Систематические погрешности
Систематические погрешности обусловлены
либо постоянно действующими причинами
(и поэтому повторяются при многократном
проведении анализа), либо изменяются
по постоянно действующему закону.
Источники систематических ошибок.Невозможно с исчерпывающей полнотой
перечислить все источники систематических
ошибок. Основные источники систематических
погрешностей следующие.
Методические —обусловлены
особенностями методики анализа. Например,
аналитическая реакция прошла не до
конца; имеются потери осадка вследствие
его частичной растворимости в растворе
или при его промывании; наблюдается
соосаждение примесей с осадком, вследствие
чего масса осадка возрастает, и т. д.
Инструментальные —обусловлены
несовершенством используемых приборов
и оборудования. Так, например,
систематическая погрешность взвешивания
на лабораторных аналитических весах
составляет ±0,0002 г. Систематическая
погрешность в титриметрических методах
анализа вносится вследствие неточности
калибровки бюреток, пипеток, мерных
колб, мерных цилиндров, мензурок и т. д.
Индивидуальные —обусловлены
субъективными качествами аналитика.
Так, например, дальтонизм может влиять
на определение конечной точки титрования
при визуальной фиксации изменения
окраски индикатора.
Правильность результатов анализа
определяется наличием или отсутствием
систематических погрешностей.
Существуют следующие способы выявления
систематических погрешностей.
Использование стандартных образцов.Общий состав стандартного образца
должен быть близким к составу анализируемой
пробы, а содержание определяемого
компонента в стандартном образце должно
быть точно известно.
Анализ стандартного образца — наиболее
надежный способ выявления наличия или
отсутствия систематической погрешности
и оценки правильности результата
анализа.
б) Анализ исследуемого объекта другими
методами.Исследуемый объект анализируют
методом или методами, которые не дают
систематической погрешности (метрологически
аттестованы), и сравнивают результаты
анализа с данными, полученными при
анализе того же объекта с использованием
оцениваемой методики. Сравнение позволяет
охарактеризовать правильность оцениваемой
методики (или метода) анализа.
в) Метод добавок или метод удвоения —используют при отсутствии стандартных
образцов и метрологически аттестованной
методики (или метода) анализа.
Анализируют образец, используя оцениваемую
методику. Затем удваивают массу
анализируемой пробы или увеличивают
(уменьшают) массу в иное число раз, снова
находят содержание определяемого
компонента в уже новой пробе и сравнивают
результаты анализов.
Случайные погрешности
Случайные ошибки показывают отличие
результатов параллельных определений
друг от друга и характеризуют
воспроизводимостьанализа. Причины
случайных погрешностей однозначно
указать невозможно. При многократном
повторении анализа они или не
воспроизводятся, или имеют разные
численные значения и даже разные знаки.
Некоторые понятия математической
статистики и их использование в
количественном анализе
Случайная величина(применительно
к количественному анализу) — измеряемый
аналитический сигнал (масса, объем,
оптическая плотность и др.) или результат
анализа.
Варианта —отдельное значение
случайной величины, т. е. отдельное
значение измерения аналитического
сигнала или определяемого содержания.
Генеральная совокупность —идеализированная совокупность результатов
бесконечно большого числа измерений
(вариант) случайных величин.
Относительная вероятность результатов
в генеральной совокупности при выполнении
химико-аналитических определений в
большинстве случаев описывается функцией
Гаусса (распределением Гаусса).
Однако на практике невозможно (да и не
нужно) проводить бесконечно большое
число аналитических определений, поэтому
используют не генеральную совокупность,
а выборочную совокупность — выборку.
Выборка (выборочная совокупность) —совокупность ограниченного числа
статистически эквивалентных вариант,
рассматриваемая как случайная выборка
из генеральной совокупности. Другими
словами, выборочная совокупность — это
совокупность результатов измерений
аналитических сигналов или определяемых
содержаний, рассматриваемая как случайная
выборка из генеральной совокупности,
полученной в указанных условиях.
Объем выборки —число вариантп,составляющих выборку. При статистической
обработке результатов количественного
анализа используют выборку, описываемую
распределением Стьюдента.
Распределением Стьюдента предпочтительно
пользоваться при объеме выборки п <
20.
Правильностьюизмерений называют
качество измерений, отражающее близость
к нулю систематических погрешностей.
Сходимостьюизмерений называют
качество измерений, отражающее близость
друг к другу результатов измерений,
выполняемых в одинаковых условиях.
Более широкий смысл вкладывается в
понятие «воспроизводимость».
Воспроизводимостьюизмерений
называют качество измерений, отражающее
близость друг к другу результатов
измерений, выполняемых в различных
условиях (в разное время, разными методами
и т. д.).
Точностьюизмерений называют
качество измерений, отражающее близость
их результатов к истинному значению
измеряемой величины.
Высокая точность измерений соответствует
малым погрешностям всех видов как
систематическим, так и случайным.
Количественно точность может быть
выражена обратной величиной модуля
относительной погрешности. Если,
например, относительная погрешность
измерения характеризуется значением
0,01%, то точность будет равна 1/10-4= 104.
Результат анализа, приближающийся
к истинному содержанию компонента
настолько, что может быть использован
вместо него, следует называть действительным
содержанием.
Статистическая обработка и представление
результатов количественного анализа
Расчет метрологических параметров.На практике в количественном анализе
обычно проводят не бесконечно большое
число определений, ап = 5—б независимых
определений, т. е. имеют выборку (выборочную
совокупность) объемом 5—6 вариант. Воптимальном случае рекомендуется
проводить 5 параллельных определений
(объем выборки п=5).
При наличии выборки рассчитывают
следующие метрологические параметры
в соответствии с распределением
Стьюдента.
Среднее,т. е. среднее значение
определяемой величины, согласно (1.1),
-
x =
хi
n
Среднее из конечной выборки отличается
от действительного значения а(которое обычно не известно) и зависит
от объема выборкип:
limxa
при n
Отклонение di
:
di
= xi
‑ x
— случайное отклонение i—ой
варианты от среднего.
Дисперсия V(иногда ее обозначают
какs2) показывает
рассеяние вариант относительно среднего
и характеризует воспроизводимость
анализа. Рассчитывается по формуле:
где f = n
—1 — так называемоечисло степеней
свободы.
Если известно действительное значение
определяемой величины а (или истинное
значение определяемой величины),
например при работе со стандартным
образцом, то среднеехпринимают
равныма(или);
тогда число степеней свободыf
=n.
Дисперсия среднего Vx,равна
Vx
= V/n
Стандартное отклонение (или среднее
квадратичное отклонение) s
— характеристика рассеяния вариант
относительно среднего. Она рассчитывается
как корень квадратный из дисперсииV,взятый со знаком плюс:
Очевидно, V=s2.Стандартное отклонениеs,как и
дисперсияV,характеризует
воспроизводимость количественного
анализа.
Стандартное отклонение среднего sx,определяется как
(«старое» название — средняя квадратичная
ошибка среднего арифметического).
Доверительный интервал (доверительный
интервал среднего) — интервал, в
котором с заданной доверительной
вероятностьюРнаходится действительное
значение определяемой величины
(генеральное среднее):
x ± x
гдеx—полуширина доверительного интервала.
Доверительная вероятность Р —вероятность нахождения действительного
значения определяемой величиныав пределах доверительного интервала.
Изменяется от 0 до 1 или (что то же самое)
от 0% до 100%. В фармацевтическом анализе
при контроле качества лекарственных
препаратов доверительную вероятность
чаще
всего принимают равнойР== 0,95 = 95% и
обозначают какР0,95.При оценке правильности методик или
методов анализа доверительную вероятность
обычно считают равнойР =0,99 = 99%.
Полуширину доверительного интервала
их находят по
формуле:
где tP,s
—коэффициент нормированных
отклонений (коэффициент Стьюдента,
функция Стьюдента, критерий Стьюдента),
который зависит от доверительной
вероятностиРи числа степеней
свободыf=п ‑ 1,т.е. от числаппроведенных определений.
Численные значения tP,sрассчитаны для различных возможных
величинРиnи
табулированы в справочниках.
В табл. 1.1 приведены численные значения
коэффициента Стьюдента, рассчитанные
при разных величинах пиР.
Чем больше п,тем меньшеtP,s.Однако прип >5 уменьшениеtP,s
уже сравнительно невелико, поэтому
на практике обычно считают достаточным
проведение пяти параллельных определений(п =5).
Относительная (процентная) ошибка
среднего результата :
Исключение грубых промахов.Некоторые
из результатов единичных определений
(вариант), входящих в выборочную
совокупность, могут заметно отличаться
от величин остальных вариант и вызывать
сомнения в их достоверности. Для того
чтобы статистическая обработка
результатов количественного анализа
была достоверной, выборка должна бытьоднородной,т. е. она не должна быть
отягощена сомнительными вариантами —
так называемымигрубыми промахами.Эти грубые промахи необходимо исключить
из общего объема выборки, после чего
можно проводить окончательное вычисление
статистических характеристик.
Если объем выборки невелик 5 < п <10, то выявление сомнительных результатов
анализа —исключение грубых промахов
—чаще всего проводят с помощью так
называемогоQ-критерия. Для этого
вариантыxiвначале располагают в порядке возрастания
их численного значения отх1до хn, гдеп —объем выборки, т. е. представляют в видеупорядоченной выборки.Затем для
крайних вариант — минимальнойх1и максимальнойхn
—вычисляют величинуQ пр формулам
:
-
Q1
=х2
‑ x2Q1
=хn
‑ xn-1R
R
где х2иxп‑1
—значения вариант, ближайших по
величине к крайним вариантам, а
R =xn‑x1
— размах варьирования, т. е. разность
между максимальнымхnи
минимальнымx1значениями
вариант (между крайними вариантами),
составляющих выборку.
Рассчитанные значения Q1иQnсравнивают с табличными при заданных
пи доверительной вероятности Р. Если
рассчитанные значения Q1или Qn(или оба) оказываются больше табличных
Q1Qтабл.
Q1Qтабл.
то варианты х1илихn(или обе) считаются грубыми промахами
и исключаются из выборки.
Для полученной выборки меньшего объема
проводят аналогичные расчеты до тех
пор, пока не будут исключены все грубые
промахи, так что окончательная выборка
окажется однородной и не будет отягощена
грубыми промахами.
В табл. 1.2 приведены численные величины
контрольного критерия Q для Р =
0,90—0,99 иn= 3—10.
Таблица 1.2. Численные значения Q-критерия
при доверительной вероятностиРи
объеме выборкиn
-
nP
3
4
5
6
7
8
9
10
0,90 0,95 0,99
0,94 0,98 0,99
0,76 0,8,5 0,93
0,64 0,73 0,82
0,56 0,64 0,74
0,51 0,59 0,68
0,47 0,54 0,63
0,44 0,51 0,60
0,41 0,48 0,57
n
При проведении
Q—mecma
доверительную вероятность чаще всего
принимают равной Р =
0,90 = 90%.
Если из двух крайних вариант х1ихnтолько
одна вызывает сомнение. тоQ-тест
можно проводить лишь в отношении этой
сомнительной варианты.
Пример статистической обработки и
представления результатов количественного
анализа.
Пусть содержание определяемого компонента
в анализируемом образце, найденное в
пяти параллельных единичных определениях
(п =5), оказалось равным, %: 3,01; 3,04;
3,08; 3,16 и 3,31. Известно, что систематическая
ошибка отсутствует.
Требуется провести статистическую
обработку результатов количественного
анализа (оценить их воспроизводимость)
при доверительной вероятности, равной
Р= 0,95.
Решение.1) Проведем оценку грубых
промахов с использованиемQ—критерия.
Сомнительным значением может быть
величина 3,31. Согласно формулам (1.10),
имеем:
Qрассч= (3,31 ‑
3,1б)/(3,31 ‑ 3,01) = 0,50.
Табличное значение Qтабл.приn = 5 иР=
0,90 равно (табл. 1.2)Qтабл.
= 0,64. ПосколькуQрассч.= 0,50 <Qтабл. =
64, то значение варианты 3,31 не является
грубым промахом. Выборка однородна.
2) Рассчитаем среднее значение х,отклоненияdiи сумму квадратов отклоненийdi2:
x =(3,01 +
3,04 + 3,08
+ 3,16 +
3,31)/5=3,12;
di2
= 0,0121 + 0,0064 +
0,0016 + 0,0016 +
0,0361= 0,0578.
Систематические погрешности при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.
Когда судят о погрешности, подразумевают не значение, а интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение. Поэтому говорят об оценке погрешности. Если бы погрешность оказалась измеренной, т.е. стали бы известны её знак и значение, то её можно было бы исключить из действительного значения измеряемой физической величины и получить истинное значение.
Для получения результатов, минимально отличающихся от истинного значения измеряемой физической величины, проводят многократные наблюдения и проводят математическую обработку полученного массива с целью определения и минимизации случайной составляющей погрешности.
Минимизация систематической погрешности в процессе наблюдений выполняется следующими методами: метод замещения (состоит в замещении измеряемой величины мерой), метод противопоставления (состоит в двух поочерёдных измерениях при замене местами меры и измеряемого объекта), метод компенсации погрешности по знаку (состоит в двух поочерёдных измерениях, при которых влияющая величина становится противоположной).
При многократных наблюдениях возможно апостериорное (после выполнения наблюдений) исключение систематической погрешности в результате анализа рядов наблюдений. Рассмотрим графический анализ. При этом результаты последовательных наблюдений представляются функцией времени либо ранжируются в порядке возрастания погрешности.
