Средняя арифметическая ошибка геодезия

Предельная
и относительная ошибки

Исходя
из четвертого свойства случайных ошибок
при геодези­ческих измерениях
одинаковой точности, за окончательный
ре­зультатпринимаютсреднее
арифметическоеиз ряда измерений.

Если
измерена одна и та же величина п
раз
и получены результаты: l₁,
l₂
,
l₃….l_n

(8)

Величина
х
называется
арифметической
срединой
или вероятнейшим
значением измеренной
величины.

Разности
между каждым измерением и арифметической
сре­диной называются вероятнейшими
ошибками измерений

(9)

Сложив
равенства (9), получим

(10)

Из
формул (8) и (10) следует, что
=
0.

Точность
результатов измерений
оценивается средней квадратической
ошибкой. Средняя
квадратическая ошибка одного
измерения вычисляется по формуле

(11)

где
[v²]—
сумма квадратов вероятнейших ошибок;
п
—
число из­мерений.

Средняя
квадратическая ошибка арифметической
срединывычисляется
по формуле

(12)

Предельная ошибка
не превышает утроенной средней
квадратической ошибки, т.е.

(13)

Пример.
Линия измерена шесть раз. Определить
ее вероятнейшую длину и оценить точность
этого результата. Вычисления приведены
в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	Длина линии, м	Ν, см	ν2	Вычисления
1	225,26	+6	36	m = M=
2	225,23	+3	9
3	225,22	+2	4
4	225,14	+6	36
5	225,23	+3	9
6	225,12	+8	64
Хср=225,20	[v]=0	[V2]=158.

Относительная
ошибка вероятнейшего значения изме­ненной
линии равна

.

4.3 Средняя квадратическая ошибка функций измеренных величин

Если
мы имеем функцию суммы или разности
двух независимых величин

,

то
квадрат
средней квадратической
ошибки функции выразится формулой

m_z²=m_x²+m_y²

При

Пример.
Линия на плане масштаба 1:5000 измерена
по частям. Одна часть длиной 600,5 м, вторая
часть длиной 400,0 м. Найти средние
квадратические ошибки суммы и разности
этих длин и соответствующие им
относительные ошибки.

Ответ.
Средняя квадратическая ошибка суммы
и разности двух длин будет т_z=
т=0,5м

=
0,7 м, где m
= 0,5 м — точность масштаба. Относительные
ошибки суммы и разности длин соответственно
равны

Если функция имеет
вид

,

то

(14)

т.
е. квадрат средней квадратической
ошибки алгебраической суммы аргументов
равен сумме квадратов средних
квадратических ошибок слагаемых.

Если
m₁=m₂=m₃=…=m_n=m,то
формула(14) примет вид

т.
е. средняя квадратическая ошибка
алгебраической суммы (разности)
измеренных с одинаковой точностью
величин в
раз
больше средней квадратической ошибки
одного сла­гаемого.

Пример.
В шестиугольнике каждый угол измерен
с одина­ковой точностью 0,5′, средняя
квадратическая ошибка суммы всех
измененных углов
будет

Если функция имеет
вид

то

где
k₁,
k₂,
k_з,
…, k_п
— постоянные числа; m₁,m₂,m₃,…,
т_п
—
средние квадратические ошибки
соответствующих аргументов. Если имеем
функцию многих независимых переменных
общего вида

то

.
(15)

Из
формулы (15) следует, что квадрат средней
квадратиче­ской ошибки функции общего
вида равен сумме квадратов про­изведений
частных производных по каждому аргументу
на среднюю квадратическую ошибку
соответствующего аргумента.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Человеку свойственно ошибаться. Это касается не только общих вопросов и знаний жизни. Но и распространяется на любые сферы его деятельности, в том числе в области геодезии. В ней все проводимые измерения выполняются с ошибками. Значительная часть работ в геодезическом производстве основывается на измерениях. А измерения — своего рода сравнение с какой-то эталонной или истинной величиной. Если понимать, что истинного значения в идеале не существует, то все сравнения в измерениях сводятся к сравнению с конкретно полученным значением и принятому, как верное. Одним из наиболее приближенных к истинному значению, считается среднее арифметическое.

Понятие погрешности, её абсолютная и относительная величины

Если переходить на понятие погрешности, то отклонение отдельного замера от среднего арифметического из выполненных измерений и считается абсолютной его ошибкой. Числовая форма погрешности не дает представления о качестве произведенного измерения. Для этого существует понятие относительной погрешности. Под ним понимают отношение значения собственно ошибки к замеренной величине. Применяется этот параметр в определении точности работ при линейных замерах в полигонометрических и теодолитных ходах.

В нивелирных ходах для его оценки точности существует так называемая приведенная погрешность. Это тоже своего рода относительный показатель. Только он подразумевает под собой отношение абсолютного значения ошибки к конкретному принятому значению определяемой величины (для нивелировок на 1 км хода).

Погрешности по источникам возникновения

При производстве геодезических работ после окончания каждой выполненной операции в полевых условиях можно говорить об ошибках. Присутствуют они и при проведении камеральных работ. Так при установке приборов в рабочее положение возникают отклонения в центрировании инструмента над центром знака. Также возникают неточности при выставлении прибора в отвесное состояние, когда выводим его цилиндрический уровень в верхнее горизонтальное положение и круглый уровень на середину. Следующими причинами возникновения погрешностей считаются визирование и снятие отсчетов в момент исполнения наблюдений.  Влияние внешних условий окружающей среды: рефракция воздуха, дымка, туман, осадки, формирует еще одну группу ошибок. Помимо человеческого фактора и влияния внешней среды существуют конструктивные особенности приборов, с заложенными в них вероятностными составляющими точности измерений. Еще одной из причин возникновения погрешностей считается несовершенство методик их определений. Резюмируя выше сказанное, можно выделить следующий перечень ошибок по источникам их возникновения:

• инструментальные;
• индивидуальные;
• из-за условий окружающей среды;
• методические.

Погрешности по характеру действий

По данному признаку все ошибки можно разделить на следующие отклонения:

• грубые, то есть значительно превышающие ожидаемые ошибки, возникающие в результате просчетов, неверных действий и обнаруженные при дополнительном контроле;
• систематические отклонения, отличающиеся постоянством возникновения и закономерностями изменений при повторных операциях; к ним можно отнести периодические и функциональные погрешности;
• случайные, значения величин, которых не значительны, большая часть их мала, чем велика, встречаются как с положительными, так и с отрицательными значениями, в каждом конкретном случае они возникают отдельно случайным образом и в своей массе подчинены определенным вероятностным закономерностям;

Именно изучение случайных погрешностей в геодезии дает возможность производить оценки точности и получать наиболее надежные результаты.

Предельные и допустимые отклонения

При определенных факторах случайные ошибки по абсолютному значению своей величины не могут превышать определенного предела. Этот предел в геодезической и маркшейдерской практике имеет название предельной погрешности.

В строительном производстве нормативными документами введен термин предельного отклонения, который может иметь как положительное, так и отрицательное значения. Алгебраическая сумма этих параметров (предельных отклонений) имеет название допуска.

В геодезии крайние предельные значения отклонений, допускаемые нормативной документацией, называются допустимыми.

Средние, вероятные и средне квадратические погрешности

При различных оценках точности выполненных замеров применяются некоторые критерии случайных ошибок. К таким мерилам оценки относятся понятия:

• средне арифметического отклонения от всех случайных ошибок, имеющее название среднего уклонения;
• срединного отклонения, то есть находящегося в середине измеренного ряда по абсолютным значениям с учетом убывания и возрастания, именуемое вероятной ошибкой;
• средне квадратическое отклонение (СКО) – это параметр функции дисперсии (рассеивания) случайных величин результатов измерений. Он равен математическому ожиданию (среднему арифметическому значению) квадратов отклонений в измерениях от математического ожидания (среднего арифметического значения) результатов замеров.

Случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения и находятся в интервале от нуля до трех СКО. Большинство из них в пределах шестидесяти восьми процентов находятся в интервале до одного СКО. Девяносто пять процентов случайных величин попадает в интервал от нуля до двух СКО. Девяносто девять процентов случайных ошибок находится в интервале от нуля до трех СКО.

На основании этого в теоретических расчетах при предварительных оценках точности выполнения работ за предельные принимаются три средне квадратические ошибки. При геодезических и маркшейдерских работах на практике к расчетам принимаются двойные величины средне квадратических отклонений.