиентов совершить шаг SGD.

Проиллюстрируем алгоритм на примере двуслойной нейронной сети со скалярным output’ом. Для простоты опустим свободные члены в линейных слоях.

Обучаемые параметры – матрицы $U$ и $W$. Как найти градиенты по ним в точке $U_0, W_0$?

$$nabla_{W_0}mathcal{L} = nabla_{W_0}{left({vphantom{frac12}mathcal{L}circ hcircleft[Wmapsto g(XU_0)Wright]}right)}=$$

$$=g(XU_0)^Tnabla_{g(XU_0)W_0}(mathcal{L}circ h) = underbrace{g(XU_0)^T}_{ktimes N}cdot
left[vphantom{frac12}underbrace{h’left(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}_{Ntimes 1}odot
underbrace{nabla_{hleft(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}mathcal{L}}_{Ntimes 1}right]$$

Итого матрица $ktimes 1$, как и $W_0$

$$nabla_{U_0}mathcal{L} = nabla_{U_0}left(vphantom{frac12}
mathcal{L}circ hcircleft[Ymapsto YW_0right]circ gcircleft[ Umapsto XUright]
right)=$$

$$=X^Tcdotnabla_{XU^0}left(vphantom{frac12}mathcal{L}circ hcirc [Ymapsto YW_0]circ gright) =$$

$$=X^Tcdotleft(vphantom{frac12}g'(XU_0)odot
nabla_{g(XU_0)}left[vphantom{in_0^1}mathcal{L}circ hcirc[Ymapsto YW_0right]
right)$$

$$=ldots = underset{Dtimes N}{X^T}cdotleft(vphantom{frac12}
underbrace{g'(XU_0)}_{Ntimes K}odot
underbrace{left[vphantom{int_0^1}left(
underbrace{h’left(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}_{Ntimes1}odotunderbrace{nabla_{h(vphantom{int_0^1}gleft(XU_0right)W_0)}mathcal{L}}_{Ntimes 1}
right)cdot underbrace{W^T}_{1times K}right]}_{Ntimes K}
right)$$

Итого $Dtimes K$, как и $U_0$

Схематически это можно представить следующим образом:

Backpropagation для двуслойной нейронной сети

Если вы не уследили за вычислениями в предыдущем примере, давайте более подробно разберём его чуть более конкретную версию (для $g = h = sigma$)Рассмотрим двуслойную нейронную сеть для классификации. Мы уже встречали ее ранее при рассмотрении линейно неразделимой выборки. Предсказания получаются следующим образом:

$$
widehat{y} = sigma(X^1 W^2) = sigmaBig(big(sigma(X^0 W^1 )big) W^2 Big).
$$

Пусть $W^1_0$ и $W^2_0$ — текущее приближение матриц весов. Мы хотим совершить шаг по градиенту функции потерь, и для этого мы должны вычислить её градиенты по $W^1$ и $W^2$ в точке $(W^1_0, W^2_0)$.

Прежде всего мы совершаем forward pass, в ходе которого мы должны запомнить все промежуточные представления: $X^1 = X^0 W^1_0$, $X^2 = sigma(X^0 W^1_0)$, $X^3 = sigma(X^0 W^1_0) W^2_0$, $X^4 = sigma(sigma(X^0 W^1_0) W^2_0) = widehat{y}$. Они понадобятся нам дальше.

Для полученных предсказаний вычисляется значение функции потерь:

$$
l = mathcal{L}(y, widehat{y}) = y log(widehat{y}) + (1-y) log(1-widehat{y}).
$$

Дальше мы шаг за шагом будем находить производные по переменным из всё более глубоких слоёв.

1. Градиент $mathcal{L}$ по предсказаниям имеет вид

   $$
   nabla_{widehat{y}}l = frac{y}{widehat{y}} — frac{1 — y}{1 — widehat{y}} = frac{y — widehat{y}}{widehat{y} (1 — widehat{y})},
   $$

   где, напомним, $ widehat{y} = sigma(X^3) = sigmaBig(big(sigma(X^0 W^1_0 )big) W^2_0 Big)$ (обратите внимание на то, что $W^1_0$ и $W^2_0$ тут именно те, из которых мы делаем градиентный шаг).

2. Следующий слой — поэлементное взятие $sigma$. Как мы помним, при переходе через него градиент поэлементно умножается на производную $sigma$, в которую подставлено предыдущее промежуточное представление:

   $$
   nabla_{X^3}l = sigma'(X^3)odotnabla_{widehat{y}}l = sigma(X^3)left( 1 — sigma(X^3) right) odot frac{y — widehat{y}}{widehat{y} (1 — widehat{y})} =
   $$

   $$
   = sigma(X^3)left( 1 — sigma(X^3) right) odot frac{y — sigma(X^3)}{sigma(X^3) (1 — sigma(X^3))} =
   y — sigma(X^3)
   $$

3. Следующий слой — умножение на $W^2_0$. В этот момент мы найдём градиент как по $W^2$, так и по $X^2$. При переходе через умножение на матрицу градиент, как мы помним, умножается с той же стороны на транспонированную матрицу, а значит:

   $$
   color{blue}{nabla_{W^2_0}l} = (X^2)^Tcdot nabla_{X^3}l = (X^2)^Tcdot(y — sigma(X^3)) =
   $$

   $$
   = color{blue}{left( sigma(X^0W^1_0) right)^T cdot (y — sigma(sigma(X^0W^1_0)W^2_0))}
   $$

   Аналогичным образом

   $$
   nabla_{X^2}l = nabla_{X^3}lcdot (W^2_0)^T = (y — sigma(X^3))cdot (W^2_0)^T =
   $$

   $$
   = (y — sigma(X^2W_0^2))cdot (W^2_0)^T
   $$

4. Следующий слой — снова взятие $sigma$.

   $$
   nabla_{X^1}l = sigma'(X^1)odotnabla_{X^2}l = sigma(X^1)left( 1 — sigma(X^1) right) odot left( (y — sigma(X^2W_0^2))cdot (W^2_0)^T right) =
   $$

   $$
   = sigma(X^1)left( 1 — sigma(X^1) right) odotleft( (y — sigma(sigma(X^1)W_0^2))cdot (W^2_0)^T right)
   $$

5. Наконец, последний слой — это умножение $X^0$ на $W^1_0$. Тут мы дифференцируем только по $W^1$:

   $$
   color{blue}{nabla_{W^1_0}l} = (X^0)^Tcdot nabla_{X^1}l = (X^0)^Tcdot big( sigma(X^1) left( 1 — sigma(X^1) right) odot (y — sigma(sigma(X^1)W_0^2))cdot (W^2_0)^Tbig) =
   $$

   $$
   = color{blue}{(X^0)^Tcdotbig(sigma(X^0W^1_0)left( 1 — sigma(X^0W^1_0) right) odot (y — sigma(sigma(X^0W^1_0)W_0^2))cdot (W^2_0)^Tbig) }
   $$

Итоговые формулы для градиентов получились страшноватыми, но они были получены друг из друга итеративно с помощью очень простых операций: матричного и поэлементного умножения, в которые порой подставлялись значения заранее вычисленных промежуточных представлений.

