Случайные ошибки первого порядка

Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза
может быть правильной или неправильной,
поэтому возникает необходимость её
проверки. Поскольку проверку производят
статистическими методами, её называют
статистической. В итоге статистической
проверки гипотезы в двух случаях может
быть принято неправильное решение, т.
е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого
рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.

Ошибка второго
рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.

Подчеркнём, что
последствия этих ошибок могут оказаться
весьма различными. Например, если
отвергнуто правильное решение «продолжать
строительство жилого дома», то эта
ошибка первого рода повлечёт материальный
ущерб: если же принято неправильное
решение «продолжать строительство»,
несмотря на опасность обвала стройки,
то эта ошибка второго рода может повлечь
гибель людей. Можно привести примеры,
когда ошибка первого рода влечёт более
тяжёлые последствия, чем ошибка второго
рода.

Замечание 1.
Правильное решение может быть принято
также в двух случаях:

1. гипотеза принимается,
   причём и в действительности она
   правильная;

2. гипотеза отвергается,
   причём и в действительности она неверна.

Замечание 2.
Вероятность совершить ошибку первого
рода принято обозначать через
;
её называют уровнем значимости. Наиболее
часто уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости, равный 0,05, то это
означает, что в пяти случаях из ста
имеется риск допустить ошибку первого
рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия

Для проверки
нулевой гипотезы используют специально
подобранную случайную величину, точное
или приближённое распределение которой
известно. Обозначим эту величину в целях
общности через
.

Статистическим
критерием
(или просто критерием) называют случайную
величину
,
которая служит для проверки нулевой
гипотезы.

Например, если
проверяют гипотезу о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей,
то в качестве критерия
принимают отношение исправленных
выборочных дисперсий:.

Эта величина
случайная, потому что в различных опытах
дисперсии принимают различные, наперёд
неизвестные значения, и распределена
по закону Фишера – Снедекора.

Для проверки
гипотезы по данным выборок вычисляют
частные значения входящих в критерий
величин и таким образом получают частное
(наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым
значением
называют значение критерия, вычисленное
по выборкам. Например, если по двум
выборкам найдены исправленные выборочные
дисперсиии,
то наблюдаемое значение критерия.

Критическая
область. Область принятия гипотезы.
Критические точки

После выбора
определённого критерия множество всех
его возможных значений разбивают на
два непересекающихся подмножества:
одно из них содержит значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а другая – при которых она принимается.

Критической
областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают.

Областью принятия
гипотезы (областью допустимых значений)
называют совокупность значений критерия,
при которых гипотезу принимают.

Основной принцип
проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое
значение критерия принадлежит критической
области – гипотезу отвергают, если
наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу
принимают.

Поскольку критерий
— одномерная случайная величина, все её
возможные значения принадлежат некоторому
интервалу. Поэтому критическая область
и область принятия гипотезы также
являются интервалами и, следовательно,
существуют точки, которые их разделяют.

Критическими
точками (границами)
называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.

Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области.

Правосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
>,
где— положительное число.

Левосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
<,
где— отрицательное число.

Односторонней
называют правостороннюю или левостороннюю
критическую область.

Двусторонней
называют критическую область, определяемую
неравенствами
где.

В частности, если
критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область
определяется неравенствами ( в
предположении, что
>0):

,
или равносильным неравенством
.

Отыскание
правосторонней критической области

Как найти критическую
область? Обоснованный ответ на этот
вопрос требует привлечения довольно
сложной теории. Ограничимся её элементами.
Для определённости начнём с нахождения
правосторонней критической области,
которая определяется неравенством
>,
где>0.
Видим, что для отыскания правосторонней
критической области достаточно найти
критическую точку. Следовательно,
возникает новый вопрос: как её найти?

Для её нахождения
задаются достаточной малой вероятностью
– уровнем значимости
.
Затем ищут критическую точку,
исходя из требования, чтобы при условии
справедливости нулевой гипотезы
вероятность того, критерийпримет значение, большее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(>)=.

Для каждого критерия
имеются соответствующие таблицы, по
которым и находят критическую точку,
удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 1.
Когда
критическая точка уже найдена, вычисляют
по данным выборок наблюдаемое значение
критерия и, если окажется, что
>,
то нулевую гипотезу отвергают; если же<,
то нет оснований, чтобы отвергнуть
нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему
правосторонняя критическая область
была определена, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы выполнялось соотношение

Р(>)=?
(*)

Поскольку вероятность
события
>мала (— малая вероятность), такое событие при
справедливости нулевой гипотезы, в силу
принципа практической невозможности
маловероятных событий, в единичном
испытании не должно наступить. Если всё
же оно произошло, т.е. наблюдаемое
значение критерия оказалось больше,
то это можно объяснить тем, что нулевая
гипотеза ложна и, следовательно, должна
быть отвергнута. Таким образом, требование
(*) определяет такие значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а они и составляют правостороннюю
критическую область.

Замечание 2.
Наблюдаемое значение критерия может
оказаться большим
не потому, что нулевая гипотеза ложна,
а по другим причинам (малый объём выборки,
недостатки методики эксперимента и
др.). В этом случае, отвергнув правильную
нулевую гипотезу, совершают ошибку
первого рода. Вероятность этой ошибки
равна уровню значимости.
Итак, пользуясь требованием (*), мы с
вероятностьюрискуем совершить ошибку первого рода.

Замечание 3. Пусть
нулевая гипотеза принята; ошибочно
думать, что тем самым она доказана.
Действительно, известно, что один пример,
подтверждающий справедливость некоторого
общего утверждения, ещё не доказывает
его. Поэтому более правильно говорить,
«данные наблюдений согласуются с нулевой
гипотезой и, следовательно, не дают
оснований её отвергнуть».

На практике для
большей уверенности принятия гипотезы
её проверяют другими способами или
повторяют эксперимент, увеличив объём
выборки.

Отвергают гипотезу
более категорично, чем принимают.
Действительно, известно, что достаточно
привести один пример, противоречащий
некоторому общему утверждению, чтобы
это утверждение отвергнуть. Если
оказалось, что наблюдаемое значение
критерия принадлежит критической
области, то этот факт и служит примером,
противоречащим нулевой гипотезе, что
позволяет её отклонить.

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей***

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей сводится (так же, как и для
правосторонней) к нахождению соответствующих
критических точек. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством
<(<0).
Критическую точку находят, исходя из
требования, чтобы при справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что
критерий примет значение, меньшее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(<)=.

Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
Критические
точки находят, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы сумма вероятностей того, что
критерий примет значение, меньшееили большее,
была равна принятому уровню значимости:

.
(*)

Ясно, что критические
точки могут быть выбраны бесчисленным
множеством способов. Если же распределение
критерия симметрично относительно нуля
и имеются основания (например, для
увеличения мощности) выбрать симметричные
относительно нуля точки (-
)и(>0),
то

Учитывая (*), получим
.

Это соотношение
и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области.
Критические точки находят по соответствующим
таблицам.

Дополнительные
сведения о выборе критической области.
Мощность критерия

Мы строили
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания в неё
критерия была равна
при условии, что нулевая гипотеза
справедлива. Оказывается целесообразным
ввести в рассмотрение вероятность
попадания критерия в критическую область
при условии, что нулевая гипотеза неверна
и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия
называют вероятность попадания критерия
в критическую область при условии, что
справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть
вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отвергнута, если верна конкурирующая
гипотеза.

Пусть для проверки
гипотезы принят определённый уровень
значимости и выборка имеет фиксированный
объём. Остаётся произвол в выборе
критической области. Покажем, что её
целесообразно построить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если
вероятность ошибки второго рода (принять
неправильную гипотезу) равна
,
то мощность равна 1-.
Действительно, если— вероятность ошибки второго рода, т.е.
события «принята нулевая гипотеза,
причём справедливо конкурирующая», то
мощность критерия равна 1 —.

Пусть мощность 1
—
возрастает; следовательно, уменьшается
вероятностьсовершить ошибку второго рода. Таким
образом, чем мощность больше, тем
вероятность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень
значимости уже выбран, то критическую
область следует строить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Выполнение этого требования должно
обеспечить минимальную ошибку второго
рода, что, конечно, желательно.

Замечание 1.
Поскольку вероятность события «ошибка
второго рода допущена» равна
,
то вероятность противоположного события
«ошибка второго рода не допущена» равна
1 —,
т.е. мощности критерия. Отсюда следует,
что мощность критерия есть вероятность
того, что не будет допущена ошибка
второго рода.

Замечание 2. Ясно,
что чем меньше вероятности ошибок
первого и второго рода, тем критическая
область «лучше». Однако при заданном
объёме выборки уменьшить одновременно
иневозможно; если уменьшить,
тобудет возрастать. Например, если принять=0,
то будут приниматься все гипотезы, в
том числе и неправильные, т.е. возрастает
вероятностьошибки второго рода.

Как же выбрать
наиболее целесообразно? Ответ на этот
вопрос зависит от «тяжести последствий»
ошибок для каждой конкретной задачи.
Например, если ошибка первого рода
повлечёт большие потери, а второго рода
– малые, то следует принять возможно
меньшее.

Если
уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю.
Неймана и Э.Пирсона, можно построить
критическую область, для которойбудет минимальным и, следовательно,
мощность критерия максимальной.

Замечание 3.
Единственный способ одновременного
уменьшения вероятностей ошибок первого
и второго рода состоит в увеличении
объёма выборок.

Соседние файлы в папке Лекции 2 семестр

• #
• #
• #
• #

Проверка корректности А/Б тестов

Хабр, привет! Сегодня поговорим о том, что такое корректность статистических критериев в контексте А/Б тестирования. Узнаем, как проверить, является критерий корректным или нет. Разберём пример, в котором тест Стьюдента не работает.

Меня зовут Коля, я работаю аналитиком данных в X5 Tech. Мы с Сашей продолжаем писать серию статей по А/Б тестированию, это наша третья статья. Первые две можно посмотреть тут:

• Стратификация. Как разбиение выборки повышает чувствительность A/Б теста

• Бутстреп и А/Б тестирование

Корректный статистический критерий

В А/Б тестировании при проверке гипотез с помощью статистических критериев можно совершить одну из двух ошибок:

• ошибку первого рода – отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна. То есть сказать, что эффект есть, хотя на самом деле его нет;

• ошибку второго рода – не отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она неверна. То есть сказать, что эффекта нет, хотя на самом деле он есть.

