Ошибка коэффициента вариации формула

При проведении диагностики нижнего пояса резервуара на внутренней поверхности не было обнаружено видимых локальных повреждений металла типа язв и питтингов. По-видимому, в данном случае имела место равномерная коррозия, и предварительный коэффициент вариации глубин коррозионного разрушения V был принят равным 0,2. С учетом условий эксплуатации величины доверительной вероятности оценки у и допустимой относительной ошибки расчета 5 считали равными 0,95 и 0,1 соответственно. По параметрам у, б, V с помощью  [c.213]

Проведенные исследования показывают, что при коэффициенте вариации сроков службы, меньшем 0,35, вполне возможна замена распределения Вейбулла нормальным с теми же математическим ожиданием и дисперсией, Ошибка в вычислении числа восстановлений или интенсивности их при такой замене практически отсутствует. Кроме того, как показывают наблюдения, сроки службы многих машин (автомобилей, тракторов, комбайнов и др,) имеют распределения, близкие к нормальному.  [c.31]

Во второй группе источников неточностей эксперимента столь же незакономерно могут вносить погрешности и влиять па коэффициент вариации распределения ошибки при отборе проб картерного масла и расчета износа. Эти ошибки устраняются системой контроля. Например, наибольшая ошибка в определении износа, связанная с отбором пробы объемом 20 мл, заключается в том, что промывка отборного трубопровода и крана проводится недостаточно, в результате чего в пробу попадает масло, наполнившее трубопровод в предшествующий проводимому отбору пробы. Для устранения этой ошибки проводится операция отбора последовательно двух проб, первая (нечетная) из которых ложная . Регистрацию обеих проб осуществляет оператор, выполнивший отбор, а взвешивание и последующие операции — другой (обычно следующей смены), который выполняет операцию упаковки, регистрирует отправку на анализ действительной пробы и слив ложной в картер двигателя. Для осуществления отбора проб масла двигатель был оборудован пробоотборным краном в масляной магистрали, скорость перемещения в которой смазывающей жидкости составляла около 2—2,5 м/с.  [c.51]

В технических задачах критерием пренебрежимой малости отбрасываемой величины обычно считается значение последней, меньшее 1—2% результата. В некоторых задачах ошибками измерения пренебрегают, если полное поле практического рассеяния результатов измерения, т. е. 6а, меньше чем 5—10% значения измеряемой величины (коэффициент вариации порядка 1—2%).  [c.212]

Относительная величина средней квадратичной ошибки w, выраженная в процентах, называется коэффициентом вариации  [c.29]

Так как выборочный коэффициент вариации оказался больше первоначально принятого Уш то при п = 11 фактическая ошибка будет больше = 0,02.  [c.45]

Пусть далее по результатам испытания п = 11 -1- 9 = 20 образцов выборочный коэффициент вариации а = 0,045. Определяем по формуле (2.76) ожидаемую с вероятностью Р = 0,9 максимальную относительную ошибку оценки среднего значения предела прочности  [c.45]

Коэффициент вариации разрушающ,его напряжения, вычисленный по средней квадратической ошибке, равен ш = 18%, а средняя арифметическая ошибка р=18,3%.  [c.98]

При статистической обработке остальных результатов вычислялись средние арифметические значения измеряемых величин Жср, средние квадратичные ошибки отдельных измерений Ох, квадратичные ошибки средних арифметических tq, коэффициент вариации V. Окончательный результат измерений полагали А = = (Та + Хер, а предельные отклонения — равными 3Wx- В табл. 6.1 приведены результаты обработки при определении коэффициента к , модуля El и коэффициента Ui.  [c.239]

Результаты статистической обработки числа Fo/Fo p при Кр = = 0,5 и числе измерений п = 10 таковы среднее арифметическое значение = 0,444 средняя квадратичная ошибка отдельного измерения = 0,058, квадратичная ошибка среднего арифметического tq = 0,0184 коэффициент вариации V = 13%.  [c.247]

Тип образца V, кг-см/см Коэффициент вариации, % Относи- тельная ошибка, %  [c.130]

Выполненные авторами методики исследования показали, что наибольшее влияние на функцию интенсивности ремонтов оказывает величина М. Влияние второго параметра распределения сроков службы а на функцию интенсивности ремонтов зависит от его относительной величины — коэффициента вариации V, и может быть заметным только на начальном участке вычисляемых функций для отдельных элементов. Что же. касается такой многоэлементной системы, какой является парк автомобилей, то, как выяснилось, изменение величины V в пределах от 0,1 до 0,3 в вычисление функции интенсивности ремонтов заметной ошибки не вносит. Исследованиями установлено также, что при одних и тех же значениях М п V вид закона распределения сроков службы мало влияет на величину искомых функций. Так, при коэффициенте вариации, меньшем 0,35, вполне допустима замена закона Вейбулла нормальным законом. Ошибка при вычислениях интенсивности ремонтов при такой замене практически отсутствует. На этом основании в перспективных расчетах вполне допустимо обходиться такими распределениями, которые более удобны для вычислений. Настоящей методикой предусмотрено, выполнение расчетов с использованием данных о функции  [c.385]

Часто величины и называются соответственно генеральной и выборочной дисперсиями, а а и S — стандартной или среднеквадратичной ошибкой (сокращенно стандартом). Относительную величину стандарта называют иногда коэффициентом вариации ф, %,  [c.34]

