Ошибка управления определяется формулой

Лекция 17. Расчет установившейся ошибки в системах управления.
Структурные признаки астатизма

Установившейся (статической) ошибкой называют
постоянное значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании переходного процесса: , рисунок 116.

Очевидно, установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик входных сигналов системы. Поэтому при ее
определении принято рассматривать так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:

, , и так
далее.

При наличии нескольких воздействий на линейную систему
для определения x_уст используется
принцип суперпозиции – реакция линейной системы на совокупность входных
сигналов совпадает с алгебраической суммой ее реакций на каждый из сигналов в
отдельности:

, где
каждое слагаемое, или составляющая сигнала ошибки, определяется
для i-го входного сигнала при условии, что остальные
тождественно равны нулю. Такой подход полностью соответствует определению
передаточной функции и позволяет выполнять расчет установившейся ошибки на
основе структурной схемы системы.

Рассмотрим порядок расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере (рисунок 117).

В соответствии с принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде суммы трех составляющих .

Изображение по Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке при известном изображении задающего
воздействия G(s):

, где
F(s) – основная передаточная функция замкнутой системы.
Для структурной схемы на рисунке 117

, где — передаточная функция
разомкнутой системы, или прямой цепи системы, для рассматриваемого примера.

Непосредственно для расчета
установившегося значения ошибки от задающего воздействия используют теорему о
конечном значении для преобразования Лапласа:

В результате:

Изображение по Лапласу ошибки от возмущающего
воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от
возмущения при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):

, где
F_f(s) –передаточная функция замкнутой системы по
возмущающему воздействию,

;

W_f(s)
– передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (передаточная функция
участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до
выхода системы).

Для структурной схемы на рисунке 8 необходимо
учитывать два возмущающих воздействия, приложенные в различные точки системы.

Для f₁:
,

Для f₂:
,

Расчет упрощается для
системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 118):

, где k=k₁k₂k₃ – коэффициент передачи
разомкнутой системы.

Найдем установившуюся ошибку
для некоторых типовых вариантов задающего воздействия.

При получим:

Если установившаяся ошибка
тождественно равна нулю при каком-либо типовом варианте входного сигнала,
независимо от его численных характеристик, систему называют астатической по
рассматриваемому входному сигналу.

Количество типовых вариантов
входного сигнала – членов степенного ряда, при которых установившаяся ошибка
тождественно равна нулю, определяет порядок астатизма.

Рассматриваемая система
обладает свойством астатизма второго порядка по задающему воздействию.

Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f₁:

, где –
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₁.

При получим:

При получим
тот же результат.

Отметим, что по возмущению f₁ рассматриваемая система
не является астатической. Кроме того, она не в состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.

Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f₂:

, где –
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₂.

При получим:

По возмущению f₂ рассматриваемая система имеет
астатизм первого порядка. Она не в состоянии отработать возмущающее
воздействие, изменяющееся во времени с постоянным ускорением.

Подведем некоторые итоги:

1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки приложения входного сигнала.

2. Постоянные времени
звеньев системы не влияют на ее точность.

3. Увеличение значения
коэффициента передачи разомкнутой системы приводит к снижению величины
установившейся ошибки.

Для систем с единичной
отрицательной обратной связью существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.

Рассмотрим структуру,
показанную на рисунке 119.

В общем случае передаточная
функция разомкнутой системы может быть представлена в следующей форме:

, где l³0.

Тогда получим:

и для общего вида задающего воздействия , которому соответствует изображение ,

Результат нахождения этого
предела зависит от соотношения показателей степени:

— при l>v установившаяся
ошибка равна нулю независимо от остальных параметров, то есть имеет место
астатизм;

— при l=v получаем
константу;

— при l<v установившаяся
ошибка стремится к бесконечности, то есть система не в состоянии отработать
входной сигнал.

Учитывая, что минимальное
значение v нулевое,
получаем условие астатизма по задающему воздействию: l>0.

Таким образом, структурный
признак астатизма по задающему воздействию в системе с единичной отрицательной
обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной
функции разомкнутой системы, или интегрирующих звеньев в прямой цепи системы.

Нетрудно также убедиться,
что положительное значение l совпадает
с порядком астатизма.

Для получения признака
астатизма по возмущающему воздействию представим передаточные функции на
рисунке 10 в форме:

, где l₁+l₂=l,
k₁k₂=k, m₁+m₂=m,
n₁+n₂=n,
причем и .

