Предельная ошибка прогноза

Посчитать ошибку прогноза

4. Решение типовых задач

По районам региона приводятся данные за 200Х г. (табл. 1.1).

Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Х

Среднедневная заработная плата, руб., У

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.2).

;

YI—

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; .

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 8-10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателя от нуля: .

Определим случайные ошибки Ma, mb, :

;

;

.

; ;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

; ; ,

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т. е. A, B и Rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для A и B. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

; .

;

;

;

;

;

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры A и B, находясь в указанных границах, не принимают нулевые значения, т. е. не являются статистики незначимыми и существенно отличаются от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение промежуточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит:

тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

;

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным, но неточным, т. к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза (121/62,2).

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

— уравнение регрессии ;

— индекс корреляции ;

— остаточная дисперсия .

Требуется провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.3.

Почему мы не считаем MAPE, RMSE и другие математические ошибки при прогнозировании спроса

Когда перед компанией встают задачи прогнозирования спроса для управления товарными запасами, обычно появляется вопрос, связанный с выбором метода прогнозирования. Но как определить, какой метод лучше? Однозначного ответа на этот вопрос нет. Однако, исходя из нашей практики, самым распространенным методам оценки точности прогноза является средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE). Также используются средняя абсолютная ошибка (MAE) и средняя квадратичная ошибка прогнозирования (RMSE).

Ошибка прогноза в данном случае – это разница между фактическим значением спроса и его прогнозным значением. Т.е, чем больше будет ошибка прогнозирования, тем менее точен прогноз. Например, при ошибке прогнозирования 5%, точность прогноза будет составлять 95%. Изначально MAPE использовалась для прогнозирования временных рядов, которые имеют регулярное нормальное распределение, такие как, например, потребление электроэнергии. И только после ее стали применять для оценки прогноза спроса. На практике ошибку могут рассчитывать по каждой позиции товара, а также среднюю оценку по всем товарным группам.

Несмотря на то, что большинство компаний до сих пор используют вышеописанные методы для оценки, мы считаем, что они не достаточно корректны и не подходят для применения в реальном бизнесе. Для простоты изложения, выделим три ключевых момента, которые приводят к некорректным выводам при использовании вышеописанных методов оценки. Назовем их ошибка №1, №2 и №3. Сначала мы подробно опишем эти ошибки, а потом расскажем, как наши методы сравнения помогаю их ликвидировать.

О некорректности использования MAPE, RMSE и других распространенных ошибок

Ошибка № 1 заключается в том, что используемые методы больше относятся к математике, нежели к бизнесу, по той причине, что это обезличенные цифры (или проценты), которые ничего не говорят про деньги. Бизнесу же нужно принимать решения на основе выгоды, которую он получит в деньгах. Например, ошибка в 80% на первый взгляд звучит устрашающие. Но в реальности за ней могут скрываться совершенно разные вещи. Ошибка по гвоздям со стоимостью одного гвоздя в 0,5 рублей – это одни потери. Но они совершенно несопоставимы с потерями от продажи промышленного оборудования стоимостью 700 000 рублей с той же величиной ошибки прогнозирования. Ко всему прочему также больше значение имеет объем продукции, что тоже никак не учитывается данными ошибками прогнозирования.

Второй важный момент (ошибка №2), который не учитывают данные оценки прогнозирования – это заморозка денежных средств в запасах и недополученная прибыль от дефицита продукции на складе. Например, если мы прогнозируем продажу 20 колесных дисков, а по факту продали 15. То это одна цена ошибки – 5 колесных дисков, которые потребуют затраты на хранение на определенное время, и как следствие стоимость замороженных оборотных средств под определенный процент. Если рассмотреть обратную ситуацию – прогнозируем продажу 20 дисков, спрос составляет 25 штук. Это уже упущенная прибыль, которая составляет разницу сумм закупки и реализации продукции. По сути мы имеет одну и ту же ошибку прогнозирования, но результат от нее может быть совершенно разным.

Третий ключевой момент (ошибка №3) – описанные ошибки распространяются только на точечный прогноз спроса и не описывают страховой запас. А он в некоторых случаях может составлять от 20% до 70% от общих товарных запасов на складе. Поэтому, какой бы точный не был прогноз с точки зрения описанных выше методов, мы все равно не оцениваем точность страхового запаса, а значит реальные данные могут быть значительно искажены.

Критерии, привязанные к прибыльности бизнеса

Учитывая описанные выше недостатки ошибок прогнозирования, такой подход не является корректным и надежным для сравнения алгоритмов. Ко всему прочему он зачастую оторван от реального бизнеса. Используемый же нами подход позволяет оценить точность алгоритмов в деньгах, рассчитать стоимость ошибки прогнозирования на понятном для бизнеса языке финансов. Таким образом это позволяет нам ликвидировать ошибку №1.

В случае с ошибкой № 2, мы рассчитываем два различных значения. Если прогноз окажется меньше реального спроса, то он приведет к дефициту, экономический урон от которого рассчитывается, как количество недопроданных товаров, умноженное на разность цен закупки и реализации. Например, вы закупаете колесные диски по 3000 рублей за штуку и продаете по 4000. Прогноз на месяц составил 1000 дисков, реальный спрос оказался 1200 штук. Экономический урон будет равен:

(1200-1000)*(4000-3000)=200 000 рублей.

В случае превышения прогноза над реальным спросом компания понесет убытки по хранению продукции. Экономический урон будет равен сумме затрат на нереализованную продукцию, помноженную на ставку альтернативных вложений за этот период. Предположим, что реальный спрос в предыдущем примере оказался 800 дисков и вам пришлось хранить диски еще один месяц. Пусть ставка альтернативных вложений составляет 20% в год. Тогда экономический урон будет равен

(1000-800)*3000*0,2/12=10 000 рублей.

Соответственно, в каждом конкретном случае, мы будет учитывать одно из этих значений.

Для того, чтобы ликвидировать ошибку № 3, мы сравниваем алгоритмы с использованием понятия уровень сервиса. Уровень сервиса (здесь и далее — уровень сервиса II рода, fill rate) – это доля спроса, которую мы гарантировано покроем с использованием имеющихся на складе запасов в течении периода их пополнения. Например, уровень сервиса 90% означает, что мы удовлетворим 90% спроса. На первый взгляд может показаться логичным, что уровень сервиса всегда должен составлять 100%. Тогда и прибыль будет максимальна. Но в реальных ситуациях зачастую дело обстоит иначе: удовлетворение 100% уровня сервиса приводит к сильному перезатариванию склада, а для товаров с ограниченными сроками годности еще и к списанию. И убытки от затрат на хранение, списания просроченной продукции и недополученной прибыли от вложения свободных денег в итоге снизят прибыть от реализации, в случае если бы мы поддерживали уровень сервиса 95%. Нужно заметить, что для каждой отдельной позиции товаров будет свой оптимальный уровень сервиса.

Подробнее о уровне сервиса, его видах и примерах расчета читайте в статье «Что такое уровень сервиса и почему он важен.»