Рассмотрим временную зависимость. Будем проводить наблюдения через одинаковые интервалы времени. Результаты последовательных наблюдений являются случайной функцией времени. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.
Реализации отличаются преимущественно из-за влияния факторов, определяющих случайную погрешность, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для соответствующих моментов времени в каждой реализации. Значение, соответствующее каждому моменту времени, называется сечением случайной функции времени. Для каждого сечения можно найти среднее по всем реализациям значение. Очевидно, что эта составляющая и определяет систематическую погрешность. Если через значения систематической погрешности для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную закономерность изменения погрешности. Зная закономерность изменения, можем определить поправку для исключения систематической погрешности. После исключения систематической погрешности получаем «исправленный ряд результатов наблюдений».
Известен ряд способов исключения систематических погрешностей, которые условно можно разделить па 4 основные группы:
- устранение источников погрешностей до начала измерений;
- исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
- внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
- оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя исключить.
По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные и периодические.
Постоянные систематические погрешности сохраняют свое значение в течение всего времени измерений (например, погрешность в градуировке шкалы прибора переносится на все результаты измерений).
Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе измерении подрастают или убывают (например, погрешности, возникающие вследствие износа контактирующих деталей средств измерения).
И группу систематических погрешностей можно отнести: инструментальные погрешности; погрешности из-за неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.
Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. При этом предполагается, что систематические погрешности представляют собой определенную функцию неслучайных факторов, состав которых зависит от физических, конструкционных и технологических особенностей средств измерений, условий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдателя. Сложные детерминированные закономерности, которым подчиняются систематические погрешности, определяются либо при создании средств измерений и комплектации измерительной аппаратуры, либо непосредственно при подготовке измерительного эксперимента и в процессе его проведения. Совершенствование методов измерения, использование высококачественных материалом, прогрессивная технология — все это позволяет на практике устранить систематические погрешности настолько, что при обработке результатов наблюдений с их наличием зачастую не приходится считаться.
Систематические погрешности принято классифицировать в зависимости от причин их возникновения и по характеру их проявления при измерениях.
В зависимости от причин возникновения рассматриваются четыре вида систематических погрешностей.
1. Погрешности метода, или теоретические погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятой теории метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений.
Погрешности метода возникают также при экстраполяции свойства, измеренного на ограниченной части некоторого объекта, на весь объект, если последний не обладает однородностью измеряемого свойства. Так, считая диаметр цилиндрического вала равным результату, полученному при измерении в одном сечении и в одном направлении, мы допускаем систематическую погрешность, полностью определяемую отклонениями формы исследуемого вала. При определении плотности вещества по измерениям массы и объема некоторой пробы возникает систематическая погрешность, если проба содержала некоторое количество примесей, а результат измерения принимается за характеристику данного вещества -вообще.
К погрешностям метода следует отнести также те погрешности, которые возникают вследствие влияния измерительной аппаратуры на измеряемые свойства объекта. Подобные явления возникают, например, при измерении длин, когда измерительное усилие используемых приборов достаточно велико, при регистрации быстропротекаюших процессов недостаточно быстродействующей аппаратурой, при измерениях температур жидкостными или газовыми термометрами и т.д.
2. Инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений.. Среди инструментальных погрешностей в отдельную группу выделяются погрешности схемы, не связанные с неточностью изготовления средств измерения и обязанные своим происхождением самой структурной схеме средств измерений. Исследование инструментальных погрешностей является предметом специальной дисциплины — теории точности измерительных устройств.
3. Погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, являющихся частью единого комплекса, несогласованностью их характеристик, влиянием внешних температурных, гравитационных, радиационных и других полей, нестабильностью источников питания, несогласованностью входных и выходных параметров электрических цепей приборов и т.д.
4. Личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя. Такого рода погрешности вызываются, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы, асимметрией, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками.
По характеру своего поведения в процессе измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.
Постоянные систематические погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и юстировке средств измерения и остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Поэтому, если уж они возникли, их очень трудно обнаружить в результатах наблюдений.
Среди переменных систематических погрешностей принято выделять прогрессивные и периодические.
Прогрессивная погрешность возникает, например, при взвешивании, когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем другое, поэтому быстрее нагревается и
удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчета и к монотонному изменению показаний весов.
Периодическая погрешность присуща измерительным приборам с круговой шкалой, если ось вращения указателя не совпадает с осью шкалы.
Все остальные виды систематических погрешностей принято называть погрешностями, изменяющимися по сложному закону.
В тех случаях, когда при создании средств измерений, необходимых для данной измерительной установки, не удается устранить влияние систематических погрешностей, приходится специально организовывать измерительный процесс и осуществлять математическую обработку результатов. Методы борьбы с систематическими погрешностями заключаются в их обнаружении и последующем исключении путем полной или частичной компенсации. Основные трудности, часто непреодолимые, состоят именно в обнаружении систематических погрешностей, поэтому иногда приходится довольствоваться приближенным их анализом.
Способы обнаружения систематических погрешностей. Результаты наблюдений, полученные при наличии систематических погрешностей, будем называть неисправленными и в отличие от исправленных снабжать штрихами их обозначения (например, Х1, Х2 и т.д.). Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от результатов наблюдений будем также называть неисправленными и ставить штрихи у символов этих величин. Таким образом,
Поскольку неисправленные результаты наблюдений включают в себя систематические погрешности, сумму которых для каждого /-го наблюдения будем обозначать через 8., то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой величины и отличается от него на некоторую величину 0, называемую систематической погрешностью неисправленного среднего арифметического. Действительно,
Если систематические погрешности постоянны, т.е. 0/ = 0, /=1,2, …, п, то неисправленные отклонения могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений. В противном случае необходимо предварительно исправить отдельные результаты измерений, введя в них так называемые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные им по знаку:
q = -Oi.
Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические погрешности и исключить их путем введения поправок или соответствующей каждому конкретному случаю организации самого измерения. Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей.
Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой систематической погрешности.
Одним из наиболее действенных способов обнаружения систематических погрешностей в ряде результатов наблюдений является построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических.
Рассматриваемый способ обнаружения постоянных систематических погрешностей можно сформулировать следующим образом: если неисправленные отклонения результатов наблюдений резко изменяются при изменении условий наблюдений, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, зависящую от условий наблюдений.
Систематические погрешности являются детерминированными величинами, поэтому в принципе всегда могут быть вычислены и исключены из результатов измерений. После исключения систематических погрешностей получаем исправленные средние арифметические и исправленные отклонения результатов наблюдении, которые позволяют оценить степень рассеивания результатов.
Для исправления результатов наблюдений их складывают с поправками, равными систематическим погрешностям по величине и обратными им по знаку. Поправку определяют экспериментально при поверке приборов или в результате специальных исследований, обыкновенно с некоторой ограниченной точностью.
Поправки могут задаваться также в виде формул, по которым они вычисляются для каждого конкретного случая. Например, при измерениях и поверках с помощью образцовых манометров следует вводить поправки к их показаниям на местное значение ускорения свободного падения
где Р — измеряемое давление.
Введением поправки устраняется влияние только одной вполне определенной систематической погрешности, поэтому в результаты измерения зачастую приходится вводить очень большое число поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок накапливаются случайные погрешности и дисперсия результата измерения увеличивается.
Систематическая погрешность, остающаяся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие включает в себя ряд элементарных составляющих, называемых неисключенными остатками систематической погрешности. К их числу относятся погрешности:
• определения поправок;
• зависящие от точности измерения влияющих величин, входящих в формулы для определения поправок;
• связанные с колебаниями влияющих величин (температуры окружающей среды, напряжения питания и т.д.).
Перечисленные погрешности малы, и поправки на них не вводятся.
Систематические
погрешности не изменяются при увеличении
числа измерений, поскольку согласно
определению остаются постоянными или
изменяются по определенному закону в
процессе измерения. Систематические
погрешности могут быть выявлены на
основе теоретических оценок результатов,
путем сопоставления результатов,
полученных разными методами, на разных
приборах. Имеются возможности определить
систематические погрешности путем
тщательного исследования средства или
метода измерений путем построения
зависимости результатов от какого-либо
изменяющегося параметра, например
времени, климатических условий,
электромагнитных полей, напряжения
питания и т.д. В ряде случаев необходимо
выполнить большой объем исследовательской
работы для того, чтобы выявить условия,
создающие систематические погрешности
и, соответственно, представить либо
график, либо таблицу поправок, либо
определить аналитическую зависимость
систематической погрешности от
какого-либо параметра.
На
результат измерения влияют несколько
факторов, каждый из которых вызывает
свою систематическую погрешность. В
этом случае выявление аналитического
вида погрешности значительно усложняется,
приходится проводить трудоемкие
тщательные исследования, которые иногда
оканчиваются неудачей. Тем не менее,
необнаруженная систематическая
погрешность опаснее случайной, т.к.
последняя может быть минимизирована
соответствующей методикой измерения,
а систематическая невыявленная
погрешность исказит результат
непредсказуемо.
Особую
категорию систематических погрешностей
составляют измеренные с недостаточной
точностью фундаментальные и физические
константы, используемые в процессе
измерения. То же самое относится к
неточностям в стандартных справочных
данных, или к недостаточно точной
аттестации стандартных образцов.
Появление более точных справочных
данных требует пересчета результатов
всех измерений с их использованием, или
переградуировки шкал приборов. Например,
получение более точных данных о давлении
насыщающих паров индивидуальных веществ
может привести к необходимости
переградуировки термометров, манометров,
приборов для измерения концентраций и
т. д.
Уточнения
постоянной
Авогадро приводят к переградуировке
шкал всех приборов в физико-химических
измерениях. Новые исследования свойств
воды могут изменить результаты измерения
огромного числа приборов, т. к. на этих
постоянных строится температурная
шкала, шкала плотности, шкала вязкости.
Рассмотрим
группы систематических погрешностей,
отличающихся одна от другой причиной
возникновения. В основном различают
следующие группы:
-
Инструментальные
погрешности, связанные с несовершенством
конструкции прибора, неправильностью
технологии его изготовления. -
Погрешности
внешних влияний. Особенно часто в
измерительной практике приходится
сталкиваться с влиянием климатических
условий — температуры, давления,
влажности. Кроме того, весьма
распространенным источником такого
рода погрешностей является влияние
внешних электромагнитных полей и
изменения в напряжении сети питания
измерительных приборов. -
Погрешности
метода измерения. Этот вид погрешности
может быть связан как с неточностью
знания свойства объекта измерения, так
и с одинаковым влиянием разных факторов
на датчик измерительного прибора. Сюда
же можно отнести погрешности
пробоподготовки в определении состава
веществ и материалов. -
Субъективные
погрешности, связанные либо с недостаточным
вниманием, либо с невысокой квалификацией
персонала, обслуживающего прибор.
Особенно большое значение этот вид
погрешности имеет при пользовании
приборами с визуальным отсчетом. Большая
часть промахов также может быть связана
с субъективными погрешностями.
Инструментальные
Погрешности
Погрешности
Субъективные
Инструментальная
погрешность
Инструментальная
погрешность — это составляющая погрешности,
зависящая от погрешности (класса
точности) средства измерения. Такие
погрешности могут быть выявлены либо
теоретически на основании механического,
электрического, теплового, оптического
расчета конструкции прибора, либо
опытным путем на основе контроля его
показаний по образцовым мерам, по
стандартным образцам, а также
компарированием показаний прибора с
аналогичными измерениями на других
приборах.
Инструментальные
погрешности, присущие конструкции
прибора, могут быть легко выявлены из
рассмотрения кинематической, электрической
или оптической схемы. Например, взвешивание
на весах с коромыслом обязательно
содержит погрешность, связанную с
неравенством длин коромысла от точек
подвеса чашек до средней точки опоры
коромысла. В электрических измерениях
на переменном токе обязательно будут
погрешности от сдвига фаз, который
появляется в любой электрической цепи.
В оптических приборах наиболее частыми
источниками систематической погрешности
являются аберрации оптических систем
и явления параллакса. Общим источником
погрешностей в большинстве приборов
является трение и связанные с ним наличие
люфтов, мертвого хода, свободного хода,
проскальзывания.
Способы
устранения или учета инструментальных
погрешностей достаточно хорошо известны
для каждого типа прибора. В метрологии
процедуры аттестации или испытаний
часто включают в себя исследования
инструментальных погрешностей. В ряде
случаев инструментальную погрешность
можно учесть и устранить за счет методики
измерений. Например, неравноплечесть
весов можно установить, поменяв местами
объект и гири. Аналогичные приемы
существуют практически во всех видах
измерения.
Инструментальные
погрешности, часто связанные с
несовершенством технологии изготовления
измерительного прибора. Особенно это
касается серийных приборов, выпускаемых
большими партиями. При сборке может
иметь место отличие в сигналах с датчиков,
отличие в установке шкал. Подвижные
части приборов могут собираться с разным
натягом, механические детали могут
иметь разные значения допусков и посадок
даже в пределах установленной нормы. В
оптических приборах огромное значение
имеет качество сборки или юстировка
оптической измерительной системы.
Современные оптические приборы могут
иметь десятки и сотни сборочных единиц,
а допуски при сборке составляют дол и
длины волны оптического излучения (λ =
0,4 — 0,7 мкм).
Методы
выявления таких погрешностей чаще всего
состоят в индивидуальной градуировке
измерительного прибора по образцовым
мерам или по образцовым приборам. В
современных приборах коррекция показаний
может быть выполнена не только
переградуировкой шкалы, но и коррекцией
электрического сигнала или компьютерной
обработкой результата. Естественно,
что во всех случаях коррекции должно
предшествовать исследование показаний
прибора.
Инструментальные
погрешности, связанные с износом или
старением средства измерения, имеют
определенные характерные особенности.
Процесс износа, как правило, проявляется
в погрешностях измерения постепенно.
Изменяются зазоры в сопрягаемых деталях,
соприкасающиеся поверхности покрываются
коррозией, изменяются упругости пружин
и т. д. Изменяется масса гирь, уменьшаются
размеры образцовых мер, изменяются
электрические и физико-химические
свойства узлов и деталей приборов, и
все это приводит к изменению показаний
приборов. Старение приборов — это, как
правило, следствие изменений структуры
материалов, из которых сделан прибор.
Изменяются не только механические
характеристики, но и электрические,
оптические, физико-химические. Стареют
металлы и сплавы, изменяя исходную
намагниченность, стареет оптика,
приобретая дополнительное светорассеяние
или центры окраски, стареют датчики
состава веществ. Последнее хорошо
известно тем, кто профессионально
работал с химреактивами, которые могут
сорбировать воду, реагировать с окружающей
средой и с примесями. Использование
химических веществ в измерительной
технике всегда необходимо с учетом
срока годности реактива.
Устранение
погрешностей приборов от старения или
износа, как правило, проводится по
результатам поверки, когда устанавливается
погрешность по истечении какого-либо
длительного времени хранения или
эксплуатации. В ряде случаев достаточно
почистить прибор, но иногда требуется
ремонт или перекалибровка шкалы.
Например, при появлении систематических
погрешностей во взвешивании на весах
удается вернуть им работоспособность
обычным техническим обслуживанием —
регулировкой и смазкой. При более
серьезном старении приходится
переполировывать трущиеся детали или
заменять сопрягаемые детали.
Особенно
важно выявить систематическую погрешность
у приборов, предназначенных для поверки
средств измерений — у образцовых приборов.
Как правило, на образцовых приборах
выполняется меньший объем работы, чем
на рабочих приборах, и по этой причине
систематический временной «уход»
показаний может не так наглядно
проявляться. Вместе с тем невыявленная
в образцовых приборах погрешность
передается другим приборам, которые по
данному образцовому прибору поверяются.
С
целью уменьшения влияния процессов
старения на измерительную технику в
ряде случаев прибегают к искусственному
старению наиболее ответственных узлов.
У оптических приборов — рефрактометров,
интерферометров, гониометров — старение
проявляется часто в том, что несущие
конструкции «ведет», т. е. они изменяют
форму, особенно в тех местах, где есть
сварка или обработка металла резанием.
Для того чтобы свести к минимуму влияние
такого старения, готовые узлы выдерживаются
какое-то время в жестких климатических
условиях или в специальных камерах, где
процесс старения можно ускорить, изменив
температуру, давление или влажность.
Отдельное
место в инструментальных погрешностях
занимает неправильная установка и
исходная регулировка средства измерения.
Многие приборы имеют встроенные указатели
уровня. Это значит, что перед измерением
нужно отгоризонтировать прибор. Причем,
такие требования предъявляются не
только к средствам измерений высокой
точности, но и к рутинным приборам
массового использования. Например,
неправильно установленные весы будут
систематически «обвешивать» покупателя,
на гониометре невозможно работать без
тщательного горизонтирования отсчетного
устройства. В приборах для измерения
магнитного поля весьма существенным
может оказаться ориентация его
относительно силовых линий поля Земли.
Озонометры нужно очень тщательно
ориентировать по Солнцу. Многие приборы
требуют установки по уровню или по
отвесу. Если двухплечие весы не установлены
горизонтально, нарушаются соотношения
длин между коромыслами. Если маятниковые
механизмы или грузопоршневые манометры
установлены не по отвесу, то показания
таких приборов будут сильно отличаться
от истинных.
Погрешности,
возникающие вследствие внешних влияний
Под
категорией
погрешностей,
возникающих вследствие внешних влияний,
обычно понимают изменение показаний
приборов под воздействием температуры,
влажности и давления. Тем не менее, это
лишь часть причин, приводящих к появлению
систематических погрешностей. Сюда же
следует отнести влияние вибраций,
постоянных и переменных ускорений,
влияние электромагнитного поля и
различных излучений: рентгеновского,
ультрафиолетового, ионизирующих
излучений, гамма-излучения. По мере
развития техники и науки появилась
возможность и необходимость проводить
измерения в нестандартных условиях,
например в Космосе или внутри подводной
лодки. Специфичность условий измерения
может доходить до высших категорий,
если ставить задачу измерения погодных
условий на Марсе или на Венере. Такие
же особенности могут иметь место в
реальных жизненно важных для нас
ситуациях. Если речь идет о контроле
параметров ядерного реактора, то условия,
в которых работает измерительный прибор,
могут значительно отличаться от
стандартных.
Влияние
температуры
— наиболее распространенный источник
погрешности при измерениях. Поскольку
от температуры зависит длина тел,
сопротивление проводников, объем
определенного количества газа, давление
насыщенного пара индивидуальных веществ,
то сигналы со всех видов датчиков, где
используются упомянутые физические
явления, будут изменяться с изменением
температуры. Существенно, что сигнал
сдатчика не только зависит от абсолютного
значения температуры, но от градиента
температуры в том месте, где расположен
датчик. Еще одна из причин появления
«температурной» систематической
погрешности — это изменение температуры
в процессе измерения. Указанные причины
существенны при косвенных измерениях,
т. е. в тех случаях, когда нет
необходимости измерять температуру
как физическую величину. Тем не менее
в собственно температурных измерениях
необходимо тщательно исследовать
показания приборов в различных
температурных интервалах. Например,
результаты измерения теплоемкости,
теплопроводности, теплотворной
способности топлива могут сильно
искажаться от различного рода температурных
воздействий.
Учитывая
большое влияние температуры на физические
свойства материалов и, соответственно,
на показания приборов, особое внимание
следует обращать на температурные
условия в тех комнатах, лабораториях и
зданиях, где проводятся градуировочнные
или поверочные работы. Здесь необходимо
тщательно следить за отсутствием
тепловых потоков, градиентов температуры,
однородностью температуры окружающей
среды и измерительного прибора. Для
того чтобы избежать влияния этих факторов
на измерения, приборы длительное время
выдерживают в термостатированном
помещении, прежде чем начинать какие-либо
работы. Для особо точных измерений
иногда используют дистанционные
манипуляторы, чтобы исключить тепловые
помехи, создаваемые операторами.
Для
большинства приборов при испытаниях
на право серийного выпуска программа
испытаний обязательно содержит
исследование показаний прибора (одного
или нескольких образцов) в зависимости
от температуры.
Влияние
магнитных или электрических полей
сказывается не только на средствах
измерения электромагнитных величин. В
зависимости от принципа действия прибора
наведенная ЭДС или токи Фуко могут
исказить показания любого датчика,
выходным сигналом которого служит
напряжение, ток, сопротивление или
электрическая емкость. Таких приборов
существует великое множество, особенно
в тех случаях, когда приборы имеют
цифровой выход. Аналогово-цифровые
преобразователи иногда начинают
регистрировать сигналы радиочастотных
или еще каких-либо электрических полей.
Очень часто электромагнитные помехи
попадают в прибор по сети питания.
Выяснить причины появления таких ложных
сигналов, научиться вводить поправки
в измерения при наличии электромагнитных
помех — это одна из важных проблем
метрологии и измерительной техники.
Особенно
важен рассматриваемый фактор появления
систематических погрешностей в больших
городах, где хорошо поставлена связь,
телевидение, радиовещание и т.п. Уровень
электромагнитного излучения бывает
настолько высоким, что, например, вблизи
мощного телецентра может загореться
низковольтная лампочка, если ее соединить
с проволочным контуром без источника
питания. Тот же эффект можно наблюдать
в зоне действия радиолокаторов вблизи
какого-либо аэропорта. О том, что этот
фактор может существенно влиять на
показания измерительных приборов,
свидетельствует тот факт, что буквально
за последние несколько лет появились
возможности уверенной радиотелефонной
связи, а также уверенного приема
спутникового телевидения. Это означает,
что уровень сигнала в окружающем нас
пространстве достаточно высок и легко
регистрируется соответствующей техникой.
Этот же сигнал будет накладываться на
сигналы, поступающие с датчиков
измерительных приборов.
Еще
один интересный случай появления
систематических погрешностей при
измерениях связан с измерительными
приборами на кораблях. Много лет назад
опытными мореплавателями было установлено,
что если корабль идет долгое время
курсом «норд» или «зюйд» некоторые
приборы начинают показывать неверные
результаты, т. е. приобретают какую-то
систематическую погрешность. Причина
этого была выяснена довольно точно:
корабль намагничивается от магнитного
поля Земли и при дальнейшем изменении
курса сохраняет остаточную намагниченность.
В наше время это хорошо исследованный
эффект. Во время мировой войны суда
специально размагничивали, чтобы
избежать срабатывания магнитных мин.
Сейчас в ряде стран, в том числе и у нас,
созданы корабли науки, которые либо
делаются из немагнитных материалов,
либо персонал тщательно следит за
намагниченностью корпуса. Такие суда
осуществляют дальнюю и космическую
связь, занимаются экологическими
измерениями, исследуют озоновый слой
Земли, исследуют прохождения радиоволн
и выполняют еще целый ряд необходимых
функций.
Влияние
второго климатического фактора — давления
— распространяется на несколько более
узкий круг измерений, чем температура,
но существует целый ряд очень важных
видов измерения, где данные об атмосферном
или внешнем давлении практически
определяют уровень точности измерений.
Так же, как в предыдущем случае, имеет
смысл отдельно рассматривать собственно
показания датчиков в других видах
измерения. Многие типы манометров по
сути своей являются дифференциальными,
т. е. измеряют разность давлений между
двумя различными точками какой-либо
системы. В этом случае любая погрешность
определения абсолютной величины давления
в той точке, относительно которой
измеряется давление, аддитивно
накладывается на результат измерения.
Влияние
давления на сигналы датчиков очень
существенны в рефрактометрии — измерении
показателя преломления — воздуха и
газов. Это относится собственно к
измерениям рефракции, а также к измерениям
с использованием соответствующих
датчиков, например при измерении
концентрации газов и газовых смесей.
От изменения давления меняется не только
показатель преломления газа, но и другие
характеристики, такие как диэлектрическая
постоянная. Соответственно, может
измениться сигнал с любого емкостного
датчика.
В
измерении массы информация о давлении
весьма существенна в связи с тем, что
при точных измерениях массы основной
вклад в систематическую погрешность
дает архимедова сила, выталкивающая
гирю. Силы Архимеда зависят от плотности
среды (плотности воздуха) и, следовательно,
непосредственно зависят от давления,
поскольку число молекул газа в единице
объема
(3.6)
где
n0
— постоянная, называемая числом Лошмита;
р — давление; Т — температура; a p0
и T0
— нормальные значения давления и
температуры.
(3.7)
В
метрологических справочниках всегда
можно найти данные о поправках, которые
необходимо ввести при взвешивании для
учета
силы
Архимеда. Нетрудно показать, что
выталкивающая сила, действующая на
гирю, выражается формулой
(3.8)
где
ρ — плотность воздуха; ρT
— плотность материала взвешиваемого
тела; mT
— масса тела. Масса взвешиваемого тела
будет равна:
(3.9)
где
ρГ
— плотность материала гири. Если плотность
воздуха считать много меньшей плотности
материалов тела и гири, то массу
взвешиваемого тела можно выразить через
действительную массу гири плюс некоторая
поправка на силу Архимеда
(3.10)
Из
приведенныхформул следует, что при
взвешивании гирями из материала большой
плотности систематическая погрешность
от силы Архимеда меньше, чем при
взвешивании гирями из легкого материала.
В табл. 3.1 представлены поправки на силы
Архимеда, которые необходимо учитывать
при взвешивании для тела массой 100 г.
Таблица
3.1
Поправки
на силы Архимеда, которые нужно делать
при
взвешивании гирями для тела массой 100
г.
|
Плотность |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
Поправка |
230 |
100 |
70 |
50 |
15 |
6 |
0,7 |
Отдельно
следует рассматривать систематические
погрешности при измерении давления в
условиях вакуума. Здесь наиболее
существенным источником погрешностей
является селективность процесса
откачивания воздуха насосами с различными
принципами действия. Этот вопрос очень
сложен с точки зрения анализа физической
сущности процесса вакуумирования.
Насосы ротационные, сорбционные,
магниторазрядные, турбо-молекулярные
создают совершенно разный состав
остаточных газов. В итоге в каждом
отдельном случае при оценке погрешностей
измерения
вакуума
нужно анализировать совместные искажения,
вносимые в состав остаточного газа
насосом, и искажения, вносимые тем или
иным датчиком давления. В ряде случаев
для прояснения картины недостаточна
даже дополнительная калибровка, т. к.
создать достаточно точно ту среду по
составу, в которой будет работать датчик,
очень трудно.
Проблема
создания вакуума и измерения давления
остаточного вакуума является одной из
ключевых проблем современной техники
и науки. Уверенно можно утверждать, что
уровень вакуумной техники определяет
уровень многих технологий, например
технологии изготовления микросхем и
микросборок.
То
же самое относится к наукоемким видам
измерения —
масс-спектометрии
или ЯМР спектометрии. Все метрологические
категории этих видов измерения напрямую
зависят от того, насколько «чистый»
вакуум удается создать и с какой точностью
удается этот вакуум измерить.
Третий
климатический фактор, вносящий
систематические погрешности во многие
измерения, — это влажность, т. е. содержание
молекул воды в том или ином месте
расположения измерительного прибора.
При оценке такой погрешности можно
рассматривать гигрометрию как вид
измерения, т. е. возможные систематические
погрешности в измерении влагосодержания
(абсолютная влажность) и Благосостояния
(относительная влажность). Можно также
оценивать погрешность как следствие
влияния влаги на показания других типов
приборов. Например, наличие влаги
изменяет проводимость или емкость
электрических элементов датчиков. Влага
ухудшает изоляционные свойства
материалов, вызывая токи утечки. Влага
изменяет структуру многих химических
соединений, трансформируясь из свободной
влаги в кристаллизационную и обратно.
С
учетом этого становится очевидным
всеобъемлющий характер учета влажности
при оценке систематических погрешностей.
На
эти трудности накладываются еще
неоднозначности в выражении измеряемых
в гигрометрии величин и единиц. По одной
из версий исходным моментом в гигрометрии
является упругость насыщенного водяного
пара при фиксированной температуре. В
этом случае любое уточнение термодинамических
свойств воды должно привести к пересчету
всех результатов измерений. По другой
версии исходным моментом в
гигрометрии
должно являться число молекул воды в
единице объема. Эти измерения наиболее
точно выполняются радиочастотными
методами, возможности которых и определяют
погрешности гигрометрии.
Вся
проблема влияния влажности на
систематические погрешности в измерениях
обозначена во многих странах и
международных организациях как одна
из наиболее существенных. По этой причине
влияние влажности на показания любого
прибора являются обязательным элементом
любых испытаний и исследований на
предмет выявления систематической
погрешности.
Погрешности
метода измерения или теоретические
погрешности
Любое
измерение имеет предел точности. Какой
бы мы не создали измерительный инструмент,
всегда будут существовать рамки возможной
точности, превзойти которые созданием
совершенных измерительных устройств
невозможно. Всегда при измерениях идут
на допущения, отклонения от идеальных
ситуаций, от функциональных зависимостей,
ограничивая трудоемкость процесса на
основании принципа достаточности
точности измерения для решения
практической задачи. Такие допущения
приходится делать во всех видах измерений.
В
механических измерениях на практике
постоянно присутствующей систематической
погрешностью является сила Архимеда,
по разному действующая на взвешиваемый
предмет и на гири. Учет
силы
Архимеда делается только при взвешивании
на высшем уровне точности при аттестации
мер высшего разряда. Во всех практических
измерениях массы такие поправки не
делаются, ограничивая тем самым точность
определения массы.
В
электрических измерениях постоянным
источником систематической погрешности
являются собственные сопротивления
приборов, собственная распределенная
емкость и индуктивность проводников.
При использовании законов для цепей
постоянного и переменного тока как
правило собственные электрические
параметры не учитываются. Не учитываются
в большинстве случаев и возможные
термоЭДС в цепи или образования
гальванических пар. Можно свести эти
погрешности к минимуму тщательным
исследованием цепей, но в реальных
случаях стремятся работать в таких
ситуациях, когда влияние перечисленных
причин ничтожно в сравнении с необходимой
и достаточной точностью измерений.
Измерения
физико-химических величин в каждой
конкретной задаче имеет определенные
систематические погрешности, специфические
для данного вида измерения. Прежде всего
это порог чувствительности датчика
концентрации какого-либо вещества.
Детектирование отдельных атомов, т. е.
отсутствие порога чувствительности,
имеет место только для весьма специфических
методов и для очень узкого класса
веществ. Второй фактор — вещество,
например вода, может входить как в виде
собственно молекул воды, так и в виде
кристаллизационной воды. Особенно
сложно выявить фактор многообразия
различных форм существования измеряемого
компонента в случае элементного анализа.
Так, водород может встречаться в газе
или в воздухе в виде молекул водорода
Н^, может входить в состав паров воды, в
состав углеводородов и т. д. Если при
измерениях используется метод с
предварительной атомизацией пробы, то
информацию о содержании водорода в
составе какого-либо соединения можно
получить только с использованием
дополнительных усилий, например с
использованием хроматографической
колонки, которая разделит компоненты
пробы по массам.
В
температурных измерениях всегда
существуют погрешности, связанные с
температурными
градиентами, т. е. с неоднородностью
температурного поля. Практически
невозможно реализовать такую ситуацию,
когда все части термометра будут
находиться в одинаковых температурных
условиях, а это приведет к тому, что в
жидкостных термометрах не весь объем
жидкости примет измеряемую температуру,
а термопарный термометр кроме полезного
сигнала зарегистрирует все влияния
температурных градиентов на ЭДС
термопары.
В
оптических измерениях, особенно в
измерении характеристик светового
потока — фотометрии, постоянный источник
систематических погрешностей — это
рассеянный свет в измерительных приборах.
Поскольку не существует идеально
отражающих и идеально поглощающих
поверхностей, в любой ситуации внутри
каждого прибора существует некий
постоянный фон паразитной подсветки.
В прецизионных оптических прибоpax
принимаются специальные меры борьбы с
рассеянным светом: устанавливаются
светофильтры, предварительные
монохроматизаторы излучения,
изготавливаются специфические
дифракционные решетки (голографические).Тем
не менее на каком-то уровне рассеянный
свет присутствует в оптических измерениях
всегда.
В
приборах для измерения показателей
преломления —
рефрактометрах
— систематическая погрешность обычно
связана с влиянием показателя преломления
воздуха. Чтобы исключить эту погрешность,
рефрактометры высокой точности иногда
вакуумируют, т. е. откачивают из объема
прибора воздух. Эта процедура делает
прибор громоздким и дорогим, поэтому
по такому пути идут только при крайней
необходимости. Чаще просто вносят
поправки на преломление воздуха,
используя таблицы показателя преломления
при различных температурах и давлениях.
В
магнитных измерениях источником
систематической погрешности служит,
как уже указывалось, магнитное поле
Земли, а также электромагнитные поля,
создаваемые теле- и радиопередатчиками,
системами связи, линиями электропередач.
В зависимости от расстояния между
измерительным прибором и источником
помех такого рода влияние может быть
очень сильным. Методы борьбы с такими
погрешностями достаточно хорошо освоены:
это либо защита измерительных приборов
экранами, либо измерение уровня помех
другими, более чувствительными и более
точными специальными приборами.
К
систематическим погрешностям метода
измерения относятся не только перечисленные
погрешности, которые можно назвать
инструментальными, поскольку они есть
следствие влияния каких-либо причин на
измерительный прибор, но и систематические
погрешности метода или процедуры
приготовления объекта к измерениям.
Особенно наглядно это видно в измерениях
состава веществ и материалов. Например,
существует распространенный метод
определения влажности зерна путем
взвешивания определенного его количества
до и после сушки. При этом полагается,
во-первых, что испаряется вся влага и,
во-вторых, что ничего, кроме воды, не
испаряется. Понятно, что и то и другое
справедливо только с какими-то допущениями.
Другой пример — измерение содержания
двуокиси серы в дымовых газах. Если в
пробозаборном тракте есть следы влаги,
а сам зонд находится при комнатной
температуре, то сернистый газ по пути
транспортировки от трубы до измерительного
прибора прореагирует с парами воды с
образованием серной кислоты. Естественно,
что прибор покажет неверное, заниженное
значение концентрации двуокиси серы.
Еще
один источник систематической погрешности,
связанный с несовершенством методов
измерения, имеет место в тех случаях,
когда приходится пользоваться при
измерениях какими-либо таблицами или
справочными данными. Любые данные в
справочниках получены с определенной
погрешностью, которая переносится на
объект измерения автоматически. Такого
же рода погрешности появляются при
использовании стандартных образцов.
Погрешности в аттестации стандартного
образца непосредственно ограничиваютточность
измерения в любом методе, когда
используются при калибровке и градуировке
стандартные образцы.
После
перечисления многочисленных причин
появления систематических погрешностей,
заключенных в методе измерения, может
показаться, что точно вообще ничего
измерить невозможно. На самом деле в
большинстве случаев обеспечивается
достаточный запас точности, или проводятся
специальные исследования по выявлению
причин систематических погрешностей.
После этого вносятся поправки либо в
показания шкал приборов, либо в методику
измерений.
Субъективные
систематические погрешности
На
результаты измерений непосредственное
влияние оказывает квалификация персонала
и индивидуальные особенности человека,
работающего на приборе. Для полной
реализации возможностей измерительного
прибора или метода предела для
совершенствования не существует. В
главе, посвященной эталонам, изложена
история совершенствования эталона
длины. На таком уровне обычных инженерных
знаний недостаточно, по этой причине
процесс измерения ставят рядом с
искусством. Понятно, что получить
информацию о результатах измерений
состава атмосферы на Венере, расшифровать
ее и оценить погрешность может только
очень квалифицированный человек. С
другой стороны, некоторые измерения,
например температуры тела человека,
может выполнить любой, даже неграмотный
человек.
На
субъективные погрешности измерений
влияют самые разнообразные особенности
человека. Известно, что время реакции
на звук, на свет, на запах, на тепло у
каждого человека разное. Хорошо известно,
что дискретные кадры в кино или в
телевизоре, следующие 25 раз в секунду,
воспринимаются наблюдателем как
непрерывная картина. Из этого следует,
что между откликом прибора и реакцией
человека временной интервал в 1/25 секунды
не может быть зарегистрирован.
Еще
одним наглядным примером влияния
оператора на результат измерения служат
измерения цвета. Человеческий глаз
имеет два аппарата зрения — дневной и
сумеречный. Дневной аппарат представляет
собой комбинацию из красных, зеленых и
синих рецепторов. У большой части людей
наблюдаются отклонения от средних
статистических характеристик — хорошо
известный дефект, называемый в обиходе
дальтонизмом. У человека может ненормально
функционировать либо какой-нибудь
рецептор, либо какой-нибудь аппарат
зрения. Принято проверять на правильность
цветовосприятия только водителей
транспорта. Обычный персонал, занимающийся
измерениями, никто на цветовосприятие
не проверяет. Это может привести к
неверным измерениям координат цвета
или температуры пирометром, т. е. в тех
случаях, когда используются визуальные
методы оценки яркости или цвета. Известно
также, что у человека цветовосприятие
может измениться с возрастом. Это связано
с тем, что стекловидное тело глаза с
возрастом желтеет, в результате чего
цвет одним и тем же человеком воспринимается
с годами по-разному. Некоторые художники,
восстанавливавшие свои собственные
картины через десятки лет, изображали
все в синих тонах.
Субъективное
восприятие человеком результата
измерения в большой степени определяется
также опытом работы. Например, при
измерении состава сплавов визуальным
стилометром опыт работы является
определяющим в получении достоверного
и точного результата. Опытный оператор
по появлению спектральных линий в поле
зрения прибора может определить не
только тип сплава, но и количественное
содержание в нем многих элементов.
From Wikipedia, the free encyclopedia
«Systematic bias» redirects here. For the sociological and organizational phenomenon, see Systemic bias.
Observational error (or measurement error) is the difference between a measured value of a quantity and its true value.[1] In statistics, an error is not necessarily a «mistake». Variability is an inherent part of the results of measurements and of the measurement process.
Measurement errors can be divided into two components: random and systematic.[2]
Random errors are errors in measurement that lead to measurable values being inconsistent when repeated measurements of a constant attribute or quantity are taken. Systematic errors are errors that are not determined by chance but are introduced by repeatable processes inherent to the system.[3] Systematic error may also refer to an error with a non-zero mean, the effect of which is not reduced when observations are averaged.[citation needed]
Measurement errors can be summarized in terms of accuracy and precision.
Measurement error should not be confused with measurement uncertainty.
Science and experiments[edit]
When either randomness or uncertainty modeled by probability theory is attributed to such errors, they are «errors» in the sense in which that term is used in statistics; see errors and residuals in statistics.
Every time we repeat a measurement with a sensitive instrument, we obtain slightly different results. The common statistical model used is that the error has two additive parts:
- Systematic error which always occurs, with the same value, when we use the instrument in the same way and in the same case.
- Random error which may vary from observation to another.
Systematic error is sometimes called statistical bias. It may often be reduced with standardized procedures. Part of the learning process in the various sciences is learning how to use standard instruments and protocols so as to minimize systematic error.
Random error (or random variation) is due to factors that cannot or will not be controlled. One possible reason to forgo controlling for these random errors is that it may be too expensive to control them each time the experiment is conducted or the measurements are made. Other reasons may be that whatever we are trying to measure is changing in time (see dynamic models), or is fundamentally probabilistic (as is the case in quantum mechanics — see Measurement in quantum mechanics). Random error often occurs when instruments are pushed to the extremes of their operating limits. For example, it is common for digital balances to exhibit random error in their least significant digit. Three measurements of a single object might read something like 0.9111g, 0.9110g, and 0.9112g.
Characterization[edit]
Measurement errors can be divided into two components: random error and systematic error.[2]
Random error is always present in a measurement. It is caused by inherently unpredictable fluctuations in the readings of a measurement apparatus or in the experimenter’s interpretation of the instrumental reading. Random errors show up as different results for ostensibly the same repeated measurement. They can be estimated by comparing multiple measurements and reduced by averaging multiple measurements.
Systematic error is predictable and typically constant or proportional to the true value. If the cause of the systematic error can be identified, then it usually can be eliminated. Systematic errors are caused by imperfect calibration of measurement instruments or imperfect methods of observation, or interference of the environment with the measurement process, and always affect the results of an experiment in a predictable direction. Incorrect zeroing of an instrument leading to a zero error is an example of systematic error in instrumentation.
The Performance Test Standard PTC 19.1-2005 “Test Uncertainty”, published by the American Society of Mechanical Engineers (ASME), discusses systematic and random errors in considerable detail. In fact, it conceptualizes its basic uncertainty categories in these terms.
Random error can be caused by unpredictable fluctuations in the readings of a measurement apparatus, or in the experimenter’s interpretation of the instrumental reading; these fluctuations may be in part due to interference of the environment with the measurement process. The concept of random error is closely related to the concept of precision. The higher the precision of a measurement instrument, the smaller the variability (standard deviation) of the fluctuations in its readings.
Sources[edit]
Sources of systematic error[edit]
Imperfect calibration[edit]
Sources of systematic error may be imperfect calibration of measurement instruments (zero error), changes in the environment which interfere with the measurement process and sometimes imperfect methods of observation can be either zero error or percentage error. If you consider an experimenter taking a reading of the time period of a pendulum swinging past a fiducial marker: If their stop-watch or timer starts with 1 second on the clock then all of their results will be off by 1 second (zero error). If the experimenter repeats this experiment twenty times (starting at 1 second each time), then there will be a percentage error in the calculated average of their results; the final result will be slightly larger than the true period.
Distance measured by radar will be systematically overestimated if the slight slowing down of the waves in air is not accounted for. Incorrect zeroing of an instrument leading to a zero error is an example of systematic error in instrumentation.
Systematic errors may also be present in the result of an estimate based upon a mathematical model or physical law. For instance, the estimated oscillation frequency of a pendulum will be systematically in error if slight movement of the support is not accounted for.
Quantity[edit]
Systematic errors can be either constant, or related (e.g. proportional or a percentage) to the actual value of the measured quantity, or even to the value of a different quantity (the reading of a ruler can be affected by environmental temperature). When it is constant, it is simply due to incorrect zeroing of the instrument. When it is not constant, it can change its sign. For instance, if a thermometer is affected by a proportional systematic error equal to 2% of the actual temperature, and the actual temperature is 200°, 0°, or −100°, the measured temperature will be 204° (systematic error = +4°), 0° (null systematic error) or −102° (systematic error = −2°), respectively. Thus the temperature will be overestimated when it will be above zero and underestimated when it will be below zero.
Drift[edit]
Systematic errors which change during an experiment (drift) are easier to detect. Measurements indicate trends with time rather than varying randomly about a mean. Drift is evident if a measurement of a constant quantity is repeated several times and the measurements drift one way during the experiment. If the next measurement is higher than the previous measurement as may occur if an instrument becomes warmer during the experiment then the measured quantity is variable and it is possible to detect a drift by checking the zero reading during the experiment as well as at the start of the experiment (indeed, the zero reading is a measurement of a constant quantity). If the zero reading is consistently above or below zero, a systematic error is present. If this cannot be eliminated, potentially by resetting the instrument immediately before the experiment then it needs to be allowed by subtracting its (possibly time-varying) value from the readings, and by taking it into account while assessing the accuracy of the measurement.
If no pattern in a series of repeated measurements is evident, the presence of fixed systematic errors can only be found if the measurements are checked, either by measuring a known quantity or by comparing the readings with readings made using a different apparatus, known to be more accurate. For example, if you think of the timing of a pendulum using an accurate stopwatch several times you are given readings randomly distributed about the mean. Hopings systematic error is present if the stopwatch is checked against the ‘speaking clock’ of the telephone system and found to be running slow or fast. Clearly, the pendulum timings need to be corrected according to how fast or slow the stopwatch was found to be running.
Measuring instruments such as ammeters and voltmeters need to be checked periodically against known standards.
Systematic errors can also be detected by measuring already known quantities. For example, a spectrometer fitted with a diffraction grating may be checked by using it to measure the wavelength of the D-lines of the sodium electromagnetic spectrum which are at 600 nm and 589.6 nm. The measurements may be used to determine the number of lines per millimetre of the diffraction grating, which can then be used to measure the wavelength of any other spectral line.
Constant systematic errors are very difficult to deal with as their effects are only observable if they can be removed. Such errors cannot be removed by repeating measurements or averaging large numbers of results. A common method to remove systematic error is through calibration of the measurement instrument.
Sources of random error[edit]
The random or stochastic error in a measurement is the error that is random from one measurement to the next. Stochastic errors tend to be normally distributed when the stochastic error is the sum of many independent random errors because of the central limit theorem. Stochastic errors added to a regression equation account for the variation in Y that cannot be explained by the included Xs.
Surveys[edit]
The term «observational error» is also sometimes used to refer to response errors and some other types of non-sampling error.[1] In survey-type situations, these errors can be mistakes in the collection of data, including both the incorrect recording of a response and the correct recording of a respondent’s inaccurate response. These sources of non-sampling error are discussed in Salant and Dillman (1994) and Bland and Altman (1996).[4][5]
These errors can be random or systematic. Random errors are caused by unintended mistakes by respondents, interviewers and/or coders. Systematic error can occur if there is a systematic reaction of the respondents to the method used to formulate the survey question. Thus, the exact formulation of a survey question is crucial, since it affects the level of measurement error.[6] Different tools are available for the researchers to help them decide about this exact formulation of their questions, for instance estimating the quality of a question using MTMM experiments. This information about the quality can also be used in order to correct for measurement error.[7][8]
Effect on regression analysis[edit]
If the dependent variable in a regression is measured with error, regression analysis and associated hypothesis testing are unaffected, except that the R2 will be lower than it would be with perfect measurement.
However, if one or more independent variables is measured with error, then the regression coefficients and standard hypothesis tests are invalid.[9]: p. 187 This is known as attenuation bias.[10]
See also[edit]
- Bias (statistics)
- Cognitive bias
- Correction for measurement error (for Pearson correlations)
- Errors and residuals in statistics
- Error
- Replication (statistics)
- Statistical theory
- Metrology
- Regression dilution
- Test method
- Propagation of uncertainty
- Instrument error
- Measurement uncertainty
- Errors-in-variables models
- Systemic bias
References[edit]
- ^ a b Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 978-0-19-920613-1
- ^ a b John Robert Taylor (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94, §4.1. ISBN 978-0-935702-75-0.
- ^ «Systematic error». Merriam-webster.com. Retrieved 2016-09-10.
- ^ Salant, P.; Dillman, D. A. (1994). How to conduct your survey. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-01273-4.
- ^ Bland, J. Martin; Altman, Douglas G. (1996). «Statistics Notes: Measurement Error». BMJ. 313 (7059): 744. doi:10.1136/bmj.313.7059.744. PMC 2352101. PMID 8819450.
- ^ Saris, W. E.; Gallhofer, I. N. (2014). Design, Evaluation and Analysis of Questionnaires for Survey Research (Second ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-1-118-63461-5.
- ^ DeCastellarnau, A. and Saris, W. E. (2014). A simple procedure to correct for measurement errors in survey research. European Social Survey Education Net (ESS EduNet). Available at: http://essedunet.nsd.uib.no/cms/topics/measurement Archived 2019-09-15 at the Wayback Machine
- ^ Saris, W. E.; Revilla, M. (2015). «Correction for measurement errors in survey research: necessary and possible» (PDF). Social Indicators Research. 127 (3): 1005–1020. doi:10.1007/s11205-015-1002-x. hdl:10230/28341. S2CID 146550566.
- ^ Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01018-2.
- ^ Angrist, Joshua David; Pischke, Jörn-Steffen (2015). Mastering ‘metrics : the path from cause to effect. Princeton, New Jersey. p. 221. ISBN 978-0-691-15283-7. OCLC 877846199.
The bias generated by this sort of measurement error in regressors is called attenuation bias.
Further reading[edit]
- Cochran, W. G. (1968). «Errors of Measurement in Statistics». Technometrics. 10 (4): 637–666. doi:10.2307/1267450. JSTOR 1267450.
From Wikipedia, the free encyclopedia
«Systematic bias» redirects here. For the sociological and organizational phenomenon, see Systemic bias.
Observational error (or measurement error) is the difference between a measured value of a quantity and its true value.[1] In statistics, an error is not necessarily a «mistake». Variability is an inherent part of the results of measurements and of the measurement process.
Measurement errors can be divided into two components: random and systematic.[2]
Random errors are errors in measurement that lead to measurable values being inconsistent when repeated measurements of a constant attribute or quantity are taken. Systematic errors are errors that are not determined by chance but are introduced by repeatable processes inherent to the system.[3] Systematic error may also refer to an error with a non-zero mean, the effect of which is not reduced when observations are averaged.[citation needed]
Measurement errors can be summarized in terms of accuracy and precision.
Measurement error should not be confused with measurement uncertainty.
Science and experiments[edit]
When either randomness or uncertainty modeled by probability theory is attributed to such errors, they are «errors» in the sense in which that term is used in statistics; see errors and residuals in statistics.
Every time we repeat a measurement with a sensitive instrument, we obtain slightly different results. The common statistical model used is that the error has two additive parts:
- Systematic error which always occurs, with the same value, when we use the instrument in the same way and in the same case.
- Random error which may vary from observation to another.
Systematic error is sometimes called statistical bias. It may often be reduced with standardized procedures. Part of the learning process in the various sciences is learning how to use standard instruments and protocols so as to minimize systematic error.
Random error (or random variation) is due to factors that cannot or will not be controlled. One possible reason to forgo controlling for these random errors is that it may be too expensive to control them each time the experiment is conducted or the measurements are made. Other reasons may be that whatever we are trying to measure is changing in time (see dynamic models), or is fundamentally probabilistic (as is the case in quantum mechanics — see Measurement in quantum mechanics). Random error often occurs when instruments are pushed to the extremes of their operating limits. For example, it is common for digital balances to exhibit random error in their least significant digit. Three measurements of a single object might read something like 0.9111g, 0.9110g, and 0.9112g.
Characterization[edit]
Measurement errors can be divided into two components: random error and systematic error.[2]
Random error is always present in a measurement. It is caused by inherently unpredictable fluctuations in the readings of a measurement apparatus or in the experimenter’s interpretation of the instrumental reading. Random errors show up as different results for ostensibly the same repeated measurement. They can be estimated by comparing multiple measurements and reduced by averaging multiple measurements.
Systematic error is predictable and typically constant or proportional to the true value. If the cause of the systematic error can be identified, then it usually can be eliminated. Systematic errors are caused by imperfect calibration of measurement instruments or imperfect methods of observation, or interference of the environment with the measurement process, and always affect the results of an experiment in a predictable direction. Incorrect zeroing of an instrument leading to a zero error is an example of systematic error in instrumentation.
The Performance Test Standard PTC 19.1-2005 “Test Uncertainty”, published by the American Society of Mechanical Engineers (ASME), discusses systematic and random errors in considerable detail. In fact, it conceptualizes its basic uncertainty categories in these terms.
Random error can be caused by unpredictable fluctuations in the readings of a measurement apparatus, or in the experimenter’s interpretation of the instrumental reading; these fluctuations may be in part due to interference of the environment with the measurement process. The concept of random error is closely related to the concept of precision. The higher the precision of a measurement instrument, the smaller the variability (standard deviation) of the fluctuations in its readings.
Sources[edit]
Sources of systematic error[edit]
Imperfect calibration[edit]
Sources of systematic error may be imperfect calibration of measurement instruments (zero error), changes in the environment which interfere with the measurement process and sometimes imperfect methods of observation can be either zero error or percentage error. If you consider an experimenter taking a reading of the time period of a pendulum swinging past a fiducial marker: If their stop-watch or timer starts with 1 second on the clock then all of their results will be off by 1 second (zero error). If the experimenter repeats this experiment twenty times (starting at 1 second each time), then there will be a percentage error in the calculated average of their results; the final result will be slightly larger than the true period.
Distance measured by radar will be systematically overestimated if the slight slowing down of the waves in air is not accounted for. Incorrect zeroing of an instrument leading to a zero error is an example of systematic error in instrumentation.
Systematic errors may also be present in the result of an estimate based upon a mathematical model or physical law. For instance, the estimated oscillation frequency of a pendulum will be systematically in error if slight movement of the support is not accounted for.
Quantity[edit]
Systematic errors can be either constant, or related (e.g. proportional or a percentage) to the actual value of the measured quantity, or even to the value of a different quantity (the reading of a ruler can be affected by environmental temperature). When it is constant, it is simply due to incorrect zeroing of the instrument. When it is not constant, it can change its sign. For instance, if a thermometer is affected by a proportional systematic error equal to 2% of the actual temperature, and the actual temperature is 200°, 0°, or −100°, the measured temperature will be 204° (systematic error = +4°), 0° (null systematic error) or −102° (systematic error = −2°), respectively. Thus the temperature will be overestimated when it will be above zero and underestimated when it will be below zero.
Drift[edit]
Systematic errors which change during an experiment (drift) are easier to detect. Measurements indicate trends with time rather than varying randomly about a mean. Drift is evident if a measurement of a constant quantity is repeated several times and the measurements drift one way during the experiment. If the next measurement is higher than the previous measurement as may occur if an instrument becomes warmer during the experiment then the measured quantity is variable and it is possible to detect a drift by checking the zero reading during the experiment as well as at the start of the experiment (indeed, the zero reading is a measurement of a constant quantity). If the zero reading is consistently above or below zero, a systematic error is present. If this cannot be eliminated, potentially by resetting the instrument immediately before the experiment then it needs to be allowed by subtracting its (possibly time-varying) value from the readings, and by taking it into account while assessing the accuracy of the measurement.
If no pattern in a series of repeated measurements is evident, the presence of fixed systematic errors can only be found if the measurements are checked, either by measuring a known quantity or by comparing the readings with readings made using a different apparatus, known to be more accurate. For example, if you think of the timing of a pendulum using an accurate stopwatch several times you are given readings randomly distributed about the mean. Hopings systematic error is present if the stopwatch is checked against the ‘speaking clock’ of the telephone system and found to be running slow or fast. Clearly, the pendulum timings need to be corrected according to how fast or slow the stopwatch was found to be running.
Measuring instruments such as ammeters and voltmeters need to be checked periodically against known standards.
Systematic errors can also be detected by measuring already known quantities. For example, a spectrometer fitted with a diffraction grating may be checked by using it to measure the wavelength of the D-lines of the sodium electromagnetic spectrum which are at 600 nm and 589.6 nm. The measurements may be used to determine the number of lines per millimetre of the diffraction grating, which can then be used to measure the wavelength of any other spectral line.
Constant systematic errors are very difficult to deal with as their effects are only observable if they can be removed. Such errors cannot be removed by repeating measurements or averaging large numbers of results. A common method to remove systematic error is through calibration of the measurement instrument.
Sources of random error[edit]
The random or stochastic error in a measurement is the error that is random from one measurement to the next. Stochastic errors tend to be normally distributed when the stochastic error is the sum of many independent random errors because of the central limit theorem. Stochastic errors added to a regression equation account for the variation in Y that cannot be explained by the included Xs.
Surveys[edit]
The term «observational error» is also sometimes used to refer to response errors and some other types of non-sampling error.[1] In survey-type situations, these errors can be mistakes in the collection of data, including both the incorrect recording of a response and the correct recording of a respondent’s inaccurate response. These sources of non-sampling error are discussed in Salant and Dillman (1994) and Bland and Altman (1996).[4][5]
These errors can be random or systematic. Random errors are caused by unintended mistakes by respondents, interviewers and/or coders. Systematic error can occur if there is a systematic reaction of the respondents to the method used to formulate the survey question. Thus, the exact formulation of a survey question is crucial, since it affects the level of measurement error.[6] Different tools are available for the researchers to help them decide about this exact formulation of their questions, for instance estimating the quality of a question using MTMM experiments. This information about the quality can also be used in order to correct for measurement error.[7][8]
Effect on regression analysis[edit]
If the dependent variable in a regression is measured with error, regression analysis and associated hypothesis testing are unaffected, except that the R2 will be lower than it would be with perfect measurement.
However, if one or more independent variables is measured with error, then the regression coefficients and standard hypothesis tests are invalid.[9]: p. 187 This is known as attenuation bias.[10]
See also[edit]
- Bias (statistics)
- Cognitive bias
- Correction for measurement error (for Pearson correlations)
- Errors and residuals in statistics
- Error
- Replication (statistics)
- Statistical theory
- Metrology
- Regression dilution
- Test method
- Propagation of uncertainty
- Instrument error
- Measurement uncertainty
- Errors-in-variables models
- Systemic bias
References[edit]
- ^ a b Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 978-0-19-920613-1
- ^ a b John Robert Taylor (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94, §4.1. ISBN 978-0-935702-75-0.
- ^ «Systematic error». Merriam-webster.com. Retrieved 2016-09-10.
- ^ Salant, P.; Dillman, D. A. (1994). How to conduct your survey. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-01273-4.
- ^ Bland, J. Martin; Altman, Douglas G. (1996). «Statistics Notes: Measurement Error». BMJ. 313 (7059): 744. doi:10.1136/bmj.313.7059.744. PMC 2352101. PMID 8819450.
- ^ Saris, W. E.; Gallhofer, I. N. (2014). Design, Evaluation and Analysis of Questionnaires for Survey Research (Second ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-1-118-63461-5.
- ^ DeCastellarnau, A. and Saris, W. E. (2014). A simple procedure to correct for measurement errors in survey research. European Social Survey Education Net (ESS EduNet). Available at: http://essedunet.nsd.uib.no/cms/topics/measurement Archived 2019-09-15 at the Wayback Machine
- ^ Saris, W. E.; Revilla, M. (2015). «Correction for measurement errors in survey research: necessary and possible» (PDF). Social Indicators Research. 127 (3): 1005–1020. doi:10.1007/s11205-015-1002-x. hdl:10230/28341. S2CID 146550566.
- ^ Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01018-2.
- ^ Angrist, Joshua David; Pischke, Jörn-Steffen (2015). Mastering ‘metrics : the path from cause to effect. Princeton, New Jersey. p. 221. ISBN 978-0-691-15283-7. OCLC 877846199.
The bias generated by this sort of measurement error in regressors is called attenuation bias.
Further reading[edit]
- Cochran, W. G. (1968). «Errors of Measurement in Statistics». Technometrics. 10 (4): 637–666. doi:10.2307/1267450. JSTOR 1267450.
Систематическая погрешность (или, на физическом жаргоне, систематика) характеризует неточность измерительного инструмента или метода обработки данных. Если точнее, то она показывает наше ограниченное знание этой неточности: ведь если инструмент «врет», но мы хорошо знаем, насколько именно, то мы сможем скорректировать его показания и устранить инструментальную неопределенность результата. Слово «систематическая» означает, что вы можете повторять какое-то измерение на этой установке миллионы раз, но если у нее «сбит прицел», то вы систематически будете получать значение, отличающееся от истинного.
Конечно, систематические погрешности хочется взять под контроль. Поскольку это чисто инструментальный эффект, ответственность за это целиком лежит на экспериментаторах, собиравших, настраивавших и работающих на этой установке. Они прилагают все усилия для того, чтобы, во-первых, корректно определить эти погрешности, а во-вторых, их минимизировать. Собственно, они этим начинают заниматься с самых первых дней работы установки, даже когда еще собственно научная программа исследований и не началась.
Возможные источники систематических погрешностей
Современный коллайдерный эксперимент очень сложен. В нём есть место огромному количеству источников систематических погрешностей на самых разных стадиях получения экспериментального результата. Вот некоторые из них.
Погрешности могут возникать на уровне «железа», при получении сырых данных:
- дефектные или неработающие отдельные регистрирующие компоненты или считывающие элементы. В детекторе миллионы отдельных компонентов, и даже если 1% из них оказался дефектным, это может ухудшить «зоркость» детектора и четкость регистрации сигналов. Надо подчеркнуть, что, даже если при запуске детектор работает на все 100%, постоянное детектирование частиц (это же жесткая радиация!) с течением времени выводит из строя отдельные компоненты, так что следить за поведением детектора абсолютно необходимо;
- наличие «слепых зон» детектора; например, если частица вылетает близко к оси пучков, то она улетит в трубу и детектор ее просто не заметит.
Погрешности могут возникать на этапе распознавания сырых данных и их превращение в физическое событие:
- погрешность при измерении энергии частиц в калориметре;
- погрешность при измерении траектории частиц в трековых детекторах, из-за которой неточно измеряется точка вылета и импульс частицы;
- неправильная идентификация типа частицы (например, система неудачно распознала след от π-мезона и приняла его за K-мезон). Более тонкий вариант: неправильное объединение адронов в одну адронную струю и неправильная оценка ее энергии;
- неправильный подсчет числа частиц (две частицы случайно вылетели так близко друг к другу, что детектор «увидел» только один след и посчитал их за одну).
Наконец, новые систематические погрешности добавляются на этапе позднего анализа события:
- неточность в измерении светимости пучков, которая влияет на пересчет числа событий в сечение процесса;
- наличие посторонних процессов рождения частиц, которые отличаются с физической точки зрения, но, к сожалению, выглядят для детектора одинаковыми. Такие процессы порождают неустранимый фон, который часто мешает разглядеть искомый эффект;
- необходимость моделировать процессы (в особенности, адронизацию, превращение кварков в адроны), опираясь частично на теорию, частично на прошлые эксперименты. Несовершенство того и другого привносит неточности и в новый экспериментальный результат. По этой причине теоретическую погрешность тоже часто относят к систематике.
В отдельных случаях встречаются источники систематических погрешностей, которые умудряются попасть сразу во все категории, они совмещают в себе и свойства детекторного «железа», и методы обработки и интерпретации данных. Например, если вы хотите сравнить друг с другом количество рожденных частиц и античастиц какого-то сорта (например, мюонов и антимюонов), то вам не стоит забывать, что ваш детектор состоит из вещества, а не из антивещества! Этот «перекос» в сторону вещества может привести к тому, что детектор будет видеть мюонов меньше, чем антимюонов, подробности см. в заметке Немножко про CP-нарушение, или Как жаль, что у нас нет детекторов из антивещества!.
Всю эту прорву источников потенциальных проблем надо распознать и оценить их влияние на выполняемый анализ. Здесь никаких абсолютно универсальных алгоритмов нет; исследователь должен сам понять, на какие погрешности надо обращать внимание и как грамотно их оценить. Конечно, тут на помощь приходят разные калибровочные измерения, выполненные в первые год-два работы детектора, и программы моделирования, которые позволяют виртуально протестировать поведение детектора в тех или иных условиях. Но главным в этом искусстве всё же является физическое чутье экспериментатора, его квалификация и накопленный опыт.
Почему важна грамотная оценка систематики
Беспечная оценка систематических погрешностей может привести к двум крайностям, причем обе очень нежелательны.
Заниженная погрешность — то есть неоправданная уверенность экспериментатора в том, что погрешности в его детекторе маленькие, хотя они на самом деле намного больше, — исключительно опасна, поскольку она может привести к совершенно неправильным научным выводам. Например, экспериментатор может на их основании решить, что измерения отличаются от теоретических предсказаний на уровне статистической значимости 10 стандартных отклонений (сенсация!), хотя истинная причина расхождения может просто состоять в том, что он проглядел источник ошибок, в 10 раз увеличивающий неопределенность измерения, и никакого расхождения на самом деле нет.
В борьбе с этой опасностью есть соблазн впасть в другую крайность: «А вдруг там есть еще какие-то погрешности? Может, я что-то не учел? Давай-ка я на всякий случай увеличу погрешности измерения в 10 раз для пущей безопасности.» Такая крайность плоха тем, что она обессмысливает измерение. Неоправданно завышая погрешность, вы рискуете получить результат, который будет, конечно, правильным, но очень неопределенным, ничем не лучше тех результатов, которые уже были получены до вас на гораздо более скромных установках. Такой подход, фактически, перечеркивает всю работу по разработке технологий, по изготовлению компонентов, по сборке детектора, все затраты на его работу и на анализ результатов.
Грамотный и ответственный анализ систематики должен удерживать оптимальный баланс (максимальная достоверность при максимальной научной ценности), не допуская таких крайностей. Это очень тонкая и сложная работа, и первые страницы в большинстве современных экспериментальных статей по физике частиц посвящены тщательному обсуждению систематических (а также статистических) погрешностей.
Мы не будем обсуждать подробности того, как обсчитывать систематические погрешности. Подчеркнем только, что это серьезная наука с множеством тонкостей и подводных камней. В качестве примера умеренно простого обсуждения некоторых вопросов см. статью Systematic Errors: facts and fictions.
Содержание
- Как рассчитать систематическую ошибку?
- Постоянство и соразмерность
- Систематическая ошибка в химии
- Систематическая ошибка в физический
- Примеры eсистематическая ошибка
- Ссылки
В систематическая ошибка Это одна из составляющих ошибок эксперимента или наблюдений (ошибок измерения), которая влияет на точность результатов. Это также известно как детерминированная ошибка, поскольку в большинстве случаев ее можно обнаружить и устранить, не повторяя эксперименты.
Важной характеристикой систематической ошибки является постоянство ее относительной величины; то есть он не зависит от размера выборки или толщины данных. Например, предполагая, что его относительное значение составляет 0,2%, если измерения повторяются в тех же условиях, ошибка всегда будет оставаться 0,2%, пока не будет исправлена.
Как правило, систематическая ошибка возникает из-за неправильного обращения с приборами или из-за технической неисправности аналитика или ученого. Его легко обнаружить, если сравнить экспериментальные значения со стандартным или сертифицированным значением.
Примеры экспериментальной ошибки этого типа возникают, когда аналитические весы, термометры и спектрофотометры не откалиброваны; или в случаях, когда не выполняется хорошее чтение правил, верньеров, градуированных цилиндров или бюреток.
Как рассчитать систематическую ошибку?
Систематическая ошибка влияет на точность, в результате чего экспериментальные значения могут быть выше или ниже фактических результатов. Под реальным результатом или значением понимается результат, который был исчерпывающе проверен многими аналитиками и лабораториями и зарекомендовал себя в качестве эталона сравнения.
