Средняя квадратичная ошибка это

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)^[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.^[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.^[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).^{[citation needed]} For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

In other words, the MSE is the mean of the squares of the errors . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

where is and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

Estimator[edit]

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter is defined as^[1]

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.^[5]

Proof of variance and bias relationship[edit]

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , . By substituting with, , we have

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,^[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).^[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

where is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for which are proportional to , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

then we calculate:

This is minimized when

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean,
	= the unbiased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

• Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
• In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
• In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics^{[citation needed]}, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.^[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.^[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.^[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

• Bias–variance tradeoff
• Hodges’ estimator
• James–Stein estimator
• Mean percentage error
• Mean square quantization error
• Mean square weighted deviation
• Mean squared displacement
• Mean squared prediction error
• Minimum mean square error
• Minimum mean squared error estimator
• Overfitting
• Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

References[edit]

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) – Среднее арифметическое (Mean) квадратов разностей между предсказанными и реальными значениями Модели (Model) Машинного обучения (ML):

Рассчитывается с помощью формулы, которая будет пояснена в примере ниже:

$$MSE = frac{1}{n} × sum_{i=1}^n (y_i — widetilde{y}_i)^2$$
$$MSEspace{}{–}space{Среднеквадратическая}space{ошибка,}$$
$$nspace{}{–}space{количество}space{наблюдений,}$$
$$y_ispace{}{–}space{фактическая}space{координата}space{наблюдения,}$$
$$widetilde{y}_ispace{}{–}space{предсказанная}space{координата}space{наблюдения,}$$

MSE практически никогда не равен нулю, и происходит это из-за элемента случайности в данных или неучитывания Оценочной функцией (Estimator) всех факторов, которые могли бы улучшить предсказательную способность.

Пример. Исследуем линейную регрессию, изображенную на графике выше, и установим величину среднеквадратической Ошибки (Error). Фактические координаты точек-Наблюдений (Observation) выглядят следующим образом:

Мы имеем дело с Линейной регрессией (Linear Regression), потому уравнение, предсказывающее положение записей, можно представить с помощью формулы:

$$y = M * x + b$$
$$yspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{y,}$$
$$Mspace{–}space{уклон}space{прямой}$$
$$xspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{x,}$$
$$bspace{–}space{смещение}space{прямой}space{относительно}space{начала}space{координат}$$

Параметры M и b уравнения нам, к счастью, известны в данном обучающем примере, и потому уравнение выглядит следующим образом:

$$y = 0,5252 * x + 17,306$$

Зная координаты реальных записей и уравнение линейной регрессии, мы можем восстановить полные координаты предсказанных наблюдений, обозначенных серыми точками на графике выше. Простой подстановкой значения координаты x в уравнение мы рассчитаем значение координаты ỹ:

Рассчитаем квадрат разницы между Y и Ỹ:

Сумма таких квадратов равна 4 445. Осталось только разделить это число на количество наблюдений (9):

$$MSE = frac{1}{9} × 4445 = 493$$

Само по себе число в такой ситуации становится показательным, когда Дата-сайентист (Data Scientist) предпринимает попытки улучшить предсказательную способность модели и сравнивает MSE каждой итерации, выбирая такое уравнение, что сгенерирует наименьшую погрешность в предсказаниях.

MSE и Scikit-learn

Среднеквадратическую ошибку можно вычислить с помощью SkLearn. Для начала импортируем функцию:

import sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error

Инициализируем крошечные списки, содержащие реальные и предсказанные координаты y:

y_true = [5, 41, 70, 77, 134, 68, 138, 101, 131]
y_pred = [23, 35, 55, 90, 93, 103, 118, 121, 129]

Инициируем функцию mean_squared_error(), которая рассчитает MSE тем же способом, что и формула выше:

mean_squared_error(y_true, y_pred)

Интересно, что конечный результат на 3 отличается от расчетов с помощью Apple Numbers:

496.0

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Автор оригинальной статьи: @mmoshikoo

Фото: @tobyelliott

Средняя квадратичная ошибка.

При ответственных
измерениях, когда необходимо знать
надежность полученных результатов,
используется средняя квадратичная
ошибка  (или
стандартное отклонение), которая
определяется формулой

(5)

Величина 
характеризует отклонение отдельного
единичного измерения от истинного
значения.

Если мы вычислили
по n
измерениям среднее значение

по формуле (2), то это значение будет
более точным, то есть будет меньше
отличаться от истинного, чем каждое
отдельное измерение. Средняя квадратичная
ошибка среднего значения

равна

(6)

где  — среднеквадратичная
ошибка каждого отдельного измерения,
n
– число
измерений.

Таким образом,
увеличивая число опытов, можно уменьшить
случайную ошибку в величине среднего
значения.

В настоящее время
результаты научных и технических
измерений принято представлять в виде

(7)

Как показывает
теория, при такой записи мы знаем
надежность полученного результата, а
именно, что истинная величина Х с
вероятностью 68% отличается от

не более, чем на
.

