Относительная ошибка измерения скорости

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

Случайные погрешности в лабораторных работах по физике можно оценивать только с использованием калькулятора

О теории случайных погрешностей

Теория случайных погрешностей была создана К.Ф.Гауссом в первой половине XIX в. в связи с его занятиями астрономией и геодезией.

Напомним, что случайные погрешности δ_i = x_i — a проявляются при проведении серии измерений одной и той же физической величины в неизменных условиях одним и тем же методом.

Одним из фундаментальных положений теории Гаусса является «принцип арифметической середины». В соответствии с этим принципом за истинное значение величины а принимается среднее значение

при n → ∞, если метод не сопровождается систематическими погрешностями.

Для случайных погрешностей характерны следующие свойства:

1. Положительные и отрицательные случайные погрешности встречаются с одинаковой вероятностью, т. е. одинаково часто.
2. Среднее арифметическое из алгебраической суммы случайных погрешностей при неограниченном возрастании числа наблюдений стремится к нулю, т. е.

   

3. Малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются с большей вероятностью, чем большие.

Основная идея теории Гаусса может быть выражена следующим образом

Возможные конкретные значения случайной погрешности, как и сам результат измерения, предсказать невозможно. Однако после того как экспериментатор определил измеряемый параметр и метод его измерения, сразу «возник» объективный закон, неизвестный исследователю. Этот закон определяет совокупность случайных погрешностей, которые возникают в процессе измерений.

Всегда можно эмпирически (на конкретных опытах) выявить закон распределения случайных погрешностей, который обычно выражается в виде так называемой функции распределения f(δ). Этот закон позволяет определить вероятность, с которой погрешность может оказаться в интервале от δ₁ до δ₂. Вероятность эта равна площади заштрихованной криволинейной трапеции, представленной на графике функции распределения.

Гауссу удалось определить универсальный закон распределения, которому подчиняется огромный класс случайных погрешностей измерений самых разных величин различными методами.

Этот закон носит название нормального закона распределения. Конечно, существуют измерения, погрешность которых не распределена по нормальному закону. Однако всегда можно определить степень их отклонения от нормального закона.

Функция распределения φ(δ), открытая Гауссом, имеет следующие свойства:

1) Функция δ(φ) четная, т. е. δ-(φ-)δ(φ), и в силу этого симметрична относительно оси координат.

2) Функция δ(φ) имеет максимум при значениях случайной погрешности, равных нулю.

3) Функция δ(φ) имеет две точки перегиба, расположенные симметрично относительно оси координат. Координаты точек перегиба равны ±σ.

4) Касательные к кривой δ(φ) в точках перегиба отсекают на оси абcцисс отрезки, равные ±2σ.

5) Максимальное значение функции δ(φ) равно

6) Площадь под всей кривой δ(φ) стремится к 1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми, проходящими через точки δ_1,2 = ±σ, составляет 0,68 от всей площади; если прямые проходят через точки δ_3,4 = ±2σ, то площадь составляет 0,95; площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми δ_5,6 = ±3σ, равна 0,99.

Параметр σ, определяющий все фундаментальные свойства нормального закона, называется средним квадратическим отклонением. Этот параметр может быть определен после получения достаточно большой серии результатов измерений x₁, х₂, х₃, …, х_n. Тогда

Важность параметра σ состоит в том, что он позволяет определить границы случайных погрешностей. Действительно, вероятность получения случайных погрешностей, превосходящих по абсолютной величине 3σ, равна 1%.

При обычной организации измерений не представляется возможности провести не только бесконечно большое число измерений, но и провести просто большое их число.

Специальные исследования показали, что такая граница может быть определена при небольшом числе опытов в серии.

В такой серии из k измерений находят так называемую среднюю квадратичную погрешность

Затем Δх_кв увеличивают в S раз.

Число S называется коэффициентом Стьюдента (коэффициент был предложен в 1908 г. английским математиком В. С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом Стьюдент — студент). Коэффициент Стьюдента позволяет определить границу случайной погрешности серии: Δх_случ = S Δх_кв.

