Софизм 1 2 где ошибка

Другой же софизм гласит, что «Единица равна двум»

Простым
вычитанием легко убедиться в справедливости
равенства

1-3
= 4-6.

Добавив
к обеим частям этого равенства число ,
получим новое равенство

1-3
+ =
4-6+,

в
котором, как нетрудно заметить, правая
и левая части представляют собой полные
квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая
из правой и левой частей предыдущего
равенства квадратный корень, получаем
равенство:

1-=2-

откуда
следует, что

1=2.

Где
ошибка?

Разбор
софизма:

По
определению представляет
собой некоторое неотрицательное число,
которое, будучи возведено в квадрат,
дастх. Ясно,
что этому определению удовлетворяют
два числа, а именно х и -х. Итак,
если число х неотрицательно (х>0), то=х; если
же число х отрицательно, то есть
число -х положительно, то=
— x. Отсюда заключаем, что(свойство
арифметического квадратного корня),
что не учитывается в содержании этих
софизмов и приводит к ложным выводам.

«Всякое число равно своей половине.»

Запишем
очевидное для любого числа a тождествоa² —
a² =
a² —
a²,где
а-любое число.

Вынесем a в
левой части за скобку, а правую часть
разложим на множители по формуле разности
квадратов, получим a(a
– a) = (a + a)(a — a).

Разделив
обе части на a
— a,
получим a
= a + a,
или a=2a.

Разделим
на 2 и получим
а= а/2

Где
ошибка?

Мы
делим обе части на ноль, а деление на
ноль запрещено.

«Меньшее число больше,чем большее.»

Очевидно,что7>5
и что -8=-8

Тогда:7-8>5-8
или -1>-3

Это
не противоречит основному понятию об
отрицательных величина, на основании
которого мы считаем меньшей ту
отрицательную величину,численное
значение которой больше,и наоборот.

Умножим
обе части последнего неравенства на
(-4).

Получим
(-1)∙ (-4)>(-3)∙(-4) или 4>12

Где
ошибка?

Разбор
софизма:

При
умножении неравенства на отрицательное
число, знак неравенства изменяется на
противоположный.

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся
«доказать», что через точку, лежащую
вне прямой, к этой прямой можно провести
два перпендикуляра. С этой целью возьмем
треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС
этого треугольника, как на диаметрах,
построим полуокружности. Пусть эти
полуокружности пересекаются со стороной
АС в точках Е и D.
Соединим точки  Е и D
прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как
вписанный, опирающийся на диаметр; угол
ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ 
перпендикулярна АС и ВD
перпендикулярна АС. Через точку В
проходят два перпендикуляра к прямой
АС.

Где
ошибка?

Разбор
софизма:

Рассуждения,
о том, что из точки на прямой можно
опустить два перпендикуляра, опирались
на ошибочный чертеж. В действительности
полуокружности пересекаются со стороной
АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD.
Значит, из одной точки на прямой нельзя
опустить два перпендикуляра.

Всякое
положительное число является отрицательным.

Пусть
n-положительное число.

Очевидно,
2n-1<2n.

Возьмём
другое произвольное положительное
число a и умножим обе части неравенства
на (-а): -2an+a<-2an.

Вычитая
из обеих частей этого неравенства
величину (-2an), получим неравенство a<0,
доказывающее, что всякое положительное
число является отрицательным.

Где
ошибка?

Разбор
софизма:

При
умножении на отрицательное число знак
неравенства меняется.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

«1=2» — Математический софизм, представляющий из себя способ доказательства равенства единицы и двойки, представленный неизвестным автором^[1].

Формулировка[]

Допустим, что

Опровержение[]

Чтобы сократить множитель в обеих частях уравнения, нужно разделить обе части на этот множитель. Но деление имеет смысл только тогда, когда множитель не равен нулю.

В нашем случае , потому что в шаге 1 мы сами предположили, что .

Таким образом, недопустимо делить обе части уравнения на , потому что это будет деление на нуль, которое не имеет смысла.

Сноски[]

1. ↑ Софизм взят с Научных Парадоксов Вики, где автор не назвал себя, но при том указал на оригинальность собственного труда, что печально и что не получилось уточнить, в связи с чем мы вынуждены оставить просто ссылку.

Администрация города   Нижнего Новгорода

Департамент образования

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №181»

—————————————————————————————————

603124, город Нижний Новгород, улица Лесной городок, дом 6-а тел.
2218983

Исследовательская работа

Математические софизмы

Выполнил: Мокрушенко Георгий

                  ученик 6 «А» класса

                  МБОУ «Школа №181»

Научный руководитель: Грязева

                   Наталья Викторовна

                   учитель математики

Нижний Новгород

2017

СОДЕРЖАНИЕ.

1.  Введение…. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 3

2.  Что такое софизмы . . . . . . …. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .  4

3.  Экскурс в историю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 5

4.  Арифметические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 6

5.  Алгебраические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 8

6.  Геометрические софизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 10

7.  Прочие софизмы.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .  12

8.  Исследовательская часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 15

9.  Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 16

10.  Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 17

11. Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 18

Введение

«История ошибок человеческого ума,
   возможно, так же важна,
 как исто­рия его движения вперед к истине».

П. Теннери

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал
подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом
деле, таких примеров можно привести  много, но что все они обозначают? Кто их
выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь
вымысел?

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе,
название которой – «Математические софизмы: обман или путь к открытию?». Речь в
ней пойдет о софизмах.  

Неслучайно я выбрал именно софизмы. Во-первых, я очень
люблю решать задачи и разгадывать математические ребусы, а математические
софизмы — это «задачи-ловушки», которые помогают развивать логическое мышление.
Во-вторых, мне было интересно узнать, что некоторые заведомо ложные
утверждения, оказывается, можно доказать.

В процессе работы  я выяснил, что существует великое
множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как
равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.

Теме софизмов посвящено много публикаций и книг, таких
как, книга для учащихся 7-11 классов Мадера А.Г и Мадера Д.А. «Математические
софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям»,
книга Литцмана В. «Где ошибка?» и множество других замечательных авторов, среди
которых не могу не упомянуть нашего земляка Михаила Андреевича Давыдова,
который в своей книге «Красота математики» посвятил одну из глав математическим
софизмам.

Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм — это ложь, обряженная в одежды истины
(как остроумно заметил писатель Даниил Гранин), а так как не каждый может это распознать, то с
помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия
назад.

Цель моего исследования – понять, что такое
математические софизмы, научиться их разгадывать. Для достижения данной цели
передо мной стояли следующие задачи:

·       
узнать, как и откуда появились
софизмы

·       
привести примеры софизмов

·       
разобрать несколько
примеров

·       
понять, как найти ошибку в
них

• проведя разбор софизмов, сделать вывод

Что такое софизмы

Определение софизма в различных
толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.

Софизм — логически порочное
умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод
с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).

Софизм — формально кажущееся
правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно
неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И.
Ожегова).

 Софизм — мудрствованье, ложный
вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое
рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И.
Даля).

