Ср квадратич ошибка повторной выборки для доли - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Формула
доверительной вероятности при оценке
генеральной
доли признака. Средняя квадратическая
ошибка повторной и бесповторной
выборок и построение доверительного
интервала для
генеральной доли признака.
Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.

Построение
доверительного интервала для гeнеральной
средней и гeнеральной доли по большим
выборкам.
Для построения доверительных интервалов
для параметров генеральных совокупностей
м.б. реализованы 2 подхода, основанных
на знании точного (при данном объеме
выборки n) или асимптотического (при n
→ ∞) распределения выборочных
характеристик (или некоторых функций
от них). Первый подход реализован далее
при построении интервальных оценок
параметров для малых выборок. В данном
параграфе рассматривается второй
подход, применимый для больших выборок
(порядка сотен наблюдений).

Теорема.
Вер-ть того, что отклонение выборочной
средней (или доли) от генеральной средней
(или доли) не превзойдет число Δ > 0 (по
абсолютной величине), равна:

Где

Где
.

Ф(t) — функция
(интеграл вероятностей) Лапласа.

Формулы получили
название формул
доверительной вер-ти для средней и доли.

Среднее квадратическое
отклонение выборочной средней
и выборочной долисобственно-случайной выборки называетсясредней
квадратической (стандартной) ошибкой
выборки (для бесповторной выборки
обозначаем соответственно
и).

Следствие
1. При
заданной доверительной вер-ти γ предельная
ошибка выборки равна t-кратной величине
средней квадратической ошибки, где Ф(t)
= γ, т.е.

Следствие
2.
Интервальные оценки (доверительные
интервалы) для генеральной средней и
генеральной доли могут быть найдены по
формулам:

Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.

Для проведения выборочного наблюдения
весьма важно правильно установить
объем выборки n, к-ый в значительной
степени определяет необходимые при
этом временные, трудовые и стоимостные
затраты для определения n необходимо
задать надежность (доверительную вер-ть)
оценки γ и точность (предельную ошибку
выборки) Δ.

Если найден объем повторной выборки n,
то объем соответствующей бесповторной
выборки n’ можно определить по формуле:

Т.к.
,
то при одних и тех же точности и надежности
оценок объем бесповторной выборки n’
всегда меньше объема повторной выборки
n.

Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

Определение.
Статистической
гипотезой
называется любое предположение о виде
или параметрах неизвестного закона
распределения.

Различают простую
и сложную статистические гипотезы.
Простая
гипотеза,
в отличие от сложной, полностью определяет
теоретическую функцию распределения
СВ.

Проверяемую гипотезу
обычно называют нулевой
(или основной)
и обозначают Н₀.
Наряду с нулевой гипотезой рассматривают
альтернативную,
или конкурирующую,
гипотезу H₁,
являющуюся логическим отрицанием Н₀.
Нулевая и альтернативная гипотезы
представляют собой 2 возможности выбора,
осуществляемого в задачах проверки
статистических гипотез.

Суть проверки
статистической гипотезы заключается
в том, что используется специально
составленная выборочная характеристика
(статистика)
,
полученная по выборке,
точное или приближенное распределение
которой известно.

Затем по этому
выборочному распределению определяется
критическое значение
— такое, что если гипотеза Н₀
верна, то вер-ть
мала; так что в соответствии с принципом
практической уверенности в условиях
данного исследования событиеможно (с некоторым риском) считать
практически невозможным. Поэтому, если
в данном конкретном случае обнаруживается
отклонение,
то гипотеза Н₀
отвергается, в то время как появление
значения
,
считается совместимым с гипотезой Н₀,
которая тогда принимается (точнее, не
отвергается). Правило, по которому
гипотеза Н₀
отвергается или принимается, называется
статистическим
критерием
или статистическим
тестом.

Принцип
практической уверенности:

Если вер-ть события
А в данном испытании очень мала, то при
однократном выполнении испытания можно
быть уверенным в том, что событие А не
произойдет, и в практической д-ти вести
себя так, как будто событие А вообще
невозможно.

Т.о., множество
возможных значений статистики — критерия
(критической статистики)
разбивается на 2 непересекающихся
подмножества:критическую
область
(область отклонения гипотезы) W
и область
допустимых значений
(область принятия гипотезы)
.
Если фактически наблюдаемое значение
статистики критерияпопадает в критическую область W, то
гипотезу Н₀
отвергают. При этом возможны четыре
случая:

Определение.
Вероятность α допустить ошибку l-го
рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀,
когда она верна, называется уровнем
значимости,
или размером
критерия.

Вероятность
допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять
гипотезу Н₀,
когда она неверна, обычно обозначают
β.

Определение.
Вероятность (1-β) не допустить ошибку
2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀,
когда она неверна, называется мощностью
(или функцией
мощности)
критерия.

Следует предпочесть
ту критическую область, при которой
мощность критерия будет наибольшей.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Средние ошибки повторной и бесповторной выборки

Средняя ошибка выборки

Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями, которое не превышает ±б (дельта).

На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе в контрольных работах по статистике рассчитывается по формуле (для среднего количественного признака):

где числитель — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — численность выборочной совокупности.

Для альтернативного признака формула средней ошибки выборки для доли по теореме Я. Бернулли рассчитывается по формуле:

где р(1- р) — дисперсия доли признака в генеральной совокупности;
n — объем выборки.

Вследствие, того что дисперсия признака в генеральной совокупности точно не известна, на практике используют значение дисперсии, которое рассчитано для выборочной совокупности на основании закона больших чисел. Согласно данному закону выборочная совокупность при большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Поэтому расчетные формулы средней ошибки при случайном повторном отборе будут выглядеть таким образом:

1. Для среднего количественного признака:

где S^2 — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где w (1 — w) — дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности.

В теории вероятностей было показано, что генеральная дисперсия выражается через выборочную согласно формуле:

В случаях малой выборки, когда её объем меньше 30, необходимо учитывать коэффициент n/(n-1). Тогда среднюю ошибку малой выборки рассчитывают по формуле:

Так как в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности, то в представленных выше формулах расчета средних ошибок выборки нужно подкоренное выражение умножить на 1- (n/N).

Расчетные формулы для такого вида выборки будут выглядеть так:

1. Для средней количественного признака:

где N — объем генеральной совокупности; n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где 1- (n/N) — доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку n всегда меньше N, то дополнительный множитель 1 — (n/N) всегда будет меньше единицы. Это означает, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. Когда доля единиц генеральной совокупности, которые не попали в выборку, существенная, то величина 1 — (n/N) близка к единице и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле.

Средняя ошибка зависит от следующих факторов:

1. При выполнении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется во-первых объемом выборки: чем больше численность, тем меньше величины средней ошибки выборки. Генеральная совокупность характеризуется точнее тогда, когда больше единиц данной совокупности охватывает выборочное наблюдение

2. Средняя ошибка также зависит от степени варьирования признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией. Чем меньше вариация признака (дисперсия), тем меньше средняя ошибка выборки. При нулевой дисперсии (признак не варьируется) средняя ошибка выборки равна нулю, таким образом, любая единица генеральной совокупности будет характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

Источник

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки ( Delta ) равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

степени вариации единиц генеральной совокупности;
объема выборки;
выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Таблица
11.2.

Значение доверительной вероятности P	0,683	0,954	0,997
Значение коэффициента доверия t	1,0	2,0	3,0

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ()

где $sigma^{2}$ — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

Таблица
11.4.

Уровень фондоотдачи, руб.	До 1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0-2,2	2,2 и выше	Итого
Количество предприятий	13	15	17	15	16	14	90

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Таблица
11.5.

Результаты наблюдения	Расчетные значения
уровень фондоотдачи, руб., x_i	количество предприятий, f_i	середина интервала, x_i^xb4	x_i^xb4f_i	x_i^xb4²f_i
До 1,4	13	1,3	16,9	21,97
1,4-1,6	15	1,5	22,5	33,75
1,6-1,8	17	1,7	28,9	49,13
1,8-2,0	15	1,9	28,5	54,15
2,0-2,2	16	2,1	33,6	70,56
2,2 и выше	14	2,3	32,2	74,06
Итого	90	—	162,6	303,62

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки
Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна
$delta_{x}= tmu_{x}= 2*0.035 = 0.07$
Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

$delta_{x}= tmu_{x}= 2*0.027 = 0.054$

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

$sigma_{w}^{2}= w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222$ ;

средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

$delta_{x}= tmu_{x}= 3*0.04 = 0.12$

установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки () при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь $sigma^{2}$ — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., N_i	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., n_i	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, x_i	Внутригрупповая выборочная дисперсия, $sigma_{i}^{2}$
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

общий объем выборочной совокупности:
n = 2550/130*5 =128 (чел.);
количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Средняя ошибка выборки:

С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

$delta_{x} = tmu_{x} = 2*0.334 = 0.667$
Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

$delta_{MB}= tmu_{MB}$

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

Среднее значение признака в выборке равно
Значение среднего квадратического отклонения составляет
Средняя ошибка выборки:
Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
Предельная ошибка выборки:
$delta_{MB}= tmu_{MB}=2,365*0,344 = 0,81356 ~ 0,81 (ч)$
Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

вид предполагаемой выборки;
способ отбора (повторный или бесповторный);
выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Источник

Средняя квадратическая стандартная ошибка выборки Пояснение для

Средняя квадратическая / стандартная ошибка выборки Пояснение для таких, как я, жирафов

Зачем эта презентация? Во-первых, «средняя квадратическая / стандартная ошибка выборки» – длинное и сложное название, которое часто обрубают в задачах до «средней» или «стандартной» ошибки. То, что это одно и то же, в свое время было для меня настоящим открытием. Эта пресловутая ошибка бывает разная и записывается всегда по-разному, что здорово путает. Оказывается, эта штука много где попадается, но постоянно меняет обличья. Из-за этого мы зубрим целую кучу формул, когда можно обойтись однойдвумя.

Она бывает: Для выборочной средней Для выборочной доли (w, или в учебниках иногда p)

Как ее обозначают? Как только не измывались над несчастной! Это варианты написания стандартной ошибки для средней в лекциях и учебниках. Над ошибкой доли издевались точно так же, или вообще забыли о ее существовании и записывали сразу формулой, что здорово путает несчастных студентов. Здесь я обозначу ее через «ε» , потому что это, хвала Богам, редкая буква, и ее не перепутать ни с моментом, ни с выборочным СКО.

Собственно, формула (корень из дисперсии на число элементов в выборке или СКО разделить на корень из объема выборки) Это основная формула, фундамент, основа основ. Достаточно выучить только её, а дальше просто поработать головой! Как? Читай дальше!

Разновидности и откуда они взялись 1. Для доли. У доли дисперсия считается необычно. Если долю изучаемого признака взять за p, а долю «всего остального» — за q, то дисперсия равна p*q или p*(1 p). Отсюда взялась формула:

Разновидности и откуда они взялись (2) 2. Где взять генеральное СКО? σ – это, вообще-то, генеральное СКО, которое вам в задаче фиг дадут. Есть выход – выборочная дисперсия S 2 , которая, как всем известно, смещена. Поэтому оцениваем генеральную так: (чтобы и не думала смещаться), и подставляем. А можно сразу так: Но есть такая фишка. Если n>30, разница между S и σ крайне мала ©, поэтому можно схитрить и написать проще:

Разновидности и откуда они взялись (3) «Откуда взялись еще какие-то скобки и энки? ? ? » Есть 2 метода формирования выборки, помним? – повторный и бесповторный. Так вот, все предыдущие формулы годятся для повторной выборки или когда выборка n по отношению к генеральной совокупности N настолько мала, что отношением n/N можно пренебречь. В случае, когда прям принципиально, что выборка бесповторная, или когда в задаче открытым текстом говорится, сколько единиц в генеральной совокупности, обязательно использовать:

Где используют среднюю квадратическую (стандартную) ошибку? Тесты Стьюдента – ошибка «сидит» в знаменателе t-статистика для подтверждения гипотезы о средней. t-статистика для подтверждения гипотезы о равенстве средних. Z-тесты о долях Предельная ошибка средней И еще где-то)

Спасибо за чтение) что-то прояснилось?

Источник

Приведенные в предыдущих параграфах сведения позволяюТ Решить ряд примеров, связанных с результатами выборочного Наблю дения.

Пример 2. Для определения средней урожайности пшеницы На Площади 10000 Га определена урожайность На 1000 Га. РезультаТы выборочного обследования представлены в виде Следующего Распределения:

Урожайность в Ц с Га

Количество Га

11 – 13

13 – 15

15 – 17

17 – 19

150

200

450

200

Итого

1000

Найти вероятность того, что средняя урожайность пшеницы нА Всем массиве отличается от средней выборочной не более чем на 0,1 Ц, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Решение. Вычислим среднюю арифметическую и дисперсиИ Данного в условии распределения (это будут выборочная Средняя И выборочная дисперсия).

За значение признака нужно принять середины интервалов В результате получим

Для нахождения вероятности искомого события применяем формулу

В которой . Найдем среднюю Квадратическую ошибку M.

Для повторной выборки по формуле (1), в которой , А П= 1000, получим

А в случае бесповторной выборки имеем по формуле (3)

Если выборка Повторная, то вычисление искомой Вероятности Дает

Если же выборка бесповторная, то искомая вероятность

Пример 3. Нз партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке (W=0,04) не более чем на 0,015, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Решение. В соответствии с формулой (2) при W=0,04, П = 1000 средняя Квадратическая ошибка повторной выборки

Если выборка бесповторная, то в соответствии с формУЛой (4) при значениях W=0,04, П = 1000 и N= 8000, средняя Квадратическая ошибка .

Отсюда искомая вероятность определяется так:

А) при повторной выборке

Б) при бесповторной выборке .

Пример 4. При условиях приведенного выше примера 2 найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена урожайность на всем массиве.

Решение. По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(3)=0.9973. Следовательно, при соотношении

, или

Можно, зная значения M и для повторной и для бесповторной выборки, найти D (предельную ошибку выборки):

А) если выборка повторная, то

;

Б) если выборка бесповторная, то

Таким образом, с вероятностью 0,9973 средняя урожайность (в Ц) НА всем массиве заключена в границах 15,4±0,18, т. Е. От 15,4-0,18 = 15,22 до 15,4+0,18=15,58, если выборка повторная, и в границах 15,4±0,17, т. е. от 15,4-0,17=15,23 до 15,4+0,17=15,57, если выборка бесповторная.

Пример 5. Из партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля нестандартных деталей во всей партии, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Решение. По таблице значений функции Ф(Х) находим, что . Следовательно, приходим к равенству , где M — средняя Квадратическая ошибка. В примере 3 (см. выше) мы вычислили, что она равна 0,0062, если выборка повторная, и 0,0059, если выборка бесповторная. Поэтому предельная ошибка выборки

, если выборка повторная;

, если выборка бесповторная,

Теперь можно найти искомые границы. Они буду таковы:

0,04±0,0124, т. е. от 0,0276 до 0,0524

(или от 2,76% до 5,24%), если выборка повторная, и

0,04±0,0118, т. е. от 0,0282 до 0,0518

(или от 2,82% до 5,18%), если выборка бесповторная.

Если требуется определить необходимый объем (П) Повторной Выборки, при котором с заданной надежностью (Р) отклонеНИе выборочной средней или доли от генеральной не превысило данной предельной ошибки (D), то значение П отыскивается из соотношения . Здесь T определяется по таблице из условия , a M — По одной из четырех формул. В частности, при определении среднеЙ признака искомый объем находится в виде , а при Определении доли признака — в виде или .

Пример 6. Из партии в 1000 единиц готовой продукции производится повторная выборка для определения доли брака. Найти тот объем этой выборки, при котором с вероятностью Р=0,99 гарантируется ошибка не свыше 0,1.

Решение. Здесь . Значению По таблице значений Ф(Х) соответствует . При заданном имеем . Значение П следует найти из соотношения . Но в условии нет значения доли брака. Поэтому следует использовать наибольшее значение Pq=0,25. Это приводИТ к соотношению , откуда .

Если надо установить объем выборочной совокупности при бесповторной выборке, то из формул (3) и (4)

Получаются следующие выражения для этого объема в бесповторной выборке:

(при определении средней признака)

(при определении доли признака).

Пример 7. Найти объем выборки из партии в 6000 прецизионных приборов, при котором можно с вероятностью Р=0,890 утверждать, что отклоненИе доли точных приборов в выборке от вероятности их изготовления р=0,4 не превысит 0,02: а) при повторной выборке и б) при бесповторной выборке.

РешенИЕ. Здесь дает по таблице значений Ф(Х) T=1,6. Предельная ошибка выборки по условию . Отсюда

А) при повторной выборке применяется формула , что дает:

Б) при Бесповторнои выборке применяем формулу , что дает:

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Определение необходимого объема повторной и бесповтор­ной выборок при оценке генеральной средней и доли.

Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

Средние ошибки повторной и бесповторной выборки

Средняя ошибка выборки

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Средняя квадратическая стандартная ошибка выборки Пояснение для

Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.