Систематическая ошибка нормальное распределение - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Содержание:

Нормальный закон распределения:

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

где

График функции плотности вероятности (2.9.1) имеет максимум в точке а точки перегиба отстоят от точки на расстояние При функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю (ее график изображен на рис. 2.9.1).

Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, а дисперсия Если т.е. X имеет нормальный закон распределения с параметрами и то

где – функция Лапласа

Значения функции можно найти по таблице (см. прил., табл. П2). Функция Лапласа нечетна, т.е. Поэтому ее таблица дана только для неотрицательных График функции Лапласа изображен на рис. 2.9.2. При значениях она практически остается постоянной. Поэтому в таблице даны значения функции только для При значениях можно считать, что

Если то

Пример:

Случайная величина X имеет нормальный закон распределения Известно, что а Найти значения параметров и

Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):

Так как По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому или

Аналогично Так как то По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому или Из системы двух уравнений и находим, что а т.е. Итак, случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(3;4).

График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 2.9.3.

Ответ.

Пример:

Ошибка измерения X имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна 1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк². Какова вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?

Решение. По условиям задачи Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет 2 мк. По формуле (2.9.2)

Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.9.4.

Каждое измерение можно рассматривать как независимый опыт. Поэтому по формуле Бернулли (2.6.1) вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна

Ответ.

Пример:

Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид

Требуется определить коэффициент найти и определить тип закона распределения, нарисовать график функции вычислить вероятность

Замечание. Если каждый закон распределения из некоторого семейства законов распределения имеет функцию распределения , где – фиксированная функция распределения, a то говорят, что эти законы распределения принадлежат к одному виду или типу распределений. Параметр называют параметром сдвига, – параметром масштаба.

Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интеграл от нее по всей числовой оси должен быть равен единице:

Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:

Тогда (2.9.5) можно записать в виде

Сделаем замену переменных так, чтобы т.е. Пределы интегрирования при этом останутся прежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду

Умножим и разделим левую часть равенства на Получим равенство

Так как как интеграл по всей числовой оси от функции плотности вероятности стандартного нормального закона распределения N(0,1), то приходим к выводу, что

Поэтому

Последняя запись означает, что случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и График функции плотности вероятности этого закона изображен на рис. 2.9.5. Распределение случайной величины X принадлежит к семейству нормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)

Ответ.

Пример:

Цех на заводе выпускает транзисторы с емкостью коллекторного перехода Сколько транзисторов попадет в группу если в нее попадают транзисторы с емкостью коллекторного перехода от 1,80 до 2,00 пФ. Цех выпустил партию в 1000 штук.

Решение.

Статистическими исследованиями в цеху установлено, что можно трактовать как случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону.

Чтобы вычислить количество транзисторов, попадающих в группу необходимо учитывать, что вся партия транзисторов имеет разброс параметров, накрывающий всю (условно говоря) числовую ось. То есть кривая Гаусса охватывает всю числовую ось, центр ее совпадает с (т. к. все установки в цеху настроены на выпуск транзисторов именно с этой емкостью). Вероятность попадания отклонений параметров всех транзисторов на всю числовую ось равна 1. Поэтому нам необходимо фактически определить вероятность попадания случайной величины в интервал а затем пересчитать количество пропорциональной вероятности.

Для расчета этой вероятности надо построить математическую модель. Экспериментальные данные говорят о том, что нормальное распределение можно принять в качестве математической модели. Эмпирическая оценка (установлена статистическими исследованиями в цеху) среднего значения

дает оценка среднего квадратического отклонения

Обозначая подставим приведенные значения в (6.3):

Тогда количество транзисторов попавших в интервал [1,8; 2,0] пФ, можно найти так: Таким образом можно планировать и рассчитывать количество транзисторов, попадающих в ту или иную группу.

Нормальное распределение и его свойства

Если выйти на улицу любого города и случайным образом выбранных прохожих спросить о том, какой у них рост, вес, возраст, доход, и т.п., а потом построить график любой из этих величин, например, роста… Но не будем спешить, сначала посмотрим, как можно построить такой график.

Сначала, мы просто запишем результаты своего исследования. Потом, мы отсортируем всех людей по группам, так чтобы каждый попал в свой диапазон роста, например, «от 180 до 181 включительно».

После этого мы должны посчитать количество людей в каждой подгруппе-диапазоне, это будет частота попадания роста жителей города в данный диапазон. Обычно эту часть удобно оформить в виде таблички. Если затем эти частоты построить по оси у, а диапазоны отложить по оси х, можно получить так называемую гистограмму, упорядоченный набор столбиков, ширина которых равна, в данном случае, одному сантиметру, а длина будет равна той частоте, которая соответствует каждому диапазону роста. Если

Вам попалось достаточно много жителей, то Ваша схема будет выглядеть примерно так:

Дальше можно уточнить задачу. Каждый диапазон разбить на десять, жителей рассортировать по росту с точностью до миллиметра. Диаграмма станет глаже, но уменьшится по высоте, «оплывет» вниз, т.к. в каждом маленьком диапазоне количество жителей уменьшается. Чтобы избежать этого, просто увеличим масштаб по вертикальной оси в 10 раз. Если гипотетически повторить эту процедуру несколько раз, будет вырисовываться та знаменитая колоколообразная фигура, которая характерна для нормального (или Гауссова) распределения. В результате, относительная частота встречаемости каждого конкретного диапазона роста может быть посчитана как отношение площади «ломтика» кривой, приходящегося на этот диапазон к площади подо всей кривой. Стандартизированные кривые нормального распределения, значения функций которых приводятся в таблицах книг по статистике, всегда имеют суммарную площадь под кривой равную единице. Это связано с тем, что, как Вы помните из курса теории вероятности, вероятность достоверного события всегда равна 100% (или единице), а для любого человека иметь хоть какое-то значение роста — достоверное событие. А вот вероятность того, что рост произвольного человека попадет в определенный выбранный нами диапазон, будет зависеть от трех факторов.

Во-первых, от величины такого диапазона — чем точнее наши требования, тем меньше вероятности, что нам повезет.

Во-вторых, от того, насколько «популярен» выбранный нами рост. Напомним, что мода — самое часто встречающееся значение роста. Кстати для нормального распределения мода, медиана и среднее значение совпадают. Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего значения.

И, в-третьих, вероятность попадания роста в определенный диапазон зависит от характеристики рассеивания случайной величины. Отчасти это связано с единицами измерения (представьте, что мы бы измеряли людей в дюймах, а не в миллиметрах, но сами люди и их рост были бы теми же). Но дело не только в этом. Просто некоторые процессы кучнее группируются возле среднего значения, в то время как другие более разбросаны.

Например, рост собак и рост домашних кошек имеют разный разброс значений, их кривые нормального распределения будут выглядеть по-разному (напомним еще раз, что площадь под обеими кривыми будет единичной).

Так, кривая для роста кошек будет более узкой и высокой, а для роста собак кривая будет ниже и шире. Для характеристики разброса конечного ряда данных в прошлом разделе мы использовали величину среднего квадратического отклонения. Аналогичная величина используется для характеристики кривой нормального распределения. Она обозначается буквой s и называется в этом случае стандартным отклонением. Это очень важная величина для кривой нормального распределения. Кривая нормального распределения полностью задана, если известно среднее значение и отклонение s. Кроме того, любой житель города с вероятностью 68% попадет в диапазон роста с вероятностью 95% — в диапазон и с вероятностью 99,7% — в диапазон

Для вычисления других значений вероятности, которые могут Вам понадобиться, можно воспользоваться приведенной таблицей:

Таблица вероятности попадания случайной величины в отмеченный (заштрихованный) диапазон

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения случайных величин, который иногда называют законом Гаусса или законом ошибок, занимает особое положение в теории вероятностей, так как 95 % изученных случайных величин подчиняются этому закону. Природа этих случайных величин такова, что их значение в проводимом эксперименте связано с проявлением огромного числа взаимно независимых случайных факторов, действие каждого из которых составляет малую долю их совокупного действия. Например, длина детали, изготавливаемой на станке с программным управлением, зависит от случайных колебаний резца в момент отрезания, от веса и толщины детали, ее формы и температуры, а также от других случайных факторов. По нормальному закону распределения изменяются рост и вес мужчин и женщин, дальность выстрела из орудия, ошибки различных измерений и другие случайные величины.

