Софизм это преднамеренная ошибка - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Софизм как логическая ошибка

Ошибочные суждения – отдельная и весьма занимательная часть логики. Они часто встречаются в обыденной речи и, как правило, являются случайными (паралогизмы). Но если логическая ошибка допущена в умозаключении нарочно, с целью запутать собеседника и сбить его с верной линии размышления, то здесь речь идет о софизме.

Слово «софизм» имеет греческие корни и в переводе с этого языка означает «хитрая выдумка», или «уловка». Под софизмом принято подразумевать умозаключение, которое основано на каком-либо заведомо неверном утверждении. В отличие от паралогизма, софизм – это преднамеренное и сознательное нарушение логических правил. Таким образом, любой софизм всегда содержит в себе одну или несколько, зачастую довольно искусно замаскированных, логических ошибок.

Софистами называли некоторых древнегреческих философов 4 – 5 века до н.э., которые достигли больших успехов в искусстве логики. Затем, в период падения нравов в обществе Древней Греции, один за другим стали появляться, так называемые, учителя красноречия, считавшие своей целью распространение мудрости, и именно поэтому они также нарекли себе софистами. Они рассуждали и несли в массы свои умозаключения, но проблема заключалась в том, что эти софисты не были учеными. Многие их речи, убедительные на первый взгляд, основывались на заведомо ложных и неправильно истолкованных истинах. Аристотель говорил о софизме, как о «мнимых доказательствах». Истина не была целью софистов, они стремились любым путем победить в споре или получить практическую выгоду, делая акцент на красноречии и искаженных фактах.

Ошибки подобного рода особенно часто встречаются в древних математических науках – арифметические, алгебраические и геометрические софизмы. Кроме математических, существуют также терминологические, психологические и, наконец, логические софизмы, которые в большинстве своем выглядят как бессмысленная игра, опирающаяся на многозначность тех или иных языковых выражений, недосказанность, неполноту, разницу в контекстах. Например:

«Человек имеет то, чего он не терял. Человек не терял хвоста. Значит, у него есть хвост».

«Можно видеть, не имея правого глаза, точно также можно видеть, не имея левого. Кроме правого и левого, у человека других глаз нет. Из чего следует, что для того чтобы видеть, совсем необязательно иметь глаза».

«Чем больше водки пить, тем больше будут трястись руки. Чем больше будут трястись руки, тем больше спиртного будет проливаться. Чем больше спиртного будет пролито, тем меньше будет выпито. Вывод: чтобы меньше пить, надо пить больше».

«Сократ – человек, но, с другой стороны, человек – это не то же самое, что Сократ. Значит, Сократ – это не Сократ, а что-то иное».

Видео по теме

Источник

СОФИЗМ (от греч. sophisma — уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) — рассуждение, умозаключение или убеждающая речь (аргументация), обосновывающие какую-либо заведомую нелепость (абсурд} или утверждение, противоречащее общепринятым представлениям (парадокс). Вот пример софизма, основанного на разъединении смысла целого: “5 = 2 + 3, но 2 четно, а 3 нечетно, следовательно 5 одновременно четно и нечетно”. А вот софизм, построенный с нарушением закона тождества и семиотической роли кавычек: “Если Сократ и человек не одно и то же, то Сократ не то же, что Сократ, поскольку Сократ — человек”. Оба эти софизма приводит Аристотель. Он называл софизмами “мнимые доказательства”, в которых обоснованность заключения лишь кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Внешняя убедительность многих софизмов, их “логичность” обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической (за счет метафоричности речи, амонимии или полисемии слов, амфиболии и пр.), нарушающей однозначность мысли и приводящей к смешению значений терминов, или же логической (за счет игнорирования или подмены тезиса в случае доказательств или опровержений, ошибок в выведении следствий, использования “неразрешенных” или даже “запрещенных” правил или действий, к примеру, деления на нуль в математических софизмах).

Исторически с понятием “софизм” неизменно связывают мысль о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, заботясь не об истине, а о практической выгоде, об успехе в споре или в судебной тяжбе. С этой же задачей обычно связывают и его известный “критерий основания”: мнение человека есть мера истины. Уже Платон, который называл софистику “постыдной риторикой”, заметил на это, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе придется признать законность противоречий, и поэтому любые суждения считать обоснованными. Эта мысль Платона нашла отражение в аристотелевском “принципе непротиворечия” (см. Закон логический) и, уже в современной логике, — в требовании доказательства абсолютной непротиворечивости теорий. Но вполне уместное в области “истин разума” это требование не всегда оправдано в области “фактических истин”, где критерий основания Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам ее познания, оказывается весьма существенным. Поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам, но в остальном безупречные, не являются софизмами. По существу они только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Таковы, в частности, известные апории Зенона Элейского или т. н. софизм “куча”: “Одно зерно — не куча. Если η зерен не куча, то η + 1 — тоже не куча. Следовательно, любое число зерен — не куча”. Это не софизм, а лишь один из парадоксов транзитивности, возникающих в ситуациях неразличимости (или интервального равенства), в которых принцип математической индукции неприменим. Стремление усматривать в такого рода ситуациях “нетерпимое противоречие” (А. Пуанкаре), преодолеваемое в абстрактом понятии математической непрерывности (континуума), не решает вопроса в общем случае. Достаточно сказать, что содержание идеи равенства (тождества) в области фактических истин существенно зависит от того, какими средствами отождествления при этом пользуются. К примеру, далеко не всегда нам удается абстракцию неразличимости заменить абстракцией отождествления. А только в этом случае и можно рассчитывать на “преодоление” противоречий типа парадокса транзитивности.

Первыми, кто понял важность теоретического анализа софизмов были, по-видимому, сами софисты (см. Софистика). Учение о правильной речи, о правильном употреблении имен Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов представлены и в диалогах Платона. Но их систематический анализ, основанный уже на теории силлогистических умозаключений (см. Силлогистика), принадлежит Аристотелю. Позднее математик Евклид написал “Псевдарий” — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах, но он не сохранился.

Лит.: Платон. Соч., т. 1. M., 1968 (диалоги: “Протагор”, “Горгай”, “Менон”, “Кратил”), т. 2. M., 1970 (диалоги: “Теэтет”, “Софист”); Аристотель. “О софистических опровержениях”.— Соч., т. 2. M., 1978; АхмановА, С. Логическое учение Аристотеля. М., I960, гл. 1, § 3.

M. M. Новосёлов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль.
Под редакцией В. С. Стёпина.
2001.

Источник

Определение

Софистика — преднамеренное применение ложных доводов, словесный блуд, способствующий лжи.
В принципе софистика — то же, что и софизм. В свою очередь софизм — это умышленно ложное умозаключение, формально кажущееся правильным, основан на выхватывании при рассуждениях отдельных сторон явления.

Происхождение термина

Существительное σοφιστής образовано от глагола σοφίζομαι («проявлять мастерство», «заниматься каким-либо искусством»); первоначально относилось к поэтам и музыкантам, но со второй половины 5 века до н. э..

так начинают называть людей, обладающих мудростью в первую очередь жизненно-практического характера и в отдельных случаях, возможно, философской и научной.

Постепенно слово «софист» начинает применяться в понятии «мудрец».

Развитие понятия «Софист»

В V веке до нашей эры в Древней Греции сложилось общество эрудитов-преподавателей, ставивших себе цель обучить подопечных умению вести спор (прежде всего для выстраивания учениками своей политической карьеры). Они знакомили молодых людей с основами истории, права, математики и философии.

Но прежде всего учили приемам доказательства и опровержения, открыли ряд правил логического мышления, но вскоре, когда победа в споре стала важнее доказательств истины (что важно в политике), все внимание сосредоточили на разработке логических уловок, основанных на внешнем сходстве явлений, на том, что событие извлекается из общей связи событий, на многозначности слов, на подмене понятий и т. д. Этих интеллектуалов также называли софистами.

Софизм, как направление философии

Горгий

Постепенно софисты выделились в группу философов, к которым сегодня относят (согласно Википедии) Протагора, Горгия, Гиппия, Продика, Антифонта, Крития и к следующему за ними поколению — Ликофрона, Алкидаманта, Фрасимаха. Протагор сделал первые попытки систематизировать приемы умозаключения, занимался категориями словоизменения и синтаксисом предложения. Ликофрон анализировал роль связки «есть» в предложении. Горгий и другие заложили основы науки о языке. Продик разработал основы учения о синонимах. При этом софисты не были объединены в рамках определенной «школы», их взгляды не имели единства.

Примеры софизмов

— Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.
— Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза.

Ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения.
— Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше.

Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.
— Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
— То, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рога. Значит, ты их имеешь.

— Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц

Синонимы слова «Софизм»

Парадокс
Уловка
Ухищрение
Умозаключение
Увертка
Лукавство
Отговорка
Умствование

Источник: http://ChtoOznachaet.ru/sofistika.html

Софизм – что это? Примеры софизмов

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство.

Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.

Возникает вопрос: софизм – что это и чем он отличается от паралогизма? А различие в том, что софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

История появления термина

Софизмы и парадоксы были замечены еще в древности. Один из отцов философии — Аристотель называл это явление мнимыми доказательствами, которые появляются из-за недостатка логического анализа, что приводит к субъективности всего суждения. Убедительность доводов является всего лишь маскировкой для логической ошибки, которая в каждом софистском утверждении, бесспорно, есть.

Софизм – что это такое? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть пример древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога? Значит, у тебя есть рога». Здесь есть упущение.

Если первую фразу видоизменить: «Имеешь все, что не терял», тогда вывод становится верным, но довольно неинтересным.

Одним из правил первых софистов было утверждение о том, что необходимо наихудший аргумент представить как лучший, а целью спора являлась только победа в нем, а не поиск истины.

Софисты утверждали, что любое мнение может быть законным, тем самым отрицая закон противоречия, позднее сформулированный Аристотелем. Это породило многочисленные виды софизмов в разных науках.

Источники софизмов

Источниками софизмов может выступать терминология, которая используется во время спора. Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом или же научным сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит нарушение логики.

Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел путем перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных. Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при изменении ударения меняют и смысл. Построение фразы иногда очень запутанно, как, например, два умножить на два плюс пять.

В данном случае непонятно имеется ли в виду сумма двойки и пятерки, умноженная на два, или же сумма произведения двоек и пятерки.

Сложные софизмы

Если рассматривать более сложные логические софизмы, то стоит привести пример с включением во фразу посылки, которую еще нужно доказать. То есть сам аргумент не может являться таковым до тех пор, пока он не доказан.

Еще одним нарушением считается критика мнения оппонента, которая направлена на ошибочно приписываемые ему суждения.

Такая ошибка широко распространена в повседневной жизни, где люди приписывают друг другу те мнения и мотивы, которые им не принадлежат.

Кроме того, фраза, сказанная с некоторой оговоркой, может подменяться на выражение, таковой оговорки не имеющее.

За счет того, что внимание не заостряется на факте, который был упущен, утверждение выглядит вполне обоснованным и логически правильным.

Так называемая женская логика тоже относится к нарушениям нормального хода рассуждения, так как представляет собой сооружение цепочки мыслей, которые не связаны друг с другом, но при поверхностном рассмотрении связь может обнаруживаться.

Причины софизмов

К психологическим причинам софизмов относят интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости.

То есть более умному человеку достаточно завести своего оппонента в тупик, чтобы тот согласился с предложенной ему точкой зрения.

Подверженный аффективным реакциям человек может поддаться своим чувствам и пропустить софизмы. Примеры таких ситуаций встречаются везде, где есть эмоциональные люди.

Чем более убедительной будет речь человека, тем больше шанс, что окружающие не заметят ошибок в его словах. На это и рассчитывают многие из тех, кто пользуется такими приемами в споре. Но для полного понимания этих причин стоит разобрать их более подробно, так как софизмы и парадоксы в логике часто проходят мимо внимания неподготовленного человека.

Интеллектуальные и аффективные причины

Такого человека отличает больший объем внимания, умение искать ответ на неизвестные вопросы вместо следования заученным шаблонам, а также большой активный словарный запас, при помощи которого мысли выражаются наиболее точно.

Объем знаний тоже имеет немаловажное значение. Умелое применение такого вида нарушений, как софизмы в математике, недоступно малограмотному и не развивающемуся человеку.

К таковым относится боязнь последствий, из-за чего человек не способен уверенно высказать свою точку зрения и привести достойные аргументы. Говоря об эмоциональных слабостях человека, нельзя забывать о надежде найти в любой получаемой информации подтверждение своих взглядов на жизнь. Для гуманитария могут стать проблемой математические софизмы.

Волевые

Во время обсуждения точек зрения происходит воздействие не только на разум и чувства, но еще и на волю. Уверенный в себе и напористый человек с большим успехом отстоит свою точку зрения, даже если та была сформулирована с нарушением логики.

Особенно сильно такой прием действует на большие скопления людей, подверженных эффекту толпы и не замечающих софизм. Что это дает оратору? Возможность убедить практически в чем угодно. Еще одной особенностью поведения, позволяющей победить в споре при помощи софизма, является активность.

Чем более пассивен человек, тем больше шансов убедить его в своей правоте.

Вывод – эффективность софистских высказываний зависит от особенностей обоих людей, задействованных в разговоре. При этом эффекты всех рассмотренных качеств личности складываются и влияют на исход обсуждения проблемы.

Примеры нарушений логики
Софизмы, примеры которых будут рассмотрены ниже, сформулированы довольно давно и являются простыми нарушениями логики, использующимися лишь для тренировки умения спорить, так как увидеть несоответствия в этих фразах достаточно легко.
Итак, софизмы (примеры):

Полное и пустое – если две половины равны, то и две целые части тоже являются одинаковыми. В соответствии с этим – если полупустое и полуполное одинаково, значит, пустое равно полному.

Еще один пример: «Знаешь о чем хочу у тебя спросить?» — «Нет». – «А о том, что добродетель — это хорошее качество человека?» — «Знаю». – «Получается, что ты не знаешь то, что знаешь».

Лекарство, помогающее больному, это добро, а чем больше добра, тем лучше. То есть лекарств можно принимать как можно больше.

Очень известный софизм гласит: «У этой собаки есть дети, значит, она является отцом. Но так как она твоя собака, то значит, она твой отец. Кроме этого, если ты бьешь собаку, то ты бьешь отца. А еще являешься братом щенят».

Логические парадоксы

Софизмы и парадоксы – два разных понятия. Парадоксом называется суждение, которое может доказать, что суждение одновременно является как ложным, так и истинным. Это явление разделяется на 2 вида: апория и антиномия.

Первое подразумевает появление вывода, который противоречит опыту.

Примером служит парадокс, сформулированный Зеноном: быстроногий Ахиллес не в состоянии догнать черепаху, так как она при каждом последующем шаге будет отдаляться от него на некоторое расстояние, не давая ему догнать себя, ведь процесс деления отрезка пути бесконечен.

Антиномия же – это парадокс, предполагающий наличие двух взаимоисключающих суждений, которые одновременно истинны. Фраза «я лгу», может являться как истиной, так и ложью, но если это правда, то человек, произносящий ее, говорит истину и не считается лжецом, хотя фраза подразумевает обратное. Существуют интересные логические парадоксы и софизмы, часть которых будет описана ниже.

Логический парадокс «Крокодил»

У жительницы Египта крокодил выхватил ребенка, но, сжалившись над женщиной, после ее мольбы он выдвинул условия: если она угадает, вернет ли он ей ребенка или нет, то он, соответственно, отдаст или не отдаст его. После этих слов мать задумалась и сказала, что ребенка он ей не отдаст.

На это крокодил ответил: ребенка ты не получишь, ведь в случае, когда сказанное тобой правда, я не могу отдать тебе ребенка, так как если отдам, твои слова уже не будут истинными. А если это неправда – я не могу вернуть ребенка по уговору.

После чего мать оспорила его слова, говоря, что он в любом случае должен отдать ей ребенка. Слова обосновывались следующими доводами: если ответ был правдой, то по договору крокодил должен был вернуть отнятое, а в противном случае он также обязан отдать ребенка, ведь отказ будет означать, что слова матери справедливы, а это опять же обязывает вернуть малыша.