Автоматизация и autograd

Итак, чтобы нейросеть обучалась, достаточно для любого слоя $f^k: X^{k-1}mapsto X^k$ с параметрами $W^k$ уметь:

• превращать $nabla_{X^k_0}mathcal{L}$ в $nabla_{X^{k-1}_0}mathcal{L}$ (градиент по выходу в градиент по входу);
• считать градиент по его параметрам $nabla_{W^k_0}mathcal{L}$.

При этом слою совершенно не надо знать, что происходит вокруг. То есть слой действительно может быть запрограммирован как отдельная сущность, умеющая внутри себя делать forward pass и backward pass, после чего слои механически, как кубики в конструкторе, собираются в большую сеть, которая сможет работать как одно целое.

Более того, во многих случаях авторы библиотек для глубинного обучения уже о вас позаботились и создали средства для автоматического дифференцирования выражений (autograd). Поэтому, программируя нейросеть, вы почти всегда можете думать только о forward-проходе, прямом преобразовании данных, предоставив библиотеке дифференцировать всё самостоятельно. Это делает код нейросетей весьма понятным и выразительным (да, в реальности он тоже бывает большим и страшным, но сравните на досуге код какой-нибудь разухабистой нейросети и код градиентного бустинга на решающих деревьях и почувствуйте разницу).

Но это лишь начало

Метод обратного распространения ошибки позволяет удобно посчитать градиенты, но дальше с ними что-то надо делать, и старый добрый SGD едва ли справится с обучением современной сетки. Так что же делать? О некоторых приёмах мы расскажем в следующей главе.

Нейронные сети для начинающих. Часть 2 +38

Что такое нейрон смещения?

Перед тем как начать нашу основную тему, мы должны ввести понятие еще одного вида нейронов — нейрон смещения. Нейрон смещения или bias нейрон — это третий вид нейронов, используемый в большинстве нейросетей. Особенность этого типа нейронов заключается в том, что его вход и выход всегда равняются 1 и они никогда не имеют входных синапсов. Нейроны смещения могут, либо присутствовать в нейронной сети по одному на слое, либо полностью отсутствовать, 50/50 быть не может (красным на схеме обозначены веса и нейроны которые размещать нельзя). Соединения у нейронов смещения такие же, как у обычных нейронов — со всеми нейронами следующего уровня, за исключением того, что синапсов между двумя bias нейронами быть не может. Следовательно, их можно размещать на входном слое и всех скрытых слоях, но никак не на выходном слое, так как им попросту не с чем будет формировать связь.

Для чего нужен нейрон смещения?

Нейрон смещения нужен для того, чтобы иметь возможность получать выходной результат, путем сдвига графика функции активации вправо или влево. Если это звучит запутанно, давайте рассмотрим простой пример, где есть один входной нейрон и один выходной нейрон. Тогда можно установить, что выход O2 будет равен входу H1, умноженному на его вес, и пропущенному через функцию активации (формула на фото слева). В нашем конкретном случае, будем использовать сигмоид.

Из школьного курса математики, мы знаем, что если взять функцию y = ax+b и менять у нее значения “а”, то будет изменяться наклон функции (цвета линий на графике слева), а если менять “b”, то мы будем смещать функцию вправо или влево (цвета линий на графике справа). Так вот “а” — это вес H1, а “b” — это вес нейрона смещения B1. Это грубый пример, но примерно так все и работает (если вы посмотрите на функцию активации справа на изображении, то заметите очень сильное сходство между формулами). То есть, когда в ходе обучения, мы регулируем веса скрытых и выходных нейронов, мы меняем наклон функции активации. Однако, регулирование веса нейронов смещения может дать нам возможность сдвинуть функцию активации по оси X и захватить новые участки. Иными словами, если точка, отвечающая за ваше решение, будет находиться, как показано на графике слева, то ваша НС никогда не сможет решить задачу без использования нейронов смещения. Поэтому, вы редко встретите нейронные сети без нейронов смещения.

Также нейроны смещения помогают в том случае, когда все входные нейроны получают на вход 0 и независимо от того какие у них веса, они все передадут на следующий слой 0, но не в случае присутствия нейрона смещения. Наличие или отсутствие нейронов смещения — это гиперпараметр (об этом чуть позже). Одним словом, вы сами должны решить, нужно ли вам использовать нейроны смещения или нет, прогнав НС с нейронами смешения и без них и сравнив результаты.

ВАЖНО знать, что иногда на схемах не обозначают нейроны смещения, а просто учитывают их веса при вычислении входного значения например:

input = H1*w1+H2*w2+b3
b3 = bias*w3

Так как его выход всегда равен 1, то можно просто представить что у нас есть дополнительный синапс с весом и прибавить к сумме этот вес без упоминания самого нейрона.

Как сделать чтобы НС давала правильные ответы?

Ответ прост — нужно ее обучать. Однако, насколько бы прост не был ответ, его реализация в плане простоты, оставляет желать лучшего. Существует несколько методов обучения НС и я выделю 3, на мой взгляд, самых интересных:

• Метод обратного распространения (Backpropagation)
• Метод упругого распространения (Resilient propagation или Rprop)
• Генетический Алгоритм (Genetic Algorithm)

Об Rprop и ГА речь пойдет в других статьях, а сейчас мы с вами посмотрим на основу основ — метод обратного распространения, который использует алгоритм градиентного спуска.

Что такое градиентный спуск?

Это способ нахождения локального минимума или максимума функции с помощью движения вдоль градиента. Если вы поймете суть градиентного спуска, то у вас не должно возникнуть никаких вопросов во время использования метода обратного распространения. Для начала, давайте разберемся, что такое градиент и где он присутствует в нашей НС. Давайте построим график, где по оси х будут значения веса нейрона(w) а по оси у — ошибка соответствующая этому весу(e).

Посмотрев на этот график, мы поймем, что график функция f(w) является зависимостью ошибки от выбранного веса. На этом графике нас интересует глобальный минимум — точка (w2,e2) или, иными словами, то место где график подходит ближе всего к оси х. Эта точка будет означать, что выбрав вес w2 мы получим самую маленькую ошибку — e2 и как следствие, самый лучший результат из всех возможных. Найти же эту точку нам поможет метод градиентного спуска (желтым на графике обозначен градиент). Соответственно у каждого веса в нейросети будет свой график и градиент и у каждого надо найти глобальный минимум.