Определение: Случайная величина X называется нормальной, если она подчиняется нормальному закону распределения, т.е. ее плотность распределения задается формулой — средне-квадратичное отклонение, a m = М[Х] — математическое ожидание.

Приведенная дифференциальная функция распределения удовлетворяет всем свойствам плотности вероятности, проверим, например, свойство 4.:

Выясним геометрический смысл параметров Зафиксируем параметр и будем изменять параметр m. Построим графики соответствующих кривых (Рис. 8).

Рис. 8. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения математического ожидания при фиксированном значении средне-квадратичного отклонения. Из рисунка видно, кривая получается путем смещения кривой вдоль оси абсцисс на величину m, поэтому параметр m определяет центр тяжести данного распределения. Кроме того, из рисунка видно, что функция достигает своего максимального значения в точке Из этой формулы видно, что при уменьшении параметра значение максимума возрастает. Так как площадь под кривой плотности распределения всегда равна 1, то с уменьшением параметра кривая вытягивается вдоль оси ординат, а с увеличением параметра кривая прижимается к оси абсцисс. Построим график нормальной плотности распределения при m = 0 и разных значениях параметра (Рис. 9):

Рис. 9. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения средне-квадратичного отклонения при фиксированном значении математического ожидания.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид (Рис. 10):

Рис. 10. Графика интегральной функции распределения нормальной случайной величины.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Пусть требуется определить вероятность того, что нормальная случайная величина попадает в интервал Согласно определению пересчитаем пределы интегрирования Следовательно,

Рассмотрим основные свойства функции Лапласа Ф(х):

Ф(0) = 0 — график функции Лапласа проходит через начало координат.
Ф (-х) = — Ф(х) — функция Лапласа является нечетной функцией, поэтому
таблицы для функции Лапласа приведены только для неотрицательных значений аргумента.
— график функции Лапласа имеет горизонтальные асимптоты

Следовательно, график функции Лапласа имеет вид (Рис. 11):

Рис. 11. График функции Лапласа.

Пример №1

Закон распределения нормальной случайной величины X имеет вид: Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1;8).

Решение:

Согласно условиям задачи Поэтому искомая вероятность равна: 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

Вычисление вероятности заданного отклонения

Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило .

Если интервал, в который попадает нормальная случайная величина X, симметричен относительно математического ожидания то, используя свойство нечетности функции Лапласа, получим

Данная формула показывает, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания на заданную величину l равна удвоенному значению функции Лапласа от отношения / к среднему квадратичному отклонению. Если положить случаях нормальная случайная величина X отличается от своего математического ожидания на величину равную среднему квадратичному отклонению. Если то вероятность отклонения равна Наконец, в случае то вероятность отклонения равна

Из последнего равенства видно, что только приблизительно в 0.3 % случаях отклонение нормальной случайной величины X от своего математического ожидания превышает Это свойство нормальной случайной величины X называется правилом “трех сигм”. На практике это правило применяется следующим образом: если отклонение случайной величины X от своего математического ожидания не превышает то эта случайная величина распределена по нормальному закону.

Показательный закон распределения

Определение: Закон распределения, определяемый фу нкцией распределения:

называется экспоненциальным или показательным.

График экспоненциального закона распределения имеет вид (Рис. 12):

Рис. 12. График функции распределения для случая экспоненциального закона.

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) имеет вид: а ее график показан на (Рис. 13):

Рис. 13. График плотности вероятности для случая экспоненциального закона.

Пример №2

Случайная величина X подчиняется дифференциальной функции распределения Найти вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), математическое ожидание M[Х], дисперсию D[X] и среднее квадратичное отклонение Проверить выполнение правила “трех сигм” для показательного распределения.

Решение:

Интегральная функция распределения следовательно, вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), равна: Математическое ожидание Вычислим значение величины М тогда дисперсия случайной величины X равна а средне-квадратичное

отклонение Для проверки правила “трех сигм” вычислим вероятность заданного отклонения:

Основные законы распределения вероятностей
Асимптотика схемы независимых испытаний
Функции случайных величин
Центральная предельная теорема
Повторные независимые испытания
Простейший (пуассоновский) поток событий
Случайные величины
Числовые характеристики случайных величин

Источник

Результат любого измерения не определён однозначно и имеет случайную составляющую.
Поэтому адекватным языком для описания погрешностей является язык вероятностей.
Тот факт, что значение некоторой величины «случайно», не означает, что
она может принимать совершенно произвольные значения. Ясно, что частоты, с которыми
возникает те или иные значения, различны. Вероятностные законы, которым
подчиняются случайные величины, называют распределениями.

2.1 Случайная величина

Случайной будем называть величину, значение которой не может быть достоверно определено экспериментатором. Чаще всего подразумевается, что случайная величина будет изменяться при многократном повторении одного и того же эксперимента. При интерпретации результатов измерений в физических экспериментах, обычно случайными также считаются величины, значение которых является фиксированным, но не известно экспериментатору. Например смещение нуля шкалы прибора. Для формализации работы со случайными величинами используют понятие вероятности. Численное значение вероятности того, что какая-то величина примет то или иное значение определяется либо как относительная частота наблюдения того или иного значения при повторении опыта большое количество раз, либо как оценка на основе данных других экспериментов.

Замечание.
Хотя понятия вероятности и случайной величины являются основополагающими, в литературе нет единства в их определении. Обсуждение формальных тонкостей или построение строгой теории лежит за пределами данного пособия. Поэтому на начальном этапе лучше использовать «интуитивное» понимание этих сущностей. Заинтересованным читателям рекомендуем обратиться к специальной литературе: [5].

Рассмотрим случайную физическую величину x, которая при измерениях может
принимать непрерывный набор значений. Пусть
P[x0,x0+δ⁢x] — вероятность того, что результат окажется вблизи
некоторой точки x0 в пределах интервала δ⁢x: x∈[x0,x0+δ⁢x].
Устремим интервал
δ⁢x к нулю. Нетрудно понять, что вероятность попасть в этот интервал
также будет стремиться к нулю. Однако отношение
w⁢(x0)=P[x0,x0+δ⁢x]δ⁢x будет оставаться конечным.
Функцию w⁢(x) называют плотностью распределения вероятности или кратко
распределением непрерывной случайной величины x.

Замечание. В математической литературе распределением часто называют не функцию
w⁢(x), а её интеграл W⁢(x)=∫w⁢(x)⁢𝑑x. Такую функцию в физике принято
называть интегральным или кумулятивным распределением. В англоязычной литературе
для этих функций принято использовать сокращения:
pdf (probability distribution function) и
cdf (cumulative distribution function)
соответственно.

Гистограммы.

Проиллюстрируем наглядно понятие плотности распределения. Результат
большого числа измерений случайной величины удобно представить с помощью
специального типа графика — гистограммы.
Для этого область значений x, размещённую на оси абсцисс, разобьём на
равные малые интервалы — «корзины» или «бины» (англ. bins)
некоторого размера h. По оси ординат будем откладывать долю измерений w,
результаты которых попадают в соответствующую корзину. А именно,
пусть k — номер корзины; nk — число измерений, попавших
в диапазон x∈[k⁢h,(k+1)⁢h]. Тогда на графике изобразим «столбик»
шириной h и высотой wk=nk/n.
В результате получим картину, подобную изображённой на рис. 2.1.

Рис. 2.1: Пример гистограммы для нормального распределения (x¯=10,
σ=1,0, h=0,1, n=104)

Высоты построенных столбиков будут приближённо соответствовать значению
плотности распределения w⁢(x) вблизи соответствующей точки x.
Если устремить число измерений к бесконечности (n→∞), а ширину корзин
к нулю (h→0), то огибающая гистограммы будет стремиться к некоторой
непрерывной функции w⁢(x).