Тогда получим:

и для общего вида возмущающего воздействия , которому соответствует изображение ,

Все вышеприведенные выводы
можно повторить для показателя степени l₁.

Таким образом, структурный
признак астатизма по возмущающему воздействию в системе с единичной
отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе
передаточной функции участка системы до точки приложения воздействия, или
интегрирующих звеньев на том же участке.

Источник

ОШИБКИ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

— в общем случае это функционалы, характеризующие отклонение показателя качества работы (Ф) системы автоматического управления (САУ) от его заданного или экстремального значения Показатель качества определяется -эконом. требованиями к САУ и может представлять либо совокупность заданных (требуемых) значений регулируемых величин системы, напр., в системах автомат, регулирования (САР), либо некоторую функцию от этих величин (напр., в системах экстремального регулирования или в самонастраивающихся системах). В качестве меры отклонения обычно принимают разность , причем величины, входящие в это выражение, в общем случае векторные. О. в с. а. у. зависят от процесса управления, т. е. являются ф-цией времени Эта зависимость определяет два вида ошибок: динамические (при и установившиеся Динамические О. в

с. а. у. могут оцениваться по значениям, взятым в определенные моменты времени (напр., максимум ошибки в процессе управления), либо по интегральным критериям (напр., среднеквадратичная ошибка , где Т — период наблюдения).

О. в с. а. у. зависят прежде всего от структуры систем, а также от возмущений, действующих на объект управления, от ограниченности управляющего воздействия по величине и мощности, погрешностей в измерительных цепях и т. п. В связи с этим в линейных САУ выделяют вынужденную составляющую ошибки, определяемую действием возмущения на объект управления или задания, и свободную составляющую, определяемую начальным отклонением показателя качества работы САУ. Кроме того, рассматривают О. в с. а. у., связанные с действием случайных сигналов на объект управления и соответствующие оценки этих ошибок (например, математическое ожидание и дисперсия). В следящих САР вынужденная составляющая ошибки определяется изменением задания во времени . При этом помимо основной ошибки разности задания и регулируемой величины, называемой также ошибкой по положению, различают и ее производные по времени 1, 2-го и более высоких порядков, называемые соответственно ошибками по скорости, по ускорению и т. д. Для линейных следящих САР, если задание меняется медленно по сравнению с изменениями импульсной переходной ф-ции системы, вынужденная составляющая ошибки может быть представлена как линейная функция от задания и его производных по времени:

где — порядок той производной задания, которая имеет достаточно малую величину и изменением которой во времени можно пренебречь, коэффициенты ошибок, определяемые как

где передаточная функция системы по ошибке. Пользуясь формулами (1) и (2), можно по передаточной ф-ции систем, по ошибке и по виду зависимости определить характер изменения вынужденной составляющей ошибки. Например, в случае задания и системы с астатизмом 1-го порядка (один нулевой корень передаточной ф-ции) получают т. е. вынужденная составляющая ошибки равна нулю.

С помощью методов автоматического управления теории структура САУ может быть выбрана таким образом, чтобы минимизировать О. в с. а. у. при принятой ее оценке или минимизировать некоторый показатель, связанный с изменением ошибки во времени (напр., время переходного процесса). Путем рационального выбора структуры некоторые виды ошибок САУ могут быть сведены к нулю, напр., установившиеся ошибки в САР при интегральном регулирования законе или динамические ошибки, связанные с действием возмущений на объект управления в некоторых случаях инвариантных систем управления. См. также Астатизм -го порядка, Инвариантность систем автоматического управления.

Лит.: Современные методы проектирования систем автоматического управления. М., 1967; Ивахненко А. Г. Электроавтоматика. К., 1957 [библиогр. с. 440—442]; Воронов А. А. Основы теории автоматического управления, ч. 1. М. Л., 1965 [библиогр. с. 382—392]. Л. М. Бойчук.

Виды ошибок регулирования и методы их снижения.

Прямые показатели качества подразделяются
на показатели качества динамического
и установившегося режимов.

Показателями качества динамических
режимов определяются из графика
переходного процесса и основными из
них являются (рис.1.42):

—перерегулирование или забросσ,
равный максимуму отклонения значения
переходного процесса относительно
установившегося значения процессаh_ycm;

— время первой установки t₁,
определяемое моментом первого пересечения
графиком переходного процесса
установившегося значенияh_ycm;

— время переходного процесса t_ПП,
определяемое момент окончательного
входа графика переходного процесса в
зону допуска, равную±5%от
установившегося значения процессаh_ycm.

Для всех названных динамических
показателей качества невозможно в общем
случае получить формулы для их расчета.
Это является существенным препятствием
для решения задач анализа и синтеза
САУ.

Показателями качества установившихся
режимов являются ошибки регулирования,
равные абсолютной величине разности
между заданным и фактическим значениями
сигналов САУ и которые в зависимости
от вида входного сигнала САУ подразделяются
на статические (ε_СТ) и
скоростные ошибки (ε_СК) и
ошибки (ε_m)
при отработке гармонического входного
сигнала.

Для
всех названных ошибок регулирования
можно в общем случае получить формулы
их расчета.

Из структурной схемы замкнутой САУ
(рис.1.43) следуют выражения передаточной
функции САУ W_ε(p)по ошибке и изображенияε(р)ошибки
регулирования:

Расчет ошибки ε_mотработки гармонического входного
сигналаx=X_msinωt
производится по формуле

где
— модуль комплексного числа.

Статическая (ε_СТ) и
скоростная (ε_СК) ошибки
равны установившимся значениям оригиналаи,
или в общем виде, по формуле.
Значениевычисляют через изображениеε(р)
по доказываемой в теории операционного
исчисления формуле предельного перехода,

(1.54)

Выражение передаточной функции
разомкнутой САУ в общем случае может
быть приведено к виду:

(1.55)

где К– общий коэффициент усиления
разомкнутой САУ:

ν— порядок астатизма САУ, причемνявляется целым неотрицательным
числом.

Для удобства вычислений по формуле
(1.54) подставим в нее выражение W_РАЗ(р)из (1.55) и выполним предельный переход:

(1.56)

Статическая ошибка регулирования ε_СТрассчитывается при постоянном входном
сигналеx(t)=X=const,
а скоростнаяε_СК— при
входном сигналеx=Vt,
изменяющемуся во времени с постоянной
скоростьюV=const.
Далее расчеты статической (ε_СТ)
и скоростной (ε_СК) ошибок
выполним раздельно.

Расчеты статической ошибки εСт регулирования

Входной сигнал x(t)=X=constи изображением его является.
В соответствии с (1.56) статическую ошибкуε_СТследует вычислять по
формуле

(1.57)

1). Пусть в (1.57) значение порядка νастатизма САУ равно нулю:ν=0. Такая
САУ называется статической. Тогда
статическая ошибкаε_СТбудет равна

В статической САУ имеется статическая
ошибка ε_СТ, которую можно
только уменьшить путем увеличения
общего коэффициента усиленияКразомкнутой САУ, но обратить в ноль ее
нельзя.

2). Пусть в (1.57) значение порядка νастатизма САУ равно 1:ν=1. Такая САУ
называется астатической 1-го порядка.
Тогда статическая ошибкаε_СТбудет равна

В астатической САУ 1-го порядка статическая
ошибка ε_СТравна нулю,
т.е САУ является абсолютно точной. Можно
проверить, что при астатизме САУ выше1, статическая ошибка регулирования
всегда будет нулевой.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Качество управления. Ошибка системы. Система автоматической стабилизации скорости вращения электродвигателя

Страницы работы

Фрагмент текста работы

6 Качество управления

Ошибка системы

Любая автоматическая система должна быть не
только устойчивой, но и достаточно точной в работе. В любой реальной системе
невозможно точное равенство задающего воздействия g
и управляемой величины y во всё время процесса управления. Возникает
ошибка системы x=g—y. Её можно представить в виде X=X_п+Х_уст.,
где X_п – переходная ошибка, а Х_уст. – это ошибка
системы по окончанию переходного процесса. Для определения X_п приходится
либо находить корни характеристического уравнения, либо использовать критерии
качества, не требующие нахождения ошибки X_п (частотный критерий качества, интегральный
критерий качества).

6.2 Ошибки САУ в установившемся режиме

Рассмотрим неподвижное состояние, когда g=const ,или f=const. Имеются 2 вида систем: статические и
астатические. Статической системой автоматического управления называется
система, переходная функция которой в разомкнутом состоянии при размыкании по
ошибке имеет вид:

В статических САУ интегрирующие звенья или отсутствуют.
или охвачены обратной связью, т.е. нет множителя p
в знаменателе.

Определим ошибку Х_уст., если g=g₀, f=f₀,
тогда Х_уст.=g₀—y_уст. (а),

Но y_уст.=Х_2уст.К₂= (Х_1уст.+f₀)К₂= (Х_уст.К₁+f₀)K₂
(в).

Подставим (в) в (а): Х_уст.= g₀-К₁К₂
Х_уст.-К₂f₀. Х_уст.(1+K₁K₂)= g₀—K₂f₀.

Пусть К₁К₂=К, тогда Х_уст.=
(g₀/1+К)-( К₂f₀/1+К).

Из выражения (в) следует, что для
уменьшения ошибки от задающего воздействия g
необходимо увеличивать общий коэффициент передачи звеньев, стоящих до
возмущения (К₁) и уменьшать для стоящих после возмущения(K₂). В
статических САУ ошибку от задающего воздействия легко ликвидировать
масштабированием. Этот метод рассмотрим позднее. Исследуем ошибку от
возмущающего воздействия.

Пример: Система автоматической стабилизации скорости вращения
электродвигателя.

М_н – момент нагрузки.

При изменении М_н меняется скорость вращения
ω, что приводит к изменению U_тг (напряжения, вырабатываемого тахогенератором). При
правильном выборе знака обратной связи скорость вращения будет меняться
значительно меньше, чем при отсутствии обратной связи. Покажем, что в системе
будет установившаяся ошибка. При изменении момента нагрузки М_н
изменится и момент двигателя, потому что в установившемся режиме M_дв = М_н.
M_дв меняется при изменении ω или U_двиг., но U_двиг. (U_д) при постоянном U может измениться
лишь при изменении U_тг, т.е. U_д = U— U_тг. Поэтому при изменении М_н обязательно
меняется ω, т.е. появляется ошибка.

6.3 Оценка динамических
свойств САУ по переходной характеристике

1) Качество оценивается по перерегулированию

σ %= (y_m-y_уст_.)/ y_уст_.·100%
.

σ %= |10-50|%.

Рис 2) Быстродействие можно оценивать как время
переходного процесса от момента подачи скачка до момента t_п, начиная с
которого для всех t ≥ t_п: |y(t)- y_уст. | ≤ Δy_уст., Δy_уст.=1-5%.

6.4 Корневые оценки
динамических свойств САУ

О динамических свойствах САУ можно судить по
расположению полюсов и нулей замкнутой системы управления.

Рис 1-й вариант: имеется один вещественный полюс.

; => .

Чем меньше Т, тем быстрее растёт сигнал на выходе.

Рис При приближении полюса к мнимой оси
быстродействие уменьшается.

2-й вариант: два комплексно сопряжённых полюса.

Рис Рис ; .

Можно показать, что. Перерегулирование зависит от
параметра —
этот параметр называется колебательностью. При равном удалении полюсов
от мнимой оси σ % больше в той системе, в которой полюсы дальше отстоят от
вещественной оси. Увеличение μ приводит к возрастанию перерегулирования, чтобы
колебательность системы не превышала заданной величины, полюса должны быть
расположены внутри области, в которой tgφ=μ.

Рис Если еще имеется и отрицательный нуль
(корень числителя) – это эквивалентно действию дифференцирующего звена и
колебательность возрастает с приближением нуля к мнимой оси. Добавление
вещественного полюса уменьшает перерегулирование и увеличивает время
переходного процесса. Если имеется несколько полюсов и нулей, но они достаточно
удалены от мнимой оси, то их влиянием можно пренебречь.

Улучшение качества
правления

Способы уменьшения ошибки

Общими методами уменьшения ошибки
(повышения точности) САР являются:

1.
Увеличение
коэффициента усиления K
разомкнутой цепи

2.
Повышение порядка
астатизма r

3.
Применение
регулирования по производным

4.
Включение
масштабирующих устройств на входе или выходе

6.5.1.1 Повышение
точности систем увеличением коэффициента усиления

Метод эффективен, широко применяется, но обычно
увеличение K приводит к
уменьшению запаса устойчивости

Повышение точности
систем увеличением порядка астатизма

Астатическими называются системы, переходная функция которых в
разомкнутом виде имеет вид: . Степень r
называется порядком астатизма.

В астатической системе обязательно имеются
интегрирующие звенья.

К_u/p– интегрирующее звено.

Рассмотрим установившееся состояние системы при g=g₀, f₁=f₁₀, f₂=f₂₀. После
окончания переходного процесса y=y_уст. Это может быть только если Х₂=0,
иначе интегратор вырабатывал бы возрастающий сигнал Х₃. Х₂=К₁Х_уст.+
f₁₀=0. Найдём отсюда Х_уст.=- f₁₀/ К₁.