Так как страховой запас может составлять значительную долю, его нельзя игнорировать при сравнении алгоритмов (как это делается при расчете ошибок MAPE, RMSE и т.д.). Поэтому мы делаем сравнение не прогноза, а оптимального запаса с заданным уровнем сервиса. Оптимальный запас для заданного уровня сервиса – это такое количество товаров, которое нужно хранить на складе, чтобы получить максимум прибыли от реализации товаров и одновременно сократить издержки на хранение до минимума.

В качестве основного критерия (критерий №1) качества прогнозирования мы используем суммарное значение потерь для заданного уровня сервиса, о котором писали выше (исправление ошибки №2). Таким образом мы оцениваем потери в денежном выражении при использовании данного конкретного алгоритма. Чем меньше потери — тем точнее работает алгоритм.

Здесь нужно заметить, что для разных уровней сервиса оптимальный запас тоже может различаться. И в одном случае прогноз будет точно в него попадать, а в другом возможны перекосы в большую, либо меньшую сторону. Так как многие компании не рассчитывают оптимальный уровень сервиса, а используют заданный заранее, значение основного критерия мы вычисляем для всех самых распространенных уровней сервиса: 70%, 75%, 80%, 85%, 90%, 95%, 98%, 99% и суммируем потери. Таким образом мы можем проверить, насколько хорошо в целом работает модель.

Для компаний, которые, считают оптимальный уровень сервиса мы используем дополнительный критерий (критерий №2) для оценки. В общем виде он выглядит как соотношение потерь на оптимальном уровне сервиса по ожидаемому (модельному) распределению продаж и по реальному распределению продаж (по факту). Прогнозируемое значение оптимального уровня сервиса не всегда соответствует оптимальному значению уже на реальном распределении продаж. Поэтому мы должны сравнивать ошибку между прогнозом объема продаж на оптимальном (по модели) уровне сервиса и реальным объемом продаж, обеспечивающим оптимальное значение уровня сервиса по реальным данным.

Что проиллюстрировать применение данного критерия, вернемся к нашему примеру с дисками. Предположим, что прогнозное значение оптимального уровня сервиса для него составляет 90%, а оптимальный объем запаса для этого случая примем равным 3000 колесных дисков. Пусть в первом случае реальный уровень сервиса оказался выше прогнозного и составил 92%. Соответственно объем заказов также вырос и составил 3300 дисков. Ошибка прогнозирования будет рассчитываться как разность между реальным и фактическим объемом продаж, умноженная на разность цен реализации. Итого, мы имеем:

(3300-3000)*(4000-3000)=300 000 рублей.

Теперь представим обратную ситуацию: реальный уровень сервиса оказался меньше прогнозного и составил 87%. Реальный объем продаж при этом составил 2850 дисков. Ошибка прогнозирования будет рассчитана, как сумма затрат на нереализованную продукцию, умноженную на ставку альтернативных вложений за этот период (в качестве примера берем период сроком месяц и ставку равную 20% годовых). Итоговое значение критерия будет равно:

(3000-2850)*3000*0,2/12 = 7500 рублей

Конечно, в идеальном случае, мы должны рассчитывать ошибку только при оптимальном уровне сервиса, между прогнозным и реальным значениями. Но так как не все компании еще перешли на оптимальный уровень сервиса, мы вынуждены использовать два критерия.

Используемые нами критерии в отличие от классических математических ошибок, показывают суммарные потери в деньгах при применении той или иной модели. Соответственно, наилучшей будет модель, которая обеспечивает минимальные потери. Такой подход позволят бизнес-пользователям оценить работу различных алгоритмов на понятном им языке.

Пример сравнения точности прогнозирования системы Forecast NOW c методом ARIMA (на базе номенклатуры бытовой химии):

Методы оценки качества прогноза

Часто при составлении любого прогноза — забывают про способы оценки его результатов. Потому как часто бывает, прогноз есть, а сравнение его с фактом отсутствует. Еще больше ошибок случается, когда существуют две (или больше) модели и не всегда очевидно — какая из них лучше, точнее. Как правило одной цифрой (R 2 ) сложно обойтись. Как если бы вам сказали — этот парень ходит в синей футболке. И вам сразу все стало про него ясно )

В статьях о методах прогнозирования при оценке полученной модели я постоянно использовал такие аббревиатуры или обозначения.

• R 2
• MSE
• MAPE
• MAD
• Bias

Попробую объяснить, что я имел в виду.

Остатки

Суровые MSE и R 2

Когда нам требуется подогнать кривую под наши данные, то точность этой подгонки будет оцениваться программой по среднеквадратической ошибке (mean squared error, MSE). Рассчитывается по незамысловатой формуле

где n-количество наблюдений.

Соотвественно, программа, рассчитывая кривую подгонки, стремится минимизировать этот коэффициент. Квадраты остатков в числителе взяты именно по той причине, чтобы плюсы и минусы не взаимоуничтожились. Физического смысла MSE не имеет, но чем ближе к нулю, тем модель лучше.

Вторая абстрактная величина это R 2 — коэффициент детерминации. Характеризует степень сходства исходных данных и предсказанных. В отличии от MSE не зависит от единиц измерения данных, поэтому поддается сравнению. Рассчитывается коэффициент по следующей формуле:

где Var(Y) — дисперсия исходных данных.

Безусловно коэффициент детерминации — важный критерий выбора модели. И если модель плохо коррелирует с исходными данными, она вряд ли будет иметь высокую предсказательную силу.

MAPE и MAD для сравнения моделей

Статистические методы оценки моделей вроде MSE и R 2 , к сожалению, трудно интерпретировать, поэтому светлые головы придумали облегченные, но удобные для сравнения коэффициенты.

Среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation, MAD) определяется как частное от суммы остатков по модулю к числу наблюдений. То есть, средний остаток по модулю. Удобно? Вроде да, а вроде и не очень. В моем примере MAD=43. Выраженный в абсолютных единицах MAD показывает насколько единиц в среднем будет ошибаться прогноз.

MAPE призван придать модели еще более наглядный смысл. Расшифровывается выражение как средняя абсолютная ошибка в процентах (mean percentage absolute error, MAPE).

где Y — значение исходного ряда.

Выражается MAPE в процентах, и в моем случае означает, что в модель может ошибаться в среднем на 16%. Что, согласитесь, вполне допустимо.

Наконец, последняя абсолютно синтетическая величина — это Bias, или просто смещение. Дело в том, что в реальном мире отклонения в одну сторону зачастую гораздо болезненнее, чем в другую. К примеру, при условно неограниченных складских помещениях, важнее учитывать скачки реального спроса вверх от спрогнозированных значений. Поэтому случаи, где остатки положительные относятся к общему числу наблюдений. В моем случае 44% спрогнозированных значений оказались ниже исходных. И можно пожертвовать другими критериями оценки, чтобы минимизировать этот Bias.

Можете попробовать это сами в Excel и Numbers

Интересно узнать — какие методы оценки качества прогнозирования вы используете в своей работе?

