Ошибка измерительного прибора распределена нормально - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, принимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностями

p( X = i) = pi = qi p ,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная значения 0, 1, … ,

m X = q / p , D X = q / p 2 .

СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает n со следующими вероятностями:

p(X =i) = p =	n!	piqn−i	(7.2)

i	i!(n −i)!	,

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

m X = n p , D X = n q p .

Дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, … , ∞ со следующими вероятностями:

p(X =i) = p = ai	e−a	(7.3)
i	i!	,
где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской СВ:
m X = a , D X	= a .

Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале [а; b] постоянна, т.е. если все значения X в этом интервале равновероятны:

0, x <

f ( x ) = 1

b − a

0, x >

a ,	0 , x	< a ,
		− a
, a ≤ x ≤ b , F ( x ) =	x	, a	≤	x ≤	b ,
				(7.4)
		a
b.	b	−
1, x	> b .

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

m X =	a + b	, D X	=	( b − a ) 2	.
2	1 2

Непрерывная СВ T, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

		λ e	− λ t	, t	≥ 0 ,	− e	−λt	, t ≥ 0,
f (t ) =		1		(7.5)
	0 , t < 0 ,	F(t) =	0, t < 0,

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

f (x ) =

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

(7.6)

σ 2π

2σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2π

Значения функции Лапласа приведены в приложении. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что Φ(–x) = –Φ(x),

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

k −2 i

(σ

/ 2)

αk ( x) = k ! ∑

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

( x ) =

2 k / 2

k !

, k − четное.

( k / 2 ) !

Пример 7.1. Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение. Так как среднее время безотказной работы, т.е. математическое ожидание, равно 100 ч, то параметр λ экспоненциального закона будет равен λ = 1 / m X = 1 / 100 = 0, 01 . Искомая вероятность

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

Пример 7.2. Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение. Из условия задачи следует, что p(-0,2<X<0,2) = 0,8. Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание m равно 0 (систематические ошибки отсутствуют), то

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

7.1. По каналу связи пересылается пакет информации до тех пор, пока он не будет передан без ошибок. Вероятность искажения пакета равна 0,1, найти среднее количество попыток передать пакет.

Ответ: 1,11.

7.2. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени, подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

7.3. Шкала рычажных весов имеет цену деления 1 г. При измерении массы отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднего квадратического отклонения возможных ошибок определения массы; б) будет заключена между

значениями σX и2σX .

Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.

3	3

7.4. Среднее время работы электронного модуля равно 700 ч. Определить время безотказной работы модуля с надежностью 0,8.

Ответ: 140 ч.

7.5. Сообщение передается последовательностью амплитудномодулированных импульсов с заданным шагом квантования ∆ (∆ – наименьшая разность амплитуд импульсов). На сообщение накладываются шумы, распределенные по нормальному закону N(0, σ). Если мгновенное значение шума превышает половину шага квантования, то при передаче сообщения возникает ошибка. Определить, при каком минимально допустимом шаге квантования ∆ вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.

Ответ: 3,4 σ.

7.6. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка: а) превысит по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y = ϕ(X). Если X – непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))	ψ′j ( y)	,	(8.1)

j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g(y) по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если X – дискретная случайная величина, принимающая значения xi, то величина Y будет принимать дискретные значения yi = ϕ(xi) с вероятностями

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞

m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Пример 8.1. Определить плотность вероятности величины Y = X2, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [–1, 2].

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Построим график величины Y = X2 для x в интервале [–1, 2] и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

= fx ( y )

+ fx

(− y )

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

Рис. 8.1

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

y < 0,

0 ≤ y ≤1,

g ( y) =

1 < y ≤ 4,

y > 4.

Пример 8.2 Случайная величина X равномерно распределена от –1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X2.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
45
−1

ЗАДАЧИ

8.1. Определить плотность вероятности величины Y = lnX, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .

8.2. Определить плотность вероятности величины Y = |X|, если X – случайная равномерно распределенная величина со следующими характеристиками mx = 1, Dx = 1, и вычислить вероятность того, что р{1 ≤ Y < 2}.


0, y < 0, y > 2, 73,
	1

Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
3

	1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.

2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

8.3. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X – 0,2 .

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

8.4. Точка U, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга единичного радиуса. Найти дисперсию расстояния Y от точки U до центра экрана.

Ответ: DY = 1/18.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

Ошибка Х измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет (mx=0). Каким должно быть среднее квадратическое отклонение Qx ( сигма), чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ошибка измерения не превышала 20 микрометров по модулю?

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Всегда пожалуйста, только Вы забыли сообщить, какая помощь нужна. Видимо, кусок сообщения, где Вы рассказываете, как решали задачу и что не получается, куда-то потерялся.

К сожалению, я не могу написать ход решения, т к не понимаю, как можно сделать
Поэтому и обращаюсь за помощью к вам.
Знаю только что ответ должен получиться : Qx<12.2(мкм)
натолкните на умные мысли пожалуйста.

Всё просто: изучаете по учебнику, что такое нормальное распределение, как считаются вероятности для него, и задачка сразу решается.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок.doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также
промокод

на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что mx=0). Известно, что вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 7, равна 0,08. Пусть случайная величина X- это величина ошибки измерения. Предполагается, что случайная величина X нормально распределена, найти:
а) приближенное значение дисперсии;
б) вероятность того, что ошибка измерения не превысит ε=4;
в) вероятность того, что ошибка измерения изменяется от α=-4 до β=6.

Решение

А) Для случайной величины Х имеещей нормальный закон распределения с параметрами mx и σx справедливо:
Px-mx≤ε=Фε σx, где Фt=12π-∞xe- t22dt-функция Лапласа.
По условию задачи вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 7, равна 0,08
. Тогда вероятность противоположного события (вероятность того, что случайная величина Х не превышает по абсолютной величине 7, равна 1-0,08=0,92. Имеем:
Px-0≤7=Ф7 σx=0,92⇒7 σx≈5⇒ σx≈7 5=1,4.
Тогда искомая дисперсия приближенно равна: Dx=σx2≈1,96.
б) вероятность того, что ошибка измерения не превысит ε=4:
Px-0≤4=Ф4 1,4≈Ф2,857≈0,4979..
в) вероятность того, что ошибка измерения изменяется от α=-4 до β=6 найдем по формуле:
Pα≤Х≤β=Фβ-mxσx-Фα-mxσx.
P-4≤Х≤6=Ф61,4-Ф-41,4≈Ф4,286-Ф-2,857=
≈0,499997+0,4979≈0,998.
Ответ

50% решения задач недоступно для прочтения

Закажи персональное решение задач. Эксперты

напишут качественную работу за 30 минут! ⏱️

Макеты страниц

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Измерения всегда сопровождаются ошибками. Различают ошибки двух основных видов: систематические и случайные. Систематические ошибки имеют определенные причины, которые искажают измерение всегда в одном направлении и часто на постоянную величину. Они возникают за счет неисправности или плохой регулировки приборов, за счет ошибок в эталонах, из-за плохого выполнения технологии и т. д. Во многих случаях можно найти причины таких ошибок и устранить их.

Случайные ошибки неопределенны, и причина их неизвестна. Свое незнание причины ошибок мы обычно маскируем, говоря, что их порождает случай. А это просто означает, что их можно приписать большому количеству причин, действующих в любом направлении и создающих каждая свою погрешность. Такие случайные ошибки можно учитывать статистическими методами.

Существует еще одна категория ошибок, о которой будет кратко сказано в п. 9.1.27; это категория отдельных промахов, происходящих по однократной вине экспериментатора, например, если он по рассеянности один раз неправильно считает показания со шкалы измерительного прибора. В этом случае мы имеем дело с анормальным результатом измерения. Существует простое правилу, позволяющее исключить из таблицы результатов измерений ошибки этой категории.

Мы займемся в основном категорией случайных ошибок. Допустим, что имеется несколько в одинаковой степени надежных измерений физической величины, истинное значение которой равно Ошибки, соответствующие измерениям будут равны

Это чисто случайные ошибки.

Мы не знаем точного значения величины X и не можем определить ее на опыте, так как всякое измерение, сделанное для ее определения, искажается ошибкой. Обозначим через X наиболее вероятное значение величины

Рассмотрим величины

Величины называются отклонениями. Так как речь здесь идет только о случайных ошибках, то величины х и у могут быть а положительными, и отрицательными, а малые значения будут встречаться чаще, чем большие. Примем допущение, что эти величины, следуют нормальному закону распределения

Положим

как известно, называется мерой точности. При этом примет вид

где относительное число ошибок, равных х.

Вычертим кривые Гаусса при двух различных значениях мерь; точности Легко заметить, что чем больше тем кривые острее, тем круче их склоны. Это означает, что чем больше параметр тем реже встречаются большие ошибки. Поэтому величину и называют мерой точности.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между равна

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с вероятностью 0,8 они не превосходят по абсолютной величине 12 мм. Найти среднюю квадратическую ошибку.

Используем нормальный закон и следующую формулу, таблицу значений функции Лапласа Ф(х):
px-a<δ=2Фδσ;
0.8=2Ф12σ;1.62=12σ;σ=7.407 мм.
Ответ: 7,407 мм.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что
Измерить и записать результат измерения активной мощности Р = U·I·cosφ, рассеиваемой на нагрузке Zнагр.;
—
Измеряется мощность трехфазного тока двумя ваттметрами. Какова наибольшая погрешность измерения, если стрелка первого ваттметра
Измеряется напряжение в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов с параметрами: длительность импульсов τ, период
Измеряется напряжение переменного тока.
Дано.
Цифровой вольтметр:
— предел измерения Uк = 200 B;
— измеренное
Измеряется размер некоторой детали, затем из генеральной совокупности берется выборка объемом n=8. Зная, что
Измеряется электрическое сопротивление постоянному току (рисунок).
Получено:
UV =(5,00±0,50) мВ; Р=1
IA=(2,60±0,25) мА; Р=1
RV=
Записать результат измерения сопротивления
Измерительный канал включает в себя термометр сопротивления типа 150М и вторичный прибор со шкалой
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы расситан на ток и Iии напряжение Uи и имеет
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=15 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=100 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=7,5 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный прибор (ИП) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток IП и напряжение UП и имеет

Источник

Помогаю со студенческими работами здесь

Определить среднее квадратическое отклонение ошибок измерения
При большом количестве измерений установлено, что 85% ошибок не превосходят по
абсолютной величине…

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
2)Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа бракованных…

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение
задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны возможные…

Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота
Добрый день!

Помогите, пожалуйста, решить задачи

1) С вероятностью 0,9973 было установлено…

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Здравствуйте! Вот такая задача
Правила форума :rtfm:

5.18. Запрещено размещать задания и…

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение
Конвейер, состоящий из трёх звеньев, имеет в местах соединения звеньев аварийный выключатель.
В…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Источник

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2257 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Источник

Краткие
теоретические сведения.

1. Непрерывная
случайная величина Х имеет нормальный
закон распределения с параметрами

и

,если
ее плотность вероятности имеет вид:

где

— математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение.

2. Вероятность
попадания нормально распределенной
случайной величины в заданный интервал
(, )
определяется формулой:

где
Ф(х) –функция Лапласа

3. Вероятность
того, что нормально распределенная
случайная величина отклонится от своего
математического ожидания по модулю не
больше положительного числа ,
равна:

4. Если в качестве
 взять утроенное
СКО, то справедливо соотношение

известное, как правило “трех сигм”.

Задачи.

1. Случайная
величина Х представляет цену акции
некоторого предприятия. Она распределена
нормально с математическим ожиданием
a = 88 д.е. и С.К.О. 
= 12 д.е. Определить вероятность того, что
в случайно выбранный день года цена на
акцию была: а) более 100 д.е.; б) менее 100
д.е.; в) от 70 до 90 д.е.

2. Фирма,
занимающаяся продажей товаров по
каталогу, ежемесячно получает по почте
заказы. Число этих заказов распределено
по нормальному закону со средним
квадратическим отклонением 
= 440 и неизвестным математическим
ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных
заказов превышает 10000. Найти ожидаемое
среднее число заказов, получаемых фирмой
за месяц.

3. Предприятие
А покупает у предприятия В детали к
контрольным приборам. Деталь, размер
которой отличается от установленного
более чем на 0,02 мм, считается дефектной.
Предприятие А требует от предприятия
В, чтобы доля брака не превышала 1%
деталей. Если предприятие В выполняет
требования предприятия А, то каким
должно быть допустимое максимальное
стандартное отклонение деталей? Размер
деталей распределен по нормальному
закону.

4. Эксперимент
показал, что стандартное отклонение
срока службы автопокрышек составляет
3000 км. Если необходимо, чтобы 80% выпускаемых
автопокрышек имели срок службы не менее
35000 км, то какой наименьший средний срок
службы автопокрышек должен быть заложен
в расчетах технического отдела? Считать
срок службы автопокрышек нормально
распределенным.

5. Руководство
предприятия анализирует эффективность
обслуживания клиентов. Выяснилось, что
среднее время выполнения заказа равно
5,2 часа, однако для 20% заказов потребовалось
12 и более часов. Учитывая, что время
выполнения заказа есть нормально
распределенная случайная величина,
определить фактическое стандартное
отклонение времени обслуживания
клиентов.

6. Определить
закон распределения случайной величины
Х, если ее плотность вероятности имеет
вид:

Найти:

7. Известно,
что

Найти

8. Рост взрослых
мужчин является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону

Определить: а) плотность вероятности;
б) функцию распределения; в) вероятность
того, что ни один из трех наудачу выбранных
мужчин не будет иметь рост менее 180 см.

9. Установлено,
что случайная величина

Найти

10. Срок
безотказной работы телевизора представляет
собой случайную величину

Найти вероятность того, что телевизор
проработает: а) не менее 15 лет; б) от 6 до
9 лет. в) от 9 до 15 лет.

11. Автомат
штампует детали. Контролируется длина
детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием 50 мм.
Фактически длина изготовленных деталей
не менее 49,4 мм и не более 50,6 мм. Найти
вероятность того, что длина наудачу
взятой детали: а) больше 50,2 мм; б) меньше
49,8 мм.

12. Станок-автомат
изготавливает цилиндрические детали,
контролируя их диаметры Х. Считая, что
случайная величина Х распределена
нормально с параметрами

найти интервал, в котором с вероятностью
0,9973 будут заключены диаметры изготовленных
деталей.

13. Среднее
квадратическое отклонение случайной
величины, распределенной по нормальном
закону, равно 4 см, а математическое
ожидание равно 25 см. Найти границы, в
которых с вероятностью а) 0,95; б) 0,7 следует
ожидать значение случайной величины.

14. Независимые
случайные величины X и
Y распределены нормально,
причем

Записать плотность
вероятности и функцию распределения
их суммы.

15. Суммарная
месячная выручка 10 малых предприятий
в среднем 16000 д.е. В 75% случаев эта выручка
отклоняется от средней не более чем на
1000 д.е. Найти вероятность того, что
очередная месячная выручка находится
в интервале между 10000 и 15000 д.е.

16. При измерении
детали получаются случайные ошибки,
подчиненные нормальному закону с
параметром

.
Найти вероятность того, что измерение
произведено с ошибкой, не превосходящей
15мм.

17. Случайная
величина Х распределена нормально со
средним М(Х)=10, а вероятность ее попадания
в интервал (5,15) равна 0,8. Найти вероятность
попадания Х в интервал (9,10).

18. Случайная
величина Х является нормально
распределенной. Ее математическое
ожидание равно 18, а вероятность ее
попадания в интервал (16,20) равна 0,98. Найти
среднее квадратичное отклонение
случайной величины.

19. Случайная
величина Х является нормально
распределенной. Ее математическое
ожидание равно 10, а среднее квадратическое
отклонение равно 2. Найти вероятность
того, что в результате испытания случайная
величина примет значение в интервале
(9, 12).

20. Определить
среднеквадратическую ошибку измерительного
прибора, если систематических ошибок
он не имеет, а случайные ошибки измерения
имеют нормальное распределение и с
вероятностью 0,9 не выходят за

мм.

21. Текущая цена
ценной бумаги представляет собой
нормально распределенную случайную
величину Х со средним 100 у.е. и дисперсией
9. Найти вероятность того, что цена актива
будет находиться в пределах от 91 до 109
у.е.

22. Случайная
величина Х распределена по нормальному
закону, причем М(Х)=10. Найти

,
если известно

.

23. Найти
вероятность того, что нормальная
случайная величина с математическим
ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной
4, примет значения: а) в интервале (-1;5);
б) не более 8;

в) не менее 5; г) в интервале
(-3;9).

24. Взвешивание
большегрузных автомобилей производится
с ошибкой, подчиненной нормальному
закону с параметром

Найти вероятность того, что взвешивание
будет произведено с ошибкой, не
превосходящей 30 кг.

25. Для силы
тока в цепи используются специальные
датчики.

Определить среднюю
квадратическую ошибку датчика, если он
не имеет систематических ошибок, а
случайные распределены по нормальному
закону и с вероятностью 0,8 не выходят
за пределы ±0,2 микроампера.

26. Сообщение
передается последовательностью
амплитудно-модулированных импульсов
с заданным шагом квантования ∆ (∆ –
наименьшая разность амплитуд импульсов).
В процессе передачи на сообщение
накладываются шумы, распределенные по
нормальному закону N(0, σ). Если мгновенное
значение шума превышает половину шага
квантования, то при передаче сообщения
возникает ошибка. Определить, при каком
минимально допустимом шаге квантования
∆ вероятность ошибки из-за шумов не
превысит 0,1.

27. СВ X–ошибка
измерительного прибора – распределена
нормально с дисперсией 16 мА
.
Систематическая ошибка прибора
отсутствует. Вычислить вероятность
того, что в пяти независимых измерениях
ошибка: а) превысит по модулю 6 мА не
более трех раз; б) хотя бы один раз
окажется в интервале (0,5; 3,5) мА

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Закажите у меня новую работу, просто написав мне в чат!

СВХ – ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 3 мк. Систематические ошибки прибора отсутствуют. Найти вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка хотя бы один раз окажется в интервале (0;2/4).

Для нормального закона распределения случайной величины 𝑋 вероятность попадания в заданный интервал равна: – функция Лапласа. По условию . Вероятность того, что одном измерении ошибка окажется в интервале (0;2/4), равна: Найдем вероятность события 𝐴 − в трех независимых измерениях ошибка хотя бы один раз окажется в интервале (0;2/4). Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая

Источник

Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, принимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностями

p( X = i) = pi = qi p ,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная значения 0, 1, … ,

m X = q / p , D X = q / p 2 .

СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает n со следующими вероятностями:

p(X =i) = p =	n!	piqn−i	(7.2)

i	i!(n −i)!	,

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

m X = n p , D X = n q p .

p(X =i) = p = ai	e−a	(7.3)
i	i!	,
где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской СВ:
m X = a , D X	= a .

0, x <

f ( x ) = 1

b − a

0, x >

a ,	0 , x	< a ,
		− a
, a ≤ x ≤ b , F ( x ) =	x	, a	≤	x ≤	b ,
				(7.4)
		a
b.	b	−
1, x	> b .

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

m X =	a + b	, D X	=	( b − a ) 2	.
2	1 2

		λ e	− λ t	, t	≥ 0 ,	− e	−λt	, t ≥ 0,
f (t ) =		1		(7.5)
	0 , t < 0 ,	F(t) =	0, t < 0,

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

f (x ) =

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

(7.6)

σ 2π

2σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2π

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

k −2 i

(σ

/ 2)

αk ( x) = k ! ∑

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

( x ) =

2 k / 2

k !

, k − четное.

( k / 2 ) !

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

Ответ: 1,11.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

значениями σX и2σX .

Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.

3	3

Ответ: 140 ч.

Ответ: 3,4 σ.

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))	ψ′j ( y)	,	(8.1)

j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞

m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

= fx ( y )

+ fx

(− y )

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

Рис. 8.1

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

y < 0,

0 ≤ y ≤1,

g ( y) =

1 < y ≤ 4,

y > 4.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
45
−1

ЗАДАЧИ

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .


0, y < 0, y > 2, 73,
	1

Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
3

	1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.

2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

Ответ: DY = 1/18.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Измерительный прибор работает без систематических ошибок.doc

Условие

Решение

50% решения задач недоступно для прочтения

Закажи персональное решение задач. Эксперты

напишут качественную работу за 30 минут! ⏱️

Макеты страниц

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Это чисто случайные ошибки.

Рассмотрим величины

Положим

как известно, называется мерой точности. При этом примет вид

где относительное число ошибок, равных х.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между равна

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что
Измерить и записать результат измерения активной мощности Р = U·I·cosφ, рассеиваемой на нагрузке Zнагр.;
—
Измеряется мощность трехфазного тока двумя ваттметрами. Какова наибольшая погрешность измерения, если стрелка первого ваттметра
Измеряется напряжение в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов с параметрами: длительность импульсов τ, период
Измеряется напряжение переменного тока.
Дано.
Цифровой вольтметр:
— предел измерения Uк = 200 B;
— измеренное
Измеряется размер некоторой детали, затем из генеральной совокупности берется выборка объемом n=8. Зная, что
Измеряется электрическое сопротивление постоянному току (рисунок).
Получено:
UV =(5,00±0,50) мВ; Р=1
IA=(2,60±0,25) мА; Р=1
RV=
Записать результат измерения сопротивления
Измерительный канал включает в себя термометр сопротивления типа 150М и вторичный прибор со шкалой
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы расситан на ток и Iии напряжение Uи и имеет
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=15 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=100 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=7,5 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный прибор (ИП) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток IП и напряжение UП и имеет

Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, принимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностями

p( X = i) = pi = qi p ,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная значения 0, 1, … ,

m X = q / p , D X = q / p 2 .

СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает n со следующими вероятностями:

p(X =i) = p =	n!	piqn−i	(7.2)

i	i!(n −i)!	,

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

m X = n p , D X = n q p .

p(X =i) = p = ai	e−a	(7.3)
i	i!	,
где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской СВ:
m X = a , D X	= a .

0, x <

f ( x ) = 1

b − a

0, x >

a ,	0 , x	< a ,
		− a
, a ≤ x ≤ b , F ( x ) =	x	, a	≤	x ≤	b ,
				(7.4)
		a
b.	b	−
1, x	> b .

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

m X =	a + b	, D X	=	( b − a ) 2	.
2	1 2

		λ e	− λ t	, t	≥ 0 ,	− e	−λt	, t ≥ 0,
f (t ) =		1		(7.5)
	0 , t < 0 ,	F(t) =	0, t < 0,

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

f (x ) =

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

(7.6)

σ 2π

2σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2π

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

k −2 i

(σ

/ 2)

αk ( x) = k ! ∑

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

( x ) =

2 k / 2

k !

, k − четное.

( k / 2 ) !

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

Ответ: 1,11.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

значениями σX и2σX .

Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.

3	3

Ответ: 140 ч.

Ответ: 3,4 σ.

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))	ψ′j ( y)	,	(8.1)

j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞

m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

= fx ( y )

+ fx

(− y )

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

Рис. 8.1

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

y < 0,

0 ≤ y ≤1,

g ( y) =

1 < y ≤ 4,

y > 4.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
45
−1

ЗАДАЧИ

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .


0, y < 0, y > 2, 73,
	1

Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
3

	1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.

2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

Ответ: DY = 1/18.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Макеты страниц

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Это чисто случайные ошибки.

Рассмотрим величины

Положим

как известно, называется мерой точности. При этом примет вид

где относительное число ошибок, равных х.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между равна

Источник

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

<img decoding="async" src="https://www.webmath.ru/forum/Themes/LikeIPBTheme/images/topic/normal_post.gif" alt /> Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

Условие

Решение

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

<img decoding="async" src="https://www.webmath.ru/forum/Themes/LikeIPBTheme/images/topic/normal_post.gif" alt /> Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2257 раз)

Задачи.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

<img decoding="async" src="https://www.webmath.ru/forum/Themes/LikeIPBTheme/images/topic/normal_post.gif" alt /> Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

Условие

Решение

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2257 раз)

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)