Таблица коэффициентов S для различного числа опытов в серии

Погрешность среднего арифметического

После проведения серии равноточных измерений и нахождения х_ср и σ легко определяется интервал, к которому с вероятностью 99% принадлежит результат любого следующего измерения. Этот интервал равен [х_ср ± 3σ], если в серии достаточно много измерений, и имеет вид [х_ср ± S Δх_кв] при небольшом числе опытов. Это означает, что 3σ (или S Δх_кв) характеризует погрешность каждого опыта серии. Итак, среднее квадратичное отклонение серии опытов есть погрешность каждого опыта серии. Именно поэтому вводится обозначение σ_х или ΔS_кв.х. Однако среднее арифметическое есть разумная комбинация всех измерений, и поэтому следует ожидать, что истинное значение находится в более узком интервале около х_ср, чем [x_cp ± 3σ_х].

Понять, почему должно быть именно так, помогут следующие рассуждения

Выполняется N серий по n опытов в каждой. В каждой серии из n опытов определяется среднее значение х_ср. Таких средних значений получается N: х_ср1, х_ср2, …, x_cpN. Для этой совокупности средних определяется среднее квадратичное отклонение

Величина σ_{х ср} характеризует предельное распределение средних значений, это и есть величина, которая позволяет найти интервал, в котором находится истинное значение измеряемой в опыте величины [х_ср ± 3σ_{х ср}]. На практике такая процедура никогда не реализуется не только потому, что это очень трудоемко, но и потому, что теория погрешностей позволяет по результатам одной серии определить погрешность среднего. Это делается на основе фундаментального результата теории погрешностей:

стандартное отклонение среднего σ_{х ср} в  раз меньше стандартного отклонения каждого опыта серии σ_х, т.е.

Итак, если в серии с достаточно большим числом опытов определено х_ср, то граница случайной погрешности среднего равна

Если в серии небольшое число опытов, то граница случайной погрешности среднего находится по формуле:

Все расчеты случайных погрешностей возможны только с использованием режима статистических расчетов (см. раздел «Статистические расчеты»), следуя методическим рекомендациям, приведенным ниже.

Использование калькулятора CASIO fx-82EX СLASSWIZ для оценки случайных погрешностей

1. Включаем калькулятор, клавиша [ON]
2. Нажимаем клавишу [SHIFT](SETUP)
3. Входим в режим статистики. Нажимаем клавишу [2]
4. Выбираем режим 1-Variable. Нажимаем клавишу [1]
5. Заполняем таблицу
6. Нажимаем клавишу [OPTN]
7. Выбираем режим 1-Variable. Нажимаем клавишу [3]
8. На дисплее получаем ряд характеристик
   8.1. Первая сверху — значение среднего значения
   8.2. Вторая снизу — случайная погрешность каждого опыта серии σ_х
9. Вычисляем погрешность среднего
   
10. Находим границу случайной погрешности среднего
    

Пример

Измерялась скорость тела, брошенного горизонтально. В десяти опытах были получены следующие значения дальности полета L (в мм): 250, 245, 250, 262, 245, 248, 262, 260, 260, 248. Дальность полета тела измерялась линейкой с основной погрешностью Δ₁ = 1мм. Высота, с которой брошено тело, в опыте равнялась Н = 1 м и измерялась мерной лентой с основной погрешностью Δ₂ = 1 см и ценой деления С₂ =1 см.

Решение

Сначала определим среднее значение дальности полета тела и вычислим его начальную скорость. Для этого сведем все данные в таблицу и проведем их первичную обработку.

Так как

Легко определить среднее значение скорости по результатам серии опытов:

Граница относительной погрешности измерения скорости:

В этой формуле ΔL — граница абсолютной погрешности измерения дальности полета, Δg — погрешность округления g, ΔН — погрешность прямого однократного измерения высоты.

ΔН = 1 см + 0,5 см = 1,5 см

ΔL складывается из погрешности линейки Δ₁ и случайной погрешности ΔL_случ.:

ΔL = Δ₁ + ΔL_случ.

Так как ΔL_кв = 7мм, то при оценке ΔL_случ. нет смысла учитывать погрешность линейки Δ₁ = 1мм.

Определим погрешность измерения скорости в любом однократном опыте, который можно провести на данной установке. В этом случае в формулу для ε_v следует вместо ∆L подставить его границу ∆L = S ∆L_кв. Здесь S = 3,2 (см. таблицу коэффициентов S для различного числа опытов в серии).

Имеем:

Первое слагаемое в этой сумме равно 0,09; слагаемое в скобках (0,01 + 0,0075) = 0,0175. Следовательно, ε_v = 0,09. Граница абсолютной погрешности каждого опыта серии не превосходит

ε_v = ε₀ = 0,565 ∙ 0,09 = 0,05 м/с

Это значит, если на данной установке провести еще один опыт, то гарантировать можно, что значение скорости, рассчитанное по его результатам, будет принадлежать интервалу [(0,56 — 0,05)м/с; (0,56 + 0,05)м/с].

Найдем границу случайной погрешности среднего значения скорости тела, брошенного горизонтально. Для этого в формулу для ε_v следует вместо ∆L подставить границу случайной погрешности среднего:

Таким образом,

Относительная погрешность среднего равна

0,027 + 0,01 + 0,0075

Последним слагаемым в этой сумме можно пренебречь. Итак, ср = 0,04 = 4%. Мы видим, что погрешность среднего в два раза меньше погрешности каждого опыта. Граница абсолютной погрешности среднего равна:

Таким образом, из серии 10 опытов по измерению скорости можно сделать вывод о том, что в любой другой такой серии из 10 опытов на данной установке среднее значение скорости будет находиться в интервале [(0,56 — 0,02)м/с; (0,56 + 0,02)м/с]. Этому же интервалу принадлежит неизвестное значение скорости, которое получится, если проделать серию с очень большим числом опытов, т. е. такое значение, которое можно назвать истинным значением.

Измерения. Классификация ошибок измерений

Скорость судна в процессе скоростных испытаний находят различными способами.

Широко распространено определение скорости судна на специальных мерных линиях, оборудованных береговыми секущими (поперечными) створами, расстояние между которыми точно известно. На мерной линии скорость судна определяют, по времени прохождения судном известного расстояния между створами. Этот способ — один из наиболее точных способов измерения скорости судна.

Известное применение имеют также кабельные мерные линии, являющиеся некоторой разновидностью упомянутых мерных линий с поперечными створами. На кабельной мерной линии судно проходит над электрическими кабелями, проложенными на дне фарватера поперек направления движения судна. По кабелям, расстояние между которыми должно быть точно известно, пропускают электрический ток. Специальная электронная аппаратура, установленная на судне, фиксирует момент прохождения судна над кабелем.

В последнее время для измерения скорости судна начали широко использовать различные радионавигационные системы, в частности фазовые.

Скорость судна с относительно меньшей точностью может быть также измерена с помощью собственной судовой радиолокационной станции, которая последовательно через короткие промежутки времени измеряет расстояние до какого-либо определенного объекта, хорошо отражающего радиоволны.

Измерение скорости судна по вееру пеленгов двух предметов или с помощью других штурманских методов, например по маякам, расстояние между которыми известно, не обладает достаточной точностью.

Все перечисленные и многие другие способы, включая и основной способ определения скорости судна на мерной линии, обладают одним общим недостатком, который заключается в том, что скорость судна находят относительно берега, а не воды. При этом на измерения накладывается трудно поддающееся точной оценке влияние ветровых или приливно-отливных течений. Между тем при проведении скоростных испытаний и для дальнейшего использования полученных данных необходимо знать скорость судна относительно окружающей его воды, т. е. при отсутствии течения. Поэтому условия и место проведения испытаний выбирают с таким расчетом, чтобы влияние течения было наименьшим или было направлено по возможности вдоль измерительного участка. В этих случаях пробеги судна на измерительных участках производятся во взаимопротивоположных направлениях и в определенной последовательности.

