Средняя квадратическая ошибка простой арифметической середины равна - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Скачать с Depositfiles

1.4. Простая арифметическая середина

Если — ряд независимых результатов равноточных измерений одной и той же величины , то за наилучшее приближение к этой измеренной величине принимают простую арифметическую середину

(1.9)

называемую иначе средним арифметическим.

1.5. Средняя квадратическая погрешность отклонений от арифметической середины

Отклонение от арифметической середины характеризует меру влияния случайных погрешностей на результаты измерений. Среднее квадратическое значение случайной погрешности одного измерения определяется по формуле Бесселя:

, (1.10)

где — число равноточных измерений;

— отклонение от арифметической середины, вычисляемое как

, . (1.11)

— -е значение измеренной величины;

— значение арифметической середины (среднее арифметическое).

1.6. Средняя квадратическая погрешность арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины независимых равноточных результатов измерений вычисляется по формуле:

(1.12)

Из всех возможных способов вычисления наилучшего приближения измеряемой величины арифметическая середина независимых равноточных результатов измерений имеет минимальную среднюю квадратическую погрешность .

1.7. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин

В практических расчетах и теоретических исследованиях возникает необходимость оценить точность функции, если точность ее аргументов известна.

Пусть в общем случае функция имеет вид

. (1.13)

Если погрешности аргументов малы, то — средняя квадратическая погрешность функции , — вычисляется по следующей формуле

, (1.14)

где — частные производные функции , вычисленные для измеренных значений аргументов,

— средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

1.8. Понятие о весе

В практике геодезических измерений имеют место случаи, когда одна и та же величина измеряется несколько раз, но неравноточно, т.е. измерения имеют разные средние квадратические погрешности .

Как сопоставить между собой результаты таких измерений ?

За специальную меру соотношения точности неравноточных измерений принята величина, которая называется весом.

Вес – это специальная характеристика относительной точности результатов измерений и их функций, вычисляемая как величина, обратно пропорциональная квадратам средних квадратических погрешностей. Обозначается вес буквой .

Пусть измерения имеют соответственно следующие средние квадратические погрешности . Тогда веса , характеризующие их относительную точность, определятся следующими соотношениями

(1.15)

где — общий коэффициент пропорциональности, или, что хорошо видно из соотношения (1.15), — это средняя квадратическая погрешность измерения, вес которого равен единице ().

1.9. Общая арифметическая середина

При неравноточных измерениях в качестве наилучшего приближения к искомой величине принимают общую арифметическую середину , которая вычисляется по формуле:

, (1.16)

и которая называется иначе средневзвешенным.

Вес общей арифметической середины равен сумме весов всех измерений, по которым вычисляется средневзвешенное, т.е. равен , знаменателю (1.16).

1.10. Средняя квадратическая погрешность единицы веса

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом называется средней квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через . Значение средней квадратической погрешности единицы веса может быть вычислено по формуле:

, (1.17)

где — число измерений;

— отклонение от средневзвешенного, вычисляемое как

, (1.18)

— -е значение измеряемой величины;

— вес -го значения измеряемой величины;

— значение общей арифметической середины (средневзвешенное).

Формула (1.17) дает надежное значение средней квадратической погрешности единице веса при .

1.11. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины определяется по формуле:

. (1.19)

Поскольку – это вес средневзвешенного , то введя обозначение

, (1.20)

формулу (1.19) для средней квадратической погрешности общей арифметической середины можно записать как

(1.21)

1.12. Выражение средней квадратической погрешности измеряемой величины через среднюю квадратическую погрешность единицы веса и вес

Если известны средняя квадратическая погрешность единицы веса и вес измерения, то средняя квадратическая погрешность измерения вычисляется как

(1.22)

Формула (1.22) следует из определения веса, задаваемого формулой (1.15).

Скачать с Depositfiles

Источник

Предельная
и относительная ошибки

Исходя
из четвертого свойства случайных ошибок
при геодезических измерениях
одинаковой точности, за окончательный
результатпринимаютсреднее
арифметическоеиз ряда измерений.

Если
измерена одна и та же величина п
раз
и получены результаты: l₁,
l₂
,
l₃….l_n

(8)

Величина
х
называется
арифметической
срединой
или вероятнейшим
значением измеренной
величины.

