Ошибки дискретизации сигнала

Основной
причиной преобразования аналоговой
информации в дискретную форму стало
невозможность улучшения качества
передачи данных в аналоговой форме.
Поэтому на смену аналоговой техники
передачи пришла цифровая техника. В
этой технике используется дискретная
модуляция исходных, непрерывных во
времени аналоговых процессов.
Рассматриваемый принцип импульсно
кодовой модуляции применяют в телефонии.
В этом случае дискретизация происходит
как по времени, так и по амплитуде.
Амплитуда исходной непрерывной функции
измеряется через заданный период
времени, за счёт этого происходит
дискретизация по времени, затем каждый
замер представляется в виде двоичного
числа, определённой разрядности, что
означает дискретизацию по значению.
Устройство, которое выполняет эту
функцию, называется АЦП. После чего
замеры передаются по линиям связи в
виде 0 и 1. При этом применяется те же
методы кодирования, что и при изначально
дискретной информации. На принимающей
стороне коды преобразуются в исходный
последовательности, а ЦАП производит
декодирование в аналоговый сигнал.

Дискретная
модуляция основана на теории отображения
Найквиста. В соответствии с этой теорией
аналоговая непрерывная функция,
переданная в виде последовательности
ей дискретных значений, может быть точно
восстановлена, если частота её
дискретизации была в 2 и более раз выше
частоты самой высокой гармоники спектра
её функции. В том случае, если это условие
не выполняется, то восстановленная
функция будет существенно отличаться
от исходной.

Ошибка
интерполяции равна разности исходного
задержанного процесса и восстановленного
процесса, причем задержка выбирается
такой, чтобы ошибка была минимальной.

∆_инт(t)
= x(t — t_опт)
— x_в(t).

В
системах с обратной связью задержка
восстановленного сигнала нежелательна.
Она может привести не только к увеличению
ошибок моделирования, но и к потере
устойчивости модели. В этом случае
ошибка определяется как:

∆_полн(t)
= x(t) — x_в(t)

и
называется полной ошибкой.

Так
как ошибки зависят от времени, то для
их числовой оценки используется
среднеквадратическая ошибка, усредненная
за время Т, в течение которого измеряется
ошибка.

5. Эффективное кодирование, назначения, способы реализации, основные ограничения.

Этот
вид кодирования используется для
уменьшения объемов информации на
носителе — сигнале.

Для
кодирования символов исходного алфавита
используют двоичные коды переменной
длины: чем больше частота символа, тем
короче его код. Эффективность кода
определяется средним числом двоичных
разрядов для кодирования одного символа
– l_ср
по формуле

где
k – число символов исходного алфавита;

n_s
– число двоичных разрядов для кодирования
символа s;

f_s
– частота символа s; причем

При
эффективном кодировании существует
предел сжатия, ниже которого не
«спускается» ни один метод эффективного
кодирования — иначе будет потеряна
информация. Этот параметр определяется
предельным значением двоичных разрядов
возможного эффективного кода – l_пр:

где
n – мощность кодируемого алфавита,

f_i
– частота i-го символа кодируемого
алфавита.

Существуют
два классических метода эффективного
кодирования: метод Шеннона-Фано и метод
Хаффмена. Входными данными для обоих
методов является заданное множество
исходных символов для кодирования с их
частотами; результат — эффективные коды.

Метод
Хаффмена построения эффективного кода
реализуется в два этапа: сворачивание
кода и разворачивание кода.

1.
Сворачивание кода.

Формируют
начальную последовательность символов
источника информации путём упорядочивания
по неубыванию вероятностей их появления
на выходе источника. Последние два
символа последовательности объединяют
в один с вероятностью появления на
выходе источника информации, равной
сумме вероятностей появления каждого
из этих символов. Эту операцию повторяют
итеративно до тех пор, пока в
последовательности не останется только
лишь два символа.

2.
Разворачивание кода.

Одному
символу приписываем код 0, а другому 1.
Каждый символ разбивается на две
последовательности в порядке, обратном
порядку сворачивания кода. Эту операцию
повторяют итеративно для каждой из
полученных двух последовательностей
до тех пор, пока имеется последовательность,
состоящая более чем из одного символа.
При этом кодовая комбинация каждой
дочерней последовательности получается
путём приписывания к кодовой комбинации
родительской последовательности символа
0 или 1 справа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

From Wikipedia, the free encyclopedia

In numerical analysis, computational physics, and simulation, discretization error is the error resulting from the fact that a function of a continuous variable is represented in the computer by a finite number of evaluations, for example, on a lattice. Discretization error can usually be reduced by using a more finely spaced lattice, with an increased computational cost.

Examples[edit]

Discretization error is the principal source of error in methods of finite differences and the pseudo-spectral method of computational physics.

When we define the derivative of as or , where is a finitely small number, the difference between the first formula and this approximation is known as discretization error.

[edit]

In signal processing, the analog of discretization is sampling, and results in no loss if the conditions of the sampling theorem are satisfied, otherwise the resulting error is called aliasing.