Так что же такое, этот градиент? Градиент — это вектор который определяет крутизну склона и указывает его направление относительно какой либо из точек на поверхности или графике. Чтобы найти градиент нужно взять производную от графика по данной точке (как это и показано на графике). Двигаясь по направлению этого градиента мы будем плавно скатываться в низину. Теперь представим что ошибка — это лыжник, а график функции — гора. Соответственно, если ошибка равна 100%, то лыжник находиться на самой вершине горы и если ошибка 0% то в низине. Как все лыжники, ошибка стремится как можно быстрее спуститься вниз и уменьшить свое значение. В конечном случае у нас должен получиться следующий результат:

Представьте что лыжника забрасывают, с помощью вертолета, на гору. На сколько высоко или низко зависит от случая (аналогично тому, как в нейронной сети при инициализации веса расставляются в случайном порядке). Допустим ошибка равна 90% и это наша точка отсчета. Теперь лыжнику нужно спуститься вниз, с помощью градиента. На пути вниз, в каждой точке мы будем вычислять градиент, что будет показывать нам направление спуска и при изменении наклона, корректировать его. Если склон будет прямым, то после n-ого количества таких действий мы доберемся до низины. Но в большинстве случаев склон (график функции) будет волнистый и наш лыжник столкнется с очень серьезной проблемой — локальный минимум. Я думаю все знают, что такое локальный и глобальный минимум функции, для освежения памяти вот пример. Попадание в локальный минимум чревато тем, что наш лыжник навсегда останется в этой низине и никогда не скатиться с горы, следовательно мы никогда не сможем получить правильный ответ. Но мы можем избежать этого, снарядив нашего лыжника реактивным ранцем под названием момент (momentum). Вот краткая иллюстрация момента:

Как вы уже наверное догадались, этот ранец придаст лыжнику необходимое ускорение чтобы преодолеть холм, удерживающий нас в локальном минимуме, однако здесь есть одно НО. Представим что мы установили определенное значение параметру момент и без труда смогли преодолеть все локальные минимумы, и добраться до глобального минимума. Так как мы не можем просто отключить реактивный ранец, то мы можем проскочить глобальный минимум, если рядом с ним есть еще низины. В конечном случае это не так важно, так как рано или поздно мы все равно вернемся обратно в глобальный минимум, но стоит помнить, что чем больше момент, тем больше будет размах с которым лыжник будет кататься по низинам. Вместе с моментом в методе обратного распространения также используется такой параметр как скорость обучения (learning rate). Как наверняка многие подумают, чем больше скорость обучения, тем быстрее мы обучим нейросеть. Нет. Скорость обучения, также как и момент, является гиперпараметром — величина которая подбирается путем проб и ошибок. Скорость обучения можно напрямую связать со скоростью лыжника и можно с уверенностью сказать — тише едешь дальше будешь. Однако здесь тоже есть определенные аспекты, так как если мы совсем не дадим лыжнику скорости то он вообще никуда не поедет, а если дадим маленькую скорость то время пути может растянуться на очень и очень большой период времени. Что же тогда произойдет если мы дадим слишком большую скорость?

Как видите, ничего хорошего. Лыжник начнет скатываться по неправильному пути и возможно даже в другом направлении, что как вы понимаете только отдалит нас от нахождения правильного ответа. Поэтому во всех этих параметрах нужно находить золотую середину чтобы избежать не сходимости НС (об этом чуть позже).

Что такое Метод Обратного Распространения (МОР)?

Вот мы и дошли до того момента, когда мы можем обсудить, как же все таки сделать так, чтобы ваша НС могла правильно обучаться и давать верные решения. Очень хорошо МОР визуализирован на этой гифке:

А теперь давайте подробно разберем каждый этап. Если вы помните то в предыдущей статье мы считали выход НС. По другому это называется передача вперед (Forward pass), то есть мы последовательно передаем информацию от входных нейронов к выходным. После чего мы вычисляем ошибку и основываясь на ней делаем обратную передачу, которая заключается в том, чтобы последовательно менять веса нейронной сети, начиная с весов выходного нейрона. Значение весов будут меняться в ту сторону, которая даст нам наилучший результат. В моих вычисления я буду пользоваться методом нахождения дельты, так как это наиболее простой и понятный способ. Также я буду использовать стохастический метод обновления весов (об этом чуть позже).

Теперь давайте продолжим с того места, где мы закончили вычисления в предыдущей статье.

Так как мы уже подсчитали результат НС и ее ошибку, то мы можем сразу приступить к МОРу. Как я уже упоминал ранее, алгоритм всегда начинается с выходного нейрона. В таком случае давайте посчитаем для него значение ? (дельта) по формуле 1.
Так как у выходного нейрона нет исходящих синапсов, то мы будем пользоваться первой формулой (? output), следственно для скрытых нейронов мы уже будем брать вторую формулу (? hidden). Тут все достаточно просто: считаем разницу между желаемым и полученным результатом и умножаем на производную функции активации от входного значения данного нейрона. Прежде чем приступить к вычислениям я хочу обратить ваше внимание на производную. Во первых как это уже наверное стало понятно, с МОР нужно использовать только те функции активации, которые могут быть дифференцированы. Во вторых чтобы не делать лишних вычислений, формулу производной можно заменить на более дружелюбную и простую формула вида:

Таким образом наши вычисления для точки O1 будут выглядеть следующим образом.

На этом вычисления для нейрона O1 закончены. Запомните, что после подсчета дельты нейрона мы обязаны сразу обновить веса всех исходящих синапсов этого нейрона. Так как в случае с O1 их нет, мы переходим к нейронам скрытого уровня и делаем тоже самое за исключение того, что формула подсчета дельты у нас теперь вторая и ее суть заключается в том, чтобы умножить производную функции активации от входного значения на сумму произведений всех исходящих весов и дельты нейрона с которой этот синапс связан. Но почему формулы разные? Дело в том что вся суть МОР заключается в том чтобы распространить ошибку выходных нейронов на все веса НС. Ошибку можно вычислить только на выходном уровне, как мы это уже сделали, также мы вычислили дельту в которой уже есть эта ошибка. Следственно теперь мы будем вместо ошибки использовать дельту которая будет передаваться от нейрона к нейрону. В таком случае давайте найдем дельту для H1:

Теперь нам нужно найти градиент для каждого исходящего синапса. Здесь обычно вставляют 3 этажную дробь с кучей производных и прочим математическим адом, но в этом и вся прелесть использования метода подсчета дельт, потому что в конечном счете ваша формула нахождения градиента будет выглядеть вот так:

Здесь точка A это точка в начале синапса, а точка B на конце синапса. Таким образом мы можем подсчитать градиент w5 следующим образом:

Сейчас у нас есть все необходимые данные чтобы обновить вес w5 и мы сделаем это благодаря функции МОР которая рассчитывает величину на которую нужно изменить тот или иной вес и выглядит она следующим образом:

Настоятельно рекомендую вам не игнорировать вторую часть выражения и использовать момент так как это вам позволит избежать проблем с локальным минимумом.

Здесь мы видим 2 константы о которых мы уже говорили, когда рассматривали алгоритм градиентного спуска: E (эпсилон) — скорость обучения, ? (альфа) — момент. Переводя формулу в слова получим: изменение веса синапса равно коэффициенту скорости обучения, умноженному на градиент этого веса, прибавить момент умноженный на предыдущее изменение этого веса (на 1-ой итерации равно 0). В таком случае давайте посчитаем изменение веса w5 и обновим его значение прибавив к нему ?w5.

Таким образом после применения алгоритма наш вес увеличился на 0.063. Теперь предлагаю сделать вам тоже самое для H2.

И конечно не забываем про I1 и I2, ведь у них тоже есть синапсы веса которых нам тоже нужно обновить. Однако помним, что нам не нужно находить дельты для входных нейронов так как у них нет входных синапсов.

Теперь давайте убедимся в том, что мы все сделали правильно и снова посчитаем выход НС только уже с обновленными весами.

Как мы видим после одной итерации МОР, нам удалось уменьшить ошибку на 0.04 (6%). Теперь нужно повторять это снова и снова, пока ваша ошибка не станет достаточно мала.

Что еще нужно знать о процессе обучения?