Разности
между каждым измерением и арифметической
срединой называются вероятнейшими
ошибками измерений

(9)

Сложив
равенства (9), получим

(10)

Из
формул (8) и (10) следует, что
=
0.

Точность
результатов измерений
оценивается средней квадратической
ошибкой. Средняя
квадратическая ошибка одного
измерения вычисляется по формуле

(11)

где
[v²]—
сумма квадратов вероятнейших ошибок;
п
—
число измерений.

Средняя
квадратическая ошибка арифметической
срединывычисляется
по формуле

(12)

Предельная ошибка
не превышает утроенной средней
квадратической ошибки, т.е.

(13)

Пример.
Линия измерена шесть раз. Определить
ее вероятнейшую длину и оценить точность
этого результата. Вычисления приведены
в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	Длина линии, м	Ν, см	ν²	Вычисления
1	225,26	+6	36	m = M=
2	225,23	+3	9
3	225,22	+2	4
4	225,14	+6	36
5	225,23	+3	9
6	225,12	+8	64
Х_ср=225,20	[v]=0	[V²]=158.

Относительная
ошибка вероятнейшего значения измененной
линии равна

4.3 Средняя квадратическая ошибка функций измеренных величин

Если
мы имеем функцию суммы или разности
двух независимых величин

то
квадрат
средней квадратической
ошибки функции выразится формулой

m_z²=m_x²+m_y²

При

Пример.
Линия на плане масштаба 1:5000 измерена
по частям. Одна часть длиной 600,5 м, вторая
часть длиной 400,0 м. Найти средние
квадратические ошибки суммы и разности
этих длин и соответствующие им
относительные ошибки.

Ответ.
Средняя квадратическая ошибка суммы
и разности двух длин будет т_z=
т=0,5м

=
0,7 м, где m
= 0,5 м — точность масштаба. Относительные
ошибки суммы и разности длин соответственно
равны

Если функция имеет
вид

то

(14)

т.
е. квадрат средней квадратической
ошибки алгебраической суммы аргументов
равен сумме квадратов средних
квадратических ошибок слагаемых.

Если
m₁=m₂=m₃=…=m_n=m,то
формула(14) примет вид

т.
е. средняя квадратическая ошибка
алгебраической суммы (разности)
измеренных с одинаковой точностью
величин в
раз
больше средней квадратической ошибки
одного слагаемого.

Пример.
В шестиугольнике каждый угол измерен
с одинаковой точностью 0,5′, средняя
квадратическая ошибка суммы всех
измененных углов
будет

Если функция имеет
вид

то

где
k₁,
k₂,
k_з,
…, k_п
— постоянные числа; m₁,m₂,m₃,…,
т_п
—
средние квадратические ошибки
соответствующих аргументов. Если имеем
функцию многих независимых переменных
общего вида

то

.
(15)

Из
формулы (15) следует, что квадрат средней
квадратической ошибки функции общего
вида равен сумме квадратов произведений
частных производных по каждому аргументу
на среднюю квадратическую ошибку
соответствующего аргумента.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Часто приходится производить оценку точности арифметической средины

полученной по формуле из ряда равноточных измерений l1,l2,…ln.
L является функцией вида n=kx1+kx2+…+kxn.
При k=1/n и равноточных измерениях, когда

, среднюю квадратическую ошибку М арифметической средины L вычисляют по формуле:

Так как k=1/l, то

или

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины получается делением средней квадратической ошибки отдельного измерения на корень квадратный из числа измерений. Однако было бы неправильным считать, что при очень большом числе измерений величина М может быть доведена до сколь-угодно малого значения. Так, например, при использовании на работах 30-секундного теодолита значительное увеличение числа приемов даст лишь незначительное повышение точности результата, и, кроме того, при всяких измерениях остается более или менее заметное влияние систематических ошибок, которое не может быть исключено увеличением числа измерений.

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Источник

Средняя квадратическая, предельная и относительная ошибки

Для суждения о степени точности ряда измерений нужно иметь среднее значение ошибки. Среднее арифметическое из измерений нельзя брать, так как из-за разных знаков ряд с отдельными крупными ошибками может оказаться точнее ряда с меньшими ошибками:

25,04; 24,97; 25,04 – m_ср.=0,02 м

Если взять ошибки по абсолютной величине, то два ряда измерений с одинаковыми по абсолютной величине средними ошибками могут быть

ошибочно приняты равноточными и наличие крупных ошибок не будет отражено:

Поэтому в качестве критерия для оценки точности ряда измерений используют не зависящую от знаков отдельных ошибок и рельефно показывающую наличие крупных ошибок среднюю квадратическую ошибку. Квадрат этой ошибки принимают равным среднему арифметическому из квадратов отдельных случайных ошибок, то есть:

– формула Гаусса, где Δ – истинная ошибка измерения.

По теории вероятностей подсчитано, что при большом количестве измерений случайная ошибка одного измерения превосходит m.

∆>1m – в 32 случаях из 100 измерений.

∆>2m – в 5 случаях из 100 измерений.

∆>3m – в 3 случаях из 1000 измерений.

Поэтому утроенную среднюю квадратическую ошибку считают предельной

Часто точность произведенных измерений лучше оценивается относительной ошибкой, то есть отношением абсолютной ошибки к измеряемой величине, выражаемой правильной дробью с числителем, равным 1. Эта ошибка характеризует в основном линейные измерения и измерения площади участков. Например, в замкнутом полигоне теодолитного хода линейные измерения оцениваются относительной ошибкой ; где – абсолютная ошибка, Р – периметр полигона.

Дата добавления: 2015-08-11 ; просмотров: 767 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Тема: Элементы теории ошибок измерений.

1. Классификация ошибок измерений

_______ Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.

_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.

_______ Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.

_______ Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений _______

_______ В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок :
_______ 1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______ 2. Ошибки не превышают известного предела.
_______ 3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______ 4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.

_______ По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

_______ Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

_______ Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

2. Арифметическая середина

_______ Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

_______ Или в общем виде получим:

3. Средняя квадратическая ошибка

_______ Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

где [v 2 ] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:

_______ Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.

_______ Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки. ___

_______ Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной:

_______ l = 110 м, при m = 2 см, равна m/ l = 1/5500.

_______ Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:

Таб. 1

_______ По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна

4. Оценка точности измерений

_______ Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:

_______ 1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [ l ]/n.
_______ 2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______ 3. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______ 4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины.
_______ 5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины.

_______ 6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.

5. Понятие о неравноточных измерениях

_______ Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:

________ Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:

т.е. вес результата измерений обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки.

_______ При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице, определяется по формуле:

где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.

Источник

Основы геодезии

О геодезии и разный полезный материал для геодезистов.

Начальные сведения из теории ошибок

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измере ний. При многократных измерениях одной и той же величины резуль таты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ – это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:
(1.25)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,
2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,
3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:
(1.26)
4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
(1.27)

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δпред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δпред = 3*m.

Отношение mx/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, mx/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
(1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргуметов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений ΔX, ΔY, ΔZ:
(1.30)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,
(1.32)

Как частные случаи формулы (1.32) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:

Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.32) или (1.33) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
(1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.35) в виде

по третьему свойству ошибок (1.26) можно написать:

что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.36) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.32) напишем:

или

Но ml1 = ml2 = … = mln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m2, одно n сократится и в итоге получим:

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
(1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:
(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:
(1.41)

Разность (X0 – X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ0 и перепишем уравнения (1.41):
(1.42)
Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:
.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:
(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

где C – в общем случае произвольное положительное число.

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:
(1.51)

Источник

Средняя квадратическая, предельная и относительная погрешности

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле

где n – число измерений данной величины.

где — отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [ ] = 0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность M определяется по формуле

где m – средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формуле или .

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды – в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное применяется среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле

а среднего результата из двух измерений – по формуле

где d – разность двукратно измеренных величин, n – число разностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ±m; в интервал от 0 до ±2m попадает 95,4%, а от 0 до ±3m – 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2m, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3m. На основании этого в качестве предельной погрешности ∆_пред для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. ∆_пред = 3m. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ∆_пред = 2m. Погрешность измерений, величины которых превосходят ∆_пред, считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.

Источник

На чтение 9 мин Просмотров 1.6к. Опубликовано 03.10.2021

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

где: ;
n – количество измерений одной величины.

F = f( X, Y, Z … ), (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
(1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
(1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина (1.36)

M2 = m2/n

или
(1.37)

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
(1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0. (1.39)

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

p = C/m2 (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:
(1.46)
или X0 = [l*p] / [p] .

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p], (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

P = n. (1.50)

где pi – вес i-того элемента.

Источник