Самые высокие столбики гистограммы будут группироваться вблизи максимума
функции w⁢(x) — это наиболее вероятное значение случайной величины.
Если отклонения в положительную и отрицательную стороны равновероятны,
то гистограмма будет симметрична — в таком случае среднее значение ⟨x⟩
также будет лежать вблизи этого максимума. Ширина гистограммы будет характеризовать разброс
значений случайной величины — по порядку величины
она, как правило, близка к среднеквадратичному отклонению sx.

Свойства распределений.

Из определения функции w⁢(x) следует, что вероятность получить в результате
эксперимента величину x в диапазоне от a до b
можно найти, вычислив интеграл:

Px∈[a,b]=∫abw⁢(x)⁢𝑑x.

(2.1)

Согласно определению вероятности, сумма вероятностей для всех возможных случаев
всегда равна единице. Поэтому интеграл распределения w⁢(x) по всей области
значений x (то есть суммарная площадь под графиком w⁢(x)) равен единице:

Это соотношение называют условием нормировки.

Среднее и дисперсия.

Вычислим среднее по построенной гистограмме. Если размер корзин
h достаточно мал, все измерения в пределах одной корзины можно считать примерно
одинаковыми. Тогда среднее арифметическое всех результатов можно вычислить как

Переходя к пределу, получим следующее определение среднего значения
случайной величины:

где интегрирование ведётся по всей области значений x.
В теории вероятностей x¯ также называют математическим ожиданием
распределения.
Величину

σ2=(x-x¯)2¯=∫(x-x¯)2⁢w⁢𝑑x

(2.3)

называют дисперсией распределения. Значение σ есть
срекднеквадратичное отклонение в пределе n→∞. Оно имеет ту
же размерность, что и сама величина x и характеризует разброс распределения.
Именно эту величину, как правило, приводят как характеристику погрешности
измерения x.

Доверительный интервал.

Обозначим как P|Δ⁢x|<δ вероятность
того, что отклонение от среднего Δ⁢x=x-x¯ составит величину,
не превосходящую по модулю значение δ:

P|Δ⁢x|<δ=∫x¯-δx¯+δw⁢(x)⁢𝑑x.

(2.4)

Эту величину называют доверительной вероятностью для
доверительного интервала |x-x¯|≤δ.

2.2 Нормальное распределение

Одним из наиболее примечательных результатов теории вероятностей является
так называемая центральная предельная теорема. Она утверждает,
что сумма большого количества независимых случайных слагаемых, каждое
из которых вносит в эту сумму относительно малый вклад, подчиняется
универсальному закону, не зависимо от того, каким вероятностным законам
подчиняются её составляющие, — так называемому нормальному
распределению (или распределению Гаусса).

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим (его можно найти
в любом учебнике по теории вероятностей). Остановимся
кратко на том, что такое нормальное распределение и его основных свойствах.

Плотность нормального распределения выражается следующей формулой:

w𝒩⁢(x)=12⁢π⁢σ⁢e-(x-x¯)22⁢σ2.

(2.5)

Здесь x¯ и σ
— параметры нормального распределения: x¯ равно
среднему значению x, a σ —
среднеквадратичному отклонению, вычисленным в пределе n→∞.

Как видно из рис. 2.1, распределение представляет собой
симметричный
«колокол», положение вершины которого
соответствует x¯ (ввиду симметрии оно же
совпадает с наиболее вероятным значением — максимумом
функции w𝒩⁢(x)).

При значительном отклонении x от среднего величина
w𝒩⁢(x)
очень быстро убывает. Это означает, что вероятность встретить отклонения,
существенно большие, чем σ, оказывается пренебрежимо
мала. Ширина «колокола» по порядку величины
равна σ — она характеризует «разброс»
экспериментальных данных относительно среднего значения.

Замечание. Точки x=x¯±σ являются точками
перегиба графика w⁢(x) (в них вторая производная по x
обращается в нуль, w′′=0), а их положение по высоте составляет
w⁢(x¯±σ)/w⁢(x¯)=e-1/2≈0,61
от высоты вершины.

Универсальный характер центральной предельной теоремы позволяет широко
применять на практике нормальное (гауссово) распределение для обработки
результатов измерений, поскольку часто случайные погрешности складываются из
множества случайных независимых факторов. Заметим, что на практике
для приближённой оценки параметров нормального распределения
случайной величины используются выборочные значения среднего
и дисперсии: x¯≈⟨x⟩, sx≈σx.

x-x0σ2=2w⁢(x)σ1=1

Рис. 2.2: Плотность нормального распределения

Доверительные вероятности.

Вычислим некоторые доверительные вероятности (2.4) для нормально
распределённых случайных величин.

Замечание. Значение интеграла вида ∫e-x2/2⁢𝑑x
(его называют интегралом ошибок) в элементарных функциях не выражается,
но легко находится численно.

Вероятность того, что результат отдельного измерения x окажется
в пределах x¯±σ оказывается равна

P|Δ⁢x|<σ=∫x¯-σx¯+σw𝒩⁢𝑑x≈0,68.

Вероятность отклонения в пределах x¯±2⁢σ:

а в пределах x¯±3⁢σ:

Иными словами, при большом числе измерений нормально распределённой
величины можно ожидать, что лишь треть измерений выпадут за пределы интервала
[x¯-σ,x¯+σ]. При этом около 5%
измерений выпадут за пределы [x¯-2⁢σ;x¯+2⁢σ],
и лишь 0,27% окажутся за пределами
[x¯-3⁢σ;x¯+3⁢σ].

Пример. В сообщениях об открытии бозона Хиггса на Большом адронном коллайдере
говорилось о том, что исследователи ждали подтверждение результатов
с точностью «5 сигма». Используя нормальное распределение (2.5)
нетрудно посчитать, что они использовали доверительную вероятность
P≈1-5,7⋅10-7=0,99999943. Такую точность можно назвать фантастической.

Полученные значения доверительных вероятностей используются при
стандартной записи результатов измерений. В физических измерениях
(в частности, в учебной лаборатории), как правило, используется P=0,68,
то есть, запись

означает, что измеренное значение лежит в диапазоне (доверительном
интервале) x∈[x¯-δ⁢x;x¯+δ⁢x] с
вероятностью 68%. Таким образом погрешность ±δ⁢x считается
равной одному среднеквадратичному отклонению: δ⁢x=σ.
В технических измерениях чаще используется P=0,95, то есть под
абсолютной погрешностью имеется в виду удвоенное среднеквадратичное
отклонение, δ⁢x=2⁢σ. Во избежание разночтений доверительную
вероятность следует указывать отдельно.

Замечание. Хотя нормальный закон распределения встречается на практике довольно
часто, стоит помнить, что он реализуется далеко не всегда.
Полученные выше соотношения для вероятностей попадания значений в
доверительные интервалы можно использовать в качестве простейшего
признака нормальности распределения: в частности, если количество попадающих
в интервал ±σ результатов существенно отличается от 2/3 — это повод
для более детального исследования закона распределения ошибок.

Сравнение результатов измерений.

Теперь мы можем дать количественный критерий для сравнения двух измеренных
величин или двух результатов измерения одной и той же величины.

Пусть x1 и x2 (x1≠x2) измерены с
погрешностями σ1 и σ2 соответственно.
Ясно, что если различие результатов |x2-x1| невелико,
его можно объяснить просто случайными отклонениями.
Если же теория предсказывает, что вероятность обнаружить такое отклонение
слишком мала, различие результатов следует признать значимым.
Предварительно необходимо договориться о соответствующем граничном значении
вероятности. Универсального значения здесь быть не может,
поэтому приходится полагаться на субъективный выбор исследователя. Часто
в качестве «разумной» границы выбирают вероятность 5%,
что, как видно из изложенного выше, для нормального распределения
соответствует отклонению более, чем на 2⁢σ.

Допустим, одна из величин известна с существенно большей точностью:
σ2≪σ1 (например, x1 — результат, полученный
студентом в лаборатории, x2 — справочное значение).
Поскольку σ2 мало, x2 можно принять за «истинное»:
x2≈x¯. Предполагая, что погрешность измерения
x1 подчиняется нормальному закону с и дисперсией σ12,
можно утверждать, что
различие считают будет значимы, если

Пусть погрешности измерений сравнимы по порядку величины:
σ1∼σ2. В теории вероятностей показывается, что
линейная комбинация нормально распределённых величин также имеет нормальное
распределение с дисперсией σ2=σ12+σ22
(см. также правила сложения погрешностей (2.7)). Тогда
для проверки гипотезы о том, что x1 и x2 являются измерениями
одной и той же величины, нужно вычислить, является ли значимым отклонение
|x1-x2| от нуля при σ=σ12+σ22.