Несмотря на некоторую сложность определение скорости судна на мерной линии или с помощью радионавигационных средств всегда следует предпочитать измерению скорости с помощью штатных судовых и специальных лагов или гидрометрических вертушек вследствие низкой точности последних, хотя они и измеряют скорость судна непосредственно относительно воды.

Для скоростных испытаний следует использовать мерные линии, расположенные недалеко от места постройки или базирования судна, что позволит сэкономить время и топливо, необходимые для подхода к мерной линии. Кроме того, вследствие расхода топлива при переходе на отдаленную мерную линию трудно обеспечить заданное значение водоизмещения судна.

Глубина воды в районе мерной линии, т. е. ее измерительного участка и на подходе к нему (с обеих сторон), а также в районе поворота судна на обратный курс, должна быть достаточной для того, чтобы исключить влияние мелководья на сопротивление воды движению судна, а следовательно, на его скорость.

Известно [13], что система волн, создаваемая судном при его движении на мелководье, отличается от волновой системы на глубокой воде и Зависит от режима, характеризуемого так называемым числом Фруда на мелководье

где σ — скорость судна, м/с; g —ускорение свободного падения, м/с2; Н — глубина фарватера, м.

Изменение характера волнообразования приводит к увеличению или уменьшению сопротивления движению судна и, следовательно, влияет на его скорость.

Одновременно развивается встречное течение воды, увеличивающее скорость обтекания корпуса и, следовательно, сопротивление трения судна. Полное исключение влияния мелководья требует больших глубин мерной линии, которые не всегда удается обеспечить (табл. 1).

Таблица 1. Значения минимальной глубины мерной линии, м

Вследствие этого при определении минимально необходимых глубин обычно исходят из потери скорости, обусловленной влиянием мелководья, составляющей 0,1% от измеряемой величины. Для соблюдения этих условий по волновому сопротивлению должно быть принято значение Frh≥0,5, а по сопротивлению трения
Именно исходя из подобного подхода правила проведения
испытаний, разработанные 12-й Международной конференцией опытовых бассейнов, рекомендуют принимать минимально допустимую глубину на мерной линии большей, чем вычисленная по формулам
где В и Т — соответственно ширина и осадка судна. Аналогичный метод рекомендуется и отечественной нормалью ОН-792—68, однако формулы
записываются в виде
Мерная линия по возможности должна быть расположена в районе, защищенном от господствующих ветров и морского волнения. Наконец, обязательным условием является наличие достаточного пространства по обоим концам мерной линии, необходимого для свободного маневрирования судна по окончании пробега на измерительном участке, поворота на обратный курс и разгона после поворота.

Допускаемые отклонения глубины воды на подходах к измерительному участку мерной линии не должны превышать ±5%.

Линия пробега судна на мерной линии должна находиться не менее чем в двух-трех милях от прибрежных опасностей. Несоблюдение этого условия создает угрозу того, что судно на больших скоростях, даже в случае правильного маневрирования, при заклинивании руля может сесть на мель.

Удовлетворить всем перечисленным выше требованиям не всегда возможно, поэтому количество полноценных мерных линий весьма ограничено.

В табл. 2 приведены некоторые данные, характеризующие мерные линии ряда иностранных государств [71, 101]. Как видно из таблицы, длина измерительных участков этих линий различна, а глубины многих из них недостаточны для испытаний относительно быстроходных судов.

Таблица 2. Основные характеристики некоторых мерных линий

Мерные линии	Длина измерительного участка, миля	Истинный курс судна, град	Глубина мерной линии во время наиболее сильных отливов, м
Англия
Скельморли Гао-Лох Абс-Хид Полперро Портланд Устье р. Тайн Плимут	1 1 1 1,15 1,43 1 1	0 и 180 156 и 335 111 и 191 86 и 226 134 и 314 161 и 341 93 и 273	65—75 30—40 44—52 31—37 31 20 20—28
Дания
о. Борнгольм	1	—	70—80
Франция
Поркероль-Тайя:    1-й участок    2-й    3-й Круа-Тревиньон	3,50 2,36 4,70 5,6	48 и 228 48 и 228 48 и 228 120 и 300	70—80 70—80 70—80 40
США
Рокленд	1	0 и 180	—

На рис. 3 приведена схема мерной линии около Рокленда (США), на которой проводилось большое количество скоростных испытаний судов, в том числе исследовательских. Эта линия удовлетворяет большинству из перечисленных выше требований, однако она не защищена от западных ветров и вызываемого ими волнения. Длина измерительного участка равна одной морской миле (1852 м), длина каждого разгонного участка — трем морским милям. Мерная линия оборудована двумя береговыми поперечными (секущими) створами, перпендикулярными измерительному участку. Один из поперечных створов оборудован тремя знаками (щитами), другой — двумя.

Рис. 3. Схема мерной линии в Рокленде (США). Δ — створный знак.

Кроме того, вдоль линии пробега для ориентировки судоводителя расставлены вехи, указывающие границы разгонных и измерительного участков.

Многие мерные линии оборудуются так называемыми ведущими створами, на линии которых располагается измерительный участок. В настоящее время наличие ведущего створа не считается обязательным, хотя все еще существует мнение, что он необходим в тех случаях, когда в районе мерной линии имеется течение, не совпадающее с направлением мерной линии. Однако это мнение неправильно: простые геометрические построения показывают, что в этом случае при управлении судном по ведущему створу так же, как по компасу, судно проходит путь больший, чем расстояние между линиями створов. Именно поэтому выдвигается требование о том, чтобы направление течения совпадало с направлением мерной линии или во всяком случае составляло с ним угол, не превышающий 15—20°.

Створные знаки (рис. 4) мерных линий представляют собой щиты, которые устанавливают на такой высоте, чтобы их хорошо было видно с моря. Обычно передний щит, т. е. щит, расположенный ближе к измерительному участку мерной линии, устанавливается несколько ниже заднего с таким расчетом, чтобы в момент прохождения судна мимо створа щиты перекрывали друг друга, составляя в вертикальном направлении почти одно целое. По середине щитов наносят вертикальные ярко окрашенные полосы, которые также должны быть хорошо видны с моря.

Рис. 4. Створные знаки мерной линии.

1 — передний знак створа; 2 — задний знак створа.

Тем не менее наблюдатель, находящийся на судне, пересекающем под прямым углом поперечные створы мерной линии, практически не может абсолютно точно определить момент прохождения линии створа, т. е. момент, когда средние полосы щитов находятся на одной вертикальной прямой, как бы составляя продолжение друг друга.

Величина ошибки при определении момента полного накрытия средних полос щитов створа зависит [61] от так называемой линейной чувствительности створа (рис. 5).

Разрешающая сила нормального глаза равна одной угловой минуте. Нанесем на линии пробега судна по мерной линии (рис. 5) отрезок A1A2, соответствующий одной угловой минуте. В промежутке A1A2 угол между двумя знаками оказывается меньше одной минуты, и, следовательно, любая точка в этом промежутке может служить за отметку начала замера скорости. Величина ОА1=ОА2 называется линейной чувствительностью створа и обозначается в дальнейшем буквой W.

Приведем значения чувствительности секущих створов одной из зарубежных мерных линий:

Номер секущего створа Расстояние от наблюдателя до переднего створа, м Расстояние между створными знаками, м Чувствительность створов, м

1 3715 916 ± 10,9

2 3610 599 ± 14,7

3 4000 726 ± 15,1

Если принять чувствительность пары створов равной половине возможной абсолютной ошибки, то относительная погрешность длины мерного участка линии (створы 2—3) будет равна 0,4%.

Как видно из формулы (1.6), для уменьшения ошибки при определении расстояния между створами и, следовательно, увеличения чувствительности створов, необходимо, чтобы отношение Dc : d было как можно меньшим. Однако практически это отношение обычно не бывает меньше трех.

Чтобы оценить влияние ошибки при отсчете времени, а также влияние чувствительности створов и длины линии пробега на результаты измерения скорости, необходимо рассмотреть зависимость скорости судна от пути и времени
ν=s/t        (1.9)
где v — среднее арифметическое значение нескольких измерений скорости, м/с; s — среднее арифметическое значение пути, м; t — среднее арифметическое значение времени пробега, с.

Как известно, погрешность результата косвенных измерений (скорость подсчитывается по измеренному пути и времени) слагается из погрешностей результатов каждого прямого измерения, входящего в косвенное. При косвенных измерениях находят относительную погрешность (среднюю квадратическую, вероятную или предельную) каждого прямого измерения и вычисляют суммарную относительную погрешность косвенного измерения. Так, в данном случае

где εν — относительная погрешность измерения скорости, .%; εs — относительная погрешность измерения пути; εt — относительная погрешность измерения времени пробега.

Выражая относительные ошибки через вероятные, получим

или, после подстановки t = s/v .

где ρs — вероятная погрешность измерения пути, м; ρt — вероятная погрешность измерения времени пробега, с (согласно [25] ρt = 0,5 с). Вероятная погрешность измерения пути

если чувствительность обоих створов принимается одинаковой и равной полусумме их чувствительностей, а число пробегов на режиме равным трем.

Подставив эти значения в формулу (1.12) и преобразовав ее, получим

Таким образом, величина ошибки будет зависеть от трех составляющих: чувствительности секущих створов, длины пробега по мерной линии и скорости судна.

В качестве примера в табл. 3 приведены данные о точности измерение скорости судна на одной из мерных линий. На основании этих данных можно сделать вывод, что измеряемые скорости независимо от скорости судна определяются с большой степенью точности. Так, на участке мерной линии между вторым и третьим створами погрешности при измерении скорости составляют 0,35—0,40%. С увеличением длины мерной линии (участок между первым и вторым створами равен одной миле, между вторым и третьим створами — двум милям и между первым и третьим — трем милям) погрешность измерения скорости резко уменьшается.

Таблица 3. Точность измерения скорости судна на мерной линии, %

Скорость судна, уз	Средняя чувствительность створов, м
12,8 (участок между первым и вторым створами)	14,9 (участок между вторым и третьим створами)	13,0 (участок между первым и третьим створами)
8 12 16 20 24 28 32 36 30	0,58 0,59 0,61 0,63 0,66 0,69 0,72 0,75 0,79	0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,40 0,42 0,43	0,20 0,20 0,21 0,22 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26

Однако это не означает, что пробеги целесообразнее делать на длинных мерных линиях, так как при этом увеличиваются погрешности, вызванные возможной неравномерностью работы главных механизмов на большом промежутке пути и влиянием возмущающих внешних воздействий, приводящих к отклонению курса от прямолинейного.

При назначении длины измерительного участка мерной линии следует также учитывать, что в ходе скоростных испытаний (в случае отсутствия автоматической аппаратуры для регистрации показаний приборов) иногда необходимо не менее восьми—десяти раз измерить крутящий момент на гребном валу или один-два раза снять индикаторные диаграммы, а также несколько раз измерить частоту вращения гребных валов и определить некоторые параметры работы энергетической установки. На все это требуется не менее четырех минут. Таким образом, минимальную длину пробега s на мерной линии, являющуюся функцией времени, необходимого для выполнения указанных измерений и определения скорости судна, можно вычислить по формуле
s = 0,067νs       (1.15)
где νs — скорость судна, уз, s — пробег судна, мили.

Размерный коэффициент 0,067 соответствует приблизительно 4 мин, т. е. времени, необходимому для выполнения замеров.

4.2

4.2

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Доска почёта

---