Ошибка опыта формула

Интересный сюжет, отличная развязка, авторский стиль.

Нет.

    Ошибка опыта 5 / находится по формуле [c.147]

    По данным [561 ошибка опыта [у] = 3,24, = 3. [c.150]

    Si.fl [у] — соответственно дисперсия неадекватности и ошибка опыта эти величины находят по формулам (VII.26) и (VII.27) со значениями степеней свободы Д и /2, вычисленными из равенств (VI 1.51) и (VI 1.52). [c.157]

    При 800° С количество углерода, отложившегося в виде кокса примерно такое же, как для бензола (в пределах ошибки опыта). Но при 900 и 1000° С наблюдается заметно ббльшая скорость разложения. Последнее противоречит утверждению Тиличеева, однако возможно, что при таких высоких температурах скорость разложения уже не зависит от нафталина и бензола, как таковых, а скорее от высших продуктов конденсации. Разложение нафталина в этой области катализируется контактным веществом с примесью кокса или углерода. [c.98]

    Расчеты изобарных потенциалов и констант равновесия различных реакций легко выполняются путем комбинирования изобарных потенциалов реакций образования соединений из простых веществ. Стандартный изобарный потенциал любой химической реакции равен алгебраической сумме соответствующих величин для реакций образования всех участников реакции. Таблицы стандартных изобарных потенциалов образования химических соединений при 1 атм и 25 X являются важнейшей сводкой исходных данных для термодинамических расчетов. Эти табличные данные в большинстве случаен вычислены путем комбинации данных для других реакций. Поэтому онн связаны с ошибками опыта, которые суммируются при сочетании величин ЛС и могут составить большую относительную величину, если значение AG° образования невелико и получено путем вычитания больших величин. [c.300]

    Полученные данные сопоставить с рассчитанными величинами по уравнению Нернста, указав ошибки опыта в процентах. [c.303]

    Определение элементного состава нефтей проводится общепринятыми методами анализа органических соединений, в частности углерод и водород — сожжением, по Либиху, или в калориметрической бомбе, азот, — по Дюма, сера, — по Кариусу, а кислород, — по разности, причем на процент его содержания ложатся все ошибки опыта. [c.76]

    Изучение скоростей реакций при обычных концентрациях показало, что расход олефина подчиняется первому кинетическому порядку, концентрации О2 и NHg не влияют на кинетику процесса, а суммарная энергия активации равна 16—20 ккал/моль (66,9-10 —83,6- 10 Дж/моль). Найдено, что в пределах ошибки опыта скорости окисления и окислительного аммонолиза идентичны [87]. Формальная кинетическая схема [c.160]

    Оказалось, что растворимость 2 %-ного водного раствора ДЭГ в гексане не отличается от растворимости воды в гексане (в пределах ошибки опыта) и равна 0,008 % при 20°С, отсюда ориентировочные потери ДЭГ за счет [c.58]

    Остаточная сумма квадратов складывается из дисперсии, обусловленной ошибкой опыта, и дисперсии, обусловленной взаимодействиями факторов, если такие имеются  [c.103]

    Из этой схемы видно, что двумя способами было получено одно и то же значение теплового эффекта (в пределах ошибки опыта). Химическое уравнение вместе с теплотой процесса называется термохимическим уравнением. С ними можно производить любые четыре алгебраических действия. [c.67]

    Давление пара серного эфира при 293 К равно 0,589-10 Па, а давление пара раствора, содержащего 0,0061 кг бензойной кислоты в 0,05 кг эфира при той же температуре, равно 0,548-10 Па. Рассчитайте молекулярную массу бензойной кислоты в эфире и относительную ошибку опыта в процентах по сравнению с величиной, приведенной в справочных таблицах. [c.202]

    Различие в степени соответствия экспериментальным данным уравнений (111,85) и (1И,87) совершенно незначительно и может быть объяснено ошибками опыта. [c.93]

    Распределение исходного фиксированного радиоактивного углеродного атома в (1- С] фенилциклогексане протекает медленнее, чем межмолекулярный перенос циклогексильной группы между фенилциклогексаном и [1—6- С] бензолом в таких же условиях. Особенно быстро межмолекулярная миграция циклогексильной группы протекает в начальный период реакции диспропорционирования (г/= 0,73 ч- ), в то время как распределение радиоактивности между атомами углерода этой группы в первые 30 мин вообще не наблюдается или настолько мало, что составляет величину, меньшую ошибки опыта. [c.205]

    С учетом погрешности измерения температуры 0,5 К отклонения АТ укладывались в пределах ошибки опыта. [c.107]

    При невысоком содержании непредельных углеводородов (до 10%) метод йодных чисел довольно точен. При больших значениях йодных чисел ошибка опыта возрастает. Свет, повышение температуры уменьшают точность определения в связи с развитием побочных реакций (например, замещения). При анализе высокомолекулярных топлив (например, дизельных) для улучшения условий реакций навеску топлива растворяют в небольшом количестве ацетона. [c.138]

    Коэффициенты уравнений регрессии и ошибка опыта рассчитывались по известным формулам 14—5]. [c.140]

    Таким образом, введение второго заместителя в положение 6 привело к более заметному повышению стойкости углеводородного димера, чем введение в положение 3. То есть в рассмотренных случаях, в среде Д, УА и А, стойкость димеров и КПЗ была ниже, если оба -заместителя находились в одном кольце. Исключение составил Э, в котором КПЗ с 2,3-ДМН оказался несколько прочнее, но в этом случае разница была невелика и сопоставима с ошибкой опыта. Тот факт, что наибольшая разница стойкости димеров [c.134]

    Если УРгг значительно превосходит величину ошибки опыта, то это указывает на криволинейный характер поверхности отклика и требует введения в уравнение регрессии членов с квадратичными эффектами. [c.148]