Нейросеть можно обучать с учителем и без (supervised, unsupervised learning).

Обучение с учителем — это тип тренировок присущий таким проблемам как регрессия и классификация (им мы и воспользовались в примере приведенном выше). Иными словами здесь вы выступаете в роли учителя а НС в роли ученика. Вы предоставляете входные данные и желаемый результат, то есть ученик посмотрев на входные данные поймет, что нужно стремиться к тому результату который вы ему предоставили.

Обучение без учителя — этот тип обучения встречается не так часто. Здесь нет учителя, поэтому сеть не получает желаемый результат или же их количество очень мало. В основном такой вид тренировок присущ НС у которых задача состоит в группировке данных по определенным параметрам. Допустим вы подаете на вход 10000 статей на хабре и после анализа всех этих статей НС сможет распределить их по категориям основываясь, например, на часто встречающихся словах. Статьи в которых упоминаются языки программирования, к программированию, а где такие слова как Photoshop, к дизайну.

Существует еще такой интересный метод, как обучение с подкреплением (reinforcement learning). Этот метод заслуживает отдельной статьи, но я попытаюсь вкратце описать его суть. Такой способ применим тогда, когда мы можем основываясь на результатах полученных от НС, дать ей оценку. Например мы хотим научить НС играть в PAC-MAN, тогда каждый раз когда НС будет набирать много очков мы будем ее поощрять. Иными словами мы предоставляем НС право найти любой способ достижения цели, до тех пор пока он будет давать хороший результат. Таким способом, сеть начнет понимать чего от нее хотят добиться и пытается найти наилучший способ достижения этой цели без постоянного предоставления данных “учителем”.

Также обучение можно производить тремя методами: стохастический метод (stochastic), пакетный метод (batch) и мини-пакетный метод (mini-batch). Существует очень много статей и исследований на тему того, какой из методов лучше и никто не может прийти к общему ответу. Я же сторонник стохастического метода, однако я не отрицаю тот факт, что каждый метод имеет свои плюсы и минусы.

Вкратце о каждом методе:

Стохастический (его еще иногда называют онлайн) метод работает по следующему принципу — нашел ?w, сразу обнови соответствующий вес.

Пакетный метод же работает по другому. Мы суммируем ?w всех весов на текущей итерации и только потом обновляем все веса используя эту сумму. Один из самых важных плюсов такого подхода — это значительная экономия времени на вычисление, точность же в таком случае может сильно пострадать.

Мини-пакетный метод является золотой серединой и пытается совместить в себе плюсы обоих методов. Здесь принцип таков: мы в свободном порядке распределяем веса по группам и меняем их веса на сумму ?w всех весов в той или иной группе.

Что такое гиперпараметры?

Гиперпараметры — это значения, которые нужно подбирать вручную и зачастую методом проб и ошибок. Среди таких значений можно выделить:

• Момент и скорость обучения
• Количество скрытых слоев
• Количество нейронов в каждом слое
• Наличие или отсутствие нейронов смещения

В других типах НС присутствуют дополнительные гиперпараметры, но о них мы говорить не будем. Подбор верных гиперпараметров очень важен и будет напрямую влиять на сходимость вашей НС. Понять стоит ли использовать нейроны смещения или нет достаточно просто. Количество скрытых слоев и нейронов в них можно вычислить перебором основываясь на одном простом правиле — чем больше нейронов, тем точнее результат и тем экспоненциально больше время, которое вы потратите на ее обучение. Однако стоит помнить, что не стоит делать НС с 1000 нейронов для решения простых задач. А вот с выбором момента и скорости обучения все чуточку сложнее. Эти гиперпараметры будут варьироваться, в зависимости от поставленной задачи и архитектуры НС. Например, для решения XOR скорость обучения может быть в пределах 0.3 — 0.7, но в НС которая анализирует и предсказывает цену акций, скорость обучения выше 0.00001 приводит к плохой сходимости НС. Не стоит сейчас заострять свое внимание на гиперпараметрах и пытаться досконально понять, как же их выбирать. Это придет с опытом, а пока что советую просто экспериментировать и искать примеры решения той или иной задачи в сети.

Что такое сходимость?

Сходимость говорит о том, правильная ли архитектура НС и правильно ли были подобраны гиперпараметры в соответствии с поставленной задачей. Допустим наша программа выводит ошибку НС на каждой итерации в лог. Если с каждой итерацией ошибка будет уменьшаться, то мы на верном пути и наша НС сходится. Если же ошибка будет прыгать вверх — вниз или застынет на определенном уровне, то НС не сходится. В 99% случаев это решается изменением гиперпараметров. Оставшийся 1% будет означать, что у вас ошибка в архитектуре НС. Также бывает, что на сходимость влияет переобучение НС.

Что такое переобучение?

Переобучение, как следует из названия, это состояние нейросети, когда она перенасыщена данными. Это проблема возникает, если слишком долго обучать сеть на одних и тех же данных. Иными словами, сеть начнет не учиться на данных, а запоминать и “зубрить” их. Соответственно, когда вы уже будете подавать на вход этой НС новые данные, то в полученных данных может появиться шум, который будет влиять на точность результата. Например, если мы будем показывать НС разные фотографии яблок (только красные) и говорить что это яблоко. Тогда, когда НС увидит желтое или зеленое яблоко, оно не сможет определить, что это яблоко, так как она запомнила, что все яблоки должны быть красными. И наоборот, когда НС увидит что-то красное и по форме совпадающее с яблоком, например персик, она скажет, что это яблоко. Это и есть шум. На графике шум будет выглядеть следующим образом.

Видно, что график функции сильно колеблется от точки к точке, которые являются выходными данными (результатом) нашей НС. В идеале, этот график должен быть менее волнистый и прямой. Чтобы избежать переобучения, не стоит долго тренировать НС на одних и тех же или очень похожих данных. Также, переобучение может быть вызвано большим количеством параметров, которые вы подаете на вход НС или слишком сложной архитектурой. Таким образом, когда вы замечаете ошибки (шум) в выходных данных после этапа обучения, то вам стоит использовать один из методов регуляризации, но в большинстве случаев это не понадобиться.

Заключение

Надеюсь эта статья смогла прояснить ключевые моменты такого нелегко предмета, как Нейронные сети. Однако я считаю, что сколько бы ты статей не прочел, без практики такую сложную тему освоить невозможно. Поэтому, если вы только в начале пути и хотите изучить эту перспективную и развивающуюся отрасль, то советую начать практиковаться с написания своей НС, а уже после прибегать к помощи различных фреймворков и библиотек. Также, если вам интересен мой метод изложения информации и вы хотите, чтобы я написал статьи на другие темы связанные с Машинным обучением, то проголосуйте в опросе ниже за ту тему которую вам интересна. До встречи в будущих статьях

Метод обратного распространения ошибок (англ. backpropagation) — метод вычисления градиента, который используется при обновлении весов в нейронной сети.

Обучение как задача оптимизации

Рассмотрим простую нейронную сеть без скрытых слоев, с двумя входными вершинами и одной выходной, в которых каждый нейрон использует линейную функцию активации, (обычно, многослойные нейронные сети используют нелинейные функции активации, линейные функции используются для упрощения понимания) которая является взвешенной суммой входных данных.

Изначально веса задаются случайно. Затем, нейрон обучается с помощью тренировочного множества, которое в этом случае состоит из множества троек где и — это входные данные сети и — правильный ответ. Начальная сеть, приняв на вход и , вычислит ответ , который вероятно отличается от . Общепринятый метод вычисления несоответствия между ожидаемым и получившимся ответом — квадратичная функция потерь:

где ошибка.

В качестве примера, обучим сеть на объекте , таким образом, значения и равны 1, а равно 0. Построим график зависимости ошибки от действительного ответа , его результатом будет парабола. Минимум параболы соответствует ответу , минимизирующему . Если тренировочный объект один, минимум касается горизонтальной оси, следовательно ошибка будет нулевая и сеть может выдать ответ равный ожидаемому ответу . Следовательно, задача преобразования входных значений в выходные может быть сведена к задаче оптимизации, заключающейся в поиске функции, которая даст минимальную ошибку.

В таком случае, выходное значение нейрона — взвешенная сумма всех его входных значений:

где и — веса на ребрах, соединяющих входные вершины с выходной. Следовательно, ошибка зависит от весов ребер, входящих в нейрон. И именно это нужно менять в процессе обучения. Распространенный алгоритм для поиска набора весов, минимизирующего ошибку — градиентный спуск. Метод обратного распространения ошибки используется для вычисления самого «крутого» направления для спуска.

Дифференцирование для однослойной сети

Метод градиентного спуска включает в себя вычисление дифференциала квадратичной функции ошибки относительно весов сети. Обычно это делается с помощью метода обратного распространения ошибки. Предположим, что выходной нейрон один, (их может быть несколько, тогда ошибка — это квадратичная норма вектора разницы) тогда квадратичная функция ошибки:

где — квадратичная ошибка, — требуемый ответ для обучающего образца, — действительный ответ сети.

Множитель добавлен чтобы предотвратить возникновение экспоненты во время дифференцирования. На результат это не повлияет, потому что позже выражение будет умножено на произвольную величину скорости обучения (англ. learning rate).

Для каждого нейрона , его выходное значение определено как

Входные значения нейрона — это взвешенная сумма выходных значений предыдущих нейронов. Если нейрон в первом слое после входного, то входного слоя — это просто входные значения сети. Количество входных значений нейрона . Переменная обозначает вес на ребре между нейроном предыдущего слоя и нейроном текущего слоя.

Функция активации нелинейна и дифференцируема. Одна из распространенных функций активации — сигмоида:

у нее удобная производная:

Находим производную ошибки

Вычисление частной производной ошибки по весам выполняется с помощью цепного правила:

Только одно слагаемое в зависит от , так что

Если нейрон в первом слое после входного, то — это просто .

Производная выходного значения нейрона по его входному значению — это просто частная производная функции активации (предполагается что в качестве функции активации используется сигмоида):

По этой причине данный метод требует дифференцируемой функции активации. (Тем не менее, функция ReLU стала достаточно популярной в последнее время, хоть и не дифференцируема в 0)

Первый множитель легко вычислим, если нейрон находится в выходном слое, ведь в таком случае и

Тем не менее, если произвольный внутренний слой сети, нахождение производной по менее очевидно.

Если рассмотреть как функцию, берущую на вход все нейроны получающие на вход значение нейрона ,

и взять полную производную по , то получим рекурсивное выражение для производной:

Следовательно, производная по может быть вычислена если все производные по выходным значениям следующего слоя известны.

Если собрать все месте:

и

Чтобы обновить вес используя градиентный спуск, нужно выбрать скорость обучения, . Изменение в весах должно отражать влияние на увеличение или уменьшение в . Если , увеличение увеличивает ; наоборот, если , увеличение уменьшает . Новый добавлен к старым весам, и произведение скорости обучения на градиент, умноженный на , гарантирует, что изменения будут всегда уменьшать . Другими словами, в следующем уравнении, всегда изменяет в такую сторону, что уменьшается:

Алгоритм

• — скорость обучения
• — коэффициент инерциальности для сглаживания резких скачков при перемещении по поверхности целевой функции
• — обучающее множество
• — количество повторений
• — функция, подающая x на вход сети и возвращающая выходные значения всех ее узлов
• — количество слоев в сети
• — множество нейронов в слое i
• — множество нейронов в выходном слое

fun BackPropagation:
   init 
   repeat :
       for  =  to :
            =  
           for :
                = 
           for  =  to :
               for :
                    = 
           for :
                = 
                = 
   return 

Недостатки алгоритма

Несмотря на многочисленные успешные применения обратного распространения, оно не является универсальным решением. Больше всего неприятностей приносит неопределённо долгий процесс обучения. В сложных задачах для обучения сети могут потребоваться дни или даже недели, она может и вообще не обучиться. Причиной может быть одна из описанных ниже.

Паралич сети

В процессе обучения сети значения весов могут в результате коррекции стать очень большими величинами. Это может привести к тому, что все или большинство нейронов будут функционировать при очень больших выходных значениях, а производная активирующей функции будет очень мала. Так как посылаемая обратно в процессе обучения ошибка пропорциональна этой производной, то процесс обучения может практически замереть.

Локальные минимумы

Градиентный спуск с обратным распространением ошибок гарантирует нахождение только локального минимума функции; также, возникают проблемы с пересечением плато на поверхности функции ошибки.

Примечания

• Алгоритм обучения многослойной нейронной сети методом обратного распространения ошибки
• Neural Nets
• Understanding backpropagation

См. также

• Нейронные сети, перцептрон
• Стохастический градиентный спуск
• Настройка глубокой сети
• Практики реализации нейронных сетей

Источники информации

• https://en.wikipedia.org/wiki/Backpropagation
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_обратного_распространения_ошибки

Применение алгоритма обратного распространения ошибки — один из известных методов, используемых для глубокого обучения нейронных сетей прямого распространения (такие сети ещё называют многослойными персептронами). Этот метод относят к методу обучения с учителем, поэтому требуется задавать в обучающих примерах целевые значения. В этой статье мы рассмотрим, что собой представляет метод обратного распространения ошибки, как он реализуется, каковы его плюсы и минусы.

Сегодня нейронные сети прямого распространения используются для решения множества сложных задач. Если говорить об обучении нейронных сетей методом обратного распространения, то тут пользуются двумя проходами по всем слоям нейросети: прямым и обратным. При выполнении прямого прохода осуществляется подача входного вектора на входной слой сети, после чего происходит распространение по нейронной сети от слоя к слою. В итоге должна осуществляться генерация набора выходных сигналов — именно он, по сути, является реакцией нейронной сети на этот входной образ. При прямом проходе все синаптические веса нейросети фиксированы. При обратном проходе все синаптические веса настраиваются согласно правил коррекции ошибок, когда фактический выход нейронной сети вычитается из желаемого, что приводит к формированию сигнала ошибки. Такой сигнал в дальнейшем распространяется по сети, причём направление распространения обратно направлению синаптических связей. Именно поэтому соответствующий метод и называют алгоритмом с обратно распространённой ошибкой. Синаптические веса настраивают с целью наибольшего приближения выходного сигнала нейронной сети к желаемому.