Софизм — формально правильное, но
ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно
неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь
русского языка Д. Н. Ушакова).

Таким образом, анализируя
определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно
выделить основные существенные признаки:

ü это утверждение (умозаключение)

ü формально — правильное

ü по существу — ложное

ü ошибка допущена и замаскирована намеренно.

 Софизмы встречаются в различных
областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому
определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех
вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе
вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Каков бы ни был софизм, он
обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто
в математических софизмах скры­то выполняются запрещенные действия или не
учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения
ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к
ошибочным заключениям, «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие
ошибки.

В истории развития математики
софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в
математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и
методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью,
какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах,
допускаемые даже выдающимися математиками. И.П. Павлов говорил, что «правильно
понятая ошибка — это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок, в математических
рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Экскурс в историю

Софистика – направление философии, которое возникло в
V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным а Афинах. Софистами называли
платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова,
приемам ведения спора, красноречию. Одним из представителей софистов был
философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть
гражданское искусство».

         Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого
человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает,
поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и
истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить
двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили
людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное
одновременно, таким образом,  они приучали людей к широте взглядов.

Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей
эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то
есть в мышлении.

Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:

·       
логические и ошибки в
рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев
потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»,  «Все люди разумные
существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа».

·       
терминологические –
неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы
треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π»,  «Сколько будет:
пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5
+ (2*2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2).

• ошибки в применении
  формул. Например, «Чётное и нечётное»: 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два —
  число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и
  нечётное. Пять не делится на два, так же, как и 2 + 3, значит, оба числа
  нечётные.

Примеры софизмов

Разбор и решение любого рода
математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать
смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В
этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов:
арифметические, алгебраические  и геометрические.

Арифметические
софизмы

Арифметика — (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах,
в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах  и (рациональных)
дробях, и действиях над ними.

Так что же такое
арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения,
имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.

1. 4 руб. = 40000 коп

Возьмем
верное равенство 2руб. = 200 коп. и возведем его по частям в квадрат. Получится
4 руб. = 40000коп.

Вопрос: В чем ошибка?

Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла.
В квадрат возводятся только числа.

Точно
так же можно показать, к примеру, что1 руб. = 10 коп.

Так
как ¼ руб. = 25 коп., то √ ¼ руб. = √ 25 коп.,
следовательно: ½ руб. = 5 коп. или 1 руб. = 10 коп.

В
данных математических софизмах нарушены правила действий с именованными
величинами.

2. Два умножить на два будет пять
                         2 · 2 = 5

Имеем числовое
равенство (верное):  4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в
каждой части его общий множитель.

Получим: 4 ·
(1 : 1) = 5 · (1 : 1).

Числа в скобках
равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.

Вопрос: Где здесь ошибка?

Ответ: Ошибка допущена в вынесении общего множителя
за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

3. Два равно трем
                2 = 3

Возьмем
два верных равенства:
10 — 10 = 0

15 — 15 = 0

Так
как правые части равны, то приравняем левые: 10 — 10 = 15 — 15

                                                                                       
2· (5 — 5) = 3· (5 — 5)

                                                                                       
2 = 3

Вопрос: В чем ошибка?

Ответ: Ошибка в том, что на ноль (5 — 5)
делить нельзя.

4. Единица равна двум
                   1 = 2

Простым
вычитанием легко убедиться в справедливости ра­венства

1 — 3 = 4 — 6.

Добавив
к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1 – 3  +  = 4 – 6 + ,

в
котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные
квадраты, т. е.

(1 — ) = (2 — )

Извлекая
из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем
равенство:

1 —  = 2 —  

откуда
следует, что 1 = 2.

5. Пять равно одному
                  5 = 1

Для
доказательства, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по
отдельности вычтем одно и то же число 3:

5 – 3 = 2 и 1 – 3 = — 2.

При
возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа:
 2² = 4 и (- 2)² = 4.
Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

Вопрос: Где ошибка?

Ответ: Из равенства квадратов двух чисел не следует,
что сами эти числа равны.

6. Четыре равно пяти
               4 = 5

Рассмотрим верное
числовое равенство:

16 – 36 = 25 – 45

16 – 36 + 20,25 =
25 – 45 + 20,25

(4 – 4,5)2 = (5 –
4,5)2;    4 – 4,5 = 5 – 4,5;

4 = 5.

Вопрос: В чём ошибка?

Ответ: (4 – 4,5) · 2 = (5 – 4,5) · 2 , только тогда, когда  |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.

Алгебраические
софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с
арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также
методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались
постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд
общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения
однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и
решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в
уравнениях и числовых выражениях.

Все, мною рассмотренные до этого софизмы о
равенстве чисел, можно рассмотреть в общем случае:

1. Все числа равны между собой

Возьмем два
произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное
тождество:

а²— 2ab + b =  b — 2ab +  а²

Слева и справа стоят
полные квадраты, т. е. можем записать

(а — b)²
= (b — а)²   

Извлекая из обеих
частей последнего равенства квадратный корень, получим:

а — b = b — a

или 2а = 2b,
или окончательно

a = b.

Или, 2. Неравные числа равны

Возьмем два неравных
между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а — b
= с. Умножив обе части этого равенства на а — b, получим

(а — b)²
= c(a — b),

a раскрыв скобки,
придем к равенству

a² —
2ab + b² = ca — cb,

из которого следует
равенство

а² — аb
— ас = аb –b ² — bc.

Вынося общий
множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а – b — с) = b(а
– b — с)

Разделив последнее
равенство на (а – b — с), получаем, что

а = b,

другими словами, два неравных между собой
произвольных числа а и b равны.
В данных софизмах рассмотрены наиболее популярные ошибки: неправильное
извлечение квадратного корня из квадрата выражения и деление на 0.

Приведу еще несколько примеров алгебраических
софизмов, решение которых мне пока сложно постичь до конца в силу малого багажа
 знаний.

3. Всякое число равно своему удвоенному значению.
Запишем очевидное для любого числа а тождество

а² — а²
= а² — а².

Вынесем
а в левой части за скобку, а правую часть разло­жим на множители по
формуле разности квадратов, получив

а(а
— а) = (а + а)(а — а).                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Разделив
обе части на а — а, получим а = а + а, или

а =2а.

 Итак, всякое число равно своему
удвоенному значению.

4. Из двух неравных чисел
первое всегда больше второго.

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b.
Имеем:

(a – b)²  >  0,
т.е. a²  – 2ab – b² > 0,
или a²  +
b²  > 2ab.

К обеим частям этого
неравенства прибавим  – 2b².
Получим:

а² –
b²  > 2ab – 2b², или  (a + b) (a – b) > 2b (a – b).

После деления обеих
частей на (a – b) имеем:

a + b > 2b, откуда следует, что a > b.

Геометрические софизмы

       Геометрические софизмы – это умозаключения или
рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или
парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями
над ними.

1. Софизм об исчезающем квадрате.

  Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых
четырёхугольников и маленького квадрата (рис. 1).

 Если четырёхугольники
развернуть (рис. 2), то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом,
хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.

В чём же тут ошибка?                                                                

Посмотрим внимательно на ход действий.

Одинаковая ли площадь у обоих квадратов?  Нет, так как
сторона и площадь нового квадрата меньше стороны и площади того, который был
вначале. При решении данного софизма я воспользовался разрезанием этого
квадрата, сложив части, и сравнив с исходным квадратом, получил, что он
действительно становится меньше.

2. Задача о треугольнике.

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4
частей (Рис.1)

После перестановки частей при визуальном сохранении
изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью,
клетка (Рис. 2).

Однако же, если посмотрим внимательно на чертежи, то заметим,
что гипотенузы больших треугольников не совпадают.

Ошибка станет хорошо видна, если провести точное построение.
На самом деле новая фигура не будет треугольником. Это будет ломаный
четырехугольник (Рис.3)

Прочие софизмы

Кроме математических софизмов, существует множество других, например:
логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких
утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень
многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра,
опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность,
зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно
наивными и несерьезными.

Логические софизмы

Логические софизмы – это софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных
рассуждениях.

1. Нет
правил без исключений

Это предложение, очевидно, само является
правилом, сле­довательно, и из этого утверждения имеются исключения. Тем самым
мы приходим к противоречию.

2. Не знаешь то, что знаешь
Знаешь ли ты, о чём я хочу
тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» —
«Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что
знаешь».  

3. Может ли всемогущий маг создать камень,
который не сможет поднять?

Если не может — значит, он не всемогущий. Если
может — значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

4. Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если
равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и
полное».

5. Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до
половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану,
наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан
полный равен стакану пустому.

6. Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро.
Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно
больше».

7. Некто
А говорит В: «Я солгал в своей жизни только три раза».

На это В отвечает: «Тогда ты лжешь теперь в чет­вертый раз».

Это заключение противоречиво: либо А дей­ствительно до сих пор солгал
только три раза и тогда он, сейчас говорит правду, либо он лгал больше, чем три
раза, и тогда в данный момент он солгал более, чем в четвертый раз.

8.  Крокодил

У одной египтянки крокодил похитил ребенка. Египтянка просила вернуть
ребенка, и крокодил обещал ей это, если она правильно укажет, как поступит
крокодил.

Мать ребенка сказала: «Ты не возвратишь мне
моего ребенка»

На это крокодил ответил: «Если ты
действительно права,  то ты, как сама говоришь, не получишь назад ребенка; если
же твое высказывание неверно, то, согласно нашему уговору, ты  не получишь
ребенка. В любом случае ребенок должен остаться у меня»

 «Наоборот, — возразила женщина,- если мое
высказывание, верно, то я получу ребенка в силу нашего условия; если же я
ошиблась, то это означает, что ты сам вернешь мне ребенка. В каждом из случаев
я должна полу­чить ребенка назад»

Кто из них прав?

9.    Кто виноват?

Некто купил шапку, которая оказалась для него негодной, она была
слишком мала.

Кто виноват, шапка или голова?

Шапка во всяком случае не виновата, так как если бы голова была меньше,
она бы подошла.

Следовательно, вино­вата голова!

Но это также неверно. Если бы шапка была больше, то она была бы годна.

Следовательно, ни шапка, ни голова не виноваты.

10. Хитрый хозяин

В приведенных ниже стишках, взятых из одного
английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром
хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что
каждому из них досталось по отдельной комнате.

Все доказательства такого рода есть софизмы. То есть, на первый взгляд, кажутся верными, но на самом деле содержат логические ошибки, нарушения правил математики.Пролистал в интернете поверхностно странички с математическими софизмами, в основном при таких «доказательствах» нарушаются следующие правила: 1) » на 0 делить нельзя» (а они упрямо делят)

2)считают, что если равны квадраты чисел, то равны и сами числа, типа:

(-1)^2=1^2-это верно,отсюда делают вывод, что:

-1=1,а это неверно.

Конечно, в математике, логике много правил и есть, или можно придумать, другие софизмы с нарушением этих самых правил.

Это так.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное
утверждение, в доказательстве которого кроются
незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Мартин ГАРДНЕР

Трудно, изучая математику, не заинтересоваться
математическими софизмами. В 2003 году в
издательстве “Просвещение” вышла книга А.Г.
Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”, в
которой более восьмидесяти математических
софизмов, по крупицам собранным из различных
источников. Цитата из книги: “Математический
софизм представляет собой, по существу,
правдоподобное рассуждение, приводящее к
неправдоподобному результату. Причем полученный
результат может противоречить всем нашим
представлениям, но найти ошибку в рассуждении
зачастую не так-то просто; иной раз она может быть
и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в
софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к
осмысленному постижению математики. Обнаружение
и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую
оказываются более поучительными, чем просто
разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная
демонстрация “доказательства” явно неверного
результата, в чем и состоит смысл софизма,
демонстрация того, к какой нелепице приводит
пренебрежение тем или иным математическим
правилом, и последующий поиск и разбор ошибки,
приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном
уровне понять и “закрепить” то или иное
математическое правило или утверждение. Такой
подход при обучении математике способствует
более глубокому ее пониманию и осмыслению.”

Для развития познавательной деятельности
математические софизмы можно применять при
изучении математики в школе:

1. на уроках, чтобы сделать их более интересными,
   для создания проблемных ситуаций;
2. в домашних задачах, для более осмысленного
   понимания материала, пройденного на уроках
   (найти ошибку в МС, придумать свои МС);
3. при проведении различных математических
   соревнований, для разнообразия;
4. на занятиях факультативов, для более глубокого
   изучения тем математики;
5. при написании реферативных и исследовательских
   работ.

Математические софизмы в зависимости от
содержания и “прячущейся” в них ошибке можно
применять с различными целями на уроках
математики при изучении различных тем.

При разборе МС выделяются основные ошибки,
“прячущиеся” в МС:

1. деление на 0;
2. неправильные выводы из равенства дробей;
3. неправильное извлечение квадратного корня из
   квадрата выражения;
4. нарушения правил действия с именованными
   величинами;
5. путаница с понятиями “равенства” и
   “эквивалентность” в отношении множеств;
6. проведение преобразований над математическими
   объектами, не имеющими смысла;
7. неравносильный переход от одного неравенства к
   другому;
8. выводы и вычисления по неверно построенным
   чертежам;
9. ошибки, возникающие при операциях с
   бесконечными рядами и предельным переходом.

Самыми популярными являются 1-3.

Цели применения МС на уроках математики могут
быть самыми разнообразными:

• изучение исторического аспекта темы;
• создание проблемной ситуации при объяснении
  нового материала;
• проверка уровня усвоения изученного материала;
• для занимательного повторения и закрепления
  изученного материала.

Часто применяя на уроках МС, я составила с
помощью учеников на факультативных занятиях
таблицу применения МС на уроках алгебры в7-8-[
классах (Приложение1). Это
была интересная и познавательная для ребят
работа, которая завершилась важным практическим
результатом, которым можно воспользоваться при
проведении урока.

В книге[1] представлена большая группа софизмов,
которые можно применять при изучении темы
“Свойства арифметического квадратного корня”,
повторяя при этом темы “Преобразование
многочленов”, “Формулы сокращённого
умножения”.

Например:

“Все числа равны между собой”

Возьмем два произвольных неравных между собой
числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем
записать

(а-b)² = (b-а)². (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства
квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

“Единица равна двум”

Простым вычитанием легко убедиться в
справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число ,
получим новое равенство

1-3 +
= 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая
части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего
равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

Комментарий.

По определению представляет собой некоторое
неотрицательное число, которое, будучи возведено
в квадрат, даст х². Ясно, что этому
определению удовлетворяют два числа, а именно х
и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0),
то =х;
если же число х отрицательно, т. е. число -х
положительно, то = — x. Отсюда заключаем, что (свойство
арифметического квадратного корня), что не
учитывается в содержании этих софизмов и
приводит к ложным выводам.

Но все же самой популярной ошибкой в софизмах
является “Деление на 0”. “Деление на нуль
является одним из наиболее распространенных
источников ошибок при проведении преобразований
различных выражений и при решении уравнений.
“Сокращение” уравнений на общий множитель
зачастую приводит либо к потере корней
уравнения, либо к приобретению посторонних
корней, либо вообще к бессмыслице.” [1]

Предупредить ошибки подобного рода поможет
рассмотрение софизмов. Например при изучении
темы “Преобразования многочленов” в 7кл.

“Неравные числа равны.”

Возьмем два неравных между собой произвольных
числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с.
Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

(а-b)² = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a²-2ab + b² = = ca-cb,

из которого следует равенство

а²— аb — ас = аb -b² -bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий
множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-b-с),
получаем, что

а=b,

другими словами, два неравных между собой
произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при
переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно,
согласно условию разность двух произвольных
чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда
а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0=
b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется
путем деления обеих частей (1) на равное нулю
число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем
деление нуля на нуль, которое не имеет смысла,
поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому
вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны,
неверен.

Неоценимую помощь оказывают МС для более
глубокого осмысления материала на уроках
геометрии. Например, софизм, который можно
использовать на уроке по теме “Окружность”,
повторяя при этом тему “Признаки равенства
треугольников”:

“В любой окружности хорда, не проходящая через
её центр, равна её диаметру”

В произвольной окружности проводим
диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой
хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив
точки С и Е, получаем два треугольника ABD и
CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в
одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту
же дугу; углы ADB и CDE равны как
вертикальные; стороны AD и CD равны по
построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны
(по стороне и двум углам). Но стороны равных
треугольников, лежащие против равных углов, сами
равны, а потому

АВ=СЕ

т. е. диаметр окружности оказывается равным
некоторой (не проходящей через центр окружности)
хорде, что противоречит утверждению о том, что
диаметр больше всякой не проходящей через центр
окружности хорды.

Разбор софизма.

В софизме доказывается, что два треугольника ABD
и CDE равны, ссылаясь при этом на признак
равенства треугольников по стороне и двум углам.
Однако такого признака нет. Правильно
сформулированный признак равенства
треугольников гласит:

Если сторона и прилежащие к ней углы одного
треугольника равны соответственно стороне и
прилежащим к ней углам другого треугольника, то
такие треугольники равны.

Рассматривая МС на уроках геометрии можно в
ненавязчивой форме подчеркнуть важность
соответствия условия задачи и правильно
построенного к ней чертежа или схемы.

Например, один из самых интересных софизмов:

“Окружность имеет два центра”

Построим произвольный угол ABC и, взяв на его
сторонах две произвольные точки D и Е,
восстановим из них перпендикуляры к сторонам
угла . Перпендикуляры эти должны пересечься (если
бы они были параллельны, параллельны были бы и
стороны АВ и СВ). Обозначим их точку
пересечения буквой F.

Через три точки D, E, F проводим окружность,
что всегда возможно, так как эти три точки не
лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G (точки
пересечения сторон угла ABC с окружностью) с
точкой F, получим два вписанных в окружность
прямых угла GDF и HEF.

Итак, мы получили две хорды GF и HF, на
которые опираются вписанные в окружность прямые
углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный
прямой угол всегда опирается на ее диаметр,
следовательно, хорды GF и HF представляют
собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую
на окружности.

Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы
установили, диаметрами, не совпадают, то,
следовательно, точки О и О₁₉ делящие
отрезки GF и HF пополам, представляют собой
не что иное, как два центра одной окружности.

Разбор софизма.

Ошибка здесь кроется в неправильно построенном
чертеже. На самом деле окружность, проведенная
через точки Е, F и, обязательно пройдет через
вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно
должны лежать на одной окружности. Тогда,
конечно, никакого софизма не возникает.

Действительно, восстановив перпендикуляры в
точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно
и продолжив их до взаимного пересечения в точке F,
получаем четырехугольник BEFD. У этого
четырехугольника сумма двух его противоположных
углов BEF и BDF равна 180°. Но согласно
известному в геометрии утверждению вокруг
четырехугольника можно описать окружность тогда
и только тогда, когда сумма двух его
противоположных углов равна 180°.

Отсюда следует, что все вершины
четырехугольника BEFD должны принадлежать
одной окружности. Поэтому точки G и Н совпадут
с точкой В и у окружности окажется, как и должно
быть, один центр.

Очевидна и важность геометрических фактов,
повторяемых во время разбора этого МС.

С большим интересом воспринимают МС ребята 5-6-х
классов. Например МС, где нарушены правила
действий с именованными величинами.

Один рубль не равен 100 копеек.

1 р=100 коп

10 р=1000 коп

Умножим обе части этих верных равенств,
получим:

10 р=100000 коп, откуда следует:

1 р=10000 коп.

Применение этого софизма является также
пропедевтикой использования именованных
величин при решении физических задач.

И, конечно, я всегда начинаю знакомить ребят с
математическими софизмами, утверждая, что:

“Два умножить на два будет пять”

2*2=4

44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11),
получим

4=5, откуда следует

2*2=5.

Начиная с этого урока, ребята с нетерпением
ждут новых МС.

Очень интересны МС древнегреческих
философов-математиков Зенона, Прокла, Перрона.
Они открывают обширное поле деятельности для
исследовательских работ учащихся. В книге [1]
представлены следующие “авторские” МС:
парадокс Зенона “Ахиллес никогда не догонит
черепаху”, софизм Прокла “Две непараллельные на
плоскости прямые не пересекаются”, софизм
Перрона “Единица есть наибольшее натуральное
число”.

Хотелось бы рекомендовать коллегам
использовать математические софизмы более
разнообразно в своей практике. Это сделает
изучение математики более увлекательным.
Огромную помощь окажет им замечательная книга
А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические
софизмы”.

(В Приложении 2
содержаться тексты математических софизмов из
таблицы Приложение1.)

Литература.

1. А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические
   софизмы”, М., “Просвещение”, 2003г.
2. Обреимов В.И., , “Математические
   софизмы”,СПб,1989г.

Филиал Муниципального казенного общеобразовательного учреждения

 «Основная общеобразовательная школа села Благословенное имени

 Героя Советского Союза Георгия Дорофеевича Лопатина»  в с. Нагибово

Исследовательская работа

 «Математические софизмы»

Выполнил:

Декина София,

Ученица 5 класса

Руководитель:

Логунова О.Н.

учитель математики

I категория

с. Нагибово  

2020год

Введение……………………………………………………….……..2

1. Гипотеза ………………………………………….…………………3

2. Софизмы в математике…………………………………..……..…4

3. Анализ софизмов………………………………………………..…5

Заключение………………………………………………………..……6

Список литературы…..………………………………………………..7

Здравствуйте. Меня зовут Декина София. Я учусь в 5 классе. Мне очень нравится математика. Однажды мы пожаловались учителю, что очень много задают. А учительница сказала нам, что сейчас докажет, что вообще не учимся. Предлагаю и вам это доказательство.

Как доказать, что ученики ничего не делают?

Доказательство:

1. По ночам занятий нет, значит, половина суток свободна. Остается

365 -182 = 183 дня.

2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, другая половина (или четвертая часть суток) может быть свободна. Остается

183 — 183:4 = 137 дней.

3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится =15 дней, таким образом выходных в учебном году

52 -15 = 37 дней.

Итого остается

137 — 37 = 100 дней.

4. Но есть еще каникулы: осенние (= 5 дней), зимние (=10 дней), весенние (= 7 дней), летние (= 78 дней).

Всего 5 + 10+ 7+ 78 = 100 дней.

5. Итак, школьники заняты в году

100 — 100 = 0 дней.

Когда же учиться?! Где ошибка в рассуждениях?

Мне стало интересно, и наша учительница предложила мне рассмотреть другие математические софизмы.

 Я считаю эту тему очень увлекательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов.

Гипотеза. Разобрать софизм — значит найти эту ошибку.

Актуальность . Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях

Цель: изучить данную тему, а именно, узнать что такое софизмы

Задачи: 

1. Познакомиться с софизмами;

2. Понять, как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?

Темы для исследования:

— Что такое софизм?

— Математические софизмы

Методы исследования.

• Изучение литературных источников.
• Наблюдение и сопоставление материала.
• Просмотр сайтов в Интернете

Практическая значимость: понимание математики пригодится в жизни и в первую очередь для успешной учебы в школе, надо не только точно знать правила и формулы, но уметь находить свои ошибки и ошибочные рассуждения

Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку или головоломку.

Математический софизм представляет собой  тот частный случай, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм — это значит указать ошибку в рассуждении.

 Предлагаю вашему вниманию несколько простейших софизмов. А вы попытайтесь найти ошибку.

1. Размещение по одному тринадцати человек в двенадцати комнатах.

Администратор одной гостиницы не отказался от решения следующей, казалось бы, неразрешимой задачи: разместить в двенадцати одноместных комнатах тринадцать человек, не допуская поселения в одной комнате двух человек.

Предупредив тринадцатого (под этим номером занесенного в список приехавших), что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному и каждой комнате, начиная с первой.

  В итоге расселения в первой комнате оказалось два человека; третий человек был помещен во второй комнате, четвертый — в третьей, пятый — в четвертой и так до двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую комнату.

  Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась свободной, администратор предоставил временному жильцу первой комнаты — тринадцатому клиенту гостиницы.

Выходит, что задача разрешима: 12=13

2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев.

В наличии десяти элементов в некоторой группе можно с одинаковым успехом убедиться как с помощью счета от одного до десяти, так и с помощью обратного счёта. присвоим пальцам числительные (номера) как на рисунке, и сложим их.

5+6=11. И так, на двух нормальных руках, одиннадцать пальцев.

3. Квадратные рубли.

Как известно, всякие два равенства можно перемножать почленно.

Применяя эту правило к следующим двум равенствам:

                1 рубль= 100 копеек , 2 рублей=200 копеек,

       Возведём левую и правую часть в квадрат;

(22 )рубля =(2002 )копеек,   или  4 рубля = 40000 копеек,
                                         что явно неверно

4.    40:8=41

Маленький Петя очень не любил считать устно. Решая задачу о дележе 40 орехов между 8 мальчиками поровну, он и в этом случае обратился к схеме письменного

деления. Выполнение действия деления у него выглядело так:

Полученный ответ, естественно, смутил Петю. Он хорошо понимал, что не может каждый из мальчиков получить больше орехов, чем их было у всех вместе, но своей ошибки в делении все-таки обнаружить не мог.

Помогите маленькому Пете понять свою ошибку.

5. Дважды два — пять!

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее

очевидное равенство: 4:4=5:5

  После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:

 4 (1: 1)=5 (1: 1)

Или (2*2)(1:1)=5(1:1)

Зная, что 1:1=1, получаем 2*2=5

Анализ софизмов.

1. В рассуждении допущена ошибка: второй клиент гостиницы остался без комнаты, так как об его существовании просто «забыли» при распределении номеров гостиницы.

Число может быть и количественным и порядковым. Путем сознательного смешения понятий количественного и порядкового чисел и достигается иллюзия правдоподобности приведенного рассуждения. В самом деле, мы рассуждали так.. «в итоге расселения в первой комнате оказалось два человека»— число количественное; «третий человек был помещён во второй комнате» — число порядковое. Подобная структура рассуждения и дала возможность отвлечь внимание от факта пропуска второго клиента.

2.В рассуждении допущено намеренное отождествление понятий порядкового и количественного чисел. Ошибка возникает потому, что для пальцев левой руки имеет место совпадение порядкового и количественного чисел, а для правой руки такого совпадения нет.

3. Когда мы имеем дело с деньгами возводить в квадрат рубли нельзя, так как никаких «квадратных рублей» и «квадратных копеек» не существует.

4. Из курса математики известно. Что остаток не может быть равен делителю.

5. В рассуждении создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения. Такие ошибки невозможны, если в качестве знака деления использовать дробную черту.

4:4== 4 =4*(1:4)      и     5:5== 5 =5*(1:5)

И напоследок. В самом первом рассуждении мы установили, что ученики вообще не учатся ни одного дня. Как так получилось.  А очень просто, выходные и каникулы были посчитаны дважды.

Заключение.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Софизмы это смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других людей, научиться  грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Осознание ошибки достигается противопоставлением ложному доказательству истинного. Такой подход способствует более глубокому пониманию  и осмыслению математики.

Муниципальное бюджетное оБщеобразовательное учреждение «Центр образования №22 – Лицей искусств» г.Тула

Математические софизмы

Проект выполнила: ученица 10 В класса Юлина Карина Руководитель проекта: учитель математики Сватковская Е.А.

Содержание:

Паспорт проекта.

Введение. Цели, задачи проекта.

1. Глава первая. Понятие софизма.

   1. История софизмов.Виды софизмов.

   2. Классы ошибок в софизмах.

2. Глава вторая. Виды математических софизмов:

   1. логические софизмы.

   2. алгебраические софизмы.

   3. геометрические софизмы.

3. Глава третья. Как создать софизм?

   1. Принципы, по которым составляются софизмы.

   2. Создание своего софизма.

Заключение

Приложение

Введение.

Всем нам хоть раз в жизни встречались высказывания, такие как «Дважды два равно пять», «Два равно трем». Откуда взялись эти утверждения? Кто их придумал? Можно ли их объяснить или это просто выдумка?

В своей работе я хочу разобраться в вопросах, связанных с математическими софизмами. Математические софизмы, по моему мнению, интереснее других своей четкостью и логичностью объяснения. И мы сталкиваемся с ними намного чаще, чем с другими софизмами.

Софизмы заставляют нас думать в различных направлениях и рассматривать проблемы с разных сторон, анализируя небольшие детали. И еще, софизм – это обман, который не каждый сможет распознать, а, следовательно, люди обманывают друг друга с помощью софизмов. Так происходит и в наше время, и происходило тысячелетия назад.

Цель моего проекта — изучение математических софизмов

Задачи:

1.Найти, изучить и проанализировать информацию, полученную при изучении софизмов.

2. Изучить историю софизмов.

3.Рассмотреть виды софизмов, выявить ошибки в математических софизмах.

4. Разделить на классы математические софизмы.

5. Разобрать логику составления и решения математических софизмов.

6. Создать собственный софизм.

7. Привлечь интерес учащихся к урокам математики.

Объект проекта: софизмы.

Предмет проекта: математические софизмы.

В этой работе былииспользованы некоторые примеры алгебраических, геометрических, логических софизмов из книг «Что не так?» Львовского С.М., «Математические софизмы» Обреимова В.И., «Математические софизмы» А.Г. Мадеры, Д.А. Мадеры¹. Так же из “Математической шкатулки” Ф.Ф. Нагибина, Е.С. Канина² взяли историю развития математических софизмов.

Методы исследования: определение понятий, анализ и синтез.

Практическая значимость: Видеть и замечать неявные ошибки, акцентировать внимание на мелких деталях.Данный материал можно применять на факультативных занятиях, математическом кружке, чтобы привить интерес учащихся к математике.

Глава первая. Понятие софизма.

История возникновения софизмов.

Сам софизм был введен древнегреческим софистами в V в. до н.э. как пример обучения.Софисты были личными наёмными учителями и опирались на решение задач.

Аристотель не считал софизмы научным поиском истины, а «натаскиванием» и составил в книге «О софистических опровержениях» первую классификацию софизмов, выделив 13 видов софизмов, возникающих из-за двусмысленностей двоякого рода, 6, связанных с оборотами речи, и 7 паралогизмов или неправильно построенных рассуждений.

Аристотель софизмом называл «мнимые доказательства», убедительность многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой:

• семантической: возникает за счёт нарушения однозначности мысли и приводит к смешению значений терминов;

• логической: подмена основной мысли доказательства, принятие лжи за истину, несоблюдение допустимых способов рассуждения, использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

В истории математические софизмы играли существенную роль: уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Особенно поучительна в этом отношении аксиомао параллельных прямых Евклида. Звучит она так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. На протяжении двух тысяч лет многие выдающиеся математики пытались это доказать, пытались это вывести из аксиом геометрии. Но попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства» оказались ошибочными. И все же они принесли огромную пользу в развитии геометрии: выяснились связи между разными теориями геометрии; тем самым была подготовлена почва для создания Неевклидовой геометрии.³

Виды софизмов

Существует довольно большое количество видов софизмов. Вот некоторые из них:

• логические;

• терминологические;

• психологические;

• интеллектуальные;

• аффективные;

• волевые;

• математические;

• исторические.

Классы ошибок в софизмах.

В софизмах ученые выделяют 3 класса ошибок:

1. Логические ошибки.

Так как вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и любой софизм может сводиться к нарушению правил силлогизма. Наиболее часто к логическим софизмам приводят нарушения следующих правил:

• вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;

• вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;

• вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

2. Терминологические ошибки.

Больше всего распространены ошибки употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении.

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Существует несколько классов терминологических ошибок:

• ошибка омонимии;

• ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного;

• ошибка разделения (обратная), когда собирательному термину дается значение разделительного;

• ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл;

• ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы.

Более сложные софизмы происходят из неправильного построенного ряда доказательств, где ошибки являются тенью всего выражения.

3. Психологические ошибки.

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

4. Интеллектуальные причины.

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignavaratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.

5. Аффективные причины.

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.

6. Волевые причины.

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

Таким образом, софизмы — довольно древнее понятие. Существует множество видов софизмов. Но всех их объединяют схожие «ошибки». Попытки разгадать математические софизмы приводят к более полному понятию математики.

Глава вторая. Виды математических софизмов.

1) Логические софизмы.

Начнем с небольшого английского софизма в качестве разминки:

The more you study – the more you know,

The more you know – the more you forget,

The more you forget – the less you know,

The less you know – the less you forget,

The less you forget – the more you know.

Why study?⁴

(Чем больше мы учим, тем больше знаем.

Чем больше мы знаем, тем больше забываем.

Чем больше мы забываем, тем меньше знаем.

Чем меньше мы знаем, тем меньше забываем.

Чем меньше забываем, тем больше знаем.

Зачем учиться?)

Следующий софизм довольно прост. Для начала познакомимся с одним занимательным парадоксом:

В один раз хозяину гостиницы с бесконечным, но счетным числом номеров, которые не были свободны, нужно было принять нового гостя. Хозяин нашел очень простой выход: он каждого из постояльцев переселил в комнату, номер которой был на единицу больше, чем номер прежней комнаты. В итоге, каждый обитатель n-й комнаты переехал в (n+1)-ю и освободил первую комнату для нового гостя. Как поступить хозяину, если к немуприедут бесконечно много гостей? Все также, хозяину просто требуется переместить всех прежних жильцов в (n*2) и разместить новых гостей в освободившиеся нечетные номера.Возможно ли, разместить новых гостей хозяину, при этом, не имея счетное количество комнат?

Во взятом нами софизмом рассказывается о хитром хозяине гостиницы, разместившем в девяти номерах десять гостей так, что каждому досталась одна комната:

Их было десять чудаков,

Тех спутников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

«Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки».

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него

И девять лишь кроватей.

«Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе».

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица.

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пойти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад Десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

В чем же тут ошибка? А все очень просто, мы просто забыли про десятого, точнее хозяин вернулся к первым двум, и отдал ключ одному из них, но поселил он девятерых и отдал, допустим, второму ключ от комнаты «И», но десятый тут никак не фигурирует.

4 рубля = 40000копейкам

Возьмем верное равенств:

2 рубля = 200 копейкам и возведем его по частям в квадрат.

Мы получим: 4 рубля = 40000 копейкам.⁵

В чем же ошибка? Вот в чем: возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.

Существует множество логических софизмов и можно найти даже такие у которых объяснение будет неоднозначным, вот пример такого:

«Учебная тревога»

Однажды командир Н-ской роты объявил солдатам следующее:

— В один из рабочих дней на следующей неделе в 5 часов утра у нас будет учебная тревога. Чтобы приблизить обстановку к боевой, эта тревога будет для вас неожиданной: пока ее не объявят, вы не будете знать, что она состоится именно в этот день.

Вечером того же дня рядовой Петров объяснял своим товарищам:

— Я все понял: никакой тревоги не будет, нам только голову морочат! Вот смотрите. В пятницу эту тревогу объявить не могут: ведь тогда уже в четверг вечером мы будем знать, что тревога будет именно в пятницу – другого-то дня не остается! А нам ведь объявили, что нам до последнего момента будет неизвестно, в какой день будет тревога, так что пятница исключается. Но могут ли объявить тревогу в четверг? Тоже нет! Ведь если в первые три дня тревоги не будет, то мы уже в среду вечером будем знать, что тревога будет в четверг или пятницу, а так как в пятницу ее объявить не могут, остается только четверг, и мы опять узнаем дату тревоги заранее, неожиданности не будет. Значит, остаются только понедельник, вторник и среда, но тут мы рассуждаем точно так же: в среду объявить тревогу невозможно, ну и так далее. Так что обойдемся без тревоги.

Рассуждение рядового Петрова всех убедило. Однако же в среду в пять утра по казарме разнеслось: «Рота, подъем! Тревога!». Как вы понимаете, для всех, включая рядового Петрова, это оказалось полной неожиданностью, так что все случилось в соответствии с тем, что объявил командир роты.

Но где же тогда ошибка в рассуждениях рядового Петрова?⁶

И правда, в чем же ошибся рядовой?

Есть два варианта «решения» этого вопроса.

Первое объяснение, заключается в том, что Петров ошибся в самом начале своих рассуждений. Ведь вполне возможно в пятницу провести тревогу. Во-первых, потому что есть те, кто так же, как и Петров, посчитают пятницу неудачным днем для проведения «неожиданной» тревоги. Люди, опирающиеся на этот вывод, предполагают, прохождение учения раньше пятницы. Во-вторых, есть среди нас те, которые не задумываются о следующем дне, так для них тревога будет тоже неожиданной.

Петров считает, что предсказуемое событие никак не может быть неожиданным. Но саму тревогу объявляет человек, а действия его точно предсказать невозможно. Можно предугадать действия компьютерной программы, зная ее исходный код и исходные данные. У человека же есть воля.

Есть и другое объяснение не с логической точки зрения, а с житейской. Одинаковые слова, иногда, имеют разные значения в зависимости от ситуации. В нашем случае слово «неожиданный» различно в значениях. Для Петрова, как было ранее сказано, важным было значение «предугадать». А вот командир не имел в виду, что солдаты не смогут предсказать дату и время тревоги. Смысл его речи был намного проще: лишь предупредить их о планирующейся тревоге, чтобы они готовились.

2) Алгебраические софизмы

4=5

Ошибка: 

(натуральные числа)

Ошибка: По условию , значит . При делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства надо поменять, чего не было сделано.

Вынесем за скобки общий множитель в каждой части:

Числа в скобках равны, поэтому:

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества .

Отрицательноечисло больше положительного.

Возьмем два положительных числа a и b. Сравним два отношения: они равны, так как каждое из них равно .Можно составить пропорцию: . Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае ; следовательно, должно быть , т.е. отрицательное число больше положительного.

Ошибка заключается в том, что свойство (если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего) может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

Любое число равно числу, в два раза большему его.

Пусть – какое угодно число. Возьмем тождество . В левой части его вынесем за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: . Упростив это тождество, получим: .

В уравнении нельзя делить на , т.к. это выражение будет равно нулю.

Увеличим обе части на :

В чем же ошибка? Прибавляя к равным величинам равные, получаются равные суммы, но в этом случае величины не равны, посчитаем: .Значит, в этом случае, если мы прибавим равные величины, то получим разные суммы.

Следующий пример необычен тем, что он до сих пор не решен.

«Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона:

Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он уже её не застанет, так как она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пробежит и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперёд. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка?

Софизм Зенона далек от своего конечного решения. Вот аспекты приведенные в книге Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы»:

«Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где a – расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/сек и w=10 шагов/сек) равно 11,111111… сек.

Другими словами, примерно через 11,1 сек. Ахиллес догонит черепаху.

Подойдём теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики. Проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдёт черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдёт m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс ещё один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями «непрерывного» и «бесконечного» до сих пор не определены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики».

Софизм Зенона справедлив в теории, но на практике не применим, довольно тяжело представить себе Ахиллеса, бегущего микроскопическое расстояние.⁷

3) Геометрические софизмы.

«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами , гипотенузой

и острым углом , противолежащим катету .

Имеем: , откуда .

Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

,

но
, и поэтому .

Здесь ошибка заключается в том, что формула выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждениях получается замкнутый круг.

Ч

ерез точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой.

Дана пряма MN и вне ее точка A. Проведем через точку A прямую AB, параллельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку C. На отрезке AC, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D – точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой MN, проходящим через точку C. Через точки A и D проведем прямую. Так как угол CDA прямой, а CD перпендикулярна MN, то AD – прямая, параллельная MN. Следовательно, через A проходят две прямые, параллельные прямой MN.

Ошибка: D принадлежит AB.

«Загадочный треугольник»

Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур.

рис.1

После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (рис. 2). Но мы же понимаем, что такого быть не может.

Площади закрашенных фигур, конечно, равны между собой (обе по 32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13*5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади. То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура названа треугольником (на самом деле являющаяся вогнутым четырёхугольником). Это отчётливо заметно на рис. 2 – гипотенузы верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу(23 и 58), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13*5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем – наружу).Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13*5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рис. 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях.

64=65

Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части, как показано на рисунке выше. Из этих частей сложен прямоугольник. Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота – 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника – 65 квадратным единицам. Значит, 64=65.

Ошибка: (1) и (4) части прямоугольника (отличного от квадрата) неплотно примыкают ко (2) и (3) частям его. Между ними образуется «щель» в виде вытянутого параллелограмма. Площадь этой щели как раз равна 1 квадратной единице.

Математические софизмы, какого бы вида они не были, всегда имеют логическое объяснение, и становятся сразу понятными, как только проанализировать их полностью. Даже имея некие «исключения» в виде неоднозначных и нерешенных софизмов, они все равно подтверждаются математическим путем.

Глава третья. Как создать софизм?

Принципы, по которым составляются софизмы.

Для начала берется какое-то равенство, неравенство, тождество,теорема или подчиняющееся логике выражение, и мы начинаем его менять — менять его стержень, подводя к использованию неправильных суждений. В математических софизмах это можно проворачивать согласно всем аксиомам, приведенным ниже.

Рассматривая каждый шаг преобразования, сможем найти «место» для ошибки. Хочу заметить, что большинство ошибок расположено в «спорных» случаях, в тех местах, где нужно помнить небольшие детали той или иной ситуации.

ОбреимовВ.И. в своей книге «Математические софизмы» обращается к следующим аксиомам:

• Всякая величина равна самой себе;

• Равные величины можно заменить равными;

• Две величины, порознь равные третьей, равны между собой;

• Если к равным величинам прибавить равные, то получатся равные суммы;

• Если к равным величинам прибавить неравные, то получим неравные суммы, причем та сумма будет больше, которая получится от прибавления большей величины;

• Если от равных величин отнимем равные, то получим равные разности;

• Величина не измениться, если ее одновременно увеличить и уменьшить на одно и то же число:

• Если равные величины умножить на равные же, то получим равные произведения;

• Если равные величины помножить на неравные, то получим неравные произведения, причем то из произведений будет больше, которое поучится от умножения на большую величину;

• Если равные величины разделим на равные, то получим равные частные;

• Из двух отрицательных величин больше та, которой численное значение меньше;

• Целое больше своей части;

• Целое равно сумме всех своих частей;

• Степени двух равных величин равны между собой;

• Корни из двух равных величин равны между собой.⁸

Так же в его книге представлены общие «формулы», составления софизмов.

Логические софизмы — это какие-то истории, где рассуждения крутятся вокруг «стержня», который и является причиной рассуждений.

Создание своего софизма

Для начала стоит выбрать вид софизма. Я попробую взяться за алгебраические и логические софизмы.

Давайте начнем с алгебраических софизмов.

Возьмем один из софизмов, представленных ранее в части 2. Допустим, это будет софизм «Любое число равно числу, в два раза большему его». Первое, что мы можем сделать — это преобразовать конечный результат , нарушая правила, ведь делить на неизвестное нельзя, но эта ошибка работает только в буквенном виде. Получим: , и мы создали новый софизм. Правда, это не совсем новый софизм. Давайте подставим в софизм число 3:

Мы получили новый софизм, ошибка которого заключается в том, что мы делим на (3-3), а эта скобка равна нулю = мы делим на ноль — чего делать, конечно же, нельзя.

Попробуем поиграть еще с одним софизмом.

Возьмем так же из части 2 софизм «2=3», но воспользуемся буквенным видом, представленном в книге «Математические софизмы» Обреимова В.И.⁹

Теперь давайте в эту «формулу» подставим совершенно другие числа (не 2 и 3), пусть будет 5 и 7:

И вот наш «новый» софизм, основанный на уже имеющемся софизме.

Сейчас вам представиться софизм, который был самостоятельно составлен не из каких-то уже извесных «формул»:

Разложим две части так, чтобы равенство было верным. И вычтем :

В левой стороне мы минус три возводим в квадрат, а в правой расскладываем по формуле разности квадратов:

Ошибка в этом софизме довольно простая, но обычно многие ее допускают. Суть в том, что когда мы возводим в квадрат, минус в данном случае не принадлежит тройке, а играет роль именно знака.

Для логических софизмов нам нужно придумать логично-нелогичную сказку.

Вот первый вариант моей «сказки»:

На день рождения Оле подарили торт, разрезанный на двенадцать частей. К ней пришло пятеро друзей, она дала каждому по кусочку, следом пришли тетя, дядя, бабушка и дедушка, и ушло три человека. К тому времени подоспели еще пятеро гостей. И каждому досталось по кусочку. Но как такое может быть? Ведь кусочков было 12, а ели торт 15 человек.

В этом примере ошибка в том, что мы вернули три уже съеденых кусочка, такого, конечно же, не может быть.

И вот второй вариант, с теми же числами:

В концертном зале осталось двенадцать мест. Пришло шесть человек, они заняли свободные места, к первому звонку пришло еще четыре человека и вышло три. К началу концерта подоспели еще пять человек, сели на свободные места и три человека вернулись, заняв свои места. Вот так вот на твенадцати местах уместилось пятнадцать человек.

В этом случае можно рассуждать двояко либо кому-то правда не досталось места, либо же никто не говорил, какие именно пять человек пришли, но говориться, что три человека вернулись, то есть они могут быть в той пятерке, которая пришла.

Таким образом, для создания нового софизма нужно рассмотреть и понять уже известные нам. Но добиться чего-то совершенно нового очень и очень сложно.

Заключение.

Софизмы не новое понятие, пришедшее к нам от древнегреческих софистов. Ученные выделили ряд ошибок, на которых построенны софизмы.

Решение математических софизмов расширяет познание самой математики, ведь людой вид математических софизмов можно «решить» и зная ошибку ее не допустить в будущем.

Хотелось бы сказать пару слов о «создании» своего софизма.Во время работы над придумыванем софизма, мне было тяжело составить, что-то новое.

Занимаясь проектом, при решении задач на уроках я стала замечать места или случаи, где возможно было бы отклонится от правил. Не думаю, что те примеры можно считать за софизмы, ведь это просто ученические ошибки, но сама работа заставила меня видеть эти места.

Как выяснилось, малое количество людей знают, что такое софизм. Но старшие классы после объяснения лучше поняли принципы и смогли сами увидеть и указат ошибки (см. прил.).

Я считаю, что все мои цели и задачи, поставленные в начале работы, были достигнуты.

Приложение

Мне также было интересно, знают ли ученики разных возрастных категорий, что такое софизмы, и смогут ли они найти ошибки в математических, заведомо ложных, умозаключениях.

2. Возьмём числовое равенство:

35+10-45=42+12-54.
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки).

Получаем 5=6.

Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

3. Дано уравнение x-a=0.

Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0.

Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Проанализировав ответы на вопросы, я получила следующие результаты:

1 вопрос: Знакомо ли Вам понятие «софизм»? (Да/Нет)

Из графика видно, что практически все ученики не знакомы с понятием софизма.

2 вопрос: Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6.

Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

В этой задаче на внимательность нужно было найти конкретную математическую ошибку:7+2-9=0. На ноль делить нельзя.

С данной задачей справились 18% учеников 8 класса и 70%- 10 класса. При этом 50% восьмиклассников все же нашли наличие ошибки в решении, но не указали ее точно.

3 вопрос: Дано уравнение x-a=0.

Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0.

Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Ответом данной задачи было:

Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.Верно на этот вопрос ответили 22% 8-классников и 67% 10-классников, при этом наличие ошибки отметили 100% учеников обоих классов, то есть явление софизма определили все!

Список литературы:

1. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры фокусы, парадоксы – М., «Омега», 1994;

2. Нагибин Ф.Ф.,Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд.–М.: Издательство «Просвещение», 1988;

3. Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019;

4. Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. /А.Г.Мадера,Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003;

5. Обреимов В.Н.Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989.

1Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019; Обреимов В.Н. «Математические софизмы» — С.-Птербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989; Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003

2Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 1988.

3Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003.

4proza.ru

5Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 1988.

6Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019

7Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003

8Обреимов В.Н. Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989

9Обреимов В.Н. Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989