В выражение не входит f₂ и К₂.
Ошибка астатической системы в режиме неподвижного состояния зависит лишь от
возмущающего воздействия, приложенного до интегрирующего звена. Поэтому
надо создавать системы в которых возмущение приложено после интегрирующего
звена, тогда ошибка равна нулю.

Статическую систему ,не имеющую интегрирующих звеньев,
будем называть

Информация о работе

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

Источник

Передаточная
функция ошибки по управляющему
воздействию.

G(p) (-)
E(p) X_вых(р)

(-)

Рис. 1.6

Когда на вход
неустойчивой системы подается единичный
сигнал Х_вх=1(t) в
установившемся режиме, ошибка будет
определяться по формуле:

Выражение для
установившейся ошибки:

Т.е. ошибка является
суммой двух ошибок: статической и
добавочной скоростной.

Режим движения с
постоянной скоростью используются для
оценки точности только систем с астатизмом
первого порядка.

Пусть скорость
изменения входного сигнала ν=1с^-1.

К_р=К_ν=46

Вывод: Заданная
САУ неустойчива по критерию Михайлова
и критерию Найквиста в логарифмических
координатах. Статистическая ошибка
больше допустимой, что не удовлетворяет
условию. Чтобы САУ была устойчива,
необходимо ввести в систему корректирующее
устройство. Статистическую ошибку можно
уменьшить, введя дополнительный
коэффициент усиления.

2. Синтез системы автоматического управления.

Под синтезом
САУ понимается направленный расчет,
имеющий конечной целью отыскание
рациональной структуры системы и
установление оптимальных величин
параметров её отдельных звеньев. Синтез
можно также трактовать как инженерную
задачу, сводящуюся к такому дополнительному
построению системы, при котором
обеспечивается выполнение технических
требований к ней (требования к габаритам,
весу, простоте, надежности, стоимости
и т.д.). При инженерном синтезе САУ
необходимо обеспечить устойчивость и
качество процесса регулирования, имеющие
противоречивый характер. Удовлетворительное
решение первой задачи, соответствует
нужному запасу устойчивости, может
привести к неудовлетворительным
характеристикам в переходном процессе
или в установившемся режиме. Возможен
и противоположный случай, когда реализация
требуемых характеристик качества,
например связанная с повышением точности
в установившемся режиме, сопровождается
чрезмерным понижением запаса устойчивости.
Противоречие между двумя задачами
особенно наглядно проявляется, если
делается попытка решить их одним и тем
же способом. Например, уменьшение ошибок
в установившемся режиме методом повышения
коэффициента усиления в разомкнутой
системе, как правило, приводит к уменьшению
запаса устойчивости. Метод, использующийся
для повышения статистической точности,
— повышение порядка астатизма – также
неблагоприятно сказывается на
устойчивости, уменьшая запас устойчивости
и увеличивая колебательность процесса.

Удовлетворительное
решение задачи реализации, как требуемого
запаса устойчивости, так и качества
процесса регулирования может быть
достигнуто при одновременном использовании
упомянутых методом и изменение структуры
системы или включении корректирующих
устройств в прямую цепь или цепь
внутренней обратной связи. Основное
назначение корректирующего устройства
– изменение динамических свойств
системы в направлении желаемых
характеристик, что проявляется в
изменении усиления по отдельным
гармоникам или только в той области
частот, которая оказывается существенной
для формирования той или иной динамической
характеристики. Влияние корректирующего
устройства на динамические свойства
систем проявляется так же в изменении
фазовой характеристики. Использование
корректирующих устройств наряду с
изменением коэффициента усиления в
разомкнутой цепи и изменением порядка
астатизма приводит в конечном итоге к
деформации частотных характеристик,
что и определяет коррекцию динамических
свойств системы.

Требования к
качеству САУ в установившемся и переходном
режиме:

Допустимая
статическая ошибка не более
0.005;

Допустимое
время регулирования не более T_{рег.

доп.}=0.997;

Допустимое
максимальное перерегулирование не
более
25%

Соседние файлы в папке курсовая работа

#
#
#
#
#
#
#
#
22.02.201418.4 Кб55ТАУ курсовая.mcd
#
#
#

Источник

ОШИБКИ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Виды ошибок регулирования и методы их снижения.

Расчеты статической ошибки εСт регулирования