При использовании
же средней арифметической (абсолютной)
ошибки (формула 2) о надежности результата
ничего сказать нельзя. Некоторое
представление о точности проведенных
измерений в этом случае дает относительная
ошибка (формула 4).

При выполнении
лабораторных работ студенты могут
использовать как среднюю абсолютную
ошибку, так и среднюю квадратичную.
Какую из них применять указывается
непосредственно в каждой конкретной
работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число
измерений не превышает 3 – 5, то
можно использовать среднюю абсолютную
ошибку. Если число измерений порядка
10 и более, то следует использовать более
корректную оценку с
помощью средней квадратичной ошибки
среднего (формулы 5 и 6).

Учет систематических ошибок.

Увеличением числа
измерений можно уменьшить только
случайные ошибки опыта, но не
систематические.

Максимальное
значение систематической ошибки обычно
указывается на приборе или в его паспорте.
Для измерений с помощью обычной
металлической линейки систематическая
ошибка составляет не менее 0,5 мм; для
измерений штангенциркулем –

0,1 – 0,05 мм;
микрометром – 0,01 мм.

Часто в качестве
систематической ошибки берется половина
цены деления прибора.

На шкалах
электроизмерительных приборов указывается
класс точности. Зная класс точности К,
можно вычислить систематическую ошибку
прибора ∆Х по формуле

где К – класс
точности прибора, Х_пр – предельное
значение величины, которое может быть
измерено по шкале прибора.

Так, амперметр
класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с
ошибкой не более

Среднее значение
полной погрешности складывается из
случайной и систематической
погрешностей.

Ответ с учетом
систематических и случайных ошибок
записывается в виде

Погрешности косвенных измерений

В физических
экспериментах чаще бывает так, что
искомая физическая величина сама на
опыте измерена быть не может, а является
функцией других величин, измеряемых
непосредственно. Например, чтобы
определить объём цилиндра, надо измерить
диаметр D и высоту h, а затем вычислить
объем по формуле

Величины D и h будут измерены с
некоторой ошибкой. Следовательно,
вычисленная величина
V
получится также с некоторой ошибкой.
Надо уметь выражать погрешность
вычисленной величины через погрешности
измеренных величин.

Как и при прямых
измерениях можно вычислять среднюю
абсолютную (среднюю арифметическую)
ошибку или среднюю квадратичную ошибку.

Общие правила
вычисления ошибок для обоих случаев
выводятся с помощью дифференциального
исчисления.

Пусть искомая
величина φ является функцией нескольких
переменных Х,
У, Z…

φ(Х,
У, Z…).

Путем прямых
измерений мы можем найти величины
,
а также оценить их средние абсолютные
ошибки
…
или средние квадратичные ошибки _Х,
_У,
_Z…

Тогда средняя
арифметическая погрешность 
вычисляется по формуле

где

 — частные
производные от φ по
Х, У, Z. Они
вычисляются для средних значений
…

Средняя квадратичная
погрешность вычисляется по формуле

Пример.
Выведем формулы погрешности для
вычисления объёма цилиндра.

а) Средняя
арифметическая погрешность.

Величины
D и h
измеряются соответственно с ошибкой
D
и h.

Погрешность
величины объёма будет равна

б) Средняя
квадратичная погрешность.

Величины
D и h
измеряются соответственно с ошибкой
_D, _h.

Погрешность
величины объёма будет равна

Если формула
представляет выражение удобное для
логарифмирования (то есть произведение,
дробь, степень), то удобнее вначале
вычислять относительную погрешность.
Для этого (в случае средней арифметической
погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать
выражение.

2. Продифференцировать
его.

3. Объединить
все члены с одинаковым дифференциалом
и вынести его за скобки.

4. Взять выражение
перед различными дифференциалами по
модулю.

5. Заменить
значки дифференциалов d
на значки абсолютной погрешности .

В итоге получится
формула для относительной погрешности

Затем,
зная ,
можно вычислить абсолютную погрешность


 = 

Пример.

Аналогично можно
записать относительную среднюю
квадратичную погрешность

Правила
представления результатов измерения
следующие:

1. погрешность должна
   округляться до одной значащей цифры:

правильно  = 0,04,

неправильно —
 = 0,0382;

1. последняя значащая
   цифра результата должна быть того же
   порядка величины, что и погрешность:

правильно
 = 9,830,03,

неправильно —
 = 9,8260,03;

1. если результат
   имеет очень большую или очень малую
   величину, необходимо использовать
   показательную форму записи — одну и ту
   же для результата и его погрешности,
   причем запятая десятичной дроби должна
   следовать за первой значащей цифрой
   результата:

правильно —
 = (5,270,03)10^-5,

неправильно —
 = 0,00005270,0000003,

 = 5,2710^-50,0000003,

 =
= 0,0000527310^-7,

 = (5273)10^-7,

 = (0,5270,003)
10^-4.