Discretization error, which arises from finite resolution in the domain, should not be confused with quantization error, which is finite resolution in the range (values), nor in round-off error arising from floating-point arithmetic. Discretization error would occur even if it were possible to represent the values exactly and use exact arithmetic – it is the error from representing a function by its values at a discrete set of points, not an error in these values.^[1]

References[edit]

See also[edit]

• Discretization
• Linear multistep method
• Quantization error

В численном анализе , вычислительной физики и моделирования , ошибка дискретизации есть ошибка в результате того факта , что функция из непрерывной переменной представляется в компьютере с помощью конечного числа оценок, например, на решетке . Ошибка дискретизации обычно может быть уменьшена за счет использования решетки с более мелкими интервалами, что увеличивает вычислительные затраты .

Примеры

Ошибка дискретизации является основным источником ошибок в методах конечных разностей и псевдоспектральном методе вычислительной физики.

Когда мы определяем производную как или , где — конечно малое число, разница между первой формулой и этим приближением называется ошибкой дискретизации.

При обработке сигналов аналогом дискретизации является дискретизация , и она не приводит к потерям, если выполняются условия теоремы дискретизации , в противном случае результирующая ошибка называется наложением .

Ошибка дискретизации, которая возникает из-за конечного разрешения в области, не следует путать с ошибкой квантования , которая представляет собой конечное разрешение в диапазоне (значениях), ни с ошибкой округления, возникающей из арифметики с плавающей запятой . Ошибка дискретизации возникла бы, даже если бы можно было точно представить значения и использовать точную арифметику — это ошибка представления функции ее значениями в дискретном наборе точек, а не ошибка в этих значениях.

Ссылки

Смотрите также

• Дискретность
• Линейный многоступенчатый метод
• Ошибка квантования

Московский государственный университет приборостроении и информатики (МГУПИ) Реферат По дисциплине «Информатика» Тема: иск етиза ия и квантование сигналов по ешности иск етиза иииквантования. Выполнил: студент первого курса очной формы обучения, направление 230100 Васильев мит ий Олегович Ст. преп. Каф. ИТ-4 Москва 2011 Министерство Образования и Науки Российской Федерации Проверил: Кукин М.А. 1.Введение В первой половине ХХ века при регистрации и обработке информации использовались, в основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие в реальном масштабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своей природы, применялось преобразование дискретных сигналов в аналоговую форму. Положение изменилось с распространением микропроцессорной техники и ЭВМ.

Цифровая регистрация и обработка информации оказалась более совершенной и точной, более универсальной, многофункциональной и гибкой. Мощь и простота цифровой обработки сигналов настолько преобладают над аналоговой, что преобразование аналоговых по природе сигналов в цифровую форму стало производственным стандартом. ~2,с.31 2.Види информиции Информация может быть двух видов: дискретная (цифровая) и не- информация прерывная (аналоговая).

Дискретная ~1,с.71 характеризуется последовательными точными значениями некоторой величины, а непрерывная — непрерывным процессом изменения некоторой величины. Непрерывную информацию может, например, выдавать датчик атмосферного давления или датчик скорости автомашины. Дискретную информацию можно получить от любого цифрового индикатора: электронных часов, счетчика магнитофона и т. и.

Дискретная информация удобнее для обработки человеком, но непрерывная информация часто встречается в практической работе, поэтому необходимо уметь переводить непрерывную информацию в дискретную (дискретизация) и наоборот. Модем (это слово происходит от слов модуляция и демодуляция) представляет собой устройство для такого перевода: он переводит цифровые данные от компьютера в звук или электромагнитные колебания-копии звука и наоборот. 3. Способы представления информации Непрерывный (аналоговый) способ представления информации- представление информации, в котором сигнал на выходе датчика будет меняться вслед за изменениями соответствующей физической величины.

Примером непрерывного сообщения служит человеческая речь, передаваемая модулированной звуковой волной; параметром сигнала в этом случае является давление, создаваемое этой волной в точке нахождения приемника — человеческого уха. Аналоговый способ представления информации имеет недостатки: Точность представления информации определяется точностью измерительного прибора (например, точность числа отображающего напряжение в электрической цепи, зависит от точности вольтметра).

Наличие помех может сильно исказить представляемую информацию. Дискретность (от лат. Йзсгегцзразделенный, прерывистый) — прерывность; противопоставляется непрерывности. Дискретное изменение величины во времени — это изменение, происходящее через определенные промежутки времени (скачками); система целых (в противоположность системе действительных чисел) является дискретной. Дискретный сигнал- сигнал, параметр которого принимает последовательное во времени конечное число значений (при этом все они могут быть пронумерованы). Сообщение, передаваемое с помощью таких сигналов — дискретным сообщением.

Информация передаваемая источником, в этом случае также называется дискретной информацией. 4.Дискретизация Дискретизация — преобразование непрерывной функции в дискретную. Используется в гибридных вычислительных системах и цифровых устройствах при импульсно-кодовой модуляции сигналов в системах передачи данных. При дискретизации только по времени, непрерывный аналоговый сигнал заменяется последовательностью отсчетов, величина которых может быть равна значению сигнала в данный момент времени.