    Однако, результаты расчетов термодинамических величин для предельных углеводородов, выполненных в предположении о свободном вращении групп атомов вокруг связи С—С, не согласуется с опытом. Например, вычисленная величина энтропии этана для 298° К отличается на 1,57 кал град моль от найденной экспериментально, полученной из. измерений зависимости теплоемкости этана от температуры п широком интервале температур. Это расхождение, превышающее ошибку опыта примерно в десять раз, было объяснено тем, что вращение метильных групп вокруг связи С—С происходит не свободно, а заторможено с потенциалом торможения порядка 3000 кал/молъ. Торможение вращения группы около С—С связи является следствием взаимных влияний атомов вращающихся групп. [c.190]

    В исследованиях Джоуля, Роуланда (1880), Микулеску (1892) и др. использовались методы трения в металлах, удара, прямого превращения работы электрического тока в теплоту, растяжения твердых тел и др. Коэффициент J всегда постоянен в пределах ошибки опыта. [c.30]

    Колебания величины Кх не закономерны и могут быть объяснены ошибками опыта. Если принять Кх= и вычислить У по уравнению (VIII, 38), то полученные величины оказываются близкими к опытным. Раствор четырех участников реакции оказывается близким к идеальному при любых концентрациях, что является, скорее, исключением. [c.285]

    Это расхождение уже нельзя объяснить ни ошибками опыта, ни неправильностью в выборе стэфф- В частности, для совпадения расчетных и опытных значений пришлось бы принять [c.127]

    По методу Раста ohjhj определено, что температура плавлении смеси, содержащей 0,0152 г нафталина и 0,2568 г камфоры, составляла 156,5°, а температура нлав ления чистой камфоры 180, О. Для кам( юры Кэ == 49,8°. Рассчитать молекуля.п-ный вес нафталина и относительную ошибку опыта в процентах. [c.195]

    Азот определяется по Дюма, а кислород по разности, поэтому все ошибки опытов ложатся на кислород. Опособ непосредственного определения т ислорода (в виде воды) Ван-Молена дает достаточно точные результаты. Определение элементарного анализа не входит в круг тех обычных исследований, которым подвергается нефть и про-ИЗВ0Д1ГГСЯ в случае научного анализа. В таблице 1 приведены результаты анализа нефтей главных месторождений. [c.20]

    Как вывод из этон таблицы, можно сгса зать, что результаты определения индукционных периодов б обоих приборах практически одинаичовы. Разница между ними не превосходит ошибки опыта при параллельных определениях в одном и том же приборе. [c.182]

    Как И В предыдуш ем случае, эти коэфициенты сохраняют силу для масел различных вязкостей, но только для вискозиметра Энглера. Таблицу Ганса можно еш,е дополнить данньши Оффер-мана (190), коюрЫй предложил коэфициент для 25 сл, причем наблюдается время истечения только 10 сл в вискозиметре Уббелоде. Для веретенных и машинных масел при 50° он равен 13,07, нри 20° — 13,03 для цилиндровых при 50° = 12,9. Необходимо заметить, что скорость вьггекания небольших объемов масла слишком велика, и при постоянной ошибке опыта она обусловливает более высокий процент погрешности. [c.259]

    Для всех- контрольных точек значения /-крнтерня для уровня значимости Я = 0 05 меньше табличное. На рис. 53 показаны линии равного значения актив-иогт I катализатора, (/[ и прочности уз, построенные но уравнениям (VI. 17) и (VI. 18). Наибольшая активность ката-лиза/ора соответствует области, где значения компонента Х >0,4. Прочность, равн и 65%. является вполне удовлетворительной. Наибольший интерес представ, .яют точки, лежащие па пересечении лини 1 равного выхода /2 = 65% с линией равного выхода (/1=100%, Опыт 10 (см. таблицу, рнс, 53). поставленный в указанной области, дал хорошее (в пределах ошибки опыта) совпадение расчет-Н1.1Х и экспериментальных результатов. [c.273]

    Можно показать, что в по очень широком температурном интервале при обычных ошибках опыта значения константы скорости, вычисляемые по простой формуле Аррепиуса (2.11) и формуле, в которой учитывается зависимость предэкспоненциального множителя от температуры, часто оказываются неразличимыми. [c.12]

    Значения начальных скоростей реакции превращения бензол-карбоксилатов калия представлены в табл. 2. Из таблицы следует, что начальная скорость превращения исходного вещества (в пределах ошибки опыта) может быть определена как сумма начальных скоростей отщепления карбоксилатной группы (декарбоксилиро-вание) и присоединения к другой молекуле исходного вещества (карбоксилирование). Так как скорости декарбоксилирования и карбоксилирования равны, то обмен карбоксилатными группами может быть выражен уравнением  [c.160]

    Результаты опытов по термическому превращению пиперилена при атмосферном давлении, температурах 650—750 °С и разбавлении водяным паром в мольном отношении 1 7,6 показали, что скорости распада пиперилена и образования дивинила и циклопентадиена формально описываются уравнениями второго порядка. Однако эти реакции не могут иметь второй порядок, так как изменение разбавления водяным паром от 1 до 16 моль на 1 моль пиперилена в пределах ошибки опыта на результаты термического превращения пиперилена не влияет. Хорошее совпадение расчетной кривой и экспериментальных точек (см. рис. 29.3) было получено, когда для описания изменения концентраций основных продуктов были использованы уравнения скорости первого порядка для самотормозящихся реакций [20], а распад дивинила и циклопентаднена описывался уравнениями скоростей второго порядка  [c.240]

Проведение
эксперимента

Познакомимся с
вычислением ошибки опыта, или, как ее часто называют, ошибки воспроизводимости.

Ошибки параллельных
опытов

Каждый
эксперимент содержит элемент неопределен­ности вследствие ограниченности
экспериментального ма­териала. Постановка повторных (или параллельных) опытов
не дает полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка
опыта (ошибка воспроиз­водимости). Эту ошибку и нужно оценить по параллель­ным
опытам. Для этого опыт воспроизводится по возмож­ности в одинаковых условиях
несколько раз и затем бе­рется среднее арифметическое всех результатов. Среднее
арифметическое  равно сумме всех п отдельных резуль­татов, деленной на количество
параллельных опытов п

.

Отклонение
результата любого опыта от среднего арифметического можно представить как
разность  где  – результат отдельного опыта. Наличие
откло­нения свидетельствует об изменчивости, вариации значе­ний повторных
опытов. Для измерения этой изменчи­вости чаще всего используют дисперсию.
Диспер­сией называется среднее значение квадрата отклонений величины от ее
среднего значения. Дисперсия обозна­чается s² и
выражается формулой

.

где (n – 1) – число
степеней свободы, равное количе­ству опытов минус единица. Одна степень свободы
исполь­зована для вычисления среднего.

Корень квадратный из
дисперсии, взятый с положи­тельным знаком, называется средним квадратическим от­клонением,
стандартом или квадратичной ошибкой

Стандарт имеет
размерность той величины, для кото­рой он вычислен. Дисперсия и стандарт – это
меры рассеяния, изменчивости. Чем больше дисперсия и стан­дарт, тем больше
рассеяны значения параллельных опы­тов около среднего значения.

Ошибка опыта являемся
суммарной величиной, результатом многих ошибок: ошибок измерений факторов,
ошибок измерений параметра оптимизации и др. Каждую из этих ошибок можно, в свою
очередь, разделить на состав­ляющие.

Вопрос о классификации ошибок
довольно сложный и вызывает много дискуссий. В качестве примера одной из
возможных схем классификации мы приведем схему из книги Ю. В. Кельница «Теория
ошибок измере­ний» (М., изд-во «Недра», 1967).

Все ошибки принято разделять
на два класса: система­тические и случайные.

Систематические ошибки
порождаются причинами, действующими регулярно, в определенном направлении. Чаще
всего эти ошибки можно изучить и определить количественно.

Систематические ошибки
находят, калибруя измери­тельные приборы и сопоставляя опытные данные с изме­няющимися
внешними условиями (например, при градуи­ровке термопары по реперным точкам,
при сравнении с эта­лонным прибором).

Если систематические ошибки
вызываются внешними условиями (переменной температуры, сырья и т. д.), следу­ет
компенсировать их влияние. Как это делать, будет показано ниже.

Случайными ошибками называются
те, которые появ­ляются нерегулярно, причины возникновения которых неизвестны и
которые невозможно учесть заранее.

Систематические и случайные
ошибки состоят из мно­жества элементарных ошибок. Для того, чтобы исключать инструментальные
ошибки, следует проверять приборы перед опытом, иногда в течение опыта и обязательно
после опыта. Ошибки при проведении самого опыта возникают вследствие неравномерного
нагрева реакционной среды, раз­ного способа перемешивания и т.п. При повторении
опытов такие ошибки могут вызвать большой разброс эксперимен­тальных
результатов.

Очень важно исключить из экспе­риментальных
данных грубые ошибки, так называемый брак при повторных опытах. Для отброса оши­бочных
опытов существуют правила. Для определения брака используют, например, кри­терий
Стьюдента

.

Значение t берут из таблицы t-распределения Стьюдента. Опыт считается
бракованным, если эксперименталь­ное значение критерия t по модулю больше табличного значения.

Дисперсия параметра
оптимизации

Дисперсия всего эксперимента
получается в результате усреднения дисперсий всех опытов. По терми­нологии,
принятой в планировании эксперимента, речь идет о подсчете дисперсии параметра
оптимизации  или, что то же самое, дисперсии воспроизводимости эксперимента

При подсчете дисперсии
параметра оптимизации квад­рат разности между значением y_q в каждом опыте и средним значением из n повторных наблюдений y нужно просумми­ровать по числу опытов в
матрице N, а затем разделить на N(n — 1):

,

Где i = 1, 2, …, N;      q = 1, 2, …, n.

Такой формулой можно
пользоваться в случаях, когда число повторных опытов одинаково во всей матрице.

Дисперсию воспроизводимости
проще всего рассчиты­вать, когда соблюдается равенство числа повторных опы­тов
во всех экспериментальных точках. На практике весь­ма часто приходится
сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит
вследствие отброса грубых наблюдений, неуверенности экспе­риментатора в
правильности некоторых результатов (в таких случаях возникает желание еще и еще
раз повторить опыт) и т.п.

Тогда при усреднении
дисперсий приходится пользо­ваться средним взвешенным значением дисперсий,
взятым с учетом числа степеней свободы

,

где

– дисперсия i-го опыта;

 – число степеней свободы i-м опыте, равное числу параллельных опытов
n_i минус 1.

Число степеней
свободы средней дисперсии принима­ется равным сумме чисел степеней свободы
дисперсий, из которых она вычислена.

Случай с неравным числом
наблюдений, который мы рассмотрели выше, связан с нарушением ортогональности
матрицы. Поэтому здесь нельзя использовать расчетные формулы для коэффициентов,
приведенные ранее. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.

Экспериментатору не следует
забывать о про­верке однородности дисперсий, неоднородные дисперсии усреднять
нельзя. Прежде чем пользоваться приведёнными выше формулами, нужно убедиться в
однородности суммируемых дисперсий.

Проверка
однородности дисперсий

Проверка однородности
дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простей­шим
из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий.
Критерий Фишера (F—критерий)
представляет собою отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина
сравнивается с таблич­ной величиной F-критерия.

Если полученное значение
дисперсионного отно­шения больше приведенного в таблице для соответствую­щих
степеней свободы и выбранного уровня значимости, это означает, что дисперсии
значимо отличаются друг от друга, т. е. что они неоднородны.

Если сравниваемое количество
дисперсий больше двух и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться
критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках
имеется одина­ковое число повторных опытов. При этом подсчитывается дисперсия в
каждой горизонтальной строке матрицы

,

а затем из
всех дисперсий находится наибольшая  ко­торая делится на сумму всех дисперсий. Критерий Кохрена – это
отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий

.

Гипотеза
об однородности дисперсий подтверждается, если экспериментальное значение
критерия Кохрена не превы­шает табличного значения. Тогда можно усреднять дис­персии
и пользоваться формулой

.

Если возникает предположение
о наличии неодно­родности дисперсий для случая, когда число повторных опытов неодина­ково
во всех точках, можно воспользоваться критерием Бартлета. По уже знакомой
формуле подсчитывается дисперсия воспроизводимости

.

