Относительная ошибка измерения напряжения

Погрешность
измерения напряжения электронным
цифровым вольтметром состоит из ряда
отдельных погрешностей (меры,
преобразования, сравнения и др.).

Предел допускаемой
относительной погрешности цифровых
вольтметров обычно определяют по
следующей двучленной формуле:

где
U_k
– верхнее
значение поддиапазона, т. е. конечное
значение установленного предела
измерений;

U_x
– значение
измеряемого напряжения (показание
прибора);

А
и В
– постоянные коэффициенты, характеризующие
класс точности прибора.

Такой способ
определения (нормирования), применяемый
для точных приборов, наиболее полно
отражает характер изменения погрешности
в пределах поддиапазона измерения:
первое слагаемое определяет погрешность
измерения при больших значениях
измеряемой величины, а второе – при
малых. Так, например, относительная
погрешность измерения универсального
вольтметра В7 – 21 равна

%,

Если
измерять постоянное напряжение U_x

= 2В на
пределе измерения U_k
= 10В, то его
относительная погрешность составит
(0,2+0,1)% = 0,3%. В этом случае второе слагаемое
(относительная часть погрешности)
существенно влияет на общую относительную
погрешность измерения. Если на этом же
пределе измерять постоянное напряжение
U_x

= 8 В , то
его относительная погрешность составит
(0,2 + 0,025) % = 0,225 %. В этом случае второе
слагаемое не оказывает существенного
влияния на общую относительную погрешность
измерения, определяемую в основном
первым слагаемым (абсолютная часть
общей погрешности).

Универсальные
цифровые вольтметры позволяют измерять
постоянное и переменное напряжения,
постоянный и переменный токи, а также
сопротивление. Обычно погрешность
измерения переменного напряжения и
тока больше погрешности измерения
постоянного напряжения и тока. Погрешность
измерения может иметь различные значения
на разных пределах измерения и частотах
(разных диапазонах частот).

Классы
точности приборов, у которых пределы
допускаемых погрешностей выражаются
в процентах от значения измеряемой
величины, обозначаются двумя числами,
разделенными косой чертой; первое
представляет собой значение А,
второе – В.
Так, например,
если относительная погрешность измерения
напряжения вольтметром выражается
формулой %,
то класс точности этого прибора
обозначается (в кружочке) как 0,2/ 0,02.

Следует
отметить, что в технических описаниях
отдельных цифровых вольтметров приводятся
формулы для расчета погрешности измерения
в виде: 
= (% от U_x
+
m
единиц
счета), где m
– погрешность
дискретности, не зависящая от значения
измеряемой величины, выбирают из ряда
чисел 0,5; 1; 2. Такая форма выражения
зависимости погрешности для приборов
с дискретным счетом допускается ГОСТом.
Так, например, в техническом описании
электронного цифрового вольтметра типа
ВК7 – 10А (ВК7-10А/1) указывается, что основная
погрешность измерения постоянного
напряжения не более 
(0,1% / U_x
+1 единица младшей декады); в таких случаях
должны быть указаны цена единицы младшей
декады (разряда) на различных пределах
измерения. Боле удобно определять
погрешность измерения по приведенной
ранее двучленной форме.

Определение относительной погрешности измерений

Например:

Для x = 1, $7 pm 0,2$ относительная погрешность измерений

$δ = frac{0,2}{1,7} cdot 100 text{%} approx 11,8 text{%} approx 12 text{%}$ — погрешность достаточно велика.

Примеры

Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.

$$ δ = frac{1,2}{299 792 458} approx 4,0 cdot 10^{-9} $$

$$δ = 4,0 cdot 10^{-9} cdot 100 text{%} approx (4,0 cdot 10^{-7} ) text{%} $$

Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?