Ошибка прогнозирования: виды, формулы, примеры

Ошибка прогнозирования — это такая величина, которая показывает, как сильно прогнозное значение отклонилось от фактического. Она используется для расчета точности прогнозирования, что в свою очередь помогает нам оценивать как точно и корректно мы сформировали прогноз. В данной статье я расскажу про основные процентные «ошибки прогнозирования» с кратким описанием и формулой для расчета. А в конце статьи я приведу общий пример расчётов в Excel. Напомню, что в своих расчетах я в основном использую ошибку WAPE или MAD-Mean Ratio, о которой подробно я рассказал в статье про точность прогнозирования, здесь она также будет упомянута.

В каждой формуле буквой Ф обозначено фактическое значение, а буквой П — прогнозное. Каждая ошибка прогнозирования (кроме последней!), может использоваться для нахождения общей точности прогнозирования некоторого списка позиций, по типу того, что изображен ниже (либо для любого другого подобной детализации):

Алгоритм для нахождения любой из ошибок прогнозирования для такого списка примерно одинаковый: сначала находим ошибку прогнозирования по одной позиции, а затем рассчитываем общую. Итак, основные ошибки прогнозирования!

MPE — Mean Percent Error

MPE — средняя процентная ошибка прогнозирования. Основная проблема данной ошибки заключается в том, что в нестабильном числовом ряду с большими выбросами любое незначительное колебание факта или прогноза может значительно поменять показатель ошибки и, как следствие, точности прогнозирования. Помимо этого, ошибка является несимметричной: одинаковые отклонения в плюс и в минус по-разному влияют на показатель ошибки.

1. Для каждой позиции рассчитывается ошибка прогноза (факт вычитается из прогноза) — Error
2. Для каждой позиции рассчитывается процентная ошибка прогноза (ошибка прогноза делится на фактический показатель) — Percent Error
3. Находится среднее арифметическое всех процентных ошибок прогноза (процентные ошибки суммируются и делятся на количество) — Mean Percent Error

MAPE — Mean Absolute Percent Error

MAPE — средняя абсолютная процентная ошибка прогнозирования. Основная проблема данной ошибки такая же, как и у MPE — нестабильность.

1. Для каждой позиции рассчитывается абсолютная ошибка прогноза (факт вычитается из прогноза по модулю) — Absolute Error
2. Для каждой позиции рассчитывается абсолютная процентная ошибка прогноза (абсолютная ошибка прогноза делится на фактический показатель) — Absolute Percent Error
3. Находится среднее арифметическое всех абсолютных процентных ошибок прогноза (абсолютные процентные ошибки суммируются и делятся на количество) — Mean Absolute Percent Error

Вместо среднего арифметического всех абсолютных процентных ошибок прогноза можно использовать медиану числового ряда (MdAPE — Median Absolute Percent Error), она наиболее устойчива к выбросам.

WMAPE / MAD-Mean Ratio / WAPE — Weighted Absolute Percent Error

WAPE — взвешенная абсолютная процентная ошибка прогнозирования. Одна из «лучших ошибок» для расчета точности прогнозирования. Часто называется как MAD-Mean Ratio, то есть отношение MAD (Mean Absolute Deviation — среднее абсолютное отклонение/ошибка) к Mean (среднее арифметическое). После упрощения дроби получается искомая формула WAPE, которая очень проста в понимании:

1. Для каждой позиции рассчитывается абсолютная ошибка прогноза (факт вычитается из прогноза, по модулю) — Absolute Error
2. Находится сумма всех фактов по всем позициям (общий фактический объем)
3. Сумма всех абсолютных ошибок делится на сумму всех фактов — WAPE

Данная ошибка прогнозирования является симметричной и наименее чувствительна к искажениям числового ряда.

Рекомендуется к использованию при расчете точности прогнозирования. Более подробно читать здесь.

RMSE (as %) / nRMSE — Root Mean Square Error

RMSE — среднеквадратичная ошибка прогнозирования. Примерно такая же проблема, как и в MPE и MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня. Но так как MSE дает расчетные единицы измерения в квадрате, то использовать данную ошибку будет немного неправильно.

1. Для каждой позиции рассчитывается квадрат отклонений (разница между фактом и прогнозом, возведенная в квадрат) — Square Error
2. Затем рассчитывается среднее арифметическое (сумма квадратов отклонений, деленное на количество) — MSE — Mean Square Error
3. Извлекаем корень из полученного результат — RMSE
4. Для перевода в процентную или в «нормализованную» среднеквадратичную ошибку необходимо:
   1. Разделить на разницу между максимальным и минимальным значением показателей
   2. Разделить на разницу между третьим и первым квартилем значений показателей
   3. Разделить на среднее арифметическое значений показателей (наиболее часто встречающийся вариант)

MASE — Mean Absolute Scaled Error

MASE — средняя абсолютная масштабированная ошибка прогнозирования. Согласно Википедии, является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и является симметричной: то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени.

Важно! Если предыдущие ошибки прогнозирования мы могли использовать для нахождения точности прогнозирования некого списка номенклатур, где каждой из которых соответствует фактическое и прогнозное значение (как было в примере в начале статьи), то данная ошибка для этого не предназначена: MASE используется для расчета точности прогнозирования одной единственной позиции, основываясь на предыдущих показателях факта и прогноза, и чем больше этих показателей, тем более точно мы сможем рассчитать показатель точности. Вероятно, из-за этого ошибка не получила широкого распространения.

Здесь данная формула представлена исключительно для ознакомления и не рекомендуется к использованию.

Суть формулы заключается в нахождении среднего арифметического всех масштабированных ошибок, что при упрощении даст нам следующую конечную формулу:

Также, хочу отметить, что существует ошибка RMMSE (Root Mean Square Scaled Error — Среднеквадратичная масштабированная ошибка), которая примерно похожа на MASE, с теми же преимуществами и недостатками.

Это основные ошибки прогнозирования, которые могут использоваться для расчета точности прогнозирования. Но не все! Их очень много и, возможно, чуть позже я добавлю еще немного информации о некоторых из них. А примеры расчетов уже описанных ошибок прогнозирования будут выложены через некоторое время, пока что я подготавливаю пример, ожидайте.

Эконометрика — это быстро развивающаяся отрасль науки, характеризующаяся математическим описанием рядов экономических данных и представлением таких данных в геометрической или графической форме.

Термин «эконометрика» был впервые использован в 1910 году. Эконометрика означает измерение экономики. Предпосылкой для возникновения эконометрики послужила давняя необходимость получить достаточное представление о количественных взаимосвязях в современной экономической жизни, которое не могли дать статистика, экономическая теория и математика по отдельности. Это подчеркивает междисциплинарный характер предмета. Кроме того, предпосылками возникновения эконометрики являются развитие количественных методов в экономических исследованиях, накопление бухгалтерских и статистических данных, а также создание современной микро- и макроэкономики. Современная экономика определяет эконометрику как «науку о моделировании экономических явлений для объяснения и прогнозирования их развития, а также для выявления и измерения их детерминант». Таким образом, эконометрика — это наука об измерении и анализе экономических явлений и экономических отношений с помощью математических и статистических методов.