Далее
находится величина

,

где

.

Здесь число
степеней свободы равно N–1, где N – число сравниваемых дисперсий. При планировании экспе­римента типа
2^k это число равно числу опытов в матрице.

Бартлет показал, что величина
 приближенно подчиняется  – распределению с (N–1) степенями свободы. Значимость критерия
Бартлета проверяется обычным способом.

Критерий Бартлета базируется
на нормальном распре­делении. Если имеются отклонения от нормального распре­деления,
то проверка неоднородности дисперсий может привести к ошибочным результатам.

Можно предложить
использование F-критерия даже в тех случаях, когда число
дисперсий больше двух. Делается это следующим образом. Из всех дисперсий
выделяются наибольшая и наименьшая. По F-критерию производится проверка, значимо ли они различаются между
собой. Ясно, что если наибольшая и наименьшая дисперсии не отличаются значимо,
то диспер­сии, имеющие промежуточные значения, также не могут значимо
отличаться друг от друга. Тогда всю группу дис­персий можно считать
принадлежащей к единой совокуп­ности. В таких случаях нет надобности применять
кри­терий Бартлета.

Рандомизация

Чтобы исключить влияние
систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры,
сырья, лаборанта и т. д.), рекомендуется случайная пос­ледовательность при
постановке опытов, запланированных матрицей. Опыты необходимо рандомизировать
во времени. Термин «рандомизация» происходит от английского слова random – случайный.

Если экспериментатор
располагает сведениями о пред­стоящих изменениях внешней среды, сырья,
аппаратуры и т. п., то целесообразно планировать эксперимент таким образом,
чтобы эффект влияния внешних условий был сме­шан с определенным
взаимодействием, которое не жалко потерять. Так, при наличии двух партий сырья
матрицу 2³ можно разбить на два блока таким образом, чтобы эффект
сырья сказался на величине трехфакторного взаимодейст­вия. Тогда все линейные
коэффициенты и парные взаимо­действия будут освобождены от влияния
неоднородности сырья.

В этой матрице при
составлении блока 1 отобраны все строки, для которых , а при составления бло­ка 2 – все строки,
для которых . Различие в сырье можно рассматривать как
новый фактор . Тогда матрица 2³, разбитая на
два блока, представляет собой полуреплику 2^4-1 с определяющим
контрастом .

,                 ;

,                ;

,               ;

,                  ;

,                 ;

,              ;

,              ;

,                ;

Эффект сырья
отразился на подсчете свободного члена b₀ и
эффекта взаимодействия второго порядка b₁₂₃.

Аналогично можно разбить на
два блока любой экспе­римент типа 2³. Главное – правильно выбрать
взаимодей­ствие, которым можно безболезненно пожертвовать. При отсутствии
априорных сведений выбирают взаимодействие самого высокого порядка: x₁x₂x₃ для 2³, x₁x₂x₃х₄ для 2⁴, x₁x₂x₃x₄x₅ 2⁵ и т. д. Но если
экспериментатору известно, что одно из парных взаимодействий лишено, например,
физико-химического смысла, то можно пожертвовать парным взаимодействием.

Матрицу типа 2^k можно разбить на количество блоков 2ⁿ (n – степень
двойки) при . Так, матрица 2³
разбивается на два блока по четыре опыта в каждом и на четыре блока по
два опыта в каждом. Матрица 2⁴ – на два блока по 8 опытов в каждом,
на четыре блока по четыре опыта и на восемь блоков по два опыта и т.д.

Предельные ошибки при различных способах измерения

Ошибки опытов

Под
опытом подразумевается совокупность
разовых измерений различных величин в
одних и тех же условиях. Способы измерения
можно разбить на два вида:

—
измерить прямые, когда данную величину
измеряют непосредственно

—
измерения косвенные, когда искомая
величина является функцией измеряемых
величин.

Можно
по-разному ставить опыт и выбирать
способы измерений, так как измерения
косвенные зависят от ряда прямых, то
при прочих равных условиях, выгодней
тот способ, при котором будет меньше
прямых измерений, а значит меньше и
сумма ошибок. Предельную относительную
ошибку опыта определяют на основании
следующих правил:

1. Ошибка
   суммы заложена между наибольшей и
   наименьшей из относительных ошибок
   слагаемых, практически берут или
   наибольшую относительную ошибку или
   среднюю арифметическую.

2. Ошибка
   произведения или частного от деления
   равна сумме относительных ошибок
   сомножителей или соответственно
   делимого и частного

3. Ошибка
   n-ой степени какого-то основания (значения
   величины) в n раз больше относительной
   ошибки основания.

Во
всех случаях установление точности
опыта, точности вычисления результата
должна определяться точностью измерений.
Если рассматривать ошибку измерения
как частное значение переменной величины,
предельную относительную ошибку опыта
можно вычислить по формуле:

А
– является функцией переменных, то есть
предельная относительная ошибка а равна
дифференциалу её натурального логарифма,
причем следует брать сумму абсолютных
значений всех членов такого выражения.
Данное уравнение дает возможность
решить обратную задачу: определить
необходимую точность измерений различными
способами, если задана общая точность
опыта, но проще поступить таким образом:
установить требование заранее к
метрологическим показателям приборов
(цена или интервал деления, пределы
измерения, порог чувствительности,
измерительное усилие, погрешность и
вариация показаний). Вычислить предельную
ошибку и по ней подобрать недостающую
аппаратуру и заменив приборы дающие
слишком большую предельную погрешность.
Используя эту формулу можно найти
измерения, при которых предельная
относительная ошибка функции будет
наименьшей. Условием определенного
решения является наличие минимума
функции. Рассмотрим порядок вычисления
предельной ошибки опыта. Установим
предельную относительную ошибку
вычисления производительности агрегата.

В
– ширина агрегата

v— скорость агрегата

Т_р– время работы агрегата

Учитывая
подобранную в этом примере аппаратуру
и средние данные таблицы, получим
предельную ошибку.