Для данного эксперимента $δ = frac{0,1}{10,0} cdot 100 text{%} = 1,0 text{%} $

Относительная погрешность по отношению к табличной величине:

$$ δ_{таб} = frac{|g-g_0 |}{g_0} cdot 100 text{%}, δ_{таб} = frac{|10,0-9,81|}{9,81} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

Согласно полученным результатам $9,9 le g le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.

Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?

Найдем относительные погрешности измерений:

$$ δ_M = frac{0,01}{3,63} cdot 100 text{%} approx 0,28 text{%} $$

$$ δ_m = frac{0,5}{41,2} cdot 100 text{%} approx 1,21 text{%} approx ↑1,3 text{%} $$

Таким образом, масса слона определена точнее.

Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.

Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:

$$ Delta V = V_0 cdot δ, Delta V = 5 cdot 0,005 = 0,025 (В) approx 0,03(В) $$

Границы точного значения:

$$ V = 5,00 pm 0,03 (В) или 4,97 le V le 5,03 (В) $$

7.2.Погрешности измерений. Номинальные величины и постоянные приборов. Условные обозначения электроизмерительных приборов.

7.2.1. Погрешности измерений и электроизмерительных прибо­ров.

Показания электроизмерительных приборов несколько от­личаются от действительных значений измеряемых величин. Это вызвано непостоянством параметров измерительной цепи (изменение тем­пературы, индуктивности и т. п.), несовершен­ством конструкции измерительного механизма (нали­чие трения и т. д.) и влиянием внешних факторов (внешние магнитные и электрические поля, изме­нение температуры окружающей среды и т. д.).

Разность между измеренным А_и и действительным А_д зна­чениями контролируемой величины называется абсолютной погрешностью измерения:

ΔА = А_и─ А_д.

Если не учитывать значения измеряемой величины, то абсо­лютная погрешность не дает пред­ставления о степени точности измерения. Действительно, предположим, что абсолютная пог­реш­ность при измерении напряжения составляет DU = 1 В. Ес­ли указанная погрешность получена при измерении напряжения в 100 В, то измерение произведено с достаточной степенью точности. Если же погрешность DU = 1 В получена при измере­нии напряжения в 2 В, то степень точности недоста­точна. По­этому погрешность измерения принято оценивать не абсолют­ной, а относительной погреш­ностью.

Относительная погрешность измерения представляет собой отношение абсолютной погрешно­сти к действительному значе­нию измеряемой величины, выраженное в процентах:

.                      (7.3)

Поскольку действительное значение измеряемой величины при измерении не известно, для оп­ределения ΔU и γ можно воспользоваться классом точности прибора, представляющим собой обоб­щенную характеристику средств измерений, опреде­ляемую предельными допустимыми погрешно­стями.

Рекомендуемые материалы

Амперметры, вольтметры и ваттметры подразделяются на восемь классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Цифра, обозначающая класс точности, определяет наибольшую положи­тельную или отрицательную основную приведенную погрешность, которую имеет данный прибор.

Под основной приведенной погрешностью прибора пони­мают абсолютную погрешность, вы­раженную в процентах по отношению к номинальной величине прибора:

                     (7.4)

Например, прибор класса точности 0,5 имеет γ_np= ±0,5%. Погрешность γ_пр называется основной, так как она гаранти­рована в нормальных условиях, под которыми понимают тем­пературу окружаю­щей среды 20 °С, отсутствие внешних маг­нитных полей, соответствующее положение прибора и т. д. При других условиях возникают дополнительные погрешности. По­грешность γ_пр называется приве­денной, потому что абсолютная погрешность независимо от значения измеряемой величины выража­ется в процентах по отношению к постоянной величине А_ном.

Сравнивая (7.3) и (7.4), нетрудно получить

.                              (7.5)

Из (7.5) следует, что относительная погрешность измерения зависит от действительного значе­ния измеряемой величины и возрастает при ее уменьшении. Вследствие этого надо ста­раться по воз­можности не пользоваться при измерении началь­ной частью шкалы прибора. В случае необходимо­сти измере­ния малых величин следует применять другие приборы.