Возможность точного воспроизведения такого представления зависит от интервала времени между отсчетами ЛГ. Согласно теореме Котельникова: 1 Х1 <— где гп«и: — наибольшая частота спектра сигнала. 12,с.51 При переводе непрерывной информации в дискретную важна так называемая частота дискретизации ч, определяющая период (Т=1/ч) определения значения непрерывной величины .

11,с.71 Чем выше частота дискретизации, тем точнее происходит перевод непрерывной информации в дискретную. Но с ростом этой частоты растет и размер дискретных данных, получаемых при таком переводе, и, следовательно, сложность их обработки, передачи и хранения. Однако для повышения точности дискретизации необязательно безграничное увеличение ее частоты. Эту частоту разумно увеличивать только до предела, определяемого теоремой Котельникова. Примером использования этой теоремы являются лазерные компакт-диски, звуковая информация на которых хранится в цифровой форме.

11,с.81 Согласно теореме Котельникова частоту дискретизации нужно выбрать не меньшей 40 КГц (в промышленном стандарте на компакт-диске используется частота 44.1 КГц). При преобразовании дискретной информации в непрерывную, определяющей является скорость этого преобразования: чем она выше, с тем более высокочастотными гармониками получится непрерывная величина. Но чем большие частоты встречаются в этой величине, тем сложнее с ней работать.

Например, обычные телефонные линии предназначены для передачи звуков частотой до 3 КГц. 11,с.8~ Устройства для преобразования непрерывной информации в дискретную обобщающе называются АЦП (аналого-цифровой преобразователь) или АОС (Апа1о8 1о Ирта1 Сопчег~ог, АЛ)), а устройства для преобразования дискретной информации в аналоговую — ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь) или ПАС (Иф1а1 1о Апа!о8 Сопчеггог, Р/А).

11,с.81 5. Э ТА ПБТ ДИСКРЕ ТИЗА ЦИИ Область определения функции разбивается точками х1, х2,, хп на отрезки равной длины и на каждом из этих отрезков значение функции принимается постоянным и равным, например, среднему значению на этом отрезке; полученная на этом этапе функция называется ступенчатой. Следующий шаг — проецирование значений «ступенек» на ось значений функции (ось ординат).

11олученная таким образом последовательность значений функции у1, у2,, уп является дискретным представлением непрерывной функции, точность которого можно неограниченно улучшать путем уменьшения длин отрезков разбиения области значений аргумента.[2,с.14~ У1 У» ~ а; ~~.1~,1 Х Рисунок 4 — Дискретизация Ось значений функции можно разбить на отрезки с заданным шагом и отобразить каждый из выделенных отрезков из области определения функции в соответствующий отрезок из множества значений.

В итоге получим конечное множество чисел, определяемых, например, по середине или одной из границ таких отрезков. Таким образом, любое сообщение может быть представлено как дискретное, иначе говоря, последовательностью знаков некоторого алфавита. Возможность дискретизации непрерывного сигнала с любой желаемой точностью (для возрастания точности достаточно уменьшить шаг) принципиально важна с точки зрения информатики. Компьютер — цифровая машина, т.е. внутреннее представление информации в нем дискретно.

Дискретизация входной информации (если она непрерывна) позволяет сделать ее пригодной для компьютерной обработки. Существуют и другие вычислительные машины аналоговые ЭВМ. Они используются обычно для решения задач специального характера и широкой публике практически не известны. Эти ЭВМ в принципе не нуждаются в дискретизации входной информации, так как ее внутренне представление у них непрерывно. В этом случае все наоборот — если внешняя информация дискретна, то ее перед использованием необходимо преобразовать в непрерывную.~2,с.151 б. Квантпвание ~2,с. б-8~ Квантование (англ.

с1папйкайоп) — в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование — разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования. Рисунок 1 — Квантованный сигнал Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации).

При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей (на графике — по горизонтали). Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает по уровню сигнала (на графике — по вертикали). Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Рисунок 3 — Цифровой сигнал При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае однородного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит = 6 дБ). 7.Погрешность квантования Начальный сигнал, приобретенный при амплитудной модуляции, состоит из импульсов, у каких амплитуда может лежать в границах некого ограниченного спектра значений. По данной причине для подготовки такового сигнала к шагу кодировки, когда каждый импульс в потоке преобразовывается в последовательность нулей и единиц, нужно применять ограниченную шкалу значений.

Нельзя 9 ждать, что каждый начальный импульс будет в точности совпадать с одним из значений в избранной шкале. Это значит, что некие импульсы должны быть скорректированы, и при всем этом для их не будет никакой сопровождающей информации, с помощью которой они могли бы в предстоящем быть восстановлены в начальное состояние. Такое несоответствие именуют ошибкой, либо погрешностью квантования.