Если у вас нет времени на выполнение заданий по эконометрике, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в whatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Ответы на вопросы по заказу заданий по эконометрике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам — я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете «Эконометрика«, если у вас есть желание и много свободного времени!

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по эконометрике:
2. Парная регрессия и корреляция
3. Задача 1
4. Решение:
5. Задача 2
6. Решение:
7. Задача 3
8. Решение:
9. Множественная регрессия и корреляция
10. Задача 4
11. Решение:
12. Задача 5
13. Решение:
14. Задача 6
15. Реализация типовых задач на компьютере
16. Система эконометрических уравнений
17. Задача 7
18. Решение:
19. Задача 8
20. Решение:
21. Задача 8
22. Решение:
23. Задача 9
24. Решение:

Парная регрессия и корреляция

Задача 1

По территориям региона приводятся данные за 199Х г. (табл. 1.6). Таблица 1.6

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

I. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7). Таблица !.7

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 52% вариации заработной платы объясняется вариацией фактора — среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 — 10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

для числа степеней свободы составит 2,23.

Определим случайные ошибки

Тогда

Фактические значения статистики превосходят табличные значения:

поэтому гипотеза отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб., тогда

прогнозное значение прожиточного минимума составит:

5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза:

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 2

По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 1.8. Таблица 1.8

Требуется:

1. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2. Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение:

1. Для уравнения равносторонней гиперболы

Для уравнения прямой

Для уравнения степенной зависимости

Для уравнения показательной зависимости

2. Сравнивая значения ранжируем по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на -0,97%.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 3

Зависимость потребления продукта от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

уравнение регрессии

индекс корреляции

остаточная дисперсия

Требуется:

Провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение:

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.9. Таблица 1.9

В силу того что гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта от среднедушевого дохода.

Реализация типовых задач на компьютере

Решение с помощью ППП Excel

1. Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной репрессии Порядок вычисления следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1×2 — для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3) активизируйте Мастер функций любым из способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

4) в окне Категория (рис. 1.1) выберите Статистические, в окне Функция — ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5) заполните аргументы функции (рис. 1.2):

Известные значения — диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения — диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа — логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа — 0, то свободный член равен 0; Статистика — логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация

выводится, если Статистика 23 0, то выводятся только оценки параметров уравнения. Щелкните по кнопке ОК;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем — на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Для вычисления параметров экспоненциальной кривой

в MS Excel применяется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Для данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕИН представлен на рис. 1.3, функции ЛГРФПРИБЛ — на рис. 1.4.

2. С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис /Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 1.5);

2) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 1.6):

Входной интервал — диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал — диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки — флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа — ноль — флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал — достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист — можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Результаты регрессионного анализа для данных из примера 2 представлены на рис. 1.7.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Множественная регрессия и корреляция

Задача 4

По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл. 2.2): зависимость среднегодового душевого дохода (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности заняты (%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения (%) Таблица 2.2

Требуется:

1. Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

2. С помощью частных критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение множественной регрессии фактора после фактора и насколько целесообразно включение после

3. Оценить с помощью критерия Стыодента статистическую значимость коэффициентов при переменных множественного уравнения регрессии.

Решение:

1. Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений кригерия Фишера факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: где — число единиц совокупности;

— число факторов в уравнении линейной регрессии;

— фактическое значение результативного признака;

— расчетное значение результативного признака.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.3. Таблица 2.3

Сравнивая приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу и сделать вывод о статистической значимости

уравнения регрессии в целом и значения так как они статистически надежны и сформировались под систематическим действием неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5%, и это является достаточно малой величиной.

2. Частный критерий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора в модель после того, как в нее включен фактор Частный критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дисперсии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с включенными факторами Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Включение фактора после фактора оказалось статистически значимым и оправданным: прирост фак торной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора так как

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора после включенного ранее фактора Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи

В силу того что приходим к выводу, что включение после оказалось бесполезным: прирост факторной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несуществен, статистически незначим, т.е. влияние не является устойчивым, систематическим. Вполне возможно было ограничиться построением линейного уравнения парной регрессии

3. Оценка с помощью критерия Стьюдента значимости коэффициентов связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок: Расчет значений случайных ошибок достаточно сложен и трудоемок. Поэтому предлагается более простой способ: расчет значения критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии линейного уравнения как квадратного корня из соответствующего частного критерия Фишера:

Табличные (критические) значения критерия Стьюдента зависят от принятого уровня значимости (обычно это 0,1; 0,05 или 0,01) и от числа степеней свободы где число единиц совокупности, число факторов в уравнении.

В нашем примере при Сравнивая приходим к выводу, что так как

коэффициент регрессии является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Так как приходим к заключению, что величина является статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факторов. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния (доли занятых тяжелым физическим трудом) на (среднедушевой доход) и ненадежность, незначимость влияния (доли экономически активного населения в численности всего населения).

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 5

Зависимость спроса на свинину от цены на нее и от цены на говядину представлена уравнением

Требуется:

1. Представить данное уравнение в естественной форме (не в логарифмах).

2. Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что критерий для параметра при составил 0,827, а для параметра при — 1,015.

Решение:

1. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путём потенцирования обеих частей уравнения:

Значения коэффициентов регрессии в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата

Спрос на свинину сильнее связан с ценой на говядину — он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью: с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%.

2. Табличное значение критерия для обычно лежит в интервале 2 — 3 — в зависимости от степеней свободы. В данном примере Это весьма небольшие значения критерия,

которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о статистической ненадежности всего уравнения, поэтому применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 6

По 20 предприятиям региона (табл. 2.5) изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Таблица 2.5

Требуется:

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.

2. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

3. Написать уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл.

4. С помощью критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

5. С помощью частных критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после

6. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.

Реализация типовых задач на компьютере

1. Решение примера проведем с использованием ППП MS Excel и Statgraphics.

Решение с помощью ППП Excel

Сводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Описательная статистика. Для этого выполните следующие шаги:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) в главном меню выберите последовательно пункты Сервис / Анализ данных / Описательная статистика, после чего щелкните по кнопке ОК;

3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 2.1);

Входной интервал — диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк (столбцов); Группирование — по столбцам или по строкам — необходимо указать дополнительно;

Метки — флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал — достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист — можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить дополнительную информацию Итоговой статистики, Уровня надежности, наибольшего и наименьшего значений. установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены на рис. 2.2.

Решение с помощью ППП Statgraphics

Для проведения многофакторного анализа в ППП Statgraphics используется пункт меню Multiple Variable Analysis. Для получения показателей описательной статистики необходимо проделать следующие операции:

1) ввести исходные данные или открыть существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) в главном меню выбрать Describe/Numeric Data/Multiple Variable Analysis;

3) заполнить диалоговое окно ввода данных (рис. 2.3). Ввести названия всех столбцов, значения которых вы хотите включить в анализ; щелкнуть по кнопке ОК;

4) в окне табличных настроек поставить флажок напротив Summary Statistics (рис. 2.4). Итоговая статистика — показатели вариации -появится в отдельном окне.

Для данных примера 4 результат применения функции Multiple Variable Analysis представлен на рис. 2.5.

Сравнивая значения средних квадратических отклонений и средних величин и определяя коэффициенты вариации:

приходим к выводу о повышенном уровне варьирования признаков, хотя и в допустимых пределах, не превышающих 35%.

Совокупность предприятий однородна, и для ее изучения могут использоваться метод наименьших квадратов и вероятностные методы оценки статистических гипотез.

2. Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

Решение с помощью ППП Excel

К сожалению, в ППП MS Excel нет специального инструмента для расчета линейных коэффициентов частной корреляции. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

1) в главном меню последовательно выберите пункты Сервис / Анализ данных / Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;

2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (см. рис. 2.1);

3) результаты вычислений — матрица коэффициентов парной корреляции — представлены на рис. 2.6.

Решение с помощью ППП Statgraphics

При проведении многофакторного анализа — Multiple Variable Analysis — вычисляются линейные коэффициенты парной корреляции и линейные коэффициенты частной корреляции. Последовательность операций описана в п.1 этого примера. Для отображения результатов вычисления на экране необходимо установить флажки напротив Correlations и Partial Correlations в окне табличных настроек (рис. 2.7).

В результате получим матрицы коэффициентов парной и частной корреляции (рис. 2.8).

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки как с коэффициентом обновления основных фондов — так и с долей рабочих высокой квалификации —

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очишают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Наиболее тесно связаны связь и гораздо слабее: а межфакторная зависимость и выше, чем парная Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор — доля высококвалифицированных рабочих — из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и часгной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

3. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Система эконометрических уравнений

Задача 7

Изучается модель вида

где — валовой национальный доход;

— валовой национальный доход предшествующего года;

— личное потребление;

— конечный спрос (помимо личного потребления);

— случайные составляющие.

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл. 3.1

Таблица 3.1

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

Требуется:

1. Провести идентификацию модели.

2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные и две экзогенные переменные Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная Переменная в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверх-идентифицирована.

2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной Для этого в приведенное уравнение

подставим значения имеющиеся в условии задачи. Получим:

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения на теоретические и рассчитываем новую переменную (табл. 3.2). Таблица 3.2

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через Решаем уравнение

Система нормальных уравнений составит:

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

Задача 8

Имеются данные за 1990-1994 гг. (табл. 3.3). 4 Таблица 3.3

Требуется: Построить модель вида

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Решение:

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1 + 1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

в которой коэффициенты при определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений запишем систему нормальных уравнений:

При ее решении предполагается, что выражены через отклонения от средних уровней, т. е. матрица исходных данных составит:

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее, получим:

Итак, имеем

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов

Следовательно,

тогда второе уравнение примет вид

Приведенная форма модели имеет вид

Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

Итак, структурная форма модели имеет вид

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

• Решение задач

Задача 8

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на товар (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Требуется:

1. Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2. Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на товар в зависимости от дохода.

3. Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов.

4. Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

5. Построить линейную модель спроса на товар включив в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

Решение:

1. Обозначим расходы на товар через а доходы одного члена семьи — через Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам

Расчеты можно оформить в виде таблицы (табл. 4.4). Таблица 4.4

2. Так как ряды динамики имеют общую тенденцию к росту, то для построения регрессионной модели спроса на товар в зависимости от дохода необходимо устранить тенденцию. С этой целью модель может строиться по первым разностям, т.е. если ряды динамики характеризуются линейной тенденцией.

Другой возможный путь учета тенденции при построении моделей — найти по каждому ряду уравнение тренда:

и отклонения от него:

Далее модель строится по отклонениям от тренда:

При построении эконометрических моделей чаще используется другой путь учета тенденции — включение в модель фактора времени. Иными словами, модель строится по исходным данным, но в нее в качестве самостоятельного фактора включается время, т.е.

3. Модель имеет вид

Для определения параметров применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Применительно к нашим данным имеем

Решая эту систему, получим:

откуда модель имеет вид

4. Коэффициент регрессии руб. Он означает, что с ростом прироста душевого дохода на 1%-ный пункт расходы на товар увеличиваются со средним ускорением, равным 0,565 руб.

5. Модель имеет вид

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

Расчеты оформим в виде табл. 4.5. Таблица 4.5

Система уравнений примет вид

Решая ее, получим

Уравнение регрессии имеет вид

Параметр фиксирует силу связи Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1%-ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар возрастают в среднем на 0,322 руб. Параметр характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

Задача 9

По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней:

— коэффициенты автокорреляции порядка

Требуется:

1. Охарактеризовать структуру этого ряда, используя графическое изображение.

2. Для прогнозирования значений в будущие периоды предполагается построить уравнение авторегрессии. Выбрать наилучшее уравнение, обосновать выбор. Указать общий вид этого уравнения.

Решение:

1. Так как значения всех коэффициентов автокорреляции достаточно высокие, ряд содержит тенденцию. Поскольку наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции 4-го порядка ряд содержит периодические колебания, цикл этих колебаний равен 4.

График этого ряда можно представить на рис. 4.1.

2. Наиболее целесообразно построение уравнения авторегрессии:

так как значение свидетельствует о наличии очень тесной связи между уровнями ряда с лагом в 4 месяца.

Кроме того, возможно построение и множественного уравнения авторегрессии так как

Сравнить полученные уравнения и выбрать наилучшее решение можно с помощью скорректированного коэффициента детерминации.

Реализация типовых задач на компьютере

Решение с использованием ППП MS Excel

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда -ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления был рассмотрен в 1-м разделе практикума. В качестве зависимой переменной в данном примере

выступает время Приведем результаты вычисления

функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ (рис. 4.2 и 4.3).

Запишем уравнения линейного и экспоненциального тренда, используя данные рис. 4.2 и 4.3:

2. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм.

Порядок построения следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) активизируйте Мастер диаграмм любым из следующих способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Диаграмма;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Мастер диаграмм;

3) в окне Тип выберите График (рис. 4.4); вид графика выберите в поле рядом со списком типов. Щелкните по кнопке Далее;

4) заполните диапазон данных, как показано на рис. 4.5. Установите флажок размещения данных в столбцах (строках). Щелкните по кнопке Далее;

5) заполните параметры диаграммы на разных закладках (рис. 4.6): названия диаграммы и осей, значения осей, линии сетки, параметры легенды, таблица и подписи данных. Щелкните по кнопке Далее;

6) Укажите место размещения диаграммы на отдельном или имеющимся листе(рис. 4.7) Щелкните по кнопке далее. Готовая диаграмма, отражающая динамику уровней изучаемого ряда, представлена на рис 4.8

В ППП MS Excel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

1) выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Диаграмма/Добавить линию тренда;

2) в появившемся диалоговом окне (рис. 4.9) выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. Для полиномиального тренда необходимо задать степень аппроксимирующего полинома, для скользящего среднего — количество точек усреднения.

В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 4.10). Щелкните по кнопке ОК.

На рис 4.11-4.15 представлены различные виды трендов, описывающие исходные данные задачи

3. Сравним значения по разным уравнениям трендов:

Исходные данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, в рассматриваемом примере для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

« Назад

По территориям региона приводятся данные:

Таблица 1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, ден.ед., x	Среднедневная заработная плата, ден.ед., y
1	85	139
2	86	148
3	87	142
4	79	154
5	106	164
6	113	195
7	67	139
8	98	164
9	79	152
10	87	162
11	86	152
12	117	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии y по x.

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

№	x	y	y*x	x2	y2				ki
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	85	139	11815	7225	19321	151,80	-12,80	163,93	9,21
2	86	148	12728	7396	21904	152,69	-4,69	22,04	3,17
3	87	142	12354	7569	20164	153,59	-11,59	134,21	8,16
4	79	154	12166	6241	23716	146,46	7,54	56,88	4,90
5	106	164	17384	11236	26896	170,51	-6,51	42,40	3,97
6	113	195	22035	12769	38025	176,75	18,25	333,16	9,36
7	67	139	9313	4489	19321	135,77	3,23	10,45	2,33
8	98	164	16072	9604	26896	163,38	0,62	0,38	0,38
9	79	152	12008	6241	23104	146,46	5,54	30,71	3,65
10	87	162	14094	7569	26244	153,59	8,41	70,81	5,19
11	86	152	13072	7396	23104	152,69	-0,69	0,48	0,46
12	117	173	20241	13689	29929	180,31	-7,31	53,45	4,23
Итого	1090	1884	173282	101424	298624	1884	0,00	918,89	54,99
Среднее значение	90,83	157	14440,17	8452	24885,33	157	–	76,57	4,58
	14,19	15,37	–	–	–	–	–		–
	201,31	236,33	–	–	–	–	–		–

По формулам находим параметры регрессии

Получено уравнение регрессии:

.

Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 ден.ед. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,89 ден.ед.

После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7 – 10 таблицы 2.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

Это означает, что 67,6% вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 10%.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия по формуле составит

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k₁=1 и k₂=12-2=10 составляет F_табл=4,96. Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=12-2=10 и уровня значимости  составит t_табл=2,23.

Определим стандартные ошибки   (остаточная дисперсия на одну степень свободы

Тогда

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

Поэтому параметры a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью  параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от  среднего уровня.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:  ден.ед., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит:  ден.ед.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 140,16 ден.ед. до 185,0 ден.ед.

6. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.

7. Проверить вычисления в MS Excel.

Выбираем Сервис®Анализ данных®Регрессия. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода. Получаем следующие результаты:

Откуда выписываем.

Уравнение регрессии:

Коэффициент корреляции:

Коэффициент детерминации:

Фактическое значение F-критерия Фишера:

Остаточная дисперсия на одну степень свободы:

Корень квадратный из остаточной дисперсии (стандартная ошибка):

Стандартные ошибки для параметров регрессии:

Фактические значения t-критерия Стьюдента:

Доверительные интервалы:

Как видим, найдены все рассмотренные выше параметры и характеристики уравнения регрессии, за исключением средней ошибки аппроксимации (значение t-критерия Стьюдента для коэффициента корреляции совпадает с t_b). Результаты «ручного счета» от машинного отличаются незначительно (отличия связаны с ошибками округления).

Следующая прикладная
задача корреляционно-регрессионного
анализа – прогнозирование поведения
признака-результата при том или ином
изменении аргументов. Зная механизм
влияния конкретных факторов на результат
(имея регрессионную модель) и задавая
возможные (желаемые) значения этих
факторов, можно получить, так называемый,
точечный прогноз значений исследуемого
признака.

Регрессионная
модель является, в известной мере,
абстракцией, превращающей корреляционную
зависимость между признаками в
функциональную. Ожидаемые средние
значения результативного признака
полностью определяются конкретными
значениями независимых переменных,
при таком условии теоретическая линия
регрессии должна пройти через все
эмпирические точки, чего, безусловно,
быть не может. Поэтому, точечный прогноз,
полученный на основе выбранной модели
связи, дополняется расчетом доверительных
интервалов для математического ожидания
отклика.

Величина ошибки
прогноза и, следовательно, доверительный
интервал зависят от амплитуды колебаний
фактических значений вокруг линии
регрессии (среднеквадратической ошибки),
от объема выборочной совокупности и от
значения переменной

,
с учетом которого прогнозируется
величина признака-результата

.
Чем меньше

отличается
от

,
тем меньше ошибка прогноза. Предельная
ошибка прогноза рассчитываются следующим
образом:

,
(6.1)

где

,

k
– число факторов, включенных в уравнение
регрессии;

—
коэффициент доверия, величина которого
определяется исходя из удовлетворяющего
исследователя уровня вероятности, по
таблице t-распределения
Стьюдента, при d.f.=n—k-1;

х_k
–заданное значение признака-фактора.

На основании
точечного прогноза величины результативного
признака (
),
с учетом предельной ошибки определяется
доверительный интервал прогноза:

(6.2)

Т.о., с определенной
вероятностью можно утверждать, что при
заданном значении аргумента, математическое
ожидание признака-результата будет
находиться в указанных границах.

Применяя регрессионную
модель для прогнозирования, необходимо
учитывать только допустимые значения
независимой переменной. Диапазон таких
значений ограничивается размахом
вариации признака-фактора. Иными словами,
предсказывая значения результативного
признака, можно выполнить только
интерполяцию в пределах возможных
значений аргумента, экстраполяция
значений невозможна.

§2.
Решение задач корреляционно-регрессионного

анализа
с помощью ППП STATISTICA

7.
Решение задач парной зависимости.

7.1.
Построение и анализ корреляционных
таблиц

Построение
корреляционных таблиц, как отмечалось
выше, один из методов выявления наличия
корреляционной зависимости. Поскольку
выполнение лабораторной работы
предусматривает ее построение, рассмотрим
пример построения корреляционной
таблицы с использованием некоторых
вспомогательных модулей ППП STATISTICA.

Корреляционная
таблица – это результат группировки
единиц изучаемой совокупности по двум
признакам: в подлежащем таблицы выделяются
группы по факторному признаку х,
в сказуемом
– по результативному у
или наоборот.
В клетках таблицы на пересечении x
и у
подсчитывается
число случаев совпадения каждого
значения х
с соответствующим значением у
(частоты).
Общий вид такой таблицы показан на
условном распределении 40 единиц (Таблица
7.1). Здесь в качестве х
может рассматриваться, например, стаж
работы (число лет), а в качестве у
– производительность труда, n
= 40 – число рабочих.

Таблица 7.1

Пример корреляционной
таблицы

Значение признака xj	Значение признака yi	Итого (число единиц) fx = fj	Среднее значение по группам
5	10	15	20
1	1	3	—	—	4	8,75
3	2	3	7	—	12	12,08
5	—	3	9	4	16	15,31
7	—	—	5	3	8	16,87
Итого (число единиц) fy = fi	3	9	21	7	∑f = 40	14,0

В первой строке
значению факторного признака х
=1 один раз
соответствует значение у
= 5 и три раза
у = 10.
Аналогично во второй строке, где х
= 3, два раза
этому значению соответствует у
= 5, три раза
у = 10
и семь раз у
=15 и т.д.

В итоговой строке
имеем распределение всех 40 единиц
совокупности по результативному признаку
у
(частоты обозначены f_y).
В итоговом столбце — распределение тех
же 40 единиц, но по признаку фактору х
(обозначение частот f_x).
В последней графе рассчитывается среднее
значение признака-результата, то есть

:

_.
(7.1)

Например, для
первой строки:

_.

Эти значения могут
быть использованы для построения
эмпирической линий регрессии для

и

.

Как видно их
таблицы, по мере увеличения значений х
групповые средние значений

тоже увеличиваются от группы к группе,
что позволяет сделать вывод о том, что
между признаками существует
прямая корреляционная зависимость.

О наличии и
направлении связи можно судить и по
«внешнему виду» таблицы, т.е. по
расположению в ней частот.

Так, если частоты
разбросаны в клетках таблицы беспорядочно,
то это чаще всего свидетельствует либо
об отсутствии связи между группировочными
признаками, либо об их незначительной
зависимости.

Если же частоты
сконцентрированы ближе к одной из
диагоналей таблицы, образуя своего рода
эллипс, то это почти всегда свидетельствует
о наличие зависимости, близкой к линейной.
Расположение по диагонали из верхнего
левого угла в нижний правый свидетельствует
о прямой линейной зависимости между
показателями, наоборот – об обратной.

Рассмотрим
конкретный пример. Менеджер по маркетингу
в компании, владеющей сетью супермаркетов,
желает оценить влияет ли расстояние
между полками на объем продаж корма для
домашних животных. Для анализа сформирована
случайная выборка из 12 магазинов.

Таблица 7.2

Соотношение
расстояний между полками в сети
супермаркетов и

еженедельным
объемом продаж

Магазин	Расстояние между полками, Х (метры)	Еженедельный объем продаж, Y (тыс.долл.)
1	1,52	0,16
2	1,52	0,22
3	1,52	0,14
4	3,05	0,19
5	3,05	0,24
6	3,05	0,26
7	4,57	0,23
8	4,57	0,27
9	4,57	0,28
10	6,10	0,26
11	6,10	0,29
12	6,10	0,31

Для определения
числа интервалов и величины интервала
для построения корреляционной таблицы
можно воспользоваться меню Statistics/Basic
Statistics/Tables (рис. 7.1.)

Рис.
7.1. Выбор
меню
Basic Statistics/Tables в
ППП
STATISTICA.

В появившемся окне
выбираем пункт Frequency
tables.

Рис.
7.2. Выбор
меню
Frequency tables.

С помощью кнопки
Variables выбираем
переменную, соответствующую зависимой
(результативной) переменной, то есть у;
переходим на закладку Advanced,
на которой задаем необходимые опции
построения таблицы частот. Напомним,
что необходимо воспользоваться закладкой
Options и убрать метку
с поля Count and
report missing
data (MD),
чтобы исключить подсчет незаполненных
ячеек (рис. 7.3., 7.4.).

Рис.
7.3. Вид
закладки
Advanced функции
Frequency tables.

Рис.
7.4.
Вид
закладки
Options функции
Frequency tables.

Требования,
предъявляемые к построению таблиц
частот, а также подробное описание
данного меню и описание содержания
таблицы можно найти в первой части
учебного пособия по статистике,
посвященной анализу распределений.

Рис.
7.5. Распределение еженедельного объема
продаж кормов для животных в супермаркетах
с числом интервалов к
= 3.

В данном примере
подобрано число интервалов равное трем.
При этом можно воспользоваться
результатами, предложенными системой,
как для определения числа интервалов,
так и для определения величины интервала.

Возможен второй
вариант – расчет величины интервала
вручную:

,
(7.2)

где R
– размах вариации,

k
– число интервалов.

В рамках данной
работы строится корреляционная таблица
с нанесенными на нее линиями регрессии
х и
у (рис. 7.6.).
В первой строке представлены границы
интервалов группировки результативного
признака, в правом столбце – факторного.
В левом столбце частоты факторного
признака, в нижней строке — результативного.
Во второй строке и в столбце, предшествующем
правому приведены середины интервалов,
используемые для расчета точек линии
регрессии. В самой таблице звездочками
отмечены координаты точек по двум
показателям (попарно).

Далее рассчитываются
средние значения признака-результата
и признака-фактора в каждой группе. Они
же являются точками линий регрессии.
Точки эмпирической линии регрессии
наносятся в масштабе квадратов таблицы,
соответственно оси признака. Ниже
приведены примеры расчета координат
нескольких точек:

,

.

fx	0,09-0,17	0,17-0,26	0,26-0,35	∑f =12
0,135	0,225	0,315
3	* *	*		1,54	0,38-2,7
6		****	**	3,86	2,7-5,02
3		*	**	6,18	5,02-7,34
∑f =12	2	6	4	fy

Рис. 7.6. Корреляционная
таблица с наложенной линией регрессии.

Среднее значение
признака-результата по всей совокупности:

.

Для оценки тесноты
связи между изучаемыми признаками
(расчета эмпирического корреляционного
отношения) необходимо определить
значения дисперсий: общей и межгрупповой.
Межгрупповая дисперсия равна:

Общая дисперсия:

Эмпирическое
корреляционное отношение:

.

Коэффициент
детерминации:

Полученное значение
корреляционного отношения свидетельствует
о наличии тесной корреляционной
зависимости между изучаемыми
характеристиками.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

     
Далее определяется предельная ошибка прогноза по тренду:

. Предельная ошибка определяется с заданной вероятно-

стью оценки прогноза (Р(t)) и с учётом степеней
свободы изучаемой системы (n-m) по таблице значений t-критерия
Стьюдента, здесь n – число уровней ряда, а m – число параметров
тренда. Границы доверительного интервала прогноза по тренду определяются,
исходя из предельной ошибки прогноза:

     
Доверительный интервал прогноза говорит о том, что прогнозное значение
показателя, полученное по тренду, не выйдет за пределы границ доверительного
интервала с заданной вероятностью. Так как колеблемость существенно ухудшает
оценку прогноза, выполняют расчёт доверительного интервала прогноза с учётом
случайных колебаний уровней ряда. Средняя возможная ошибка прогноза с учётом
случайных колебаний рассчитывается по формуле:  Затем определяется предельная ошибка прогноза с учётом
случайных колебаний уровней ряда:  Далее
определяются границы доверительного интервала прогноза с учётом случайных
колебаний уровней ряда:

4.6. Изучение
сезонности в статистике внешней торговли.

Индексы сезонности. Учет сезонных колебаний при

прогнозировании

      Как известно, сезонностью называют процесс
изменения общей тенденции развития явлений и процессов под влиянием смены
времён года.Что касается внешней торговли, то сезонность наблюдается в товаропотоках
тех товаров, производство которых носит сезонный характер. Это, прежде всего,
некоторые виды продовольственных товаров и сельскохозяйственная продукция. Сезонность
наблюдается как в объёмах внешней торговли указанными товарами, так и в ценах
на них. Для изучения сезонности явления или процесса необходимо иметь временной
ряд изучаемого показателя внешней торговли либо по квартальным, либо по
ежемесячным данным за ряд лет. Прежде всего, выявляется тенденция динамики
рассматриваемого показателя в форме линейного или нелинейного уравнения тренда.
Далее определяются теоретические  (выровненные) уровни по полученному тренду  . В
фактических уровнях временного ряда содержатся
как случайные, так и сезонные колебания. В теоретических уровнях ряда какие либо
колебания отсутствуют. Отношения фактических и теоретических уровней отражают
суммарную величину колебаний уровней ряда и называются индексами колеблемости:

Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов (МНК)

Краткая теория

---

Простейшей системой
корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками — парная
линейная корреляция. Практическое значение ее в том, что есть системы, в
которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется
один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного
признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в изучении
сложных, многофакторных связей. Есть такие системы связей, при изучении которых
следует предпочесть парную корреляцию. Внимание к линейным связям объясняется
ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные
формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной
корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

где

 –
среднее значение результативного признака

 при
определенном значении факторного признака

;

 – свободный
член уравнения;

 – коэффициент
регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от
его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины
на одну единицу его измерения – вариация

, приходящаяся на единицу вариации

.

Параметры уравнения

 находят
методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в
качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то
есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов
отклонений эмпирических данных

 от
выровненных

:

Для нахождения минимума
данной функции приравняем к нулю ее частные производные.

В результате получим
систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных
уравнений:

Решая эту систему в общем
виде, получим:

Параметры уравнения парной
линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же
результат:

или

Если
коэффициент линейной корреляции

 уже
рассчитан, то легко может быть найден коэффициент

 парной
регрессии:

где

,

 – стандартные
отклонения.

Примеры решения задач

---

Задача 1

Имеются следующие данные о
цене на нефть

 (ден.
ед.) и индексе акций нефтяных компаний

 (усл.
ед.).

Цена на нефть (ден. ед.)	17,28	17,05	18,30	18,80	19,20	18,50
Индекс акций (усл. ед.)	537	534	550	555	560	552

• Построить
  корреляционное поле.
• Предполагая, что между
  переменными x и y существует линейная зависимость, найти уравнение линейной
  регрессии 

   

• Оценить тесноту связи.

Решение

Построим корреляционное
поле, для этого отметим в системе координат  
6 точек, соответствующих данным парам значений этих признаков.

Корреляционное поле и линия регрессии

Расположение точек на
рисунке показывает, что зависимость между компонентами

 и

 двумерной дискретной случайной величины может
выражаться линейным уравнением регрессии

.

Составим
расчетную таблицу:

Расчетная вспомогательная таблица

1	17,28	537	298,5984	288369	9279,36
2	17,05	534	290,7025	285156	9104,7
3	18,3	550	334,89	302500	10065
4	18,8	555	353,44	308025	10434
5	19,2	560	368,64	313600	10752
6	18,5	552	342,25	304704	10212
Сумма	109,13	3288	1988,521	1802354	59847,06

Коэффициенты
уравнения регрессии

 можно найти методом наименьших квадратов,
решив систему нормальных уравнений:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Подставляя
в систему уравнений числовые значения, получаем:

Решая
систему уравнений, получаем:

Уравнение
парной линейной регрессии:

Коэффициент линейной корреляции
вычислим по формуле:

Вывод

Таким
образом уравнение линейной регрессии, устанавливающее зависимость между ценой
на нефть и индексом акций имеет вид

 — с увеличением цены на нефть на 1 ден.ед.
цена акций увеличивается на 12,078 ед. Коэффициент корреляции очень близок к
единице — между исследуемыми величинами существует очень тесная связь.

---

Задача 2

По
территории региона приводятся данные за 2011 г.

Требуется:

Построить линейное уравнение парной регрессии

 от

.
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку
аппроксимации.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью

 –критерия Фишера и

 –критерия Стьюдента.
Выполнить прогноз заработной платы

 при прогнозном значении среднедушевого
прожиточного минимума

, составляющем
107% от среднего уровня.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный
интервал.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Уравнение линейной парной регрессии

1)
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу:

Получено
уравнение линейной регрессии

Вывод

С
увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная
заработная плата возрастает в среднем на 1.012 руб.

Коэффициент линейной корреляции

2)
Теснота линейной связи оценивается с помощью
коэффициента корреляции
:

Коэффициент
детерминации:

Вывод

Это
означает, что 69.2% вариации заработной платы

 объясняется вариацией фактора

 –среднедушевого прожиточного минимума.

Средняя ошибка аппроксимации

Качество
модели можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации:

Вывод

Качество
построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя ошибка
аппроксимации не превышает 8-10%.

F-критерий

3)
Рассчитаем

 – критерий.

По таблице F-распределения Фишера-Снедекора, при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k₁=1 и k₂=12-2=10, критическое значение:

Вывод

 – гипотеза о статистической незначимости
уравнения регрессии отклоняется.

Статистическая значимость параметров регрессии

Оценку
статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью

t–статистики Стьюдента
и путем расчета
доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем
гипотезу

 о статистически незначимом отличии показателей
от нуля:

  для числа степеней свободы

 и

 составит 2,23

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Определим
случайные ошибки

Тогда:

Фактическое значение превосходит

табличное значение t–статистики.
Нулевая
гипотеза отклоняется – то есть

 не случайно отличается от нуля, а
статистически значимо.

Фактическое значение превосходит

табличное значение t–статистики. Нулевая
гипотеза отклоняется – то есть

 не случайно отличается от нуля, а
статистически значимо.

Фактическое значение превосходит

табличное значение t–статистики. Нулевая
гипотеза отклоняется – то есть

 не случайно отличается от нуля, а
статистически значимо.

Рассчитаем
доверительные интервалы для параметров регрессии

 и

. Для этого
определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные
интервалы:

 или  

 или  

Точечный прогноз

4)
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Если прогнозное значение прожиточного минимума составит

 руб., тогда прогнозное значение среднедневной
заработной платы составит:

Интервальный прогноз

5)
Ошибка прогноза составит:

Предельная
ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный
интервал прогноза:

6) Построим исходные данные
и теоретическую прямую:

Корреляционное поле и прямая уравнения регрессии