Пример 7.1. Номинальное напряжение вольтметра U_ном= 150 В, класс точности 1,5. С помощью вольтметра измерено напря­жение U = 50 В.

Определить абсолютную и относительную величину погрешности измерения, а также действи­тельное значение напряжения.

Решение. Абсолютная погрешность измерения

.

Действительное значение напряжения может лежать в пределах

U_д = U_и ─ ΔU = (50 ± 2,25) В.

Относительная погрешность измерения

7.2.2. Номинальные величины приборов.

Наибольшие значения напряжений, токов и мощностей, которые могут быть измерены перечисленными приборами называются номинальными напряжениями U_ном, токами I_ном и мощностями P_ном соответственно вольтметров, амперметров и ваттметров.

Номинальная мощность ваттметра в отличие от его номи­нальных напряжения и тока указыва­ется не всегда. Для ваттме­тра номинальное напряжение представляет собой наибольшее напряжение, на которое может быть включена обмотка напря­жения; номинальным током явля­ется наибольший ток, на ко­торый рассчитана последовательная обмотка.

Если номинальная мощность ваттметра не дана, то ее мож­но подсчитать по номинальному на­пряжению и току:

P_ном= U_номI_ном .

7.2.3. Постоянные приборов.

Постоянная (цена деления) прибора представляет собой значение измеряемой величины, вызы­вающее от­клонение подвижной части прибора на одно деление шкалы. Постоянные вольтметра, ам­перметра и ваттметра могут быть определены следующим образом:

C_U = U_ном / N, вольт на одно деление;

C_I   = I_ном  / N, ампер на одно деление;

C_P = U_ном I_ном / N, ватт на одно деление;

где N — число делений шкалы соответственно вольтметра, амперметра и ваттметра.

Пример 7.2. Ваттметр имеет номинальное напряжение U_ном= 150 В, номинальный ток: I_ном = 5 А, число делений шкалы N = 150.

Определить номинальную мощность и постоянную ваттметра, а также его показание, если при измерении мощности подвижная часть отклонилась на N = 60 делений.

Решение. Номинальная мощность ваттметра  P_ном = U_ном I_ном  = 150 · 5 = 750 Вт .

Постоянная ваттметра C_P = P_ном / N = 750/150 = 5 Вт/дел.

Показание ваттметра при отклонении его подвижной части на N = 60 делений

P = C_P N = 5 · 60 = 300 Вт.

7.2.4. Чувствительность приборов.

Под чувствительностью приборов понимают число делений шкалы, приходящееся на единицу измеряемой величины. Чувствительность вольтметра, амперметра и ваттметра может быть опреде­лена следующим образом:

S_U = N /U_ном , делений на вольт;

S_I = N /I_ном , делений на ампер;

, делений на ватт.

Очевидно, что    S = 1/С.

7.2.5. Условные обозначения электроизмерительных приборов.

На лицевой стороне электроизмерительных приборов изобра­жен ряд условных обозначений, позволяющих правильно вы­брать прибор и дающих некоторые указания по их эксплуата­ции.

Согласно ГОСТ на лицевой стороне прибора должны быть изображены:

а) условное обозначение единицы измерения или измеряе­мой величины либо начальные буквы наименования прибора (табл. 7.1);

б) условное обозначение системы прибора (табл. 7.2);

в) условные обозначения рода тока и числа фаз, класса точ­ности прибора, испытательного на­пряжения изоляции, рабоче­го положения прибора, исполнения прибора в зависимости от условий эксплуатации, категории прибора по степени защищен­ности от внешних магнитных полей (табл. 7.3).

Таблица 7.1

Таблица 7.2

Таблица 7.3

Задача 1

Для
определения мощности в цепи постоянного тока были измерены напряжение сети U вольтметром класса точности N_B
с пределом измерений U_m, ток I амперметром класса точности N_a
с пределом измерений I_m. Определить
мощность, потребляемую приёмником, а также относительную и абсолютную
погрешности её определения.