Из
изложенного можно сделать вывод: для
того, чтобы правильно подобрать аппаратуру
необходимо провести сравнительную
оценку точности различных способов
измерения, в данном случае полезно
заранее задаться точностью опыта.
Точность измерений должна быть
целесообразной, указав на три основные
обоснования:

1. Заключается
   в практическом использовании результатов
   (при технологическом процессе заточки
   лезвия нельзя добиться его затупленности
   меньше 10 микрон, тогда не следует
   измерять износ с точностью до десятых
   долей микрона).

2. В
   некоторых случаях нецелесообразно
   измерять с ошибкой меньше некоторых
   колебаний значений измеряемой величины.

3. Экономическая
   сторона. Чем точнее измерительная
   аппаратура, тем она сложнее и дороже,
   тем больше затраты не её ремонт и
   калибровку. Может оказаться, что при
   таком количестве измерений и той же
   надежности, что и при большем количестве
   измерений, прибором дающем несколько
   большую ошибку, стоимость измерений
   дорогим прибором будет выше.

При
определении величины случайных ошибок,
кроме предельной, вычисляют статистическую
ошибку многократных измерений, её
устанавливают после измерений при
помощи методов математической статистики
и теории ошибок. Если, например, диаметр
вала, вязкость масла измерять по одному
разу, случайные ошибки могут исказить
результат, поэтому лучше измерять
какую-либо практически постоянную
величину несколько раз и брать среднюю
арифметическую этих измерений. Среднее
арифметическое измерение является
наиболее вероятным значением измеряемой
величины при данном количестве соединений.

В
теории ошибок доказывается, чем больше
проведено измерений какой-либо величины,
тем меньше суммарная ошибка средней и
при бесконечном числе измерений,
случайная ошибка средней бесконечно
мала.

Лекция
5 – 19.10.11

Чем
больше значений случайных ошибок и
разброс, рассеяние отсчетов, тем больше
число раз необходимо измерять одну и
ту же величину чтобы достигнуть заданной
точности и надежности измерений.
Рассеяние результатов измерений
указывает на большую или меньшую их
изменчивость т оценивается средним
квадратом отклонений наблюдаемых
значений а_iот их средних h’ и
квадратным корнем из среднего квадрата.

Среднее
арифметическое
сумме всех отдельных результатов
измерений а_i, a_nделение на
количество измерений.

Если
все измерения сгруппированы в m классов
с разными количествами измерений в
каждом классе, то следует вычислять
взвешенную среднюю арифметическую:

а₁,
а₂, а_m– среднее по классу

Отношение
любого отдельного результата измерений
от средней арифметической можно
представить как разность а_iи.

а_i– результат любого измерения.

Дисперсией
случайной величиныназывается среднее
значение величины от её среднего
значения.

Корень
квадратный из дисперсии называется
средним квадратическим отклонением
или стандартом.

При
разделении всех измерений на n классов
с массовыми средними дисперсия будет
равна:

Стандарт:

Стандарт
имеет значение величины, для которой
он вычислен. Дисперсия и стандарт это
меры рассеяния или изменчивости. Чем
больше дисперсия или стандарт, тем
больше рассеяны значения измерений.
Таким образом при измерении неизменной
величины СКО (стандарт) является мерой
точности среднего арифметического
значения неоднократно измеренной
величины. Если же неоднократно измеримая
величина переменна, то вычисленное по
её измерениям значение стандарта
показывает не только меру точности как
случайную ошибку измерений, но и меру
изменчивости переменной.

Абсолютное
значение стандарта зависит и от
совершенства измерительных приборов.
Если одну и ту же величину измерять при
помощи приборов различной точности
абсолютное значение стандарта будет
меньше при измерении более точным
прибором. Например, если d_отвизмерить сначала нутромером со шкалой
в мм, а затем индикатором со шкалой в
микронах значение стандарта при последних
измерениях будет меньше.

Это
обстоятельство имеет важное значение
при выборе числа опытов.

Для
большинства технических измерений
можно считать, что наибольшей ошибкой
средней арифметической многократных
измерений является абсолютная величина
равная трем стандартная или относительная
величина.

Эта
ошибка называется наибольшей возможной
статической в отличие от придельной
ошибки.

В
качестве примера приведем результаты
проверки на точность показаний
пневматического калибратора, которым
измеряли относительную не плотность в
одном из цилиндров дизельного двигателя.

Было
проведено 20 измерений, при которых
двигатель работая на оборотах близким
к номинальным, по 2-3мин. И получен ряд
значений неплотности.

0,465 0,450 0,425

Отсюда
наибольшая возможная статистическая
ошибка:

Если
предельную ошибку устанавливают до
измерений, а наибольшую статистическую
вычисляют по результатам неоднократных
измерений. Наибольшая статистическая
ошибка при измерении неизменной величина
будет меньше предельной, так как
отклонения отдельных измерений от
средней неоднозначны как это принято
для предельной ошибки. Иногда из значения
измеряемой величины отсчитывают с
большей точностью, чем это предположено
для предельной ошибки.

Точность
разовых измерений оценивают только по
предельной ошибке. При неоднократных
измерениях до их начала следует
пользоваться предельной ошибкой (для
прибора аппаратуры и представления о
возможностях измерений). А после измерений
оценивать их точность по наибольшей
возможной статистической ошибке.

Лекция
6 – 21.10.11

Измерения,
дающие дисп или одинаковой величины,
называют равноточными. Равноточность
измерений серий и опытов облегчает
обработку результатов измерений и
уменьшает суммарные ошибки исследования.

Практически
добиться равноточности измерений можно
только в тех случаях, когда измерение
будет проводить опытный человек одним
и тем же прибором в одинаковых условиях.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Статьи
Главная страница

Из графика
видно, что существует вероятность, пусть и очень маленькая, что наше единичное
измерение покажет результат, сколь угодно далеко отстоящий от истинного
значения. Выходом из положения является проведение серии измерений. Если на
разброс данных действительно влияет случай, то в результате нескольких
измерений мы скорее всего получим следующее (рис 2):

Будет ли
рассчитанное среднее значение нескольких измерений совпадать с истинным? Как
правило – нет. Но по теории вероятности, чем больше сделано измерений, тем
ближе найденное среднее значение к истинному. На языке математики это можно
записать так:

Но с бесконечностью у всех дело обстоит неважно. Поэтому на практике мы имеем дело
не со всеми возможными результатами измерений, а с некоторой выборкой из этого
бесконечного множества. Сколько же реально следует делать измерений? Наверное,
до тех пор, пока полученное среднее значение не будет отличаться от истинного
меньше чем точность отдельного измерения.