Пример. Два студента получили следующие значения для теплоты испарения
некоторой жидкости: x1=40,3±0,2 кДж/моль и
x2=41,0±0,3 кДж/моль, где погрешность соответствует
одному стандартному отклонению. Можно ли утверждать, что они исследовали
одну и ту же жидкость?
Имеем наблюдаемую разность |x1-x2|=0,7 кДж/моль,
среднеквадратичное отклонение для разности
σ=0,22+0,32=0,36 кДж/моль.
Их отношение |x2-x1|σ≈2. Из
свойств нормального распределения находим вероятность того, что измерялась
одна и та же величина, а различия в ответах возникли из-за случайных
ошибок: P≈5%. Ответ на вопрос, «достаточно»
ли мала или велика эта вероятность, остаётся на усмотрение исследователя.

Замечание. Изложенные здесь соображения применимы, только если x¯ и
его стандартное отклонение σ получены на основании достаточно
большой выборки n≫1 (или заданы точно). При небольшом числе измерений
(n≲10) выборочные средние ⟨x⟩ и среднеквадратичное отклонение
sx сами имеют довольно большую ошибку, а
их распределение будет описываться не нормальным законом, а так
называемым t-распределением Стъюдента. В частности, в зависимости от
значения n интервал ⟨x⟩±sx будет соответствовать несколько
меньшей доверительной вероятности, чем P=0,68. Особенно резко различия
проявляются при высоких уровнях доверительных вероятностей P→1.

2.3 Независимые величины

Величины x и y называют независимыми если результат измерения одной
из них никак не влияет на результат измерения другой. Для таких величин вероятность того, что x окажется в некоторой области X, и одновременно y — в области Y,
равна произведению соответствующих вероятностей:

Обозначим отклонения величин от их средних как Δ⁢x=x-x¯ и
Δ⁢y=y-y¯.
Средние значения этих отклонений равны, очевидно, нулю: Δ⁢x¯=x¯-x¯=0,
Δ⁢y¯=0. Из независимости величин x и y следует,
что среднее значение от произведения Δ⁢x⋅Δ⁢y¯
равно произведению средних Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯
и, следовательно, равно нулю:

Δ⁢x⋅Δ⁢y¯=Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯=0.

(2.6)

Пусть измеряемая величина z=x+y складывается из двух независимых
случайных слагаемых x и y, для которых известны средние
x¯ и y¯, и их среднеквадратичные погрешности
σx и σy. Непосредственно из определения (1.1)
следует, что среднее суммы равно сумме средних:

Найдём дисперсию σz2. В силу независимости имеем

Δ⁢z2¯=Δ⁢x2¯+Δ⁢y2¯+2⁢Δ⁢x⋅Δ⁢y¯≈Δ⁢x2¯+Δ⁢y2¯,

то есть:

Таким образом, при сложении независимых величин их погрешности
складываются среднеквадратичным образом.

Подчеркнём, что для справедливости соотношения (2.7)
величины x и y не обязаны быть нормально распределёнными —
достаточно существования конечных значений их дисперсий. Однако можно
показать, что если x и y распределены нормально, нормальным
будет и распределение их суммы.

Замечание. Требование независимости
слагаемых является принципиальным. Например, положим y=x. Тогда
z=2⁢x. Здесь y и x, очевидно, зависят друг от друга. Используя
(2.7), находим σ2⁢x=2⁢σx,
что, конечно, неверно — непосредственно из определения
следует, что σ2⁢x=2⁢σx.

Отдельно стоит обсудить математическую структуру формулы (2.7).
Если одна из погрешностей много больше другой, например,
σx≫σy,
то меньшей погрешностью можно пренебречь, σx+y≈σx.
С другой стороны, если два источника погрешностей имеют один порядок
σx∼σy, то и σx+y∼σx∼σy.

Эти обстоятельства важны при планирования эксперимента: как правило,
величина, измеренная наименее точно, вносит наибольший вклад в погрешность
конечного результата. При этом, пока не устранены наиболее существенные
ошибки, бессмысленно гнаться за повышением точности измерения остальных
величин.

Пример. Пусть σy=σx/3,
тогда σz=σx⁢1+19≈1,05⁢σx,
то есть при различии двух погрешностей более, чем в 3 раза, поправка
к погрешности составляет менее 5%, и уже нет особого смысла в учёте
меньшей погрешности: σz≈σx. Это утверждение
касается сложения любых независимых источников погрешностей в эксперименте.

2.4 Погрешность среднего

Выборочное среднее арифметическое значение ⟨x⟩, найденное
по результатам n измерений, само является случайной величиной.
Действительно, если поставить серию одинаковых опытов по n измерений,
то в каждом опыте получится своё среднее значение, отличающееся от
предельного среднего x¯.

Вычислим среднеквадратичную погрешность среднего арифметического
σ⟨x⟩.
Рассмотрим вспомогательную сумму n слагаемых

Если {xi} есть набор независимых измерений
одной и той же физической величины, то мы можем, применяя результат
(2.7) предыдущего параграфа, записать

σZ=σx12+σx22+…+σxn2=n⁢σx,

поскольку под корнем находится n одинаковых слагаемых. Отсюда с
учётом ⟨x⟩=Z/n получаем

Таким образом, погрешность среднего значения x по результатам
n независимых измерений оказывается в n раз меньше погрешности
отдельного измерения. Это один из важнейших результатов, позволяющий
уменьшать случайные погрешности эксперимента за счёт многократного
повторения измерений.

Подчеркнём отличия между σx и σ⟨x⟩:

величина σx — погрешность отдельного
измерения — является характеристикой разброса значений
в совокупности измерений {xi}, i=1..n. При
нормальном законе распределения примерно 68% измерений попадают в
интервал ⟨x⟩±σx;

величина σ⟨x⟩ — погрешность
среднего — характеризует точность, с которой определено
среднее значение измеряемой физической величины ⟨x⟩ относительно
предельного («истинного») среднего x¯;
при этом с доверительной вероятностью P=68% искомая величина x¯
лежит в интервале
⟨x⟩-σ⟨x⟩<x¯<⟨x⟩+σ⟨x⟩.

2.5 Результирующая погрешность опыта

Пусть для некоторого результата измерения известна оценка его максимальной
систематической погрешности Δсист и случайная
среднеквадратичная
погрешность σслуч. Какова «полная»
погрешность измерения?

Предположим для простоты, что измеряемая величина в принципе
может быть определена сколь угодно точно, так что можно говорить о
некотором её «истинном» значении xист
(иными словами, погрешность результата связана в основном именно с
процессом измерения). Назовём полной погрешностью измерения
среднеквадратичное значения отклонения от результата измерения от
«истинного»:

Отклонение x-xист можно представить как сумму случайного
отклонения от среднего δ⁢xслуч=x-x¯
и постоянной (но, вообще говоря, неизвестной) систематической составляющей
δ⁢xсист=x¯-xист=const:

Причём случайную составляющую можно считать независимой от систематической.
В таком случае из (2.7) находим:

σполн2=⟨δ⁢xсист2⟩+⟨δ⁢xслуч2⟩≤Δсист2+σслуч2.

(2.9)

Таким образом, для получения максимального значения полной
погрешности некоторого измерения нужно квадратично сложить максимальную
систематическую и случайную погрешности.

Если измерения проводятся многократно, то согласно (2.8)
случайная составляющая погрешности может быть уменьшена, а систематическая
составляющая при этом остаётся неизменной:

Отсюда следует важное практическое правило
(см. также обсуждение в п. 2.3): если случайная погрешность измерений
в 2–3 раза меньше предполагаемой систематической, то
нет смысла проводить многократные измерения в попытке уменьшить погрешность
всего эксперимента. В такой ситуации измерения достаточно повторить
2–3 раза — чтобы убедиться в повторяемости результата, исключить промахи
и проверить, что случайная ошибка действительно мала.
В противном случае повторение измерений может иметь смысл до
тех пор, пока погрешность среднего
σ⟨x⟩=σxn
не станет меньше систематической.

Замечание. Поскольку конкретная
величина систематической погрешности, как правило, не известна, её
можно в некотором смысле рассматривать наравне со случайной —
предположить, что её величина была определена по некоторому случайному
закону перед началом измерений (например, при изготовлении линейки
на заводе произошло некоторое случайное искажение шкалы). При такой
трактовке формулу (2.9) можно рассматривать просто
как частный случай формулы сложения погрешностей независимых величин
(2.7).
Подчеркнем, что вероятностный закон, которому подчиняется
систематическая ошибка, зачастую неизвестен. Поэтому неизвестно и
распределение итогового результата. Из этого, в частности, следует,
что мы не можем приписать интервалу x±Δсист какую-либо
определённую доверительную вероятность — она равна 0,68
только если систематическая ошибка имеет нормальное распределение.
Можно, конечно, предположить,
— и так часто делают — что, к примеру, ошибки
при изготовлении линеек на заводе имеют гауссов характер. Также часто
предполагают, что систематическая ошибка имеет равномерное
распределение (то есть «истинное» значение может с равной вероятностью
принять любое значение в пределах интервала ±Δсист).
Строго говоря, для этих предположений нет достаточных оснований.

Пример. В результате измерения диаметра проволоки микрометрическим винтом,
имеющим цену деления h=0,01 мм, получен следующий набор из n=8 значений:

Вычисляем среднее значение: ⟨d⟩≈386,3 мкм.
Среднеквадратичное отклонение:
σd≈9,2 мкм. Случайная погрешность среднего согласно
(2.8):
σ⟨d⟩=σd8≈3,2
мкм. Все результаты лежат в пределах ±2⁢σd, поэтому нет
причин сомневаться в нормальности распределения. Максимальную погрешность
микрометра оценим как половину цены деления, Δ=h2=5 мкм.
Результирующая полная погрешность
σ≤Δ2+σd28≈6,0 мкм.
Видно, что σслуч≈Δсист и проводить дополнительные измерения
особого смысла нет. Окончательно результат измерений может быть представлен
в виде (см. также правила округления
результатов измерений в п. 4.3.2)

d=386±6⁢мкм,εd=1,5%.

Заметим, что поскольку случайная погрешность и погрешность
прибора здесь имеют один порядок величины, наблюдаемый случайный разброс
данных может быть связан как с неоднородностью сечения проволоки,
так и с дефектами микрометра (например, с неровностями зажимов, люфтом
винта, сухим трением, деформацией проволоки под действием микрометра
и т. п.). Для ответа на вопрос, что именно вызвало разброс, требуются
дополнительные исследования, желательно с использованием более точных
приборов.

Пример. Измерение скорости
полёта пули было осуществлено с погрешностью δ⁢v=±1 м/c.
Результаты измерений для n=6 выстрелов представлены в таблице:

Усреднённый результат ⟨v⟩=162,0⁢м/с,
среднеквадратичное отклонение σv=13,8⁢м/c, случайная
ошибка для средней скорости
σv¯=σv/6=5,6⁢м/с.
Поскольку разброс экспериментальных данных существенно превышает погрешность
каждого измерения, σv≫δ⁢v, он почти наверняка связан
с реальным различием скоростей пули в разных выстрелах, а не с ошибками
измерений. В качестве результата эксперимента представляют интерес
как среднее значение скоростей ⟨v⟩=162±6⁢м/с
(ε≈4%), так и значение σv≈14⁢м/с,
характеризующее разброс значений скоростей от выстрела к выстрелу.
Малая инструментальная погрешность в принципе позволяет более точно
измерить среднее и дисперсию, и исследовать закон распределения выстрелов
по скоростям более детально — для этого требуется набрать
бо́льшую статистику по выстрелам.

Пример. Измерение скорости
полёта пули было осуществлено с погрешностью δ⁢v=10 м/c. Результаты
измерений для n=6 выстрелов представлены в таблице:

Усреднённый результат ⟨v⟩=163,3⁢м/с,
σv=12,1⁢м/c, σ⟨v⟩=5⁢м/с,
σполн≈11,2⁢м/с. Инструментальная
погрешность каждого измерения превышает разброс данных, поэтому в
этом опыте затруднительно сделать вывод о различии скоростей от выстрела
к выстрелу. Результат измерений скорости пули:
⟨v⟩=163±11⁢м/с,
ε≈7%. Проводить дополнительные выстрелы при такой
большой инструментальной погрешности особого смысла нет —
лучше поработать над точностью приборов и методикой измерений.

2.6 Обработка косвенных измерений

Косвенными называют измерения, полученные в результате расчётов,
использующих результаты прямых (то есть «непосредственных»)
измерений физических величин. Сформулируем основные правила пересчёта
погрешностей при косвенных измерениях.

2.6.1 Случай одной переменной

Пусть в эксперименте измеряется величина x, а её «наилучшее»
(в некотором смысле) значение равно x⋆ и оно известно с
погрешностью σx. После чего с помощью известной функции
вычисляется величина y=f⁢(x).

В качестве «наилучшего» приближения для y используем значение функции
при «наилучшем» x:

Найдём величину погрешности σy. Обозначая отклонение измеряемой
величины как Δ⁢x=x-x⋆, и пользуясь определением производной,
при условии, что функция y⁢(x) — гладкая
вблизи x≈x⋆, запишем

где f′≡d⁢yd⁢x — производная фукнции f⁢(x), взятая в точке
x⋆. Возведём полученное в квадрат, проведём усреднение
(σy2=⟨Δ⁢y2⟩,
σx2=⟨Δ⁢x2⟩), и затем снова извлечём
корень. В результате получим

Пример. Для степенной функции
y=A⁢xn имеем σy=n⁢A⁢xn-1⁢σx, откуда

σyy=n⁢σxx,или εy=n⁢εx,

то есть относительная погрешность степенной функции возрастает пропорционально
показателю степени n.

Пример. Для y=1/x имеем ε1/x=εx
— при обращении величины сохраняется её относительная
погрешность.

Упражнение. Найдите погрешность логарифма y=ln⁡x, если известны x
и σx.

Упражнение. Найдите погрешность показательной функции y=ax,
если известны x и σx. Коэффициент a задан точно.

2.6.2 Случай многих переменных

Пусть величина u вычисляется по измеренным значениям нескольких
различных независимых физических величин x, y, …
на основе известного закона u=f⁢(x,y,…). В качестве
наилучшего значения можно по-прежнему взять значение функции f
при наилучших значениях измеряемых параметров:

Для нахождения погрешности σu воспользуемся свойством,
известным из математического анализа, — малые приращения гладких
функции многих переменных складываются линейно, то есть справедлив
принцип суперпозиции малых приращений:

где символом fx′≡∂⁡f∂⁡x обозначена
частная производная функции f по переменной x —
то есть обычная производная f по x, взятая при условии, что
все остальные аргументы (кроме x) считаются постоянными параметрами.
Тогда пользуясь формулой для нахождения дисперсии суммы независимых
величин (2.7), получим соотношение, позволяющее вычислять
погрешности косвенных измерений для произвольной функции
u=f⁢(x,y,…):

σu2=fx′⁣2⁢σx2+fy′⁣2⁢σy2+…

(2.11)

Это и есть искомая общая формула пересчёта погрешностей при косвенных
измерениях.

Отметим, что формулы (2.10) и (2.11) применимы
только если относительные отклонения всех величин малы
(εx,εy,…≪1),
а измерения проводятся вдали от особых точек функции f (производные
fx′, fy′ … не должны обращаться в бесконечность).
Также подчеркнём, что все полученные здесь формулы справедливы только
для независимых переменных x, y, …

Остановимся на некоторых важных частных случаях формулы
(2.11).

Пример. Для суммы (или разности) u=∑i=1nai⁢xi имеем

σu2=∑i=1nai2⁢σxi2.

(2.12)

Пример. Найдём погрешность степенной функции:
u=xα⋅yβ⋅…. Тогда нетрудно получить,
что

σu2u2=α2⁢σx2x2+β2⁢σy2y2+…

или через относительные погрешности

εu2=α2⁢εx2+β2⁢εy2+…

(2.13)

Пример. Вычислим погрешность произведения и частного: u=x⁢y или u=x/y.
Тогда в обоих случаях имеем

εu2=εx2+εy2,

(2.14)

то есть при умножении или делении относительные погрешности складываются
квадратично.

Пример. Рассмотрим несколько более сложный случай: нахождение угла по его тангенсу

u=arctgyx.

В таком случае, пользуясь тем, что (arctgz)′=11+z2,
где z=y/x, и используя производную сложной функции, находим
ux′=uz′⁢zx′=-yx2+y2,
uy′=uz′⁢zy′=xx2+y2, и наконец

σu2=y2⁢σx2+x2⁢σy2(x2+y2)2.

Упражнение. Найти погрешность вычисления гипотенузы z=x2+y2
прямоугольного треугольника по измеренным катетам x и y.

По итогам данного раздела можно дать следующие практические рекомендации.

•

Как правило, нет смысла увеличивать точность измерения какой-то одной
величины, если другие величины, используемые в расчётах, остаются
измеренными относительно грубо — всё равно итоговая погрешность
скорее всего будет определяться самым неточным измерением. Поэтому
все измерения имеет смысл проводить примерно с одной и той же
относительной погрешностью.
•

При этом, как следует из (2.13), особое внимание
следует уделять измерению величин, возводимых при расчётах в степени
с большими показателями. А при сложных функциональных зависимостях
имеет смысл детально проанализировать структуру формулы
(2.11):
если вклад от некоторой величины в общую погрешность мал, нет смысла
гнаться за высокой точностью её измерения, и наоборот, точность некоторых
измерений может оказаться критически важной.
•

Следует избегать измерения малых величин как разности двух близких
значений (например, толщины стенки цилиндра как разности внутреннего
и внешнего радиусов): если u=x-y, то абсолютная погрешность
σu=σx2+σy2
меняется мало, однако относительная погрешность
εu=σux-y
может оказаться неприемлемо большой, если x≈y.

Источник

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

–
математическое ожидание,

–
среднее квадратическое отклонение

Вероятность того, что

примет
значение, принадлежащее интервалу

где

– функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

В частности, при

справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

, где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

Таблица значений функции Лапласа
Непрерывная случайная величина
Показательный закон распределения случайной величины
Равномерный закон распределения случайной величины

Пример 2

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

– ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

– ошибка не
превзошла 5 мм;

– ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3;
α=4; β=6

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10. Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11;
σ=0.2.

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.

Источник

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

f (x) =	1		ì	(x — m)	2	ü
	exp í—		ý	,	(2.9.1)
		2s2
	2p s	î		þ

где –¥ < m < ¥ и s > 0 –– некоторые параметры.

График функции плотности вероятности(2.9.1) имеет максимум в точке х = m , а точки перегиба отстоят от точкиm на расстояние s. При х ® ±¥ функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю(ее график изображен на рис. 2.9.1).

Рис. 2.9.1

Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр m равен

математическому

ожиданию

нормально

распределенной

случайной

величины,

дисперсия D( X ) = s2 .

Если

X : N (m;s2 ),

т.е. X

имеет

нормальный закон распределения с параметрами m и s2, то

Р(а <

Х < =b)

æ b — m ö

æ a — m ö

Fç

— Fç

÷ ,

(2.9.2)

òexp=

где F(x)

í—

ý dt

–– функция Лапласа.

Значения

функции F(x) можно

найти

по

таблице(см. прил., табл.

П2). Функция

Лапласа нечетна, т.е. F(—x)= –F(x). Поэтому ее

таблица

дана только для неотрицательныхх. График функции Лапласа изображен

на рис. 2.9.2. При

значениях х > 5

она практически остается постоянной.

Поэтому в таблице даны значения функции

только

0для£ х £ 5. При

значениях х > 5 можно считать, что F(x) = 0,5.

Рис. 2.9.2

Если X : N (m;s2 ), то


		æ a ö
	Р(\| X — m \|< a) =2Fç			÷.		(2.9.3)

		è s ø
Пример	2.49. Случайная величинаX	имеет	нормальный закон
распределения	N (m;s2 ) . Известно, что	P( X <1) = 0,15866, а P( X > 4) =
= 0,30854. Найти значения параметров m и s2.
Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):
	æ1 — m ö	æ	-¥ — m ö
P( X <1) = P(-¥ < X <1) = Fç		÷	— Fç	=	÷

	è	s ø	è	s	ø

æ1 — m ö

=Fç ÷ + F(¥) = 0,15866.

è s ø

Так как F(¥) = 0,5,	æ1 — m ö	æ m —1ö	= 0,5 – 0,15866=	0,34134. По
то -Fç		÷	= Fç		÷
s	s
	è	ø	è	ø

таблице функции		Лапласа(см. прил., табл.	П2)	находим,	что	F(1) =
= 0,34134. Поэтому		m —1	=1 или m – 1 = s.
	s

Аналогично				æ	¥ — m ö	æ	4 — m ö
P( X > 4) = P(4 < X < ¥) =Fç		÷	— Fç	=	÷	0,30854.
s
				è	ø	è	s	ø

Так как F(¥) = 0,5,	æ 4 — m ö	0,5 –= 0,30854 0,19146= . По таблице
то Fç		÷
s
	è	ø

функции Лапласа (см.	прил., табл. П2)	находим, что F(1 / 2) = 0,19146.
Поэтому	4 — m	= 0,5	или m – 4 = –0,5s.	Из системы двух уравнений
s

m – 1 = s и m – 4 = –0,5s находим, что m = 3 , а s = 2 , т.е. s2 = 4. Итак, случайная величина X имеет нормальный закон распределенияN(3;4).

График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 2.9.3.

Ответ. m = 3 ; s2 = 4.

							Рис. 2.9.3
	Задача	2.49.	Случайная	величинаX	имеет	нормальный закон
распределения N (m;s2 ) . Известно, что:
	а) для нечетных вариантов P( X < =a)	a, а P( X < =b)	b;
	б) для четных вариантов P( X < =a) a, а P( X > =b)	b.
	Найдите значения	параметровm и	s2.	Сделайте	эскиз	функции
плотности вероятности	при найденных	значениях	параметров. Найдите
P( X 2 < 4). (См. пример 2.49 и исходные данные.)
	Исходные данные к задаче 2.49.
№	a		a	b		b		№	a	a		b		b
1	–2		0,0668	3		0,8413		16	–1/2	0,4013	2		0,1587
2	–1		0,1587	5		0,0227		17	5	0,6915	2		0,1587
3	–1		0,4332	4		0,8413		18	5	0,6915	2		0,8413
4	0		0,1587	6		0,0227		19	2	0,0227	8		0,8413
5	–2		0,1587	1		0,6915		20	2	0,0227	8		0,1587
6	2		0,8413	–1		0,6915		21	3	0,1587	12		0,9773
7	1		0,1587	5		0,8413		22	3	0,1587	4,5		0,6915
8	1		0,1587	5		0,1587		23	0	0,3085	6		0,8413
9	–6		0,0227	3		0,8413		24	0	0,3085	6		0,6915
10	3		0,1587	6		0,0227		25	–2	0,1587	4		0,6915
11	–3		0,1587	0		0,6915		26	–2	0,1587	4		0,3085
12	–3		0,1587	0		0,3085		27	2	0,5000	4		0,6915
13	0		0,3446	5		0,7258		28	4	0,6915	2		0,5000
14	–1/2		0,4013	2		0,8413		29	–3	0,1587	0		0,9773
15	–3		0,1587	0		0,0227		30	0	0,3446	5		0,2742

Пример 2.50. Ошибка измеренияX имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк2. Какова вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?

Решение. По условиям задачиX ~ N (1;4). Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет2 мк. По формуле (2.9.2)

P(\| X \|£	2) = P(—2 £	X £	æ 2 —1 ö	æ	—2 —1	ö
2) = Fç			÷	— Fç	=	÷	F(1 / 2)	— F(—3 / 2)=

			è		2 ø	è	2	ø
	= F(1 / 2) + F(3 / 2)	=0,1915 + 0, 4332 = 0, 6241.

Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.9.4.

Рис. 2.9.4

Каждое измерение можно рассматривать как независимый .опыт Поэтому по формуле Бернулли(2.6.1) вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна P3 (3) =

= C33 (0,6241)3 (0,3753)0 »1 / 4.

Ответ. »1 / 4.

Задача 2.50. Ошибка измеренияX имеет нормальный закон распределения N (m;s2 ) . Найдите вероятность того, что при измерении ошибка по модулю не превысит v. Изобразите найденную вероятность на рисунке. Найдите вероятность того, что в n независимых измерениях ошибка измерения k раз превзойдет v. (См. пример 2.50 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.50.

№	m	s2	v	n	k	№	m	s2	v	n	k	№	m	s2	v	n	k
1	–1	4	2	4	1	11	2	2,25	3	4	1	21	–1	9	3	3	1
2	2	9	3	3	1	12	0,5	4	2	3	1	22	2	2,25	2	3	1
3	1	4	3	4	2	13	2	9	3	4	1	23	0,5	4	3	4	1
4	2	4	3	3	1	14	0,5	9	3	4	2	24	0,5	6,25	4	3	1
5	–1	16	5	4	1	15	–1	4	3	4	2	25	2	9	3	4	2
6	2	4	4	3	1	16	0,5	4	3	4	1	26	0,5	9	4	3	1
7	1	2,25	3	3	1	17	0,5	16	3	3	1	27	1,5	4	3	3	2

8	–1	9	2	4	1	18	2	9	3	4	1	28	–2	9	3	4	1
9	2	9	3	3	1	19	0,5	4	2	4	2	29	0	4	3	4	2
10	1	4	3	4	2	20	0,5	2,25	3	3	1	30	0	9	4	3	1

Пример 2.51. Функция плотности вероятности случайной величины

X имеет вид
f (x) = gexp{—2x2 – 4 / 3x +1 / 3}.	(2.9.4)

Требуется определить коэффициентg, найти M ( X ) и D( X ) , определить тип закона распределения, нарисовать график функции f (x) , вычислить вероятность P(—1 < X < 0).

	Замечание.	Если	каждый закон распределения из некоторого
семейства	законов	распределения	имеет	функцию	распределения
æ x — a ö		где F (x) –– фиксированная
F ç			÷	,	функция	распределения,	a Î R,
b
è	ø
b > 0,	то		говорят,	что эти	законы распределенияпринадлежат к	одному

виду или типу распределений. Параметр a называют параметром сдвига, b –

– параметром масштаба.

Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интеграл от нее по всей числовой оси должен быть равен единице:

¥¥

ò	f (x) dx = g ò e—2 x2 —3/4 x+1/3dx =1.	(2.9.5)
-¥	-¥

Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:

—2(x2 + 2 / 3x —1=/ 6) —2(x2 + 2 / 3x +1 / 9 —1 / 9 —1=/ 6) —2( x +1 / 3)2 + 5 / 9.

Тогда (2.9.5) можно записать в виде

e5/9 g ò e—2( x+1/3)2 dx =1.

(2.9.6)

-¥

Сделаем

замену

переменных

,такчтобы

2(x +1 / 3)2 = t 2 / 2, т..е

x +1 / 3 = t / 2,

dx = dt / 2.

Пределы интегрирования при этом останутся

прежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду

e5/9 g ò e—t 2 /2

=1.

-¥

Умножим и разделим левую часть равенства на

. Получим равенство

e5/9

ò e—t2 /2 dt =1.

-¥

Так как 1 ò e—t2 /2 dt =1, как интеграл по всей числовой оси от

2p -¥

функции

плотности

вероятности

стандартного

нормального

закона

распределения N(0,1), то приходим к выводу, что

g =

e—5/9 .

Поэтому

f (x) =

e—5/9 exp{—2x2

– 4 / 3x +1 / 3}

exp{= —2x2 — 4 / 3x – 2 / 9} =

exp{—2(x2 + 2 / 3x +1 / 9)} =

( x+1/3)2

2×1/4 .

—

0,5

Последняя

запись

означает, что

случайная

величина

имеет

нормальный

закон

распределения

параметрамиm = —1 / 3 и s2 =1 / 4.

График функции плотности вероятности этого закона изображен на .рис

2.9.5. Распределение случайной величиныX принадлежит к семейству

нормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)

P(—1 < X < 0)=

æ 0 — (—1 / 3) ö

æ —1

— (—1 / 3)

F(2 / 3)

+ F(4= / 3) 0,653.

Fç

— F

ç=

1 / 2

						Рис. 2.9.5
Ответ. g =		2		е—5/9 ,	M ( X ) = —1 / 3,	D( X ) =1 / 4, N (—1 / 3; 1 / 4).

2p

Задача 2.51. Функция плотности вероятности случайной величиныX
имеет вид					f (x) = gexp{ax2 + bx + c}.

Найдите	коэффициент g, M ( X ),	D( X ) , определите	тип закона
распределения,	нарисуйте	график функции f (x) . Вычислите	P(\| x \|< 2).

(См. пример 2.51 и исходные данные.)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Нормальное распределение

Время на прочтение
7 мин

Количество просмотров 37K

Автор статьи: Виктория Ляликова

Нормальный закон распределения или закон Гаусса играет важную роль в статистике и занимает особое положение среди других законов. Вспомним как выглядит нормальное распределение

$frac{1}{sigmasqrt{2pi}}e^left(-frac{(x-a)^2)}{2sigma^2}right)$

где a -математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение.

Тестирование данных на нормальность является достаточно частым этапом первичного анализа данных, так как большое количество статистических методов использует тот факт, что данные распределены нормально. Если выборка не подчиняется нормальному закону, тогда предположении о параметрических статистических тестах нарушаются, и должны использоваться непараметрические методы статистики

Нормальное распределение естественным образом возникает практически везде, где речь идет об измерении с ошибками. Например, координаты точки попадания снаряда, рост, вес человека имеют нормальный закон распределения. Более того, центральная предельная теорема вообще утверждает, что сумма большого числа слагаемых сходится к нормальной случайной величине, не зависимо от того, какое было исходное распределение у выборки. Таким образом, данная теорема устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.

Можно выделить следующие этапы проверки выборочных значений на нормальность

Подсчет основных характеристик выборки. Выборочное среднее, медиана, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Графический. К этому методу относится построение гистограммы и график квантиль-квантиль или кратко QQ
Статистические методы. Данные методы вычисляют статистику по данным и определяют, какая вероятность того, что данные получены из нормального распределения

При нормальном распределении, которое симметрично, значения медианы и выборочного среднего будут одинаковы, значения эксцесса равно 3, а асимметрии равно нулю. Однако ситуация, когда все указанные выборочные характеристики равны именно таким значениям, практически не встречается. Поэтому после этапа подсчета выборочных характеристик можно переходить к графическому представлению выборочных данных.

Гистограмма позволяет представить выборочные данные в графическом виде – в виде столбчатой диаграммы, где данные делятся на заранее определенное количество групп. Вид гистограммы дает наглядное представление функции плотности вероятности некоторой случайной величины, построенной по выборке.

График QQ (квантиль-квантиль) является графиком вероятностей, который представляет собой графический метод сравнения двух распределений путем построения их квантилей. QQ график сравнивает наборы данных теоретических и выборочных (эмпирических) распределений. Если два сравниваемых распределения подобны, тогда точки на графике QQ будут приблизительно лежать на линии y=x. Основным шагом в построении графика QQ является расчет или оценка квантилей.

Существует множество статистических тестов, которые можно использовать для проверки выборочных значений на нормальность. Каждый тест использует разные предположения и рассматривает разные аспекты данных.

Чтобы применять статистические критерии сформулируем задачу. Выдвигаются две гипотезы H0 и H1, которые утверждают

H0 — Выборка подчиняется нормальному закону распределения

H1 — Выборка не подчиняется нормальному распределению

Установи уровень значимости alpha=0,05.