Дано:

Найти:

Решение:

1)  Найдем
мощность, потребляемую приемником

2)  Класс
точности определяет приведенную погрешность

3)  Найдем
абсолютную погрешность измерения тока и напряжения

,

.

4)  Найдем
абсолютную погрешность измерения мощности при косвенном измерении

5)  Найдем
относительную погрешность измерения мощности

6)  Доверительный
интервал результата измерения с вероятностью .

Задача 2

Проведено пять
независимых наблюдений одного и того же напряжения U.
Найти результат измерения и доверительную вероятность того, что абсолютная
погрешность измерения не превышает по модулю DU. Систематической погрешностью можно пренебречь.

Дано:

Найти:

Решение:

1)  Определим
среднее арифметическое результатов измерения

2)  Определяем
среднее квадратичное результатов измерения

3)  Для
определения интервала и вероятности пользуются распределением Стьюдента, где
доверительный интервал равняется     , где

— коэффициент Стьюдента,

 — среднее квадратичное отклонение
результата измерения.

4)  Находим
доверительный интервал

5)  Результат
измерения

Задача 3

Обмотка
магнитоэлектрического измерительного механизма имеет сопротивление R_O  и рассчитана на предельный длительный ток I_O, при котором подвижная часть получает
наибольшее отклонение. Каким образом на базе указанного измерительного
механизма сделать амперметр с пределом измерений I_m
и вольтметр с пределом измерений U_m?

Дано:

Найти: ,

Решение:

1)  Расчет
измерительной цепи амперметра

1.1 
Определяем коэффициент расширения пределов измерения по току

1.2     Определяем сопротивление
шунта

1.3 
 Схема измерительной цепи

2)  Расчет
цепи вольтметра

2.1 Определяем коэффициент
расширения пределов измерения по напряжению

2.2  Определяем добавочное
сопротивление

2.3 
Схема включения

Задача 4

Определить
цену деления измерительных приборов:

1) амперметра, имеющего на шкале n_a делений и предел измерения I_m;

2)вольтметра, имеющего n_в делений шкалы и предел измерения U_m;

3) ваттметра, имеющего n_ВТ делений шкалы и пределы измерений по току I_{m ВТ} и напряжению U_m
ВТ.

Дано:

Найти:

Решение:

1) Цена деления
амперметра

2) Цена деления
вольтметра

3) Цена
деления ваттметра

Задача 5

У вольтметра и
амперметра с пределами измерений U_m и I_m, включенных соответственно через измерительные
трансформаторы напряжения 6000/100 и тока 600/5, отчёт по шкале составил U₂ и I₂.
Определить напряжение и ток в сети, а также предел допускаемой абсолютной и
относительной погрешностей измерения, если известны класс точности приборов N_a и N_в и
измерительных трансформаторов N_тн и N_тт. Привести схему измерения.

Дано:

Найти:

Решение:

1) Определим
коэффициенты трансформации трансформатора напряжения и тока

2) Определим
ток и напряжение в сети

3) Определим
абсолютные погрешности амперметра и вольтметра

4) Определяем
абсолютные погрешности коэффициентов трансформации трансформатора тока и
напряжения

5) Результирующие
абсолютные погрешности измерения тока и напряжения равны

6)
Относительные погрешности измерения тока и напряжения

Задача 6

Определить
относительные погрешности измерения сопротивления R_x
в цепи постоянного тока с помощью амперметра и вольтметра при подключении их
двумя возможными способами. Сопротивление амперметра – R_a,
вольтметра – R_в. Сделать вывод о
целесообразности использования той или иной схемы.

Дано:

Найти: .

Решение:

Принципиальные
схемы

 

Схема
1                                              Схема 2

1)  Для
схемы включения 1.

1.1. 
Измеренное сопротивление.

1.2. 
Определяем абсолютную погрешность.

1.3. 
Определяем относительную погрешность.