Следовательно,
когда наше среднее значение (рис. 2) отличается от истинного меньше чем
погрешность измерений, дальнейшее увеличение числа опытов бессмысленно. Однако
на практике мы не знаем истинного значения! Значит, получив среднее по
результатам серии опытов, мы должны определить, какова вероятность того, что
истинное значение находится внутри заданного интервала ошибки. Или каков тот
доверительный интервал, в который с заданной надежностью попадет истинное
значение (рис 3).

Рассмотрим
некоторый условный эксперимент, где в серии измерений получены некоторые
значения величины Х (см. табл. 1).  Рассчитаем среднее значение и, чтобы  оценить
разброс данных найдем величины DХ = Х –
Х_ср

Ясно, что
величины DХ  как-то характеризуют
разброс данных. На практике для усредненной характеристики разброса серии измерений используется
дисперсия выборки:

и среднеквадратичное или стандартное отклонение выборки:

Последнее
показывает, что каждое измерение в данной серии (в данной выборке) отличается
от другого в среднем на ± s.

Понятно, что каждое отдельное
значение оказывает влияние на средний результат. Но это влияние тем меньше, чем
больше измерений в нашей выборке. Поэтому дисперсия и стандартное отклонение
среднего значения, будет определяться по формулам:

Можем ли мы теперь определить вероятность того, что
истинное значение попадет в указанный интервал среднего? Или наоборот,
рассчитать тот доверительный интервал в который истинное значение
попадет с заданной вероятностью (95%)? Поскольку кривая на наших графиках это
распределение вероятностей, то площадь под кривой, попадающая в указанный
интервал и будет равна этой вероятности (доля площади, в процентах). А площади
математики научились рассчитывать хорошо, знать бы только уравнение этой
кривой.

И здесь мы сталкиваемся еще с одной сложностью. Кривая, которая описывает распределение
вероятности для выборки, для ограниченного числа измерений, уже не будет кривой нормального
распределения. Ее форма будет зависеть
не только от дисперсии (разброса данных) но и от степени свободы для выборки
(от числа независимых измерений) (рис 4):

Уравнения этих кривых впервые были предложены в 1908
году английским математиком и химиком Госсетом, который опубликовал их под
псевдонимом Student (студент), откуда пошло хорошо известные термины
«коэффициент Стьюдента» и аналогичные. Коэффициенты Стьюдента получены на
основе обсчета этих кривых для разных степеней свободы (f = n-1) и уровней
надежности (Р) и сведены в специальные таблицы. Для получения доверительного интервала необходимо
умножить уже найденное стандартное отклонение среднего на соответствующий
коэффициент Стьюдента. ДИ = s_ср*t_{f, P}

Проанализируем, как меняется доверительный интервал
при изменении требований к надежности результата и числа измерений в серии.
Данные в таблице 2 показывают, что чем больше требование к надежности, тем
больше будет коэффициент Стьюдента и, следовательно, доверительный интервал. В большинстве случаев, приемлемым считают значение Р=95%

Из таблицы 3 и графика
видно, что чем больше число измерений, тем меньше коэффициент и доверительный
интервал для данного уровня надежности. Особенно значительное падение
происходит при переходе от степени свободы 1 (два измерения) к 2 (три
измерения). Отсюда следует, что имеет смысл ставить не менее трех параллельных
опытов, проводить не менее трех измерений.

Окончательно
для измеряемой величины Х получаем значение Х_сред±s_ср*t_f,P. В
нашем случае получаем: f=3; t=3,18;
ДИ = 3,18*10,2 = 32,6; X = 143,5 ±32,6

Как правило,
значение доверительного интервала округляется до одной значащей цифры, а
значение измеряемой величины – в соответствии с округлением доверительного
интервала. Поэтому для нашей серии окончательно имеем: X = 140 ±30

Найденная
нами погрешность является абсолютной погрешностью и ничего не говорит еще о
точности измерений. Она свидетельствует о точности измерений только в сравнении
с измеряемой величиной. Отсюда представление об относительной ошибке:

Косвенные определения.

Исследуемая величина рассчитывается в этом случае с помощью
математических формул по другим величинам, которые были измерены
непосредственно. В этом случае для расчета ошибок можно использовать
соотношения, приведенные в таблице 4.

Из таблицы видно, что относительная ошибка и точность определения не изменяются при умножении (делении) на некоторый постоянный коэффициент. Особенно сильно относительная ошибка может возрасти при вычитании
близких величин, так как при этом абсолютные ошибки суммируются, а значение Х
может уменьшиться на порядки.

Пусть например, нам необходимо определить
объем проволочки.
Если диаметр проволочки измерен с погрешностью 0,01 мм (микрометром) и равен 4 мм, то относительная погрешность составит 0,25% (приборная). Если
длину проволочки (200 мм) мы измерим линейкой с погрешностью 0,5 мм, то относительная погрешность также составит 0,25%. Объем можно рассчитать по формуле: V=(pd²/4)*L. Посмотрим, как будут меняться ошибки
по мере проведения расчетов (табл. 5):

Окончательный
результат V=2510±20 (мм³) e
=0,8%. Чтобы повысить точность косвенного определения, нужно в первую очередь
повышать точность измерения той величины, которая вносит больший вклад в ошибку
(в данном случае – точность измерения диаметра проволочки).

План проведения измерений:

[1]

1.   Знакомство
с методикой, подготовка прибора, оценка приборной погрешности d. Оценка возможных причин
систематических ошибок, их исключение.

2.   
Проведение серии измерений. Если получены совпадающие результаты, можно
считать что случайная ошибка равна 0, DХ
= d. Переходим к пункту 7.

3.   
Исключение промахов – результатов значительно отличающихся по своей
величине от остальных.

4.   
Расчет
среднего значения Х_ср, и стандартного отклонение среднего
значения s_cp

5.   
Задание значения уровня надежности P,
определение коэффициента Стьюдента t и
нахождение доверительного интервала ДИ= t*s_cp

6.   
Сравнение случайной и приборной погрешности, при этом возможны варианты:

—    
ДИ << d, можно
считать, что DХ = d, повысить точность измерения
можно, применив более точный прибор

—    
ДИ >> d, можно
считать, что DХ = ДИ,
повысить точность можно, уменьшая случайную ошибку, повышая число измерений в
серии, снижая требования к надежности.

—    
ДИ » d, в этом
случае расчитываем ошибку по формуле DХ
=

7.   
Записывается окончательный результат Х = Х_ср ± DХ.
Оценивается относительная ошибка
измерения e = DХ/Х_ср

Если
проводится несколько однотипных измерений (один прибор, исследователь, порядок
измеряемой величины, условия) то подобную работу можно проводить один раз. В
дальнейшем можно считать DХ
постоянной и ограничиться минимальным числом измерений (два-три измерения
должны отличаться не более, чем на DХ)

Для косвенных
измерений необходимо провести обработку данных измерения каждой величины. При
этом желательно использовать приборы, имеющие близкие относительные погрешности
и задавать одинаковую надежность для расчета доверительного интервала. На
основании полученных значений Da, Db, определяется DХ
для результирующей величины (см табл. 4). Для повышения точности надо
совершенствовать  измерение той величины, вклад ошибки которой в DХ наиболее существенен.

Изучение зависимостей.

Частым вариантом экспериментальной работы является
измерение различных величин с целью установления зависимостей. Характер этих
зависимостей может быть различен: линейный, квадратичный, экспоненциальный,
логарифмический, гиперболический. Для выявления зависимостей широко
используется построение графиков.

При построении графиков вручную важно правильно
выбрать оси, величины, масштаб, шкалы. Следует предупредить школьников, что
шкалы должны иметь равномерный характер, нежелательна как слишком детальная,
так и слишком грубая их разметка. Точки должны заполнять всю площадь графика,
их расположение в одном углу, или «прижатыми» к одной из осей, говорит о
неправильно выбранном масштабе и затрудняет определение характера зависимости.
При проведении линии по точкам надо использовать теоретические представление о
характере зависимости: является она непрерывной или прерывистой, возможно ли ее
прохождение через начало координат, отрицательные значения, максимумы и
минимумы.

Наиболее легко проводится и анализируется прямая
линия. Поэтому часто при изучении более сложных зависимостей часто используется
линеаризация зависимостей, которая достигается подходящей заменой переменных.
Например:

Зависимость . Вводя новую переменную
, получаем уравнение
a = bx, которое
будет изображаться на графике прямой линией. Наклон этой прямой позволяет
рассчитать константу диссоциации.

Разумеется и в этом случае полученные в эксперименте данные включают в себя различные ошибки, и точки редко лежат строго на прямой. Возникает
вопрос, как с наибольшей точностью провести прямую по экспериментальным точкам, каковы ошибки в определении
параметров.

Математическая статистика показывает, что наилучшим
приближением будет такая линия, для которой дисперсия (разброс) точек
относительно ее будет минимальным. А дисперсия определяется как средний квадрат
отклонений наблюдаемого положения точки от расчитанного:

Отсюда название этого метода – метод наименьших
квадратов. Задавая условие, чтобы величина s²
принимала минимальное значение, получают формулы для коэффициентов а и b в уравнении прямой у = а + bx:

и формулы для расчета соответствующих ошибок
^[2].

Если
делать расчеты, используя калькулятор, то лучше оформлять их в виде таблицы:

Подводя
итог, следует сказать, что обработка данных эксперимента достаточно сложный
этап работы ученого. Необходимость проведения большого числа измерений требует
большой затраты времени и материальных ресурсов. Громоздкость формул,  необходимость
использования большого числа значащих цифр затрудняют вычисления. Поэтому, возможно,
не все рекомендации этой статьи применимы в рамках школьного исследования. Но
понимать их сущность, значимость, необходимость, и в соответствии с этим
адекватно оценивать свои результаты, должен любой исследователь.

В настоящее время обработку экспериментальных данных
существенно облегчают современные компьютерные технологии, современное
программное обеспечение. Об том, как их можно использовать –  в следующей
статье.

Литература:

[1]
Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений, М., «Наука»,
1970, 194 с.

[2]
Петерс Д., Хайес Дж., Хифтье Г. Химическое разделение и измерение – М.,: Химия,
1978, 816 с.

При статистическом анализе экспериментальных данных для процессов,
негативный результат которых не создает ситуаций, опасных для жизни людей или
утраты больших материальных ценностей, доверительная вероятность обычно
принимают равной Р=0,95

Среди результатов y_k
повторностей опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других.
Это может быть связано либо с какой-то грубой ошибкой, либо с неизбежным
случайным влиянием неучтенных факторов на результат данной повторности опыта.

Признаком наличия «выделяющегося» результата среди других является
большая величина отклонения │▲y_k│=
y_k – yˉ.

Если ▲y_k>y_пред,
то такие результаты относятся к грубым ошибкам. Предельное абсолютное
отклонение определяют в зависимости от сложившейся ситуации различными
методами. Если, например, проводиться статистический анализ экспериментальных
данных опыта с эталонным процессом (известно истинное значение результата опыта
и ▲y_k=y_k—y) и если исследователь
имеет в своем распоряжении оценку дисперсии S²(y_k)
с таким большим числом степеней свободы, то может принять f→∞ и S²(y_k)=σ²,
то для определения грубых ошибок можно применить правило «2-х сигм»: все
результаты, абсолютные отклонения которых по модулю превышают величину двух
среднеквадратичных отклонений с надежностью 0,95 считаются грубыми ошибками и
исключаются из массива экспериментальных данных (вероятность исключения
достоверных результатов равна уровню значимости q=0,05).

Если доверительная вероятность отличается от 0,95 то пользуются правилом
«одной сигмы» (Р=0,68) или правилом «трех сигм» (Р=0,997), или по
заданной вероятности Р=2Ф(t) –
1 находят Ф(t)
по справочным данным и параметр t,
по которому и рассчитывают абсолютное отклонение:

Если в распоряжении исследователя имеется лишь приближенная оценка
дисперсии с небольшим (конечным) числом степеней свободы, то применение правила
«сигм» может привести либо к необоснованному исключению достоверных результатов
либо к необоснованному оставлению ошибочных результатов.

В этой ситуации для определения грубых ошибок можно применить критерий
максимального отклонения r_max(P, m), взятый из
соответствующих таблиц. Для этого r_max сравнивают с величиной r, равной

 (22)

Если r
> r_max,
то данный результат должен исключаться из дальнейшего анализа, оценка y^ˉ должна
быть пересчитана, изменяются абсолютные отклонения ▲y_k и
соответственно оценка дисперсии S²(y_k)
и S²(yˉ). Анализ на грубые
ошибки повторяют при новых значениях оценок yˉ и S²(y_k),
прекращают его при r
<= r_max.

При пользовании формулой (22) следует применять оценку дисперсии,
полученную по результатам повторностей опыта, среди которых находится
сомнительный результат.

Для определения грубых ошибок существуют и другие методы, среди
которых наиболее быстрым является метод «по размаху», основанный на
оценке максимальных различий полученных результатов. Анализ по этому методу
проводят в такой последовательности:

1) располагают результаты y_k
в упорядоченный ряд, в котором максимальному результату присваивается номер
первый (y1),
а максимальному – наибольший (y_m).

2) Если результатом, вызывающим сомнение,
будет y_m,
рассчитывают отношение

 (23)

если сомнительным результатом будет y₁ – отношение

 (24)

3) при заданном уровни значимости q и известном числе
повторностей m
по приложению 6 находят табличное значение критерия α_Т.

4) если α > α_Т, то подозреваемый
результат является ошибочным и его следует исключить.

После исключения грубой ошибки находят по таблице новую величину α_Т
и решают судьбу следующего «подозреваемого» результата, сравнивая α_Т
и рассчитанный для него α.

Если есть основание предполагать, что 2 наибольших (2 наименьших)
результата являются «промахами», то их можно выявить в один прием, используя
соответствующий столбец таблицы приложения 6 для определения α_Т
и рассчитывая α по формуле:

 (25)

или

 (26)

Средневзвешенные оценки дисперсии. Анализ однородности исходных
оценок дисперсии

Если в распоряжении экспериментатора имеются результаты
многократных измерений величин критерия оптимальности в опытах при различных
условиях ведения процесса, то появляется возможность расчета средневзвешенной
оценки дисперсии единичного результата, единой для всех опытов
эксперимента.

В каждом из N опытов (номер опыта и = 1+N) оценка
дисперсии единичного результата равна

где т_и – число повторностей и-го опыта.

Средневзвешенная оценка дисперсии единичного результата
рассчитывается по всем оценкам дисперсии единичного результата опытов:

а) при различных т_и

где — число степеней
свободы средневзвешенной оценки дисперсии; т_и – 1 = f_u – «вес» соответствующей и-ой оценки
дисперсии, равный числу степеней свободы f_u;

б) при т_и = т = const

где N (m-1)=f –
число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии.

Прежде чем пользоваться соотношениями (28) и (29) для расчета
средневзвешенных уточненных оценок дисперсии (чем больше число степеней
свободы, тем более точной будет оценка дисперсии), надо доказать однородность
исходных оценок дисперсии.

Определение «однородные» в статистике означает «являющиеся оценкой
одного и того же параметра» (в данном случае – дисперсии σ ²).

Если измеряемая случайная величина у_ик распределена
по нормальному закону во всем исследуемом диапазоне, то независимо от значений _и дисперсия σ не будет
изменять своей величины и оценки этой дисперсии должны быть однородными.
Однородность этих оценок проявляется в том, что они могут отличаться друг от
друга лишь незначительно, в пределах, зависящих от принятой вероятности и
объема экспериментальных данных.

Если т_и = т и f = const, то однородность
оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия Кохрена G_kp.
Вычисляют отношение максимальной дисперсии S²(y_uk)_max
к сумме всех дисперсий

и сравнивают это отношение с величиной критерия Кохрена G_kp
(P;
f;
N).
Если G
< Gkp,
то оценки однородны.

Таблица значений критерия Кохрена в зависимости от числа степеней
свободы числителя f_u,
числа сравниваемых дисперсий N и принятого уровня значимости q
= 1 – Р дана в приложении.

Если число повторностей в опытах различно (f_lt ≠ const), однородность оценок дисперсии можно
проанализировать с помощью критерия Фишера F_Т.
Для этого из N оценок дисперсии выбирают 2:
максимальную S²(y_uk)_max и минимальную S²(y_uk)_min. Если
вычисленное значение F их отношения меньше Ft,

то все N оценок дисперсии будут однородны.

Значения критерия Фишера F_T
даны в приложении в зависимости от принятого уровня
значимости q и числа степеней свободы f₁
и f₂
оценок S²(y_uk)_max и S²(y_uk)_min соответственно.

Если оценки дисперсии непосредственно измеряемого параметра у оказались
неоднородными, т.е. оценками различных дисперсий, то средневзвешенная оценка не
может быть рассчитана. И кроме того, величины у_к уже нельзя
считать подчиняющимися нормальному закону, при котором дисперсия может быть
лишь одной и неизменной при любом у.

Причиной нарушения нормального закона распределения может быть
наличие оставшихся грубых ошибок (анализ на грубые ошибки либо не проводился,
либо проведен недостаточно тщательно).

Другой причиной может быть наличие активного фактора, ошибочно
отнесенного исследователем к неактивным и не снабженного системой стабилизации.
Поскольку условия изменились, этот фактор стал значимо влиять на процесс.