Логический парадокс «Миссионер»

Попав к людоедам, миссионер понял, что его скоро съедят, но при этом у него была возможность выбрать – сварят его или зажарят. Миссионер должен был произнести утверждение, и если оно окажется истинным, тогда его приготовят первым способом, а ложь приведет ко второму способу.

Сказав фразу, «вы зажарите меня», миссионер тем самым обрекает людоедов на неразрешимую ситуацию, в которой они не могут решить каким способом его приготовить. Зажарить его людоеды не могут – в этом случае он окажется прав и они обязаны сварить миссионера.

А если неправ – то зажарить, но и этого сделать не получится, так как тогда слова путешественника будут истинными.

Нарушения логики в математике

Обычно математические софизмы доказывают равенство неравных чисел или арифметических выражений. Один из самых простых образцов – сравнение пятерки и единицы. Если от 5 отнять 3, то получится 2. При вычитании 3 из 1 получается -2. При возведении обоих полученных чисел в квадрат получаем одинаковый результат. Таким образом, первоисточники этих операций равны, 5=1.

Рождаются математические задачи-софизмы чаще всего благодаря преобразованию исходных чисел (например – возведению в квадрат). В итоге получается, что результаты этих преобразований равны, из чего делается вывод о равенстве исходных данных.

Задачи с нарушенной логикой

Почему брусок остается в состоянии покоя, когда на нем стоит гиря весом в 1 кг? Ведь в данном случае на него действует сила тяжести, разве это не противоречит первому закону Ньютона? Следующая задача – натяжение нити.

Если закрепить гибкую нить одним концом, приложив ко второму силу F, то натяжение в каждом ее участке станет равным F. Но, так как она состоит из бесчисленного количества точек, то и сила, приложенная ко всему телу, будет равна бесконечно большому значению. Но согласно опыту, этого не может быть в принципе.

Математические софизмы, примеры с ответами и без можно найти в книге под авторством А.Г. и Д.А. Мадера.

Действие и противодействие. Если третий закон Ньютона справедлив, то какая бы сила ни была приложена к телу, противодействие будет удерживать его на месте и не даст сдвинуться.

Плоское зеркало меняет местами правую и левую сторону отображаемого в нем предмета, тогда почему верх и низ не изменяются?

Софизмы в геометрии

Умозаключения, имеющие название геометрические софизмы, обосновывают какой-либо неверный вывод, связанный с действиями над геометрическими фигурами или их анализом.

Типичный пример: спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое.

Получится следующее: b2 — ab — bc = ca + c2 — bc, или b (b — a — c) = — c (b — a — c). Откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b. То есть спичка и правда вдвое длиннее столба. Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a — c), которое равно нулю.

Такие задачи-софизмы обычно путают школьников или людей, далеких от математики.

Философия

Софизм как философское направление возник примерно во второй половине V века до н. э. Последователями этого течения были люди, относящие себя к мудрецам, так как термин «софист» означал «мудрец». Первым человеком, который себя так называл, был Протагор.

Он и его современники, придерживающиеся софистских взглядов, считали, что все субъективно. Согласно представлениям софистов, человек есть мера всех вещей, а это значит, что любое мнение истинно и никакая точка зрения не может считаться научной или правильной.

Это касалось и религиозных воззрений.

Примеры софизмов в философии: девушка — не человек. Если допустить, что девушка является человеком, то верно утверждение, что она молодой человек. Но так как молодой человек – это не девушка, то девушка — не человек. Наиболее известный софизм, который к тому же содержит долю юмора, звучит так: чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц.

Софизм Эватла

Человек по имени Эватл брал уроки софизма у известного мудреца Протагора. Условия были таковы: если ученик после получения навыков спора выиграет в судебном процессе, то заплатит за обучение, иначе оплаты не будет.

Подвох заключался в том, что после обучения ученик просто не стал участвовать ни в одном процессе и, таким образом, не был обязан платить.

Протагор пригрозил подачей жалобы в суд, говоря, что ученик заплатит в любом случае, вопрос лишь в том, будет ли это приговор суда или же ученик выиграет дело и обязан будет оплатить обучение.

Эватл не согласился, обосновав тем, что если его присудят к оплате, то по договору с Протагором, проиграв дело, платить он не обязан, но при победе согласно приговору суда он также не должен учителю деньги.

Софизм «приговор»

Примеры софизмов в философии дополняются «приговором», в котором говорится о том, что некого человека приговорили к смерти, но сообщили об одном правиле: казнь произойдет не сразу, а в течение недели, причем день казни не будет сообщен заранее.

Услышав это, приговоренный начал рассуждать, стараясь понять, в какой же день произойдет страшное для него событие. Согласно его соображениям, если казнь не произойдет до самого воскресенья, то уже в субботу он будет знать, что его казнят завтра – то есть правило, о котором ему сказали, уже нарушено.

Искл ючив воскресенье, приговоренный точно так же подумал и о субботе, ведь если он знает, что в воскресенье его не казнят, то при условии, что до пятницы казни не произойдет, суббота тоже исключается. Обдумав все это, он пришел к выводу, что его не могут казнить, так как правило будет нарушено.

Но в среду был удивлен, когда появился палач и сделал свое ужасное дело.

Притча о железной дороге

Примером такого вида нарушений логики, как экономические софизмы, является теория о постройке железной дороги из одного крупного города в другой. Особенностью этого пути служил разрыв на небольшой станции между двумя пунктами, которые соединяла дорога.

Этот разрыв, с экономической точки зрения, помог бы малым городам за счет привнесения денег проезжих людей. Но на пути двух больших городов существует не один населенный пункт, то есть разрывов в железной дороге, для извлечения максимальной прибыли, должно быть много.

Это означает построение железной дороги, которой на самом деле не существует.

Причина, препятствие

Софизмы, примеры которых рассмотрены Фредериком Бастиа, стали очень известны, а особенно нарушение логики «причина, препятствие». Первобытный человек не имел практически ничего и для того, чтобы что-то получить, ему приходилось преодолевать множество препятствий.

Даже простой пример с преодолением расстояния показывает, что индивиду будет очень сложно самостоятельно преодолеть все барьеры, встающие на пути любого одиночного путешественника. Но в современном обществе решением проблем преодоления препятствий занимаются специализированные на таком занятии люди.

Причем эти препятствия превратились для них в способ заработка, то есть обогащения.

Каждое новое созданное препятствие дает работу множеству людей, из этого следует, что препятствия должны быть, чтобы общество и каждый человек в отдельности обогащались. Так какой же вывод верен? Препятствие или его устранение является благом для человечества?

Аргументы в дискуссии

Доводы, приводимые людьми во время обсуждения, разделяются на объективные и некорректные. Первые направлены на разрешение проблемной ситуации и нахождение правильного ответа, в то время как вторые преследуют цель победить в споре и не более того.

Первым видом некорректных аргументов можно считать аргумент к личности того человека, с кем ведется спор, обращение внимания на его черты характера, особенности внешности, убеждения и прочее.

Благодаря такому подходу спорящий человек воздействует на эмоции собеседника, тем самым убивая в нем разумное начало.

Существуют также аргументы к авторитету, силе, выгоде, тщеславию, верности, невежеству и здравому смыслу.

Итак, софизм – что это? Прием, помогающий в споре, или бессмысленные рассуждения, не дающие никакого ответа и потому не имеющие ценности? И то,и другое.

Источник: https://4u-pro.ru/obrazovanie/sofizm-chto-eto-primeri-sofizmov

Софизм

TR | UK | KK | BE | EN | софизм гэж юу вэ, софизм
Софи́зм (от греч.

σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Это отличает его от паралогизма и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выводу.

1 История
2 Классификация ошибок
- 2.1 Логические
- 2.2 Терминологические
- 2.3 Психологические
  - 2.3.1 Интеллектуальные причины
  - 2.3.2 Аффективные причины
  - 2.3.3 Волевые причины
3 Способ нахождения ошибки в софизме
4 Примеры софизмов
- 4.1 Глаза
- 4.2 Полупустое и полуполное
- 4.3 Чётное и нечётное
- 4.4 Не знаешь то, что знаешь
- 4.5 Лекарства
- 4.6 Вор
- 4.7 Рогатый
- 4.8 2=3
5 Литература
6 См. также
7 Примечания

История

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа.

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий и пр.

, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах (Последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных формулах»).

Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки.

Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически.

Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель сформулировал логику.

А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни» не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни — это её часть, где — число прожитых вами лет. Но . Следовательно, ».

Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора о том, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма Эватла»).

С этой же идеей обычно связывают и «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины. Уже Платон заметил, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе придётся признать законность противоречий (что, между прочим, и утверждали софисты), а поэтому любые суждения считать обоснованными.

Эта мысль Платона была развита в аристотелевском «принципе непротиворечия» (см. Логический закон) и, уже в современной логике, — в истолкованиях и требовании доказательств «абсолютной» непротиворечивости.

Перенесённая из области чистой логики в область «фактических истин», она породила особый «стиль мышления», игнорирующий диалектику «интервальных ситуаций», то есть таких ситуаций, в которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам её познания, оказывается весьма существенным.

Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам и в остальном безупречные, квалифицируются как софизмы, хотя по существу они только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Так, софизм «куча» («Одно зерно — не куча. Если зёрен не куча, то зерно — тоже не куча.

Следовательно, любое число зёрен — не куча») — это лишь один из «парадоксов транзитивности», возникающих в ситуации «неразличимости».

Последняя служит типичным примером интервальной ситуации, в которой свойство транзитивности равенства при переходе от одного «интервала неразличимости» к другому, вообще говоря, не сохраняется, и поэтому принцип математической индукции в таких ситуациях неприменим.

Стремление усматривать в этом свойственное опыту «нетерпимое противоречие», которое математическая мысль «преодолевает» в абстрактном понятии числового континуума (А. Пуанкаре), не обосновывается, однако, общим доказательством устранимости подобного рода ситуаций в сфере математического мышления и опыта.

Достаточно сказать, что описание и практика применения столь важных в этой сфере «законов тождества» (равенства) так же, вообще говоря, как и в эмпирических науках, зависит от того, какой смысл вкладывают в выражение «один и тот же объект», какими средствами или критериями отождествления при этом пользуются. Другими словами, идёт ли речь о математических объектах или, к примеру, об объектах квантовой механики, ответы на вопрос о тождестве неустранимым образом связаны с интервальными ситуациями. При этом далеко не всегда тому или иному решению этого вопроса «внутри» интервала неразличимости можно противопоставить решение «над этим интервалом», то есть заменить абстракцию неразличимости абстракцией отождествления. А только в этом последнем случае и можно говорить о «преодолении» противоречия.

По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона.

Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах. Сочинение «Софизмы» (в двух книгах) написал ученик Аристотеля Феофраст (D.L. V. 45). В средние века в Западной Европе составлялись целые коллекции софизмов.

Например, собрание, приписываемое английскому философу и логику XIII века Ричарду Софисту, насчитывает свыше трехсот софизмов. Некоторые из них напоминают высказывания представителей древнекитайской школы имён (мин цзя).

Классификация ошибок

Логические

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
Вывод с отрицательной меньшей посылкой в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые вещества, бронза — металл: бронза — простое вещество» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются

в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое quaternio terminorum предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:
1. Ошибка омонимии (equivocation). Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.
2. Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. «Все углы треугольника » в том смысле, что «каждый угол ».
3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника » в смысле «сумма углов треугольника ».
4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. ) или 14 (т.е. ).

В устную речь математиками введены такие слова как «сумма», «произведение», «разность». Так — это сумма произведения два на два и пятерки, а — удвоенная сумма двух и пяти.

Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:
1. Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно материализм — безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.
2. Ignoratio elenchi заключается в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом.
3. A dicto secundum ad dictum simpliciter подменяет утверждение, сказанное с оговоркой, на утверждение, не сопровождаемое этой оговоркой.
4. Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Психологические

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими.

Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон.

Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софистике, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т. п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через , вторые соответствующие им положительные через .

Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через , а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через . Argumentum ad hominem, вводящий в спор личные счёты, и argumentum ad populum, влияющий на аффекты толпы, представляют типичные софизмы с преобладанием аффективного элемента.

Волевые причины

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика и т. п.

() действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность () слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: .

Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой составляет показатель силы диалектика, есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей «Эристике» (перев. кн. Д. Н. Цертелева).

Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой; поэтому софизм, представляющий, например, с логической точки зрения quaternio ter.

Способ нахождения ошибки в софизме

Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки. Все привыкли, что задания, предполагаемые в различной литературе, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Установите области знаний (темы), которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них.
Выясните, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускается. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».
Проверяйте результаты преобразования обратным действием.
Часто следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.

Примеры софизмов

Список примеров в этой статье или её разделе не основывается на авторитетных источниках непосредственно о предмете статьи или её разделе.
Добавьте ссылки на источники, предметом рассмотрения которых является тема настоящей статьи (раздела) в целом, и содержащие данные элементы списка как примеры. В противном случае раздел может быть удалён.

Глаза

Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза. Ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения.

Полупустое и полуполное

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.

Чётное и нечётное

5 есть («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и , значит, оба числа нечётные.

Не знаешь то, что знаешь

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.

— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Лекарства

Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

Вор

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

Рогатый

Есть ли у тебя то, что ты не терял? Конечно есть. Ты рога не терял, значит они у тебя есть

2=3

10-10=0
15-15=0

Источник: https://www.turkaramamotoru.com/ru/-22115.html

Что такое софизмы и их примерыAllowwonder

Логические ошибки с нарушением правильности мышления могут быть разделены на два вида — паралогизмы и софизмы. Примеры софизмов, которые не всегда легко понять — ниже.

Что такое паралогизмы и софизмы?

Оба термина означают ошибку в логике, однако первый термин подразумевает непреднамеренную погрешность. Софизм же — преднамеренное нарушение требований логики, интеллектуальное мошенничество, попытка выдать истину за ложь.

Термин «софизм» в переводе с греческого значит «хитрость». Изначально в Древней Греции софистами называли ремесленников, достигших мастерства в своем деле.

Позже кличка перекочевала к профессиональным философам-мыслителям, только позже она приобрела нарицательное значение для тех, кто хитро обманывает слушателей.

Как видите, философов в Древней Греции воспринимали весьма скептично.

Знаменитые софисты и их софизмы

Протагор

Первый, кто называл себя софистом и публично выступал в качестве учителя добродетели, был, согласно Платону, Протагор. Из его произведений сохранились лишь немногие отрывки. Наиболее знаменательным из отрывков стал его задокументированный спор с Еватлом. Этот спор и считают одним из первых софизмов, который очень по душе лично мне:

Еватл был учеником Протагора. По заключённому между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Но, закончив обучение, он не стал участвовать в процессах, это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд.

Своё требование Протагор обосновал так: – Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой судебный процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то решение суда будет в мою пользу, и заплатить нужно будет согласно этому решению.

Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

– Действительно, я либо выиграю судебный процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

Горгий был одним из первых ораторов нового типа — не только практиком, но и теоретиком красноречия, за плату обучавшим юношей из богатых семей говорить и логически мыслить. Такие учителя назывались «специалистами по мудрости», то есть софистами.

Горгий утверждал, что он учит не добродетели и мудрости, а только ораторскому искусству. Отходя от темы у него есть замечательный совет по ведению спор:

Серьёзные доводы противника опровергай шуткой, шутки — серьёзностью

Также к софистам можно отнести Гиппия, Крития, Антифона и многих других эллинов.

Примеры и виды софизмов

Все софизмы можно разделить на:

логические
терминологические
психологические
математические (алгебраические, геометрические).

Рассмотрим все типы. Наиболее обширным и увлекательным типом являются логические софизмы.

Одна из самых распространенных логических ошибок , которой пользуются софисты quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые вещества, бронза — металл: бронза — простое вещество» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов).

Вот еще пару примеров: Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное «Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет».

— «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь». Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше.

Значит, лекарств нужно принимать как можно больше

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего

Синдром Стендаля

Имой любимый софизм, который сломал мне голову еще лет 5 назад:

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди

Математические софизмы 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные

Я не приводила примеры других математических софизмов, вы можете ознакомиться с ними, однако каждый из них потребует уже подсчетов.

Терминологические

Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно материализм — безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.
Ignoratio elenchi заключается в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом.
A dicto secundum ad dictum simpliciter подменяет утверждение, сказанное с оговоркой, на утверждение, не сопровождаемое этой оговоркой.
Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Психологические софизмы

Как раскусить софизм?

Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки. Все привыкли, что задания, предлагаемые в различной литературе, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Установите области знаний (темы), которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них.
Выясните, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускается. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».
Проверяйте результаты преобразования обратным действием.
Часто следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.

Источник: https://allowwonder.com/sofizmy/

Что такое софизм?

Слово «софизм» считается многозначным. В общем смысле под ним подразумевается рассуждение, которое на первый взгляд кажется истинным, однако на самом деле содержащее логическую ошибку. В некотором роде это попытка введения в заблуждение другого человека путем выдачи лжи за правду.

Одним из ярчайших примеров софизма, известных всем, называется «Рогатый». Он звучит следующим образом: «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял, значит, у тебя – рога».

Как видно из приведенного высказывания софизм, строится на преднамеренном и специальном нарушении какого-либо правила логики. Именно этим он отличается от других ошибок: паралогизма или апории.

В них нарушение если и происходит, то случается неумышленно.

Понятие софизма

Итак, софизм – это рассуждение, которое используется для обоснования какой-либо абсурдной посылки или утверждения, содержащего противоречие общепринятому представлению.

Приведем яркий пример из области математики: если 5=2+3, при этом 2 – четное, а 3 – нечетное, то результат их суммы (5) будет одновременно четным и нечетным.

Данный софизм приводится знаменитым философом Древней Греции – Аристотелем.

Софистика

С момента появления понятия «софизм» оно связывалось с мыслью о преднамеренной фальсификации. Это обосновывалось мнением известного философа Протагора. Он считал задачей софиста – преподнести худший аргумента как лучший, используя уловки в речи. То есть заботиться нужно не о достижении истины, а об успехе.

Важно – выиграть в дискуссии, споре, судебном процессе, а не установить правдивость тезиса. Именно с этим связано и известное мнение Протагора о том, что мерилом истины является мнение человека.

Впоследствии Платон опроверг данную мысль, поскольку считал, что нельзя умозаключения строить на субъективизме, иначе придется считать правдивым любые высказывания людей.

В качестве прием софизм был введен группой древнегреческих мыслителей, называвших себя софистами. Они обучали обеспеченную молодежь риторике, ораторскому мастерству и искусству спора. Таким образом осуществлялась подготовка к дальнейшей политической или иной карьере.

В прямом смысле софистов сложно назвать философами, поскольку какими-либо научными исследованиями и рассуждениями они не занимались. Их целью был поиск методики, направленной на решение практических задач.

При этом именно они первыми обратили внимание на различие в законах природы и культуры, отмечая, что последнюю создают сами люди: искусственным путем. В силу приведенного тезиса сами законы оказываются релятивными, или относительными, поскольку то, что придумал какой-то человек, не может быть объективным по определению.

Из-за этого человек и становится мерилом всех вещей, как сказал Протагор. Данный философ также активно отрицал возможность определения и достижения истины. Прежде всего, поскольку отсутствует единый критерий познания окружающих вещей и явлений.

Все люди делают это по-разному, душа одного человека видит мир абсолютно по-другому. Таким образом, человек как мера самостоятельно определяет, что для него добро, а что – зло, где правда, а где ложь.

Из вышесказанного вытекает, что любое умозаключение или любой тезис может быть истинным в той или иной ситуации. Поэтому стоит упомянуть еще об одной мысли Протагора: все по-своему верно и правдиво. В нашем мире нет и не может быть единой абсолютной истины, а также четко определенных, признанных всеми моральных ценностей.

Софистов очень часто обвиняли в субъективном подходе и релятивизме (принцип относительности). Другие философы в большинстве случаев отзывались о них пренебрежительно. Например, Аристотель считал софизм не обучением, а «натаскиванием», то есть его целью не был научный поиск истины, а просто победа в споре любыми методами, поэтому философ называл его «мнимой мудростью».

Как обнаружить софизм

Чтобы найти софизм в задаче, требует соблюдать определенные правила и рекомендации:

внимательно читать условие. Иногда софизм образуется за счет того, что в исходных данных допущена ошибка. Они могут быть противоречивыми, неполными. Кроме того, исходная посылка также порой содержит ложное высказывание. В основном, люди привыкли, что если результат получается неверным, то проблема в ходе рассуждения. Порой же следует еще раз внимательно перечитать условие задачи, возможно, ошибка кроется там;
определите, какие теоремы, формулы или правила применяются в данной ситуации. После этого нужно выяснить, все ли они верны, соблюдается ли логика. Зачастую человек запоминает формулировки не слишком точно, обращая внимание только на основные фразы и предложения. При этом могут быть упущены важные, значительные детали, без которых суть теоремы теряется, что, в свою очередь, приводит к неправильному решению задачи;
иногда рекомендуется разбивать большое задание на небольшие блоки, после чего следует проверить каждый из них. Важно определить соблюдается ли истинность всех посылок, а также логичность суждений.

Причины появления софизмов в рассуждении

Выделяется несколько групп причин, по которым в споре человек начинает использовать силлогизм. Это интеллектуальные, аффективные и волевые. Рассмотрим каждую из них подробнее.

Интеллектуальные

Данные причины напрямую связаны с умом обеих сторон спора. Более интеллектуально развитый человек может использовать софизм, если точно знает, что:

у его оппонента не хватает знаний в сфере дискуссии;
если противник ленится думать, не улавливает ход спора, а также не контролирует его.

Аффективные

В данную категорию входят ситуации, когда «софист» не хочет пользоваться своим умом или ему просто не хватает интеллекта. Поэтому он просто прибегает не к научным понятиям, а к чувствам и эмоциям.

Желающий добиться успеха софист обязан хорошо разбираться в психологии, а также искусно находить «больные места» соперника. Таким образом, в душе противника пробуждаются яркие чувства, что затмевает мышление и не дает делать логические умозаключение.

Кроме того, нахлынувшие эмоции зачастую мешают думать вообще.

Сюда же будут относиться споры, в которых противник уходит от дискуссии, и занимается сведением личных счетов.

Волевые

Когда стороны обмениваются мнениями по какому-либо поводу, они воздействуют не только на эмоции и чувства собеседника, но и на его волю, поскольку любая аргументация связана с наличием элемента внушения. Оно находит выражение в мимике, тоне, которые не терпит возражения и т.д. Однако не каждый противник поддается такому, это действует чаще всего на пассивных и легко поддающихся постороннему влиянию.

Софизм в споре

Зачастую подобный прием используется при аргументации своей позиции. Еще раз рекомендуется обратить внимание, что простая ошибка и софизм различны только в психологическом плане.

Рассмотрим пример. Если кто-либо в споре отступает от заявленного в начале дискуссии тезиса, но не замечает этого – это ошибка. В ситуации, когда человек преднамеренно уходит от исходной посылки, надеясь, что оппонент не увидит или не поймет, – это уже будет софизмом.

Примеры софизмов в дискуссии

Для наглядности рассмотрим, какими бывают софизмы?

Неопределенности. Это случается, когда доказывающий говорит так, чтобы его невозможно было понять, отвечая на конкретно поставленный вопрос неоднозначно. Из слов человека не получается понять значение и смысл.
Отступлением от тезиса. Иногда это происходит, если противник начинает разбирать и доказывать не истинность или ложность исходной посылки, а аргументацию своего оппонента. Можно увидеть подобную ситуацию в суде, когда адвокат разбивает все доказательства вины подсудимого, приведенные прокурором, после чего делает вывод, звучащий, как «подсудимый невиновен». Хотя при этом правильным умозаключением было бы: «вина не доказана».
Подмена пункта разногласия. Такой софизм случается, если противник не опровергает исходную мысль в целом, а выступает против лишь некоторых ее частностей. А когда он доказывает их ложность, делает вывод, что весь тезис также неправдив. Приведем пример. В статье указано, что мэр города Н. выслал из города гражданина Лимонова. После этого выходит опровержение главы поселения: «В городе Н. нет и не было людей с фамилией Лимонов». То есть в личных данных высланного была допущена ошибка. Мэр воспользовался этим и оставил без ответа сообщение в целом, опровергнув лишь его часть. Таким образом, произошла ошибка, в которой существенный момент разногласия подменили неважным и незначительным.

Софизмы зачастую настолько неоднозначны, что подкупают человека своей внешней убедительностью. Однако при ближайшем рассмотрении можно распознать и выявить логические ошибки и ложные элементы.

Итак, софизмом называется рассуждение, которым умышленно обосновывается изначально нелепый, бессмысленный тезис. Теоретический анализ их был проведен Платоном через его «Диалоги».

Однако систематическое рассмотрение, основанное на силлогизме и подобных умозаключениях, провел Аристотель.

Софизм получил свое название благодаря группе древнегреческих мыслителей, которые прививали молодым людям искусство спора, а именно учили доказывать любой тезис, не заботясь о его истинности. Важно было лишь выйти победителем из дискуссии.

Софизмы активно используются и в наше время, а его основной задачей является манипуляция общественным сознанием. Сейчас это активно применяется специалистами по пиару, политиками во время предвыборных кампаний и адвокатами на судебных заседаниях. Таким образом, под софизмом понимается преднамеренный обман, основанный чаще всего на нарушении правил логики.

Источник: https://GreeceMagazine.ru/sofizm/

Софизмы в математике

Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа
№18»
Конкурс
реферативных работ «Макеевские чтения» 2016
Софизмы в математике
Шеметова Анастасия,
Глазунова
Екатерина,9 класс,
Научный руководитель: Лукьянова Ольга Георгиевна, учитель математики.
Миасс, 2016
Введение. 3

I. Софизм и история его
возникновения. 4

1.1. Софизм и софистика. 4

1.2. Экскурс в историю.. 4

II. Математические софизмы
и их классификация. 6

2.1. Софизмы и типичные ошибки в них. 6

2.2. Математические софизмы.. 6

2.3. Шесть основных ошибок в математических софизмах. 8

2.4. Логические софизмы.. 8

2.5. Источники софизмов. 9

Заключение. 9

Список литературы.. 10

Приложения

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми
мелкими ошибками.

И. Ньютон

У ученых есть такое
свойство — поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже
несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса
изобретательности и изворотливости.

И одним из средств не только учёных, но и
любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является
«софизм».

Нас заинтересовал факт глубокой древности зарождения софизмов и
популярности их у ученых.

Актуальность: наверное,
каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» или «Два
равно трем».

Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь
логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные
им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы.

Математический софизм
– удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а
подчас и довольно тонкие ошибки.

Поэтому нам представляется актуальным изучение ошибок в софизмах, потому что их
понимание ведёт к пониманию математике в целом, помогает развивать логику и
навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее
осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших
математических рассуждениях.

Цель: изучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся в процессе изучения
математики, их причин и способов предупреждения на примере математических
софизмов.
Задачи:
1.
изучить понятие софизма и
историю его возникновения;
2.
рассмотреть виды софизмов и
дать классификацию их ошибок;

3.
составить сборник разбора
задач на софизмы по различным разделам математики для 6 — 9 классов.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно и
систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на
примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической
подготовки учащихся.

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка
или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным
элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.
Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм —
преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное
суждение за истинное.

Во второй половине V века до н.э. в Греции появились
софисты. Софистами называли группу древнегреческих философов достигших большого
искусства в логике. Они появились во время становления демократии в Афинах и на
подвластных Афинам территориях.

Софисты — это мудрецы, но мудрецы особого рода.
Этих мудрецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными
«учителями мудрости».

Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою
предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собрании, а также
для того, чтобы выиграть судебное дело.

В Греции софистами называли и простых
ораторов — философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников
«мыслить, говорить и делать». Одним из
представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть
гражданское искусство» (Приложение 1. рис. 1).

Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен, и поэтому не в
состоянии отличить ложь от истины.

В результате словесного поединка противник
должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя
истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и обсуждаются более
двух тысячелетий.

Они существовали задолго до философов-софистов, а наиболее
известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием
Сократа философских школах (Приложение 1. рис.2).

Термин «софизм» впервые
ввел Аристотель (Приложение 1. рис.3), охарактеризовавший софистику как мнимую,
а не действительную мудрость.

К софизмам им были отнесены и «апории Зенона»,
направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно
софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах.

Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись
скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

Аристотель называл
софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся
и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью
логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их
«логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием,
например, «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий.

Современный
софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием,
существует в многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, — специалисты
по пиару.

Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных
политических деятелей. В обычном и распространенном понимании софизм — это
умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и
завуалированный.

Цель софизма – выдать ложь за истину.

В
нашей работе мы рассматриваем математические софизмы.

Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве
которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики
полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило
толчком к новым открытиям.

Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться
вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи
чертежей, за законностью математических операций.

Поиск и нахождение ошибок в
софизме способствует пониманию математики в целом и развивает логическое
мышление.

К
типичным ошибкам в софизмах относятся:
ª запрещенные
действия;
ª пренебрежение
условиями теорем, формул и правил;
ª ошибочный
чертеж;
ª опора
на ошибочные умозаключения.

Нередко,
ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный
математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и
философии в софизмах.

Математические
софизмы делятся на:

1.
Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие
неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пример:
« Дважды два — пять!».

Возьмем в качестве
исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения
за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:
4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения
4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.

Ошибка:
Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).

2. Алгебраические софизмы — намеренно скрытые
ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Алгебра
—
один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и
геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры
отличаются от других отраслей математики.

Приёмы эти заключаются
обычно в составлении и решении уравнений.
Пример:
Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное
значение.
Этот софизм основан на
очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в
n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».
Напишем следующие
равенства:

и
; т.е.
.

Другими словами, если в
левой части равенства + a > — a, то и в правой части равенства должно
соблюдаться то же соотношение.

Т.е. – a > + a.

Ошибка:
Чтобы получить из равенства +a>-a равенство –a>+a, нужно первое равенство
умножить на -1, но при это нужно сменить знак неравенства (–a

Источник: http://olgag1404.blogspot.com/2016/12/blog-post_31.html

Источник

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

» Средняя общеобразовательная школа №42″

«Софизмы и их роль в математике»

(научно-исследовательская работа)

Выполнил: ученик 9«Б» класса

Кропотов Андрей

Руководитель: Минаева Л. А.

учитель математики

Пермь 2015

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

Немного из истории софизма
Софизм – что это такое?
Математический софизм

3.1.Арифметические

3.2.Алгебраические

3.3.Логические

3.4.Софизмы в геометрии

Классификация ошибок
Математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

3. Практическая часть

Сборник задач

5.Исследовательская работа

Приложение

4. Заключение

5. Список используемой литературы

Введение

Мы очень любим решать задачи и разгадывать математические ребусы, но в математике есть задачи, которые не похожи на другие, они как будто бы правильные, но в то же время неправильные.

У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости. И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Я посчитал эту тему интересной и актуальной, так как софизмы развивают мышление и логику. Софизмы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках о них упоминается вскользь. Однако я решил все-таки поближе познакомиться с софизмами.

Софизмы имеют прямое отношение к математике, с помощью которых можно опровергнуть практически все теоремы и понятные любому, не требующие объяснения, гипотезы, доказав обратное.

Во-первых, считается, что именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

Во-вторых, разбор софизмов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

В-третьих, это просто увлекательно.

Целью моей работы является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, доказательство того, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли.

Я поставил перед собой задачи:

Узнать:

что же такое софизм?
важность математических софизмов для изучения математики.
как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?
критерии классификации софизмов.

2. Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-9 классов.

Основная часть

1. Немного из истории софизма

История появления термина «софизм» была замечена еще в древности. Один из отцов философии — Аристотель называл это явление мнимыми доказательствами, которые появляются из-за недостатка логического анализа, что приводит к субъективности всего суждения. Убедительность доводов является всего лишь маскировкой для логической ошибки, которая в каждом софистском утверждении, бесспорно, есть.

Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.

Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов (Древняя Греция, V—IV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. В Древней Греции «софисты» (от греческого слова «sofos», означающего мудрость) – мыслители, люди, авторитетные в различных вопросах. Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.

Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

2.Софизм – что это такое?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть пример древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога? Значит, у тебя есть рога». Здесь есть упущение. Если первую фразу видоизменить: «Имеешь все, что не терял», тогда вывод становится верным, но довольно неинтересным. Одним из правил первых софистов было утверждение о том, что необходимо наихудший аргумент представить как лучший, а целью спора являлась только победа в нем, а не поиск истины.

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.

Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

Софизм — это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим.

Софизмы строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их (ошибки) допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

3.Математический софизм

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Обычно, математические софизмы доказывают равенство неравных чисел или арифметических выражений. Один из самых простых образцов – это сравнение пятерки и единицы. Если от 5 отнять 3, то получится 2. При вычитании 3 из 1 получается -2. При возведении обоих полученных чисел в квадрат. получаем одинаковый результат. Таким образом, первоисточники этих операций равны, 5=1.

Рождаются математические задачи-софизмы чаще всего, благодаря преобразованию исходных чисел (например – возведению в квадрат). В итоге, получается, что результаты этих преобразований равны, из чего делается вывод о равенстве исходных данных.

Распределим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление, и проверим, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.

3.1.Арифметические

Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.

Пример. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).

2.2. Алгебраические

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример1. 5 = 6.

Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

Пример 2. Один рубль не равен ста копейкам

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

(Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

Пример3. «Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

а и – а

–с с

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

а = –а

– с с

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

Пример4. «Всякое положительное число является отрицательным»

Пусть п — положительное число.

Очевидно, 2п-1<2п. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и умножим обе части неравенства на ( – а): – 2ап + а< – 2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину ( – 2ап),

получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число является отрицательным.

(Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.)

3.3. Логические

Софизмы, примеры которых будут рассмотрены ниже, сформулированы довольно давно и являются простыми нарушениями логики, использующимися лишь для тренировки умения спорить, так как увидеть несоответствия в этих фразах достаточно легко.

Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят, как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

В софизмах есть смутное предвосхищение многих конкретных законов логики, открытых гораздо позднее. Особенно часто обыгрывается в них тема недопустимости противоречий в мышлении.

— Скажи, — обращается софист к молодому любителю споров, — может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?
— Очевидно, нет.
— Посмотрим. Мед сладкий?
— Да.
— И желтый тоже?
— Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?
— Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый — это сладкий или нет?
— Конечно, нет. Желтый — это желтый, а не сладкий.
— Значит, желтый — это не сладкий?
— Конечно.
— О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

Конечно, софисту не удалось доказать, что мед имеет противоречащие друг другу свойства, являясь сладким и несладким вместе. Подобные утверждения невозможно доказать: они несовместимы с логическим законом противоречия, говорящим, что высказывание и его отрицание (“мед сладкий” и “мед не является сладким”) не могут быть истинными одновременно.

И вряд ли софист всерьез стремится опровергнуть данный закон. Он только делает вид, что нападает на него, ведь он упрекает собеседника, что тот путается и противоречит себе. Такая попытка оспорить закон противоречия выглядит скорее защитой его. Ясной формулировки закона здесь, разумеется, нет, речь идет только о приложении его к частному случаю.

Примеры нарушений логики

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. — круглые. Значит все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин — планета?

Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Куча

Одна песчинка ,не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка — тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может — значит, он не всемогущий. Если может — значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив «все течет», пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

Софизм учебы

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

3.4. Софизмы в геометрии

Пример: спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое.

Длину спички будет обозначать а, длину столба – б. Разность между этими величинами – c. получается, что b — a = c, b = a + c. Если данные выражения перемножить, получится следующее: b2 — ab = ca + c2. При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую bc. Получится следующее: b2 — ab — bc = ca + c2 — bc, или b (b — a — c) = — c (b — a — c). Откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b. То есть спичка и правда вдвое длиннее столба. Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a — c), которое равно нулю. Такие задачи-софизмы обычно путают школьников или людей, далеких от математики

4. Классификация ошибок

1. Логические

Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

2. Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются:в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Наиболее характерные:
Ошибка гомонимия (aequivocatio). например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника >2 π в том смысле, что сумма <2 π.
Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = 2 π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».
Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (= (2*2)+5)) или 14 (= 2 * (2+5)).

3.Психологические

К психологическим причинам софизмов относят интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости . То есть более умному человеку достаточно завести своего оппонента в тупик, чтобы тот согласился с предложенной ему точкой зрения. Подверженный аффективным реакциям человек может поддаться своим чувствам и пропустить софизмы. Примеры таких ситуаций встречаются везде, где есть эмоциональные люди. Чем более убедительной будет речь человека, тем больше шанс, что окружающие не заметят ошибок в его словах. На это и рассчитывают многие из тех, кто пользуется такими приемами в споре.

Психологические причины софизма бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

а) Интеллектуальные причины

Развитая интеллектуальная личность имеет возможность следить не только за своей речью, но еще и за каждым аргументом собеседника, обращая при этом свое внимание на аргументы, приводимые собеседником. Такого человека отличает больший объем внимания, умение искать ответ на неизвестные вопросы вместо следования заученным шаблонам, а также большой активный словарный запас, при помощи которого мысли выражаются наиболее точно.

Объем знаний тоже имеет немаловажное значение. Умелое применение такого вида нарушений, как софизмы в математике, недоступно малограмотному и не развивающемуся человеку.

К таковым относится боязнь последствий, из-за чего человек не способен уверенно высказать свою точку зрения и привести достойные аргументы. Говоря об эмоциональных слабостях человека, нельзя забывать о надежде, найти в любой получаемой информации подтверждение своих взглядов на жизнь. Для гуманитария могут стать проблемой математические софизмы.

б) Аффективные причины

в) Волевые причины

Во время обсуждения точек зрения происходит воздействие не только на разум и чувства, но еще и на волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть волевой элемент — элемент внушения. Уверенный в себе и напористый человек с большим успехом отстоит свою точку зрения, даже если та была сформулирована с нарушением логики. Особенно сильно такой прием действует на большие скопления людей, подверженных эффекту толпы и не замечающих софизм. Что это дает оратору? Возможность убедить практически в чем угодно. Еще одной особенностью поведения, позволяющей победить в споре при помощи софизма, является активность. Чем более пассивен человек, тем больше шансов убедить его в своей правоте.

а — отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием).
b — положительные качества лица (способность активно мыслить)
с — аффективный элемент в душе искусного диалектика
d — качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
е — категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
f — пассивность слушателя

5.Математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

Итак, что появилось, благодаря софистам? Абстрагирующая деятельность, объектом которой стал язык. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения, неосознанно отрабатывались первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика. Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.

Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной». Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики. Поясним, что аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств. Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом. Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата принесли немало пользы.

Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывают, что математика – это живая наука.

Понятно, что, отыскивая ошибку в «доказательстве» утверждения, что половина равна целому, мы не обязательно откроем новое направление в математике, но задуматься над законами логики и языка ведь тоже полезно?

Значит, софизмы все-таки внесли свой вклад в развитие математики.

Практическая часть

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», — писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль. Многим ученикам школьная математика кажется слишком сложной и скучной наукой. Но издавна существуют и используются на уроках занимательные задачи, так называемые «задачи-шутки». Результаты проведенного опроса свидетельствуют, что ребятам очень нравится решать примеры на восстановление стертых цифр, на отыскание ошибок, допущенных при решении или доказательстве. Недосказанное условие задачи, недописанная фраза, незаконченное решение стимулируют активность учащихся на уроке.

Но ведь эти задачи решаются не только ради развлечения на уроке. Учителя предлагают их, чтобы глубже проникнуть в суть правила, лучше его запомнить.

Часто ученик действует по образцу, по накатанной схеме для данного типа задач. Это приводит к снижению внимания, притуплению бдительности, а, следовательно, увеличивает вероятность ошибки. В математике издавна существует способ формирования интеллектуальной бдительности. И средство это – софизм.

Рассуждения, содержащие нарочито скрытые ошибки, широко распространены и могут служить учебным, тренировочным материалом в формировании способности правильно мыслить и понимать задачу. Математический софизм — своего рода прививка от бездумного и некритического потребления информации. Решение или разоблачение софизма дает опыт соответствующей деятельности в житейской ситуации и формирует алгоритм соответствующего поведения. И в этом своем предназначении софизмы важны не только для математики.

Анализ действующих учебников по математике показал, что задания на софизмы в них практически отсутствуют. Заданий на нахождение ошибок в решении задач нет совсем, а задачи на восстановление стертых цифр имеются только в учебниках 5 и 6 классов , да и то в небольшом количестве. Поэтому я решил составить сборник задач по алгебре на софизмы для 6-9 классов, в котором подборка задач по каждому классу отдельно будет интересна учащимся и удобна учителям для использования на уроках и дополнительных занятиях.

Выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в математических софизмах:

деление на 0;
неправильные выводы из равенства дробей;
неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
нарушения правил действия с именованными величинами;
путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
неравносильный переход от одного неравенства к другому;
выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

Сборник задач

Алгебра

6 класс

№1. 5 = 6.

Решение:

Запишем равенство: 35 + 10 — 45 = 42 + 12 — 54

Вынесем за скобку общие множители:

5∙(7 + 2 — 9) = 6∙(7 + 2 — 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки):

5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).

Значит, 5=6.

№2. Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.

Решение:

Этот софизм основан на очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

и ; т.е. .

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. Другими словами, если в левой части равенства +a > — a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение.

В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного: –a > +a.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

№3. Один рубль не равен ста копейкам.

Решение:

1р=100коп.

10р=1000коп.

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует:

1р=10000коп., т.е. 1р.100коп.

7 класс

№4. Все числа равны между собой.

Решение:

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество: а -2ab+b = b -2ab+ а.

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать (а-b)2 = (b-а)2. (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим: a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно a=b.

№5.1. Всякое число равно своему удвоенному значению

Решение:

Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 — a2 = a2 — a2,

Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a — a). Разделив обе части на a — a, получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

№5.2. Любое число равно своей половине.

Решение:

Имеется тождество: a2-a2=a2-a2, где a – какое угодно число.

Вынесем в левой части a за скобку, а правую разложим на множители по формуле разности квадратов: a(a – a)=(a + a)(a – a).

Разделим обе части на (a – a), тогда a=a+a, или a=2a.

Разделим на 2 и получим .

№5.3. Любое число равно своей половине.

Решение:

Предположим, что a = b.

Умножим обе части неравенства на a и получим: .

Вычтем из обеих частей: .

Разложим на множители: .

Разделим левую и правую части на : .

Так как a = b, то: .

Разделим обе части выражения на 2:

№6. Неравные числа равны.

Решение:

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2— аb — ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-Ь-с), получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.

№7. Единица равна нулю.

Решение:

Возьмем уравнение х-а = 0. (1)

Разделив обе его части на х-а, получим , откуда получаем требуемое равенство1=0.

№8. Единица равна минус единице.

Решение:

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим (х+1)(х-1) = 0. (1)

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем х + 1 = 0 и х = -1. (2)

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству 1 = -1.

№9. Если одно число больше другого, то эти числа равны.

Решение:

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.. Сложив почленно равенства та + mb + тс = md и , nd = na + nb + nc, получим ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md.. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,а вынося слева число т, а справа число п за скобки, придем к соотношению т(а+b+с-d) = п(а+b+с-d),

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что m= n.

№10. Все натуральные числа, большие единицы, равны между собой.

Решение:

Рассмотрим известные алгебраические формулы x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем хп —1 = (х — 1)(хп-1 + хп—2 + … + x2 + x + l).

Разделив обе части этих формул на х-1, получим ;

При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение , поэтому должны быть равны и их правые части, откуда получаем, что

2 = 3 = ••• = n.

№11. .

Решение:

Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

8 класс

№12. 7 = 13.

Решение:

Дано уравнение: ;

Преобразуем следующим образом

Следовательно, 7 = 13.

№13. Все числа равны между собой.

Решение:

Возьмем два произвольных и неравных друг другу числа a и b и предположим, что a>b. Обозначим их разность буквой c, получим , .

Умножим обе части последнего равенства на (a – b):

Вычтем из обеих частей ac:

Вынесем общие множители за скобку:

Делим обе части на (a – b – c): a=b.

Таким образом, два взятых произвольно числа a и b равны друг другу.

№14. Один ноль не равен другому

Решение:

Пусть даны числа a, b, c, d, x, y, m, и n, причём:

a=b, (1), x=y, (3)

c=d, (2), m, (4)

Почленно сложим равенства (1) и (2): a+c=b+d; (5)

Вычтем (с+b) из обеих частей полученного уравнения: a – b=d – c. (6)

Разделим почленно уравнение (3) на уравнение (6): (7)

Сложим уравнение (7) с неравенством (4):

Приведем к общему знаменателю обе части неравенства, умножив их на произведение знаменателей (a – b)(d – c):

Так как a – b = 0 и d – c = 0, то обе части полученного неравенства обращаются в ноль. Поэтому мы и приходим к заключению, что 0<0.

№15. a = ma при всяком значении m

Решение:

Пусть ma = b. Докажем, что a = b. При перестановке множителей произведение не меняется, следовательно можно записать: ab = ba.

Так как – 1= – 1, то – 1∙ab = – 1∙ba.

Но: и . (1)

Для чисел a и b можно записать равенства: ; (2)

; (3)

Подставим выражения (2) и (3) в (1): .

Раскроем скобки: .

Так как: , то .

Но: ; .

Следовательно: .

Отсюда . (4)

Можно записать: . (5)

Сложив почленно равенства (4) и (5), получим: a = b.

Но b = ma, следовательно: a = ma при любом значении m., что и требовалось доказать.

Пользуясь данным способом, легко доказать равенство двух каких угодно неравных между собой величин.

№16.1 Сумма двух одинаковых чисел равна нулю.

Решение:

Пусть . Докажем, что m всегда равно нулю.

Для этого предположим, что x=a. Умножим обе части на или: Прибавим к обеим частям x2: или:

Получаем: Заменим x на равную величину a: или:

Окончательный результат:

№16.2 Всякое положительное число меньше нуля.

Решение:

Пусть n – целое положительное число, тогда: . Если умножить это неравенство на (– a), где a – любое положительное число, то получим: . Прибавим к обеим частям неравенства 2an и получим, что a < 0.

№17. Любое положительное число равно отрицательному с той же абсолютной величиной.

Решение:

Из алгебры известно, что .

С другой стороны, .

Отсюда следует, что – a = +a

№18. Любое число равно единице.

Решение:

Пусть a – произвольное число. Возьмем два числа x и y, каждое из которых равно .

Выпишем ряд равенств, в котором каждое последующее равенство получается путем сложения двух предыдущих: x=y;

;

. (1)

Перепишем уравнение (1) следующим образом:

(2)

Сократим: . (3)

По условию, . Значит: ; (4), . (5)

Подставим выражения (4) и (5) в уравнение (3): или a = 1.

Итак, мы доказали, что произвольное число a равно 1.

№19. Любое число равно

Решение:

Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:

x- = z- (1)

-z = -z (2)

Сложив эти два равенства почленно, получим х-г = — (3)

Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину получим :

x + —-z = — или, что, очевидно, то же самое,

х + — -z = — (4)

В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде

( +)а третий и четвертый — в виде ( + ). В результате этих преобразований равенство (4) примет вид

( +)— ( + )=— (5)

и окончательно может быть записано так:

( +) (— )= — (6)

(если вынести за скобки общий множитель ( +) в левой части равенства).

Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия

+= l, (7)

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что

2 = 1, или =, откуда х = , т. е. произвольное число равно .

№20. Единица наибольшее натуральное число

Решение:

Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица.

Пусть число k 1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, что k * k = k2 k * 1 = k.

Последнее равенство показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k не является таковым, так как ясно, что число, равное k2, больше этого числа k 1 не может быть наибольшим целым. Остается принять, что наибольшим натуральным числом является 1, так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

№21. Единица равна двум.

Решение:

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6 +, в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1-)=(2-).

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство: 1-=2 —, откуда следует, что 1=2.

№22. Любые два неравных числа равны.

Решение:

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму а,

т. е. x + z = a. Умножив обе части этого равенства на x-z, получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az. Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число , будем иметь:

х2 – а х + = z2 – a z + ,

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим .

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратные корни, придем к выражению

. Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве равны, то заключаем, что x=z.

№23. Половина любого числа равна половине числа, ему противоположного.

Решение:

Возьмем произвольное число а и положим х =-|. Тогда 2х + а = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. Прибавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем

х2 + 2ах + а2 = х2. Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство можно записать в виде (х + а)2 = х2 (1), а после извлечения квадратного корня из обеих частей последнего равенства получаем х + а = х. (2) Поскольку по условию х =-, то из равенства (2) имеем —+ а= —, и поэтому получаем окончательно — = .

№24. Если a и b – положительные числа, то a>b и b>a.

Решение:

Даны два неравенства. Оба со знаком > (больше) или оба со знаком < (меньше), поэтому их можно сложить или перемножить их почленно, причем в новом неравенстве будет тот же знак.

Т.е., если a>b и c>d, то: и

Пусть имеется два положительных числа a и b. Запишем для них два очевидных неравенства: , .

Перемножим неравенства почленно и получим, что ab>b2.

Разделим обе части неравенства на b (b>0): a>b.

Если написать для чисел a и b другие очевидные неравенства: b>-a, a>-a, то после аналогичных рассуждений окажется, что ba>a2, т.е. b>a.

Следовательно, для любых двух положительных чисел каждое больше другого.

№25. Чётное число равно нечётному.

Решение:

Возьмем произвольное четное число 2n, где п — любое целое число, и запишем тождество

(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: (2n)2— 2(2n) +=(2n+1)2— 2(2n+1) +

или в таком: (2n-)2=(2n+1-))2 (1), откуда следует, что

2n — = 2n + 1 — или 2n=2n+1, что означает равенство четного числа нечётному.

№26. Восемь равно шести.

Решение:

Решим систему двух уравнений подстановкой у из второго уравнения в первое. Получаем х + 8 — х = 6, откуда 8 = 6.

№27. 4 = 5.

Решение:

Пусть a = 4, b = 5, c =. Тогда: a = 2c — b и 2c — a = b .

Умножим первое на второе, получим: a2 — 2ac = b2 — 2bc

a2 — 2ac + c2 = b2 — 2bc + c2

(a — c)2 = (b — c)2

a — c = b — c

Откуда a = b, или 4 = 5.

№26. «доказательство равенства 1 = — 1»

Решение:

9 класс

№29. Любое число есть произведение бесконечного числа единиц.

Решение:

Рассмотрим равенство:

Перепишем его в следующем виде:

Так как , то:

Извлечём из обеих частей корень степени : или .

При х = 3 имеем: .

Так как: и , то: или:

№30. «любое число а равно меньшему числу b».

Решение:

Начнем с равенства

а = b + c.

Умножив обе его части на a — b, получим

а² — аb = аb + аc — b² — be.

Перенесем ас в левую часть:

а² — аb — аc = аb — b² — be

и разложим на множители:

а(а — b — c) = b(а — b — c).

Разделив обе части равенства на а — b — c, найдем

а = b,

что и требовалось доказать.

№31. «спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое»

Решение:

Длину спички обозначим — а, длину столба – b.

Разность между этими величинами – c. получается, что b — a = c, b = a + c.

Если данные выражения перемножить, получится следующее: b² — ab = ca + c².

При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую bc. Получится следующее: b² — ab — bc = ca + c² — bc, или b (b — a — c) = — c (b — a — c).

Откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.

То есть спичка и правда вдвое длиннее столба.

(Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a — c), которое равно нулю.)

Логика

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарство

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Чем больше

«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. — круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин — планета?

Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

Логический софизм

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?«Меня повесят, естественно».

Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
Нет конца

Куча

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка — тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Исследовательская часть

Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в жизни, я провел исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена

на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;
на развитие логического мышления;
на формирование математической грамотности учащихся.

Исследование проводилось среди учащихся восьмого и девятого классов.

В седьмом классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Равносильные уравнения», а в девятом данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа.

По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. Так, средний балл в 7 классе составил – 4,1 , в 9 классе – 3,3. Только два учащихся из 7 класса допустили ошибку по данной теме, когда в 9 классе 8 учащихся допустили ошибки в решении задач.

Все полученные данные я оформил в виде диаграмм (приложение), которые наглядно показали различия по уровню усвоения темы.

Таким образом, проанализировав полученные результаты, я сделал вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.

Заключение

Я узнал, что софизм – это рассуждение, содержащее замаскированные ошибки. Умение маскировать и маскироваться является основным в таких сферах, как военное дело, защита информации и криптографии, банковское дело.

Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто. Она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.

Рассмотрев софизмы, я узнал многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление — ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.

Я рассмотрел математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики. Проанализировав учебники математики, сборники олимпиадных задач и другую дополнительную литературу, я пришел к выводу, что математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.

Например:

на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках;
при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
при написании реферативных и исследовательских работ.

При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки:

деление на 0;
неправильные выводы из равенства дробей;
неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
нарушения правил действия с именованными величинами;
проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
неравносильный переход от одного неравенства к другому;

Самыми популярными являются первые три. В результате я отобрал и систематизировал задачи на софизмы по классам с 6 по 9.

Как видно из решений задач на софизмы, многие «крайне неразрешимые парадоксы» имеют довольно-таки простое решение. Нужно только увидеть корень противоречия.

Список используемой литературы

Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи

Возрождения. — М.: 1974.

Уемов А. И. Логические ошибки. — М.: 1957.
Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка. — М., “Просвещение”, 1984г.
А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”,2003г.
Обреимов В.И., , “Математические софизмы”,СПб,1989г.
Т.Н. Михеева. Софизмы.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П. Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.-М.:АСТ,1995.
Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983.
Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.:-Рус.яз.,1989. Ивлев Ю.В. Логика. — М.: Проспект, 2006.
Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочник – М.: Просвещение, 1990.
Ивлев Ю.В. Логика. — М.: Проспект, 2006.

Приложение

Результаты выполнения самостоятельной работы

в седьмом и девятом классах

Диаграмма 1

Диаграмма 2 Диаграмма 3

Диаграмма 4

Результаты анкетирования в седьмом и девятом классах

Анкета

(Перед уроком – презентацией)

Укажите ваш возраст.
Укажите ваш пол.
Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?
Знакомо ли вам понятия «Софизм»?

(После урока – презентации)

Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами?
Как ты думаешь, для чего нужны софизмы?
Хотел бы ты больше узнать о софизмах?
Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами?

Источник

Софизмы в математике Авторы:

Софизмы в математике

Авторы: Шеметова Анастасия, Глазунова Екатерина,
ученицы 8Б класса
МБОУ «СОШ №18».
Научный руководитель: Лукьянова
Ольга Георгиевна,
учитель математики
МБОУ «СОШ №18».

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками

В математических вопросах нельзя
пренебрегать даже самыми
мелкими ошибками. И. Ньютон

Актуальность Каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» «Два равно трем»

Актуальность

Каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу:
«Дважды два равно пяти»
«Два равно трем».
Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы.

Цель : Исследование типичных ошибок, которые возникают у учащихся в процессе изучения математики, их причин и способов предупреждения

Цель:
Исследование типичных ошибок, которые возникают у учащихся в процессе изучения математики, их причин и способов предупреждения.
Задачи:
изучить понятие софизма и историю его возникновения;
рассмотреть виды софизмов и дать классификацию их ошибок;
составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6 -9 классов.

Гипотеза исследования Если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся

Гипотеза исследования

Если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное

Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное. Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным в Афинах.

Софисты Мудрецы особого рода.

Софисты
Мудрецы особого рода. Этих мудрецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными «учителями мудрости».

Протагор
490 г. до н.э.-411 г. до н.э.

Сократ
469 г. до н.э.-
399 г. до н.э.

Аристотель
384 г. до н.э.-322 г. до н.э.

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой , с использованием, например, «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием, например, «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий.

Математические софизмы Арифметические софизмы

Математические софизмы

Арифметические софизмы

Алгебраические софизмы

Геометрические софизмы

Логические софизмы

Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Типичные софизмы в математике : запрещенные действия; пренебрежение условиями теорем, формул и правил; ошибочный чертеж; опора на ошибочные умозаключения

Типичные софизмы в математике :

запрещенные действия;
пренебрежение условиями теорем, формул и правил;
ошибочный чертеж;
опора на ошибочные умозаключения.

Арифметические софизмы Пример : «

Арифметические софизмы

Пример: « Дважды два — пять!»

Ошибка: Распределительный закон умножнения применяется только для сложения и вычитания.
ав + ас = а(в + с).

Алгебраические софизмы Пример :

Алгебраические софизмы

Пример :

Упростить выражение.

Ошибка:

Неверное извлечение квадратного корня из квадрата выражения = х
2 — < 0

= = = 2- = — 2

Геометрические софизмы Пример: «Катет равен гипотенузе»

Геометрические софизмы

Пример: «Катет равен гипотенузе».
∟С=90, ВД — биссектриса ∟ СВА, СК=КА, ОК  СА, О — точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ  АВ, ОL  ВС.
Решение.
Имеем:  LВО= МВО, ВL = ВМ,
ОМ = ОL = СК = КА,
 КОА= ОМА (ОA- общая сторона, КА = ОМ, ∟ ОКА и ∟ ОМА — прямые), ∟ ОАК = ∟МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Ошибка: Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам

Ошибка: Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам.

Рассуждения о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж.
Точка О пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне АВС.

Логические софизмы Пример :«Полупустое или полуполное»

Логические софизмы

Пример:«Полупустое или полуполное»
Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное
Ошибка:
Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

Примеры рассмотренных софизмов: «Пять равно шести»

Примеры рассмотренных софизмов:

«Пять равно шести».
«Уравнение х-а=0 не имеет корней».
«Один метр не равен ста сантиметрам».
«Один рубль не равен ста копейкам».
«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой».
«Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Источники софизмов Многие слова имеют несколько смыслов

Источники софизмов

Многие слова имеют несколько смыслов.
Неправильное ударение.
Пренебрежение условиями теорем, формул и правил; ошибочный чертеж.
Опора на ошибочные умозаключения.

Софизмы из наших школьных тетрадей»

«Софизмы из наших школьных тетрадей»

Цель практической работы: составить сборник софизмов, на основе анализа контрольных работ и типичных ошибок.

Ошибка – вещь необходимая и полезная!

Алгебраические софизмы Пример № 1

Алгебраические софизмыПример № 1 Решить уравнение.

Ошибка: Отклонение от алгоритма может привести к приобретению посторонних корней данного уравнения.

Пример № 2 «Сокращение дробей»

Пример № 2

«Сокращение дробей».

Ошибка :

нарушение правил сокращения дробей.

Пример № 3 « Выполнить действие»

Пример № 3«Выполнить действие».

-10 * =11-10 * = =

= = 0,8

Ошибка:

Неправильный порядок действий:

3 1 2

Пример № 4 « Свойства степени»

Пример № 4«Свойства степени».

Ошибка:

Правило:

Геометрический софизм Пример № 5 «Неравенство треугольника»

Геометрический софизмПример № 5«Неравенство треугольника».

Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона.

Ошибка:
Задача провоцирует учащихся на то, чтобы дать ответ 2. При этом не выполняется неравенство треугольника.

1х

3х

2х

Р=6

1х+2х+3х=6
6х=6
х=1
2х=2

Заключение В процессе обучения математики обнаружение и анализирование ошибки, заключенной в софизме, оказываются более важными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач

Заключение

В процессе обучения математики обнаружение и анализирование ошибки, заключенной в софизме, оказываются более важными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач.

Литература «Софисты» под редакцией

Литература

«Софисты» под редакцией Б.С. Чернышева
«Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» под редакцией Т.Н. Михеевой
Алгебраические софизмы -http://gamzatovasm.ru/node/88
Геометрические софизмы — http://reshit.ru/sofizm
Арифметические софизмы -http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6
Логические софизмы — http://referatwork.ru/category/logika/view/131832_sofizmy
Апории Зенона -https://ru.wikipedia.org/wiki/Апории_Зенона

Источник

Библиографическое описание:

Южакова, Е. А. Математические софизмы: обман или путь к открытию? / Е. А. Южакова, М. Ю. Сизова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2015. — № 2 (2). — С. 95-98. — URL: https://moluch.ru/young/archive/2/133/ (дата обращения: 07.06.2023).

Наше общество развивается быстрыми темпами, сегодня научным центрам и крупным предприятиям требуются квалифицированные техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математике, физике, химии. От специалистов требуются не только знания, но и умения быстро принимать решения, искать ошибки, приводить аргументы в пользу того или иного решения и пр. А все эти качества в полной мере позволяет развивать математика. Одним из действенных её «инструментов» являются софизмы.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления.

С одной стороны цель софизма — выдать ложь за истину. Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина. С другой стороны, И. П. Павлов писал: «правильно понятая ошибка — это путь к открытию», а, значит, уяснение ошибок в математическом рассуждении способствует развитию математического знания. Разбор софизмов не только интересен, но и очень полезен при изучении математики, ведь обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причём острота их обсуждения не снижается с годами.

Термин «софизм» происходит от греческого слова, означающего «измышление», «хитрость». Своё значение термин «софизм» приобрёл в связи с характеристикой приёмов рассуждения, которыми злоупотребляли древнегреческие философы в 4–5 вв. до н. э. и их последователи, достигшие большого искусства в логике. Термин «софизм» впервые ввёл древнегреческий философ Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Сборники математических софизмов были всегда популярными. Многие преподаватели математики в своей работе использовали математические софизмы. В конце 19 — начале 20 веков особенно большой известностью пользовалась книга преподавателя Екатеринбургской гимназии Василия Ивановича Обреимова «Математические софизмы». Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы её. В. И. Обреимову удалось собрать и обработать более сорока интересных софизмов. Математические софизмы не случайно явились предметом особого внимания В. И. Обреимова как преподавателя: он считал, что ложные доказательства заставляют учащихся анализировать, дают пищу для вопросов, для товарищеских научных собеседований.

Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.

Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).

Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).

Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).

Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:

— это утверждение (умозаключение);

— формально — правильное;

— по существу — ложное;

— ошибка допущена и замаскирована намеренно.

Исходя, из выделенных признаков, дадим следующее общее определение: «Софизм — умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного».

Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Будем использовать следующее уточнённое определение математического софизма: «Математический софизм — формально кажущееся правильным, но ложное по существу математическое доказательство абсурдного факта, основанное на преднамеренном нарушении правил и законов математики».

Решить софизм — это, значит, указать ошибку в рассуждениях, с помощью которой была создана внешняя видимость правильности доказательства.

Рассмотрим несколько математических софизмов.

Софизм 1. «22 = 5»

Доказательство:

1) 16–36 = 25–45

2) 16–36 + = 25–45 +

3) 4^2–2 4 + ()² = 5^2–2 5 + ()²

4) (4 — )² = (5 — )²

4 — = 5 —

6) 4 = 5

7) 2 x 2 = 5.

Решение: 4 — ^{= 5} —

Софизм 2. «5 = 7»

Доказательство:

Пусть даны два числа х и у, причём х больше у в 1,5 раза, то есть х = у.

Умножим обе части равенства на 4 и получим: 4х = 6у.

Представим левую часть в виде: 4х = 14х — 10х и правую: 6у = 21у — 15у.

Так как 4х = 6у, то 14х — 10 х = 21у — 15у или 15у — 10х = 21у — 14х.

В обеих частях вынесем общий множитель за скобки: 5(3у — 2х) = 7(3у — 2х).

Разделим обе части равенства на выражение 3у — 2х и получим, что 5 = 7.

Решение: если х = у, то 3у = 2х, то есть 3у — 2х = 0, а на 0 делить нельзя.

Софизм 3. «Нуль больше любого числа»

Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.

Пусть а — сколь угодно большое положительное число.

Ясно, что а — 1 < а. Умножим обе части неравенства почленно на -а,

получим: -а² + а < -а².

Прибавим к обеим частям полученного неравенства по а², получим: -а² + а + а² < -а² + а², то есть а<0.

Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положительное число меньше нуля.

Решение: при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять на противоположный.

Е. И. Игнатьев говорил, что «Софизмы подобны приведениям, они не выносят света» , попытаемся лишить их некой «таинственности» с пользой для себя, дабы потом не допускать этих ошибок при решении школьных задач.