Теперь задача состоит в том, чтобы на основании какого-то критерия отвергнуть или принять основную нулевую гипотезу при уровне значимости

Критерий Шапиро-Уилка

Критерий Шапиро-Уилка основан на отношении оптимальной линейной несмещенной оценки дисперсии к ее обычной оценке методом максимального правдоподобия. Статистика критерия имеет вид

$W=frac{1}{s^2}{sumlimits_{i=1}^n{a_{n-i+1}(x_{n-i+1}-x_{i})}} s^2=sumlimits_{i=1}^n(x_i-overline x^2) overline x=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^n{x}$

Числитель является квадратом оценки среднеквадратического отклонения Ллойда. Коэффициенты ${a_{n-i+1}}$ и критические значения статистики являются табулированными значениями. Если , то нулевая гипотеза нормальности распределения отклоняется на уровне значимости .

В Python функция содержится в библиотеке scipy.stats и возвращает как статистику, рассчитанную тестом, так и значение p. В Python можно использовать выборку до 5000 элементов. Интерпретация вывода осуществляется следующим образом

Если значение , тогда принимается гипотеза H0, в противном случае, т.е. если, , тогда принимается гипотеза H1, т.е. что выборка не подчиняется нормальному закону.

Критерий Д’Агостино

В данном критерии в качестве статистики для проверки нормальности распределения используется отношение оценки Даутона для стандартного отклонения к выборочному стандартному отклонению, оцененному методом максимального правдоподобия

$D=frac{T}{n^2s} T=sumlimits_{i=1}^nbigg(i-frac{n+1}{2}bigg)x_i s^2=sumlimits_{i=1}^n(x_i-overline x^2), {x_1}leq...leq{x_n}$

В качестве статистики критерия Д’Агостино используется величина

$Y=sqrt{n}frac{(D-0,28209479)}{0,02998598}$

значение которой рассчитывается на основе центральной предельной теоремы, которая утверждает, что при

$limlimits_{x to infty}Pbigg(frac{D-M[D]}{sqrt{D[D]}}{<x}bigg)=Phi(x)$

гдестандартная нормальная случайная величина.

Критические значения являются табулированными значениями. Гипотеза нормальности принимается, если значение статистики лежит в интервале критических значений. Данный критерий показывает хорошую мощность против большого спектра альтернатив, по мощности немного уступая критерию Шапиро-Уилка.

В Python функция normaltest() также содержится в библиотеке scipy.stats и возвращает статистику теста и значение p. Интерпретация результата аналогична результатам в критерии Шапиро-Уилка.

Критерий согласия— Пирсона

Данный критерий является одним из наиболее распространенных критериев проверки гипотез о виде закона распределения и позволяет проверить значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Таким образом, данный критерий позволяет проверить гипотезу о принадлежности наблюдаемой выборки некоторому теоретическому закону. Можно сказать, что критерий является универсальным, так как позволяет проверить принадлежность выборочных значений практическому любому закону распределения.

Для решения задачи используется статистика — Пирсона

$G=sumlimits_{k=1}^mfrac{(v_k-np_k)^2}{np_k}$

где — эмпирические частоты (подсчитывается число элементов выборки, попавших в интервал), ${np_k}$ — теоретические частоты. Подсчитывается критическое значение $chi^2_{кр}$ . Если $Ggeq chi^2_{кр}$ , отклоняется гипотеза о принадлежности выборки нормальному распределению и принимается, если $G< chi^2_{кр}$ .

Теперь перейдем к практической части. Для демонстрации функций будем использовать Dataset, взятый с сайта kaggle.com по прогнозированию инсульта по 11 клиническим характеристикам.

Загружаем необходимые библиотеки

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import numpy as np

Загружаем датасет

data_healthcares = pd.read_csv('E:/vika/healthcare-dataset-stroke-data.csv')

Набор состоит из 5110 строк и 12 столбцов.

Посмотрим на основные характеристики, каждого признака.
data_healthcares.describe()

Из данных характеристик можно увидеть, что есть пропущенные значения в показателях индекс массы тела. Посчитаем количество пропущенных значений.

Если бы нам необходимо было делать модель для прогноза, то пропущенные значения bmi являются достаточно большой проблемой, в которой возникает вопрос как их восстановить. Поэтому будем предполагать, что значения столбца bmi (индекс массы тела) подчиняются нормальному закону распределения (предварительно был построен график распределения, поэтому сделано такое предположение). Но так как, на данный момент, у нас нет необходимости в построении модели для прогноза, то удалим все пропущенные значения

new_data=data_healthcares.dropna()

Теперь можем приступать к проверке выборочных значений показателя bmi на нормальность. Вычислим основные выборочные характеристики

Выборочная характеристика	Код в python	Значение характеристики
Выборочное среднее	new_data.bmi.mean()	28,89
Выборочная медиана	new_data.bmi.median()	28,1
Выборочная мода	new_data.bmi.mode()	28,7
Выборочное среднеквадратическое отклонение	new_data.bmi.std()	7.854066729680458
Выборочный коэффициент асиметрии	new_data.bmi.skew()	1.0553402052962928
Выборочный эксцесс	new_data.bmi.kurtosis()	3.362659165623678

После вычислений основных характеристик мы видим, что выборочное среднее и медиана можно сказать принимают одинаковые значения и коэффициент эксцесса равен 3. Но, к сожалению коэффициент асимметрии равен 1, что вводить нас в некоторое замешательство, т.е. мы уже можем предположить, что значения bmi не подчиняются нормальному закону. Продолжим исследования, перейдем к построению графиков.

Строим гистограмму

fig = plt.figure
fig,ax= plt.subplots(figsize=(7,7))
sns.distplot(new_data.bmi,color='red',label='bmi',ax=ax)
plt.show()

Гистограмма достаточно хорошо напоминает нормальное распределение, кроме конечно, небольшого выброса справа, но смотрим дальше. Тут скорее, можно предположить, что значения bmi подчиняются распределению .

Строим QQ график. В python есть отличная функция qqplot(), содержащаяся в библиотеке statsmodel, которая позволяет строить как раз такие графики.

from statsmodels.graphics.gofplots import qqplot
from matplotlib import pyplot
qqplot(new_data.bmi, line=’s’)
Pyplot.show

Что имеем из графика QQ? Наши выборочные значений имеют хвосты слева и справа, и также в правом верхнем углу значения становятся разреженными.

На основе данных графика можно сделать вывод, что значения bmi не подчиняются нормальному закону распределения. Рядом приведен пример QQ графика распределения хи-квадрат с 8 степенями свободы из выборки в 1000 значений.

Для примера построим график QQ для выборки из нормального распределения с такими же показателями стандартного отклонения и среднего, как у bmi.

std=new_data.bmi.std() # вычисляем отклонение
mean=new_data.bmi.mean() #вычисляем среднее
Z=np.random.randn(4909)*std+mean # моделируем нормальное распределение
qqplot(Z,line='s') # строим график
pyplot.show()

Продолжим исследования. Перейдем к статистическим критериям. Будем использовать критерий Шапиро-Уилка и Д’Агостино, чтобы окончательно принять или опровергнуть предположение о нормальном распределении. Для использования критериев подключим библиотеки

from scipy.stats import shapiro
from scipy.stats import normaltest
shapiro(new_data.bmi)
ShapiroResult(statistic=0.9535483717918396, pvalue=6.623218133972133e-37)
Normaltest(new_data.bmi)
NormaltestResult(statistic=1021.1795052962864, pvalue=1.793444363882936e-222)

После применения двух тестов мы имеем, что значение p-value намного меньше заданного критического значения alpha , значит выборочные значения не принадлежат нормальному закону.

Конечно, мы рассмотрели не все тесты на нормальности, которые существуют. Какие можно дать рекомендации по проверке выборочных значений на нормальность. Лучше использовать все возможные варианты, если они уместны.

На этом все. Еще хочу порекомендовать бесплатный вебинар, который 15 июня пройдет на платформе OTUS в рамках запуска курса Математика для Data Science. На вебинаре расскажут про несколько часто используемых подходов в анализе данных, а также разберут, какие математические идеи работают у них под капотом и почему эти подходы вообще работают так, как нам нужно. Регистрация на вебинар доступна по этой ссылке.

Источник