Общее описание алгоритма обратного распространения ошибки

К примеру, нам надо обучить нейронную сеть по аналогии с той, что представлена на картинке ниже. Естественно, задачу следует выполнить, применяя алгоритм обратного распространения ошибки:

В многослойных персептронах в роли активационной функции обычно применяют сигмоидальную активационную функция, в нашем случае — логистическую. Формула:

Причём «альфа» здесь означает параметр наклона сигмоидальной функции. Меняя его, мы получаем возможность строить функции с разной крутизной.

Сигмоид может сужать диапазон изменения таким образом, чтобы значение OUT лежало между нулем и единицей. Нейронные многослойные сети характеризуются более высокой представляющей мощностью, если сравнивать их с однослойными, но это утверждение справедливо лишь в случае нелинейности. Нужную нелинейность и обеспечивает сжимающая функция. Но на практике существует много функций, которые можно использовать. Говоря о работе алгоритма обратного распространения ошибки, скажем, что для этого нужно лишь, чтобы функция была везде дифференцируема, а данному требованию как раз и удовлетворяет сигмоид. У него есть и дополнительное преимущество — автоматический контроль усиления. Если речь идёт о слабых сигналах (OUT близко к нулю), то кривая «вход-выход» характеризуется сильным наклоном, дающим большое усиление. При увеличении сигнала усиление падает. В результате большие сигналы будут восприниматься сетью без насыщения, а слабые сигналы будут проходить по сети без чрезмерного ослабления.

Цель обучения сети

Цель обучения нейросети при использовании алгоритма обратного распространения ошибки — это такая подстройка весов нейросети, которая позволит при приложении некоторого множества входов получить требуемое множество выходов нейронов (выходных нейронов). Можно назвать эти множества входов и выходов векторами. В процессе обучения предполагается, что для любого входного вектора существует целевой вектор, парный входному и задающий требуемый выход. Эту пару называют обучающей. Работая с нейросетями, мы обучаем их на многих парах.

Также можно сказать, что алгоритм использует стохастический градиентный спуск и продвигается в многомерном пространстве весов в направлении антиградиента, причём цель — это достижение минимума функции ошибки.

При практическом применении метода обучение продолжают не до максимально точной настройки нейросети на минимум функции ошибки, а пока не будет достигнуто довольно точное его приближение. С одной стороны, это даёт возможность уменьшить количество итераций обучения, с другой — избежать переобучения нейронной сети.

Пошаговая реализация метода обратного распространения ошибки

Необходимо выполнить следующие действия:
1. Инициализировать синаптические веса случайными маленькими значениями.
2. Выбрать из обучающего множества очередную обучающую пару; подать на вход сети входной вектор.
3. Выполнить вычисление выходных значений нейронной сети.
4. Посчитать разность между выходом нейросети и требуемым выходом (речь идёт о целевом векторе обучающей пары).
5. Скорректировать веса сети в целях минимизации ошибки.
6. Повторять для каждого вектора обучающего множества шаги 2-5, пока ошибка обучения нейронной сети на всём множестве не достигнет уровня, который является приемлемым.

Виды обучения сети по методу обратного распространения

Сегодня существует много модификаций алгоритма обратного распространения ошибки. Возможно обучение не «по шагам» (выходная ошибка вычисляется, веса корректируются на каждом примере), а «по эпохам» в offline-режиме (изменения весовых коэффициентов происходит после подачи на вход нейросети всех примеров обучающего множества, а ошибка обучения neural сети усредняется по всем примерам).

Обучение «по эпохам» более устойчиво к выбросам и аномальным значениям целевой переменной благодаря усреднению ошибки по многим примерам. Зато в данном случае увеличивается вероятность «застревания» в локальных минимумах. При обучении «по шагам» такая вероятность меньше, ведь применение отдельных примеров создаёт «шум», «выталкивающий» алгоритм обратного распространения из ям градиентного рельефа.

Преимущества и недостатки метода

К плюсам можно отнести простоту в реализации и устойчивость к выбросам и аномалиям в данных, и это основные преимущества. Но есть и минусы:
• неопределенно долгий процесс обучения;
• вероятность «паралича сети» (при больших значениях рабочая точка функции активации попадает в область насыщения сигмоиды, а производная величина приближается к 0, в результате чего коррекции весов почти не происходят, а процесс обучения «замирает»;
• алгоритм уязвим к попаданию в локальные минимумы функции ошибки.

Значение метода обратного распространения

Появление алгоритма стало знаковым событием и положительно отразилось на развитии нейросетей, ведь он реализует эффективный с точки зрения вычислительных процессов способ обучения многослойного персептрона. В то же самое время, было бы неправильным сказать, что алгоритм предлагает наиболее оптимальное решение всех потенциальных проблем. Зато он действительно развеял пессимизм относительно машинного обучения многослойных машин, который воцарился после публикации в 1969 году работы американского учёного с фамилией Минский.

Источники:
— «Алгоритм обратного распространения ошибки»;
— «Back propagation algorithm».

Оглавление:

• Что такое искусственные нейронные сети?
• Виды обучения нейронных сетей
• Многослойные нейронные сети и их базовые понятия
• Разбираемся на примере
• Заключение

Что такое искусственные нейронные сети?

Данная статья предназначена для ознакомления читателя с искусственными нейронными сетями (далее ANN – Artificial Neural Network) и базовыми понятиями многослойных нейронных сетей.

Основным элементом ANN является нейрон. Его основной задачей является перемножение предыдущих значений нейронов или входных значений с соответствующими им весовыми коэффициентами связей между соответствующими нейронами, после активации вычисленного значения.

Основными задачами ANN является классификация, принятие решения, анализ данных, прогнозирование, оптимизация.

Искусственные нейронные сети категорируются по топологии (полносвязные, многослойные, слабосвязные), способу обучения (с учителем, без учителя, с подкреплением), модели нейронной сети (прямого распространения, рекррентные нейронные сети, сверточные нейронные сети, радиально-базисные функции), а также по типу связей (полносвязные, многослойные, слабосвязные). Такой значительно большой тип категорирования связан с разнообразием задач, которые ставятся перед ANN. Примеры, приведенные в скобках являются одними из самых распространенных типов категорирования, на самом деле их значительно больше.

Виды обучения нейронных сетей

Обучение с учителем

Данный тип обучения является самым простым, за счет того, что нет необходимости в написании алгоритмов самообучения. Для обучения с учителем требуется размеченный и структурированный набор данных для обучения. Под словом «размеченный» подразумевается процесс обозначения верного ответа на конкретный набор входных данных, который мы ожидаем от нейронной сети как результат работы. За счет таких данных нейронная сеть будет ориентироваться на разметку и корректировать процесс обучения за счет определения совершенных ошибок, которые будут определяться из данных разметки и ее предсказанных данных.

Обучение без учителя

Под обучением без учителя подразумевается процесс обучения нейронной сети без какого-либо контроля с нашей стороны. Весь процесс будет протекать за счет нахождения нейронной сетью корреляции в данных, извлечения полезных признаков и их анализа.

Существуют несколько способов обучения без учителя: обнаружение аномалий, ассоциации, автоэнкодеры и кластеризация.

На основе алгоритмов, описанных выше, в процессе обучения будет определяться значение ошибки, допущенной на каждом шаге обучения, за счет чего будет происходить корректировка обучения, следовательно, нейронная сеть обучится. За счет наличия алгоритмов, процесс написания которых занимает много времени и сильно усложняет моделирование нейронной сети, данный тип обучения считается самым сложным.

Обучение с подкреплением

Обучение с подкреплением или частичным вмешательством учителя можно считать золотой серединой в обучении нейронных сетей. Данный тип обучения представляет собой обучение без учителя с периодической его корректировкой. Корректировка обучения происходит тогда, когда нейронная сеть допускает ошибки при обучении.

Многослойные нейронные сети и их базовые понятия

Каждая ANN имеет входной, выходной и скрытые слои. Количество скрытых слоев и их сложность (количество искусственных нейронов) зачастую играют важную роль в процессе обучения, обеспечивая хорошее обучение модели нейронной сети.

Многослойными ANN называются нейронные сети, у которых количество скрытых слоев более одного. Пример многослойной нейронной сети:

Входной, выходной и скрытые слои, нормализация и зачем все это нужно?

Входной слой дает возможность «скормить» данные, на которых требуется производить обучение. Выходной, в свою очередь, выдает результат работы нейронной сети. Вся суть заключается в скрытых слоях. Повторюсь, количество скрытых слоев и их сложность определяют качество обучения. Объясню на простом примере. Я, при написании модели нейронной сети, которая классифицирует рукописные цифры, смоделировал нейронную сеть из двух скрытых слоев по 30 нейронов в каждом. На вход подавал изображение 28х28 пикселей, но предварительно проведя нормализацию (объясню чуть ниже) входных значений и приведение изображения к виду 784х1, путем расставления всех столбцов в один. Т.е. входными значениями являлись 0 и 1, а если быть точнее — значения из данного диапазона. Так вот эти 0 и 1 оказались на входном слое, т.е. каждый нейрон входного слоя представлял из себя пиксель исходного изображения. Далее следовал скрытый слой, состоящий из 30 нейронов. Так вот, эти 30 нейронов представляют собой 30 участков исходного изображения, а каждый участок в свою очередь содержит какие-либо признаки, характеризующие изображение как определенную цифру. Т.е. чем больше нейронов в скрытых слоях, тем точнее будет представление и градуировка исходного изображения. Будет «плодиться» больше характеристик, по которым нейронная сеть будет классифицировать изображение должным образом.

Вернусь к такому понятию, как нормализация. Она необходима для приведения входных значений к значениям из диапазона 0 и 1. Смысл заключается в том, что нейронная сеть должна явно или с долей вероятности классифицировать изображение, или дать какое-то предсказание. Раз предсказание представляет собой вероятность, то и входные значения должны быть в диапазоне от 0 до 1. Поэтому нормализация, к примеру, значений пикселей изображения, происходит путем деления на 255, т.к. значения пикселей находятся в диапазоне от 0 до 255 и максимальным значением является значение 255.

Весовые коэффициенты

Каждая связь между искусственными нейронами обладает весовым коэффициентом, который постоянно изменяется в процессе обучения и является величиной, которая увеличивает или уменьшает предсказанную вероятность. К примеру, при уменьшении веса связи между 1 и 2 нейроном и увеличении веса между 1 и 3 получим, что, используя сигмоидальную функцию активации, значение на ее выходе в 1-ом случае будет стремиться к 0, а во втором к 1. Т.е. весовые коэффициенты являются своего рода возбудителями искусственных нейронов к прогнозированию.

Функция активация, виды и особенности

Функция активации является нормализующим звеном на каждом слое нейронной сети. Она представляет из себя функцию, которая приводит входное значение к значению от 0 до 1. Одной из самых распространенных функция активации является сигмоидальная функция активации:

Значение ‘х’ является значением, которое обрабатывается функцией активации. Оно включает в себя алгебраическую сумму произведений значений нейронов на предыдущем слое на соответствующие им связи с тем нейроном, на котором мы производим расчет функции активации, а также нейрон смещения.

Пример вычисления функции активации приведен на рис. 5

Распространенные виды функций активации:

• Активация пороговой функции; функция активирована, если x, не активирована, если х<0

• Гиперболическая касательная функция ошибки; функция нелинейна, ее значения находятся в диапазоне (-1;1)

• ReLu и LeakyReLu; функция ReLu равна при х, при x, а при х<0 равна 0. Отличием LeakyReLu от ReLu является наличие коэффициента, определяющего значение функции при х<0 как ах

 Функция ошибки, виды

Функция ошибки необходима для определения ошибки прогнозирования, допускаемой нейронной сетью на каждом этапе обучения и корректировкой процесса обучения, за счет корректировки весовых значений связей между искусственными нейронами.

Примеры функций ошибок:

• Кросс-энтропия
• Квадратичная (среднеквадратичное отклонение)
• Расстояние Кульбака — Лейблера
• Экспоненциальная

 Самая простая и часто используемая функция ошибок (функция потерь) – среднеквадратичное отклонение.

Она вычисляется как половина от алгебраической суммы квадрата разности, прогнозируемого нейронной сетью значения и реальным значением – разметкой данных.

Backpropagation или обратное распространение ошибки

Для корректировки весов на каждом слое нейронной сети необходима метрика для определения ошибки каждого веса, с этой целью был разработан алгоритм обратного распространения ошибки. Он работает следующим образом:

• Вычисляется прогнозируемое нейронной сетью значение на выходе ANN
• Производится расчет функции ошибки, к примеру, среднеквадратичной
• Корректируются веса связей нейронов на последнем слое на основе вычисленной ошибки на выходе
• Происходит расчет ошибки на предпоследнем слое нейронной сети на основании скорректированных весов связей на последнем слое и ошибки на выходе ANN
• Процесс повторяется до первого слоя нейронной сети

Пример работы алгоритма обратного распространения ошибки:

Bias или нейрон смещения

Значение смещения позволяет сместить функцию активации влево или вправо, что может иметь решающее значение для успешного обучения, а также позволяет быть более гибким при выборе решения или прогнозировании.

При наличии нейрона смещения, его значение тоже поступает на вход функции активации, складываясь с алгебраической суммой произведений нейронов и их весовых коэффициентов.

Пример работы нейрона смещения:

Разбираемся на примере

В данном примере напишем классификатор рукописных цифр на языке программирования С++. Обучающую выборку найдем на официальном сайте MNIST.

В первую очередь импортируем модули:

Определим обучающую выборку ‘dataset’, и загрузим в нее размеченные изображения MNIST.

Создадим входной слой равный 784 нейронам, так как наши изображения равны 28х28 пикселей и мы разложим их в цепочку пикселей 784х1, чтобы подать на вход нейронной сети; два скрытых слоя размера 30 нейронов каждый (размеры скрытых слоев подбирались случайно); выходной слой размером 10 нейронов, так как наша нейросеть будет классифицировать числа в диапазоне 0-9, где первый нейрон будет отвечать за классификацию числа 0, второй за число 1 и так далее до 9.

Необходимо сразу инициализировать наши значения слоев, к примеру 0.

Создадим матрицы весов между входным и 1-м скрытым слоями, 1-м скрытым и 2-м скрытым слоями, 2-м скрытым и выходным слоями, и инициализируем матрицы случайными значениями, как показано на рисунке. На примере значения весов находятся в диапазоне [-1;1].

