Sqrt x sqrt y какая ошибка допущена

2019-05-19   

Сколько решений в целых числах имеет уравнение

Решение:

$sqrt{x} + sqrt{y} = 141 sqrt{10}$, или $sqrt{ frac{x}{10}} + sqrt{ frac{y}{10} } = 14$.

Отсюда легко получить, что $sqrt{ frac{x}{10} }$ и $ sqrt{ frac{y}{10}} $ — рациональные числа (см. задачу 13). Легко видеть, что если $sqrt{ frac{m}{n} }$ есть рациональное число, а натуральные числа $m$ и $n$ взаимно просты, то $m = k^{2}, n = l^{2}$. Поэтому числа $x$ и $y$ делятся на 10: $x = 10z, y = 10t$.

Перепишем уравнение: $sqrt{z} + sqrt{t} = 14$.

Отсюда видно, что уравнение имеет 15 решений.

Show that if $x, y, sqrt{x} + sqrt{y}∈ mathbb{Q}$ then $sqrt{x}, sqrt{y} ∈ mathbb Q$.

If $r=sqrt{x} + sqrt{y} ∈ mathbb{Q}$, then so is $$r^2 = x + y + 2sqrt{xy},$$
which implies that $$sqrt{xy} = frac{1}{2}(r^2 — x — y) ∈ mathbb{Q}.$$

From $sqrt{xy} ∈ mathbb{Q}$ we have that $sqrt{x}, sqrt{y} ∈ mathbb{Q}$. To show this is true we suppose the opposite.

Wlog if $sqrt{y} not∈ mathbb{Q}$ and $sqrt{x} ∈ mathbb{Q}$, then we would have $sqrt{xy} not∈ mathbb{Q}$.

Assume that $sqrt{xy} ∈ mathbb{Q}$ when $sqrt{y} ∈ mathbb{Q}$.

So we have $$sqrt{xy} = sqrt{x}sqrt{y} = frac{p}{q}sqrt{y},$$ where $dfrac{p}{q} = sqrt{x}$ and $(p,q)=1$, which is irrational. Contradiction.

I don’t know if this is right. Can somebody please help me with this problem and tell me what should I do?

Программист ошибся в записи оператора присваивания на языке Паскаль:…

Подобные задачи из результатов поиска в Интернете