Совсем не ошибаться нельзя. Чтобы получить на 100% достоверные результаты, нужно бесконечно много данных. На практике получить столько данных затруднительно. Если совсем не ошибаться нельзя, то хотелось бы ошибаться не слишком часто и контролировать вероятности ошибок.

В статистике ошибка первого рода считается более важной. Поэтому обычно фиксируют допустимую вероятность ошибки первого рода, а затем пытаются минимизировать вероятность ошибки второго рода.

Предположим, мы решили, что допустимые вероятности ошибок первого и второго рода равны 0.1 и 0.2 соответственно. Будем называть статистический критерий корректным, если его вероятности ошибок первого и второго рода равны допустимым вероятностям ошибок первого и второго рода соответственно.

Как сделать критерий, в котором вероятности ошибок будут равны допустимым вероятностям ошибок?

Вероятность ошибки первого рода по определению равна уровню значимости критерия. Если уровень значимости положить равным допустимой вероятности ошибки первого рода, то вероятность ошибки первого рода должна стать равной допустимой вероятности ошибки первого рода.

Вероятность ошибки второго рода можно подогнать под желаемое значение, меняя размер групп или снижая дисперсию в данных. Чем больше размер групп и чем ниже дисперсия, тем меньше вероятность ошибки второго рода. Для некоторых гипотез есть готовые формулы оценки размера групп, при которых достигаются заданные вероятности ошибок.

Например, формула оценки необходимого размера групп для гипотезы о равенстве средних:

где и – допустимые вероятности ошибок первого и второго рода, – ожидаемый эффект (на сколько изменится среднее), и – стандартные отклонения случайных величин в контрольной и экспериментальной группах.

Проверка корректности

Допустим, мы работаем в онлайн-магазине с доставкой. Хотим исследовать, как новый алгоритм ранжирования товаров на сайте влияет на среднюю выручку с покупателя за неделю. Продолжительность эксперимента – одна неделя. Ожидаемый эффект равен +100 рублей. Допустимая вероятность ошибки первого рода равна 0.1, второго рода – 0.2.

Оценим необходимый размер групп по формуле:

import numpy as np
from scipy import stats

alpha = 0.1                     # допустимая вероятность ошибки I рода
beta = 0.2                      # допустимая вероятность ошибки II рода
mu_control = 2500               # средняя выручка с пользователя в контрольной группе
effect = 100                    # ожидаемый размер эффекта
mu_pilot = mu_control + effect  # средняя выручка с пользователя в экспериментальной группе
std = 800                       # стандартное отклонение

# исторические данные выручки для 10000 клиентов
values = np.random.normal(mu_control, std, 10000)

def estimate_sample_size(effect, std, alpha, beta):
    """Оценка необходимого размер групп."""
    t_alpha = stats.norm.ppf(1 - alpha / 2, loc=0, scale=1)
    t_beta = stats.norm.ppf(1 - beta, loc=0, scale=1)
    var = 2 * std ** 2
    sample_size = int((t_alpha + t_beta) ** 2 * var / (effect ** 2))
    return sample_size

estimated_std = np.std(values)
sample_size = estimate_sample_size(effect, estimated_std, alpha, beta)
print(f'оценка необходимого размера групп = {sample_size}')

оценка необходимого размера групп = 784

Чтобы проверить корректность, нужно знать природу случайных величин, с которыми мы работаем. В этом нам помогут исторические данные. Представьте, что мы перенеслись в прошлое на несколько недель назад и запустили эксперимент с таким же дизайном, как мы планировали запустить его сейчас. Дизайн – это совокупность параметров эксперимента, таких как: целевая метрика, допустимые вероятности ошибок первого и второго рода, размеры групп и продолжительность эксперимента, техники снижения дисперсии и т.д.

Так как это было в прошлом, мы знаем, какие покупки совершили пользователи, можем вычислить метрики и оценить значимость отличий. Кроме того, мы знаем, что эффекта на самом деле не было, так как в то время эксперимент на самом деле не запускался. Если значимые отличия были найдены, то мы совершили ошибку первого рода. Иначе получили правильный результат.

Далее нужно повторить эту процедуру с мысленным запуском эксперимента в прошлом на разных группах и временных интервалах много раз, например, 1000.

После этого можно посчитать долю экспериментов, в которых была совершена ошибка. Это будет точечная оценка вероятности ошибки первого рода.

Оценку вероятности ошибки второго рода можно получить аналогичным способом. Единственное отличие состоит в том, что каждый раз нужно искусственно добавлять ожидаемый эффект в данные экспериментальной группы. В этих экспериментах эффект на самом деле есть, так как мы сами его добавили. Если значимых отличий не будет найдено – это ошибка второго рода. Проведя 1000 экспериментов и посчитав долю ошибок второго рода, получим точечную оценку вероятности ошибки второго рода.

Посмотрим, как оценить вероятности ошибок в коде. С помощью численных синтетических А/А и А/Б экспериментов оценим вероятности ошибок и построим доверительные интервалы:

def run_synthetic_experiments(values, sample_size, effect=0, n_iter=10000):
    """Проводим синтетические эксперименты, возвращаем список p-value."""
    pvalues = []
    for _ in range(n_iter):
        a, b = np.random.choice(values, size=(2, sample_size,), replace=False)
        b += effect
        pvalue = stats.ttest_ind(a, b).pvalue
        pvalues.append(pvalue)
    return np.array(pvalues)

def print_estimated_errors(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha):
    """Оценивает вероятности ошибок."""
    estimated_first_type_error = np.mean(pvalues_aa < alpha)
    estimated_second_type_error = np.mean(pvalues_ab >= alpha)
    ci_first = estimate_ci_bernoulli(estimated_first_type_error, len(pvalues_aa))
    ci_second = estimate_ci_bernoulli(estimated_second_type_error, len(pvalues_ab))
    print(f'оценка вероятности ошибки I рода = {estimated_first_type_error:0.4f}')
    print(f'  доверительный интервал = [{ci_first[0]:0.4f}, {ci_first[1]:0.4f}]')
    print(f'оценка вероятности ошибки II рода = {estimated_second_type_error:0.4f}')
    print(f'  доверительный интервал = [{ci_second[0]:0.4f}, {ci_second[1]:0.4f}]')

def estimate_ci_bernoulli(p, n, alpha=0.05):
    """Доверительный интервал для Бернуллиевской случайной величины."""
    t = stats.norm.ppf(1 - alpha / 2, loc=0, scale=1)
    std_n = np.sqrt(p * (1 - p) / n)
    return p - t * std_n, p + t * std_n

pvalues_aa = run_synthetic_experiments(values, sample_size, effect=0)
pvalues_ab = run_synthetic_experiments(values, sample_size, effect=effect)
print_estimated_errors(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha)

оценка вероятности ошибки I рода = 0.0991
  доверительный интервал = [0.0932, 0.1050]
оценка вероятности ошибки II рода = 0.1978
  доверительный интервал = [0.1900, 0.2056]

Оценки вероятностей ошибок примерно равны 0.1 и 0.2, как и должно быть. Всё верно, тест Стьюдента на этих данных работает корректно.

Распределение p-value

Выше рассмотрели случай, когда тест контролирует вероятность ошибки первого рода при фиксированном уровне значимости. Если решим изменить уровень значимости с 0.1 на 0.01, будет ли тест контролировать вероятность ошибки первого рода? Было бы хорошо, если тест контролировал вероятность ошибки первого рода при любом заданном уровне значимости. Формально это можно записать так:

Для любого выполняется .

Заметим, что в левой части равенства записано выражение для функции распределения p-value. Из равенства следует, что функция распределения p-value в точке X равна X для любого X от 0 до 1. Эта функция распределения является функцией распределения равномерного распределения от 0 до 1. Мы только что показали, что статистический критерий контролирует вероятность ошибки первого рода на заданном уровне для любого уровня значимости тогда и только тогда, когда при верности нулевой гипотезы p-value распределено равномерно от 0 до 1.

При верности нулевой гипотезы p-value должно быть распределено равномерно. А как должно быть распределено p-value при верности альтернативной гипотезы? Из условия для вероятности ошибки второго рода следует, что .

Получается, график функции распределения p-value при верности альтернативной гипотезы должен проходить через точку , где и – допустимые вероятности ошибок конкретного эксперимента.

Проверим, как распределено p-value в численном эксперименте. Построим эмпирические функции распределения p-value:

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_pvalue_distribution(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha, beta):
    """Рисует графики распределения p-value."""
    estimated_first_type_error = np.mean(pvalues_aa < alpha)
    estimated_second_type_error = np.mean(pvalues_ab >= alpha)
    y_one = estimated_first_type_error
    y_two = 1 - estimated_second_type_error
    X = np.linspace(0, 1, 1000)
    Y_aa = [np.mean(pvalues_aa < x) for x in X]
    Y_ab = [np.mean(pvalues_ab < x) for x in X]

    plt.plot(X, Y_aa, label='A/A')
    plt.plot(X, Y_ab, label='A/B')
    plt.plot([alpha, alpha], [0, 1], '--k', alpha=0.8)
    plt.plot([0, alpha], [y_one, y_one], '--k', alpha=0.8)
    plt.plot([0, alpha], [y_two, y_two], '--k', alpha=0.8)
    plt.plot([0, 1], [0, 1], '--k', alpha=0.8)

    plt.title('Оценка распределения p-value', size=16)
    plt.xlabel('p-value', size=12)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid()
    plt.show()

plot_pvalue_distribution(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha, beta)

P-value для синтетических А/А тестах действительно оказалось распределено равномерно от 0 до 1, а для синтетических А/Б тестов проходит через точку .

Кроме оценок распределений на графике дополнительно построены четыре пунктирные линии:

• диагональная из точки [0, 0] в точку [1, 1] – это функция распределения равномерного распределения на отрезке от 0 до 1, по ней можно визуально оценивать равномерность распределения p-value;

• вертикальная линия с – пороговое значение p-value, по которому определяем отвергать нулевую гипотезу или нет. Проекция на ось ординат точки пересечения вертикальной линии с функцией распределения p-value для А/А тестов – это вероятность ошибки первого рода. Проекция точки пересечения вертикальной линии с функцией распределения p-value для А/Б тестов – это мощность теста (мощность = 1 — ). 

• две горизонтальные линии – проекции на ось ординат точки пересечения вертикальной линии с функцией распределения p-value для А/А и А/Б тестов.

График с оценками распределения p-value для синтетических А/А и А/Б тестов позволяет проверить корректность теста для любого значения уровня значимости.

Некорректный критерий

Выше рассмотрели пример, когда тест Стьюдента оказался корректным критерием для случайных данных из нормального распределения. Может быть, все критерии всегда работаю корректно, и нет смысла каждый раз проверять вероятности ошибок?

Покажем, что это не так. Немного изменим рассмотренный ранее пример, чтобы продемонстрировать некорректную работу критерия. Допустим, мы решили увеличить продолжительность эксперимента до 2-х недель. Для каждого пользователя будем вычислять стоимость покупок за первую неделю и стоимость покупок за второю неделю. Полученные стоимости будем передавать в тест Стьюдента для проверки значимости отличий. Положим, что поведение пользователей повторяется от недели к неделе, и стоимости покупок одного пользователя совпадают.

def run_synthetic_experiments_two(values, sample_size, effect=0, n_iter=10000):
    """Проводим синтетические эксперименты на двух неделях."""
    pvalues = []
    for _ in range(n_iter):
        a, b = np.random.choice(values, size=(2, sample_size,), replace=False)
        b += effect
        # дублируем данные
        a = np.hstack((a, a,))
        b = np.hstack((b, b,))
        pvalue = stats.ttest_ind(a, b).pvalue
        pvalues.append(pvalue)
    return np.array(pvalues)

pvalues_aa = run_synthetic_experiments_two(values, sample_size)
pvalues_ab = run_synthetic_experiments_two(values, sample_size, effect=effect)
print_estimated_errors(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha)
plot_pvalue_distribution(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha, beta)

оценка вероятности ошибки I рода = 0.2451
  доверительный интервал = [0.2367, 0.2535]
оценка вероятности ошибки II рода = 0.0894
  доверительный интервал = [0.0838, 0.0950]

Получили оценку вероятности ошибки первого рода около 0.25, что сильно больше уровня значимости 0.1. На графике видно, что распределение p-value для синтетических А/А тестов не равномерно, оно отклоняется от диагонали. В этом примере тест Стьюдента работает некорректно, так как данные зависимые (стоимости покупок одного человека зависимы). Если бы мы сразу не догадались про зависимость данных, то оценка вероятностей ошибок помогла бы нам понять, что такой тест некорректен.

Итоги

Мы обсудили, что такое корректность статистического теста, посмотрели, как оценить вероятности ошибок на исторических данных и привели пример некорректной работы критерия.

Таким образом:

• корректный критерий – это критерий, у которого вероятности ошибок первого и второго рода равны допустимым вероятностям ошибок первого и второго рода соответственно;

• чтобы критерий контролировал вероятность ошибки первого рода для любого уровня значимости, необходимо и достаточно, чтобы p-value при верности нулевой гипотезы было распределено равномерно от 0 до 1.

2.3. (генеральная) совокупность

Множество всех рассматриваемых единиц.

Примечание — Для случайной величины распределение вероятностей рассматривают как определение совокупности этой случайной величины

3.1. (измеримая) величина; физическая величина

Признак явления, материала или вещества, который можно различить качественно и определить количественно [п. 1].

Примечания

1. Термин «величина» может относиться к количеству в общем смысле, например длина, время, масса, температура, электрическое сопротивление, или к определенным установленным величинам, например длина определенного стержня, электрическое сопротивление определенной проволоки.

2. Величины, которые взаимно сравнимы, можно объединять в количественные категории, например:

— работа, тепло, энергия;

— толщина, периметр, длина волны.

3. Символы для величин приведены в ИСО 31.0 — ИСО 31.13.

4. Измеримые величины можно определить количественно

2.86. c²-критерий

Критерий, в котором в нулевой гипотезе используемая статистика имеет по предположению распределение c².

Примечание — Его применяют, например, при решении следующих задач:

— проверка равенства дисперсии нормальной совокупности и заданного значения дисперсии, оцениваемой на основе статистики критерия по выборке, взятой из этой совокупности;

— сравнение наблюдаемых частот с теоретическими частотами

2.88. F -критерий , критерий Фишера

Статистический критерий, в котором в нулевой гипотезе используемая статистика имеет по предположению F-распределение.

Примечание — Этот критерий применяют, например, при решении следующих задач:

— проверка равенства дисперсий двух нормальных совокупностей на основе выборочных дисперсий, оцениваемых по двум независимым выборкам;

— проверка математических ожиданий равенства нескольких (например, К) нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями на основе средних арифметических и выборочных дисперсий независимых выборок

1.41. F -распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения от 0 до +∞, плотность распределения вероятностей которой

где F ³ 0 с параметрами n₁ = 1, 2, …; n₂ = 1, 2, …;

Г — гамма-функция.

Примечание — Это распределение отношения двух независимых случайных величин с распределениями c², в котором делимое и делитель разделены на свои числа степеней свободы. Число степеней свободы числителя равно n₁, а знаменателя — n₂. В таком порядке и записывают числа степеней свободы случайной величины с распределением F

2.87. t -критерий; критерий Стьюдента

Статистический критерий, в котором в нулевой гипотезе используемая статистика соответствует t-распределению.

Примечание — Этот критерий применяют, например, при решении следующих задач:

— проверка равенства математического ожидания нормальной совокупности заданному значению с помощью критерия, основанного на выборочном среднем и выборочной дисперсии;

— проверка равенства математических ожиданий из двух нормальных совокупностей с одинаковой дисперсией на основе двух выборочных средних и двух выборочных дисперсий из двух независимых выборок, взятых из этих совокупностей;

— критерий, применяемый к значению линейной регрессии или коэффициента корреляции

1.40. t -распределение; распределение Стьюдента

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей которой

где -¥ < t < +¥ с параметром n = 1, 2, …;

Г — гамма-функция.

Примечание — Отношение двух независимых случайных величин, числитель которого — стандартизованная нормальная случайная величина, а знаменатель — положительное значение квадратного корня из частного от деления случайной величины c² на ее число степеней свободы n — это распределение Стьюдента с v степенями свободы

1.45. бета-распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до 1, включая границы, и плотность распределения которой

при 0 £ x £ 1 и параметрах m₁ > 0, m₂ > 0,

где Г — гамма-функция.

Примечание — При m₁ = m₂ = 1 бета-распределение переходит в равномерное распределение с параметрами a = 0 и b = 1

1.49. биномиальное распределение

Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что

при х = 0, 1, 2, …, n

и параметрах n = 1, 2, … и 0 < p < 1, где

1.1 вероятность

Действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию.

Примечания

1. Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений или степень уверенности в том, что некоторое событие произойдет. Для высокой степени уверенности вероятность близка к единице.

2. Вероятность события А обозначают Рr (А) или Р (А)

2.78. вероятность ошибки второго рода

Вероятность допустить ошибку второго рода.

Примечание — Вероятность ошибки второго рода, обычно обозначаемая b, зависит от реальной ситуации и может быть вычислена лишь в том случае, если альтернативная гипотеза задана адекватно

2.76. вероятность ошибки первого рода

Вероятность допустить ошибку первого рода.

Примечания

1. Она всегда меньше уровня значимости критерия или равна ему.

2. В примечании 2 к п. 2.71 ошибка первого рода состоит в отбрасывании H₀ (m < m₀), потому что  меньше А, в то время как на самом деле m равно или превышает m₀. Вероятность такой ошибки равна a при m = m₀ и уменьшается с увеличением m

2.27. взвешенное среднее арифметическое

Сумма произведений каждого значения на его вес, деленная на сумму весов, где веса — неотрицательные коэффициенты, связанные с каждым значением

3.20. воспроизводимость (результатов проверки)

Прецизионность в условиях воспроизводимости (по ИСО 5725.1)

4.22. вторичная выборка [проба]

Выборка [проба], получаемая из первичной выборки [пробы] на второй стадии многостадийного отбора.

Примечание — Это можно распространить на k-ю стадию при k > 2

4.2. выборка [проба]

Одна или несколько выборочных единиц, взятых из генеральной совокупности и предназначенных для получения информации о ней.

Примечание — Выборка [проба] может служить основой для принятия решения о генеральной совокупности или о процессе, который ее формирует

4.7. выборка без возвращения

Выборка, в которую единицы отбирают из совокупности только один раз или последовательно и не возвращают в нее

4.6. выборка с возвращением

Выборка, из которой каждую отобранную и наблюдаемую единицу возвращают в совокупность перед отбором следующей единицы.

Примечание — Одна и та же единица может многократно появляться в выборке

2.33. выборочная дисперсия

Одна из мер рассеяния, представляющая собой сумму квадратов отклонений наблюдений от их среднего арифметического, деленная на число наблюдений минус единица.

Примечания

1. Для серии из n наблюдений х₁, x₂, …, х_n со средним арифметическим

выборочная дисперсия

2. Выборочная дисперсия — это несмещенная оценка дисперсии совокупности.

3. Выборочная дисперсия — это центральный момент второго порядка, кратный n/(n — 1) (п. 2.39, примечание)

4.24. выборочная доля

а) Отношение объема выборки к общему числу выборочных единиц.

b) Когда отбирают нештучную или непрерывно производимую продукцию, выборочную долю определяют отношением количества пробы к количеству совокупности или подсовокупности.

Примечание — Под количеством пробы или совокупности понимают массу, объем, площадь и т.д.

4.1. выборочная единица

а) Одна из конкретных единиц, из которых состоит генеральная совокупность.

b) Определенное количество продукции, материала или услуг, образующее единство и взятое из одного места, в одно время для формирования части выборки.

Примечания

1. Выборочная единица может содержать более одного изделия, допускающего испытание, например пачка сигарет, но при этом получают один результат испытания или наблюдения.

2. Единицей продукции может быть одно изделие, пара или набор изделий, или ею может быть определенное количество материала, такое как отрезок латунного прутка определенной длины, определенный объем жидкой краски или заданная масса угля. Она необязательно должна быть такой же, как единица закупки, поставки, производства или отгрузки

2.40. выборочная ковариация

Сумма произведений отклонений х и у от их соответствующих средних арифметических, деленная на число наблюдаемых пар без единицы:

где n — число наблюдаемых пар.

Примечание — Выборочная ковариация — это несмещенная оценка ковариации совокупности

2.28. выборочная медиана

Если n случайных значений упорядочены по возрастанию и пронумерованы от 1 до n, то, если n нечетно, выборочная медиана принимает значение с номером ; если n четно, медиана лежит между -м и -м значениями и не может быть однозначно определена.

Примечание — При отсутствии других указаний и четном n за выборочную медиану можно принять среднее арифметическое этих двух значений

2.34. выборочное стандартное отклонение

Положительный квадратный корень из выборочной дисперсии.

Примечание — Выборочное стандартное отклонение — это смещенная оценка стандартного отклонения совокупности

2.35. выборочный коэффициент вариации (Ндп. относительное стандартное отклонение)

Отношение выборочного стандартного отклонения к среднему арифметическому для неотрицательных признаков.

Примечание — Это отношение можно выразить в процентах

2.41. выборочный коэффициент корреляции

Частное от деления выборочной ковариации двух показателей на произведение их выборочных стандартных отклонений:

где S_xy — выборочная ковариация Х и Y;

S_x и S_y — выборочные стандартные отклонения Х и Y соответственно.

Примечания

1. Этот коэффициент часто используют как цифровое выражение взаимной зависимости между Х и Y в серии парных наблюдений. Для проверки линейности можно строить диаграмму разброса.

2. Его значения всегда лежат между минус 1 и плюс 1. Когда выборочный коэффициент корреляции равен одному из указанных пределов, это означает, что существует точная линейная зависимость в серии парных наблюдений.

3. Этот выборочный коэффициент корреляции применяют для измеряемых признаков; для ранговых данных используют другие коэффициенты корреляции, такие как коэффициенты Спирмена и Кендалла

2.44. выборочный коэффициент регрессии

Коэффициент при переменной в уравнении кривой или поверхности регрессии

2.36. выборочный момент порядка q относительно начала отсчета

Среднее арифметическое наблюдаемых значений в степени q в распределении единственного признака:

где n — общее число наблюдений.

Примечание — Момент первого порядка — это среднее арифметическое наблюдаемых значений

2.38. выборочный совместный момент порядков q и s относительно начала отсчета

В совместном распределении двух показателей — среднее арифметическое произведений x_i в степени q и y_i в степени s для всех наблюдаемых пар значений (x_i, у_i)

где n — число наблюдаемых пар.

Примечания

1. Выборочный совместный момент порядков q и s — это один из моментов порядка (q + s).

2. Выборочный момент порядков 1 и 0 — это среднее арифметическое маргинального распределения частот X, а момент порядков 0 и 1 — среднее арифметическое маргинального распределения частот Y

2.39. выборочный совместный центральный момент порядков q и s

В совместном распределении двух признаков — среднее арифметическое произведений разности между x_i и его средним арифметическим значением  в степени q и разности между у_i и его средним арифметическим значением  в степени s для всех наблюдаемых пар (x_i, у_i):

где n — число наблюдаемых пар.

Примечание — Выборочный центральный момент порядков 2 и 0 — это выборочная дисперсия маргинального распределения частот X, умноженная на (n — 1)/n, а выборочный центральный момент порядков 0 и 2 — выборочная дисперсия маргинального распределения частот Y, умноженная на (n — 1)/n

2.37. выборочный центральный момент порядка q

Среднее арифметическое разностей между наблюдаемыми значениями х_i и их средним арифметическим  в степени q в распределении единственного признака:

где n — число наблюдений.

Примечание — Выборочный центральный момент первого порядка равен нулю

2.64. выбросы

Наблюдения в выборке, отличающиеся от остальных по величине настолько, что возникает предположение, что они принадлежат другой совокупности или получены в результате ошибки измерения

1.44. гамма-распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до +¥ и плотность вероятности которой

при х ³ 0 и параметрах m > 0, a > 0;

где Г — гамма-функция

Примечания

1. При m целом имеем:

Г (m) = (m — 1)!

2. Параметр m определяет форму распределения. При m = 1 гамма-распределение превращается в экспоненциальное распределение.

3. Сумма m независимых случайных величин, подчиняющихся экспоненциальному закону распределения с параметром  — это гамма-распределение с параметрами m и a

1.52. гипергеометрическое распределение

Дискретное распределение вероятностей с функцией распределения:

где х = max (0, М — N + n), …, max (0, М — N + n) + 1, …, min (М, n); параметры N = 1, 2, …;

М = 0, 1, 2, …, N;

n = 1, 2, …, N

и

 и т.п.

Примечание — Это распределение возникает как распределение вероятностей числа успехов в выборке объема n, взятой без возвращения из генеральной совокупности объема N, содержащий М успехов

2.17. гистограмма

Графическое представление распределения частот для количественного признака, образуемое соприкасающимися прямоугольниками, основаниями которых служат интервалы классов, а площади пропорциональны частотам этих классов

2.8. границы класса; пределы класса

Значения, определяющие верхнюю и нижнюю границы класса.

Примечания

1. Следует уточнить, какую из двух границ считают принадлежащей классу.

2. Если возможно, надо чтобы граница класса не совпадала с возможным значением

1.7. двумерная функция распределения

Функция, дающая для любой пары значений х, у вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна х, а случайная величина Y — меньше или равна y:

Примечание — Выражение в квадратных скобках означает пересечение событий Х £ х и Y £ у

1.53. двумерное нормальное распределение ; двумерное распределение Лапласа—Гаусса

Распределение вероятностей двух непрерывных случайных величин Х и Y такое, что плотность распределения вероятностей

при -¥ < x < +¥ и -¥ < у < +¥,

где m_x и m_y — математические ожидания;

s_x и s_y — стандартные отклонения маргинальных распределений Х и Y, которые нормальны;

r — коэффициент корреляции Х и Y.

Примечание — Это понятие можно распространить на многомерное распределение более двух случайных величин таких, что маргинальное распределение любой их пары может быть представлено в той форме, что приведена выше

2.20. двумерное распределение частот

Эмпирическое отношение между парами значений или классами признаков с одной стороны, и их частотами с другой — для двух признаков, рассматриваемых одновременно

2.57. двусторонний доверительный интервал

Если T₁ и T₂ — две функции от наблюдаемых значений таких, что для оценки параметра распределения совокупности q вероятность  равна (1 — a), где (1 — a) — константа, положительная и меньше 1, то интервал между T₁ и T₂ — это двусторонний доверительный интервал для q при доверительной вероятности (1 — a).

Примечания

1. Границы T₁ и T₂ доверительного интервала — это статистики (2.45), которые в общих предположениях принимают различные значения от выборки к выборке.

2. В длинном ряду выборок относительная частота случаев, когда доверительный интервал накрывает истинное значение параметра совокупности q, больше или равна (1 — a)

2.74. двусторонний критерий

Критерий, в котором используемая статистика одномерна, а критическая область состоит из множества значений, меньших первого критического значения, и множества значений, больших второго критического значения.

Примечание — Выбор между односторонним и двусторонним критериями определяется альтернативной гипотезой. В примечании, приведенном в п. 2.71, критерий односторонний, а критическое значение равно А

3.3. действительное значение (величины)

Значение величины, которое для данной цели можно рассматривать как истинное [п. 1], [п. 2].

Примечания

1. Действительное значение в общем смысле рассматривают как достаточно близкое к истинному значению, поскольку разница не имеет большого значения для данной цели.

2. Значение, приписанное в организации некоторому эталону, можно рассматривать как действительное значение величины, воспроизводимой этим эталоном

4.11. деление пробы

Процесс отбора одной или нескольких проб из пробы нештучной продукции таким способом, как нарезание, механическое деление или квартование

2.21. диаграмма разброса [рассеяния]

Графическое представление множества точек, координаты которых х и у в обычной прямоугольной системе координат — это значения признаков Х и Y.

Примечания

1. Множество из n элементов таким образом дает n точек, которые наглядно показывают зависимость между Х и Y.

2. Концепцию диаграммы разброса можно распространить на более чем два признака

1.22. дисперсия (случайной величины)

Математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины

2.59. доверительная вероятность; уровень доверия

Величина (1 — a) — вероятность, связанная с доверительным интервалом или со статистически накрывающим интервалом.

Примечание — Величину (1 — a) часто выражают в процентах

2.60. доверительная граница

Каждая из границ, нижняя T₁, верхняя T₂ для двустороннего доверительного интервала или граница Т для одностороннего интервала

4.12. дублирующая выборка [проба]

Одна из двух или более выборок [проб] или подвыборок [проб], полученных одновременно, одним методом ее отбора или делением выборки [пробы]

2.1. единица [объект]

То, что можно рассмотреть и описать индивидуально.

Примечание — Единицей может, например, быть:

— изделие;

— определенное количество материала;

— услуга, действие или процесс;

— организация или человек;

— некоторая их комбинация.

2.51. значение оценки

Значение параметра, полученное в результате оценивания

2.84. значимый результат (на выбранном уровне значимости a)

Результат статистической проверки, который приводит к отбрасыванию нулевой гипотезы, в противном случае — результат незначим.

Примечания

1. Когда результат проверки называют статистически значимым, это показывает, что результат выходит за тот диапазон значений, в который укладываются случайные воздействия, когда нулевая гипотеза верна.

2. Для примера, приведенного в п. 2.71, при , меньшем А, где  считают, что  значимо меньше m₀ на уровне значимости 1 — a

3.5. измеряемая величина

Величина, подвергаемая измерению [1], [2].

Примечание — По обстоятельствам это может быть величина, измеряемая количественно или качественно

2.10. интервал класса

Разница между верхней и нижней границами класса для количественного признака

3.2. истинное значение (величины)

Значение, которое идеальным образом определяет величину при тех условиях, при которых эту величину рассматривают [п. 1].

Примечание — Истинное значение — теоретическое понятие, которое нельзя определить точно

1.14. квантиль (случайной величины)

Значение случайной величины х_p, для которого функция распределения принимает значение p (0 £ p £ 1) или ее значение изменяется скачком от меньшего p до превышающего р.

Примечания

1. Если значение функции распределения равно p во всем интервале между двумя последовательными значениями случайной величины, то любое значение в этом интервале можно рассматривать как p-квантиль.

2. Величина х_p будет p-квантилем, если

3. Для непрерывной величины p-квантиль — это то значение переменной, ниже которого лежит р-я доля распределения.