При решении математических софизмов были выделены основные типы ошибок:

1. деление на 0;

2. неправильные выводы из равенства произведений или дробей;

3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4. нарушения правил действия с именованными величинами;

5. неправильное вынесение общего множителя за скобки;

6. неравносильный переход от одного равенства или неравенства к другому.

Если знать точно формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, внимательно выполнять равносильные преобразования, всегда можно обнаружить ошибку, заложенную в софизме. Поэтому у математически грамотного человека абсурдных результатов получиться не может.

Математический софизм — это не обман, он побуждает нас к более внимательным и точным действиям, он предлагает идти нам по пути, выстроенному логически строго. Математический софизм — это путь к верному открытию математики для каждого из нас как достаточно серьезного средства познания мира.

Софизмы сыграли существенную роль и в истории развития математики. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Разбор софизмов прививает навыки правильного мышления, помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач.

Литература:

1. Ганеев Х. Ж. Учителю математики об элементах краеведения. Кн. для учителя.- Екатеринбург, 1996.

2. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах.- Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995.

3. Литцман В. Где ошибка?. — М., 1962.

4. Мадера А. Г., Мадера Д. А. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. — М.: Просвещение, 2003.

5. Минковский В. Л. Василий Иванович Обреимов// Математика в школе. — 1951- № 5 — с. 68–71.

6. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение, 1984.

7. Обреимов В. И. Математические софизмы. — С-Петербург, 1889.

Основные термины (генерируются автоматически): софизм, математический софизм, Толковый словарь, ложное умозаключение, разбор софизмов, глубокое уяснение, неправильный подбор, общий множитель, положительное число, правильное мышление.

Источник

Содержание

Что такое Логическая Ошибка
Нарушение закона тождества
Нарушение закона исключенного третьего
Логические ошибки мышления
- Логика Галилея
Софизмы
- Разные числа
- Женщина – не человек
- Знаешь то, чего не знаешь
- Лекарство
- Вор
Как разоблачать софизмы
Паралогизмы
Логические парадоксы
- Парадокс лжеца
- Парадокс деревенского парикмахера
- Протагор и Эватл
Как избегать логических ошибок

Логические ошибки – это то, что встречается у каждого из нас. В данной статье мы рассмотрим примеры логических ошибок, которые, так или иначе, встречаются в нашей повседневной жизни.

Основы логики мы рассматривали отдельно. Настоятельно рекомендуем ознакомиться с ними и узнать 4 главных закона логики. Также обратите внимание на когнитивные искажения, или распространенные ошибки мышления. Очень интересно!

Но сейчас мы будем говорить только о логических ошибках.

Подмена тезиса – это логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом, но имеющего совершенно иное значение.

Другая популярная логическая ошибка – «предвосхищение основания». Она заключается в том, что в качестве аргументов используются недоказанные, как правило, произвольно взятые положения: ссылаются на слухи, на ходячие мнения, высказанные кем-то предположения или даже на собственный вымысел, выдавая их за аргументы, якобы обосновывающие тезис.

В действительности же доброкачественность таких доводов лишь предвосхищается, но не устанавливается с несомненностью. Обычно подобные лже-аргументы сопровождаются фразами: «Как абсолютно всем известно…», «Кто же будет спорить с тем, что…», «Само собой разумеется, что…», «Каждому известно, что…», дабы рассеять возможные сомнения у простого слушателя.

Что такое Логическая Ошибка

Логическая ошибка – в логике, философии и прочих науках, изучающих познание, ошибка, связанная с нарушением логической правильности умозаключений.

Ошибочность обусловлена каким-либо логическим недочётом в доказательстве, что делает доказательство неверным в целом.

Если человеку, который смотрит на уходящие вдаль рельсы железной дороги, кажется, что они сходятся на горизонте в одной точке, то он ошибается. Ошибается тот, кому кажется, что падение одного зерна на землю не производит ни малейшего шума, что пушинка не имеет веса и т. д.

Можно ли назвать эти ошибки логическими? Нет. Они связаны с обманом зрения, слуха и т. д., это ошибки чувственного восприятия.

Логические же ошибки относятся к мыслям. Причем не к мыслям как таковым, а к тому, как связывается одна мысль с другой, к отношениям между различными мыслями.

Нарушение закона тождества

В нашей повседневной жизни часто приходится наблюдать нарушение одного из главных законов логики – закона тождества. Взять, например, такой разговор.

– Можно мне взять твои книги?

– Возьми.

– А я не хочу их брать.

– Тогда не бери.

– Он запретил мне брать свои книги.

Здесь в выражении «не бери» смешиваются два разных суждения: «не бери» в смысле «можешь не брать» и «не бери» в смысле «нельзя брать», в результате чего нарушается закон тождества и неизбежно возникает недоразумение.

Часто самые незначительные изменения во фразе, например, перенос ударения, могут совершенно изменить ее логический смысл.

Вспомним недоразумение, которое возникло в связи с высказыванием Исаака Ньютона: «Гипотез не сочиняю». Многих удивляло, что Ньютон (см. интересные факты о Ньютоне), несмотря на это заявление, сам выдвигал много гипотез.

В действительности же оснований для удивления нет, и те, кто усматривает здесь противоречие, просто нарушают закон тождества. В приведенном высказывании Ньютона нужно поставить логическое ударение на слове «сочиняю», и тогда оно будет иметь смысл: «Гипотез не сочиняю, но выдвигаю их на основе фактов».

Некоторые истолковали, его иначе и, поставив логическое ударение на слове «гипотез», вложили в это высказывание совсем иной смысл: «Гипотез не выдвигаю, то есть, не создаю их вообще». На основе этого был сделан вывод, что Ньютон – противник всяких гипотез.

Нарушение закона исключенного третьего

Также нередко встречаются логические ошибки, связанные с нарушением закона исключенного третьего. Приведем классический пример.

В одной бане, вывешено объявление следующего содержания:

В камеру хранения принимаются:

верхняя одежда,
головные уборы,
обувь,
деньги и ценные вещи.

Не принимаются на хранение:

огнестрельное и холодное оружие,
горючие вещества,
продукты,
молотки и ножи.

В баню приходит гражданин, который хочет сдать вместе с одеждой связку книг. Гардеробщица отказывается брать книги, мотивируя тем, что их нет в списке вещей, принимающихся на хранение. Гражданин настаивает, ссылаясь на то, что и в списке предметов, не принимающихся на хранение, книги не указаны.

На основании указанного объявления суждение «книги принимаются» отрицается так же, как и суждение «книги не принимаются».

Логические ошибки мышления

В рассмотренных примерах противоречие возникает между двумя разными суждениями. Но законы мышления могут быть нарушены и внутри одного суждения.

Это бывает в тех случаях, когда из одного суждения вытекает другое, ему противоречащее. Например, древнегреческие софисты выдвинули утверждение «истинных суждений не существует».

Это утверждение опроверг Аристотель следующим образом.

Утверждение «истинных суждений не существует» является суждением. Если все суждения неистинны, то неистинно также и это суждение, то есть неистинно, что истинных суждений нет. А это значит, что истинные суждения существуют.

Такого же рода внутренне противоречивое суждение высказывает Пигасов в романе Тургенева «Рудин».

– Прекрасно! – промолвил Рудин, – стало быть, по-вашему, убеждений нет?

– Нет – и не существует.

– Это ваше убеждение?

– Да.

– Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай.

Логика Галилея

В истории науки были случаи, когда казавшиеся безусловно истинными суждения опровергались впоследствии путем обнаружения их внутренней логической несостоятельности.

Так, по вопросу о падении тел в физике в свое время считалась общепризнанной точка зрения, согласно которой скорость падающих тел тем больше, чем больше вес тела. Эту точку зрения опроверг Галилео Галилей, найдя в ней логическую ошибку. Сделал он это при помощи следующего рассуждения.

Пусть большой камень падает с какой-то определенной скоростью. Тогда другой камень, поменьше, будет падать с меньшей скоростью.

Теперь предположим, что мы сложили эти камни. С какой скоростью будет падать новый камень, вес которого равен весу двух первых?

С одной стороны, эта скорость должна быть меньше скорости первого камня, поскольку мы присоединили к нему камень, падающий с меньшей скоростью, и этим самым уменьшили скорость падения первого камня.
С другой стороны, вес камня, получившегося от сложения двух камней, больше веса каждого из них, поэтому и скорость его падения должна быть больше скорости каждого отдельного камня.
Получается противоречие: скорость двойного камня одновременно и меньше и больше скоростей каждого из двух первых камней, что противоречит закону исключенного третьего.

Чтобы устранить это противоречие, говорит Галилей, нужно сделать допущение, что все тела падают с одинаковым ускорением.

Таким образом, по неправильности суждений можно судить об их неистинности. Если два или более утверждения противоречат друг другу, то это значит, что в них заключена какая-то ложь.

К слову сказать, это обстоятельство используется на суде для уличения преступника. Запутавшись в противоречивых показаниях, преступник бывает вынужден сознаться в своем преступлении.

Софизмы

Если законы логики нарушаются умышленно, то мы имеем дело с софизмами (от греч. sophisma – «измышление, хитрость»), которые представляют собой внешне правильные доказательства ложных мыслей.

Приведем несколько популярных софизмов.

Разные числа

Числа 3 и 4 – это два разных числа, 3 и 4 – это 7, следовательно, 7 – это два разных числа.

В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т. е. налицо нарушение закона тождества.

Женщина – не человек

Или вот еще один пример софизма, где ловко прячется простая логическая ошибка.

Любой мужчина – человек. Женщина не мужчина. Следовательно, женщина – не человек.

Знаешь то, чего не знаешь

– Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?

– Нет.

– Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

– Знаю.

– Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Лекарство

Вор

Как разоблачать софизмы

Для разоблачения софизма необходимо найти в рассуждении два объекта, которые умышленно и незаметно отождествляются.

При этом стоит заметить, что сделать это далеко не всегда просто. Именно поэтому так важно развивать логическое мышление.

Паралогизмы

От софизмов следует отличать паралогизмы (от греч. paralogismus – «неправильное рассуждение») – логические ошибки, допускаемые непроизвольно, в силу незнания, невнимательности или иных причин. Рассмотрим несколько примеров.

Один человек пожилого возраста доказывает, что сила его, несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась:

– В юности и молодости я не мог поднять штангу весом 200 кг. Сейчас я тоже не могу ее поднять, стало быть, сила моя осталась прежней.

В одной китайской семье родилась девочка. Когда ей исполнился год, к ее родителям пришел сосед и стал сватать девочку за своего двухлетнего сына. Отец сказал:

– Моей девочке всего год, а твоему мальчику целых два, т. е. он в два раза старше ее, значит, когда моей дочери будет 20 лет, твоему сыну будет уже 40. Зачем же мне выдавать свою дочь за старого жениха?!

Эти слова услышала жена и возразила:

– Сейчас нашей дочке год, а мальчику два, однако через год ей будет тоже два и они станут ровесниками, так что вполне можно в будущем выдать нашу девочку за соседского мальчика.

Маленький мальчик спрашивает:

– Мама, что от нас дальше – Луна или Африка?

– Конечно же Африка, ведь Луну отсюда видно, а Африку – нет!

Логические парадоксы

Также от софизмов следует отличать логические парадоксы (греч. paradoxes – «неожиданный, странный»).

Парадокс в широком смысле слова – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Логический парадокс – это такая необычная и удивительная ситуация, когда два противоречащих суждения не только являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из друга, друг друга обуславливают.

Если софизм – это всегда какая-либо уловка, преднамеренная логическая ошибка, которую можно обнаружить, разоблачить и устранить, то парадокс представляет собой неразрешимую ситуацию.

Это своего рода мыслительный тупик, «камень преткновения» в логике: за всю ее историю было предложено множество разнообразных способов преодоления и устранения парадоксов, однако ни один из них до сих пор не является исчерпывающим.

Парадокс лжеца

Наиболее известный логический парадокс – это парадокс «лжеца». Часто его называют «королем логических парадоксов». Он был открыт еще в Древней Греции.

По преданию, философ Диодор Кронос дал обет не есть до тех пор, пока не разрешит этот парадокс. В конечном счете, он умер от голода, так и не сумев решить эту логическую головоломку. Другой мыслитель – Филет Косский впал в отчаяние от невозможности найти решение парадокса «лжеца» и покончил с собой, бросившись со скалы в море.

Существует несколько формулировок парадокса лжеца. Наиболее коротко и просто он формулируется в ситуации, когда человек произносит простую фразу: Я лжец.

Анализ этого элементарного и бесхитростного на первый взгляд высказывания приводит к ошеломляющему результату. Как известно, любое высказывание (в том числе и вышеприведенное) может быть или истинным или ложным.

Рассмотрим последовательно оба случая, в первом из которых это высказывание является истинным, а во втором – ложным.

Допустим, что фраза «Я лжец» истинна, т. е. человек, который произнес ее, сказал правду. Но в этом случае он действительно лжец, следовательно, произнеся данную фразу, он солгал.
Теперь предположим, что фраза «Я лжец» ложна, т. е. человек, который произнес ее, солгал, но в этом случае он не лжец, а правдолюб. Следовательно, произнеся данную фразу, он сказал правду.

Получается нечто удивительное и даже невозможное: если человек сказал правду, то он солгал; а если он солгал, то он сказал правду. Два противоречащих суждения не только одновременно истинны, но и вытекают друг из друга.

Парадокс деревенского парикмахера

Другой известный логический парадокс, обнаруженный в начале 20 века английским философом, логиком и математиком Бертраном Расселом, – это парадокс «деревенского парикмахера».

Представим себе, что в некой деревне есть только один парикмахер, бреющий тех ее жителей, которые не бреются сами. Анализ этой незамысловатой ситуации приводит к необыкновенному выводу.

Зададимся вопросом: может ли деревенский парикмахер брить самого себя? Рассмотрим оба варианта, в первом из которых он сам себя бреет, а во втором – не бреет.

Допустим, что деревенский парикмахер сам себя бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые бреются сами и которых не бреет парикмахер, следовательно, в этом случае, он сам себя не бреет.
Теперь предположим, что деревенский парикмахер сам себя не бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые не бреются сами и которых бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя бреет.

Как видим, получается невероятное: если деревенский парикмахер сам себя бреет, то он сам себя не бреет; а если он сам себя не бреет, то он сам себя бреет (два противоречащих суждения являются одновременно истинными и взаимообуславливают друг друга).

Парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера» вместе с другими подобными им парадоксами также называют антино́миями (греч. antinomia – «противоречие в законе»), т. е. рассуждениями, в которых доказывается, что два высказывания, отрицающие друг друга, вытекают одно из другого.

Считается, что антиномии представляют собой наиболее крайнюю форму парадоксов. Однако довольно часто термины «логический парадокс» и «антиномия» рассматриваются как синонимы.

Протагор и Эватл

Менее удивительную формулировку, но не меньшую известность, чем парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера», имеет парадокс «Протагор и Эватл», также появившийся в Древней Греции.

В основе этого логического парадокса лежит незатейливая на первый взгляд история, которая заключается в том, что у софиста Протагора был ученик Эватл, бравший у него уроки логики и риторики.

Учитель и ученик договорились, что Эватл заплатит Протагору гонорар за обучение только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс.

Однако по завершении обучения Эватл не стал участвовать ни в одном процессе и денег учителю, разумеется, не платил. Протагор пригрозил ему, что подаст на него в суд и тогда Эватлу в любом случае придется заплатить.

– Тебя или присудят к уплате гонорара, или не присудят, – сказал ему Протагор, – если тебя присудят к уплате, ты должен будешь заплатить по приговору суда; если же тебя не присудят к уплате, то ты, как выигравший свой первый судебный процесс, должен будешь заплатить по нашему уговору.

На это Эватл ему ответил:

– Все правильно: меня или присудят к уплате гонорара, или не присудят; если меня присудят к уплате, то я, как проигравший свой первый судебный процесс, не заплачу по нашему уговору; если же меня не присудят к уплате, то я не заплачу по приговору суда.

Таким образом, вопрос о том, должен Эватл заплатить Протагору гонорар или нет, является неразрешимым.

Договор учителя и ученика, несмотря на его вполне невинный внешний вид, является внутренне, или логически, противоречивым, так как он требует выполнения невозможного действия: Эватл должен и заплатить за обучение, и не заплатить одновременно.

В силу этого сам договор между Протагором и Эватлом, а также вопрос об их тяжбе представляет собой не что иное, как логический парадокс.

Решить этот спор можно было бы лишь в том случае, если бы обе стороны соблюдали закон тождества и в качестве основания для уплаты или неуплаты брали что-нибудь одно: либо решение суда, либо свой договор.

Как избегать логических ошибок

Как же научиться не делать логических ошибок, то есть мыслить правильно, во всех случаях, по каким угодно вопросам, знакомым или впервые встретившимся, о каких угодно предметах, привычных и непривычных?

Повседневная жизненная практика, «здравый смысл», как уже говорилось, во многих случаях помогают избежать логических ошибок, однако отнюдь не гарантируют избавление от них.

Конечно, чем шире практика, чем с большим количеством разнообразных предметов и видов деятельности сталкивается человек, тем больше возможностей он имеет для развития у себя правильного мышления.

Расширение кругозора, углубление фактических знаний, знакомство с самыми различными рассуждениями, несомненно, способствуют развитию мышления вообще.

Широко образованный, развитой человек быстрее заметит логическую ошибку в рассуждении даже и тогда, когда она не касается непосредственно его специальности, его обычных, повседневных занятий.

Поэтому изучение различных наук имеет большое значение, ведь каждая наука так или иначе, в той или иной степени связана с рассуждениями.

Использованная литература:

Авенир Уемов «Логические ошибки»,

Дмитрий Гусев «Удивительная логика».

Что же, теперь, когда вы знакомы с различными примерами логических ошибок, можете пройти тест на логику.

Также обратите внимание на 5 задач на логику, 8 задач на смекалку, известную загадку Толстого про шапку и знаменитый тест Эйнштейна. Всё это поможет вам прокачать свой мозг, существенно снизив количество логических ошибок в будущем.

Если вам понравилась статья про логические ошибки – поделитесь ею в социальных сетях. Если вы знаете интересные примеры логических ошибок – напишите их в комментариях и подписывайтесь на сайт interesnyefakty.org любым удобным способом.

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Источник

Тема: Софизмы

Подобный материал:

Экскурс в историю Алгебраические софизмы, 144.92kb.
Логика (2 курс, 4 семестр) Преподаватель, 435.04kb.
Программа дисциплины Логика для специальности 080102. 65 «Мировая экономика», 146.32kb.
1 11 Тема 2 12 тема 3 13 Тема 4 14 Тема 5 15 Тема 6 17 Тема 7 20 Тема 8 22 Тема, 284.17kb.
Вопросы теории, практики и методики изучения, 1714.38kb.
Реферат на тему: «Математические софизмы», 110.29kb.
Программа курса Тема I. Предмет, метод и задачи статистики Тема, 1602.61kb.
О. В. Белова Новосибирск: Научно-учебный центр психологии нгу, 1996 Введение Тема Тема, 1006.61kb.
О. В. Белова Новосибирск: Научно-учебный центр психологии нгу, 1996 Введение Тема Тема, 1005.33kb.
Тема Великой Отечественной войны. $B тема Гражданской войны. $C тема коллективизации;, 241.02kb.

МОУ » Средняя общеобразовательная школа №169″

Проект

Тема:

«Софизмы«

Авторы: ученики 10 «Б» класса

Шипов Айрат, Алимова Лейла

Руководитель: учитель математики Малышева Надежда Александровна

Казань

2011

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

Что такое софизм?
Немного из истории софизма
Софизм как умышленный обман
Софизмы и зарождение логики
Софизмы и логический анализ языка
Софизмы и противоречивое мышление
Софизмы как особая форма постановки проблем
Классификация ошибок

3. Практическая часть

Сборник задач
Приложение

4. Заключение

5. Список используемой литературы

Введение

У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости. И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Мы считаем эту тему чрезвычайно интересной и актуальной, так как софизмы развивают мышление и логику. Также нас заинтересовал факт глубокой древности зарождения софизмов и популярности их у ученых. Софизмы имеют прямое отношение к математике, с помощью которых можно опровергнуть практически все теоремы и понятные любому, не требующие объяснения, гипотезы, доказав обратное.

Целью нашего проекта является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, влияние софизмов на развитие логики.

Мы поставили перед собой задачи:

Узнать:

что же такое софизм?
как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?
критерии классификации софизмов.

Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-11 классов.

Основная часть

1. Что такое софизм?

^ Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

Софизм происходит от греческого слова σόφισμα («мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») и означает «измышление», «хитрость». Это доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована, умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

^ Софизм — это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим.

Софизмы строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам Их [ошибки] допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.

2. Немного из истории софизма

Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов (Древняя Греция, V—IV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.

Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма Эватла».) С этой же идеей обычно связывают и «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины. Уже Платон заметил то, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе придётся признать законность противоречий (что, между прочим, и утверждали софисты), а поэтому любые суждения считать обоснованными. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском «принципе непротиворечивости» и, уже в современной логике, — в истолкованиях и требовании доказательств «абсолютной» непротиворечивости. Перенесённая из области чистой логики в область «фактических истин», она породила особый «стиль мышления», игнорирующий диалектику «интервальных ситуаций», то есть таких ситуаций, в которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам её познания, оказывается весьма существенным. Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам и в остальном безупречные, квалифицируются как софизмы, хотя по существу они только демонстрируют интервальный характер связанных с ними ситуаций.

3. Софизм как умышленный обман

В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель его — выдать ложь за истину. Прибегать к софизмам предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль.

Софизму как ошибке, сделанной умышленно, с намерением ввести кого-либо в заблуждение, обычно противопоставляется паралогизм, понимаемый как непреднамеренная ошибка в рассуждении, обусловленная нарушением законов и правил логики. Паралогизм кажется намного предпочтительнее софизма, так как является, в сущности, не обманом, а искренним заблуждением и не связан, с умыслом подменить истину ложью.

Чаще всего паралогизм связаны с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью его сделать надлежащие выводы, с его стремлением охватить то, что пока ему неподвластно. Нередко паралогизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или даже невежества, не желающего признать свое бессилие и уступить знанию.

Софизм традиционно считается помехой в обсуждении и в споре. Использование софизмов уводит рассуждения в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики. Но, в конце концов, это препятствие не является чем-то серьезным. Использование софизмов с точки зрения рассматриваемой проблемы имеет чисто внешний характер, и при известном навыке в логическом анализе рассуждений софизм несложно обнаружить и убедительно опровергнуть. Софизмы иногда кажутся настолько случайными и несерьезными, что известный немецкий историк философии В. Виндельбанд относил их к шуткам: “Тот большой успех, каким пользовались эти шутки в Греции, особенно в Афинах, обусловливается юношеской склонностью к остроумным выходкам, любовью южан к болтовне и пробуждением разумной критики повседневных привычек”.

4. Софизмы и зарождение логики

Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Платон описывает, как два софиста запутывают простодушного человека по имени Ктесипп.

— Скажи-ка, есть ли у тебя собака?
— И очень злая, — отвечал Ктесипп.
— А есть ли у нее щенята?
— Да, тоже злые.
— А их отец, конечно, собака же?
— Конечно.

— И этот отец тоже твой?
— Конечно.
— Значит, ты утверждаешь, что твой отец — собака и ты брат щенят!

Смешно, если и не Ктесиппу, то всем окружающим, ведь такие беседы обычно проходили при большом стечении народа. Но только ли смешно?

Или доказательство того, что глаза не нужны для зрения, поскольку, закрыв любой из них, мы продолжаем видеть. Только ли комичная ерунда здесь?

Или такое рассуждение:

“Тот, кто лжет, говорит о деле; о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно ни мыслить, ни говорить”.

5. Софизмы и логический анализ языка

В софистике угас интерес к вопросу, как устроен мир, но осталась та же мощь абстрагирующей деятельности, какая была у предшествующих философов. И одним из объектов этой деятельности стал язык. В софистических рассуждениях он подвергается всестороннему испытанию, осматривается, ощупывается, переворачивается с ног на голову. Это испытание языка действительно напоминает игру, нередко комичную и нелепую для стороннего наблюдателя, но в основе своей подобную играм подрастающих хищников, отрабатывающих в них приемы будущей охоты. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения, неосознанно отрабатывались первые, конечно, еще неловкие приемы логического анализа языка и мышления.

Обычно Аристотеля, создавшего первую последовательную логическую теорию, рисуют как прямого и недвусмысленного противника софистов во всех аспектах. В общем, это так. Однако в отношении логического анализа языка он был прямым продолжателем начатого ими дела. И можно сказать, что, если бы не было Сократа и софистов, не создалось бы почвы для научного подвига создания логики.

Софисты придавали исключительное значение человеческому слову и первыми не только подчеркнули, но и показали на деле его силу. “Слово, — говорил софист Горгий, — есть великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно незаметным телом, совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх изгнать, и печаль уничтожить, и радость вселить, и сострадание пробудить… То же самое значение имеет, какую сила лекарства относительно природы тел. Ибо подобно тому, как из лекарств одни изгоняют из тела одни соки, другие иные, и одни из них устраняют болезнь, а другие прекращают жизнь, точно так же и из речей одни печалят, другие радуют, третьи устрашают, четвертые ободряют, некоторые же отравляют и околдовывают душу, склоняя ее к чему-нибудь дурному”.

Язык, являвшийся до софистов только незаметным стеклом, через которое рассматривается мир, со времени софистов впервые стал непрозрачным. Чтобы сделать его таким, а тем самым превратить его в объект исследования, необходимо было дерзко и грубо обращаться с устоявшимися и инстинктивными правилами его употребления. Превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логики.

Важным является также типичное для софистов подчеркнуто формальное отношение к языку. Отрывая мысль от ее объекта, они отодвигают в сторону вопрос о ее соответствии этому объекту и замыкают мысль, потерявшую интерес к действительности и истине, только на слове. Как раз на этом пути, на пути преимущественного структурного восприятия языка и отвлечения от выражаемого им содержания, и возникло центральное понятие логики, понятие о чистой, или логической, форме мысли.

“…О чем бы ни шла речь, — говорит о софистах Платон, — об истинном или ложном, они опровергали все совершенно одинаково”. Со всех, пожалуй, точек зрения такое поведение предосудительно, кроме одной, именно той, что связана с логической формой. Выявление этой формы требует как раз полного отвлечения от конкретного содержания и, таким образом, от вопроса об истине. В идее аргументации с равной силой “за” и “против” любого положения, идее, проводимой сознательно и последовательно, можно усматривать зародыш основного принципа формальной логики: правильность рассуждения зависит только от его формы, и ни от чего иного. Она не зависит, в частности, от существования или не существования обсуждаемого объекта, от его ценности или никчемности и т.д. Она не зависит и от истинности или ложности входящих в рассуждение утверждений, эта мысль смутно просматривается как будто за вольным обращением софистов с истиной и ложью.

6. Софизмы и противоречивое мышление

“Софисты”, — пишет французский историк философии Э. Гратри, — это те, которые не допускают ни в умозрении, ни в практике той основной и необходимой аксиомы разума, что невозможно и утверждать и отрицать одно и то же, в одно и то же время, в одном и том же смысле и в одном и том же отношении”.

Очевидно, что это совершенно несправедливое обвинение. Актерство софистов, разыгрывание ими сомнения в справедливости приложений закона противоречия принимаются Э. Гратри за чистую монету. Когда софист говорит от себя, а не по роли, что, впрочем, бывает крайне редко, он вовсе не кажется защитником противоречивого мышления. В диалоге “Софист” Платон замечает, что испытание мыслей на противоречивость является несомненным требованием справедливости. Эта мысль Платона является только повторением утверждения софиста Горгия.

Таким образом, софизмы древних, сформулированные еще в тот период, когда логики как теории правильного рассуждения еще не было, в большинстве своем прямо ставят вопрос о необходимости ее построения. Прямо в той мере, в какой это вообще возможно для софистического способа постановки проблем. Именно с софистов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане они явились прямыми предшественниками Аристотеля.

7. Софизмы как особая форма постановки проблем

Чаще всего анализ софизма не может быть завершен раскрытием логической или фактической ошибки, допущенной в нем. Это как раз самая простая часть дела. Сложнее уяснить проблемы, стоящие за софизмом, и тем самым раскрыть источник недоумения и беспокойства, вызываемого им, и объяснить, что придает ему видимость убедительного рассуждения.

В обычном представлении и в специальных работах, касающихся развития науки, общим местом является положение, что всякое исследование начинается с постановки проблемы. Последовательность “проблема — исследование — решение” считается применимой ко всем стадиям развития научных теорий и ко всем видам человеческой деятельности. Хорошая, то есть ясная и отчетливая, формулировка задачи рассматривается как непременное условие успеха предстоящего исследования или иной деятельности.

Все это ясно, но лишь применительно к развитым научным теориям и достаточно стабилизировавшейся и отработанной деятельности. В теориях, находящихся на начальных этапах своего развития и только нащупывающих свои основные принципы, выдвижение и уяснение проблем во многом совпадает и переплетается с самим процессом исследования и не может быть однозначно отделено от него. Аналогично в случае других видов человеческой деятельности.

В обстановке, когда нет еще связной, единой и принятой большинством исследователей теории, твердой в своем ядре и развитой в деталях, проблемы ставятся во многом в расчете на будущую теорию. И они являются столь же расплывчатыми и неопределенными, как и те теоретические построения и сведения, в рамках которых они возникают.

Эту особую форму выдвижения проблем можно назвать парадоксальной, или софистической. Она подобна тому способу, каким в античности поднимались первые проблемы, касающиеся языка и логики.

Отличительной особенностью софизма является его двойственность, наличие, помимо внешнего, еще и определенного внутреннего содержания. В этом он подобен символу и притче.

Подобно притче, внешне софизм говорит о хорошо известных вещах. При этом рассказ обычно строится так, чтобы поверхность не привлекала самостоятельного внимания и тем или иным способом — чаще всего путем противоречия здравому смыслу — намекала на иное, лежащее в глубине содержание. Последнее, как правило, неясно и многозначно. Оно содержит в неразвернутом виде, как бы в зародыше, проблему, которая чувствуется, но не может быть сколь-нибудь ясно сформулирована до тех пор, пока софизм не помещен в достаточно широкий и глубокий контекст. Только в нем она обнаруживается в сравнительно отчетливой форме. С изменением контекста и рассмотрением софизма под углом зрения иного теоретического построения обычно оказывается, что в том же софизме скрыта совершенно иная проблема.

В русских сказках встречается мотив очень неопределенного задания. “Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что”. Как это ни удивительно, однако герой, отправляясь “неизвестно куда”, находит именно то, что нужно. Задача, которую ставит софизм, подобна этому заданию, хотя и является намного более определенной.

В притче “Перед параболами” Ф.Кафка пишет: “Слова мудрецов подобны параболам. Когда мудрец говорит: “Иди туда”, то он не имеет в виду, что ты должен перейти на другую сторону. Нет, он имеет в виду некое легендарное “Там”, нечто, чего мы не знаем, что и он сам не мог бы точнее обозначить”. Это точная характеристика софизма как разновидности притчи. Нельзя только согласиться с Кафкой, что “все эти параболы означают только одно — непостижимое непостижимо”. Содержание софизмов разностороннее и глубже, и оно, как показывает опыт их исследования, вполне постижимо. В заключение обсуждения проблем, связанных с софизмами, необходимо подчеркнуть, что не может быть и речи о реабилитации или каком-то оправдании тех рассуждений, которые преследуют цель выдать ложь за истину, используя для этого логические или семантические ошибки.

Речь идет только о том, что слово “софизм” имеет, кроме этого современного и хорошо устоявшегося смысла, еще и иной смысл. В этом другом смысле софизм представляет собой неизбежную на определенном этапе развития теоретического мышления форму постановки проблем. Сходным образом и само слово “софист” означает не только “интеллектуального мошенника”, но и философа, впервые задумавшегося над проблемами языка и логики.

Все в истории повторяется, появляясь в первый раз как трагедия, а во второй — как фарс. Перефразируя этот афоризм, можно сказать, что софизм, впервые выдвигающий некоторую проблему, является, в сущности, трагедией недостаточно зрелого и недостаточно знающего ума», пытающегося как-то понять то, что он пока не способен выразить даже в форме вопроса. Софизм, вуалирующий известную и, возможно, уже решенную проблему, повторяющий тем самым то, что уже пройдено, является, конечно, фарсом.

^ Софизм учебы

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

^ Не философия, а мечта лентяев!

Софизм Кратила

Диалектик Гераклит, провозгласив тезис «все течет», пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

^ Софизм Эватла

Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что внесет плату за обучение тогда, когда, после окончания школы, выиграет свой первый процесс. Школу он окончил, время шло, но он и не думал браться за ведение процессов и, вместе с тем, считал себя свободным от уплаты за учебу. Тогда Протагор, разозлившись, пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл ему заплатит, если судьи приговорят к оплате, то в силу решения суда, если не присудят, то по их договору. Однако, Эватл возразил, что не станет платить в любом случае: если присудят к уплате, то процесс будет проигран, и согласно их условию, платить не будет. А если не присудят, то уже из-за судейского вердикта.

8. Классификация ошибок

Логические

Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются:

в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Наиболее характерные:
1. Ошибка гомонимия (aequivocatio). например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
2. Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника >2 π в том смысле, что сумма <2 π.
3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = 2 π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».
4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (= (2*2)+5)) или 14 (= 2 * (2+5)).
Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:
1. Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно он — безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.
2. Ignoratio elenchi заключается в том, что мы, возражая на чье-нибудь мнение, направляем нашу критику не на те аргументы, которые ей подлежат, а на мнения, которые мы ошибочно приписываем нашим противникам.
3. A dicto secundum ad dictum simpliciter представляет заключение от сказанного с оговоркой к утверждению, не сопровождаемому этой оговоркой.
4. Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Психологические

Психологические причины софизма бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

а) Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм. Обозначим первые (отрицательные) качества а, а вторые (положительные) – b.

б) Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через с, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d. Argumentum ad hominem, вводящий в спор личные счёты, и argumentum ad populum, влияющий на аффекты толпы, представляют типичные софизмы с преобладанием аффективного элемента.

в) Волевые причины

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть волевой элемент — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика(е) и т. п. действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность (f) слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника.

Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей «Эристике». Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

Заключение

Мы узнали, что софизм – это рассуждение, содержащее замаскированные ошибки. Умение маскировать и маскироваться является основным в таких сферах, как военное дело, защита информации и криптографии, банковское дело.

Рассмотрев софизмы, мы узнали многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление — ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.

Проанализировав учебники математики, сборники олимпиадных задач и другую дополнительную литературу, мы пришли к выводу, что математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем. Например:

на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках;
при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
при написании реферативных и исследовательских работ.

При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки:

деление на 0;
неправильные выводы из равенства дробей;
неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
нарушения правил действия с именованными величинами;
путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
неравносильный переход от одного неравенства к другому;
выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Самыми популярными являются первые три. В результате мы отобрали и систематизировали задачи на софизмы по классам с 6 по 11.

Список используемой литературы

1. Аристотель. Риторика//Античные риторики. — М.: 1978.

2. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. — М.: 1990.

3. Поварнин С.И. Спор. О теории и практике спора. — Пг.: 1918.

4. Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи

Возрождения. — М.: 1974.

5. Уемов А. И. Логические ошибки. — М.: 1957.

6. Чернышев Б.С. Софистика. — М.: 1951.

7. Шопенгауэр А. Эристика, или Искусство побеждать в спорах. — СПб.: 1900.

8. Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960;

9. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К., Ошибки в математических

рассуждениях, 3 изд., М., 1967.

10. Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических

доказательствах.

11. А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”, 2003г.

12. Обреимов В.И., , “Математические софизмы”,СПб,1989г.

13. Т.Н. Михеева. Софизмы.

Источник

С
ошибками в рассуждениях приходится
сталкиваться на каждом шагу, и избежать
их невозможно. Больше того, процесс
человеческого познания состоит, в
сущности, из ошибок – в том числе ошибок
в рассуждениях – и их исправления. В
частности, ошибки неизбежны в спорах:
если двое отстаивают противоположные
мнения, то в силу закона противоречия
в рассуждениях, по крайней мере, одного
из них есть ошибки .

Ошибки
бывают преднамеренные и случайные.
Ненамеренные ошибки в рассуждениях
называют паралогизмами (буквально
«неверное умозаключение) .
Паралогизм понимается как непреднамеренная
ошибка в рассуждении, обусловленная
нарушением законов и правил логики.
Паралогизм кажется не обманом, а искренним
заблуждением, он не связан с умыслом
подменить истину ложью.

А.В.
Сухотин приводит так пишет о паралогизмах:
«Непреднамеренные сдвиги мышления,
случающиеся вопреки желаниям рассуждающего,
называются «паралогизмами». Этим словом
характеризуют операции мысли, отклоняющиеся
от правил логики, можно сказать,
«околологические» («пара» – в греческом
означает «около», «рядом», «вблизи»).
Здесь наблюдается явные отступления
от норм мышления, однако они не осознаются,
и их можно обнаружить лишь специальным
анализом. Пример: все
существительные меняют падежные
окончания. Слово «земля»
меняет
падежные окончания. Следовательно,
слово «земля» – существительное. Это,
конечно, правда – земля действительно
имя
существительное.

Вывод
верен, но получен он неверным путем.
Здесь имеется логическая погрешность.
Её можно обнаружить, подставив в схему
рассуждения вместо слова «земля» другое,
обозначающее не существительное, а,
например, прилагательное – слово
«синий».
Тогда
получается следующее заключение: все
существительные меняют падежные
окончания. Слово «синий» меняет падежные
окончания. Следовательно, слово «синий»
– существительное. Но это вовсе не
существительное, здесь имеется ошибка
– нарушено правило логики.

Чтобы
получить верный результат в рассуждениях
подобной структуры, одна из посылок
обязательно должна быть отрицательной.
Например: все существительные обозначают
предметы или вещи. Слово «синий» не
обозначает предмета или вещи. Следовательно,
слово «синий» не существительное. Однако
в первом примере полученное следствие
оказалось истиной, хотя умозаключение
шло по такой же форме, что и во втором,
когда мы получили ошибочный результат.

В
этом и состоит особенность паралогизмов,
что иногда они могут давать верный вывод
при логически неправильном рассуждении.
В подобных случаях эта правильность
случайная и потому вводит в заблуждение.
Результатом подобных заблуждений
является тот факт, что зачастую люди
делают ложные заключения и, не замечая
погрешности, считают их истинным [9].

Действительно,
если критерий изменений падежных
окончаний «работает» со словом «земля»,
то почему бы ему ни быть определяющим
при тех же операциях со словом «синий»?
Вот таким образом и создаются паралогизмы.

Другой
вид ошибок – это ошибки преднамеренные,
их называют софизмами.
Софизм (буквально
«мастерство, умение, искусство») обычно
определяется как умозаключение или
рассуждение, обосновывающее какую-нибудь
заведомую нелепость, абсурд или
парадоксальное утверждение, противоречащее
общепринятым представлениям. Софизмы
– логически неправильные рассуждения,
выдаваемые за правильные и доказательные.

Кажущаяся
убедительность многих софизмов, иллюзия
их «логичности» и «доказательности»
связана с хорошо замаскированной
ошибкой, с нарушением правил языка или
логики. Софизм – это обман, но обман
тонкий и закамуфлированный, так что его
не сразу и не каждому удаётся раскрыть.

Говоря
о мнимой убедительности софизмов,
древнеримский философ Сенека сравнивал
их с искусством фокусников: мы не можем
сказать, как совершаются их манипуляции,
хотя твердо знаем, что все делается
совсем не так, как нам представляется.

Ф.
Бэкон сравнивал того, кто прибегает к
софизмам, с лисой, которая хорошо петляет,
а того, кто раскрывает софизмы, – с
гончей, умеющей распутывать следы

А.А.
Ивин пишет: «В обычном и распространённом
понимании софизм – это умышленный
обман, основанный на нарушении правил
языка и логики. Его цель – выдать ложь
за истину. Считается, что прибегать к
софизмам предосудительно, как и вообще
обманывать и внушать ложную мысль,
поэтому о софизмах обычно говорят
вскользь и с очевидным осуждением».
Подобное отношение к софизмам, на первый
взгляд, является вполне оправданным.
Действительно, вряд ли имеет смысл
задерживаться и размышлять над следующими
рассуждениями, которые являются примерами
софизмов:

«Сидячий
встал; кто встал, тот стоит; следовательно,
сидячий стоит»;

«Сократ
– человек; человек – не то же самое, что
Сократ; значит, Сократ – это нечто иное,
чем Сократ»;

«Для
того чтобы видеть, не обязательно иметь
глаза, так как без правого глаза мы
видим, без левого тоже видим; кроме
правого и левого, других глаз у нас нет;
поэтому ясно, что глаза не являются
необходимыми для зрения»

Софизмы
существуют уже более двух тысячелетий.
Их возникновение обычно связывается с
философией софистов (Древняя Греция
V-IV вв. до н.э.), которая обосновывала и
оправдывала подобные рассуждения.
Однако софизмы существовали задолго
до философов-софистов, а наиболее
известные и интересные из них были
сформированы позднее в сложившихся под
влиянием Сократа философских школах.
Термин «софизм» впервые ввел Аристотель,
охарактеризовавший софистику как
мнимую, а не действительную мудрость.
К софизмам были отнесены и апории Зенона,
направленные против движения и
множественности вещей, и рассуждения
собственно софистов, и все те софизмы,
которые открывались в других философских
школах. Это говорит о том, что софизмы
не были изобретением одних софистов, и
являлись скорее чем-то обычным для
многих школ античной философии.

Характерно,
что для широкой публики софистами были
также Сократ, Платон и сам Аристотель.
Не случайно Аристофан в комедии «Облака»
представил Сократа типичным софистом.
В ряде диалогов Платона человеком,
старающимся запугать своего противника
тонкими вопросами, выглядит иногда в
большей мере Сократ, чем Протагор.

Широкую
распространенность софизмов в Древней
Греции можно понять, только предположив,
что они как-то выражали дух своего
времени и являлись одной из особенностей
античного стиля мышления .

Обычно
софисты выступали публично, с целью
озадачить, запутать и поставить в
неловкое положение своего собеседника
и заодно повеселить публику. Вот примеры
самых известных античных софизмов:

1.
В одном из своих диалогов Платон
описывает, как два древних софиста
запутывают простодушного человека по
имени Ктесипп.

—
Скажи-ка, если у тебя собака?

—
И очень злая, — отвечает Ктесипп.

— А
есть ли у неё щенята?

—
Да, тоже злые.

—
А их отец, конечно, собака же?

—
Я даже видел, как он занимается с самкой.

—
И этот отец тоже твой?

—
Конечно.

—
Значит, ты утверждаешь, что твой отец –
собака и ты брат щенят!

Здесь
имеется следующая логическая ошибка:
заключение не вытекает из принятых
посылок. Чтобы убедиться в этом, нужно
слегка переформулировать посылки, не
меняя их содержания: «Этот пес принадлежит
тебе; он является отцом». Из данной
информации можно вывести только одно
заключение: «Этот пес принадлежит тебе
и он является отцом», но никак не «Он
твой отец».

2.
Обычная для разговорного языка сокращенная
форма выражения заводит в тупик в
следующем рассуждении.

—
Скажи, — обращается софист к молодому
любителю споров, -может одна и та же вещь
иметь какое-то свойство и не иметь его?

—
Очевидно, нет.

—
Посмотрим. Мёд сладкий?

—
Да.

—
И жёлтый тоже?

—
Да, мёд сладкий и жёлтый. Но что из этого?

—
Значит, мёд сладкий и жёлтый одновременно.
Но жёлтый – это сладкий или нет?

—
Конечно, нет. Жёлтый – это жёлтый, а не
сладкий.

—
Значит, жёлтый – это не сладкий?

—
Конечно.

—
О мёде ты сказал, что он сладкий и жёлтый,
а потом согласился, что жёлтый не значит
сладкий, и поэтому как бы сказал, что
мёд является и сладким, и несладким
одновременно. А ведь в начале ты твердо
говорил, что не одна вещь не может и
обладать и не обладать каким-то свойством.

Конечно,
софисту не удалось доказать, что мёд
имеет одновременно противоречащие друг
другу свойства – сладкий и несладкий.
Подобные утверждения несовместимы с
логическим законом противоречия, и их
вообще не возможно доказать. Видимость
убедительности данного утверждения
создаётся за счет подмены софистом
выражения «Быть желтым не значит быть
сладким» выражением «Быть желтым значит
не быть сладким». Но это совершенно
разные выражения. Верно, что желтое не
обязательно является сладким (например,
лимон, который желтый и кислый), но
неверно, что желтое непременно несладкое.
Подмена происходит почти незаметно,
когда рассуждение протекает в сокращенной
форме. Но стоит развернуть сокращённое
«желтый – это несладкий», как эта подмена
становиться явной.

3.
Софизм «Рогатый» был одним из самых
знаменитых в Древней Греции. Сейчас он
содержится во многих энциклопедиях в
качестве «образцового». С его помощью
можно уверить каждого, что он рогат: «Что
ты не терял, ты имеешь; рога ты не терял;
значит у тебя рога». Здесь
обыгрывается двусмысленность выражения
«то, что не терял». Иногда оно означает
«то, что имел и не потерял», а иногда
просто «то, что не потерял, независимо
от того, имел или нет».

Можно,
например, спросит человека: «Не вы
потеряли зонтик?», не зная заранее, был
у него зонтик или нет. В посылке «Что ты
не терял, то имеешь» оборот «то, что ты
не терял» должен означать «то, что имел
и не потерял», иначе эта посылка окажется
ложной. Но во второй посылке это значение
уже не проходит: высказывание «Рога –
это то, что ты имел и не потерял» является
ложным .

Подобных
софизмов придумали в античности очень
много. И, несмотря на то, что их осуждали
и критиковали ещё в Древней Греции, их
обсуждают и сейчас, и интерес к ним не
пропал и в наши дни. Люди до сих пор
сочиняют и используют софизмы в своей
речи. Примером современного софизма
может служить сочиненная английскими
студентами песенка:

Чем
больше учишься, тем больше знаешь. Чем
больше знаешь, тем больше забываешь. А
чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
А чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше
знаешь. Так для чего учиться?

А
в одном известном анекдоте про Вовочку
(где доказывается, что таракан слышит
ногами) можно увидеть аналогию с
софистическим утверждением, что для
зрения глаза не так уж нужны.

Встречаются
софизмы и в повседневных разговорах,
например, в спорах. Часто один из
участников спора, стремящийся добиться
победы любой ценой, намеренно использует
в своей речи софизмы. А.А. Ивин пишет:
«Софизм традиционно считается помехой
в обсуждении и в споре. Использование
софизмов уводит рассуждение в сторону:
вместо выбранной темы приходится
говорить о правилах и принципах логики».

Таким
образом, софизмы понимаются лишь как
сбивчивое доказательство, как нечестная
попытка выдать ложь за правду. Это
преднамеренные логические ошибки,
тонкий завуалированный обман.

Парадокс,
по своей природе близок и паралогизму
и особенно софизму. Однако, несмотря на
их схожесть, все-таки существуют и
различия. Как уже говорилось, парадоксом
называется странный, неожиданный
результат, глубоко расходящийся с
общепринятыми представлениями. Но от
паралогизма он отличается тем, что
выведен логически корректно, с соблюдением
норм и правил логики. Различие между
парадоксом и софизмом в то, что парадокс
– не преднамеренно полученный
противоречивый результат.

Впрочем,
нужно заметить, что грань между софизмами
и парадоксами не является четко
определенной. В случаях многих конкретных
рассуждений невозможно решить на основе
стандартных определений софизма и
парадокса, к какому из этих двух классов
следует отнести данные рассуждения.
Хорошо известный «Парадокс лжеца» был
придуман, как софизм, однако в последствие
получил статус парадокса, поскольку
его противоречивость говорит о какой-то
логической ошибке, но в чем она и как её
устранить до сих пор остаётся загадкой.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник