Среднеквадратичная ошибка уравнения регрессии

Так как значения
известны без ошибок, а значениянезависимы и равноточны, то оценка
дисперсии вычисляется по формуле:

,
где
,
(23)

–фактические
значения результативного признака,
полученного по данным наблюдений,
– значения результативного признака,
рассчитанного по уравнению регрессии
и полученного подстановкой значений
факторного признака в уравнение
регрессии:.
В нашем примере.

Средняя квадратическая
ошибка уравнения регрессии:
.

Для нахождения
оценки дисперсии
величины
составим таблицу:

№

1

6,97

3

362,51

359,176771

11,1104159

33,3312477

2

7,40

6

394,91

398,6374926

13,89420071

83,36520426

3

7,83

2

459,71

440,5026538

368,92215

737,8442999

4

8,26

14

484,01

484,7722546

0,581031999

8,134447986

5

8,69

14

529,14

531,446295

5,318996396

74,46594955

6

9,12

24

579,185

580,524775

1,794996917

43,079926

7

9,55

14

633,28

632,0076946

1,618761158

22,66265621

8

9,98

11

693,87

685,8950538

63,59976769

699,5974446

9

10,41

10

736,73

742,1868526

29,77723975

297,7723975

10

10,84

2

799,91

800,883091

0,946905997

1,893811994

.

Средняя квадратическая
ошибка уравнения регрессии

.

Сравним полученную
величину со средним квадратическим
отклонением результативного признака
,
получим,
т.е.,
следовательно, использование уравнения
регрессии является целесообразным.

2.10. Интервальные оценки параметров квадратичной линии регрессии генеральной совокупности

Доверительные
интервалы для коэффициентов
при заданной доверительной вероятностиимеют вид:,
гдеопределяется из таблицы для закона
распределения Стьюдента по выходным
величинами числу степеней свободы.

В данном случае
,,
отсюда.

Оценки
коэффициентов

определяются формулами

,

где
,– определитель системы (22),– алгебраическое дополнение элементав определителе.

;

;

59,78703801;

;
;

;

.

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

;

;

.

2.11. Нахождение коэффициента детерминации

Коэффициент
детерминации, интегрально характеризующий
точностные свойства уравнения регрессии,
определяем по формуле (21).

,
,,

.

Сравним
с.,
следовательно, полученная регрессионная
модель работоспособна.

2.12. Проверка адекватности регрессионной модели

Проверка адекватности
модели возможна только при
,
где– число опытов (),– число оцениваемых коэффициентов
регрессии математической модели ().
В нашем случае,
следовательно, можно проводить проверку
адекватности.

Найдем дисперсию
адекватности
,

где

;
.

Получим
.

Найдем
,где
;

.

Найдем
,
где– уровень значимости,– число степеней свободы дисперсии
адекватности,– число степеней свободы дисперсии
воспроизводимости.

Сравним
и,.

Построенная модель
считается адекватной и может быть
использована для описания объекта.

Список литературы:

  1. Гмурман
    В.Е. Теория вероятностей и математическая
    статистика: учеб. пособие для вузов.
    М.: Высш. образование, 2008. – 479 с.

  2. Гмурман
    В.Е. Руководство к решению задач по
    теории вероятностей и математической
    статистике: учеб. пособие для вузов.
    М.: Высш. образование, 2009. – 404
    с.

  3. Виленкин
    Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по
    теории вероятностей с элементами
    комбинаторики и математической
    статистики. М.: Просвещение, 1979. – 112 с.

  4. Кремер
    Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
    статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 573 с.

Источник

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Общие положения

Про регрессионный анализ вообще, и его применение в DataScience написано очень много. Есть множество учебников, монографий, справочников и статей по прикладной статистике, огромное количество информации в интернете, примеров расчетов. Можно найти множество кейсов, реализованных с использованием средств Python. Казалось бы — что тут еще можно добавить?

Однако, как всегда, есть нюансы:

1. Регрессионный анализ — это прежде всего процесс, набор действий исследователя по определенному алгоритму: «подготовка исходных данных — построение модели — анализ модели — прогнозирование с помощью модели». Это ключевая особенность. Не представляет особой сложности сформировать DataFrame исходных данных и построить модель, запустить процедуру из библиотеки statsmodels. Однако подготовка исходных данных и последующий анализ модели требуют гораздо больших затрат человеко-часов специалиста и строк программного кода, чем, собственно, построение модели. На этих этапах часто приходится возвращаться назад, корректировать модель или исходные данные. Этому, к сожалению, во многих источниках, не удаляется достойного внимания, а иногда — и совсем не уделяется внимания, что приводит к превратному представлению о регрессионном анализе.

2. Далеко не во всех источниках уделяется должное внимание интерпретации промежуточных и финальных результатов. Специалист должен уметь интерпретировать каждую цифру, полученную в ходе работы над моделью.

3. Далеко не все процедуры на этапах подготовки исходных данных или анализа модели в источниках разобраны подробно. Например, про проверку значимости коэффициента детерминации найти информацию не представляет труда, а вот про проверку адекватности модели, построение доверительных интервалов регрессии или про специфические процедуры (например, тест Уайта на гетероскедастичность) информации гораздо меньше.

4. Своеобразная сложность может возникнуть с проверкой статистических гипотез: для отечественной литературы по прикладной статистике больше характерно проверять гипотезы путем сравнения расчетного значения критерия с табличным, а в иностранных источниках чаще определяется расчетный уровень значимости и сравнивается с заданным (чаще всего 0.05 = 1-0.95). В разных источниках информации реализованы разные подходы. Инструменты python (прежде всего библиотеки scipy и statsmodels) также в основном оперируют с расчетным уровнем значимости.

5. Ну и, наконец, нельзя не отметить, что техническая документация библиотеки statsmodels составлена, на мой взгляд, далеко не идеально: информация излагается путано, изобилует повторами и пропусками, описание классов, функций и свойств выполнено фрагментарно и количество примеров расчетов — явно недостаточно.

Поэтому я решил написать ряд обзоров по регрессионному анализу средствами Python, в которых акцент будет сделан на практических примерах, алгоритме действий исследователя, интерпретации всех полученных результатов, конкретных методических рекомендациях. Буду стараться по возможности избегать теории (хотя совсем без нее получится) — все-таки предполагается, что специалист DataScience должен знать теорию вероятностей и математическую статистику, хотя бы в рамках курса высшей математики для технического или экономического вуза.

В данном статье остановимся на самои простом, классическом, стереотипном случае — простой линейной регрессии (simple linear regression), или как ее еще принято называть — парной линейной регрессионной модели (ПЛРМ) — в ситуации, когда исследователя не подстерегают никакие подводные камни и каверзы — исходные данные подчиняются нормальному закону, в выборке отсутствуют аномальные значения, отсутствует ложная корреляция. Более сложные случаи рассмотрим в дальнейшем.

Для построение регрессионной модели будем пользоваться библиотекой statsmodels.

В данной статье мы рассмотрим по возможности полный набор статистических процедур. Некоторые из них (например, дескриптивная статистика или дисперсионный анализ регрессионной модели) могут показаться избыточными. Все так, но эти процедуры улучшают наше представление о процессе и об исходных данных, поэтому в разбор я их включил, а каждый исследователь сам вправе для себя определить, потребуются ему эти процедуры или нет.

Краткий обзор источников

Источников информации по корреляционному и регрессионному анализу огромное количество, в них можно просто утонуть. Поэтому позволю себе просто порекомендовать ряд источников, на мой взгляд, наиболее полезных:

  1. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 816 с.

  2. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. — М.: Высшая школа, 1988. — 239 с.

  3. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа / пер с нем. — М.: Финансы и статистика, 1983. — 302 с.

  4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ / пер с англ. — М.: Мир, 1982. — 488 с.

  5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Книга 1 / пер.с англ. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 366 с.

  6. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. — М.: Финансы и статистика, 1985. — 487 с.

  7. Прикладная статистика. Основы эконометрики: В 2 т. 2-е изд., испр. — Т.2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 432 с.

  8. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс — М.: Дело, 2004. — 576 с.

  9. Носко В.П. Эконометрика. Книга 1. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. — 672 с.

  10. Брюс П. Практическая статистика для специалистов Data Science / пер. с англ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2018. — 304 с.

  11. Уатт Дж. и др. Машинное обучение: основы, алгоритмы и практика применения / пер. с англ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2022. — 640 с.

Прежде всего следует упомянуть справочник Кобзаря А.И. [1] — это безусловно выдающийся труд. Ничего подобного даже близко не издавалось. Всем рекомендую иметь под рукой.

Есть очень хорошее практическое пособие [2] — для начинающих и практиков.>

Добротная работа немецких авторов [3]. Все разобрано подробно, обстоятельно, с примерами — очень хорошая книга. Примеры приведены из области экономики.

Еще одна добротная работа — [4], с примерами медико-биологического характера.

Работа [5] считается одним из наиболее полных изложений прикладного регрессионного анализа.

Более сложные работы — [6] (классика жанра), [7], [8], [9] — выдержаны на достаточно высоком математическом уровне, примеры из экономической области.

Свежие работы [10] (с примерами на языке R) и [11] (с примерами на python).

Cтатьи

Статей про регрессионный анализ в DataScience очень много, обращаю внимание на некоторые весьма полезные из них.

Серия статей «Python, корреляция и регрессия», охватывающая весь процесс регрессионного анализа:

  • первичная обработка данных, визуализация и корреляционный анализ;

  • регрессия;

  • теория матриц в регрессионном анализе, проверка  адекватности, мультиколлинеарность;

  • прогнозирование с помощью регрессионных моделей.

Очень хороший обзор «Интерпретация summary из statsmodels для линейной регрессии». В этой статье даны очень полезные ссылки:

  • Statistical Models

  • Interpreting Linear Regression Through statsmodels .summary()

Статья «Регрессионные модели в Python».

Основные предпосылки (гипотезы) регрессионного анализа

Очень кратко — об этом написано тысячи страниц в учебниках — но все же вспомним некоторые основы теории.

Проверка исходных предпосылок является очень важным моментом при статистическом анализе регрессионной модели. Если мы рассматриваем классическую линейную регрессионную модель вида:

то основными предпосылками при использовании обычного метода наименьших квадратов (МНК) для оценки ее параметров являются:

  1. Среднее значение (математическое ожидание) случайной составляющей равно нулю:

  1. Дисперсия случайной составляющей является постоянной:

В случае нарушения данного условия мы сталкиваемся с явлением гетероскедастичности.

  1. Значения случайной составляющей статистически независимы (некоррелированы) между собой:

В случае нарушения данного условия мы сталкиваемся с явлением автокорреляции.

  1. Условие существования обратной матрицы

что эквивалентно одному из двух следующих условий:

то есть число наблюдений должно превышать число параметров.

  1. Значения случайной составляющей некоррелированы со значениями независимых переменных:

  1. Случайная составляющая имеет нормальный закон распределения (с математическим ожиданием равным нулю — следует из условия 1):

Более подробно — см.: [3, с.90], [4, с.147], [5, с.122], [6, с.208], [7, с.49], [8, с.68], [9, с.88].

Кроме гетероскедастичности и автокорреляции возможно возникновение и других статистических аномалий — мультиколлинеарности, ложной корреляции и т.д.

Доказано, что оценки параметров, полученные с помощью МНК, обладают наилучшими свойствами (несмещенность, состоятельность, эффективность) при соблюдении ряда условий:

  • выполнение приведенных выше исходных предпосылок регрессионного анализа;

  • число наблюдений на одну независимую переменную должно быть не менее 5-6;

  • должны отсутствовать аномальные значения (выбросы).

Кроме обычного МНК существуют и другие его разновидности (взвешенный МНК, обобщенный МНК), которые применяются при наличии статистических аномалий. Кроме МНК применяются и другие методы оценки параметров моделей. В этом обзоре мы эти вопросы рассматривать не будем.

Алгоритм проведения регрессионного анализа

Алгоритм действий исследователя при построении регрессионной модели (полевые работы мы, по понятным причинам, не рассматриваем — считаем, что исходные данные уже получены):

  1. Подготовительный этап — постановка целей и задач исследования.

  2. Первичная обработка исходных данных — об этом много написано в учебниках и пособиях по DataScience, сюда могут относится:

  • выявление нерелевантных признаков (признаков, которые не несут полезной информации), нетипичных данных (выбросов), неинформативных признаков (имеющих большое количество одинаковых значений) и работа с ними (удаление/преобразование);

  • выделение категориальных признаков;

  • работа с пропущенными значениями;

  • преобразование признаков-дат в формат datetime и т.д.

  1. Визуализация исходных данных — предварительный графический анализ.

  2. Дескриптивная (описательная) статистика — расчет выборочных характеристик и предварительные выводы о свойствах исходных данных.

  3. Исследование закона распределения исходных данных и, при необходимости, преобразование исходных данных к нормальному закону распределения.

  4. Выявление статистически аномальных значений (выбросов), принятие решения об их исключении.

    Этапы 4, 5 и 6 могут быть при необходимости объединены.

  5. Корреляционный анализ — исследование корреляционных связей между исходными данными; это разведка перед проведением регрессионного анализа.

  6. Построение регрессионной модели:

  • выбор моделей;

  • выбор методов;

  • оценка параметров модели.

  1. Статистический анализ регрессионной модели:  

  • оценка ошибок аппроксимации (error metrics);

  • анализ остатков (проверка нормальности распределения остатков и гипотезы о равенстве нулю среднего значения остатков);

  • проверка адекватности модели;

  • проверка значимости коэффициента детерминации;

  • проверка значимости коэффициентов регрессии;

  • проверка мультиколлинеарности (для множественных регрессионных моделей; вообще мультиколлинеарные переменные выявляются еще на стадии корреляционного анализа);

  • проверка автокорреляции;

  • проверка гетероскедастичности.

   Этапы 8 и 9 могут быть при необходимости повторяться несколько раз.

  1. Сравнительный анализ нескольких регрессионных моделей, выбор наилучшей (при необходимости).

  2. Прогнозирование с помощью регрессионной модели и оценка качества прогноза.

  3. Выводы и рекомендации.

Само собой, этот алгоритм не есть истина в последней инстанции — в зависимости от особенностей исходных данных и вида модели могут возникать дополнительные задачи.

Применение пользовательских функций

Далее в обзоре мной будут использованы несколько пользовательских функций для решения разнообразных задач. Все эти функции созданы для облегчения работы и уменьшения размера программного кода. Данные функции загружается из пользовательского модуля my_module__stat.py, который доступен в моем репозитории на GitHub. Лично мне так удобнее работать, хотя каждый исследователь сам формирует себе инструменты по душе — особенно в части визуализации. Желающие могут пользоваться этими функциями, либо создать свои.

Итак, вот перечень данных функций:

  • graph_scatterplot_sns — функция позволяет построить точечную диаграмму средствами seaborn и сохранить график в виде png-файла;

  • graph_hist_boxplot_probplot_XY_sns  — функция позволяет визуализировать исходные данные для простой линейной регрессии путем одновременного построения гистограммы, коробчатой диаграммы и вероятностного графика (для переменных X и Y) средствами seaborn и сохранить график в виде png-файла; имеется возможность выбирать, какие графики строить (h — hist, b — boxplot, p — probplot);

  • descriptive_characteristics — функция возвращает в виде DataFrame набор статистических характеристики выборки, их ошибок и доверительных интервалов;

  • detecting_outliers_mad_test — функция выполняет проверку наличия аномальных значений (выбросов) по критерию наибольшего абсолютного отклонения (более подробно — см.[1, с.547]);

  • norm_distr_check — проверка нормальности распределения исходных данных с использованием набора из нескольких статистических тестов;

  • corr_coef_check — функция выполняет расчет коэффициента линейной корреляции Пирсона, проверку его значимости и расчет доверительных интервалов; об этой функции я писал в своей статье.

  • graph_regression_plot_sns —  — функция позволяет построить график регрессионной модели.

Ряд пользовательских функций мы создаем в процессе данного обзора (они тоже включены в пользовательский модуль my_module__stat.py):

  • regression_error_metrics — расчет ошибок аппроксимации регрессионной модели;

  • ANOVA_table_regression_model — вывод таблицы дисперсионного анализа регрессионной модели;

  • regression_model_adequacy_check — проверка адекватности регрессионной модели по критерию Фишера;

  • determination_coef_check — проверка значимости коэффициента детерминации по критерию Фишера;

  • regression_coef_check — проверка значимости коэффициентов регрессии по критеирю Стьюдента;

  • Goldfeld_Quandt_test, Breush_Pagan_test, White_test — проверка гетероскедастичности с использование тестов Голдфелда-Квандта, Бриша-Пэгана и Уайта соответственно;

  • regression_pair_predict — функция для прогнозирования с помощью парной регрессионной модели: рассчитывает прогнозируемое значение переменной Y по заданной модели, а также доверительные интервалы среднего и индивидуального значения для полученного прогнозируемого значения Y;

  • graph_regression_pair_predict_plot_sns — прогнозирование: построение графика регрессионной модели (с доверительными интервалами) и вывод расчетной таблицы с данными для заданной области значений X.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В качестве примера рассмотрим практическую задачу из области экспертизы промышленной безопасности — калибровку ультразвукового прибора для определения прочности бетона.

Итак, суть задачи: при обследовании несущих конструкций зданий и сооружений эксперт определяет прочность бетона с использованием ультразвукового прибора «ПУЛЬСАР-2.1», для которого необходимо предварительно построить градуировочную зависимость. Заключается это в следующем — производятся замеры с фиксацией следующих показателей:

  • X — показания ультразвукового прибора «ПУЛЬСАР-2.1» (м/с)

  • Y — результаты замера прочности бетона (методом отрыва со скалыванием) склерометром ИПС-МГ4.03.

Предполагается, что между показателями X и Y имеется линейная регрессионная зависимость, которая позволит прогнозировать прочность бетона на основании измерений, проведенных прибором «ПУЛЬСАР-2.1».

Были выполнены замеры фактической прочности бетона конструкций для бетонов одного вида с одним типом крупного заполнителя, с единой технологией производства. Для построения были выбраны 14 участков (не менее 12), включая участки, в которых значение косвенного показателя максимальное, минимальное и имеет промежуточные значения.

Настройка заголовков отчета:

# Общий заголовок проекта
Task_Project = 'Калибровка ультразвукового прибора "ПУЛЬСАР-2.1" nдля определения прочности бетона'

# Заголовок, фиксирующий момент времени
AsOfTheDate = ""

  # Заголовок раздела проекта
Task_Theme = ""

# Общий заголовок проекта для графиков
Title_String = f"{Task_Project}n{AsOfTheDate}"

# Наименования переменных
Variable_Name_X = "Скорость УЗК (м/с)"
Variable_Name_Y = "Прочность бетона (МПа)"

# Константы
INCH = 25.4    # мм/дюйм
  DecPlace = 5    # number of decimal places - число знаков после запятой

# Доверительная вероятность и уровень значимости:
p_level = 0.95
a_level = 1 - p_level

Подключение модулей и библиотек:

# Стандартные модули и библиотеки

import os    # загрузка модуля для работы с операционной системой
import sys
import platform
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия Python: ", platform.python_version()), 'n')

import math
from math import *    # подключаем все содержимое модуля math, используем без псевдонимов

import numpy as np
#print ("Текущая версия модуля numpy: ", np.__version__)
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля numpy: ", np.__version__))
from numpy import nan

import scipy as sci
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля scipy: ", sci.__version__))
import scipy.stats as sps

import pandas as pd
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля pandas: ", pd.__version__))

import matplotlib as mpl
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля matplotlib: ", mpl.__version__))
import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля seaborn: ", sns.__version__))

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.graphics.api as smg
import statsmodels.stats.api as sms
from statsmodels.compat import lzip
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля statsmodels: ", sm.__version__))

import statistics as stat    # module 'statistics' has no attribute '__version__'

import sympy as sym
print('{:<35}{:^0}'.format("Текущая версия модуля sympy: ", sym.__version__))

# Настройки numpy
np.set_printoptions(precision = 4, floatmode='fixed')

# Настройки Pandas
pd.set_option('display.max_colwidth', None)    # текст в ячейке отражался полностью вне зависимости от длины
pd.set_option('display.float_format', lambda x: '%.4f' % x)

# Настройки seaborn
sns.set_style("darkgrid")
sns.set_context(context='paper', font_scale=1, rc=None)    # 'paper', 'notebook', 'talk', 'poster', None

# Настройки Mathplotlib
f_size = 8    # пользовательская переменная для задания базового размера шрифта
plt.rcParams['figure.titlesize'] = f_size + 12    # шрифт заголовка
plt.rcParams['axes.titlesize'] = f_size + 10      # шрифт заголовка
plt.rcParams['axes.labelsize'] = f_size + 6       # шрифт подписей осей
plt.rcParams['xtick.labelsize'] = f_size + 4      # шрифт подписей меток
plt.rcParams['ytick.labelsize'] = f_size + 4
plt.rcParams['legend.fontsize'] = f_size + 6      # шрифт легенды

# Пользовательские модули и библиотеки

Text1 = os.getcwd()    # вывод пути к текущему каталогу
#print(f"Текущий каталог: {Text1}")

sys.path.insert(1, "D:REPOSITORYMyModulePython")

from my_module__stat import *

ФОРМИРОВАНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Показания ультразвукового прибора «ПУЛЬСАР-2.1» (м/с):

X = np.array([
    4416, 4211, 4113, 4110, 4122,
    4427, 4535, 4311, 4511, 4475,
    3980, 4490, 4007, 4426
    ])

Результаты замера прочности бетона (методом отрыва со скалыванием) прибором ИПС-МГ4.03:

Y = np.array([
    34.2, 35.1, 31.5, 30.8, 30.0,
    34.0, 35.4, 35.8, 38.0, 37.7,
    30.0, 37.8, 31.0, 35.2
    ])

Запишем данные в DataFrame:

calibrarion_df = pd.DataFrame({
    'X': X,
    'Y': Y})
display(calibrarion_df)
calibrarion_df.info()

Сохраняем данные в csv-файл:

calibrarion_df.to_csv(
    path_or_buf='data/calibrarion_df.csv',
    mode='w+',
    sep=';')

Cоздаем копию исходной таблицы для работы:

dataset_df = calibrarion_df.copy()

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДАННЫХ

Границы значений переменных (при построении графиков):

(Xmin_graph, Xmax_graph) = (3800, 4800)
(Ymin_graph, Ymax_graph) = (25, 45)
# Пользовательская функция
graph_scatterplot_sns(
    X, Y,
    Xmin=Xmin_graph, Xmax=Xmax_graph,
    Ymin=Ymin_graph, Ymax=Ymax_graph,
    color='orange',
    title_figure=Task_Project,
    x_label=Variable_Name_X,
    y_label=Variable_Name_Y,
    s=100,
    file_name='graph/scatterplot_XY_sns.png')

Существует универсальный набор графиков — гистограмма, коробчатая диаграмма, вероятностный график — которые позволяют исследователю сделать предварительные выводы о свойствах исходных данных.

Так как объем выборки невелик (n=14), строить гистограммы распределения переменных X и Y не имеет смысла, поэтому ограничимся построением коробчатых диаграмм и вероятностных графиков:

# Пользовательская функция
graph_hist_boxplot_probplot_XY_sns(
    data_X=X, data_Y=Y,
    data_X_min=Xmin_graph, data_X_max=Xmax_graph,
    data_Y_min=Ymin_graph, data_Y_max=Ymax_graph,  
    graph_inclusion='bp',    # выбираем для построения виды графиков: b - boxplot, p - probplot)
    data_X_label=Variable_Name_X,
    data_Y_label=Variable_Name_Y,
    title_figure=Task_Project,
    file_name='graph/hist_boxplot_probplot_XY_sns.png')

Для сравнения характера распределений переменных X и Y возможно также построить совмещенную коробчатую диаграмму по стандартизованным данным:

# стандартизуем исходные данные
standardize_df = lambda X: ((X - np.mean(X))/np.std(X))

dataset_df_standardize = dataset_df.copy()
dataset_df_standardize = dataset_df_standardize.apply(standardize_df)
display(dataset_df_standardize)

# построим график
fig, axes = plt.subplots(figsize=(210/INCH, 297/INCH/2))
axes.set_title("Распределение стандартизованных переменных X и Y", fontsize = 16)
sns.boxplot(
    data=dataset_df_standardize,    
    orient='h',
    width=0.5,
    ax=axes)
plt.show()

Графический анализ позволяет сделать следующие выводы:

  1. Отсутствие выбросов на коробчатых диаграммах свидетельствует об однородности распределения переменных.

  2. Смещение медианы вправо на коробчатых диаграммах свидетельствует о левосторонней асимметрии распределения.

ДЕСКРИПТИВНАЯ (ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА)

Собственно говоря, данный этап требуется проводить далеко не всегда, однако с помощью статистических характеристик выборки мы тоже можем сделать полезные выводы.

Описательная статистика исходных данных средствами библиотеки Pandas — самый простой вариант:

dataset_df.describe()

Описательная статистика исходных данных средствами библиотеки statsmodels — более развернутый вариант, с большим количеством показателей:

from statsmodels.stats.descriptivestats import Description
result = Description(
    dataset_df,
    stats=["nobs", "missing", "mean", "std_err", "ci", "ci", "std", "iqr", "mad", "coef_var", "range", "max", "min", "skew", "kurtosis", "mode",
           "median", "percentiles", "distinct", "top", "freq"],
    alpha=a_level,
    use_t=True)
display(result.summary())

Описательная статистика исходных данных с помощью пользовательской функции descriptive_characteristics:

# Пользовательская функция
descriptive_characteristics(X)

Выводы:

  1. Сравнение показателей среднего арифметического (mean) и медианы (median) свидетельствует о левосторонней асимметрии (т.к.mean < median).

  2. Значение коэффициента вариации CV = 0.0445 и доверительный интервал для него 0.0336 ≤ CV ≤ 0.0657 свидетельствует об однородности исходных данных (т.к. CV ≤ 0.33).

  3. Значение показателя асимметрии skew (As) = -0.3101 свидетельствует об умеренной левосторонней асимметрии распределении (т.к. |As| ≤ 0.5, As < 0).

  4. Значение показателя эксцесса kurtosis (Es) = -1.4551 свидетельствует о плосковершинном распределении (platykurtic distribution) (т.к. Es < 0).

# Пользовательская функция
descriptive_characteristics(Y)

Выводы:

  1. Сравнение показателей среднего арифметического (mean) и медианы (median) свидетельствует о левосторонней асимметрии (т.к.mean < median).

  2. Значение коэффициента вариации CV = 0.0822 и доверительный интервал для него 0.06202 ≤ CV ≤ 0.1217 свидетельствует об однородности исходных данных (т.к. CV ≤ 0.33).

  3. Значение показателя асимметрии skew (As) = -0.1109 свидетельствует о приблизительно симметричном распределении (т.к. |As| ≤ 0.25).

  4. Значение показателя эксцесса kurtosis (Es) = -1.3526 свидетельствует о плосковершинном распределении (platykurtic distribution) (т.к. Es < 0).

ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для проверки нормальности распределения использована пользовательская функция norm_distr_check, которая объединяет в себе набор стандартных статистических тестов проверки нормальности. Все тесты относятся к стандартному инструментарию Pyton (библиотека scipy, модуль stats), за исключением теста Эппса-Палли (Epps-Pulley test); о том, как реализовать этот тест средствами Pyton я писал в своей статье https://habr.com/ru/post/685582/.

Примечание: для использования функции norm_distr_check в каталог с ipynb-файлом необходимо поместить папку table c файлом Tep_table.csv, который содержит табличные значения статистики критерия Эппса-Палли.

# пользовательская функция
norm_distr_check(X)

# Пользовательская функция
norm_distr_check (Y)

Вывод: большинство статистических тестов позволяют принять гипотезу о нормальности распределения переменных X и Y.

ПРОВЕРКА АНОМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ (ВЫБРОСОВ)

Статистическую проверку аномальных значений (выбросов) не стоит путать с проверкой выбросов, которая проводится на этапе первичной обработки результатов наблюдений. Последняя проводится с целью отсеять явные ошибочные данные (например, в результате неправильно поставленной запятой величина показателя может увеличиться/уменьшиться на порядок); здесь же мы говорим о статистической проверке данных, которые уже прошли этап первичной обработки.

Имеется довольно много критериев для проверки аномальных значений (подробнее см.[1]); вообще данная процедура довольно неоднозначная:

  • критерии зависят от вида распределения;

  • мало данных о сравнительной мощности этих критериев;

  • даже в случае принятии гипотезы о нормальном распределении в выборке могут быть обнаружены аномальные значения и пр.

Кроме существует дилемма: если какие-то значения в выборке признаны выбросами — стоит или не стоит исследователю исключать их? Ведь каждое значение несет в себе информацию, причем иногда весьма ценную, а сильно отклоняющиеся от основного массива данные (которые не являются выбросами в смысле первичной обработки, но являются статистическим значимыми аномальными значениями) могут кардинально изменить статистический вывод.

В общем, о задаче выявления аномальных значений (выбросов) можно написать отдельно, а пока, в данном разборе, ограничимся проверкой аномальных значений по критерию наибольшего максимального отклонения (см.[1, с.547]) с помощью пользовательской функции detecting_outliers_mad_test. Данные функция возвращает DataFrame, которые включает список аномальных значений со следующими признаками:

  • value — проверяемое значение из выборки;

  • mad_calc и mad_table — расчетное и табличное значение статистики критерия;

  • outlier_conclusion — вывод (выброс или нет).

Обращаю внимание, что критерий наибольшего максимального отклонения можно использовать только для нормально распределенных данных.

# пользовательская функция
print("Проверка наличия выбросов переменной X:n")
result = detecting_outliers_mad_test(X)
mask = (result['outlier_conclusion'] == 'outlier')
display(result[mask])

# пользовательская функция
print("Проверка наличия выбросов переменной Y:n")
result = detecting_outliers_mad_test(Y)
mask = (result['outlier_conclusion'] == 'outlier')
display(result[mask])

Вывод: в случае обеих переменных X и Y список пуст, следовательно, аномальных значений (выбросов) не выявлено.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Корреляционный анализ — это разведка перед построением регрессионной модели.

Выполним расчет коэффициента линейной корреляции Пирсона, проверку его значимости и построение доверительных интервалов с помощью пользовательской функции corr_coef_check (про эту функцию более подробно написано в моей статье https://habr.com/ru/post/683442/):

# пользовательская функция
display(corr_coef_check(X, Y, scale='Evans'))

Выводы:

  1. Значение коэффициента корреляции coef_value = 0.8900 свидетельствует о весьма сильной корреляционной связи (по шкале Эванса).

  2. Коэффициент корреляции значим по критерию Стьюдента: t_calc ≥ t_table, a_calc ≤ a_level.

  3. Доверительный интервал для коэффициента корреляции: 0.6621 ≤ coef_value ≤ 0.9625.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Предварительная визуализация

python позволяет выполнить предварительную визуализацию, например, с помощью функции jointplot библиотеки seaborn:

fig = plt.figure(figsize=(297/INCH, 210/INCH))
axes = sns.jointplot(
    x=X, y=Y,
    kind='reg',
    ci=95)
plt.show()

Построение модели

Выполним оценку параметров и анализ простой линейной регрессии (simple linear regression), используя библиотеку statsmodels (https://www.statsmodels.org/) и входящий в нее модуль линейной регрессии Linear Regression (https://www.statsmodels.org/stable/regression.html).

Данный модуль включает в себя классы, реализующие различные методы оценки параметров моделей линейной регрессии, в том числе:

  • класс OLS (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.OLS.html#statsmodels.regression.linear_model.OLS) — Ordinary Least Squares (обычный метод наименьших квадратов).

  • класс WLS (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.WLS.html#statsmodels.regression.linear_model.WLS) — Weighted Least Squares (метод взвешенных наименьших квадратов) (https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_least_squares), применяется, если имеет место гетероскедастичность данных (https://ru.wikipedia.org/wiki/Гетероскедастичность).

  • класс GLS (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.GLS.html#statsmodels.regression.linear_model.GLS) — Generalized Least Squares (обобщенный метод наименьших квадратов) (https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_least_squares), применяется, если существует определенная степень корреляции между остатками в модели регрессии.

  • класс GLSAR (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.GLSAR.html#statsmodels.regression.linear_model.GLSAR) — Generalized Least Squares with AR covariance structure (обобщенный метод наименьших квадратов, ковариационная структура с автокорреляцией — экспериментальный метод)

  • класс RecurciveLS (https://www.statsmodels.org/stable/examples/notebooks/generated/recursive_ls.html) — Recursive least squares (рекурсивный метод наименьших квадратов) (https://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_least_squares_filter)

  • классы RollingOLS (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.rolling.RollingOLS.html#statsmodels.regression.rolling.RollingOLS) и RollingWLS (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.rolling.RollingWLS.html#statsmodels.regression.rolling.RollingWLS) — скользящая регрессия (https://www.statsmodels.org/stable/examples/notebooks/generated/rolling_ls.html, https://help.fsight.ru/ru/mergedProjects/lib/01_regression_models/rolling_regression.htm)

    и т.д.

Так как исходные данные подчиняются нормальному закону распределения и аномальные значения (выбросы) отсутствуют, воспользуемся для оценки параметров обычным методом наименьших квадратов (класс OLS):

model_linear_ols = smf.ols(formula='Y ~ X', data=dataset_df)
result_linear_ols = model_linear_ols.fit()
print(result_linear_ols.summary())

Альтернативная форма выдачи результатов:

print(result_linear_ols.summary2())

Результаты построения модели мы получаем как класс statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.html#statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults).

Экспресс-выводы, которые мы можем сразу сделать из результатов построения модели:

  1. Коэффициенты регрессии модели Y = b0 + b1∙X:

    • Intercept = b0 = -21.3741

    • b1 = 0.0129

  2. Коэффициент детерминации R-squared = 0.776, его скорректированная оценка Adj. R-squared = 0.757 — это означает, что регрессионная модуль объясняет 75.75% вариации переменной Y.

  3. Проверка значимости коэффициента детерминации:

    • расчетное значение статистики критерия Фишера: F-statistic = 41.61

    • расчетный уровень значимости Prob (F-statistic) = 3.16e-05

    • так как значение Prob (F-statistic) < 0.05, то нулевая гипотеза R-squared = 0 НЕ ПРИНИМАЕТСЯ, т.е. коэффициент детерминации ЗНАЧИМ

  4. Проверка значимости коэффициентов регрессии:

    • расчетный уровень значимости P>|t| не превышает 0.05 — это означает, что оба коэффициента регрессии значимы

    • об этом же свидетельствует то, что доверительный интервал для обоих коэффициентов регрессии ([0.025; 0.975]) не включает в себя точку 0

    Также в таблице результатов содержится прочая информация по коэффициентам регрессии: стандартная ошибка Std.Err. расчетное значение статистики критерия Стьюдента t для проверки гипотезы о значимости.

  5. Анализ остатков модели:

    • Тест Omnibus — про этот тест подробно написано в https://en.wikipedia.org/wiki/Omnibus_test, https://medium.com/swlh/interpreting-linear-regression-through-statsmodels-summary-4796d359035a, http://work.thaslwanter.at/Stats/html/statsModels.html.

      Расчетное значение статистики критерия Omnibus = 3.466 — по сути расчетное значение F-критерия (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Omnibus_test).

      Prob(Omnibus) = 0.177 — показывает вероятность нормального распределения остатков (значение 1 указывает на совершенно нормальное распределение).

      Учитывая, что в дальнейшем мы проверим нормальность распределения остатков по совокупности различных тестов, в том числе с достаточно высокой мощностью, и все тесты позволят принять гипотезу о нормальном распределении — в данном случае к тесту Omnibus возникают вопросы. С этим тестом нужно разбираться отдельно.

    • Skew = 0.014 и Kurtosis = 1.587 — показатели асимметрии и эксцесса остатков свидетельствуют, что распределение остатков практически симметричное, островершинное.

    • проверка нормальности распределения остатков по критерию Харке-Бера: расчетное значение статистики критерия Jarque-Bera (JB) = 1.164 и расчетный уровень значимости Prob(JB) = 0.559. К данным результатам также возникают вопросы, особенно, если учесть, что критерий Харке-Бера является асимптотическим, расчетное значение имеет распределение хи-квадрат, поэтому данный критерий рекомендуют применять только для больших выборок (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Jarque–Bera_test). Проверку нормальности распределения остатков модели лучше проводить с использованием набора стандартных статистических тестов python (см. далее).

  6. Проверка автокорреляции по критерию Дарбина-Уотсона: Durbin-Watson = 1.443.

    Мы не будем здесь разбирать данный критерий, так как явление автокорреляции больше характерно для данных, выражаемых в виде временных рядов. Однако, для грубой оценки считается, что при расчетном значении статистики криетрия Дарбина=Уотсона а интервале [1; 2] автокорреляция отсутствует (см.https://en.wikipedia.org/wiki/Durbin–Watson_statistic).

    Более подробно про критерий Дарбина-Уотсона — см. [1, с.659].

Прочая информация, которую можно извлечь из результатов построения модели:

  1. Covariance Type — тип ковариации, подробнее см. https://habr.com/ru/post/681218/, https://towardsdatascience.com/simple-explanation-of-statsmodel-linear-regression-model-summary-35961919868b#:~:text=Covariance type is typically nonrobust,with respect to each other.

  2. Scale — масштабный коэффициент для ковариационной матрицы (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.scale.html#statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.scale), равен величине Mean squared error (MSE) (cреднеквадратической ошибке), об подробнее см. далее, в разделе про ошибки аппроксимации моделей.

  3. Показатели сравнения качества различных моделей:

    • Log-Likelihood — логарифмическая функция правдоподобия, подробнее см. https://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Log-likelihood, https://habr.com/ru/post/433804/

    • AIC — информационный критерий Акаике (Akaike information criterion), подробнее см. https://en.wikipedia.org/wiki/Akaike_information_criterion

    • BIC — информационный критерий Байеса (Bayesian information criterion), подробнее см. https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_information_criterion

    В данной статье мы эти показатели рассматривать не будем, так как задача выбора одной модели из нескольких перед нами не стоит.

  4. Число обусловленности Cond. No = 96792 используется для проверки мультиколлинеарности (считается, что мультиколлинеарность есть, если значение Cond. No > 30) (см. http://work.thaslwanter.at/Stats/html/statsModels.html). В нашем случае парной регрессионной модели о мультиколлинеарности речь не идет.

Далее будем извлекать данные из стандартного набора выдачи результатов и анализировать их более подробно. Последующие этапы вовсе не обязательно проводить в полном объеме при решении задач, но здесь мы рассмотрим их подробно.

Параметры и уравнение регрессионной модели

Извлечем параметры полученной модели — как свойство params модели:

print('Параметры модели: n', result_linear_ols.params, type(result_linear_ols.params))

Имея параметры модели, можем формализовать уравнение модели Y = b0 + b1*X:

b0 = result_linear_ols.params['Intercept']
b1 = result_linear_ols.params['X']
Y_calc = lambda x: b0 + b1*x

График регрессионной модели

Для построения графиков регрессионных моделей можно воспользоваться стандартными возможностями библиотек statsmodels, seaborn, либо создать пользовательскую функцию — на усмотрение исследователя:

1. Построение графиков регрессионных моделей с использованием библиотеки statsmodels

С помощью функции statsmodels.graphics.plot_fit (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.graphics.regressionplots.plot_fit.html#statsmodels.graphics.regressionplots.plot_fit) — отображается график Y and Fitted vs.X (фактические и расчетные значения Y с доверительным интервалом для каждого значения Y):

fig, ax = plt.subplots(figsize=(297/INCH, 210/INCH))
fig = sm.graphics.plot_fit(
    result_linear_ols, 'X',
    vlines=True,    # это параметр отвечает за отображение доверительных интервалов для Y
    ax=ax)
ax.set_ylabel(Variable_Name_Y)
ax.set_xlabel(Variable_Name_X)
ax.set_title(Task_Project)
plt.show()

С помощью функции statsmodels.graphics.plot_regress_exog (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.graphics.regressionplots.plot_regress_exog.html#statsmodels.graphics.regressionplots.plot_regress_exog) — отображается область 2х2, которая содержит:

  • предыдущий график Y and Fitted vs.X;

  • график остатков Residuals versus X;

  • график Partial regression plot — график частичной регрессии, пытается показать эффект добавления другой переменной в модель, которая уже имеет одну или несколько независимых переменных (более подробно см. https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_regression_plot);

  • график CCPR Plot (Component-Component plus Residual Plot) — еще один способ оценить влияние одной независимой переменной на переменную отклика, принимая во внимание влияние других независимых переменных (более подробно — см. https://towardsdatascience.com/calculating-price-elasticity-of-demand-statistical-modeling-with-python-6adb2fa7824d, https://www.kirenz.com/post/2021-11-14-linear-regression-diagnostics-in-python/linear-regression-diagnostics-in-python/).

fig = plt.figure(figsize=(297/INCH, 210/INCH))
sm.graphics.plot_regress_exog(result_linear_ols, 'X', fig=fig)
plt.show()

2. Построение графиков регрессионных моделей с использованием библиотеки seaborn

Воспользуемся модулем regplot библиотеки seaborn (https://seaborn.pydata.org/generated/seaborn.regplot.html). Данный модуль позволяет визуализировать различные виды регрессии:

  • линейную

  • полиномиальную

  • логистическую

  • взвешенную локальную регрессию (LOWESS — Locally Weighted Scatterplot Smoothing) (см. http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Алгоритм_LOWESS, https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.nonparametric.smoothers_lowess.lowess.html)

Более подробно про модуль regplot можно прочитать в статье: https://pyprog.pro/sns/sns_8_regression_models.html.

Есть более совершенный модуль lmplot (https://seaborn.pydata.org/generated/seaborn.lmplot.html), который объединяет в себе regplot и FacetGrid, но мы его здесь рассматривать не будем.

# создание рисунка (Figure) и области рисования (Axes)
fig = plt.figure(figsize=(297/INCH, 420/INCH/1.5))
ax1 = plt.subplot(2,1,1)
ax2 = plt.subplot(2,1,2)
# заголовок рисунка (Figure)
title_figure = Task_Project
fig.suptitle(title_figure, fontsize = 18)
# заголовок области рисования (Axes)
title_axes_1 = 'Линейная регрессионная модель'
ax1.set_title(title_axes_1, fontsize = 16)
# график регрессионной модели
order_mod = 1    # порядок модели
#label_legend_regr_model = 'фактические данные'
sns.regplot(
    #data=dataset_df,
    x=X, y=Y,
    #x_estimator=np.mean,
    order=order_mod,
    logistic=False,
    lowess=False,
    robust=False,
    logx=False,
    ci=95,
    scatter_kws={'s': 30, 'color': 'red'},
    line_kws={'color': 'blue'},
    #label=label_legend_regr_model,
    ax=ax1)
ax1.set_ylabel(Variable_Name_Y)
ax1.legend()
# график остатков
title_axes_2 = 'График остатков'
ax2.set_title(title_axes_2, fontsize = 16)
sns.residplot(
    #data=dataset_df,
    x=X, y=Y,
    order=order_mod,
    lowess=False,
    robust=False,
    scatter_kws={'s': 30, 'color': 'darkorange'},
    ax=ax2)
ax2.set_xlabel(Variable_Name_X)

plt.show()

3. Построение графиков регрессионных моделей с помощью пользовательской функции

# Пользовательская функция
graph_regression_plot_sns(
    X, Y,
    regression_model=Y_calc,
    Xmin=Xmin_graph, Xmax=Xmax_graph,
    Ymin=Ymin_graph, Ymax=Ymax_graph,
    title_figure=Task_Project,
    x_label=Variable_Name_X,
    y_label=Variable_Name_Y,
    label_legend_regr_model=f'линейная регрессия Y = {b0:.3f} + {b1:.4f}*X',
    s=80,
    file_name='graph/regression_plot_lin.png')

Статистический анализ регрессионной модели

1. Расчет ошибки аппроксимации (Error Metrics)

Ошибки аппроксимации (Error Metrics) позволяют получить общее представление о качестве модели, а также позволяют сравнивать между собой различные модели.

Создадим пользовательскую функцию, которая рассчитывает основные ошибки аппроксимации для заданной модели:

  • Mean squared error (MSE) или Mean squared deviation (MSD) — среднеквадратическая ошибка (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_squared_error):

  • Root mean square error (RMSE) или Root mean square deviation (RMSD) — квадратный корень из MSE (https://en.wikipedia.org/wiki/Root-mean-square_deviation):

  • Mean absolute error (MAE) — средняя абсолютная ошибка (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_absolute_error):

  • Mean squared prediction error (MSPE) — среднеквадратическая ошибка прогноза (среднеквадратическая ошибка в процентах) (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_squared_prediction_error):

  • Mean absolute percentage error (MAPE) — средняя абсолютная ошибка в процентах (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_absolute_percentage_error):

Про выбор метрики см. также https://machinelearningmastery.ru/how-to-select-the-right-evaluation-metric-for-machine-learning-models-part-2-regression-metrics-d4a1a9ba3d74/.

# Пользовательская функция
def regression_error_metrics(model, model_name=''):
    model_fit = model.fit()
    Ycalc = model_fit.predict()
    n_fit = model_fit.nobs
    Y = model.endog
    
    MSE = (1/n_fit) * np.sum((Y-Ycalc)**2)
    RMSE = sqrt(MSE)
    MAE = (1/n_fit) * np.sum(abs(Y-Ycalc))
    MSPE = (1/n_fit) *  np.sum(((Y-Ycalc)/Y)**2)
    MAPE = (1/n_fit) *  np.sum(abs((Y-Ycalc)/Y))
        
    model_error_metrics = {
        'MSE': MSE,
        'RMSE': RMSE,
        'MAE': MAE,
        'MSPE': MSPE,
        'MAPE': MAPE}
    
    result = pd.DataFrame({
        'MSE': MSE,
        'RMSE': RMSE,
        'MAE': MAE,
        'MSPE': "{:.3%}".format(MSPE),
        'MAPE': "{:.3%}".format(MAPE)},
        index=[model_name])        
        
    return model_error_metrics, result

(model_error_metrics, result) = regression_error_metrics(model_linear_ols, model_name='linear_ols')
display(result)

В литературе по прикладной статистике нет единого мнения о допустимом размере относительных ошибок аппроксимации: в одних источниках допустимой считается ошибка 5-7%, в других она может быть увеличена до 8-10%, и даже до 15%.

Вывод: модель хорошо аппроксимирует фактические данные (относительная ошибка аппроксимации MAPE = 3.405% < 10%).

2. Дисперсионный анализ регрессионной модели (ДАРМ)

ДАРМ не входит в стандартную форму выдачи результатов Regression Results, однако я решил написать здесь о нем по двум причинам:

  1. Именно анализ дисперсии регрессионной модели, разложение этой дисперсии на составляющие дает фундаментальное представление о сути регрессии, а термины, используемые при ДАРМ, применяются на последующих этапах анализа.

  2. С терминами ДАРМ в литературе по прикладной статистике имеется некоторая путаница, в разных источниках они могут именоваться по-разному (см., например, [8, с.52]), поэтому, чтобы двигаться дальше, необходимо определиться с понятиями.

При ДАРМ общую вариацию результативного признака (Y) принято разделять на две составляющие — вариация, обусловленная регрессией и вариация, обусловленная отклонениями от регрессии (остаток), при этом в разных источниках эти термины могут именоваться и обозначаться по-разному, например:

  1. Вариация, обусловленная регрессией — может называться Explained sum of squares (ESS), Sum of Squared Regression (SSR) (https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares, https://towardsdatascience.com/anova-for-regression-fdb49cf5d684), Sum of squared deviations (SSD).

  2. Вариация, обусловленная отклонениями от регрессии (остаток) — может называться Residual sum of squares (RSS), Sum of squared residuals (SSR), Squared estimate of errors, Sum of Squared Error (SSE) (https://en.wikipedia.org/wiki/Residual_sum_of_squares, https://towardsdatascience.com/anova-for-regression-fdb49cf5d684); в отчественной практике также применяется термин остаточная дисперсия.

  3. Общая (полная) вариация — может называться Total sum of squares (TSS), Sum of Squared Total (SST) (https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_sums_of_squares, https://towardsdatascience.com/anova-for-regression-fdb49cf5d684).

Как видим, путаница знатная:

  • в разных источниках под SSR могут подразумеваться различные показатели;

  • легко перепутать показатели ESS и SSE;

  • в библиотеке statsmodel также есть смешение терминов: для показателя Explained sum of squares используется свойство ess, а для показателя Sum of squared (whitened) residuals — свойство ssr.

Мы будем пользоваться системой обозначений, принятой в большинстве источников — SSR (Sum of Squared Regression), SSE (Sum of Squared Error), SST (Sum of Squared Total). Стандартная таблица ДАРМ в этом случае имеет вид:

Примечания:

  1. Здесь приведена таблица ДАРМ для множественной линейной регрессионной модели (МЛРМ), в нашем случае при ПЛРМ мы имеем частный случай p=1.

  2. Показатели Fcalc-ad и Fcalc-det — расчетные значения статистики критерия Фишера при проверке адекватности модели и значимости коэффициента детерминации (об этом — см.далее).

Более подробно про дисперсионный анализ регрессионной модели — см.[4, глава 3].

Класс statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults позволяет нам получить данные для ANOVA (см. https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.html#statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults) как свойства класса:

  1. Сумма квадратов, обусловленная регрессией / SSR (Sum of Squared Regression) — свойство ess.

  2. Сумма квадратов, обусловленная отклонением от регрессии / SSE (Sum of Squared Error) — свойство ssr.

  3. Общая (полная) сумма квадратов / SST (Sum of Squared Total) — свойство centered_tss.

  4. Кол-во наблюдений / Number of observations — свойство nobs.

  5. Число степеней свободы модели / Model degrees of freedom — равно числу переменных модели (за исключением константы, если она присутствует — свойство df_model.

  6. Среднеквадратичная ошибка модели / Mean squared error the model — сумма квадратов, объясненная регрессией, деленная на число степеней свободы регрессии — свойство mse_model.

  7. Среднеквадратичная ошибка остатков / Mean squared error of the residuals — сумма квадратов остатков, деленная на остаточные степени свободы — свойство mse_resid.

  8. Общая среднеквадратичная ошибка / Total mean squared error — общая сумма квадратов, деленная на количество наблюдений — свойство mse_total.

Также имеется модуль statsmodels.stats.anova.anova_lm, который позволяет получить результаты ДАРМ (нескольких типов — 1, 2, 3):

# тип 1
print('The type of Anova test: 1')
display(sm.stats.anova_lm(result_linear_ols, typ=1))

# тип 2
print('The type of Anova test: 2')
display(sm.stats.anova_lm(result_linear_ols, typ=2))

# тип 3
print('The type of Anova test: 3')
display(sm.stats.anova_lm(result_linear_ols, typ=3))

На мой взгляд, форма таблица результатов statsmodels.stats.anova.anova_lm не вполне удобна, поэтому сформируем ее самостоятельно, для чего создадим пользовательскую функцию ANOVA_table_regression_model:

# Пользовательская функция
def ANOVA_table_regression_model(model_fit):
    n = int(model_fit.nobs)
    p = int(model_fit.df_model)
    SSR = model_fit.ess
    SSE = model_fit.ssr
    SST = model_fit.centered_tss

    result = pd.DataFrame({
        'sources_of_variation': ('regression (SSR)', 'deviation from regression (SSE)', 'total (SST)'),
        'sum_of_squares': (SSR, SSE, SST),
        'degrees_of_freedom': (p, n-p-1, n-1)})
    result['squared_error'] = result['sum_of_squares'] / result['degrees_of_freedom']
    R2 = 1 - result.loc[1, 'sum_of_squares'] / result.loc[2, 'sum_of_squares']
    F_calc_adequacy = result.loc[2, 'squared_error'] / result.loc[1, 'squared_error']
    F_calc_determ_check = result.loc[0, 'squared_error'] / result.loc[1, 'squared_error']
    result['F-ratio'] = (F_calc_determ_check, F_calc_adequacy, '')
    
    return result

result = ANOVA_table_regression_model(result_linear_ols)
display(result)
print(f"R2 = 1 - SSE/SST = {1 - result.loc[1, 'sum_of_squares'] / result.loc[2, 'sum_of_squares']}")
print(f"F_calc_adequacy = MST / MSE = {result.loc[2, 'squared_error'] / result.loc[1, 'squared_error']}")
print(f"F_calc_determ_check = MSR / MSE = {result.loc[0, 'squared_error'] / result.loc[1, 'squared_error']}")

ДАРМ позволяет визуализировать вариацию:

fig, axes = plt.subplots(figsize=(210/INCH, 297/INCH/1.5))
axes.pie(
    (result.loc[0, 'sum_of_squares'], result.loc[1, 'sum_of_squares']), 
    labels=(result.loc[0, 'sources_of_variation'], result.loc[1, 'sources_of_variation']),
    autopct='%.1f%%',
    startangle=60)
plt.show()

На основании данных ДАРМ мы рассчитали ряд показателей (R2, Fcalc-ad и Fcalc-det), которые будут использоваться в дальнейшем.

3. Анализ остатков (проверка нормальности распределения остатков и гипотезы о равенстве нулю среднего значения остатков)

Проверка нормальности распределения остатков — один их важнейших этапов анализа регрессионной модели. Требование нормальности распределения остатков не требуется для отыскания параметров модели, но необходимо в дальнейшем для проверки статистических гипотез с использованием критериев Фишера и Стьюдента (проверка адекватности модели, значимости коэффициента детерминации, значимости коэффициентов регрессии) и построения доверительных интервалов [5, с.122].

Остатки регрессионной модели:

print('Остатки регрессионной модели:n', result_linear_ols.resid, type(result_linear_ols.resid))
res_Y = np.array(result_linear_ols.resid)

statsmodels может выдавать различные преобразованные виды остатков (см. https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.resid_pearson.html, https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.wresid.html).

График остатков:

# Пользовательская функция
graph_scatterplot_sns(
    X, res_Y,
    Xmin=Xmin_graph, Xmax=Xmax_graph,
    Ymin=-3.0, Ymax=3.0,
    color='red',
    #title_figure=Task_Project,
    title_axes='Остатки линейной регрессионной модели', title_axes_fontsize=18,
    x_label=Variable_Name_X,
    y_label='ΔY = Y - Ycalc',
    s=75,
    file_name='graph/residuals_plot_sns.png')

Проверка нормальности распределения остатков:

# Пользовательская функция
graph_hist_boxplot_probplot_sns(
    data=res_Y,
    data_min=-2.5, data_max=2.5,
    graph_inclusion='bp',
    data_label='ΔY = Y - Ycalc',
    #title_figure=Task_Project,
    title_axes='Остатки линейной регрессионной модели', title_axes_fontsize=16,
    file_name='graph/residuals_hist_boxplot_probplot_sns.png')    

norm_distr_check(res_Y)

Вывод: большинство статистических тестов позволяют принять гипотезу о нормальности распределения остатков.

Проверка гипотезы о равенстве нулю среднего значения остатков — так как остатки имеют нормальное распределение, воспользуемся критерием Стьюдента (функция scipy.stats.ttest_1samp, https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.ttest_ind.html):

sps.ttest_1samp(res_Y, popmean=0)

Вывод: так как расчетный уровень значимости превышает заданный (0.05), то нулевая гипотеза о равенстве нулю остатков ПРИНИМАЕТСЯ.

4. Проверка адекватности модели

Суть проверки адекватности регрессионной модели заключается в сравнении полной дисперсии MST и остаточной дисперсии MSE — проверяется гипотеза о равенстве этих дисперсий по критерию Фишера. Если дисперсии различаются значимо, то модель считается адекватной. Более подробно про проверку адекватности регрессионной — см.[1, с.658], [2, с.49], [4, с.154].

Для проверки адекватности регрессионной модели создадим пользовательскую функцию regression_model_adequacy_check:

def regression_model_adequacy_check(
    model_fit,
    p_level: float=0.95,
    model_name=''):
    
    n = int(model_fit.nobs)
    p = int(model_fit.df_model)    # Число степеней свободы регрессии, равно числу переменных модели (за исключением константы, если она присутствует)
    
    SST = model_fit.centered_tss    # SST (Sum of Squared Total)
    dfT = n-1
    MST = SST / dfT

    SSE = model_fit.ssr    # SSE (Sum of Squared Error)
    dfE = n - p - 1
    MSE = SSE / dfE
    
    F_calc = MST / MSE
    F_table = sci.stats.f.ppf(p_level, dfT, dfE, loc=0, scale=1)
    a_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_calc, dfT, dfE, loc=0, scale=1)
    conclusion_model_adequacy_check = 'adequacy' if F_calc >= F_table else 'adequacy'
    
    # формируем результат            
    result = pd.DataFrame({
        'SST': (SST),
        'SSE': (SSE),
        'dfT': (dfT),
        'dfE': (dfE),
        'MST': (MST),
        'MSE': (MSE),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'F_calc': (F_calc),
        'F_table': (F_table),
        'F_calc >= F_table': (F_calc >= F_table),
        'a_calc': (a_calc),
        'a_calc <= a_level': (a_calc <= a_level),
        'adequacy_check': (conclusion_model_adequacy_check),
        },
        index=[model_name]
        )
    
    return result

regression_model_adequacy_check(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')

Вывод: модель является АДЕКВАТНОЙ.

5. Коэффициент детерминации и проверка его значимости

Различают несколько видов коэффициента детерминации:

  1. Собственно обычный коэффициент детерминации:

Его значение может быть получено как свойство rsquared модели.

  1. Скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации — используется для того, чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом признаков так, чтобы число регрессоров (признаков) не влияло на статистику R2, при его расчете используются несмещённые оценки дисперсий:

Его значение может быть получено как свойство rsquared_adj модели.

  1. Обобщённый (extended) коэффициент детерминации — используется для сравнения моделей регрессии со свободным членом и без него, а также для сравнения между собой регрессий, построенных с помощью различных методов: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК), обобщённо-условного метода наименьших квадратов (ОУМНК). В данном разборе ПЛРМ рассматривать этот коэффициент мы не будем.

Более подробно с теорией вопроса можно ознакомиться, например: http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Коэффициент_детерминации), а также в [7].

Значения коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации, извлеченные с помощью свойств rsquared и rsquared_adj модели.

print('R2 =', result_linear_ols.rsquared)
print('R2_adj =', result_linear_ols.rsquared_adj)

Значимость коэффициента детерминации можно проверить по критерию Фишера [3, с.201-203; 8, с.83].

Расчетное значение статистики критерия Фишера может быть получено с помощью свойства fvalue модели:

print(f"result_linear_ols.fvalue = {result_linear_ols.fvalue}")

Расчетный уровень значимости при проверке гипотезы по критерию Фишера может быть получено с помощью свойства f_pvalue модели:

print(f"result_linear_ols.f_pvalue = {result_linear_ols.f_pvalue}")

Можно рассчитать уровень значимости самостоятельно (так сказать, для лучшего понимания и общей демонстрации возможностей) — для этого воспользуемся библиотекой scipy, модулем распределения Фишера scipy.stats.f, свойством cdf (функция распределения):

df1 = int(result_linear_ols.df_model)
df2 = int(result_linear_ols.nobs - result_linear_ols.df_model - 1)
F_calc = result_linear_ols.fvalue
a_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_calc, df1, df2, loc=0, scale=1)
print(a_calc)

Как видим, результаты совпадают.

Табличное значение статистики критерия Фишера получить с помощью Regression Results нельзя. Рассчитаем его самостоятельно — для этого воспользуемся библиотекой scipy, модулем распределения Стьюдента scipy.stats.f, свойством ppf (процентные точки):

F_table = sci.stats.f.ppf(p_level, df1, df2, loc=0, scale=1)
print(F_table)

Для удобства создадим пользовательскую функцию determination_coef_check для проверки значимости коэффициента детерминации, которая объединяет все вышеперечисленные расчеты:

# Пользовательская функция
def determination_coef_check(
    model_fit,
    p_level: float=0.95):
    
    a_level = 1 - p_level
    
    R2 = model_fit.rsquared
    R2_adj = model_fit.rsquared_adj
    n = model_fit.nobs    # объем выборки
    p = model_fit.df_model    # Model degrees of freedom. The number of regressors p. Does not include the constant if one is present.
    
    F_calc = R2 / (1 - R2) * (n-p-1)/p
    df1 = int(p)
    df2 = int(n-p-1)
    F_table = sci.stats.f.ppf(p_level, df1, df2, loc=0, scale=1)
    a_calc = 1 - sci.stats.f.cdf(F_calc, df1, df2, loc=0, scale=1)
    conclusion_determ_coef_sign = 'significance' if F_calc >= F_table else 'not significance'
        
    # формируем результат            
    result = pd.DataFrame({
        'notation': ('R2'),
        'coef_value (R)': (sqrt(R2)),
        'coef_value_squared (R2)': (R2),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'F_calc': (F_calc),
        'df1': (df1),
        'df2': (df2),
        'F_table': (F_table),
        'F_calc >= F_table': (F_calc >= F_table),
        'a_calc': (a_calc),
        'a_calc <= a_level': (a_calc <= a_level),
        'significance_check': (conclusion_determ_coef_sign),
        'conf_int_low': (''),
        'conf_int_high': ('')
        },
        index=['Coef. of determination'])
    return result

determination_coef_check(
    result_linear_ols,
    p_level=0.95)

Вывод: коэффициент детерминации ЗНАЧИМ.

6. Коэффициенты регрессии и проверка их значимости

Ранее мы уже извлекли коэффициенты регрессии как параметры модели b0 и b1 (как свойство params модели). Также можно получить их значения, как свойство bse модели:

print(b0, b1)
print(result_linear_ols.bse, type(result_linear_ols.bse))

Значимость коэффициентов регрессии можно проверить по критерию Стьюдента [3, с.203-212; 8, с.78].

Расчетные значения статистики критерия Стьюдента могут быть получены с помощью свойства tvalues модели:

print(f"result_linear_ols.tvalues = n{result_linear_ols.tvalues}")

Расчетные значения уровня значимости при проверке гипотезы по критерию Стьюдента могут быть получены с помощью свойства pvalues модели:

print(f"result_linear_ols.pvalues = n{result_linear_ols.pvalues}")

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии могут быть получены с помощью свойства conf_int модели:

print(result_linear_ols.conf_int(), 'n')

Можно рассчитать уровень значимости самостоятельно (как ранее для критерия Фишера — для лучшего понимания и общей демонстрации возможностей) — для этого воспользуемся библиотекой scipy, модулем распределения Стьюдента scipy.stats.t, свойством cdf (функция распределения):

t_calc = result_linear_ols.tvalues
df = int(result_linear_ols.nobs - result_linear_ols.df_model - 1)
a_calc = 2*(1-sci.stats.t.cdf(abs(t_calc), df, loc=0, scale=1))
print(a_calc)

Как видим, результаты совпадают.

Табличные значения статистики критерия Стьюдента получить с помощью Regression Results нельзя. Рассчитаем их самостоятельно — для этого воспользуемся библиотекой scipy, модулем распределения Стьюдента scipy.stats.t, свойством ppf (процентные точки):

t_table = sci.stats.t.ppf((1 + p_level)/2 , df)
print(t_table)

Для удобства создадим пользовательскую функцию regression_coef_check для проверки значимости коэффициентов регрессии, которая объединяет все вышеперечисленные расчеты:

def regression_coef_check(
    model_fit,
    notation_coef: list='',
    p_level: float=0.95):
    
    a_level = 1 - p_level
    
    # параметры модели (коэффициенты регрессии)
    model_params = model_fit.params
    # стандартные ошибки коэффициентов регрессии
    model_bse = model_fit.bse
    # проверка гипотезы о значимости регрессии
    t_calc = abs(model_params) / model_bse
    n = model_fit.nobs    # объем выборки
    p = model_fit.df_model    # Model degrees of freedom. The number of regressors p. Does not include the constant if one is present.
    df = int(n - p - 1)
    t_table = sci.stats.t.ppf((1 + p_level)/2 , df)
    a_calc = 2*(1-sci.stats.t.cdf(t_calc, df, loc=0, scale=1))
    conclusion_ = ['significance' if elem else 'not significance' for elem in (t_calc >= t_table).values]
        
    # доверительный интервал коэффициента регрессии
    conf_int_low = model_params - t_table*model_bse
    conf_int_high = model_params + t_table*model_bse
    
    # формируем результат            
    result = pd.DataFrame({
        'notation': (notation_coef),
        'coef_value': (model_params),
        'std_err': (model_bse),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        't_calc': (t_calc),
        'df': (df),
        't_table': (t_table),
        't_calc >= t_table': (t_calc >= t_table),
        'a_calc': (a_calc),
        'a_calc <= a_level': (a_calc <= a_level),
        'significance_check': (conclusion_),
        'conf_int_low': (conf_int_low),
        'conf_int_high': (conf_int_high),
        })
    
    return result

regression_coef_check(
    result_linear_ols,
    notation_coef=['b0', 'b1'],
    p_level=0.95)

Вывод: коэффициенты регрессии b0 и b1 ЗНАЧИМЫ.

7. Проверка гетероскедастичности

Для проверка гетероскедастичности statsmodels предлагает нам следующие инструменты:

  • тест Голдфелда-Квандта (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.het_goldfeldquandt.html#statsmodels.stats.diagnostic.het_goldfeldquandt) — теорию см. [8, с.178], также https://ru.wikipedia.org/wiki/Тест_Голдфелда_—_Куандта.

  • тест Бриша-Пэгана (Breush-Pagan test) (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan.html#statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan) — теорию см.[8, с.179], также https://en.wikipedia.org/wiki/Breusch–Pagan_test.

  • тест Уайта (White test) (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.het_white.html#statsmodels.stats.diagnostic.het_white) — теорию см.[8, с.177], а также https://ru.wikipedia.org/wiki/Тест_Уайта.

    Тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld–Quandt test)

# тест Голдфелда-Квандта (Goldfeld–Quandt test)
test = sms.het_goldfeldquandt(result_linear_ols.resid, result_linear_ols.model.exog)
test_result = lzip(['F_calc', 'p_calc'], test)    # распаковка результатов теста
# расчетное значение статистики F-критерия
F_calc_tuple = test_result[0]
F_calc = F_calc_tuple[1]
print(f"Расчетное значение статистики F-критерия: F_calc = {round(F_calc, DecPlace)}")
# расчетный уровень значимости
p_calc_tuple = test_result[1]
p_calc = p_calc_tuple[1]
print(f"Расчетное значение доверительной вероятности: p_calc = {round(p_calc, DecPlace)}")
#a_calc = 1 - p_value
#print(f"Расчетное значение уровня значимости: a_calc = 1 - p_value = {round(a_calc, DecPlace)}")
# вывод
if p_calc < a_level:
    conclusion_GQ_test = f"Так как p_calc = {round(p_calc, DecPlace)} < a_level = {round(a_level, DecPlace)}" + 
        ", то дисперсии в подвыборках отличаются значимо, т.е. гипотеза о наличии гетероскедастичности ПРИНИМАЕТСЯ"
else:
    conclusion_GQ_test = f"Так как p_calc = {round(p_calc, DecPlace)} >= a_level = {round(a_level, DecPlace)}" + 
        ", то дисперсии в подвыборках отличаются незначимо, т.е. гипотеза о наличии гетероскедастичности ОТВЕРГАЕТСЯ"
print(conclusion_GQ_test)

Для удобства создадим пользовательскую функцию Goldfeld_Quandt_test:

def Goldfeld_Quandt_test(
    model_fit,
    p_level: float=0.95,
    model_name=''):
    
    a_level = 1 - p_level
    
    # реализация теста
    test = sms.het_goldfeldquandt(model_fit.resid, model_fit.model.exog)
    test_result = lzip(['F_statistic', 'p_calc'], test)    # распаковка результатов теста
    # расчетное значение статистики F-критерия
    F_calc_tuple = test_result[0]
    F_statistic = F_calc_tuple[1]
    # расчетный уровень значимости
    p_calc_tuple = test_result[1]
    p_calc = p_calc_tuple[1]
    # вывод
    conclusion_test = 'heteroscedasticity' if p_calc < a_level else 'not heteroscedasticity'
    
    result = pd.DataFrame({
        'test': ('Goldfeld–Quandt test'),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'F_statistic': (F_statistic),
        'p_calc': (p_calc),
        'p_calc < a_level': (p_calc < a_level),
        'heteroscedasticity_check': (conclusion_test)
        },
        index=[model_name])
    
    return result

Goldfeld_Quandt_test(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')

Тест Бриша-Пэгана (Breush-Pagan test)

# тест Бриша-Пэгана (Breush-Pagan test)
name = ["Lagrange multiplier statistic", "p-value", "f-value", "f p-value"]
test = sms.het_breuschpagan(result_linear_ols.resid, result_linear_ols.model.exog)
lzip(name, test)

Для удобства создадим пользовательскую функцию Breush_Pagan_test:

def Breush_Pagan_test(
    model_fit,
    p_level: float=0.95,
    model_name=''):
    
    a_level = 1 - p_level
    
    # реализация теста
    test = sms.het_breuschpagan(model_fit.resid, model_fit.model.exog)
    name = ['Lagrange_multiplier_statistic', 'p_calc_LM', 'F_statistic', 'p_calc']
    test_result = lzip(name, test)    # распаковка результатов теста
    # расчетное значение статистики теста множителей Лагранжа
    LM_calc_tuple = test_result[0]
    Lagrange_multiplier_statistic = LM_calc_tuple[1]
    # расчетный уровень значимости статистики теста множителей Лагранжа
    p_calc_LM_tuple = test_result[1]
    p_calc_LM = p_calc_LM_tuple[1]
    # расчетное значение F-статистики гипотезы о том, что дисперсия ошибки не зависит от x
    F_calc_tuple = test_result[2]
    F_statistic = F_calc_tuple[1]
    # расчетный уровень значимости F-статистики
    p_calc_tuple = test_result[3]
    p_calc = p_calc_tuple[1]
    # вывод
    conclusion_test = 'heteroscedasticity' if p_calc < a_level else 'not heteroscedasticity'

    # вывод
    conclusion_test = 'heteroscedasticity' if p_calc < a_level else 'not heteroscedasticity'
    
    result = pd.DataFrame({
        'test': ('Breush-Pagan test'),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'Lagrange_multiplier_statistic': (Lagrange_multiplier_statistic),
        'p_calc_LM': (p_calc_LM),
        'p_calc_LM < a_level': (p_calc_LM < a_level),
        'F_statistic': (F_statistic),
        'p_calc': (p_calc),
        'p_calc < a_level': (p_calc < a_level),
        'heteroscedasticity_check': (conclusion_test)
        },
        index=[model_name])
    
    return result

Breush_Pagan_test(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')

Тест Уайта (White test)

# тест Уайта (White test)
name = ["Lagrange multiplier statistic", "p-value", "f-value", "f p-value"]
test = sms.het_white(result_linear_ols.resid, result_linear_ols.model.exog)
lzip(name, test)

Для удобства создадим пользовательскую функцию White_test:

def White_test(
    model_fit,
    p_level: float=0.95,
    model_name=''):
    
    a_level = 1 - p_level
    
    # реализация теста
    test = sms.het_white(model_fit.resid, model_fit.model.exog)
    name = ['Lagrange_multiplier_statistic', 'p_calc_LM', 'F_statistic', 'p_calc']
    test_result = lzip(name, test)    # распаковка результатов теста
    # расчетное значение статистики теста множителей Лагранжа
    LM_calc_tuple = test_result[0]
    Lagrange_multiplier_statistic = LM_calc_tuple[1]
    # расчетный уровень значимости статистики теста множителей Лагранжа
    p_calc_LM_tuple = test_result[1]
    p_calc_LM = p_calc_LM_tuple[1]
    # расчетное значение F-статистики гипотезы о том, что дисперсия ошибки не зависит от x
    F_calc_tuple = test_result[2]
    F_statistic = F_calc_tuple[1]
    # расчетный уровень значимости F-статистики
    p_calc_tuple = test_result[3]
    p_calc = p_calc_tuple[1]
    # вывод
    conclusion_test = 'heteroscedasticity' if p_calc < a_level else 'not heteroscedasticity'

    # вывод
    conclusion_test = 'heteroscedasticity' if p_calc < a_level else 'not heteroscedasticity'
    
    result = pd.DataFrame({
        'test': ('White test'),
        'p_level': (p_level),
        'a_level': (a_level),
        'Lagrange_multiplier_statistic': (Lagrange_multiplier_statistic),
        'p_calc_LM': (p_calc_LM),
        'p_calc_LM < a_level': (p_calc_LM < a_level),
        'F_statistic': (F_statistic),
        'p_calc': (p_calc),
        'p_calc < a_level': (p_calc < a_level),
        'heteroscedasticity_check': (conclusion_test)
        },
        index=[model_name])
    
    return result

White_test(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')

Объединим результаты всех тестов гетероскедастичность в один DataFrame:

Goldfeld_Quandt_test_df = Goldfeld_Quandt_test(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')
Breush_Pagan_test_df = Breush_Pagan_test(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')
White_test_df = White_test(result_linear_ols, p_level=0.95, model_name='linear_ols')

heteroscedasticity_tests_df = pd.concat([Breush_Pagan_test_df, White_test_df, Goldfeld_Quandt_test_df])
display(heteroscedasticity_tests_df)

Выводы

Итак, мы провели статистический анализ регрессионной модели и установили:

  • исходные данные имеют нормальное распределение;

  • между переменными имеется весьма сильная корреляционная связь;

  • регрессионная модель хорошо аппроксимирует фактические данные;

  • остатки модели имеют нормальное распределение;

  • регрессионная модель адекватна по критерию Фишера;

  • коэффициент детерминации значим по критеию Фишера;

  • коэффициенты регрессии значимы по критерию Стьюдента;

  • гетероскедастичность отсутствует.

Применительно к рассматриваемой задаче выполнять проверку автокорреляции не имеет особого смысла из-за особенностей исходных данных (результаты замеров прочности бетона на разных участках здания).

Про статистический анализ регрессионных моделей с помощью statsmodels— см. еще https://www.statsmodels.org/stable/examples/notebooks/generated/regression_diagnostics.html.

Доверительные интервалы регрессионной модели

Для регрессионных моделей определяют доверительные интервалы двух видов [3, с.184-192; 4, с.172; 8, с.205-209]:

  1. Доверительный интервал средних значений переменной Y.

  2. Доверительный интервал индивидуальных значений переменной Y.

При этом размер доверительного интервала для индивидуальных значений больше, чем для средних значений.

Доверительные интервалы регрессионных моделей (ДИРМ) могут быть найдены разными способами:

  • непосредственно путем расчетов по формулам (см., например, https://habr.com/ru/post/558158/);

  • с использованием инструментария библиотеки statsmodels (см., например, https://www.stackfinder.ru/questions/17559408/confidence-and-prediction-intervals-with-statsmodels).

Разбререм более подробно способ с использованием библиотеки statsmodels. Прежде всего, с помощью свойства summary_table класса statsmodels.stats.outliers_influence.OLSInfluence (https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.outliers_influence.OLSInfluence.html?highlight=olsinfluence) мы можем получить таблицу данных, содержащую необходимую нам информацию:

  • Dep Var Population — фактические значения переменной Y;

  • Predicted Value — предсказанные значения переменной Y по по регрессионной модели;

  • Std Error Mean Predict — среднеквадратическая ошибка предсказанного среднего;

  • Mean ci 95% low и Mean ci 95% upp — границы доверительного интервала средних значений переменной Y;

  • Predict ci 95% low и Predict ci 95% upp — границы доверительного интервала индивидуальных значений переменной Y;

  • Residual — остатки регрессионной модели;

  • Std Error Residual — среднеквадратическая ошибка остатков;

  • Student Residual — стьюдентизированные остатки (подробнее см. http://statistica.ru/glossary/general/studentizirovannie-ostatki/);

  • Cook’s D — Расстояние Кука (Cook’s distance) — оценивает эффект от удаления одного (рассматриваемого) наблюдения; наблюдение считается выбросом, если Di > 4/n (более подробно — см.https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.f584ceb5-63296427-aded8f31-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Cook’s_distance, http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Расстояние_Кука).

from statsmodels.stats.outliers_influence import summary_table
st, data, ss2 = summary_table(result_linear_ols, alpha=0.05)
print(st, 'n', type(st))

В нашем случае критическое значение расстояния Кука равно:

print(f'D_crit = 4/n = {4/result_linear_ols.nobs}')

то есть выбросов, смещающих оценки коэффициентов регрессии, не наблюдается.

Мы получили данные как класс statsmodels.iolib.table.SimpleTable. Свойство data преобразует данные в список. Далее для удобства работы преобразуем данные в DataFrame:

  st_data_df = pd.DataFrame(st.data)

Будем использовать данный DataFrame в дальнейшем, несколько преобразуем его:

  • изменим наименование столбцов (с цифр на названия показателей из таблицы summary_table)

  • удалим строки с текстовыми значениями

  • изменим индекс

  • добавим новый столбец — значения переменной X

  • отсортируем по возрастанию значений переменной X (это необходимо, чтобы графики границ доверительных интервалов выглядели как линии)

st_df = st_data_df.copy()
# изменим наименования столбцов
str = st_df.iloc[0,0:] + ' ' + st_df.iloc[1,0:]
st_df = st_df.rename(str, axis='columns')
# удалим строки 0, 1
st_df = st_df.drop([0,1])
# изменим индекс
st_df = st_df.set_index(np.arange(0, result_linear_ols.nobs))
# добавим новый столбец - значения переменной X
st_df.insert(1, 'X', X)
# отсортируем по возрастанию значений переменной X
st_df = st_df.sort_values(by='X')

display(st_df)

С помощью полученных данных мы можем построить график регрессионной модели с доверительными интервалами:

# создание рисунка (Figure) и области рисования (Axes)
fig, axes = plt.subplots(figsize=(297/INCH, 210/INCH))
# заголовок рисунка (Figure)
title_figure = Task_Project
fig.suptitle(title_figure, fontsize = 16)
# заголовок области рисования (Axes)
title_axes = 'Линейная регрессионная модель'
axes.set_title(title_axes, fontsize = 14)
# фактические данные
sns.scatterplot(
    x=st_df['X'], y=st_df['Dep Var Population'],
    label='фактические данные',
    s=50,
    color='red',
    ax=axes)
# график регрессионной модели
label_legend_regr_model=f'линейная регрессия Y = {b0:.3f} + {b1:.4f}*X'
sns.lineplot(
    x=st_df['X'], y=st_df['Predicted Value'],
    label=label_legend_regr_model,
    color='blue',
    ax=axes)
# доверительный интервал средних значений переменной Y
Mean_ci_low = st_df['Mean ci 95% low']
plt.plot(
    st_df['X'], Mean_ci_low,
    color='magenta', linestyle='--', linewidth=1,
    label='доверительный интервал средних значений Y')
Mean_ci_upp = st_df['Mean ci 95% upp']
plt.plot(
    st_df['X'], Mean_ci_upp,
    color='magenta', linestyle='--', linewidth=1)
# доверительный интервал индивидуальных значений переменной Y
Predict_ci_low = st_df['Predict ci 95% low']
plt.plot(
    st_df['X'], Predict_ci_low,
    color='orange', linestyle='-.', linewidth=2,
    label='доверительный интервал индивидуальных значений Y')
Predict_ci_upp = st_df['Predict ci 95% upp']
plt.plot(
    st_df['X'], Predict_ci_upp,
    color='orange', linestyle='-.', linewidth=2)

axes.set_xlabel(Variable_Name_X)
axes.set_ylabel(Variable_Name_Y)
axes.legend(prop={'size': 12})
plt.show()

Однако, мы получили данные о границах доверительных интервалов регрессионной модели только в пределах области фактических значений переменной X. Как быть, если мы хотим распространить прогноз за пределы этой области?

Прогнозирование

Под прогнозированием мы в данном случае будем понимать определение значений переменной Y и доверительных интервалов для ее средних и индивидуальных значений при заданном X. По сути, нам предстоит построить аналог рассмотренной выше таблицы summary_table, только с другими значениями X, причем эти значения могут выходить за пределы тех значений, которые использовались нами для построения регрессии.

Методика расчета доверительных интервалов регрессионных моделей разобрана в статье «Python, корреляция и регрессия: часть 4» (https://habr.com/ru/post/558158/), всем рекомендую ознакомиться.

Найти прогнозные значения Y не представляет труда, так как ранее мы уже формализовали модель в виде лямбда-функции, а вот для построения доверительных интервалов придется выполнить расчеты по формулам. Для этого создадим пользовательскую функцию regression_pair_predict, которая в случае парной регрессии (pair regression) для заданного значения X возвращает:

  • прогнозируемое по регрессионной модели значение y_calc

  • доверительный интервал [y_calc_mean_ci_low, y_calc_mean_ci_upp] средних значений переменной Y

  • доверительный интервал [y_calc_predict_ci_low, y_calc_predict_ci_upp] индивидуальных значений переменной Y

Алгоритм расчета доверительных интервалов для множественной регрессии (multiple regression) отличается и в данном обзоре не рассматривается (рассмотрим в дальнейшем).

Про прогнозирование с помощью регрессионных моделей — см.также:

  • https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.predict.html?highlight=predict#statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults.predict

  • How to Make Predictions Using Regression Model in Statsmodels

  • https://www.statsmodels.org/stable/examples/notebooks/generated/predict.html

def regression_pair_predict(
    x_in,
    model_fit,
    regression_model,
    p_level: float=0.95):
    
    a_level = 1 - p_level
    
    X = pd.DataFrame(model_fit.model.exog)[1].values    # найти лучшее решение
    Y = model_fit.model.endog
    
    # вспомогательные величины
    n = int(result_linear_ols.nobs)
    SSE = model_fit.ssr    # SSE (Sum of Squared Error)
    dfE = n - p - 1
    MSE = SSE / dfE    # остаточная дисперсия
    
    Xmean = np.mean(X)
    SST_X = np.sum([(X[i] - Xmean)**2 for i in range(0, n)])
    
    t_table = sci.stats.t.ppf((1 + p_level)/2 , dfE)
    S2_y_calc_mean = MSE * (1/n + (x_in - Xmean)**2 / SST_X)
    S2_y_calc_predict = MSE * (1 + 1/n + (x_in - Xmean)**2 / SST_X)
        
    # прогнозируемое значение переменной Y
    y_calc=regression_model(x_in)
    # доверительный интервал средних значений переменной Y
    y_calc_mean_ci_low = y_calc - t_table*sqrt(S2_y_calc_mean)
    y_calc_mean_ci_upp = y_calc + t_table*sqrt(S2_y_calc_mean)
    # доверительный интервал индивидуальных значений переменной Y
    y_calc_predict_ci_low = y_calc - t_table*sqrt(S2_y_calc_predict)
    y_calc_predict_ci_upp = y_calc + t_table*sqrt(S2_y_calc_predict)
    
    result = y_calc, y_calc_mean_ci_low, y_calc_mean_ci_upp, y_calc_predict_ci_low, y_calc_predict_ci_upp
    
    return result

Сравним результаты расчета доверительных интервалов разными способами — с использованием функции regression_pair_predict и средствами statsmodels, для этого сформируем DaraFrame с новыми данными:

regression_pair_predict_df = pd.DataFrame(
    [regression_pair_predict(elem, result_linear_ols, regression_model=Y_calc) for elem in st_df['X'].values],
    columns=['y_calc', 'y_calc_mean_ci_low', 'y_calc_mean_ci_upp', 'y_calc_predict_ci_low', 'y_calc_predict_ci_upp'])
regression_pair_predict_df.insert(0, 'X', st_df['X'].values)
display(regression_pair_predict_df)

Видим, что результаты расчетов идентичны, следовательно мы можем использовать функцию regression_pair_predict для прогнозирования.

def graph_regression_pair_predict_plot_sns(
    model_fit,
    regression_model_in,
    Xmin=None, Xmax=None, Nx=10,
    Ymin_graph=None, Ymax_graph=None,
    title_figure=None, title_figure_fontsize=18,
    title_axes=None, title_axes_fontsize=16,
    x_label=None,
    y_label=None,
    label_fontsize=14, tick_fontsize=12, 
    label_legend_regr_model='', label_legend_fontsize=12,
    s=50, linewidth_regr_model=2,
    graph_size=(297/INCH, 210/INCH),
    result_output=True,
    file_name=None):
    
    # фактические данные
    X = pd.DataFrame(model_fit.model.exog)[1].values    # найти лучшее решение
    Y = model_fit.model.endog
    X = np.array(X)
    Y = np.array(Y)
    
    # границы
    if not(Xmin) and not(Xmax):
        Xmin=min(X)
        Xmax=max(X)
        Xmin_graph=min(X)*0.99
        Xmax_graph=max(X)*1.01
    else:
        Xmin_graph=Xmin
        Xmax_graph=Xmax
    
    if not(Ymin_graph) and not(Ymax_graph):
        Ymin_graph=min(Y)*0.99
        Ymax_graph=max(Y)*1.01       
    
    # формируем DataFrame данных
    Xcalc = np.linspace(Xmin, Xmax, num=Nx)
    Ycalc = regression_model_in(Xcalc)
    
    result_df = pd.DataFrame(
        [regression_pair_predict(elem, model_fit, regression_model=regression_model_in) for elem in Xcalc],
        columns=['y_calc', 'y_calc_mean_ci_low', 'y_calc_mean_ci_upp', 'y_calc_predict_ci_low', 'y_calc_predict_ci_upp'])
    result_df.insert(0, 'x_calc', Xcalc)
            
    # заголовки графика
    fig, axes = plt.subplots(figsize=graph_size)
    fig.suptitle(title_figure, fontsize = title_figure_fontsize)
    axes.set_title(title_axes, fontsize = title_axes_fontsize)
    
    # фактические данные
    sns.scatterplot(
        x=X, y=Y,
        label='фактические данные',
        s=s,
        color='red',
        ax=axes)
    
    # график регрессионной модели
    sns.lineplot(
        x=Xcalc, y=Ycalc,
        color='blue',
        linewidth=linewidth_regr_model,
        legend=True,
        label=label_legend_regr_model,
        ax=axes)
    
    # доверительный интервал средних значений переменной Y
    Mean_ci_low = result_df['y_calc_mean_ci_low']
    plt.plot(
        result_df['x_calc'], Mean_ci_low,
        color='magenta', linestyle='--', linewidth=1,
        label='доверительный интервал средних значений Y')
    
    Mean_ci_upp = result_df['y_calc_mean_ci_upp']
    plt.plot(
        result_df['x_calc'], Mean_ci_upp,
        color='magenta', linestyle='--', linewidth=1)
    
    # доверительный интервал индивидуальных значений переменной Y
    Predict_ci_low = result_df['y_calc_predict_ci_low']
    plt.plot(
        result_df['x_calc'], Predict_ci_low,
        color='orange', linestyle='-.', linewidth=2,
        label='доверительный интервал индивидуальных значений Y')
    
    Predict_ci_upp = result_df['y_calc_predict_ci_upp']
    plt.plot(
        result_df['x_calc'], Predict_ci_upp,
        color='orange', linestyle='-.', linewidth=2)
    
        
    axes.set_xlim(Xmin_graph, Xmax_graph)
    axes.set_ylim(Ymin_graph, Ymax_graph)        
    axes.set_xlabel(x_label, fontsize = label_fontsize)
    axes.set_ylabel(y_label, fontsize = label_fontsize)
    axes.tick_params(labelsize = tick_fontsize)
    #axes.tick_params(labelsize = tick_fontsize)
    axes.legend(prop={'size': label_legend_fontsize})
        
    plt.show()
    if file_name:
        fig.savefig(file_name, orientation = "portrait", dpi = 300)
        
    if result_output:
        return result_df
    else:
        return

graph_regression_pair_predict_plot_sns(
    model_fit=result_linear_ols,
    regression_model_in=Y_calc,
    Xmin=Xmin_graph-300, Xmax=Xmax_graph+200, Nx=25,
    Ymin_graph=Ymin_graph-5, Ymax_graph=Ymax_graph+5,
    title_figure=Task_Project, title_figure_fontsize=16,
    title_axes='Линейная регрессионная модель', title_axes_fontsize=14,
    x_label=Variable_Name_X,
    y_label=Variable_Name_Y,
    label_legend_regr_model=f'линейная регрессия Y = {b0:.3f} + {b1:.4f}*X',
    s=50,
    result_output=True,
    file_name='graph/regression_plot_lin.png')

Выводы и рекомендации

Исследована зависимость показаний ультразвукового прибора «ПУЛЬСАР-2.1» (X) и результатов замера прочности бетона (методом отрыва со скалыванием) склерометром ИПС-МГ4.03 (Y).

Между переменными имеется весьма сильная линейная корреляционная связь. Получена регрессионная модель:

Y = b0 + b1∙X = -21.3741 + 0.0129∙X

Модель хорошо аппроксимирует фактические данные, является адекватной, значимой и может использоваться для предсказания прочности бетона.

Также построен график прогноза с доверительными интервалами.

ИТОГИ

Итак, мы рассмотрели все этапы регрессионного анализа в случае простой линейной регрессии (simple linear regression) с использованием библиотеки statsmodels на конкретном практическом примере; подробно остановились на статистическом анализа модели с проверкой гипотез; также предложен ряд пользовательских функций, облегчающих работу исследователя и уменьшающих размер программного кода.

Конечно, мы разобрали далеко не все вопросы анализа регрессионных моделей и возможности библиотеки statsmodels применительно к simple linear regression, в частности статистики влияния (Influence Statistics), инструмент Leverage, анализ стьюдентизированных остатков и пр. — это темы для отдельных обзоров.

Исходный код находится в моем репозитории на GitHub.

Надеюсь, данный обзор поможет специалистам DataScience в работе.

Источник

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) – Среднее арифметическое (Mean) квадратов разностей между предсказанными и реальными значениями Модели (Model) Машинного обучения (ML):

MSE как среднее дистанций между предсказаниями и реальными наблюдениями

Рассчитывается с помощью формулы, которая будет пояснена в примере ниже:

$$MSE = frac{1}{n} × sum_{i=1}^n (y_i — widetilde{y}_i)^2$$
$$MSEspace{}{–}space{Среднеквадратическая}space{ошибка,}$$
$$nspace{}{–}space{количество}space{наблюдений,}$$
$$y_ispace{}{–}space{фактическая}space{координата}space{наблюдения,}$$
$$widetilde{y}_ispace{}{–}space{предсказанная}space{координата}space{наблюдения,}$$

MSE практически никогда не равен нулю, и происходит это из-за элемента случайности в данных или неучитывания Оценочной функцией (Estimator) всех факторов, которые могли бы улучшить предсказательную способность.

Пример. Исследуем линейную регрессию, изображенную на графике выше, и установим величину среднеквадратической Ошибки (Error). Фактические координаты точек-Наблюдений (Observation) выглядят следующим образом:

Мы имеем дело с Линейной регрессией (Linear Regression), потому уравнение, предсказывающее положение записей, можно представить с помощью формулы:

$$y = M * x + b$$
$$yspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{y,}$$
$$Mspace{–}space{уклон}space{прямой}$$
$$xspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{x,}$$
$$bspace{–}space{смещение}space{прямой}space{относительно}space{начала}space{координат}$$

Параметры M и b уравнения нам, к счастью, известны в данном обучающем примере, и потому уравнение выглядит следующим образом:

$$y = 0,5252 * x + 17,306$$

Зная координаты реальных записей и уравнение линейной регрессии, мы можем восстановить полные координаты предсказанных наблюдений, обозначенных серыми точками на графике выше. Простой подстановкой значения координаты x в уравнение мы рассчитаем значение координаты ỹ:

Рассчитаем квадрат разницы между Y и Ỹ:

Сумма таких квадратов равна 4 445. Осталось только разделить это число на количество наблюдений (9):

$$MSE = frac{1}{9} × 4445 = 493$$

Само по себе число в такой ситуации становится показательным, когда Дата-сайентист (Data Scientist) предпринимает попытки улучшить предсказательную способность модели и сравнивает MSE каждой итерации, выбирая такое уравнение, что сгенерирует наименьшую погрешность в предсказаниях.

MSE и Scikit-learn

Среднеквадратическую ошибку можно вычислить с помощью SkLearn. Для начала импортируем функцию:

import sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error

Инициализируем крошечные списки, содержащие реальные и предсказанные координаты y:

y_true = [5, 41, 70, 77, 134, 68, 138, 101, 131]
y_pred = [23, 35, 55, 90, 93, 103, 118, 121, 129]

Инициируем функцию mean_squared_error(), которая рассчитает MSE тем же способом, что и формула выше: 

mean_squared_error(y_true, y_pred)

Интересно, что конечный результат на 3 отличается от расчетов с помощью Apple Numbers:

496.0

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Автор оригинальной статьи: @mmoshikoo

Фото: @tobyelliott

Источник

  • Редакция Кодкампа

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Регрессионный анализ — это метод, который мы можем использовать для понимания взаимосвязи между одной или несколькими переменными-предикторами и переменной отклика .

Один из способов оценить, насколько хорошо регрессионная модель соответствует набору данных, — вычислить среднеквадратичную ошибку , которая представляет собой показатель, указывающий нам среднее расстояние между прогнозируемыми значениями из модели и фактическими значениями в наборе данных.

Чем ниже RMSE, тем лучше данная модель может «соответствовать» набору данных.

Формула для нахождения среднеквадратичной ошибки, часто обозначаемая аббревиатурой RMSE , выглядит следующим образом:

СКО = √ Σ(P i – O i ) 2 / n

куда:

  • Σ — причудливый символ, означающий «сумма».
  • P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • n — размер выборки

В следующем примере показано, как интерпретировать RMSE для данной модели регрессии.

Пример: как интерпретировать RMSE для регрессионной модели

Предположим, мы хотим построить регрессионную модель, которая использует «учебные часы» для прогнозирования «экзаменационного балла» студентов на конкретном вступительном экзамене в колледж.

Мы собираем следующие данные для 15 студентов:

Затем мы используем статистическое программное обеспечение (например, Excel, SPSS, R, Python) и т. д., чтобы найти следующую подогнанную модель регрессии:

Экзаменационный балл = 75,95 + 3,08 * (часы обучения)

Затем мы можем использовать это уравнение, чтобы предсказать экзаменационную оценку каждого студента, исходя из того, сколько часов они учились:

Затем мы можем вычислить квадрат разницы между каждой прогнозируемой оценкой экзамена и фактической оценкой экзамена. Затем мы можем извлечь квадратный корень из среднего значения этих разностей:

RMSE для этой регрессионной модели оказывается равным 5,681 .

Напомним, что остатки регрессионной модели представляют собой разницу между наблюдаемыми значениями данных и значениями, предсказанными моделью.

Остаток = (P i – O i )

куда

  • P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
  • O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.

И помните, что RMSE регрессионной модели рассчитывается как:

СКО = √ Σ(P i – O i ) 2 / n

Это означает, что RMSE представляет собой квадратный корень из дисперсии остатков.

Это значение полезно знать, поскольку оно дает нам представление о среднем расстоянии между наблюдаемыми значениями данных и прогнозируемыми значениями данных.

Это отличается от R-квадрата модели, который сообщает нам долю дисперсии переменной отклика, которая может быть объяснена предикторной переменной (переменными) в модели.

Сравнение значений RMSE из разных моделей

RMSE особенно полезен для сравнения соответствия различных моделей регрессии.

Например, предположим, что мы хотим построить регрессионную модель, чтобы предсказать результаты экзаменов студентов, и мы хотим найти наилучшую возможную модель среди нескольких потенциальных моделей.

Предположим, мы подгоняем три разные модели регрессии и находим соответствующие им значения RMSE:

  • RMSE модели 1: 14,5
  • RMSE модели 2: 16,7
  • RMSE модели 3: 9,8

Модель 3 имеет самый низкий RMSE, что говорит нам о том, что она способна лучше всего соответствовать набору данных из трех потенциальных моделей.

Дополнительные ресурсы

Калькулятор среднеквадратичной ошибки
Как рассчитать RMSE в Excel
Как рассчитать RMSE в R
Как рассчитать RMSE в Python

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).[citation needed] For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of n predictions is generated from a sample of n data points on all variables, and Y is the vector of observed values of the variable being predicted, with hat{Y} being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}

In other words, the MSE is the mean {textstyle left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}right)} of the squares of the errors {textstyle left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}}. This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={frac {1}{n}}mathbf {e} ^{mathsf {T}}mathbf {e} }

where e_{i} is {displaystyle (Y_{i}-{hat {Y_{i}}})} and {displaystyle mathbf {e} } is the {displaystyle ntimes 1} column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,[4] and is computed as

{displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{q}}sum _{i=n+1}^{n+q}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}

Estimator[edit]

The MSE of an estimator hat{theta} with respect to an unknown parameter theta is defined as[1]

{displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right].}

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator hat{theta} is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.[5]

{displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} ({hat {theta }},theta )^{2}.}

Proof of variance and bias relationship[edit]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]+operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}+2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+operatorname {E} _{theta }left[2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)right]+operatorname {E} _{theta }left[left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)operatorname {E} _{theta }left[{hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta ={text{const.}}\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]={text{const.}}\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}\&=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} _{theta }({hat {theta }},theta )^{2}end{aligned}}}

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable {textstyle X}, {textstyle mathbb {E} (X^{2})=operatorname {Var} (X)+(mathbb {E} (X))^{2}}. By substituting {textstyle X} with, {textstyle {hat {theta }}-theta }, we have

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=mathbb {E} [({hat {theta }}-theta )^{2}]\&=operatorname {Var} ({hat {theta }}-theta )+(mathbb {E} [{hat {theta }}-theta ])^{2}\&=operatorname {Var} ({hat {theta }})+operatorname {Bias} ^{2}({hat {theta }})end{aligned}}}

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size n from a population, X_{1},dots ,X_{n}. Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the n units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all n draws. The usual estimator for the mu is the sample average

overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i

which has an expected value equal to the true mean mu (so it is unbiased) and a mean squared error of

{displaystyle operatorname {MSE} left({overline {X}}right)=operatorname {E} left[left({overline {X}}-mu right)^{2}right]=left({frac {sigma }{sqrt {n}}}right)^{2}={frac {sigma ^{2}}{n}}}

where sigma ^{2} is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

{displaystyle S_{n-1}^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}right)^{2}={frac {1}{n-1}}left(sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{overline {X}}^{2}right).}

This is unbiased (its expected value is sigma ^{2}), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is[8]

{displaystyle operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})={frac {1}{n}}left(mu _{4}-{frac {n-3}{n-1}}sigma ^{4}right)={frac {1}{n}}left(gamma _{2}+{frac {2n}{n-1}}right)sigma ^{4},}

where mu _{4} is the fourth central moment of the distribution or population, and gamma_2=mu_4/sigma^4-3 is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for sigma ^{2} which are proportional to S^2_{n-1}, and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

{displaystyle S_{a}^{2}={frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}={frac {1}{a}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}},right)^{2}}

then we calculate:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=operatorname {E} left[left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-sigma ^{2}right)^{2}right]\&=operatorname {E} left[{frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}S_{n-1}^{4}-2left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}right)sigma ^{2}+sigma ^{4}right]\&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]sigma ^{2}+sigma ^{4}\&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]=sigma ^{2}\&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}left({frac {gamma _{2}}{n}}+{frac {n+1}{n-1}}right)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]=operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})+sigma ^{4}\&={frac {n-1}{na^{2}}}left((n-1)gamma _{2}+n^{2}+nright)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}end{aligned}}}

This is minimized when

a=frac{(n-1)gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+frac{n-1}{n}gamma_2.

For a Gaussian distribution, where gamma_2=0, this means that the MSE is minimized when dividing the sum by a=n+1. The minimum excess kurtosis is gamma_2=-2,[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for {displaystyle a=n-1+{tfrac {2}{n}}.} Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be S^2_{n-1}.

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ2, for the Gaussian case.[9]

True value Estimator Mean squared error
{displaystyle theta =mu } hat{theta} = the unbiased estimator of the population mean, overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n(X_i) operatorname{MSE}(overline{X})=operatorname{E}((overline{X}-mu)^2)=left(frac{sigma}{sqrt{n}}right)^2
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the unbiased estimator of the population variance, S^2_{n-1} = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=operatorname{E}((S^2_{n-1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n - 1}sigma^4
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n} = frac{1}{n}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n})=operatorname{E}((S^2_{n}-sigma^2)^2)=frac{2n - 1}{n^2}sigma^4
{displaystyle theta =sigma ^{2}} hat{theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n+1} = frac{1}{n+1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2 operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=operatorname{E}((S^2_{n+1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n + 1}sigma^4

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator hat{theta} predicts observations of the parameter theta with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

  • Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
  • In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
  • In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics[citation needed], though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

  • Bias–variance tradeoff
  • Hodges’ estimator
  • James–Stein estimator
  • Mean percentage error
  • Mean square quantization error
  • Mean square weighted deviation
  • Mean squared displacement
  • Mean squared prediction error
  • Minimum mean square error
  • Minimum mean squared error estimator
  • Overfitting
  • Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

  1. ^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References[edit]

  1. ^ a b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
  2. ^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
  3. ^ a b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
  4. ^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
  5. ^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
  6. ^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
  7. ^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
  8. ^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
  9. ^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
  10. ^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
  11. ^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Срединная ошибка измерения дальности
  • Срединная круговая ошибка
  • Среди депутатов было четверо женщин найдите ошибку
  • Среди букв найти словарные слова и исправить ошибки
  • Ср квадратич ошибка повторной выборки для доли