4. Процентиль — это квантиль, выраженный в процентах

1.16. квартиль

Квантиль порядка p = 0,25 или p = 0,75

2.7. класс

а) Для качественного признака — Определенные группы объектов, каждые из которых имеют отдельные общие признаки, взаимно исключают друг друга, исчерпывая все объекты.

b) Для количественного признака — Каждый из последовательных взаимоисключающих интервалов, на которые разделен весь интервал варьирования.

4.18. кластерный отбор; отбор методом группировки

Способ отбора, при котором совокупность разделяют на взаимоисключающие и исчерпывающие группы или кластеры, в которых выборочные единицы объединены определенным образом, и выборку из этих кластеров берут случайно, причем все выборочные единицы включают в общую выборку

1.32. ковариация; корреляционный момент

Совместный центральный момент порядков 1 и 1:

4.23. конечная выборка

Выборка, получаемая на последней стадии многостадийного отбора

1.13. корреляция

Взаимозависимость двух или нескольких случайных величин в распределении двух или нескольких случайных величин.

Примечание — Большинство статистических мер корреляции измеряют только степень линейной зависимости

1.24. коэффициент вариации (случайной величины)

Отношение стандартного отклонения к абсолютному значению математического ожидания случайной величины

1.33. коэффициент корреляции

Отношение ковариации двух случайных величин к произведению их стандартных отклонений:

Примечания

1. Эта величина всегда будет принимать значения от минус 1 до плюс 1, включая крайние значения.

2. Если две случайные величины независимы, коэффициент корреляции между ними равен нулю только в случае двумерного нормального распределения

2.81. кривая мощности (критерия)

Графическое представление функции мощности критерия.

Примечания

1. На рисунке 1 представлена кривая мощности для проверки гипотезы H₀ (m ³ m₀) против альтернативной гипотезы H₁ (m < m₀) в зависимости от математического ожидания совокупности m и уровня значимости критерия a.

1 — Pa — вероятность отклонения гипотезы H₀; m — математическое ожидание совокупности

Рисунок 1 — Кривая мощности

2. На рисунке 2 представлена кривая мощности критерия для гипотезы H₀ (p £ p₀) против H₁ (p > p₀) в зависимости от р₀ — доли несоответствующих единиц в партии, проходящей контроль.

1 — Pa — вероятность отклонения гипотезы H₀; p — доля несоответствующих единиц в партии

Рисунок 2 — Кривая мощности

2.83. кривая оперативной характеристики; кривая ОХ

Графическое представление оперативной характеристики.

Примечания

1. На рисунке 3 представлена кривая оперативной характеристики для проверки гипотезы H₀ (m ³ m₀) против H₁ (m < m₀) в зависимости от математического ожидания генеральной совокупности m и уровня значимости критерия a

Pa — вероятность принятия гипотезы H₀; m — математическое ожидание совокупности

Рисунок 3 — Кривая оперативной характеристики

2. На рисунке 4 представлена кривая оперативной характеристики для проверки гипотезы H₀ (p < p₀) против H₁ (p ³ p₀) в зависимости от р — доли несоответствующих единиц в партии, проходящей контроль.

Pa — вероятность принятия гипотезы H₀; p — доля несоответствующих единиц в партии

Рисунок 4 — Кривая оперативной характеристики

1.34. кривая регрессии ( Y по X)

Для двух случайных величин Х и Y кривая, отображающая зависимость условного математического ожидания случайной величины Y при условии Х = х для каждой переменной х.

Примечание — Если кривая регрессии Y по X представляет собой прямую линию, то регрессию называют «простой линейной». В этом случае коэффициент линейной регрессии Y по Х — это коэффициент наклона перед х в уравнении линии регрессии

2.42. кривая регрессии (Y по Х для выборки)

Для выборки n пар наблюдений двух показателей Х и Y — кривая регрессии Y от X отображает зависимость функции Y от X

2.63. критерий согласия распределения

Мера соответствия между наблюдаемым распределением и теоретическим распределением, выбранным априори либо подобранным по результатам наблюдений

2.71. критическая область

Множество возможных значений статистики, лежащей в основе критерия, для которого отвергают нулевую гипотезу.

Примечания

1. Критические области определяют таким образом, что если нулевая гипотеза верна, вероятность ее отбрасывания равна заданному значению a, обычно малому, например 5 % или 1 %.

2. Классический способ проверки нулевой гипотезы, относящийся к математическому ожиданию нормального распределения с известным стандартным отклонением s, H₀ (m ³ m₀) против альтернативы H₁ (m < m₀), — использование статистики  выборочного среднего арифметического.

Критическая область — это множество значений статистики, меньших чем

где n — объем выборки;

m_1-a — это квантиль уровня (1 — a) стандартизованной нормальной случайной величины.

Если рассчитанное значение  меньше А, гипотезу Н₀ отвергают. В противном случае — Н₀ не отвергают (принимают)

3.24. критическая разность воспроизводимости

Значение, меньшее или равное абсолютной разности между двумя конечными значениями, каждое из которых представляет собой ряды результатов проверок, полученных в условиях воспроизводимости, ожидаемое с заданной вероятностью (по ИСО 5725.1).

Примечание — Примерами конечных результатов служат среднее арифметическое и выборочная медиана рядов результатов проверок; ряды могут содержать только по одному результату проверки

3.19. критическая разность повторяемости

Значение, меньшее или равное абсолютной разности между двумя конечными значениями, каждое из которых представляет собой ряды результатов проверок, полученных в условиях повторяемости, ожидаемое с заданной вероятностью (по ИСО 5725.1).

Примечания

1. Примерами конечных результатов служат среднее арифметическое и выборочная медиана рядов результатов проверок; сами ряды могут содержать только по одному результату проверки.

2. Предел повторяемости r — это критическая разность повторяемости для двух единичных результатов проверки при вероятности 95 %

2.72. критическое значение

Значение, ограничивающее критическую область

2.14. кумулятивная относительная частота

Кумулятивная частота, деленная на общее число наблюдений

4.31. лабораторная проба

Проба, предназначенная для лабораторных исследований или испытаний

1.42 логарифмически нормальное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от а до +¥ и плотность распределения вероятности которой

где x > a;

m и s — соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины log_e(X — a).

Примечания

1. Распределение вероятностей случайной величины log_e(X — a) — это нормальное распределение; m и s — соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение этой случайной величины.

2. Параметры m и s — это не логарифмы математического ожидания и стандартного отклонения X.

3. Часто вместо обозначения log_e (или ln) используют log₁₀. В этом случае

где m и s — соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение log₁₀(X — a);

1.19. маргинальное математическое ожидание

Математическое ожидание маргинального распределения случайной величины

1.9. маргинальное распределение (вероятностей)

Распределение вероятностей подмножества k₁ из множества k случайных величин, при этом остальные (k — k₁) случайные величины принимают любые значения в соответствующих множествах возможных значений.

Примечание — Для распределения вероятностей трех случайных величин X, Y, Z существуют:

— три двумерных маргинальных распределения, т.е. распределения пар (X, Y), (X, Z), (Y, Z);

— три одномерных маргинальных распределения, т.е. распределения X, Y и Z

2.24. маргинальное распределение частот

Распределение частот подмножества k₁ < k признаков из многомерного распределения частот k признаков, когда остальные (k — k₁) переменных принимают любые значения из своих областей значений.

Примечания

1. Для k = 2 признаков маргинальное распределение частот можно получить, добавляя к каждому значению или классу значений рассматриваемого признака соответствующие частоты или относительные частоты остальных признаков.

2. В распределении частот трех признаков X, Y и Z существуют:

— три двумерных маргинальных распределения частот, то есть распределения пар (X, Y), (X, Z), (Y, Z);

— три одномерных маргинальных распределения частот, то есть распределения X, Y и Z

1.18. математическое ожидание (случайной величины)

а) Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x_i с вероятностями p_i, математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой

где суммируют все значения x_i, которые может принимать случайная величина X;

b) Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность f (x), математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой

где интеграл берут по всему интервалу (интервалам) изменения Х

4.25. мгновенная проба

Количество нештучной продукции, взятое единовременно за один прием из большего объема этой же продукции

1.15. медиана

Квантиль порядка p = 0,5

1.8. многомерная функция распределения

Функция, дающая для любого набора значений х, у,… вероятность того, что несколько случайных величин X, Y,… будут меньше или равны соответствующим значениям х, у,…:

2.23. многомерное распределение частот

Эмпирическое отношение между совместными наборами значений или классов признаков с одной стороны и их частотами с другой — для нескольких признаков, рассматриваемых одновременно

4.20. многостадийный кластерный отбор

Кластерный отбор, проведенный в две или более стадии, при котором каждый отбор делают из кластеров, которые уже получены из разделения предшествующей выборки

4.19. многостадийный отбор

Отбор, при котором выборку берут в несколько стадий, выборочные единицы на каждой стадии отбирают из больших выборочных единиц, отобранных на предыдущей стадии

1.17. мода

Значение случайной величины, при котором функция распределения вероятностей масс или плотность распределения вероятностей имеет максимум.

Примечание — Если имеется единственная мода, то распределение вероятностей случайной величины называется унимодальным; если имеется более чем одна мода, оно называется многомодальным, в случае двух мод — бимодальным

1.27. момент¹⁾ порядка q относительно а

Математическое ожидание величины (X — а) в степени q для одномерного распределения

1.26. момент¹⁾ порядка q относительно начала отсчета

Математическое ожидание случайной величины в степени q для одномерного распределения

Примечание — Момент первого порядка — математическое ожидание случайной величины Х

2.79. мощность критерия

Вероятность недопущения ошибки второго рода.

Примечания

1. Это вероятность отбрасывания нулевой гипотезы, когда она не верна. Ее обычно обозначают (1 — β).

2. В примечании 2 к п. 2.71 ошибка второго рода состоит в принятии гипотезы H₀ (m ³ m₀), поскольку  превышает А, в то время как на самом деле m меньше m₀. Вероятность b такой ошибки зависит от фактического значения m: чем ближе m к m₀, тем ближе мощность к 1.

3. В примечании 4 к п. 2.66 проверка нулевой гипотезы H₀ (нормально распределенная совокупность) против альтернативы H₁ (совокупность с ненормальным распределением) невозможно выразить b как функцию от альтернативной гипотезы, поскольку она не определена

3.6. наблюдаемое значение

Значение данного признака, полученное в результате единичного наблюдения (по ИСО 5725.1)

2.12. накопленная кумулятивная частота

Число наблюдений из множества, имеющих значения, которые меньше заданного значения или равны ему.

Примечание — Для данных, объединенных в классы, кумулятивную частоту можно указать только в границах класса

1.11. независимость (случайных величин)

Две случайные величины Х и Y независимы, если их функции распределения представлены как

где F (х, ¥) = G (х) и F (¥, у) = Н (у) — маргинальные функции распределения X и Y, соответственно, для всех пар (х, у).

Примечания:

1. Для непрерывной независимой случайной величины ее плотность распределения, если она существует, выражают как

где g (x) и h (у) — маргинальные плотности распределения Х и Y, соответственно, для всех пар (х, у).

Для дискретной независимой случайной величины ее вероятности выражают как

для всех пар (x_i, у_j).

2. Два события независимы, если вероятность того, что они оба произойдут, равна произведению вероятностей этих двух событий

3.25. неопределенность (результата проверки)

Оценка, относящаяся к результату проверки, которая характеризует область значений, внутри которой лежит истинное значение.

Примечания

1. Неопределенность измеряет совокупность многих компонентов. Некоторые из них можно оценить на основе статистического распределения результатов в рядах измерений и охарактеризовать стандартными отклонениями. Оценки других компонентов возможны только на основе опыта или из других источников информации.

2. Неопределенность следует отличать от оценки, связанной с результатом проверки, которая характеризуется значениями интервалов, внутри которых лежит математическое ожидание. Эта последняя оценка — мера прецизионности, а не правильности, и ее надо использовать, только если истинное значение не определено. Когда математическое ожидание используют вместо истинного значения, надо употреблять выражение «случайный компонент неопределенности»

2.55. несмещенная оценка

Оценка со смещением, равным нулю

1.37. нормальное распределение ; распределение Лапласа—Гаусса

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х такое, что плотность распределения вероятностей при — ¥ < х < + ¥ принимает действительное значение

Примечание — m — математическое ожидание; s — стандартное отклонение нормального распределения

2.66. нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза

Утверждения относительно одного или нескольких параметров или о распределении, которые проверяют с помощью статистического критерия.

Примечания

1. Нулевая гипотеза (Н₀) — предположение, обычно сложное, относят к утверждению, подвергаемому проверке, в то время как альтернативную гипотезу (Н₁) относят к утверждению, которое будет принято, если нулевую гипотезу отвергают.

2. Проверка гипотезы о том, что математическое ожидание m случайной величины Х в совокупности не меньше, чем заданное значение m₀:

3. Проверка гипотезы о том, что доли несоответствующих деталей в двух партиях р₁ и p₂ одинаковы (неодинаковы):

4. Проверка гипотезы о том, что случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Альтернативная гипотеза — распределение не нормально

4.26. образец (для испытаний)

Часть выборочной единицы, требуемая для целей испытания

4.29. объединенная выборка [проба]

Выборка [проба] из совокупности, получаемая объединением всех выборочных единиц, взятых из этой совокупности

4.3. объем выборки

Число выборочных единиц в выборке

2.16. одномерное распределение частот

Распределение частот для единственного признака

2.58. односторонний доверительный интервал

Если Т — функция от наблюдаемых значений такая, что для оценки параметра распределения совокупности q вероятность  или вероятность  равна (1 — a), где (1 — a) — константа, положительная и меньше 1, то интервал от наименьшего возможного значения q до Т или интервал от T до наибольшего возможного значения q — это односторонний доверительный интервал для q при доверительной вероятности (1 — a).

Примечания

1. Граница T доверительного интервала — это статистика, которая в общих предположениях принимает различные значения от выборки к выборке.

2. См. п. 2.57, примечание 2

2.73. односторонний критерий

Критерий, в котором используемая статистика одномерна, а критическая область включает в себя множество значений, меньших критического значения, или множество значений, больших критического значения

2.82. оперативная характеристика

Функция, которая определяет вероятность принятия нулевой гипотезы относительно значений скалярного параметра, обычно обозначаемая Ра.

Примечание — Оперативная характеристика всегда равна единице минус значение критерия мощности

4.4. отбор выборки

Процесс извлечения или составления выборки

4.27. отбор проб

Отбор из партий нештучной продукции, где выборочные единицы изначально трудноразличимы.

Примечание — Примерами могут служить отбор проб из больших куч угля для анализа на содержание золы или теплоты сгорания, или табака на содержание влаги

2.13. относительная частота

Частота, деленная на общее число событий или наблюдений

1.50. отрицательное биномиальное распределение

Распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что

при x = 0, 1, 2, …

и параметрах c > 0 (целое положительное число), 0 < p < 1,

где

Примечания

1. Название «отрицательное биномиальное распределение» связано с тем, что последовательные вероятности при х = 0, 1, 2, … получают при разложении бинома с отрицательным показателем степени (-с):

последовательных положительных целых степеней величины (1 — р).

2. Когда параметр с равен 1, распределение называют геометрическим распределением

2.49. оценивание (параметра)

Операция определения на основе выборочных данных числовых значений параметров распределения, принятого в качестве статистической модели генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.

Примечание — Результат этой операции может быть выражен как одним числовым значением, так и доверительным интервалом

2.50. оценка

Статистика, используемая для оценивания параметра совокупности

2.77. ошибка второго рода

Ошибка принять нулевую гипотезу, поскольку статистика принимает значение, не принадлежащее критической области, в то время как нулевая гипотеза не верна

2.75. ошибка первого рода

Ошибка, состоящая в отбрасывании нулевой гипотезы, поскольку статистика принимает значение, принадлежащее критической области, в то время как эта нулевая гипотеза верна

3.8. ошибка результата (проверки)

Результат проверки минус принятое нормальное значение величины (по ИСО 5725.1).

Примечание — Ошибка — это сумма случайных ошибок и систематических ошибок

1.12. параметр

Величина, используемая в описании распределения вероятностей некоторой случайной величины

4.21. первичная выборка [проба]

Выборка [проба], получаемая из совокупности на первой стадии многостадийного отбора

4.17. период отбора (выборки)

Интервал времени, в течение которого берут очередную выборочную единицу при периодическом систематическом отборе.

Примечание — Период отбора может быть постоянным или зависеть от выхода или от скорости процесса, то есть зависеть от количества материала, изготовленного в производственном процессе или загруженного в процессе погрузки

4.16. периодический систематический отбор

Отбор n выборочных единиц с порядковыми номерами:

h, h + k, h + 2k, …, h + (n — 1)k,

где h и k — целые числа, удовлетворяющие соотношениям

и h обычно выбирают случайно из k первых целых чисел, если N объектов совокупности расположены по определенной системе и если они пронумерованы от 1 до N.

Примечание — Периодический систематический отбор обычно применяют для получения выборки, которая случайна по отношению к некоторым признакам, о которых известно, что они не зависят от систематического смещения

1.5. плотность распределения (вероятностей)

Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины

Примечание — f(x)dx называется элементом вероятности

2.43. поверхность регрессии (Z по Х и Y для выборки)

Для выборки n наблюдений каждого из трех показателей X, Y и Z — поверхность регрессии Z от Х и Y отображает зависимость функции Z от X и Y.

Примечание — Вышеуказанные определения можно распространить также на случай более трех показателей

1.35. поверхность регрессии (Z по Х и Y)

Для трех случайных величин X, Y, Z поверхность, отображающая зависимость условного математического ожидания случайной величины Z при условии Х = х и Y = y для каждой пары переменных (х, у).

Примечания

1. Если поверхность регрессии представляет собой плоскость, то регрессию называют «линейной». В этом случае коэффициент линейной регрессии Z по Х — это коэффициент перед х в уравнении регрессии.

2. Определение можно распространить на число случайных величин более трех

2.89. повторение

Термин, обозначающий выполнение статистического исследования несколько раз одним и тем же методом на одной и той же совокупности при одинаковых условиях

3.15. повторяемость (результата проверки); сходимость

Прецизионность в условиях повторяемости (по ИСО 5725.1)

2.53. погрешность выборочного метода

Часть погрешности при оценивании, обусловленная только тем, что объем выборки меньше, чем объем генеральной совокупности

2.52. погрешность оценки

Разность (Т — q) при оценивании параметра, где T обозначает результат оценки, а q — оцениваемый параметр.

Примечание — Погрешность при оценивании может включать в себя один или несколько из следующих компонентов:

— погрешность выборочного метода;

— погрешность измерения;

— округление значений или разделение на классы;

— другие погрешности

4.10. подвыборка

Выборка [проба], взятая из выборки [пробы] генеральной совокупности.

Примечания

1. Ее можно отбирать тем же методом, что и при отборе исходной выборки [пробы], но это необязательно.

2. При отборе пробы из нештучной продукции подвыборки часто получают делением пробы

4.30. подготовка пробы

Для нештучной продукции — система операций, таких как измельчение, смешивание, деление и т.д., необходимых для превращения отобранной пробы материала в лабораторную пробу или пробу для испытаний.

Примечание — Подготовка пробы не должна, насколько это возможно, изменять репрезентативность совокупности, из которой она изготовлена

2.5. подсовокупность

Определенная часть генеральной совокупности

2.19. полигон кумулятивных частот

Ломаная линия, получаемая при соединении точек, абсциссы которых равны верхним границам классов, а ординаты — либо кумулятивным абсолютным частотам, либо кумулятивным относительным частотам

2.46. порядковая статистика

Каждое из упорядоченных выборочных значений, расположенных в неубывающем порядке.

Примечания

1. В более общем выражении всякую статистику, основанную на порядковых статистиках в этом узком смысле, также называют порядковой статистикой.

2. k-e значение в неубывающей последовательности наблюдений x_|k| — это значение случайной величины X_|k|, называемое k-й порядковой статистикой. В выборке объема n наименьшее наблюдаемое значение x_|1| и наибольшее значение x_|n| — это значения случайных величин X_|1| и X_|n| — первая и n-я порядковые статистики соответственно. Размах x_|n| — x_|1| — это значение порядковой статистики X_|n| — X_|1|

3.12. правильность (результата проверки)

Близость среднего значения, полученного в длинном ряду результатов проверок, к принятому нормальному значению величины (по ИСО 5725.1).

Примечание — Меру правильности обычно выражают в терминах смещения

3.23. предел воспроизводимости

Значение, меньшее или равное абсолютной разности между двумя результатами проверки, полученными в условиях воспроизводимости, ожидаемое с вероятностью 95 % (по ИСО 5725.1).

Примечания

1. Используют обозначение R.

2. В настоящее время в нормативных документах принято обозначение D

3.18. предел повторяемости

Значение, которое меньше или равно абсолютной разности между двумя результатами проверок, получаемыми в условиях повторяемости, ожидаемое с вероятностью 95 % (по ИСО 5725.1).

Примечания

1. Используют обозначение r.

2. В настоящее время в нормативных документах принято обозначение d

3.14. прецизионность (результата проверки)

Близость между независимыми результатами проверки, полученными при определенных принятых условиях (по ИСО 5725.1).

Примечания

1. Прецизионность зависит от распределения случайных ошибок и не связана ни с истинным значением, ни с заданным значением.

2. Меру прецизионности обычно выражают в терминах рассеяния и вычисляют как стандартное отклонение результатов проверки. Малой прецизионности соответствует большое стандартное отклонение.

3. Независимые результаты проверки означают результаты, полученные таким образом, что отсутствует влияние предыдущих результатов на том же самом или аналогичном объекте проверки. Количественные меры прецизионности решающим образом зависят от принятых условий. Условия повторяемости и воспроизводимости являются разными степенями принятых условий

2.2. признак

Свойство, которое помогает идентифицировать или различать единицы данной генеральной совокупности.

Примечание — Признак может быть количественным или качественным (альтернативным)

3.4. принятое нормальное значение

Значение величины, служащее согласованным эталоном для сравнения и определяемое как:

а) теоретическое или установленное значение, основанное на научных принципах;

b) принятое или сертифицированное значение, основанное на экспериментальных данных некоторых национальных или международных организаций;

с) согласованное (на основе консенсуса) или сертифицированное значение, основанное на совместной экспериментальной работе, проводимой научным или инженерным коллективом;

d) когда а), b) и с) не подходят, математическое ожидание измеримой величины, то есть среднее арифметическое измерений конкретной совокупности

4.32. проба для анализа

Проба, подготовленная для проведения испытаний или анализа, которую полностью и единовременно используют для проведения испытания или анализа

2.67. простая гипотеза

Гипотеза, которая полностью задает распределение совокупности

4.9. простая случайная выборка

Выборка n выборочных единиц, взятых из совокупности таким образом, что все возможные комбинации из n единиц имеют одинаковую вероятность быть отобранными

4.5. процедура выборочного контроля

Пооперационные требования и (или) инструкции, связанные с реализацией конкретного плана выборочного контроля, то есть запланированный метод отбора, извлечения и подготовки выборки (выборок) из партий для получения информации о признаке (признаках) в партии

1.36. равномерное распределение; прямоугольное распределение

а) Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятности которой постоянна на конечном интервале [а, b] и равна нулю вне его.

b) Распределение вероятностей дискретной случайной величины такое, что

для i = 1, 2,…, n.

Примечание — Равномерное распределение дискретной случайной величины имеет равные вероятности для каждого из п значений, то есть

для j = 1, 2,…, n

2.30. размах (выборки)

Разность между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями количественного признака в выборке

2.4. рамки отбора

Список, заполняемый для выборочных целей, в котором отмечают те единицы, которые надо отобрать и исследовать

2.91. рандомизация

Процесс, с помощью которого множество объектов устанавливают в случайном порядке.

Примечание — Если из совокупности, состоящей из натуральных чисел от 1 до n, извлекать числа случайно (то есть таким образом, чтобы все числа имели одинаковые шансы быть выбранными) одно за другим без возвращения, пока совокупность не исчерпается, то порядок отбора чисел называют случайным. Если эти n чисел ассоциировать с n различными объектами или с n разными обработками (по 1.4, ИСО 3534.3), которые, таким образом, переупорядочиваются в том порядке, в котором были вытянуты числа, порядок объектов или обработок называют случайным (по 1.12, ИСО 3534.3)

1.3. распределение (вероятностей)

Функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений.

Примечание — Вероятность того, что случайная величина находится в области ее изменения, равна единице

1.39. распределение c²

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения от 0 до +¥, плотность распределения вероятностей которой

где c² ³ 0 при значении параметра n = 1, 2, …;

Г — гамма-функция.

Примечания

1. Сумма квадратов n независимых стандартизованных нормальных случайных величин образует случайную величину c² с параметром n; n называют степенью свободы случайной величины c².

2. Распределение вероятностей случайной величины c²/2 — это гамма-распределение с параметром m = n/2

1.48. распределение Вейбулла; распределение экстремальных значений типа III

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения:

где х ³ а; y = (x — a)/b;

а параметры -¥ < a < +¥, k > 0, b > 0.

Примечание — Параметр k определяет форму распределения

1.46. распределение Гумбеля; распределение экстремальных значений типа I

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения:

где -¥ < х < +¥;

а параметры -¥ < a < +¥, b > 0

1.55. распределение многомерной случайной величины; мультиномиальное распределение

Распределение вероятностей k дискретных случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_k такое, что

где x₁, x₂, …, x_k — целые числа, такие что x₁ + x₂ +… + x_k = n,

с параметрами p_i ³ 0 (i = 1, 2, …, k) и ,

где k = 2, 3, …

Примечание — Распределение многомерной случайной величины — обобщение биномиального распределения (п. 1.49) на распределение k > 2 случайных величин

1.51. распределение Пуассона

Распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что

при х = 0, 1, 2, … и параметре m > 0.

Примечания

1. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона оба равны параметру m.

2. Распределение Пуассона можно использовать для аппроксимации биномиального распределения, когда n — велико, p — мало, а произведение пр = m

1.47. распределение Фрешэ; распределение экстремальных значений типа II

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения:

где х ³ а;

а параметры -¥ < a < +¥, k > 0, b > 0.

Примечание — Параметр k определяет форму распределения

2.15. распределение частот

Эмпирическое отношение между значениями признака и его частотами или его относительными частотами.

Примечание — Это распределение можно представить графически в виде гистограммы, столбиковой диаграммы, полигона кумулятивных частот или как таблицу сопряженности двух признаков

4.13. расслоение

Разделение совокупности на взаимоисключающие и исчерпывающие подсовокупности, называемые слоями, которые должны быть более однородными относительно исследуемых показателей, чем вся совокупность

4.14. расслоенная выборка [проба]

В совокупности, которую можно разделить на различные взаимно исключающие и исчерпывающие подсовокупности, называемые слоями, отбор, проводимый таким образом, что в выборку [пробу] отбирают определенные доли от разных слоев и каждый слой представляют хотя бы одной выборочной единицей

3.7. результат проверки

Значение некоторого признака, полученное применением определенного метода проверки.

Примечания

1. Под проверкой можно понимать такие процедуры, как измерение, испытание, контроль и т.д.

2. В методе проверки должно быть уточнено, что будут выполнять одно или несколько индивидуальных наблюдений, что будут регистрировать в качестве результата проверки — их среднее арифметическое или иную подходящую функцию, такую как медиана или стандартное отклонение. Может также потребоваться применить стандартный метод корректировки, например поправку на объем газа при стандартных температуре и давлении таким образом, что результат проверки может быть результатом, вычисленным по нескольким наблюдаемым значениям. В простом случае результат проверки — это само наблюдаемое значение

2.90. реплика; повторное проведение эксперимента

Определение значений более чем один раз в ходе эксперимента или исследования.

Примечание — Реплики отличаются от повторений тем, что предполагают повторные проверки в разных местах и (или) в разное время в соответствии с планом (по 1.10, ИСО 3534.3)

2.69. свободный от распределения критерий

Критерий, в котором функция распределения статистики, лежащей в основе критерия, не зависит от функции распределения наблюдений

2.9. середина класса

Среднее арифметическое верхней и нижней границ класса для количественного признака

2.29. середина размаха (выборки)

Среднее арифметическое между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями количественного признака

2.48. серия

а) Появление в рядах наблюдений по качественному признаку непрерывающихся рядов одного и того же значения признака.

b) Последовательный набор монотонно возрастающих или монотонно убывающих значений в рядах наблюдений по количественному признаку.

Примечание — Последовательный набор монотонно возрастающих значений называют возрастающей серией, а монотонно убывающих значений — убывающей серией

3.10. систематическая ошибка результата (проверки)

Компонент ошибки результата, который остается постоянным или закономерно изменяется в ходе получения результатов проверки для одного признака.

Примечание — Систематические ошибки и их причины могут быть известны или неизвестны

4.15. систематический отбор

Отбор выборки каким-либо систематическим методом

2.68. сложная гипотеза

Гипотеза, которая не полностью задает распределение совокупности.

Примечания

1. Это обычно гипотеза, которая включает в себя бесконечную систему простых гипотез.

2. В предположении нормального распределения гипотеза m = m₀ будет простой, если стандартное отклонение совокупности известно, но она будет сложной, если оно неизвестно.

3. Все гипотезы из примечаний, приведенных в п. 2.66, сложные

1.2. случайная величина

Переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей.

Примечание — Случайную величину, которая может принимать только отдельные значения, называют дискретной. Случайную величину, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала, называют непрерывной

4.8. случайная выборка

Выборка n выборочных единиц, взятых из совокупности таким образом, что каждая возможная комбинация из n единиц имеет определенную вероятность быть отобранной

3.9. случайная ошибка результата (проверки)

Компонент ошибки, который изменяется непредвиденным образом в ходе получения результатов проверки одного признака (по ИСО 5725.1).

Примечание — Случайную ошибку результата проверки нельзя скорректировать

2.92. случайные причины

Факторы, каждый из которых играет относительно малую роль, но создают вариацию, которую нельзя идентифицировать (по ГОСТ Р 50779.11)

3.13. смещение (результата проверки)

Разность между математическим ожиданием результатов проверки и принятым нормальным значением (по ИСО 5725.1).

Примечание — Смещение — это общая систематическая ошибка в противоположность случайной ошибке. Может быть один или несколько компонентов, образующих систематическую ошибку. Большее систематическое смещение от принятого значения соответствует большому значению смещения

2.54. смещение оценки

Разность между математическим ожиданием оценки и значением оцениваемого параметра

1.29. совместный момент¹⁾ порядков q и s относительно начала отсчета

Математическое ожидание произведения случайной величины Х в степени q и случайной величины Y в степени s для двумерного распределения

Примечание — Совместный момент порядков 1 и 0 — маргинальное математическое ожидание случайной величины X.

Совместный момент порядков 0 и 1 — маргинальное математическое ожидание случайной величины Y

1.30. совместный момент¹⁾ порядков q и s относительно точки (а, b )

Математическое ожидание произведения случайной величины (X — а) в степени q и случайной величины (Y — b) в степени s для двумерного распределения:

1.31. совместный центральный момент¹⁾ порядков q и s

Математическое ожидание произведения центрированной случайной величины (X — m_x) в степени q и центрированной случайной величины (Y — m_y)в степени s для двумерного распределения:

Примечание — Совместный центральный момент порядков 2 и 0 — дисперсия маргинального распределения X.

Совместный центральный момент порядков 0 и 2 — дисперсия маргинального распределения Y.

¹⁾ Если при определении моментов значения случайных величин X, X — a, Y, Y — b и т.д. заменяют на их абсолютные значения |Х|, |Х — а|, |Y|, |Y — b| и т.д., то моменты называют «абсолютными моментами»

2.26. среднее арифметическое

Сумма значений, деленная на их число.

Примечания

1. Термин «среднее» обычно используют, когда имеют в виду параметр совокупности, а термин «среднее арифметическое» — когда имеют в виду результат вычислений по данным, полученным из выборок.

2. Среднее арифметическое простой случайной выборки, взятой из совокупности, — это несмещенная оценка арифметического среднего генеральной совокупности. Однако другие формулы для оценки, такие как геометрическое или гармоническое среднее, медиана или мода, иногда тоже используют

2.32. среднее отклонение (выборки)

Среднее арифметическое отклонение от начала координат, когда все отклонения имеют положительный знак.

Примечание — Обычно выбранное начало отсчета представляет собой среднее арифметическое, хотя среднее отклонение минимизируется, когда за начало отсчета принимают медиану

2.31. средний размах (выборок)

Среднее арифметическое размахов множества выборок одинакового объема

1.25. стандартизованная случайная величина

Случайная величина, математическое ожидание которой равно нулю, а стандартное отклонение — единице.

Примечания

1. Если случайная величина X имеет математическое ожидание m и стандартное отклонение s, то соответствующая стандартизованная случайная величина равна

Распределение стандартизованной случайной величины называется стандартным распределением.

2. Понятие стандартизованной случайной величины является частным случаем «приведенной случайной величины», определяемой относительно центрального значения и параметра масштаба, отличных от математического ожидания и стандартного отклонения

1.54 стандартизованное двумерное нормальное распределение; нормированное двумерное распределение Лапласа—Гаусса

Распределение вероятностей пары стандартизованных нормальных случайных величин

с плотностью распределения

где -¥ < u < +¥ и -¥ < v < +¥;

(X, Y) — пара нормальных случайных величин с параметрами (m_x, m_y) и (s_x, s_y) и r;

r — коэффициент корреляции Х и Y, а также U и V.

Примечание — Это понятие можно распространить на многомерное распределение более двух случайных величин, таких, что маргинальное распределение любой их пары может быть представлено в той же форме, что приведена выше

2.56. стандартная ошибка; среднеквадратичная ошибка

Стандартное отклонение оценки

1.38. стандартное нормальное распределение ; стандартное распределение Лапласа—Гаусса

Распределение вероятностей стандартизованной нормальной случайной величины U, плотность распределения которой

при -¥ < u < +¥ (п. 1.25, примечание 1)

1.23. стандартное отклонение (случайной величины)

Положительный квадратный корень из значения дисперсии

3.22. стандартное отклонение воспроизводимости

Стандартное отклонение результатов проверки, полученных в условиях воспроизводимости.

Примечания

1. Это мера рассеяния распределения результатов проверки в условиях воспроизводимости.

2. Аналогично «дисперсию воспроизводимости» и «коэффициент вариации воспроизводимости» надо определять как меры рассеяния результатов проверки в условиях воспроизводимости

3.17. стандартное отклонение повторяемости

Стандартное отклонение результатов проверки, полученных в условиях повторяемости (по ИСО 5725.1).

Примечания

1. Это мера рассеяния результатов проверки в условиях повторяемости.

2. Аналогично «дисперсию повторяемости» и «коэффициент вариации повторяемости» надо определять как меры рассеяния результатов проверки в условиях повторяемости

2.45. статистика

Функция от выборочных значений.

Примечание — Статистика как функция от выборочных значений — случайная величина, которая может принимать различные значения от выборки к выборке. Значение статистики, получаемое при использовании наблюдаемых значений, как их функция может быть использовано при проверке статистических гипотез или как оценка параметра совокупности, например среднего арифметического или стандартного отклонения

2.65. статистический критерий

Статистический метод принятия решений о том, стоит ли отвергнуть нулевую гипотезу в пользу альтернативной или нет.

Примечания

1. Решение о нулевой гипотезе принимают исходя из значений соответствующих статистик, лежащих в основе статистических критериев или рассчитанных по результатам наблюдений. Так как статистики — случайные величины, существует некоторый риск принятия ошибочного решения (п. 2.75 и п. 2.77).

2. Критерий априори предполагает, что проверяют некоторые предположения, например предположение о независимости наблюдений, предположение о нормальности и т.д.

2.85. степень свободы

В общем случае число слагаемых минус число ограничений, налагаемых на них

2.18. столбиковая диаграмма

Графическое представление распределения частот для дискретной случайной величины, образуемое набором столбцов равной ширины, высоты которых пропорциональны частотам

4.28. суммарная проба

Объединение мгновенных проб материала, когда отбирают нештучную продукцию

2.22. таблица сопряженности двух признаков

Таблица, используемая для представления распределения двух признаков, в строках и столбцах которой указывают, соответственно, значения или классы первого и второго признаков, при этом на пересечении строки и столбца появляется частота, соответствующая данной комбинации значений или классов.

Примечание — Это понятие можно распространить на число признаков более двух

2.62. толерантные границы

Для двустороннего статистически накрывающего интервала — нижняя и верхняя границы этого интервала; для одностороннего статистически накрывающего интервала — значение статистики, ограничивающей этот интервал

2.61. толерантный интервал

Интервал, для которого можно утверждать с данным уровнем доверия, что он содержит, по крайней мере, заданную долю определенной совокупности.

Примечание — Если определены обе границы по статистическим данным, то интервал двусторонний. Если одна из двух границ представляет собой бесконечность или ограничение области определения случайной величины, то интервал односторонний

3.11. точность (результата проверки)

Близость результата проверки к принятому нормальному значению величины (по ИСО 5725.1).

Примечание — Понятие точности, когда его относят к результатам проверки, включает в себя комбинацию случайных компонентов и общего компонента систематической ошибки или смещения

2.47. тренд

Тенденция к возрастанию или убыванию наблюдаемых значений, нанесенных на график в порядке их получения после исключения случайных ошибок и циклических эффектов

2.70. уровень значимости (критерия)

Заданное значение верхнего предела вероятности ошибки первого рода.

Примечание — Уровень значимости обычно обозначают α

3.21. условия воспроизводимости

Условия, при которых результаты проверки получены одним методом, на идентичных испытательных образцах, в различных лабораториях, разными операторами, с использованием различного оборудования (по ИСО 5725.1)

3.16. условия повторяемости

Условия, при которых независимые результаты проверки получены одним методом, на идентичных испытательных образцах, в одной лаборатории, одним оператором, с использованием одного оборудования и за короткий интервал времени (по ИСО 5725.1)

1.20. условное математическое ожидание

Математическое ожидание условного распределения случайной величины

1.10. условное распределение (вероятностей)

Распределение подмножества k₁ < k случайных величин из распределения случайных величин, когда остальные (k — k₁) случайные величины принимают постоянные значения.

Примечание — Для распределения вероятностей двух случайных величин X, Y существуют:

— условные распределения X: некоторое конкретное распределение представляют как «распределение X при Y = y»; — условные распределения Y: некоторое конкретное распределение представляют как «распределение Y при Х = х»

2.25. условное распределение частот

Распределение частот k₁ < 1 признаков из многомерного распределения частот, когда остальные (k — k₁) признаков фиксированы.

Примечания

1. Для k = 2 признаков условные распределения частот считывают непосредственно из строк и столбцов таблицы сопряженности двух признаков. Условное распределение относительных частот получают делением чисел в каждой строке (столбце) на общее число в соответствующей строке (столбце).

2. В распределении частот двух признаков Х и Y:

— условное распределение частот X; конкретные распределения выражают как распределение X при Y = у;

— условное распределение частот Y; конкретные распределения выражают как распределение Y при Х = х

2.80. функция мощности критерия

Функция, которая определяет мощность критерия, обычно обозначаемую (1 — β) или (1 — Pa), при проверке гипотезы относительно значений скалярного параметра.

Примечание — Эта функция, определяемая для значений тех параметров, которые относятся к соответствующим альтернативным гипотезам, представляет собой вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она не верна

1.4. функция распределения

Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х меньше или равна х,

1.6. функция распределения (вероятностей) масс

Функция, дающая для каждого значения x_i дискретной случайной величины Х вероятность p_i того, что случайная величина равна х_i:

1.28. центральный момент порядка q

Математическое ожидание центрированной случайной величины для одномерного распределения

Примечание — Центральный момент второго порядка — дисперсия случайной величины Х

1.21. центрированная случайная величина

Случайная величина, математическое ожидание которой равно нулю.

Примечание — Если случайная величина Х имеет математическое ожидание m, то соответствующая центрированная случайная величина равна X — m

2.11. частота

Число наступлений события данного типа или число наблюдений, попавших в данный класс

1.43. экспоненциальное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до + ¥ и плотность распределения которой

при х ³ 0 и параметре , где b — параметр масштаба.

Примечание — Такое распределение вероятностей можно обобщить подстановкой (х — а) вместо х при х ³ а

Содержание

1. Автокорреляция
2. Тестирование автокорреляции
3. Автокорреляционная функция
4. См. также
5. Полезное
6. Смотреть что такое «Автокорреляция» в других словарях:
7. Автокорреляция
8. Что такое автокорреляция?
9. Ключевые выводы
10. Понимание автокорреляции
11. Тестирование на автокорреляцию
12. Автокорреляция в техническом анализе
13. Пример автокорреляции
14. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ
15. Смотреть что такое «АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ» в других словарях:
16. Сущность и последствия автокорреляции
17. Автокорреляция
18. Полезное
19. Смотреть что такое «Автокорреляция» в других словарях: