Среднеквадратическая ошибка фильтрации

Тогда
соответствующие спектральные плотности мощности имеют вид [5]

,                            

.                                  

Подставляя и в и , получим комплексную частотную
характеристику фильтра Винера и величину минимальной среднеквадратической
ошибки:

,                     

,                      где  –
амплитудно-частотная характеристика фильтра Винера.

Из полученных соотношений следует:

1.  Так как спектральные плотности
мощности являются вещественными и четными функциями, то комплексная частотная
характеристика фильтра Винера также является вещественной и четной.
Откуда следует, что фазочастотная характеристика фильтра Винера тождественно
равна нулю на всех частотах. Таким образом, фильтр Винера не вносит фазовых
искажений в наблюдаемый сигнал и тем самым максимально сохраняет форму
оцениваемого сигнала.

2.  Амплитудно-частотная характеристика
фильтра Винера

примерно равна единице на тех
частотах, где спектральная плотность мощности оцениваемого сигнала много больше
спектральной плотности мощности шума () и
примерно равна нулю при .

3.  Поскольку преобразование Фурье от
четной функции является четной функцией, импульсная характеристика фильтра
Винера является также четной функцией.

4.  Минимальная cреднеквадратическая ошибка определяет потенциальную границу
точности линейной фильтрации случайного процесса, наблюдаемого на фоне
аддитивного шума, не коррелированного с этим процессом. При этом величина cреднеквадратической ошибки не
превышает дисперсии шума:

.

Очевидно, что среднеквадратическая
ошибка равна дисперсии шума, если фильтр вообще отсутствует, т.е. когда . Поэтому использование фильтра Винера не
может привести к увеличению среднеквадратической ошибки.

5.  Из следует, что среднеквадратическая ошибка
фильтрации равна нулю при , т.е. при отсутствии
шума или когда спектральные плотности мощности сигнала и помехи не перекрываются
на всех частотах. В последнем случае амплитудно-частотная характеристика
фильтра Винера равна

6.  Если спектральные плотности мощности
сообщения и помехи перекрываются, например, при , то
среднеквадратическая ошибка фильтрации не равна нулю. Ошибка фильтрации
возникает как от пропускания помехи в частотном диапазоне , так и от ослабления сигнала в этом же
частотном диапазоне. Причем чем больше спектральная плотность мощности помехи в
диапазоне перекрытия, тем сильнее искажение информационного сигнала.

7.  Если спектральная плотность мощности
помехи с точностью до константы равна спектральной плотности мощности информационного
сигнала, т.е. , то фильтр Винера вырождается в
линейный усилитель с постоянным во всем диапазоне частот коэффициентом усиления

.

Пример 3.1. Пусть сигнал с ковариационной функцией

                              наблюдается на фоне аддитивного белого
шума с ковариационной функцией

.                                  

Математические ожидания
сигнала и шума равны нулю. Сигнал и шум взаимно некоррелированные случайные
процессы [5]. Выполнить синтез и анализ фильтра Винера.

Спектральные плотности
мощности сигнала и помехи соответственно равны:

,                              

.                                     

Введем безразмерный коэффициент , имеющий физический смысл отношения
сигнал/шум в эффективной полосе частот. Эффективная ширина спектра сообщения  равна [5]

, тогда дисперсия шума в эффективной
полосе частот

, откуда

.

Подставив и в и , получим

,          

.          

Из и следует, что при неограниченном
увеличении отношения сигнал/шум в эффективной полосе частот () амплитудно-частотная характеристика
фильтра Винера стремится к единице на всех частотах, т.е. фильтр будет
пропускать сигнал без искажений, при этом среднеквадратическая ошибка стремится
к нулю. С другой стороны, при неограниченном уменьшении отношения сигнал/шум в
эффективной полосе частот амплитудно-частотная характеристика фильтра Винера на
всех частотах стремится к нулю. В этом случае оптимальное значение сигнала на
выходе фильтра равно нулю. Расширение эффективной ширины спектра сообщения,
наблюдаемого на фоне аддитивного белого шума, при фиксированном значении его
мощности () приводит к уменьшению  и, как следствие, к увеличению
среднеквадратической ошибки. Это объясняется тем, что спектрально-корреляционные
характеристики сообщения приближаются к спектрально-корреляционным характеристикам
шума и их невозможно разделить с помощью линейной фильтрации. ■

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

Спектральная
плотность реверберационной помехи в
каждый момент времени с точностью до
постоянного множителя совпадает со
спектральной плотностью зондирующего
сигнала:

,

где
– спектральная плотность зондирующего
сигнала;а
– коэффициент пропорциональности.