Таким образом, сравнивая экспериментальное значение с реальным, получается разница. Чем больше эта разница, тем больше абсолютное значение систематической ошибки.
Например, предположим, что в аквариуме насчитывается 105 рыб, но известно заранее или из других источников, что истинное число составляет 108. Таким образом, систематическая ошибка составляет 3 (108-105). Мы сталкиваемся с систематической ошибкой, если, повторяя подсчет рыб, мы снова и снова получаем 105 рыб.
Однако более важным, чем вычисление абсолютного значения этой ошибки, является определение ее относительного значения:
Относительная погрешность = (108-105) ÷ 108
= 0,0277
Если выражать в процентах, то получается 2,77%. То есть ошибка подсчета имеет вес 2,77% от истинного количества рыбы. Если в аквариуме теперь есть 1000 рыб, и он будет считать их с той же систематической ошибкой, то будет на 28 рыб меньше, чем ожидалось, а не на 3, как это происходит с меньшим аквариумом.
Постоянство и соразмерность
Систематическая ошибка обычно постоянная, аддитивная и пропорциональная. В приведенном выше примере ошибка 2,77% останется постоянной до тех пор, пока измерения будут повторяться в одних и тех же условиях, независимо от размера аквариума (уже соприкасающегося с аквариумом).
Также обратите внимание на пропорциональность систематической ошибки: чем больше размер выборки или толщина данных (или объем аквариума и количество рыб в нем), тем больше систематическая ошибка. Если в аквариуме теперь 3500 рыб, ошибка будет 97 рыб (3500 x 0,0277); абсолютная погрешность увеличивается, но ее относительное значение неизменно, постоянно.
Если число удвоить, на этот раз с 7000 рыб, то ошибка будет 194 рыбы. Таким образом, систематическая ошибка постоянна и пропорциональна.
Это не означает, что необходимо повторить подсчет рыбы: достаточно знать, что определенное количество соответствует 97,23% от общего количества рыбы (100–2,77%). Отсюда истинное количество рыбы можно рассчитать, умножив на коэффициент 100 / 97,23.
Например, если было подсчитано 5200 рыб, то фактическое количество было бы 5 348 рыб (5200 x 100 / 97,23).
Систематическая ошибка в химии
В химии систематические ошибки обычно возникают из-за неправильного взвешивания из-за некалиброванных весов или из-за неправильного считывания объемов стеклянных материалов. Хотя они могут показаться не такими, как это, они влияют на точность результатов, потому что чем их больше, тем больше их негативных эффектов.
Например, если весы плохо откалиброваны, и при определенном анализе необходимо провести несколько взвешиваний, то окончательный результат будет все дальше и дальше от ожидаемого; это будет более неточно. То же самое происходит, если анализ постоянно измеряет объемы бюреткой, показания которой неверны.
Помимо весов и стеклянных материалов, химики также могут ошибаться в обращении с термометрами и pH-метрами, в скорости перемешивания, во времени, необходимом для протекания реакции, в калибровке весов. спектрофотометры, если предполагается высокая чистота образца или реагента и т. д.
Другие систематические ошибки в химии могут быть связаны с изменением порядка добавления реагентов, нагревом реакционной смеси до температуры выше, чем рекомендованная методом, или неправильной перекристаллизацией продукта синтеза.
Систематическая ошибка в физический
В физических лабораториях систематические ошибки носят еще более технический характер: любое оборудование или инструмент без надлежащей калибровки, неправильное поданное напряжение, неправильное расположение зеркал или деталей в эксперименте, добавление слишком большого момента к объекту, который должен упасть. из-за эффекта гравитации, среди других экспериментов.
Обратите внимание на то, что есть систематические ошибки, которые происходят из инструментального несовершенства, а другие, скорее, операционного типа, являются результатом ошибки со стороны аналитика, ученого или отдельного человека, который выполняет какое-либо действие.
Примеры eсистематическая ошибка
Ниже будут упомянуты другие примеры систематических ошибок, которые не обязательно должны происходить в лаборатории или в научной сфере:
— Поместите булочки в нижнюю часть духовки, поджаривая их больше, чем хотелось бы.
-Плохая осанка при сидении
-Закройте горшок для мокко только из-за недостатка прочности
-Не очищайте пароварки кофемашин сразу после текстурирования или нагрева молока.
-Используйте чашки разных размеров, когда вы следуете или хотите повторить определенный рецепт
-Хотите дозировать солнечную радиацию в тенистые дни
— Выполняйте подтягивания на перекладине, подняв плечи к ушам.
-Играйте несколько песен на гитаре без предварительной настройки струн
-Жарить оладьи с недостаточным количеством масла в казане
-Проведите последующее объемное титрование без повторной стандартизации раствора титранта
Ссылки
- Дэй Р. и Андервуд А. (1986). Количественная аналитическая химия. (Пятое изд.). ПИРСОН Прентис Холл.
- Хельменстин, Энн Мари, доктор философии (11 февраля 2020 г.). Случайная ошибка vs. Систематическая ошибка. Получено с: thinkco.com
- Bodner Research Web. (н.д.). Ошибки. Получено с: chemed.chem.purdue.edu
- Elsevier B.V. (2020). Систематическая ошибка. ScienceDirect. Получено с: sciencedirect.com
- Сепульведа, Э. (2016). Систематические ошибки. Получено из Physics Online: fisicaenlinea.com
- Мария Ирма Гарсиа Ордас. (н.д.). Проблемы с ошибкой измерения. Автономный университет штата Идальго. Получено с: uaeh.edu.mx
- Википедия. (2020). Ошибка наблюдения. Получено с: en.wikipedia.org
- Джон Спейси. (2018, 18 июля). 7 видов систематической ошибки. Получено с: simplicable.com
Установлено, что нри определении концентраций веществ без систематической ошибки оценки констант, минимизирующие квадратичную форму Фз, будут несмещенными. Вычисление концентраций J производится или на основе интегральной формы кинетического уравнения, или численным интегрированием системы кинетических уравнений. [c.245]
Как было указано в 2 гл. II, анализ единичного стандартного образца не может гарантировать оценку систематической погрешности методики анализа для разных уровней содержаний определяемого компонента, когда систематическая погрешность включает слагаемое, пропорциональное абсолютному содержанию иЛи массе анализируемой пробы. Постановка специальных серий анализа по схеме удвоения в сочетании с методом добавок позволяет оценить как постоянную ошибку а, так и пропорциональную ошибку (Ь — )х ст и проверить их значимость. Пусть в соответствии со схемой, описанной в 2 гл. II, получены оценки величин а и b—li [c.111]
В работе [43] приведена более подробная оценка систематической ошибки при измерении скорости реакции проточно-циркуляционным методом учтено изменение объема реакционной смеси и градиента температур в слое А Т из-за конечного изменения концентрации от с до Свых. Метод оценки аналогичен предыдущему, т,е, принято, о реакция протекает при средних концентрациях с и температуре Т = = Гн + А Г/2 (Г — температура на входе в реактор). Выражения для [c.20]
Прежде чем продолжать вывод уравнений для оценки параметров модели по методу наименьших квадратов, важно рассмотреть понятие систематической ошибки. Источниками систематических ошибок служат недостатки приборов или оплошности экспериментатора. Систематические ошибки вносят смещения в экспериментальные данные и в результате приводят к неправильным значениям параметров. Поэтому не исключена возможность получения высокой воспроизводимости наряду с низкой правильностью, такой случай схематично показан на рис. 4.1. [c.72]
В настоящей работе следует определить разрешающее время счетной установки с различными коэффициентами пересчета. Полученные значения разрешающего времени использовать для оценки систематической ошибки при относительных и абсолютных измерениях радиоактивности. [c.17]
В некоторых случаях при оценке систематической ошибки функции нескольких независимых переменных используют сумму абсолютных значений частных дифференциалов функции [c.222]
Определение одного и того же вещества различными методами и даже одним и тем же методом не всегда приводит к одному результату. Поэтому при оценке точности количественного определения вычисляют ошибки, поправки, воспроизводимость, чувствительность и др. Ошибки различают систематические и случайные. [c.5]
Высокий методический уровень изложения материала, многочисленные и тщательно выбранные примеры и вопросы позволят широко использовать эту книгу при обучении студентов как высшей школы, так и техникумов. Большое внимание автор уделяет оценкам систематической ошибки, возникающей при аналитических определениях. [c.6]
Величина смещения оценки y xy f) при различных значениях Xi/T показана в табл. 11.1. Чтобы избавиться от этой систематической ошибки, реализацию y t) нужно сдвинуть по времени относительно x t) на величину, равную ть так, чтобы x t) и y t) совпадали по времени. Проблемы, связанные с систематическими ошибками оценок при наличии сдвигов по времени, обсуждаются в работе [11.3]. [c.285]
Систематические ошибки гирь могут быть оценены путем их сверки с эталонами более высокого класса точности. Сверка по эталону — наиболее надежный способ оценки систематических ошибок измерительных приборов. [c.26]
Наше обсуждение методов нахождения оценок переменных состояния и параметров в системах обыкновенных дифференциальных уравнений будет неполным, если мы не затронем вопрос о систематических и случайных ошибках оценок. В методе фильтрации Калмана системный (динамический) шум и шум, накладываемый измерительными устройствами, считаются независимым случайным гауссовым белым шумом с нулевым средним. Ковариационные матрицы обоих шумов обозначим, соответственно, через и Предполагается [c.171]
Ошибка оценки активности вируса иногда довольно велика, однако кривые не дают указания на наличие каких-либо систематических, не случайных отклонений. [c.93]
В этой главе обсуждается проблема приготовления стандартов и матрикса, а также их влияние на стандартизацию иммуноанализа. Стандартизация базируется на применении определенных принципов и обычно включает в себя оценку систематических ошибок, точности, воспроизводимости и сопоставимости данного метода с другими. Независимо от того, насколько усложнена или, наоборот, упрощена новая аналитическая система, при ее стандартизации должны соблюдаться одни и те же принципы. Непонимание этих принципов и пренебрежение ими приводят к серьезным ошибкам. [c.25]
Согласно [117], при экспериментальном определении кз систематически допускаются следующие ошибки ошибки в определении диффузионной способности Н н О2 ( 10%) ошибки, связанные с температурными эффектами ( 4,5%) ошибки измерения давления ( 1%) и температуры ( 2,5%) ошибки наблюдения ( 1%). Случайные ошибки в измерениях давления ( 1%), температуры ( 2%) и состава рабочей смеси ( 0,5%) составляют в сумме <3,5%, и, таким образом, общая ошибка пе должна превышать 25%. В эту оценку не включены ошибки, связанные с пренебрежением реакцией 11 (что особенно важно для умеренных давлений), и ошибки, связанные с уменьшением концентрации 0 в ходе процесса (что важно для области высоких температур). Наконец, не учитывается возможное изменение эффективности стенки в реакции рекомбинации Н. [c.257]
Отметим также, что в данном примере при квадратичной функции потерь оценки максимального правдоподобия, обобщенного максимального правдоподобия, минимального общего риска практически совпадают между собой, так как априори предполагали, что испытываемая кинетическая модель является истинной, а результаты эксперимента отягощены только случайной ошибкой и в них полностью отсутствует систематическая. [c.188]
Очевидно, что применение математических методов не может дать ответ на вопрос, насколько у отличается от (х, если имеют место систематические ошибки физического метода. Математическая статистика в этом случае позволит лишь оценить область вокруг у, в которой могут находиться величины у[. Величина у будет хорошей оценкой х, если возможны только случайные ошибки только при этом условии справедлива левая часть соотношения (И-2). [c.36]
Оценку для систематической ошибки сдвига аналитического состава раствора Ах1. можно получить из уравнений материального баланса для закрытой системы с учетом изменения состава паровой фазы [c.151]
Оценка размеров частичек и их поверхности по эквивалентному диаметру вносит систематические ошибки в корреляционные и статистические расчеты. [c.29]
Положим, что общая ошибка б = + а, где а — систематическая ошибка. Случайную ошибку можно уменьшить, увеличив п, но это целесообразно лишь до тех пор, пока общая ошибка определится величиной а. Так как ошибка среднего Sx = Snl- Jn, то при а = следует провести не менее четырех измерений, обычно Й—7. При отсутствии систематической ошибки число измерений определяется соотношением ошибки измерения и требуемой точности оценки среднего [c.8]
Выявление грубых ошибок, оценка систематических ошибок, пред-етсшление окончательных результатов. Иногда результаты повторных измерений могут содержать грубую ошибку, т. е. быть аномальными. Существует статистический критерий выявления таких результатов с целью их исключения из дальнейших расчетов. Не останавливаясь на выводе этого критерия, отметим лишь, что он базируется на использовании функции распределения величины ы — элементы выборки результатов измерений (/ — 1,. … п) х и 5 рассчитываются по формулам (1.60) и (1.61) соответственно. [c.59]
Систематические погрешности гирь могут быть оценены путем их сверки с эталонами более высокого класса точности. Сверка по эталону —наиболее надежный способ оценки систематических погрешностей измерительных приборов. Периодич ская поверка различных приборов (весов, спектрофотометров, фотоколориметров, рН-метров, ионометров, радиометров и т. п.) — необходимое условие успешной работы аналитических лабораторий. В ходе таких поверок аналитические приборы калибруют или градуируют по шкале интенсивности аналитического сигнала (оптическая плотность, интенсивность излучения, сила электрического тока и т. д.), используя с этой целью специальные стандартные образцы. Кроме того, во многих случаях градуируют и шкалу развертки интенсивного параметра, например шкалу длин волн или частот излучения в спектроскопических методах. Именно такого рода периодическая ловерка сводит к минимуму систематическую составляющую инструментальной ошибки. [c.39]
После выявления систематической погрешности она должна быть оценена и устранена. Заметим, что числовая оценка систематической погрешности может бьггь проведена лишь с погрешностью, лимитируемой случайными ошибками анализа. При оценке систематических ошибок можно условно выделить погрешности трех типов. [c.40]
Нормированная систематическая ошибка оценки амплитудной харакгерисгики, полученной по оценкам спектров [c.295]
Расчет и оценка надежности полученных результатов анализа. Корректное решение задачи химического анализа помимо основного результата обязано содержать оценку надежности полученного результата с помощью двузначного критерия — довгерительного интерва.га (интервал возможных вариаций искомой величины) и соответствующей ему надежности (доверительная вероятность). Помимо этого всегда желательно указывать кратность (повторность) определений и характер оценки погрешности (погрешность в оценке единичного анализа, погрешность определения среднего значения, погрешность метода). И наконец, если имеется возможность объективной оценки систематической ошибки (см. главу П), необходимо оценить правильность выполненного анализа. [c.14]
По существу приготовление стандартов для определения следов рассматривают как ограничивающий фактор, и по этой причине решение проблемы стандартов заслуживает значительных усилий. Если отсутствуют необходимые стандарты, то остается единственный объективный выход — применение статистических методов оценки систематических ошибок. Методы такой оценки систематических ошибок разработаны Юденом [3], Колдером [2] н Налимовым [4]. Если же систематическая ошибка устранена, точность метода уже определяется ошибкой воспроизводимости. Поэтому под воспроизводимостью в данном случае понимают точность (правильность) анализа, если отсутствуют систематические ошибки. [c.20]
Оценка систематических ошибок. Найденный из ряда параллельных определешн средний результат нри наличии систематической ошибки не может служить для характеристики содержания определенного элемента. Поэтому важно обнаружить систематические ошибки и уметь исключать или учитывать их. [c.256]
Случайные ошибки отличаются от систематических тем, что увеличением числа измерений можно уменьшить их величину. Эта особенность обусловлена тем, что значения случайных ошибок с одинаковой степенью вероятности кюгут быть положительными и отрицательными. Казалось бы, это позволяет осуществить количественную оценку случайных ошибок, однако это не так число повторных измерений невелико, поэтому методы теории вероятности в этом случае неприменимы. [c.452]
Трудно определить надежность экспериментальных рекомендаций. Однако для реакции 15 весьма информативным и эффективным является систематический численный анализ поведения системы при вариациях /г] . В низкотемпературной области стационарного процесса доля реакций с участием радикала НО2 необычно высока— 2и 25, 30 (0,75 — 0,80), причем большая часть этой величины обусловлена дхй. Таким образом, процесс оказался весьма чувствительным к вариациям /е 5. Двукратное пз .генение nts приводило к отклонениям НО2 = = НОгСО, выходящим за коридор ошпбок в эксперименте [51]. (Авторы [51] не приводят оценки возможной ошибки. Анализ [51 ] позволяет предположить, что ошибка определения НОз не должна превышать 10%.) Поэтому ошибка 100% есть нижняя оценка. Она дол/кна быть увеличена по крайней мере в 2—2,5 раза, поскольку в системе реакций Г — по, (/ = 10—19, 21, 25, 30) величина [c.282]
Сказанное можно поясиить на примере попаданий выстрелов в мишень (рис. Д.179). Стрелок А стреляет метко (небольшие случайные ошибки), стрелок Б — дает промахи (большие случайные ошибки). Винтовка А при стрельбе не дает отклонений (нет систематической ошибки идеальный случай), винтовка Б дает отклонения направо вверх (систематическая ошибка). В идеальном случае все выстрелы из оинтовки А должны попасть в центр мишени. Выстрелы стрелка Л из винтовки А попадают в мишень с небольшим разбросом около центра, выстрелы стрелка Б из винтовки А —с большим разбросом. Стрелок Б должен стрелять значительно чаще, чтобы попасть в центр мишени. Из винтовки Б стрелок А вряд ли сможет попасть в центр мишени. Разброс попаданий винтовки Б тем отчетливее, чем больше выстрелов произведено. Систематическая ошибка очевидна. Стрелок Б из винтовки Б может случайно попасть 1В центр мишени, но это маловероятное событие. При оценке очень большого числа выстрелов (большего, чем у стрелка. 4) систематическая ошибка винтовки Б становится очевидной. [c.434]
Авторы:
сотрудники компанииВ работе М.Ф. Маликова «Основы метрологии» отмечено, что по происхождению систематические ошибки принято разделять на несколько категорий.
Инструментальные ошибки обусловлены конструктивными недостатками применяемой аппаратуры, ее неисправностью или неправильной градуировкой.
Ошибки установки возникают вследствие неправильной или небрежной установки или расположения измерительной аппаратуры.
Личные ошибки обусловлены индивидуальными особенностями аналитика (например, личные ошибки в определении равенства интенсивностей линии при работе со стиллоскопом).
Ошибки метода, а также теоретические ошибки связаны с недостаточным знанием или неполным учетом всех обстоятельств, влияющих на правильность результатов. Последняя разновидность ошибок в практике спектрального анализа обычно является наиболее существенной (ошибки, обусловленные влиянием третьих элементов, минералогического состава и т.п. факторов).
При рассмотрении вопроса о случайных ошибках спектрального анализа необходимо условно принять, сто систематические ошибки исключены. Только с этой оговоркой можно считать в качестве наиболее достоверной характеристики содержание элементов в анализируемой пробе среднее арифметическое результатов параллельных определений. В противном случае центр рассеяния результатов смещается и вычисленное среднее, например, x1 оказывается «сдвинутым» относительно содержания, принимаемого за достоверное, x2.
Таким образом, вычисленный из ряда параллельных определений средний результат при наличии систематической ошибки может служить только основой для вычисления разброса данных, но не для характеристик содержания анализируемого компонента. Отсюда очевидная важность контроля и профилактики появления систематических ошибок в результатах определений.
Чаще всего систематические ошибки спектрального анализа обнаруживаются вследствие того, что результаты определений, выполненных в разных условиях (например, при использовании разных по композиции комплектов эталонов, существенно различных методов анализа), не совпадают.
Если подобные расхождения велики и превосходят случайные отклонения, то наличие систематических ошибок, по крайней мере в результатах одной из сравниваемых серий определений, не вызывает сомнений.
Более сложным для исследования является случай, когда систематические ошибки — одного порядка с величинами случайных ошибок.
Естественно, что не во всех перечисленных случаях систематические ошибки опасны в одинаковой мере, однако требования к их исключению является жесткими.
Достаточным критерием ограничения систематических ошибок было бы выполнение условия
εсист < 0,5 τp
где τp — средняя квадратическая ошибка результата анализа.
Однако в практике применения спектрального анализа, как и во многих других случаях технических измерений, в частности при использовании химических методов анализа, далеко не всегда удается удовлетворить этому критерию. Важно, однако, подчеркнуть, что необходимость исключения или учета систематических ошибок должна находиться в поле зрения аналитика в той же степени, как и необходимость уменьшения случайных ошибок.
В большинстве случаев для решения этой задачи необходимы постановка специальных экспериментов и тщательный анализ опытных данных, основанные на хорошем знании всей совокупности вопросов, относящихся к рассматриваемой задаче.
Обнаружение систематических расхождений в спектральном анализе
- Для оценки правильности результатов применения спектрального анализа прибегают к ряду приемов:
- анализы выполняют с помощью стандартных образцов и синтетических эталонов,
- контролируют по сумме содержаний,
- путем введения известных добавок и т.д.
Во всех подобных случаях систематическая ошибка обнаруживается лишь по наличию существенного систематического расхождения между сопоставляемыми результатами (например, между средними результатами, которые получены разными методами, или между суммой процентных содержаний всех элементов в образце и 100% и т.д.). Поэтому первоочередной задачей в этих случаях является надежное установление факта существенного систематического расхождения. Такой факт устанавливается наиболее просто, если расхождения значительно превышают возможную случайную ошибку результата сравнения сопоставляемых данных (о ее вычислении — см. далее).
Часто, однако, имеет место наслоение случайных и систематических ошибок , являющихся величинами одного порядка, и тогда необходим более подробный анализ опытных данных. Решение задач подобного типа основано на следующих соображениях.
Общий случай
Если две серии определений характеризуются средними квадратичными ошибками единичного определения (СКОед) s1 и s1, то ошибки результатов средних x1 и x2, из n1 и n2 определений будут соответственно
sp,1 = s1 ⁄ √ n1
и
sp,2 = s2 ⁄ √ n2
где s1 и s2 — СКОед каждой серии измерений, n1 и n2 — количество измерений в каждой серии.
Требуется выяснить, является ли различие величин x1 и x2 случайным или же оно обусловлено наличием систематических ошибок.
В теории измерений показывается, что если значения x1 и x2 установлены с ошибками sp,1 и sp,2, то ошибка разности |x1 − x2| составит
sp = √ s2p,1 + s2p,2
Наибольшая практически возможная случайная ошибка результата сравнения в спектральном анализе составляет (по правилу «трех сигм») 3 sp, т.е. если
(1)
|x1 − x2| > 3 sp
то можно с уверенностью утверждать, что различие величин x1 и x2 не может быть объяснено действием случайных факторов. Надежность такого заключения — около 100%, т.е. делая это заключение, можно полагать с вероятностью близкой к единице, что оно достоверно. Если задаться меньшей надежностью, например принять доверительную вероятность равной 0,95, то формула (1) превратится:
(2)
|x1 − x2| > 2 sp
Надежность этого заключения — около 95%, так как в «двухсигмовые» пределы укладывается уже не 100% всех ошибок, а лишь 95%. В этом случае не исключена возможность, что расхождение, численно превышающее 2 sp, будет принято за реально существующее, в то время как оно обусловлено появлением случайной ошибки, больше 2 sp. Вероятность такого случая составляет 1,00−0,95=0,05.
Конечно, если соотношения (1) и (2) не выполняются, т.е., например
|x1 − x2| < 3 sp
или
|x1 − x2| < 2 sp
, то это не означает, что систематическое расхождение полностью отсутствует. В этом случае нельзя лишь определенно утверждать (для данной доверительной вероятности), чем вызвано различие величин x1 и x2 — действием случайных факторов или неисключенными полностью систематическими отклонениями.
Часто возникает обратная задача: если все же утверждать, что различие |x1 − x2| имеет место, то какова надежность такого заключения.
Для решения этой задачи следует обратить внимание на то, что в формулах (1) и (2) коэффициент перед sp характеризует надежность вывода о наличии расхождения : для доверительной вероятности около 1,0 этот коэффициент равен трем, для доверительной вероятности 0,95 — двум и т.д. Поэтому исходя из формулы (1) или (2) можно составить выражение
(3)
где t — коэффициент перед sp в соотношениях типа (1) или (2), и по величине t определить доверительную вероятность.
| t | 1,0 | 1,3 | 1,6 | 2,0 | 2,3 | 2,6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Доверительная вероятность | 0,70 | 0,80 | 0,90 | 0,95 | 0,98 | 0,99 |
Так, например, если t=1,80, то можно утверждать с вероятностью 0,95 и выше, что различие величин x1 и x2 находится в пределах возможной ошибки, а с вероятностью 0,90 — что оно превышает эту ошибку.
Малые выборки
Приведенные заключения справедливы, если величины, входящие в выражение (3) вычислены по достаточно большому количеству измерений. Если обрабатывается малое число наблюдений, то значение величин, входящих в формулу (3) находят по формулам, приведенным в соответствующих работах по математический статистике.
(4)
(5)
где x1,i и x2,i — результаты единичных определений в сериях, для которых вычислялись значения x1 и x2.
В формуле (4) использован упрощенный прием вычисления и в соответствии с формулой (6).
(6)
Для малого числа измерений пользуются таблицей 2, в которой зависимость между t и доверительной вероятностью откорректирована с учетом неопределенности, вносимой ограниченным числом наблюдений.
Легко видеть, что последняя строка значений в табл. 2 для (n1 + n2 — 2) > 20 совпадает с данными табл. 1
|
Значения t в зависимости от числа наблюдений n1 и n2 для различной доверительной вероятности |
||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Число наблюдений n1 + n2 — 2 |
Доверительная вероятность | |||||
| 0,70 | 0,80 | 0,90 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | |
| 1 | 2,0 | 3,1 | 6,3 | 12,7 | 31,8 | 63,7 |
| 2 | 1,3 | 2,9 | 2,9 | 4,3 | 7,0 | 9,9 |
| 3 | 1,2 | 2,6 | 2,4 | 3,2 | 4,5 | 5,8 |
| 4 | 1,2 | 1,5 | 2,1 | 2,8 | 3,8 | 4,6 |
| 5 | 1,2 | 1,5 | 2,0 | 2,6 | 3,4 | 4,0 |
| 10 | 1,1 | 1,4 | 1,8 | 2,2 | 2,8 | 3,2 |
| 20 | 1,1 | 1,3 | 1,7 | 2,1 | 2,5 | 2,8 |
| >20 | 1,0 | 1,3 | 1,6 | 2,0 | 2,3 | 2,6 |