В качестве примера можно указать, что при надежности у=0,01 и относительной ошибке 6=0,05 в определении среднего логарифма долговечности потребное число образцов в зависимости от коэффициента вариации составляет  [c.77]

Поправка (1 -Ь дИ) учитывает также и возможные ошибки при определении средней интенсивности изнашивания а, вызванные ограниченным количеством наблюдений, и рассеивание его результатов, так как на величину среднеквадратического отклонения < , а следовательно, и коэффициент вариации V оказывает влияние число опытов (наблюдений) п.  [c.168]

Нередко представляется желательным определить, каково должно быть число образцов К, чтобы средний параметр X был найден с заданной относительной ошибкой 5 при известном коэффициенте вариации V для вероятности а. Для  [c.585]

При доверительной вероятности р = 0,95, относительной ошибке в определении средней наработки до отказа б =0,10 и коэффициенте вариации V = 0,462 число объектов наблюдения для закона распределения Вейбулла необходимо не менее N — 64.  [c.243]

При 14 интервалах, 11 степенях свободы и 1—р = 0,050, критерий х = 4,570 число объектов наблюдения при р = 0,95 и ошибке б = 0,1 составляет N = 51 коэффициент вариации v = 0,417.  [c.251]

Обработка полученных данных проводится по ГОСТ 14359-69, действие которого продлено до 1983 г. Она состоит в расчете основных статистических характеристик достоверности полученных результатов-среднего арифметического (или логарифмического), стандартного отклонения и стандартного отклонения среднего значения, вероятного отклонения искомого, коэффициента вариации и относительной ошибки.  [c.66]

Выбирая доверительный интервал при измерении данного параметра, следует руководствоваться, с одной стороны, средней квадратичной ошибкой (или коэффициентом вариации У ), а с другой стороны — точностью самого метода измерений (аппаратуры, датчиков, способа расшифровки). Если систематическую погрешность измерений, определяемую лишь классом точности аппаратуры (а не вариацией самой измеряемой величины), обозначить б, то доверительный интервал будет  [c.64]

Число объектов наблюдения N определяют в зависимости от относительной ошибки А среднего значения / р исследуемой случайной величины (наработка до первого отказа, ресурс, срок службы и т. п.) с доверительной вероятностью р и ожидаемой величины коэффициента вариации Уа. Значения А, взаимосвязаны.  [c.158]

Исходные данные предельная относительная ошибка 8 доверительная вероятность д предполагаемый коэффициент вариации V распределения наработок между отказами предполагаемый коэффициент вариации Kg распределения времени восстановления.  [c.570]

Оценка разности между коэффициентами вариации. Разность между коэффициентами вариации сравниваемых групп, извлеченных из нормально распределяющихся совокупностей, можно оценить с помощью критерия Стьюдента. Приближенной оценкой разности Сю —Си2 = с со служит ее отношение к своей ошибке, которая равна корню квадратному из суммы ошибок коэффициентов вариации сравниваемых групп, т. е.  [c.126]

На основании уравнений (2) и (3) и с учетом того, что для нормального закона распределения и распределения Вейбулла параметры распределения и коэффициент вариации связаны однозначно [26], составлены [8, 9] графики (рис. 3, а и б), позволяющие приближенно рассчитать объем партии N для первичных испытаний при малом объеме предварительной информации о надежности. Ошибка при планировании испытаний по предлагаемо-  [c.14]

Определить количество клиновых вентиляторных ремней, которые необходимо испытать для определения их среднего ресурса с доверительной вероятностью р=0,9 и предельной относительной ошибкой 6=0,1. Для клиновых ремней характерны отказы из-за трещин резины слоя сжатия, расслоения, остаточной деформации (удлинения). По табл. 4 и уравнению (1) определяем наиболее вероятное значение параметра Вейбулла й=2,74-3,2 и коэффициента вариации 11=0,35- 0,4. По графику на рис. 3 находим iV=33-b38.  [c.17]

На рис. 7.5 а приведен средний вертикальный профиль оптической толщины т для Х==10,6 мкм до высоты 30 км. Здесь же приведено среднее значение коэффициента поглощения на уровне земли (/1 = 0). На рис. 7.6 6 дан профиль стандартного отклонения ат. Величина сгх характеризует ошибку в определении т, связанную с вариациями температуры и влажности. Из рис. 7.5 6 следует, что на высоте 22 км сгт достигает значения 0,15 и далее с высотой не изменяется. Ошибка в определении пропускания слоя О— 30 км составляет 15 %.  [c.221]

Систематические ошибки возникают за счет погрешностей априорного расчета профиля дифференциального коэффициента поглощения Ах(Я), которые зависят от многих факторов, таких как вариаций давления, температуры и влажности по трассе зондирования, нестабильности длины волны и ширины спектра излучения, поглощения другими газами, доплеровского уширения спектра эхо-сигнала за счет хаотического движения молекул воздуха, флуоресценции. К перечисленным факторам следует отнести и сдвиг центра линии поглощения Н2О давлением воздуха. Оценим его влияние при решении обратной задачи зондирования.  [c.199]

Максимальные ошибки определения профиля коэффициента Даэ(Уе, г)/аэ(Уо, г) в процентах, вызванные вариациями частоты лазерного излучения Ve около центральной частоты го линии поглощения Н2О 694,38 нм. Модель атмосферы —  [c.145]

Относительная величина среднеквадратичной ошибки-в процентах называется коэффициентом вариации, а интервал значений от х—Ал до х+Дж —доверительным интервалом. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Обычно ограничиваются доверительной вероятностью, )авной 0,9 или 0,95. Она рассчитывается по формуле «аусса для разных значений доверительного интервала. Эти значения приводятся в виде таблиц, помещенных, например, в [Л. 30]. Среднеквадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,69, удвоенной ошибке 0,95 и утроенной ошибке 0,997.  [c.42]

Если после дополнительных испытаний девяти образцов выборочный коэффициент вариации оказался бы существенно выше 0,051, а величина максимальной ошибки, подсчитанная по формуле (2.76), была бы неприемлемо высокой, то следовало бы вновь йкйрректировать объем испытаний с учетом полученного значения после дополнительных испытаний коэффициента вариации н т. д.  [c.45]

Наиболее полно сопротивление усталости характеризуется кривыми усталости, получаемыми для различных вероятностей разрушения с заданной точностью и принятым значением уровня значимости (надежности). Такие характеристики требуют испытания большого числа образцов (или деталей) на нескольких уровнях напряжений. Число испытуемых образцов п на каждом уровне напряжений зависит от величины рассеяния, характеризуемого коэффициентом вариации F=SIgJv/lgЛ (отношение среднего квадратического отклонения логарифма долговечности к среднему значению) и принятыми односторонними значениями урорня значимости у (характеризует надежность), и точности, характеризуемой величиной относительной ошибки б, равной отношению абсолютной ошибки Д к среднему значению 1 N.  [c.76]

В связи с этим Лайн для получения достоверных данных рекомендует производить до 10 испытаний манжет в одинаковых условиях. Шнюрле и Уппер проводили по 4—10 испытаний манжет для получения каждой точки на графике изучаемой зависимости [141]. Статистический анализ показывает [43], что при коэффициенте вариации 0,1—0,2 и допустимой относительной ошибке измеряемого параметра 0,1, при доверительной вероятности 0,95 необходимо проводить 6—18 испытаний резинотехнических деталей.  [c.57]

Число объектов наблюдения опредляется по заданной величине относительной ошибки 6, доверительной вероятности р и коэффициенту вариации V = 1 (по табл. 12). При б = 0,15, Р = 0,80 и V = 1 число объектов наблюдения N = 45.  [c.248]

При диагностировании нижнего пояса резервуара, выполненном изнутри, не было обнаружено видимых локальных повреждений металла поверхности в виде явных язв и питтингов. Па этом основании было признано, что в данном случае имела место слабая неравномерность коррозионного повреждения, и был принят предварительный коэффициент вариации глубин коррозионного разрушения V = 0,2. Исходя из условий эксплуатации, в данном случае приняты следующие величины доверительной вероятности оценки (у) и допустимой относительной ошибки расчета (б) у = 0,95 и б = 0,1. По трем принятым параметрам — у, б, V — из табл. 4.6 было выбрано минимальное число необходимых измерений — = 13. Измерения ульт-  [c.211]

Методы численного решения систем типа (3.39) будут подробно нами рассматриваться в п. 4.2, а сейчас лишь напомним, что в основе этой системы лежат предположения о сферичности рассеивающих частиц и априорное задание показателя преломления аэрозольного вещества т = т —т»1 в пределах зондируемого слоя [ЯьЯг]. В силу этого изложенная выше теория многочастотного касательного зондирования приводит к вычислительным схемам обращения оптических данных, применимых при тех же исходных допущениях, что и в методе многочастотного лазерного зондирования. Это обусловлено единством методологического подхода к теории оптического зондирования рассеивающей компоненты атмосферы. Вместе с тем необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что требования к выполнению указанных выше допущений существенно различны для указанных двух методов. Действительно, уравнения теории касательного зондирования относительно локальных оптических характеристик светорассеяния являются интегральными, причем первого рода, и поэтому вариации бРех (то же самое бт и б/)ц), обусловленные ошибками Ат в задании подходящих значений т, слабо сказываются на значении интегралов (3.24). В силу этого схемы обращения в методе касательного зондирования более устойчивы к неопределенностям при априорном задании соответствующих оптических операторов в (3.39). В локационных задачах оптические сигналы Р %1,г) прямо пропорциональны значениям аэрозольных коэффициентов обратного рассеяния (Зя(Я/, г), и поэтому вариации бРяг связанные с Дт, непосредственно сказываются на точности интерпретации оптических данных.  [c.166]

Производные в ЭТИХ формулах являются функциями координат и могут быть получены на основании формул (22.37) и (22.38). Они должны быть вычислены для невозмущепной траектории снаряда. Однако этот метод приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, которые не могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. При полетах в области пространства шириной порядка нескольких сотен миль коэффициенты могут быть вычислены в точках самой траектории с точностью, достаточной для наших целей. Это дает следующие уравнения для определения возмущений в положении снаряда, вызываемых вариациями ускорения силы тяги и ошибками акселерометров  [c.668]

Помогла ли Вам статья?

1. Вариационные ряды, средние величины, вариабельность признака

Особое
место в статистическом анализе принадлежит
определению среднего уровня изучаемого
признака или явления. Средний уровень
признака измеряют средними величинами.

Средняя
величина характеризует общий количественный
уровень
изучаемого признака и является групповым
свойством статистической
совокупности. Она нивелирует, ослабляет
случайные отклонения индивидуальных
наблюдений в ту или иную сторону и
выдвигает
на первый план основное, типичное
свойство изучаемого признака.

Средние величины
широко используются:

1. Для оценки
   состояния здоровья населения:
   характеристики физического развития
   (рост, вес, окружность грудной клетки
   и пр.), выявления распространенности и
   длительности различных заболеваний,
   анализа демографических показателей
   (естественного движения населения,
   средней продолжительности предстоящей
   жизни, воспроизводства населения,
   средней численности населения и др.).

2. Для изучения
   деятельности лечебно-профилактических
   учреждений, медицинских кадров и оценки
   качества их работы, планирования и
   определения потребности населения в
   различных видах медицинской помощи
   (среднее число обращений или посещений
   на одного жителя в год, средняя
   длительность пребывания больного в
   стационаре, средняя продолжительность
   обследования больного, средняя
   обеспеченность врачами, койками и пр.).

3. Для характеристики
   санитарно-эпидемиологического состояния
   (средняя запыленность воздуха в цехе,
   средняя площадь на одного человека,
   средние нормы потребления белков, жиров
   и углеводов и т. д.).

4.  Для определения
   медико-физиологических показателей в
   норме и патологии, при обработке
   лабораторных данных, для установления
   достоверности результатов выборочного
   исследования в социально-гигиенических,
   клинических, экспериментальных
   исследованиях.

Вычисление
средних величин выполняется на основе
вариационных рядов. Вариационный
ряд
– это однородная в качественном отношении
статистическая
совокупность, отдельные единицы которой
характеризуют
количественные различия изучаемого
признака или явления.

Количественная
вариация может быть двух типов: прерывная
(дискретная)
и непрерывная.

Прерывный
(дискретный) признак выражается только
целым числом
и не может иметь никаких промежуточных
значений (например,
число посещений, численность населения
участка, число
детей в семье, степень тяжести болезни
в баллах и др.).

Непрерывный
признак может принимать любые значения
в определенных
пределах, в том числе и дробные, и
выражается лишь приближенно
(например, вес
– для
взрослых можно ограничиться килограммами,
а для новорожденных – граммами; рост,
артериальное
давление, время, потраченное на прием
больного, и т. д.).

Цифровое
значение каждого отдельного признака
или явления, входящего
в вариационный ряд, называется вариантой
и обозначается буквой V.
В математической литературе встречаются
и другие обозначения, например x
или y.

Вариационный
ряд, где каждая варианта указана один
раз, называется простым.
Такие ряды используются в большинстве
статистических задач в случае компьютерной
обработки данных.

При
увеличении числа наблюдений, как правило,
встречаются повторяющиеся
значения вариант. В этом случае создается
сгруппированный
вариационный ряд,
где указывается
число повторений (частота, обозначается
буквой «р»).

Ранжированный
вариационный ряд
состоит из вариант, расположенных в
порядке возрастания или убывания.
Как простой, так и сгруппированный ряды
могут быть составлены с ранжированием.

Интервальный
вариационный ряд
составляют с целью упрощения последующих
вычислений, выполняемых без использования
компьютера, при очень большом числе
единиц наблюдения (более 1000).

Непрерывный
вариационный ряд
включает значения вариант, которые
могут выражаться любыми значениями.

Если
в вариационном ряде значения признака
(варианты) заданы в виде отдельных
конкретных чисел, то такой ряд называют
дискретным.

Общими
характеристиками значений признака,
отражаемого в вариационном ряду, являются
средние
величины. Среди них наиболее применяемые:
средняя арифметическая величина М,
мода
Мо
и
медиана Me.
Каждая
из этих
характеристик своеобразна. Они не могут
подменить друг друга и
лишь в совокупности достаточно полно
и в сжатой форме представляют
собой особенности вариационного ряда.

Модой
(Мо)
называют
значение
наиболее часто встречающейся варианты.

Медиана
(Me)
– это значение
варианты, делящей ранжированный
вариационный ряд пополам (с каждой
стороны
медианы находится половина вариант). В
редких случаях, когда имеется симметричный
вариационный ряд, мода и медиана равны
между собой и совпадают со значением
средней арифметической.

Наиболее
типичной характеристикой значений
вариант является
средняя
арифметическая
величина
(М).
В математической литературе она
обозначается

.

Средняя
арифметическая величина
(M,

)
– это общая количественная характеристика
определенного признака изучаемых
явлений, составляющих
качественно однородную статистическую
совокупность. Различают
среднюю арифметическую простую и
взвешенную. Средняя арифметическая
простая вычисляется для простого
вариационного
ряда путем суммирования всех вариант
и делением этой суммы на общее количество
вариант, входящих в данный вариационный
ряд. Вычисления проводятся по формуле:

,

где:
М
— средняя арифметическая простая;

ΣV—
сумма вариант;

n
— число наблюдений.

В
сгруппированном вариационном ряду
определяют взвешенную
среднюю
арифметическую. Формула ее вычисления:

,

где:
М
—
средняя арифметическая взвешенная;

ΣVp
— сумма произведений вариант на их
частоты;

n
— число наблюдений.

При большом числе
наблюдений в случае ручных вычислений
может применяться способ моментов.

Средняя арифметическая
имеет следующие свойства:

• сумма
  отклонений вариант от средней (Σd)
  равна нулю (см. табл. 15);

• при умножении
  (делении) всех вариант на один и тот же
  множитель (делитель) средняя арифметическая
  умножается (делится) на тот же множитель
  (делитель);

• если
  прибавить (вычесть) ко всем вариантам
  одно и то же число, средняя арифметическая
  увеличивается (уменьшается) на это же
  число.

Средние
арифметические величины, взятые сами
по себе, без учета вариабельности рядов,
из которых они вычислены, могут не в
полной мере отражать свойства вариационного
ряда, в особенности когда необходимо
сопоставление с другими средними.
Близкие по значению средние могут быть
получены из рядов с различной степенью
рассеяния. Чем ближе друг к другу
отдельные варианты по своей количественной
характеристике, тем меньше рассеяние
(колеблемость, вариабельность)
ряда, тем типичнее его средняя.

Основными
параметрами, которые позволяют оценить
вариабельность признака, являются:

• Размах;

• Амплитуда;

• Среднее квадратическое
  отклонение;

• Коэффициент
  вариации.

Приблизительно
о колеблемости признака можно судить
по размаху и амплитуде вариационного
ряда. Размах указывает на максимальную
(V_max)
и минимальную (V_min)
варианты в ряду. Амплитуда (A_m)
является разностью этих вариант: A_m
= V_max
— V_min.

Основной,
общепринятой мерой колеблемости
вариационного ряда являются дисперсия
(D).
Но наиболее часто применяется более
удобный параметр, вычисляемый на основе
дисперсии — среднее квадратическое
отклонение (σ).
Оно
учитывает величину отклонения (d)
каждой варианты вариационного ряда от
его средней арифметической (d=V
— M).

Поскольку
отклонения вариант от средней могут
быть положительными и отрицательными,
то при суммировании они дают значение
«0» (d=0).
Чтобы избежать этого, величины отклонения
(d)
возводятся во вторую степень и усредняются.
Таким образом, дисперсия вариационного
ряда является средним квадратом
отклонений вариант от средней
арифметической и вычисляется по формуле:

.

Она является
важнейшей характеристикой вариабельности
и применяется для вычисления многих
статистических критериев.

Поскольку
дисперсия выражается квадратом
отклонений, ее величина не может
использоваться в сопоставлении со
средней арифметической. Для этих целей
применяется среднее
квадратическое отклонение,
которое обозначается знаком «Сигма»
(σ).
Оно
характеризует среднее отклонение всех
вариант вариационного ряда от средней
арифметической величины в тех же
единицах, что и сама средняя величина,
поэтому они могут использоваться
совместно.

Среднее квадратическое
отклонение определяют по формуле:

Для
вычисления среднего квадратического
отклонения в практических задачах может
использоваться стандартное
отклонение
(s),
которое определяется по формуле
.
Она отличается от предыдущей только
знаменателем. Поэтому при значениях
n
> 30 среднее квадратическое отклонение
(σ)
и стандартное отклонение (s)
будут одинаковыми.

Согласно
теории вероятности, в явлениях,
подчиняющихся нормальному закону
распределения, между значениями средней
арифметической, среднего квадратического
отклонения и вариантами существует
строгая зависимость (правило
трех сигм).
Например, 68,3% значений варьирующего
признака находятся в пределах М ± 1σ
, 95,5% — в пределах М ± 2σ
и 99,7% — в пределах М ± 3σ
.

Величина
среднего квадратического отклонения
позволяет судить о характере однородности
вариационного ряда и исследуемой группы.
Если величина среднего квадратического
отклонения небольшая, то это свидетельствует
о достаточно высокой однородности
изучаемого явления. Среднюю арифметическую
в таком случае следует признать вполне
характерной для данного вариационного
ряда. Однако слишком малая величина
сигмы заставляет думать об искусственном
подборе наблюдений. При очень большой
сигме средняя арифметическая в меньшей
степени характеризует вариационный
ряд, что говорит о значительной
вариабельности изучаемого признака
или явления или о неоднородности
исследуемой группы. Однако сопоставление
величины среднего квадратического
отклонения возможно только для признаков
одинаковой размерности. Действительно,
если сравнивать разнообразие веса
новорожденных детей и взрослых, мы
всегда получим более высокие значения
сигмы у взрослых.

Сравнение
вариабельности признаков различной
размерности может быть выполнено с
помощью коэффициента
вариации.
Он выражает разнообразие в процентах
от средней величины, что позволяет
производить сравнение различных
признаков. Коэффициент вариации в
медицинской литературе обозначается
знаком «С»,
а в математической «v»
и вычисляемого по формуле:

.

Значения
коэффициента вариации менее 10%
свидетельствует о малом рассеянии, от
10 до 20% – о среднем, более 20% – о сильном
рассеянии вариант вокруг средней
арифметической.

Средняя
арифметическая величина, как правило,
вычисляется на основе данных выборочной
совокупности. При повторных исследованиях
под влиянием случайных явлений средняя
арифметическая может изменяться. Это
обусловлено тем, что исследуется, как
правило, только часть возможных единиц
наблюдения, то есть выборочная
совокупность. Информация обо всех
возможных единицах, представляющих
изучаемое явление, может быть получена
при изучении всей генеральной совокупности,
что не всегда возможно. В то же время с
целью обобщения данных эксперимента
представляет интерес величина средней
в генеральной совокупности. Поэтому
для формулировки общего вывода об
изучаемом явлении, результаты, полученные
на основе выборочной совокупности,
должны быть, перенесены на генеральную
совокупность статистическими методами.

Чтобы
определить степень совпадения выборочного
исследования и генеральной совокупности,
необходимо оценить величину ошибки,
которая неизбежно возникает при
выборочном наблюдении. Такая ошибка
называется «Ошибкой
репрезентативности»
или «Средней ошибкой средней
арифметической». Она фактически является
разностью между средними, полученными
при выборочном статистическом наблюдении,
и аналогичными величинами, которые были
бы получены при сплошном исследовании
того же объекта, т.е. при изучении
генеральной совокупности. Поскольку
выборочная средняя является случайной
величиной, такой прогноз выполняется
с приемлемым для исследователя уровнем
вероятности. В медицинских исследованиях
он составляет не менее 95%.

Ошибку
репрезентативности нельзя смешивать
с ошибками регистрации или ошибками
внимания (описки, просчеты, опечатки и
др.), которые должны быть сведены до
минимума адекватной методикой и
инструментами, применяемыми при
проведении эксперимента.

Величина
ошибки репрезентативности зависит как
от объема выборки, так и от вариабельности
признака. Чем больше число наблюдений,
тем ближе выборка к генеральной
совокупности и тем меньше ошибка. Чем
более изменчив признак, тем больше
величина статистической ошибки.

На
практике для определения ошибки
репрезентативности в вариационных
рядах пользуются следующей формулой:

,

где:
m
– ошибка репрезентативности;

σ
– среднее квадратическое отклонение;

n
– число наблюдений в выборке.

Из
формулы видно, что размер средней ошибки
прямо пропорционален среднему
квадратическому отклонению, т. е.
вариабельности изучаемого признака, и
обратно пропорционален корню квадратному
из числа наблюдений.

При
выполнении статистического анализа на
основе вычисления относительных величин
построение вариационного ряда не
является обязательным. При этом
определение средней ошибки для
относительных показателей может
выполняться по упрощенной формуле:

,

где:
Р – величина
относительного показателя, выраженного
в процентах, промилле и т.д.;

q
– величина, обратная Р и выраженная как
(1-Р), (100-Р), (1000-Р) и т. д., в зависимости от
основания, на которое рассчитан
показатель;

n – число
наблюдений в выборочной совокупности.

Однако,
указанная формула вычисления ошибки
репрезентативности для относительных
величин может применяться только в том
случае, когда значение показателя меньше
его основания. В ряде случаев расчета
интенсивных показателей такое условие
не соблюдается, и показатель может
выражаться числом более 100% или 1000%о.
В такой ситуации выполняется построение
вариационного ряда и вычисление ошибки
репрезентативности по формуле для
средних величин на основе среднего
квадратического отклонения.

Прогнозирование
величины средней арифметической в
генеральной совокупности выполняется
с указанием двух значений – минимального
и максимального. Эти крайние значения
возможных отклонений, в пределах которых
может колебаться искомая средняя
величина генеральной совокупности,
называются «Доверительные
границы».

Постулатами
теории вероятностей доказано, что при
нормальном распределении признака с
вероятностью 99,7%, крайние значения
отклонений средней будут не больше
величины утроенной ошибки репрезентативности
(М ± 3m);
в 95,5% – не больше величины удвоенной
средней ошибки средней величины (М
± 2m
); в 68,3% – не больше величины одной средней
ошибки (М ± 1m)
(рис. 7).

Рис. 7.
Плотность вероятностей нормального
распределения.

Отметим,
что приведенное выше утверждение
справедливо только для признака, который
подчиняется нормальному закону
распределения Гаусса.

Большинство
экспериментальных исследований, в том
числе и в области медицины, связано с
измерениями, результаты которых могут
принимать практически любые значения
в заданном интервале, поэтому, как
правило, описываются моделью непрерывных
случайных величин. В связи с этим в
большинстве статистических методов
рассматриваются непрерывные распределения.
Одним из таких распределений, имеющим
основополагающую роль в математической
статистике, является нормальное,
или гауссово, распределение.

Это объясняется
целым рядом причин.

1.
Прежде всего, многие экспериментальные
наблюдения можно успешно описать с
помощью нормального распределения.
Следует сразу же отметить, что не
существует распределений эмпирических
данных, которые были бы в точности
нормальными, поскольку нормально
распределенная случайная величина
находится в пределах от

 до

,
чего никогда не встречается на практике.
Однако нормальное распределение очень
часто хорошо подходит как приближение.

Проводятся
ли измерения IQ, роста и других
физиологических параметров — везде на
результаты оказывает влияние очень
большое число случайных факторов
(естественные причины и ошибки измерения).
Причем, как правило, действие каждого
из этих факторов незначительно. Опыт
показывает, что результаты именно в
таких случаях будут распределены
приближенно нормально.

2.
Многие распределения, связанные со
случайной выборкой, при увеличении
объема последней переходят в нормальное.

3. Нормальное
распределение хорошо подходит в качестве
аппроксимации (приближенного описания)
других непрерывных распределений
(например, асимметричных).

4. Нормальное
распределение обладает рядом благоприятных
математических свойств, во многом
обеспечивших его широкое применение в
статистике.

В
то же время следует отметить, что в
медицинских данных встречается много
экспериментальных распределений,
описание которых моделью нормального
распределения невозможно. Для этого в
статистке разработаны методы, которые
принято называть «Непараметрическими».

Выбор
статистического метода, который подходит
для обработки данных конкретного
эксперимента, должен производиться в
зависимости от принадлежности полученных
данных к нормальному закону распределения.
Проверка гипотезы на подчинение признака
нормальному закону распределения
выполняется с помощью гистограммы
распределения частот (графика), а также
ряда статистических критериев. Среди
них:

—
Критерий асимметрии b,

—
Критерий проверки на эксцесс g,

—
Критерий Шапиро – Уилкса W;

—
Тест Колмогорова – Смирнова.

Анализ
характера распределения данных (его
еще называют проверкой на нормальность
распределения) осуществляется по каждому
параметру. Чтобы уверенно судить о
соответствии распределения параметра
нормальному закону, необходимо достаточно
большое число единиц наблюдения (не
менее 50 значений).

Пример
построения вариационных рядов, вычисления
средних величин, создания графика
распределения признака и проверки на
нормальность распределения.

Условие
задачи:
Для выявления общей характеристики
частоты сердечных сокращений (ЧСС) детей
1-го года жизни в отделении №1 больницы
выполнено 16 измерений пульса у детей:

1. Иванов
   Василий – 120 уд.в мин.

2. Сидоров
   Костя – 130 – “ —

3. .
   . . — 115

4. .
   . . — 120

5. .
   . . — 120

6. .
   . . — 125

7. .
   . . — 110

8. .
   . . — 125

9. .
   . . — 115

10. .
    . . — 120

11. .
    . . — 125

12. .
    . . — 135

13. .
    . . — 115

14. .
    . . — 130

15. .
    . . — 125

16. .
    . . — 120

Задание:
а) составить простой вариационный ряд;

б)
вычислить простую среднюю арифметическую
вариационного ряда;

в)
определить степень рассеяния вариант
в вариационном ряду;

г)
выполнить группировку и упорядочение
(ранжирование) ряда по возрастанию и
построить график распределения признака;

д)
определить медиану;

е)
определить моду и среднюю взвешенную
величину;

ж)
определить статистические критерии
нормальности распределения;

з)
определить доверительные границы
колебания средней арифметической в
генеральной совокупности.

Решение:
запустите
программу Excel,
откройте файл в папке своей учебной
группы под именем «Статистика–Фамилии
студентов». Создайте
НОВЫЙ лист,
переименуйте его, обозначив названием
«Сред_вел». На
этом листе
введите данные и решение задачи, как
показано ниже, сохраните изменения и
покажите результат работы преподавателю.

а)
построение простого вариационного ряда
частоты пульса детей, поступивших в
отделение №1 больницы. Простой вариационный
ряд представляет собой статистическую
таблицу, в которой подлежащим является
изучаемый признак, обозначаемый знаком
V
(варианта). Полученные в эксперименте
данные вносят в таблицу в порядке их
записи в журнал регистрации (условия
задачи). Затем вычисляют сумму вариант,
среднюю арифметическую, отклонения (d)
каждой варианты от средней величины и
квадрат отклонения (d²)
соответствующими формулами (таблица
15).

Таблица
15

Простой
неранжированный вариационный ряд

б)
вычисление средней арифметической (M)
в
простом вариационном ряду выполняется
по формуле:

=
1950/16 = 121,9
уд/мин.

В
программе Excel
для вычисления средней арифметической
может применяться функция =СРЗНАЧ(Диапазон
ячеек). Использование этой функции даст
такой же результат.

в)
вычисление среднего квадратического
отклонения (σ
—
Сигма),
ошибки средней (m,
ошибка репрезентативности или стандартная
ошибка) и коэффициента вариации (С):

=

КОРЕНЬ(643,75
/ 16) = 6,343.

Для
упрощения расчета среднего квадратического
отклонения при n
> 30 может использоваться формула
вычисления стандартного отклонения
,
которая в знаменателе содержит -1. В
программе Excel
стандартное отклонение вычисляется
функцией =СТАНДОТКЛОН(Диапазон данных).

= 6,343
/ КОРЕНЬ(16-1) = 1,64

= 6,343/121,9 *
100
= 5,2%
— малое рассеяние (<10%).

Вариабельность
признака (рассеяние) оценивается как
малая при С<10%,
средняя при 10%< С
<
20%, высокая при С
>20%

Вывод:
средняя частота пульса пациентов
изучаемой группы составляет 121,9 ударов
в минуту, вариабельность низкая.

г)
построение ранжированного ряда (таблица
16) выполняется на основе данных простого
ряда с помощью команды упорядочения по
столбцу V.

Таблица
16

Ранжированный
вариационный ряд

М_е=
варианта, занимающая срединное положение;
если ряд состоит из четного числа
вариант, медианой является полусумма
двух центральных вариант = 120уд/мин.

В
программе Excel
для определения медианы применяться
функция =МЕДИАНА(Диапазон ячеек).

д)
построение сгруппированного ранжированного
ряда (таблица 17) и графика частот (рис.
8).

Т
аблица
17

Сгруппированный
ранжированный

вариационный
ряд

е)
вычисление моды и средней взвешенной:

М_о=
наиболее часто повторяющаяся варианта
= 120
уд/мин
(встречается 5 раз).

В
программе Excel
для определения моды применяться функция
=МОДА(Диапазон данных).

В
сгруппированном вариационном ряду
средняя арифметическая вычисляется по
модифицированной формуле и называется
«Средняя взвешенная»:

Независимо
от способа построения вариационного
ряда и вычисления средней арифметической,
для одинаковых данных значения их
средней величины должны совпадать.

ж)
определение вида распределения или
оценка нормальности. Статистические
критерии нормальности распределения
определяются с помощью модуля «Описательная
статистика», который может быть вызван
командой «Данные» — «Анализ данных» —
«Описательная статистика».

Если
указанных команд нет в ленте «Данные»,
необходимо выполнить установку модуля
«Пакет анализа». Для этого требуется
открыть разделы основного меню кнопкой
«Office», выбрать «Параметры Excel» ->
«Надстройки»
-> «Перейти» -> «Пакет анализа» и
«Пакет анализа — VBA» -> «ОК». Модуль
анализа данных в программе Excel,
как правило, не подключается при типовой
установке пакета программ Microsoft
Office.
В связи с этим требуется однократно
выполнить дополнительную настройку
программы.

Результат
вычислений, выполненный модулем
«Описательная
статистика», показан в таблице 18.

Таблица
18

Эксцесс
=
-0,17. Распределение
близко к нормальному.
Для нормального распределения эксцесс
= 0.

Асимметричность
= 0,2. Распределение
близко к симметричному.
Для нормального распределения
асимметричность = 0.

Модуль
«Описательная статистика» программы
Excel вычисляет множество параметров
вариационного ряда. При этом ошибка
средней арифметической (m)
обозначается «Стандартная ошибка», а
в качестве среднего квадратического
отклонения используется «Стандартное
отклонение».

ж)
с вероятностью P>95%
доверительные границы колебания средней
арифметической в генеральной совокупности
= М ± 2m
= 121,9 ± 2*1,64
=

121,9
± 3,28уд/мин.

Вывод:
Средняя частота пульса пациентов 1-го
отделения с вероятностью 95,5% составляет
от 118,6 до 125,2 ударов в минуту.

Пример
сравнения рассеяния вариационных рядов.

Условие
задачи:
Для выявления общей характеристики
частоты сердечных сокращений (ЧСС) детей
1-го года жизни в
отделении №2
больницы выполнено 17 измерений пульса
у детей: 1. Казаков Саша – 130 уд.в мин; 2.
Литвинов Сережа – 135 уд.в мин.; 3…– 125;
4… – 115; 5 …– 125; 6 … – 125; 7 … – 120; 8
… – 125;

9 … – 130; 10 … – 120; 11 … – 140;
12 … – 145; 13 … – 115; 14 …– 130; 15 … – 125; 16 …
– 120; 17 … – 125.

Задание:
а) создать простой и сгруппированный,
ранжированный вариационный ряды,
определить средние величины вариационного
ряда;

б)
построить график распределения признака
и проверить его на нормальность;

в) определить
параметры вариабельности признака:
амплитуду, размах, среднее квадратическое
отклонение, коэффициент вариации и
ошибку репрезентативности;

г) сравнить
характеристики рассеяния вариационных
рядов, используемых в примерах данного
раздела.

Решение:
запустите программу Excel,
откройте требуемый файл в папке своей
учебной группы под именем «Статистика–Фамилии
студентов». На листе «Сред_вел» этого
файла введите данные в соответствии с
таблицей 19, выполните вычисления с
помощью формул и модуля «Описательная
статистика». Покажите результат работы
преподавателю.

а)
построение вариационных рядов (таблицы
19, 20) и вычисление их основных характеристик.

Таблица
19

Простой
ранжированный вариационный ряд и его
характеристики

Вывод:
Средняя частота пульса пациентов 2-го
отделения с вероятностью 95,5% составляет
126,2±2,04 ударов в минуту, вариабельность
малая.

Т
аблица
20

б)
  Ме=
варианта, занимающая срединное положение
=МЕДИАНА(Диапазон данных)
= 125 уд/мин.

Мо=
наиболее часто повторяющаяся варианта

=МОДА(Диапазон
данных) = 125
уд/мин.

в)
амплитуда (интервал) = 30 уд/мин, размах
от 115 до 145 уд/мин и среднеквадратическое
отклонение = 8,4 уд/мин, коэффициент
вариации = 6,6%,
ошибка репрезентативности = 2,04 уд/мин.

Вывод:
вариабельность пульса пациентов 1-го
отделения (С=5,4%) ниже, чем пациентов 2-го
отделения больницы (С=6,6%) и в обоих
случаях малая
(<10%).

Коэффициент вариации и стандартное отклонение: разница