С
другой стороны, можно считать, что
амплитудный спектр
)
сигнала, отраженного от дефекта, также
пропорционален амплитудному спектру
зондирующего сигнала):

,

где
k
– коэффициент пропорциональности,
учитывающий коэффициент отражения от
выявляемого объекта и ослабление
амплитуды сигнала при его распространении;
– множитель, учитывающий задержку
сигнала при его распространении;t_э
=
2r/
c ; r – расстояние
до отражателя; c
– скорость распространения сигнала.

Тогда
на основе формулы (1.8) можно записать
выражение для частотной характеристики
оптимального фильтра обнаружения
эхо-сигнала на фоне реверберационной
помехи:

(1.21)

Фильтр,
комплексная частотная характеристика
которого определяется формулой (1.21),
называется обратным фильтром или
фильтром Урковица. Видно, что фильтрация
здесь затруднена, так как она осуществляется
за счет подавления спектра сигнала.

На
практике реверберационная помеха
действует вместе с некоррелированной
с сигналом шумовой помехой, имеющей
спектральную плотность N₀/2
в полосе
частот
. В этом случае спектральная плотность
помехи

Тогда
можно получить выражение для частотной
характеристики оптимального фильтра:

Пиковое
отношение сигнал / помеха

(1.22)

Исследование
последнего выражения показывает, что
отношение сиг-нал / помеха максимально,
когда амплитудный спектр сигнала
постоянен в заданной полосе частот,
т. е.

Здесь
E_s
– энергия
зондирующего
сигнала.

Подставляя
это условие в формулу (2.22), получим

Таким
образом, для минимизации влияния
реверберационной помехи нужно использовать
широкополосные сигналы с равномерным
спектром. При этом увеличение ширины
спектра сигнала при неизменной излучаемой
мощности приводит к уменьшению значений
спектральной плотности.

1.8. Оптимальная фильтрация сигналов по критерию минимума среднеквадратической ошибки (сглаживающие и прогнозирующие фильтры)

При
классификации сигналов или измерении
их параметров необходимо получить
возможно более точную информацию об
интересующем объекте. Иногда необходимо
по обработанной части сигнала предсказать
(достроить) значение сигнала в последующие
моменты времени. Первую задачу –
выделение сигнала из шумов с минимальными
искажениями – решают так называемые
сглаживающие фильтры, вторую задачу –
прогнозирующие фильтры.

Для
количественной оценки качества фильтрации
можно использовать различные критерии.
Наиболее употребительным является
критерий минимизации среднего значения
квадрата ошибки передачи сигнала

где
s(
t+
)
– значение сигнала в момент времени
t+
; 
– интервал времени прогнозирования
сигнала;
– оценка сигнала в момент времениt
, т. е. выходной сигнал фильтра в момент
времени t
. При D
> 0 оценка
должна предсказывать значение входного
сигналаs(t)
на интервал D
вперед. Ошибка e²
может быть определена, если известны
корреляционные функции входного сигнала
и шума.

Пусть
на вход линейного фильтра поступает
аддитивная смесь сигнала s(t)
и помехи
n(t):
x(t) = s(t) + n(t).
Требуется
определить характеристики фильтра,
выходной сигнал которого минимально
отличался бы от истинного значения
s(t+).
Если 
= 0, то имеем дело со сглаживающим фильтром;
если 

0 и n(t) = 0,
то фильтр прогнозирующий; если 

0 и
n(t)

0, то у нас
смешанный сглаживающе-прогнозирующий
фильтр.

Рассмотрим
последний, наиболее общий случай, в
предположении, что сигнал и помеха
стационарны в широком смысле, время
наблюденияt_n
= 
и известна
вся предыстория процесса на интервале
(-,
t
).

Рис.
1.7

Формальная
структурная схема, поясняющая выбор
критерия оптимальности фильтра,
представлена на рис. 1.7. Здесь 1 –
сумматор; 2 – идеальный фильтр; 3 –
реальный фильтр; 4 – устройство вычисления
ошибки. Пусть h(t)
– импульсная характеристика реального
фильтра. Тогда

,

и
среднеквадратическая ошибка

Для
стационарных сигнала и помехи
– максимальное значение ковариационной
функции сигнала;– взаимная ковариационная функция
принятой реализации и сигнала;– ковариационная функция принятой
реализации.

Если
h_opt(t)
– импульсная
характеристика
оптимального фильтра, то среднеквадратическая
ошибка для любого другого фильтра с
импульсной характеристикой, которая
представлена в виде

h(t)
= h_opt(t)+g(t), (1.23)

может
быть только больше или равна
среднеквадратической ошибке оптимального
фильтра. Для фильтра, имеющего
характеристику, описываемую формулой
(1.23), среднеквадратическая ошибка с
учетом сделанных ранее обозначений

Где

Минимум
может
быть найден из условия

(1.24)

Подробно
расписывая условие (1.24), получим

Для
любых g(t)
это выражение справедливо лишь при

. (1.25)

Отсюда
видно, что импульсная характеристика
оптимального фильтра может быть получена
при решении интегрального уравнения
(1.25). Это решение может быть получено с
помощью теоремы о Фурье-преобразовании
свертки. Действительно, так как интеграл
в правой части есть свертка
,
то, взяв преобразование Фурье от левой
и правой частей этого уравнения, получим

(1.26)

где
F
– обозначение
преобразования Фурье,
S_xs(w)
– взаимная спектральная плотность
принятого сообщения и сигнала; S_x(w)
– спектральная плотность принятого
сообщения; K_opt(j)
–
оптимальная частотная характеристика
фильтра. Тогда уравнение (1.25) с учетом
формул (1.26) запишется в виде

При
независимых сигнале и помехе

С
учетом этих соотношений получаем

Это
решение, строго говоря, описывает
физически невозможный фильтр. Однако
оно имеет практический смысл, так как
приближенно применимо в тех случаях и
с тем большей точностью, когда можно
допустить большую задержку отклика
фильтра относительно входного воздействия.
Поэтому говорят, что это решение пригодно
для фильтров с бесконечной задержкой.

Для
физически возможных фильтров импульсная
характеристика h(t)
в силу принципа причинности существует
только для t > 0
, так как сигнал на выходе фильтра не
может появиться раньше начала импульса
на входе. Для физически возможных
фильтров уравнение (1.25) приводится к
виду

т.
е. к виду интегрального уравнения
Винера-Хопфа, и должно решаться
соответствующими методами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Описание

num = fir1(31,0.5);
fir = dsp.FIRFilter('Numerator',num);  
iir = dsp.IIRFilter('Numerator',sqrt(0.75),...
        'Denominator',[1 -0.5]);
x = iir(sign(randn(2000,25))); 
n = 0.1*randn(size(x));           
d = fir(x) + n; 

l = 32;
mu = 0.008;
m  = 5;

lms = dsp.LMSFilter('Length',l,'StepSize',mu);
[mmse,emse,meanW,mse,traceK] = msepred(lms,x,d,m);
[simmse,meanWsim,Wsim,traceKsim] = msesim(lms,x,d,m);

nn = m:m:size(x,1);
semilogy(nn,simmse,[0 size(x,1)],[(emse+mmse)...
    (emse+mmse)],nn,mse,[0 size(x,1)],[mmse mmse])
title('Mean Squared Error Performance')
axis([0 size(x,1) 0.001 10])
legend('MSE (Sim.)','Final MSE','MSE','Min. MSE')
xlabel('Time Index')
ylabel('Squared Error Value')

plot(nn,meanWsim(:,12),'b',nn,meanW(:,12),'r',nn,...
meanWsim(:,13:15),'b',nn,meanW(:,13:15),'r')
PlotTitle ={'Average Coefficient Trajectories for';...
            'W(12), W(13), W(14), and W(15)'}

PlotTitle = 2x1 cell
    {'Average Coefficient Trajectories for'}
    {'W(12), W(13), W(14), and W(15)'      }

title(PlotTitle)
legend('Simulation','Theory')
xlabel('Time Index')
ylabel('Coefficient Value')

semilogy(nn,traceKsim,nn,traceK,'r')
title('Sum-of-Squared Coefficient Errors')
axis([0 size(x,1) 0.0001 1])
legend('Simulation','Theory')
xlabel('Time Index')
ylabel('Squared Error Value')

num = fir1(31,0.5);
fir = dsp.FIRFilter('Numerator',num);  
iir = dsp.IIRFilter('Numerator',sqrt(0.75),...
        'Denominator',[1 -0.5]);
x = iir(sign(randn(2000,25))); 
n = 0.1*randn(size(x));           
d = fir(x) + n;                   

l = 32;                         
mu = 0.008;                     
m  = 5;                         
fxlms = dsp.FilteredXLMSFilter(l,'StepSize',mu); 
[simmse,meanWsim,Wsim,traceKsim] = msesim(fxlms,x,d,m);
plot(m*(1:length(simmse)),10*log10(simmse))
xlabel('Iteration')
ylabel('MSE (dB)')
% Plot the learning curve for filtered-x LMS filter 
% used in system identification
title('Learning curve')

ha = fir1(31,0.5);
% FIR system to be identified 
fir = dsp.FIRFilter('Numerator',ha); 
iir = dsp.IIRFilter('Numerator',sqrt(0.75),...
        'Denominator',[1 -0.5]);
x = iir(sign(randn(2000,25))); 
% Observation noise signal 
n = 0.1*randn(size(x)); 
 % Desired signal 
d = fir(x)+n;
% Filter length 
l = 32;
% Decimation factor for analysis
% and simulation results 
m  = 5;                             
ha = dsp.AdaptiveLatticeFilter(l); 
[simmse,meanWsim,Wsim,traceKsim] = msesim(ha,x,d,m);
plot(m*(1:length(simmse)),10*log10(simmse));
xlabel('Iteration'); 
ylabel('MSE (dB)');
% Plot the learning curve used for 
% adaptive lattice filter used in system identification
title('Learning curve')

fir = fir1(31,0.5);
% FIR system to be identified 
firFilter = dsp.FIRFilter('Numerator',fir); 
iirFilter = dsp.IIRFilter('Numerator',sqrt(0.75),...
        'Denominator',[1 -0.5]);
x = iirFilter(sign(randn(2000,25))); 
% Observation noise signal 
n = 0.1*randn(size(x)); 
% Desired signal 
d = firFilter(x)+n; 
% Filter length 
l = 32;       
% Block LMS Step size
mu = 0.008;  
% Decimation factor for analysis
% and simulation results 
m  = 32;                            
fir = dsp.BlockLMSFilter(l,'StepSize',mu); 
[simmse,meanWsim,Wsim,traceKsim] = msesim(fir,x,d,m);
plot(m*(1:length(simmse)),10*log10(simmse));
xlabel('Iteration'); ylabel('MSE (dB)');
% Plot the learning curve for 
% block LMS filter used in system identification
title('Learning curve')

ha = fir1(31,0.5);
% FIR system to be identified 
fir = dsp.FIRFilter('Numerator',ha); 
iir = dsp.IIRFilter('Numerator',sqrt(0.75),...
        'Denominator',[1 -0.5]);
x = iir(sign(randn(2000,25))); 
% Observation noise signal 
n = 0.1*randn(size(x));         
% Desired signal 
d = fir(x)+n;  
% Filter length 
l = 32;  
% Affine Projection filter Step size. 
mu = 0.008;
% Decimation factor for analysis
% and simulation results 
m  = 5;                             
                                    
apf = dsp.AffineProjectionFilter(l,'StepSize',mu); 
[simmse,meanWsim,Wsim,traceKsim] = msesim(apf,x,d,m);
plot(m*(1:length(simmse)),10*log10(simmse));
xlabel('Iteration'); ylabel('MSE (dB)');
% Plot the learning curve for affine projection filter 
% used in system identification
title('Learning curve')

Представленный в R2012a