Полная ошибка это физика

1. Полная погрешность прямых измерений

При измерениях
может быть несколько источников
погрешностей, поэтому важным является
вопрос о правилах нахождения суммарной
погрешности измерения по известным
значениям погрешностей составляющих
ее частей. В теории вероятностей
показывается, что если погрешность
измерений вызвана несколькими независимыми
друг от друга случайными причинами, то
полная абсолютная погрешность Δх
измеряемой величины определяется путем
суммирования квадратов складываемых
погрешностей по формуле

, (6)

где ∆х_сл
– случайная погрешность (2) прямых
измерений, ∆х_пр
– приборная погрешность.

Полная относительная
погрешность измерения

, (7)

где ε_сл,
ε_пр
– случайная и приборная относительные
погрешности.

При выполнении
расчетов для всех составляющих полной
погрешности выбирается одинаковое
значение доверительной вероятности.
Такая же вероятность будет и для полной
абсолютной погрешности Δх.
Из простых расчетов по формуле (7) следует,
что если какая-либо из складываемых
погрешностей в три и более раза меньше
другой, то ее вклад в полную погрешность
оказывается незначительным и такой
погрешностью можно пренебречь.

Иногда при
многократных измерениях получается
одно и то же значение измеряемой
физической величины. В этом случае
случайная погрешность не превышает
наименьшего значения, которое может
быть измерено данным прибором, а именно
– цены деления прибора, т.е. полная
погрешность целиком определяется
допустимой приборной погрешностью.

При обработке
результатов прямых измерений предлагается
следующий порядок операций.

1. Вычисляется
   среднее арифметическое значение из n
   результатов измерений

.

1. Определяются
   случайные отклонения

.

1. Предварительно
   определив по табл. 1 коэффициент Стьюдента
   для числа измерений n
   и доверительной вероятности Р = 0,95,
   рассчитывается случайная погрешность

.

1. Определяется
   приборная погрешность

.

1. Находится полная
   абсолютная погрешность результата
   измерений

.

1. Оценивается
   относительная погрешность результата
   измерений

.

7. Записывается
окончательный результат в виде:

,

.

Поскольку значения
физических величин, полученные в
результате измерений и обработки
результатов измерений, имеют погрешности,
они являются приближенными числами.
Перед окончательной записью результата
полученные при расчете числа следует
округлить, т. е. уменьшить количество
их значащих цифр. Так как найденные
значения погрешностей также являются
числами приближенными, то в соответствии
с точностью методов обработки результатов
измерений абсолютная погрешность
определяется не более чем до двух первых
значащих цифр. При простейших методах
обработки в вычисленной абсолютной
погрешности вторая цифра, как правило,
неверна. Поэтому абсолютную погрешность
округляют до одной значащей цифры.
Например, ΔL
= 0,467569 мм ≈ 0,5 мм;

ΔR
= 7,679 Ом ≈ 8 Ом.

Исключением из
этого правила являются погрешности,
первая цифра в значении которых единица.
Тогда во избежание грубой ошибки при
округлении в абсолютной погрешности
следует оставить две значащие цифры, а
в относительной – одну. Например, ΔL
= 0,167569 мм ≈ 0,17 мм; ΔR =
1,3791 Ом ≈ 1,4 Ом.

Знание погрешности
измерений позволяет правильно записать
окончательный ответ, оставив в нем
только верные и одну или две сомнительные
цифры. Последняя цифра результата и
последняя значащая цифра его абсолютной
погрешности должны принадлежать к
одному и тому же десятичному разряду.

Окончательный
результат измерений записывается вместе
с погрешностью и доверительной
вероятностью и должен иметь, например,
следующий вид:

L
= (1,12 ± 0,17) мм,
Р = 0,95

при округлении
погрешности до двух цифр, и

L
= (1,12 ± 0,04) мм, Р
= 0,95

при округлении
погрешности до одной значащей цифры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Обновлено: 05.06.2023

Свойства физического объекта (явления, процесса) определяются набором количественных характеристик — физических величин . Как правило, результат измерения представляет собой число , задающее отношение измеряемой величины к некоторому эталону . Сравнение с эталоном может быть как прямым (проводится непосредственно экспериментатором), так и косвенным (проводится с помощью некоторого прибора, которому экспериментатор доверяет). Полученные таким образом величины имеют размерность , определяемую выбором эталона.

Замечание. Результатом измерения может также служить количество отсчётов некоторого события, логическое утверждение (да/нет) или даже качественная оценка (сильно/слабо/умеренно). Мы ограничимся наиболее типичным для физики случаем, когда результат измерения может быть представлен в виде числа или набора чисел .

Взаимосвязь между различными физическими величинами может быть описана физическими законами , представляющими собой идеализированную модель действительности. Конечной целью любого физического эксперимента (в том числе и учебного) является проверка адекватности или уточнение параметров таких моделей.

1.1 Результат измерения

Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с общепринятым стандартным эталоном.

Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат x = x изм . Можно ли утверждать, что x изм — это длина стержня?

Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно, мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим и т.п.

Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть произведено абсолютно точно, то есть у любого измерения есть погрешность .

Об измеренной величине также часто говорят как об оценке , подчеркивая, что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.

Замечание. Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе 3 , но для более серьезного понимания следует обратиться к [ 5 ] .

где δ ⁢ x — абсолютная величина погрешности. Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале x ∈ ( x изм — δ ⁢ x ; x изм + δ ⁢ x ) с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о вероятностном содержании интервалов см. п. 2.2 ). Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать относительную величину погрешности:

Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах: ε = δ ⁢ x x ⋅ 100 % ).

Пример. Штангенциркуль — прибор для измерения длин с ценой деления 0 , 1 ⁢ мм . Пусть диаметр некоторой проволоки равен 0 , 37 мм. Считая, что абсолютная ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения можно будет записать как d = 0 , 40 ± 0 , 05 ⁢ мм (или d = ( 40 ± 5 ) ⋅ 10 — 5 ⁢ м ). Относительная погрешность составляет ε ≈ 13 % , то есть точность измерения весьма посредственная — поскольку размер объекта близок к пределу точности прибора.

О необходимости оценки погрешностей.

Измерим длины двух стержней x 1 и x 2 и сравним результаты. Можно ли сказать, что стержни одинаковы или различны?

Казалось бы, достаточно проверить, справедливо ли x 1 = x 2 . Но никакие два результата измерения не равны друг другу с абсолютной точностью! Таким образом, без указания погрешности измерения ответ на этот вопрос дать невозможно .

С другой стороны, если погрешность δ ⁢ x известна, то можно утверждать, что если измеренные длины одинаковы в пределах погрешности опыта , если | x 2 — x 1 | δ ⁢ x (и различны в противоположном случае).

Итак, без знания погрешностей невозможно сравнить между собой никакие два измерения, и, следовательно, невозможно сделать никаких значимых выводов по результатам эксперимента: ни о наличии зависимостей между величинами, ни о практической применимости какой-либо теории, и т. п. В связи с этим задача правильной оценки погрешностей является крайне важной, поскольку существенное занижение или завышение значения погрешности (по сравнению с реальной точностью измерений) ведёт к неправильным выводам .

В физическом эксперименте (в том числе лабораторном практикуме) оценка погрешностей должна проводиться всегда (даже когда составители задания забыли упомянуть об этом).

1.2 Многократные измерения

Проведём серию из n одинаковых ( однотипных ) измерений одной и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим ряд значений

Что можно сказать о данном наборе чисел и о длине стержня? И можно ли увеличивая число измерений улучшить конечный результат?

Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться на практике, величины < x i >почти наверняка окажутся различными . Причиной тому могут быть самые разные обстоятельства, например: у нас недостаточно остроты зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково; стенки стержня могут быть слегка неровными; у стержня может и не быть определённой длины, например, если в нём возбуждены звуковые волны, из-за чего его торцы колеблются, и т. д.

В такой ситуации результат измерения интерпретируется как случайная величина , описываемая некоторым вероятностным законом ( распределением ). Подробнее о случайных величинах и методах работы с ними см. гл. 2 .

По набору результатов 𝐱 можно вычислить их среднее арифметическое:

⟨ x ⟩ = x 1 + x 2 + … + x n n ≡ 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i .

(1.1)

Это значение, вычисленное по результатам конечного числа n измерений, принято называть выборочным средним. Здесь и далее для обозначения выборочных средних будем использовать угловые скобки.

Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как

Δ ⁢ x i = x i — ⟨ x ⟩ , i = 1 ⁢ … ⁢ n .

Разброс данных относительно среднего принято характеризовать среднеквадратичным отклонением :

s = Δ ⁢ x 1 2 + Δ ⁢ x 2 2 + … + Δ ⁢ x n 2 n = 1 n ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2

(1.2)

s 2 = ⟨ ( x — ⟨ x ⟩ ) 2 ⟩ .

(1.3)

Значение среднего квадрата отклонения s 2 называют выборочной дисперсией .

Будем увеличивать число измерений n ( n → ∞ ). Если объект измерения и методика достаточно стабильны, то отклонения от среднего Δ ⁢ x i будут, во-первых, относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательные отклонения будут встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении ( 1.1 ) почти все отклонения Δ ⁢ x i скомпенсируются и можно ожидать, что выборочное среднее при n ≫ 1 будет стремиться к некоторому пределу:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i = x ¯ .

Предельную величину среднеквадратичного отклонения при n → ∞ обозначим как

lim n → ∞ ⁡ 1 n ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2 = σ .

Замечание. В общем случае указанные пределы могут и не существовать. Например, если измеряемый параметр меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие случайные скачки и т. п. Такие ситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не останавливаемся.

Замечание. Если n мало ( n 10 ), для оценки среднеквадратичного отклонения математическая статистика рекомендует вместо формулы ( 1.3 ) использовать исправленную формулу (подробнее см. п. 5.2 ): s n — 1 2 = 1 n — 1 ⁢ ∑ i = 1 n Δ ⁢ x i 2 , (1.4) где произведена замена n → n — 1 . Величину s n — 1 часто называют стандартным отклонением .

Итак, можно по крайней мере надеяться на то, что результаты небольшого числа измерений имеют не слишком большой разброс, так что величина ⟨ x ⟩ может быть использована как приближенное значение ( оценка ) истинного значения ⟨ x ⟩ ≈ x ¯ , а увеличение числа измерений позволит уточнить результат.

Многие случайные величины подчиняются так называемому нормальному закону распределения (подробнее см. Главу 2 ). Для таких величин могут быть строго доказаны следующие свойства:

при многократном повторении эксперимента бо́льшая часть измерений ( ∼ 68%) попадает в интервал x ¯ — σ x x ¯ + σ (см. п. 2.2 ).

выборочное среднее значение ⟨ x ⟩ оказывается с большей вероятностью ближе к истинному значению x ¯ , чем каждое из измерений < x i >в отдельности. При этом ошибка вычисления среднего убывает пропорционально корню из числа опытов n (см. п. 2.4 ).

Упражнение. Показать, что s 2 = ⟨ x 2 ⟩ — ⟨ x ⟩ 2 . (1.5) то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата ⟨ x 2 ⟩ = 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i 2 и квадрата среднего ⟨ x ⟩ 2 = ( 1 n ⁢ ∑ i = 1 n x i ) 2 .

1.3 Классификация погрешностей

Чтобы лучше разобраться в том, нужно ли многократно повторять измерения, и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта, проанализируем источники и виды погрешностей.

В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае исследование будет существенно затруднено, если вообще возможно. Таким образом, многократные измерения необходимы для того, чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в существовании измеряемой величины как таковой.

Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту утеряна. Единственным способ борьбы с этим — это максимально подробное описание всего процесса измерений в лабораторном журнале . Подробнее об этом см. п. 4.1.1 .

При многократном повторении измерении одной и той же физической величины погрешности могут иметь систематический либо случайный характер. Назовём погрешность систематической , если она повторяется от опыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно меняется в процессе измерений. Случайные (или статистические ) погрешности меняются хаотично при повторении измерений как по величине, так и по знаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.

Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно выделить

инструментальные (или приборные ) погрешности , связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными условиями эксплуатации измерительных приборов;

методические погрешности , связанные с несовершенством теоретической модели явления (использование приближенных формул и моделей явления) или с несовершенством методики измерения (например, влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения);

1.3.1 Случайные погрешности

Случайный характер присущ большому количеству различных физических явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключения приборов. Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном повторении опыта — в виде хаотичных изменений ( флуктуаций ) значений < x i >.

Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислении среднего арифметического ( 1.1 ) эти отклонения скомпенсируются, и погрешность результирующего значения ⟨ x ⟩ будем меньше, чем погрешность отдельного измерения.

Случайные погрешности бывают связаны, например,

с особенностями используемых приборов : техническими недостатками (люфт в механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических цепях, тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки);

с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером);

с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность, неоднородность состава);

со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный распад, броуновское движение).

1.3.2 Систематические погрешности

Систематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить, исключить или уменьшить просто многократным повторением измерений. Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов ( инструментальная погрешность ), например, сдвигом нуля отсчёта по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-за износа или деформации деталей прибора, изменением параметров прибора во времени из-за нагрева и т.п. Во-вторых, их причиной может быть ошибка в интерпретации результатов ( методическая погрешность ), например, из-за использования слишком идеализированной физической модели явления, которая не учитывает некоторые значимые факторы (так, при взвешивании тел малой плотности в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда; при измерениях в электрических цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров и т. д.).

Систематические погрешности условно можно разделить на следующие категории.

Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычислены или измерены. При необходимости они могут быть учтены непосредственно: внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений. Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления.

Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна, но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически или экспериментально. Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму, совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.

Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимо учесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует, что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные опыты.

Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либо причинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении электронных приборов). Такие погрешности должны быть обязательно исключены посредством модификации методики измерения или замены приборов.

Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можно только многократной независимой проверкой измерений, разными методами и в разных условиях.

В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается, как правило, паспортными погрешностями приборов и теоретическими поправками к упрощенной модели исследуемого явления.

Точный учет систематической ошибки возможен только при учете специфики конкретного эксперимента. Особенное внимание надо обратить на зависимость (корреляцию) систематических смещений при повторных измерениях. Одна и та же погрешность в разных случаях может быть интерпретирована и как случайная, и как систематическая.

Пример. Калибровка электромагнита производится при помощи внесения в него датчика Холла или другого измерителя магнитного потока. При последовательных измерениях с разными токами (и соотственно полями в зазоре) калибровку можно учитыать двумя различными способами: • Измерить значение поля для разных токов, построить линейную калибровочную кривую и потом использовать значения, восстановленные по этой кривой для вычисления поля по току, используемому в измерениях. • Для каждого измерения проводить допольнительное измерения поля и вообще не испльзовать значения тока. В первом случае погрешность полученного значения будет меньше, поскльку при проведении прямой, отдельные отклонения усреднятся. При этом погрешность измерения поля будет носить систематический харрактер и при обработке данных ее надо будет учитывать в последний момент. Во втором случае погрешность будет носить статистический (случайный) харрактер и ее надо будет добавить к погрешности каждой измеряемой точки. При этом сама погрешность будет больше. Выбор той или иной методики зависит от конретной ситуации. При большом количестве измерений, второй способ более надежный, поскольку статистическая ошибка при усреднении уменьшается пропорционально корню из количества измерений. Кроме того, такой способ повзоляет избежать методической ошибки, связанной с тем, что зависимость поля от тока не является линейной.

Пример. Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру. В показаниях прибора будет присутствовать три типа погрешности: 1. Статистическая погрешность, связанная с дрожанием стрелки и ошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деления. 2. Систематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля. 3. Систематическая погрешность, связанная с неправильным коэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонением стрелки. Как правило приборы сконструированы таким образом, чтобы максимальное значение этой погрешности было так же равно половине цены деления (хотя это и не гарантируется).

Окончательный результат измерения должен быть представлен в стандартной форме записи. Для этого:

1. Абсолютную погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, если она не единица;

2. Если первая значащая цифра в абсолютной погрешности единица, то абсолютную погрешность представляют в виде числа с двумя значащими цифрами. Значащими цифрами числа называют все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля.

3. Числовое значение результата измерения представляется, так чтобы и среднее значение и абсолютная погрешность имели одинаковое число десятичных знаков после запятой. В стандартном виде для записи больших и малых чисел используют следующую запись:

а·10 n , где 1 ≤ а ≤ 10.

Среднее значение результата измерения округляют до того разряда, до которого округлена абсолютная погрешность.

4. Среднее значение результата представляют в виде числа, содержащего до запятой одну значащую цифру, умноженного на десять в соответствующей степени.

Например: (м). Среднее значение измеряемой величины = 6,24·10 -2 (м). Тогда стандартная запись окончательного результата измерений имеет вид:

Пусть в лабораторной работе измеряют силу тока в цепи амперметром, класс точности которого γ = 2,5%, а прибор показывает, что величина силы тока в цепи 2 А. Тогда = 2 А. Шкала прибора односторонняя, диапазон измерения равен 5 А. В этом случае погрешность измерения прибора, согласно соотношению (15) будет равна:

Абсолютная погрешность измерения это величина, всегда имеющая ту же единицу измерения, что и измеряемая физическая величина. Стандартная форма записи окончательного результата имеет вид:

Окончательный результат измерения должен быть представлен в стандартной форме записи. Для этого:

1. Абсолютную погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, если она не единица;

2. Если первая значащая цифра в абсолютной погрешности единица, то абсолютную погрешность представляют в виде числа с двумя значащими цифрами. Значащими цифрами числа называют все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля.

3. Числовое значение результата измерения представляется, так чтобы и среднее значение и абсолютная погрешность имели одинаковое число десятичных знаков после запятой. В стандартном виде для записи больших и малых чисел используют следующую запись:

а·10 n , где 1 ≤ а ≤ 10.

Среднее значение результата измерения округляют до того разряда, до которого округлена абсолютная погрешность.

4. Среднее значение результата представляют в виде числа, содержащего до запятой одну значащую цифру, умноженного на десять в соответствующей степени.

Например: (м). Среднее значение измеряемой величины = 6,24·10 -2 (м). Тогда стандартная запись окончательного результата измерений имеет вид:

Пусть в лабораторной работе измеряют силу тока в цепи амперметром, класс точности которого γ = 2,5%, а прибор показывает, что величина силы тока в цепи 2 А. Тогда = 2 А. Шкала прибора односторонняя, диапазон измерения равен 5 А. В этом случае погрешность измерения прибора, согласно соотношению (15) будет равна:

Абсолютная погрешность измерения это величина, всегда имеющая ту же единицу измерения, что и измеряемая физическая величина. Стандартная форма записи окончательного результата имеет вид:

Основными характеристиками измерительных приборов являются предел измерения и цена деления, а также – главным образом для электро-измерительных приборов – класс точности.

Предел измерения П – это максимальное значение величины, которое может быть измерено с помощью данной шкалы прибора. Если предел измерения не указан отдельно, то его определяют по оцифровке шкалы. Так, если рис. 2 изображает шкалу миллиамперметра, то его предел измерения равен 100 мА.

Рис.2

Цена деления Ц – значение измеряемой величины, соответствующее самому малому делению шкалы. Если шкала начинается с нуля, то

,

где N – общее количество делений (например, на рис. 2 N = 50). Если эта шкала принадлежит амперметру с пределом измерения 5 А, то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А). Если шкала принадлежит термометру и проградуирована в °С, то цена деления Ц = 100/50 = 2 (°С). Многие электроизмерительные приборы имеют несколько пределов измерения. При переключении их с одного предела на другой изменяется и цена деления шкалы.

Класс точности К представляет собой отношение абсолютной приборной погрешности к пределу измерения шкалы, выраженное в процентах:

. (7)

В зависимости от вида измерительного устройства абсолютная приборная погрешность определяется одним из нижеперечисленных способов.

2. На приборе указан класс точности. Согласно определению этой величины, из формулы (7) имеем

. (8)

Например, для вольтметра с классом точности 2,5 и пределом измерения 600 В абсолютная приборная ошибка измерения напряжения

.

3. Если на приборе не указаны ни абсолютная погрешность, ни класс точности, то в зависимости от характера работы прибора возможны два способа определения величины d х:

а) указатель значения измеряемой величины может занимать только определенные (дискретные) положения, соответствующие делениям шкалы (например, электронные часы, секундомеры, счетчики импульсов и т.п.). Такие приборы являются приборами дискретного действия, и их абсолютная погрешность равна цене деления шкалы: d х = Ц. Так, при измерении промежутка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с погрешность d t = 0,2 с;

б) указатель значения измеряемой величины может занимать любое положение на шкале (линейки, рулетки, стрелочные весы, термометры и т.п.). В этом случае абсолютная приборная погрешность равна половине цены деления: d х = Ц/2. Точность снимаемых показаний прибора не должна превышать его возможностей. Например, при показанном на рис. 3 положении стрелки прибора следует записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих случаях ошибка не превысит половины цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8 не имеют смысла.

4. Если какая-либо величина не измеряется в данном оыте, а была измерена независимо и известно лишь ее значение, то она является заданным параметром. Так, в работе 2.1 по определению коэффициента вязкости воздуха такими параметрами являются размеры капилляра, в опыте Юнга по интерференции света (работа 5.1) – расстояние между щелями и т.д. Погрешность заданного параметра принимается равной половине единицы последнего разряда числа, которым задано значение этого параметра. Например, если радиус капилляра r задан с точностью до сотых долей миллиметра, то его погрешность d r = 0,005 мм.

Погрешности косвенных измерений

В большинстве физических экспериментов искомая величина и не измеряется непосредственно каким-либо одним прибором, а рассчитывается на основе измерения ряда промежуточных величин x, y, z,… Расчет проводится по определенной формуле, которую в общем виде можно записать как

и = и ( x, y, z,…). (9)

В этом случае говорят, что величина и представляет собой результат косвенного измерения в отличие от x, y, z,…, являющихся результатами прямых измерений. Например, в работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости h рассчитывается по формуле

, (10)

где r_ш – плотность материала шарика; r_ж – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; D – диаметр шарика; t – время его падения в жидкости; l – расстояние между метками на сосуде. В данном случае результатами прямых измерений являются величины l, D и t, а коэффициент вязкости h – результат косвенного измерения. Величины r_ш, r_ж и g представляют собой заданные параметры.

Абсолютная погрешность косвенного измерения d и зависит от погрешностей прямых измерений d x, d y, d z…и от вида функции (9). Как правило, величину d и можно оценить по формуле вида

, (11)

где коэффициенты k_x , k_y , k_z ,… определяются видом зависимостей величины и от x, y, z,… Приведенная ниже табл. 3 позволяет найти эти коэффициенты для наиболее распространенных элементарных функций (a, b, c, n – заданные константы).

и(х)	kx

На практике зависимость (9) чаще всего имеет вид степенной функции

,

показатели степеней которой k, m, n,… – вещественные (положительные или отрицательные, целые или дробные) числа; С – постоянный коэффициент. В этом случае абсолютная приборная погрешность d и оценивается по формуле

, (12)

где – среднее значение величины и; – относительные приборные погрешности прямых измерений величин x, y, z,… Для подстановки в формулу (12) выбираются наиболее представительные, т.е. близкие к средним значения x, y, z,…

При расчетах по формулам типа (12) необходимо помнить следующее.

1. Измеряемые величины и их абсолютные погрешности (например, х и d х) должны быть выражены в одних и тех же единицах.

2. Расчеты не требуют высокой точности вычислений и должны иметь оценочный характер. Так, входящие в подкоренное выражение и возводимые в квадрат величины ( kE_x , mE_y , nE_z ,…) обычно округляются с точностью до двух значащих цифр (напомним, что ноль является значащей цифрой только тогда, когда перед ним слева есть хотя бы одна цифра, отличная от нуля). Далее, если одна из этих величин (например, | kE_x | ) по модулю превышает наибольшую из остальных ( | mE_y | , | nE_z | ,…) более чем в три раза, то можно, не прибегая к вычислениям по формуле (12), принять абсолютную ошибку равной . Если же одна из них более чем в три раза меньше наименьшей из остальных, то при расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.

Пример 2. Пусть при определении ускорения тела (см. пример 1) путь S измерялся рулеткой с ценой деления 1 мм, а время t – электронным секундомером. Тогда, в соответствии с изложенными в п.3, а, б (с. 13) правилами, погрешности прямых измерений будут равны

d S = 0,5 мм = 0,0005 м;

d t = 0,01 с.

Расчетную формулу (6) можно записать в виде степенной функции

a( S, t ) = 2×S 1 ×t – 2 ;

тогда на основании (12) погрешность косвенного измерения ускорения d а определится выражением

.

;

.

Очевидно, что в данном случае величиной E_S можно пренебречь и принять погрешность d а равной

Пример 3. Вернемся к определению коэффициента вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную формулу (10) можно представить в виде

,

где . Тогда для оценки приборной погрешности dh, согласно (12), получим выражение

, (13)

где .

Пренебрегая величиной Е_t , проведем расчет по формуле (13):

.

Полная ошибка. Окончательный результат измерений

В результате оценки случайной и приборной ошибок измерения величины х получено два доверительных интервала, характеризуемые значениями D_s x и d х. Результирующий доверительный интервал характеризуется полной абсолютной ошибкой D, которая, в зависимости от соотношения между величинами D_s x и d х, находится следующим образом.

. (14)

Запись окончательного результата измерений должна включать в себя следующие обязательные элементы.

1) Доверительный интервал вида

с указанием значения доверительной вероятности a . Величины и D выражаются в одних и тех же единицах измерения, которые выносятся за скобку.

2) Значение полной относительной погрешности

,

выраженное в процентах и округленное до десятых долей.

и запишем окончательный результат измерений:

.

Окончательный результат измерений имеет вид

Пример 6. При определении длины волны l лазерного излучения (работа 5.1) получено: при a = 0,95; dl = 1,86×10 — 5 мм. В данном случае значения приборной и случайной погрешностей близки между собой, поэтому полную ошибку найдем по формуле (14):

.

Округленное среднее будет равно мм. Оценим полную относительную ошибку

и запишем окончательный результат:

Timeweb — компания, которая размещает проекты клиентов в Интернете, регистрирует адреса сайтов и предоставляет аренду виртуальных и физических серверов. Разместите свой сайт в Сети — расскажите миру о себе!

Виртуальный хостинг

Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.

Производительность и масштабируемые ресурсы для вашего проекта. Персональный сервер по цене виртуального хостинга.

Выделенные серверы

Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.

В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

В результате i-го измерения (i – номер измерения) величины «Х”, получается приближенное число Х_i, отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Х_i = |Х_i – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале

Читайте также:

  

• Договор аренды земельного участка кратко

  

• Сет годин лидер есть в каждом кратко

  

• Экономист по сбыту обязанности кратко

  

• Латвия географическое положение кратко

  

• Монако отдых и туризм кратко

Погрешности измерения

Физика тесно связана с
экспериментом. В ней много опытов, наблюдений, и измерений. А где измерения,
там неизбежны погрешности. Как они влияют на результат?

Виды измерений.

Измерения бывают прямые и
косвенные.

 При прямом измерение
числовое значение искомой величины находят с помощью технического средства
измерения т.е. с помощью специального прибора, например линейки, термометра.

При косвенном измерении
числовое значение искомой величины рассчитывают по формуле содержащей величины,
которые могут быть  измерены прямым способом.

Виды
погрешностей:

Погрешности бывают трех
видов.

1.    
Погрешности
систематические. Они связаны с влиянием измерительного прибора на его показания; зависят
от конструкции и класса точности прибора выбранного метода измерения.

2.    
Погрешности
случайные. Происходят
вследствие флуктуаций: самопроизвольного беспорядочного отклонения  значений
измеряемых величин от их среднего значения. Бывают, например, при измерении
температуры,  силы тока. При многократных измерениях повторные результаты одной
и той же величины, измеренные в тех же условиях и тем же прибором, всегда
немного разнятся; в этой ситуации тоже возникают случайные погрешности.

3.    
Погрешности-промахи.
Их порождают
ошибки наблюдателя, неисправность прибора; они могут возникнуть, потому, что
стрелка прибора до начала измерения не стояла на нуле.

Причины
погрешностей.

При прямых измерениях
отклонение измеренного значения величины от истинного обусловлено такими
причинами:

·       
Неточностью
измерительного прибора,

·       
Его
неисправностью,

·       
Непостоянством
внешних условий эксперимента,

·       
Нарушением
правил измерения экспериментатора (например, неправильным положением глаза
относительно конца стрелки – указателя прибора, запаздыванием снятия
показания),

·       
Выбором
неудачной методики  проведения измерения.

При
косвенных измерениях к названным выше факторам прибавляются такие:

·       
Недостаточно
точное описание выведенной формулой происходящего в действительности процесса
вследствие идеализации условий протекания опыта,

·       
Использование
при расчетах округлений числовых значений

Понятия, их обозначения единицы
измерения.

·       
А_ист
– истинное значение физической величины. Оно всегда неизвестно;

·       
А_пр
– А_экс приближенное (измеренное )значение физической величины, полученное
путем измерения – прямого или косвенного. Его  называют также измеренным или
экспериментально полученным.

·       
∆А –
абсолютная погрешность измерения физической величины. Она показывает, на
сколько полученное при измерении приближенное значение А_экс отличается
от истинного А_ист.

·       
∆А_ин
– абсолютная инструментальная погрешность (т.е. погрешность, даваемая данным 
прибором). Ее иногда называют приборной погрешностью или погрешность средств
измерения.

·       
 ∆А_о—  
абсолютная погрешность отсчета. Происходит от недостаточно точного считывания
показаний прибора. Она равна в большинстве случаев половине цены деления
прибора, при измерении времени – цене деления секундомера или часов.

Все эти погрешности измеряют в тех же единицах, что и саму
измеряемую величину.

·       
ε – относительная
погрешность. Она показывает, какой процент абсолютная погрешность составляет от
приближенного экспериментально полученного значения измеренной величины.

Понятие
об этой погрешности вводят потому, что абсолютная погрешность не дает полного
представления о точности проведенного измерения.

Относительная
погрешность величина безразмерная – она выражается либо в долях, либо в
процентах.

Чем
меньше относительная погрешность, тем более точно выполнены измерения.

·       
Т –
точность измерений. Это характеристика качества измерений, отражающая  степень
близости результата к истинному значению измеряемой величины. Чем меньше
результат измерения отклоняется от истинного значения, тем выше точность (Т).
Точность – величина, обратная относительной погрешности, и также, как она
безразмерная. Т=1/ε

Основные положения, теории и формулы

·       
Полная абсолютная  погрешность измерения ∆А равна сумме
погрешностей: инструментальной, отсчета и метода измерения

                                                                                     
∆А=∆А_ин+∆А₀+∆А_мет

·       
В
школьных условиях  обычно  ∆А_мет абсолютную погрешность метода
измерения принимают равной нулю, но о возможности ее существования нужно
сообщить учащимся

·       
Число,
выражающее абсолютную погрешность ∆А измерения обычно округляют до одной
значащей цифры. Например, получено ∆А=0,13; записывают ∆А=0,1

·       
Результат измерения физической величины с учетом
абсолютной погрешности измерения записывают так:

                    А_ист=А_экс±∆А
,                                где ∆А=∆А_ин+∆А₀+∆А_мет

Результат измерения, записанный с
учетом погрешности,  округляют так, чтобы последняя цифра относилась к тому же
разряду, что и цифра погрешности. Например, получено А_экс=8,741 ∆А=±0,1;
результат записывают так: А_ист=8,7±0,1

Двойной знак перед ∆А означает, что
истинное значение измеряемой величины лежит в интервале:  от (А_экс-∆А)
до (∆А_экс+∆А)

Поясняет это положение рисунок. Левый
интервал ограничивает точка а, правый – b. Заштрихованная область аb – область, в пределах которой находится истинное значение искомой
величины А_ист.

(А_экс-∆А)
– нижняя граница искомой величины (А_ист). Она определяет число,
меньше которого не может быть значение А_ист.

(∆А_экс+∆А) – верхняя
граница искомой величины (А_ист). Она определяет число, больше
которого не может быть значение А_ист.

Формула для расчета относительной
погрешности ε такова:

                     или                         

Отсюда
вытекает: ∆А=ε*А_экс

Точность
измерения вычисляют по формуле: Т=1/ε

Способы определения погрешностей при
прямых измерениях

Значение инструментальной погрешности зависит от класса точности
прибора; его выражают числом n и
проставляют в ряде случаев на шкале в виде цифр, помещенных в кружке, например,
2,5               1,5.

Чтобы найти инструментальную
погрешность прибора, надо знать класс его точности n и предел измерения шкалы П. Расчет
ведут по формуле:

Выражение П/100 определяет численное значение одного
процента абсолютной погрешности прибора, а умножение этого значения на n (класс точности прибора) определяет всю абсолютную
инструментальную погрешность прибора.

Эта погрешность бывает со знаком «плюс» или «минус»,
но при вычислении абсолютной погрешности измерения ее берут со знаком «плюс».

Пример расчета ∆А_ин

Если П=5, n=1,5, то

Абсолютную
инструментальную погрешность школьных приборов, на которых не указан класс
точности, определяют по таблице (таблица находится в учебнике Г.Я. Мякишева,
Б.Б. Буховцева 10 класс, стр. 343).

Последовательность операций при
определение погрешностей

1.    
Узнать по
шкале прибора

a.    
Класс его
точности

b.    
Предел
измерения

2.   
Вычислить
инструментальную погрешность

3.    
Определить
погрешность отсчета ∆А_о (половина цены деления прибора)

4.    
Найти
абсолютную погрешность прямого измерения:

                            
∆А=∆А_ин+∆А_о

Округлить
ее численное значение до одной значащей цифры, записать.

5.    
Записать
результат измерения А с учетом абсолютной погрешности:

                          
А_ист=А_экс±∆А

6.    
Вычислить
относительную погрешность измерения ε:

                 

7.    
Рассчитать
точность измерения Т:

Т=1/ε

Способы нахождения погрешностей при
косвенных измерениях

	Формула для физической величины	Формула для погрешности
1	А=ВСD	+
2	А=
3	A=B+C
4

Абсолютная
погрешностей косвенных измерений определяется по формуле ∆А=А_прε

Упражнения в определении погрешности
при прямых измерениях  и в записи результатов.

Раздают учащимся разные средства измерения длин
(линейки – ученическую деревянную, металлическую, портновский сантиметр,
рулетку и т. д.)

Просят измерить длину каких-либо тел и записать
результат с учетом погрешностей.

Измерить длину одного и того же тела разными измерительными
средствами и сравнить результаты.

Результаты измерения длин

№ опыта	Измеряемое тело	Измерительный прибор	Результат измерения	∆А	ε
Вывод:

)

---

Добавил: Basilio (28.08.2010) | Категория: Механика

Просмотров: 41778 | Загрузок: 0
| Рейтинг: 5.0/3 |

Теги: эксперимент, измерение, ошибка, классификация