Также необходимо создать массивы, которые будут содержать в себе значения алгебраической суммы произведения весов на соответствующие нейроны, как было описано выше в статье, после чего эти значения будут подаваться в функцию активации.

Ниже были созданы массивы ошибок на каждом слое. Для сохранения результатов ошибок на каждом нейроне, были инициализированы количество эпох и скорость обучения (определяет скорость перемещения по функции в поисках минимума во время обучения; необходимо быть осторожным с этим значением, так как если оно будет слишком мало, то, есть вероятность остаться в локальном минимуме, не найдя настоящий минимум функции или наоборот, при слишком большом значении, есть вероятность перескочить главный минимум функции.)

На данном этапе начинается процесс обучения нашей нейронной сети. Внешний цикл определяет количество эпох обучения, а внутренний количество итераций обучения в каждой эпохе.

На рисунке ниже инициализируются значения из обучающей выборки MNIST и занесения их на входной слой нейронной сети, а после происходит инициализация S-величин, о которых было сказано выше, нулями

Ниже происходит подсчет алгебраической суммы значений произведений веса на соответствующий нейрон, а после прохождение их через функцию активации, где в роли функции активации выступает сигмоидальная функция.

Подсчитав значения на каждом слое, происходит инициализация массивов ошибок, путем заполнения их 0, а также определение ошибок на выходном слое, путем вычитания полученных значений из 1, и последующим умножением на произведение значений нейронов прошедших через функцию активации на выходном слое на разницу между 1 и этими же значениями.

Далее необходимо определить ошибки на каждом слое нейронной сети методом обратного распространения ошибки. К примеру, чтобы найти ошибку на первом нейроне предыдущего слоя от выходного слоя, необходимо найти алгебраическую сумму произведения ошибок нейронов на выходном слое на соответствующие им веса связей с первым нейроном предыдущего слоя и перемножить на произведение значения нейронов на предпоследнем слое на разницу 1 и этих же значений. Таким образом необходимо найти допущенные ошибки нейронной сетью на каждом слое.

После определения ошибок, допущенных нейронной сетью на каждом нейроне, приступаем к корректировке весовых коэффициентов связей между каждым нейроном. Алгоритм корректировки представлен ниже.

Скорректировав веса, определяем максимальное полученное значение на выходном слое, тем самым определим ответ нейронной сети после прохождения через нее изображения.

Заключение

В этой статье мы разобрались с базовыми понятиями искусственных нейронных сетей, а именно с такими как: входной, выходной, скрытые слои и их предназначение, весовыми коэффициентами связи между искусственными нейронами, функцией активации и ее предназначением, методами определения ошибки на каждом искусственном, с понятием нейрона смещения и функциями ошибки. В следующей статье мы перейдем к изучению нового класса нейронных сетей, таких как сверточные нейронные сети (CNN).

Желаю всем успехов в изучении!

Нейронная сеть — введение
Принцип обучения многослойной нейронной сети с помощью алгоритма обратного распространения

Рассмотрим процесс обучения нейронной сети с использованием алгоритма обратного распространения ошибки (backpropagation).

Для иллюстрации этого процесса используем нейронную сеть состоящую из трёх слоёв и имеющую два входа и один выход:

здесь, автор считает слои по-другому и не учитывает «2 нейрона» входного слоя

Каждый нейрон состоит из двух элементов.
Первый элемент – дендриты — добавляют весовые коэффициенты ко входным сигналам.
Второй элемент – тело — реализует нелинейную функцию, т.н. функцию активации нейрона.
Сигнал е – это взвешенная сумма входных сигналов

у = f (е)

— выходной сигнал нейрона.

Чтобы обучить нейронную сеть мы должны подготовить обучающие данные(примеры).
В нашем случае, тренировочные данные состоят из входных сигналов (х1 и х2) и желаемого результата z.
Обучение – это последовательность итераций (повторений).
В каждой итерации весовые коэффициенты нейронов подгоняются с использованием новых данных из тренировочных примеров.
Изменение весовых коэффициентов и составляют суть алгоритма, описанного ниже.

Каждый шаг обучения начинается с воздействия входных сигналов из тренировочных примеров. После этого мы можем определить значения выходных сигналов для всех нейронов в каждом слое сети.
Иллюстрации ниже показывают, как сигнал распространяется по сети.
Символы W(Xm)n представляют вес связи между сетевым входом Xm и нейрона n во входном слое.
Символы y(n) представляют выходной сигнал нейрона n.

Распространение сигнала через скрытый слой.
Символы Wmn представляют весовые множители связей между выходом нейрона m и входом нейрона n в следующем слое.

Распространение сигнала через выходной слой

На следующем шаге алгоритма, выходной сигнала сети y сравнивается с желаемым выходным сигналом z, который хранится в тренировочных данных.
Разница между этими двумя сигналами называется ошибкой d выходного слоя сети.

Невозможно непосредственно вычислить сигнал ошибки для внутренних нейронов, потому что выходные значения этих нейронов, неизвестны.
На протяжении многих лет был неизвестен эффективный метод для обучения многослойной сети.
Только в середине восьмидесятых годов был разработан алгоритм обратного распространения ошибки.
Идея заключается в распространении сигнала ошибки d (вычисленного в шаге обучения) обратно на все нейроны, чьи выходные сигналы были входящими для последнего нейрона.

Весовые коэффициенты Wmn, используемые для обратного распространения ошибки, равны тем же коэффициентам, что использовались во время вычисления выходного сигнала. Только изменяется направление потока данных (сигналы передаются от выхода ко входу).
Этот процесс повторяется для всех слоёв сети. Если ошибка пришла от нескольких нейронов — она суммируются:

Когда вычисляется величина ошибки сигнала для каждого нейрона – можно скорректировать весовые коэффициенты каждого узла ввода(дендрита) нейрона.
В формулах ниже df(e)/de — является производной от функции активации нейрона (чьи весовые коэффициенты корректируются).

как помним, для активационной функции типа сигмоид

           1
S(x) = -----------
       1 + exp(-x)

производная выражается через саму функцию:

S'(x) = S(x)*(1 - S(x))

, что позволяет существенно сократить вычислительную сложность метода обратного распространения ошибки.

Вычисление производной необходимо, потому что для корректировки весовых коэффициентов при обучении ИНС с помощью алгоритма обратного распространения, используется метод градиентного спуска.

Коэффициент h влияет на скорость обучения сети.
Есть несколько методов для выбора этого параметра.
Первый способ — начать учебный процесс с большим значением параметра h. Во время коррекции весовых коэффициентов, параметр постепенно уменьшают.
Второй — более сложный метод обучения, начинается с малым значением параметра h. В процессе обучения параметр увеличивается, а затем вновь уменьшается на завершающей стадии обучения.
Начало учебного процесса с низким значением параметра h позволяет определить знак весовых коэффициентов.

продолжение следует…

Ссылки
Оригинал статьи (на английском)
http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_обратного_распространения_ошибки
http://en.wikipedia.org/wiki/Backpropagation
Нейросеть в 11 строчек на Python
An overview of gradient descent optimization algorithms

По теме
Нейронная сеть — введение
Пример работы самоорганизующейся инкрементной нейронной сети SOINN