Определение средней квадратической ошибки весового среднего - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Дан ряд результатов
неравноточных измерений

x₁, x₂, . . . , x_n
;

m₁, m₂, . . . , m_n
.

Cоответственно

(2.22)

Как видим из
равенств (2.22) , всегда найдется такое
соотношение, когда
,
т.е. коэффициент С есть не что иное,
как средняя квадратическая ошибка
измерения, вес которой равен единице и
которая в отличие от остальных средних
квадратических ошибок обозначается
и называется ошибкой единицы веса.

Тогда

(2.23)

Следовательно,

(2.24)

В соответствии с
(2.24) можно записать

(2.25)

или

(2.26)

т.е.
cредняя квадратическая ошибка любого
результата измерения равна ошибке
единицы веса, деленной на корень
квадратный из веса соответствующего
результата.

2.4. Вычисление весов функций

2.4.1. Вес
функции независимых величин

Определим вес
функции

(2.27)

При этом известны
веса аргументов p₁
, p₂
, . . . , p_n.
В случае независимых величин имеем

(2.28)

Разделим обе части
равенства (2.28) на ²

так как
то окончательно имеем

(2.29)

2.4.2. Вес функции
неравноточных слагаемых

Дана функция вида

F
= x₁
+ x₂ + . . . + x_n
, (2.30)

где x_i
— результаты
неравноточных измерений с соответствующими
весами: p₁,
p₂ , . . . , p_n_.

Требуется определить
вес функции F
. Cогласно
(2.29) будем иметь

(2.31)

Обратный вес
суммы неравноточных слагаемых равен
сумме обратных весов.

2.4.3. Вес суммы
равноточных слагаемых

Дана функция вида
(2.30), в которой x_i
являются результатами равноточных
измерений, т.е. p₁= p₂ = . . . = p_n
= p. Тогда
вес такой функции определится из
равенства (2.31)

(2.32)

Откуда

(2.33)

Вес суммы
равноточных слагаемых в n раз меньше
веса одного измерения.

2.4.4. Вес простой
арифметической средины

Поскольку простая
арифметическая средина вычисляется
согласно формуле

(2.34)

ее средняя
квадратическая ошибка будет равна

откуда

Переходя к весам,
получим

или

(2.35)

Вес простой
арифметической средины в n раз больше
веса одного измерения.

2.4.5. Вес и
средняя квадратическая ошибка

общей
арифметической средины

Представив общую
арифметическую средину в виде линейной
функции

,
(2.36)

cогласно равенства
(2.29) получим

или

откуда

(2.37)

Вес общей
арифметической средины равен сумме
весов результатов измерений.

Средняя квадратическая ошибка
M
среднего весового согласно формуле
(2.26) вычислится

(2.38)

или

(2.39)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Скачать с Depositfiles

1.4. Простая арифметическая середина

Если — ряд независимых результатов равноточных измерений одной и той же величины , то за наилучшее приближение к этой измеренной величине принимают простую арифметическую середину

(1.9)

называемую иначе средним арифметическим.

1.5. Средняя квадратическая погрешность отклонений от арифметической середины

Отклонение от арифметической середины характеризует меру влияния случайных погрешностей на результаты измерений. Среднее квадратическое значение случайной погрешности одного измерения определяется по формуле Бесселя:

, (1.10)

где — число равноточных измерений;

— отклонение от арифметической середины, вычисляемое как

, . (1.11)

— -е значение измеренной величины;

— значение арифметической середины (среднее арифметическое).

1.6. Средняя квадратическая погрешность арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины независимых равноточных результатов измерений вычисляется по формуле:

(1.12)

Из всех возможных способов вычисления наилучшего приближения измеряемой величины арифметическая середина независимых равноточных результатов измерений имеет минимальную среднюю квадратическую погрешность .

1.7. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин

В практических расчетах и теоретических исследованиях возникает необходимость оценить точность функции, если точность ее аргументов известна.

Пусть в общем случае функция имеет вид

. (1.13)

Если погрешности аргументов малы, то — средняя квадратическая погрешность функции , — вычисляется по следующей формуле

, (1.14)

где — частные производные функции , вычисленные для измеренных значений аргументов,

— средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

1.8. Понятие о весе

В практике геодезических измерений имеют место случаи, когда одна и та же величина измеряется несколько раз, но неравноточно, т.е. измерения имеют разные средние квадратические погрешности .

Как сопоставить между собой результаты таких измерений ?

За специальную меру соотношения точности неравноточных измерений принята величина, которая называется весом.

Вес – это специальная характеристика относительной точности результатов измерений и их функций, вычисляемая как величина, обратно пропорциональная квадратам средних квадратических погрешностей. Обозначается вес буквой .

Пусть измерения имеют соответственно следующие средние квадратические погрешности . Тогда веса , характеризующие их относительную точность, определятся следующими соотношениями

(1.15)

где — общий коэффициент пропорциональности, или, что хорошо видно из соотношения (1.15), — это средняя квадратическая погрешность измерения, вес которого равен единице ().

1.9. Общая арифметическая середина

При неравноточных измерениях в качестве наилучшего приближения к искомой величине принимают общую арифметическую середину , которая вычисляется по формуле:

, (1.16)

и которая называется иначе средневзвешенным.

Вес общей арифметической середины равен сумме весов всех измерений, по которым вычисляется средневзвешенное, т.е. равен , знаменателю (1.16).

1.10. Средняя квадратическая погрешность единицы веса

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом называется средней квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через . Значение средней квадратической погрешности единицы веса может быть вычислено по формуле:

, (1.17)

где — число измерений;

— отклонение от средневзвешенного, вычисляемое как

, (1.18)

— -е значение измеряемой величины;

— вес -го значения измеряемой величины;

— значение общей арифметической середины (средневзвешенное).

Формула (1.17) дает надежное значение средней квадратической погрешности единице веса при .

1.11. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины определяется по формуле:

. (1.19)

Поскольку – это вес средневзвешенного , то введя обозначение

, (1.20)

формулу (1.19) для средней квадратической погрешности общей арифметической середины можно записать как

(1.21)

1.12. Выражение средней квадратической погрешности измеряемой величины через среднюю квадратическую погрешность единицы веса и вес

Если известны средняя квадратическая погрешность единицы веса и вес измерения, то средняя квадратическая погрешность измерения вычисляется как

(1.22)

Формула (1.22) следует из определения веса, задаваемого формулой (1.15).

Скачать с Depositfiles

Источник

Веса измерений. Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.

При неравноточных измерениях точность каждого результата измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью. Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой точности – весом измерения. Вес i-го измерения вычисляют по формуле

(5.9)

где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m_i – средняя квадратическая погрешность i-го измерения.

Так, имея ряд результатов измерений l₁, l₂, …, l_n , со средними квадратическими погрешностями m₁, m₂ , …, m_n, определяют их веса:

p₁= c / m₁2 , p₂= c / m₂2 , …, p_n= c / m_n2.

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают так, чтобы веса p_i оказались целыми числами.

Рассмотрим смысл произвольной постоянной с. Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го измерения стал равен 1, то есть p_j= c / m_j2 = 1. Отсюда находим c = m_j2. Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической погрешности m2 такого измерения, вес которого принят за единицу (с = m2).

Теперь (5.9) можем записать так

. (5.10)

Кратко m называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

Вес арифметической средины. Рассмотрим вес арифметической средины равноточных измерений. Примем в формуле (5.8) за единицу вес одного измерения, то есть m = m, и запишем .

Тогда согласно (5.10) вес Р арифметической средины L будет равен

P = = n. (5.11)

Вывод. Если за единицу веса принят вес одного измерения, то согласно (5.11) вес арифметической средины равен числу измерений.

Следствие. Если результат l измерения имеет вес р, то можем считать, что l является средним арифметическим из р измерений с весом 1.

Общая арифметическая средина результатов неравноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных неравноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n, выполненных с весами p₁, p₂, …, p_n.

Представим каждый из результатов l_i (i = 1, 2, …, n) как среднее из p_i результатов с весом 1. Получим такой ряд результатов равноточных измерений:

l₁ — результат p₁ измерений с весом 1,

l₂ — результат p₂ измерений с весом 1,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

l_n — результат p_n измерений с весом 1,

где общее число измерений с весом 1 равно p₁ + p₂ +¼+ p_n .

Нами составлен ряд результатов равноточных измерений, позволяющий найти окончательное значение измеряемой величины как среднее арифметическое из всех результатов измерений

. (5.12)

Значение, вычисляемое по формуле (5.12), называют общей арифметической срединой или весовым средним.

Оценки точности результатов неравноточных измерений. Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых при обработке прямых неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность m измерения, имеющего вес, равный единице:

— формула Гаусса: .

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины.

— формула Бесселя: ,

где v_i — поправки к результатам измерений:

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

Обработка результатов неравноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов прямых неравноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.

1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)

2. Вычисление поправок к результатам измерений:

(i = 1, 2,…, n).

Контролем правильности вычислений служит равенство

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для неравноточных измерений:

4. Вычисление средней квадратической погрешности весового среднего

Источник

Слайд 1Контроль:

[ ] = 0, (31)

[ 2] = [d ]. (32)

Систематическую ошибку можно не исключать и делать оценку по формуле (27), если выполняется условие

|[d]|≤0,25 [|d|]. (33)

Слайд 2ЛЕКЦИЯ 3

«ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ

ИЗМЕРЕНИЙ».

Слайд 31. Веса измерений и их свойства. Соотношение между весами и

средними квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического.
2. Веса функций измеренных величин.
3.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса.
4. Среднее весовое. Средняя квадратическая ошибка и вес среднего весового.

Слайд 45.Поправки неравноточных измерений одной и той же величины и их

свойства. Оценка точности неравноточных измерений и среднего весового по поправкам.
6.

Определение средней квадратической ошибки единицы веса по разностям двойных неравноточных измерений.
7. Оценка точности измерения углов и превышений по невязкам в полигонах и ходах.

Слайд 51.Веса измерений и их свойства. Соотношение между весами и средними

квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического.

При

обработке неравноточных измерений пользуются дополнительной характеристикой точности измерений, называемой весом измерения.

Слайд 6 Вес измерения р – величина обратно-пропорциональная квадрату средней

квадратической ошибки этого измерения:

(1)

В этой формуле k произвольное число, но при решении конкретной задачи одинаковое для всех измерений. Его стремятся выбрать таким, чтобы веса были близкими к 1.

Слайд 7Поскольку k выбирается произвольно, при решении данной задачи все веса

можно увеличивать или уменьшать в одно и то же число

раз. Это является первым свойством весов.
Пусть сделано два измерения с весами

Слайд 8

т.е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических

ошибок. Это второе свойство весов.

Отсюда

(2)

Слайд 9Найдем вес среднего арифметического, принимая вес р отдельного измерения равным

единице.
Обозначим вес среднего арифметического через Р. На основании

формулы (2) запишем

Слайд 10Подставляя р =1 и
Р = п, (3)
,

получим
т.е. вес среднего арифметического равен числу равноточных измерений из которого

оно получено, если вес каждого измерения принят равным единице.

Слайд 11 На этом основании любой результат измерений c

весом p можно понимать как среднее арифметическое из ряда воображаемых

равноточных измерений, каждое с весом единица, число которых было р.

Слайд 122. Веса функций измеренных величин.

Ранее были выведены формулы для нахождения

СКО функций. Веса и СКО измерений связаны зависимостью

Слайд 13Принимая k=1, получим
Величину
называют обратным весом.

Слайд 14Если в ранее выведенные формулы подставить вместо квадратов СКО соответствующие

обратные веса, то получим формулы для нахождения весов функций

(4)

Слайд 18Если измерения равноточные, то

откуда

т.е. вес суммы n равноточных слагаемых в n раз меньше веса одного измерения.

(8)

Слайд 203. Средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Средней квадратической

ошибкой единицы веса μ называют СКО измерения, вес которой равен

единице.

Слайд 21Выразим μ через истинные ошибки Δ.
Пусть измерению с весом

p соответствует СКО m. На основании свойства весов можно написать

Слайд 23Пусть имеется ряд измерений l1, l2, …, ln, с весами

p1, p2, …, pn. Составим вспомога-тельные функции, найдем их истинные

и СКО

(i=1, 2, …, n).

Следовательно, функции равноточные и имеют веса, равные единице.

В соответствии с (12)

Слайд 24Для равноточных измерений можно записать

или

Слайд 254. Среднее весовое. Средняя квадратическая ошибка и вес среднего весового.

Рассмотрим обработку результатов неравноточных измерений одной и той

же величины.
Пусть получено n измерений l1, l2, …, ln, с весами p1, p2, …, pn.

Слайд 26Результат любого измерения li можно рассматривать как среднее арифметическое из

pi воображаемых измерений
каждое с весом единица, т. е.

(14)

Слайд 27Таким образом, измерения можно свести к равноточным и окончательное значение

вычислить по формуле среднего арифме- тического
(15)

Слайд 28Из (14) следует, что

Подставляя в (15), получим

(16)

Слайд 29Величину LB называют средним весовым значением (весовым средним, средневзве- шенным,

общей арифметической срединой).
Для упрощения расчетов вводят приближенное значение l0, находят

остатки εi=li– l0, а затем среднее весовое по формуле

(17)

Слайд 30Величина [p] – сумма весов, а следовательно, общее число измерений

с весом единица, из которых получено среднее арифметическое. Поэтому вес

среднего весового

PB = [p]. (18)

Для нахождения средней квадратической ошибки среднего весового воспользуемся формулой

Слайд 325. Поправки неравноточных измерений одной и той же величины и

их свойства. Оценка точности неравноточных измерений и среднего весового по

поправкам.

Поправки неравноточных измерений одной и той же величины определяют по формуле

(20)

Слайд 33Запишем поправки для всех n измерений, умножим на соответствующие веса

и сложим

[pv] = LB [p] – [pl].

Слайд 34Подставляя

[pv] = 0.

(21)

Это первое свойство поправок неравноточных измерений. Равенство (21) контролирует правильность

вычисления LB и v.

При округлении LB получим равенство
[pv] = [p] w , (22)
где w – ошибка округления.

Слайд 35Второе свойство поправок для неравноточных измерений одной и той же

величины выражается равенством
[pv2] = min.

(23)
Для оценки точности неравноточных измерений по поправкам используют формулы

где μ – СКО единицы веса;
MB – СКО среднего весового.

(25)

Слайд 36Вычисления контролируются по формуле

[p v2] = – [pvl] =

– [pvε].

Если LB округлено, то

[p v2] = – [pvε]

+ (LB – l0)[pv].

Для приближенного контроля можно пользоваться неравенством |[p v2]+[pvε]| ≤ 0,5 |[pε]| единицы последнего знака LB.

Слайд 376. Определение средней квадратической ошибки единицы веса по разностям двойных

неравноточных измерений.

Пусть при двойном измерении n величин получены результаты

l1, l1/ каждое с весом p1 ,
l2, l2/ -“- p2,
…. … … … …
ln, ln/ -“- pn.

Слайд 38Составим разности
d1 = l1 – l1/,
d2 = l2 –

l2/,
…. …. … …
dn = ln – ln/.
Полученные разности являются

истинными ошибками самих разностей, поэтому можно записать

Слайд 39Каждая разность di = li – li/ является функцией

равноточных измерений с весом pi.

Следовательно,
При наличии систематических ошибок их

предва-рительно исключают по формуле

и формула примет вид

(26)

(27)

Слайд 40После исключения систематических ошибок СКО единицы веса находят по формуле

Слайд 417. Оценка точности измерения углов и превышений по невязкам в

полигонах и ходах

Во всех замкнутых и разомкнутых теодолитных ходах и

полигонах угловые невязки являются истинными ошибками суммы измеренных углов. Поэтому для оценки точности можно воспользоваться формулой

Слайд 42Если вес измерения одного угла принять равным единице, то вес

суммы n углов найдется по формуле

Подставляя в предыдущую формулу это

значение веса, заменяя Δ на f и n на число полигонов N, получим

(29)

Слайд 43Здесь μ является СКО измерения одного угла, т.к. за единицу

веса принят вес одного угла. Поэтому формулу (29) можно записать

иначе

где f β– невязки в полигонах или ходах;
n – число углов в полигоне или ходе;
N – число полигонов или ходов.

(30)

Слайд 44Для триангуляции n =3, поэтому

Для четырехугольников

(32)

(31)

Слайд 45Аналогичными рассуждениями можно получить формулу для оценки точности превышений геометрического

нивелирования.
Если сумме превышений на 1 км хода придать вес,

равный единице, то вес суммы превышений хода длиной L км определится по формуле

Слайд 46СКО единицы веса (СКО в сумме превышений
на 1 км

хода) найдется по формуле

где fh – невязки в превышениях;
L – длины ходов в км;
N – число полигонов или ходов.

(33)

Слайд 47В качестве единицы веса можно взять вес превышения на одной

станции. Тогда вес суммы превышений из п станций будет равен

и формула примет вид

Если на 1 км хода приходится k станций, то

(35)

(34)

Источник

2.4. Вычисление весов функций

Слайд 1Контроль:

Слайд 2ЛЕКЦИЯ 3 «ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ

ИЗМЕРЕНИЙ».

Слайд 31. Веса измерений и их свойства. Соотношение между весами и

средними квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического.2. Веса функций измеренных величин.3.

Слайд 45.Поправки неравноточных измерений одной и той же величины и их

свойства. Оценка точности неравноточных измерений и среднего весового по поправкам.6.

Слайд 51.Веса измерений и их свойства. Соотношение между весами и средними

квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического. При

Слайд 6 Вес измерения р – величина обратно-пропорциональная квадрату средней

квадратической ошибки этого измерения:

Слайд 7Поскольку k выбирается произвольно, при решении данной задачи все веса

можно увеличивать или уменьшать в одно и то же число

Слайд 8 т.е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических

ошибок. Это второе свойство весов. Отсюда

Слайд 9Найдем вес среднего арифметического, принимая вес р отдельного измерения равным

единице. Обозначим вес среднего арифметического через Р. На основании

Слайд 10Подставляя р =1 и Р = п, (3),

получимт.е. вес среднего арифметического равен числу равноточных измерений из которого

Слайд 11 На этом основании любой результат измерений c

весом p можно понимать как среднее арифметическое из ряда воображаемых

Слайд 122. Веса функций измеренных величин. Ранее были выведены формулы для нахождения

СКО функций. Веса и СКО измерений связаны зависимостью

Слайд 13Принимая k=1, получим Величину называют обратным весом.

Слайд 14Если в ранее выведенные формулы подставить вместо квадратов СКО соответствующие

обратные веса, то получим формулы для нахождения весов функций

Слайд 18Если измерения равноточные, то откуда

Слайд 203. Средняя квадратическая ошибка единицы веса. Средней квадратической

ошибкой единицы веса μ называют СКО измерения, вес которой равен

Слайд 21Выразим μ через истинные ошибки Δ. Пусть измерению с весом

p соответствует СКО m. На основании свойства весов можно написать

Слайд 23Пусть имеется ряд измерений l1, l2, …, ln, с весами

p1, p2, …, pn. Составим вспомога-тельные функции, найдем их истинные

Слайд 24Для равноточных измерений можно записать или

Слайд 254. Среднее весовое. Средняя квадратическая ошибка и вес среднего весового.

Рассмотрим обработку результатов неравноточных измерений одной и той

Слайд 26Результат любого измерения li можно рассматривать как среднее арифметическое из

pi воображаемых измерений каждое с весом единица, т. е.

Слайд 27Таким образом, измерения можно свести к равноточным и окончательное значение

вычислить по формуле среднего арифме- тического (15)

Слайд 28Из (14) следует, что Подставляя в (15), получим

(16)

Слайд 29Величину LB называют средним весовым значением (весовым средним, средневзве- шенным,

общей арифметической срединой).Для упрощения расчетов вводят приближенное значение l0, находят

Слайд 30Величина [p] – сумма весов, а следовательно, общее число измерений

с весом единица, из которых получено среднее арифметическое. Поэтому вес

Слайд 325. Поправки неравноточных измерений одной и той же величины и

их свойства. Оценка точности неравноточных измерений и среднего весового по

Слайд 33Запишем поправки для всех n измерений, умножим на соответствующие веса

и сложим [pv] = LB [p] – [pl].

Слайд 34Подставляя [pv] = 0.

(21) Это первое свойство поправок неравноточных измерений. Равенство (21) контролирует правильность

Слайд 35Второе свойство поправок для неравноточных измерений одной и той же

величины выражается равенством [pv2] = min.

Слайд 36Вычисления контролируются по формуле [p v2] = – [pvl] =

– [pvε]. Если LB округлено, то [p v2] = – [pvε]

Слайд 376. Определение средней квадратической ошибки единицы веса по разностям двойных

неравноточных измерений. Пусть при двойном измерении n величин получены результаты

Слайд 38Составим разности d1 = l1 – l1/,d2 = l2 –

l2/,…. …. … …dn = ln – ln/.Полученные разности являются

Слайд 39Каждая разность di = li – li/ является функцией

равноточных измерений с весом pi. Следовательно, При наличии систематических ошибок их

Слайд 40После исключения систематических ошибок СКО единицы веса находят по формуле

Слайд 417. Оценка точности измерения углов и превышений по невязкам в

полигонах и ходах Во всех замкнутых и разомкнутых теодолитных ходах и

Слайд 42Если вес измерения одного угла принять равным единице, то вес

суммы n углов найдется по формуле Подставляя в предыдущую формулу это

Слайд 43Здесь μ является СКО измерения одного угла, т.к. за единицу

веса принят вес одного угла. Поэтому формулу (29) можно записать

Слайд 44Для триангуляции n =3, поэтому

Слайд 45Аналогичными рассуждениями можно получить формулу для оценки точности превышений геометрического

нивелирования. Если сумме превышений на 1 км хода придать вес,

Слайд 46СКО единицы веса (СКО в сумме превышений на 1 км

хода) найдется по формуле

Слайд 47В качестве единицы веса можно взять вес превышения на одной

станции. Тогда вес суммы превышений из п станций будет равен

Не пропустите эти материалы по теме:

Слайд 2ЛЕКЦИЯ 3

«ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ

средними квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического.
2. Веса функций измеренных величин.
3.

свойства. Оценка точности неравноточных измерений и среднего весового по поправкам.
6.

квадратическими ошибками. Вес среднего арифметического.

При

Слайд 8

т.е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических

ошибок. Это второе свойство весов.

Отсюда

единице.
Обозначим вес среднего арифметического через Р. На основании

Слайд 10Подставляя р =1 и
Р = п, (3)
,

получим
т.е. вес среднего арифметического равен числу равноточных измерений из которого

Слайд 122. Веса функций измеренных величин.

Ранее были выведены формулы для нахождения

Слайд 13Принимая k=1, получим
Величину
называют обратным весом.

Слайд 18Если измерения равноточные, то

откуда

Слайд 203. Средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Средней квадратической

Слайд 21Выразим μ через истинные ошибки Δ.
Пусть измерению с весом

Слайд 24Для равноточных измерений можно записать

или

pi воображаемых измерений
каждое с весом единица, т. е.

вычислить по формуле среднего арифме- тического
(15)

Слайд 28Из (14) следует, что

Подставляя в (15), получим

общей арифметической срединой).
Для упрощения расчетов вводят приближенное значение l0, находят

и сложим

[pv] = LB [p] – [pl].

Слайд 34Подставляя

[pv] = 0.

(21)

Это первое свойство поправок неравноточных измерений. Равенство (21) контролирует правильность

величины выражается равенством
[pv2] = min.

Слайд 36Вычисления контролируются по формуле

[p v2] = – [pvl] =

– [pvε].

Если LB округлено, то

[p v2] = – [pvε]

неравноточных измерений.

Пусть при двойном измерении n величин получены результаты

Слайд 38Составим разности
d1 = l1 – l1/,
d2 = l2 –

l2/,
…. …. … …
dn = ln – ln/.
Полученные разности являются

равноточных измерений с весом pi.

Следовательно,
При наличии систематических ошибок их

полигонах и ходах

Во всех замкнутых и разомкнутых теодолитных ходах и

суммы n углов найдется по формуле

Подставляя в предыдущую формулу это

нивелирования.
Если сумме превышений на 1 км хода придать вес,

Слайд 46СКО единицы веса (СКО в сумме превышений
на 1 км