1. Если результат
   имеет размерность, ее необходимо
   указать:

правильно – g=(9,820,02)
м/c²,

неправильно – g=(9,820,02).

Соседние файлы в папке Отчеты_Погрешность

• #
• #
• #
• #
• #

В машинном обучении различают оценки качества для задачи классификации и регрессии. Причем оценка задачи классификации часто значительно сложнее, чем оценка регрессии.

Оценки качества классификации

Матрица ошибок (англ. Сonfusion matrix)

Перед переходом к самим метрикам необходимо ввести важную концепцию для описания этих метрик в терминах ошибок классификации — confusion matrix (матрица ошибок).
Допустим, что у нас есть два класса и алгоритм, предсказывающий принадлежность каждого объекта одному из классов.
Рассмотрим пример. Пусть банк использует систему классификации заёмщиков на кредитоспособных и некредитоспособных. При этом первым кредит выдаётся, а вторые получат отказ. Таким образом, обнаружение некредитоспособного заёмщика () можно рассматривать как «сигнал тревоги», сообщающий о возможных рисках.

Любой реальный классификатор совершает ошибки. В нашем случае таких ошибок может быть две:

• Кредитоспособный заёмщик распознается моделью как некредитоспособный и ему отказывается в кредите. Данный случай можно трактовать как «ложную тревогу».
• Некредитоспособный заёмщик распознаётся как кредитоспособный и ему ошибочно выдаётся кредит. Данный случай можно рассматривать как «пропуск цели».

Несложно увидеть, что эти ошибки неравноценны по связанным с ними проблемам. В случае «ложной тревоги» потери банка составят только проценты по невыданному кредиту (только упущенная выгода). В случае «пропуска цели» можно потерять всю сумму выданного кредита. Поэтому системе важнее не допустить «пропуск цели», чем «ложную тревогу».

Поскольку с точки зрения логики задачи нам важнее правильно распознать некредитоспособного заёмщика с меткой , чем ошибиться в распознавании кредитоспособного, будем называть соответствующий исход классификации положительным (заёмщик некредитоспособен), а противоположный — отрицательным (заемщик кредитоспособен ). Тогда возможны следующие исходы классификации:

• Некредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. положительный класс распознан как положительный. Наблюдения, для которых это имеет место называются истинно-положительными (True Positive — TP).
• Кредитоспособный заёмщик классифицирован как кредитоспособный, т.е. отрицательный класс распознан как отрицательный. Наблюдения, которых это имеет место, называются истинно отрицательными (True Negative — TN).
• Кредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой отрицательный класс был распознан как положительный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются ложно-положительными (False Positive — FP), а ошибка классификации называется ошибкой I рода.
• Некредитоспособный заёмщик распознан как кредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой положительный класс был распознан как отрицательный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются ложно-отрицательными (False Negative — FN), а ошибка классификации называется ошибкой II рода.

Таким образом, ошибка I рода, или ложно-положительный исход классификации, имеет место, когда отрицательное наблюдение распознано моделью как положительное. Ошибкой II рода, или ложно-отрицательным исходом классификации, называют случай, когда положительное наблюдение распознано как отрицательное. Поясним это с помощью матрицы ошибок классификации:

	Истинно-положительный (True Positive — TP)	Ложно-положительный (False Positive — FP)
	Ложно-отрицательный (False Negative — FN)	Истинно-отрицательный (True Negative — TN)

Здесь — это ответ алгоритма на объекте, а — истинная метка класса на этом объекте.
Таким образом, ошибки классификации бывают двух видов: False Negative (FN) и False Positive (FP).
P означает что классификатор определяет класс объекта как положительный (N — отрицательный). T значит что класс предсказан правильно (соответственно F — неправильно). Каждая строка в матрице ошибок представляет спрогнозированный класс, а каждый столбец — фактический класс.

 # код для матрицы ошибок
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.metrics import confusion_matrix
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (англ. Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 # Для расчета матрицы ошибок сначала понадобится иметь набор прогнозов, чтобы их можно было сравнивать с фактическими целями
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred))
 # array([[53892, 687],
 #        [ 1891, 3530]])

Безупречный классификатор имел бы только истинно-поло­жительные и истинно отрицательные классификации, так что его матрица ошибок содержала бы ненулевые значения только на своей главной диа­гонали (от левого верхнего до правого нижнего угла):

 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.metrics import confusion_matrix
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 y_train_perfect_predictions = y_train_5 # притворись, что мы достигли совершенства
 print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_perfect_predictions))
 # array([[54579, 0],
 #        [ 0, 5421]])

Аккуратность (англ. Accuracy)

Интуитивно понятной, очевидной и почти неиспользуемой метрикой является accuracy — доля правильных ответов алгоритма:

Эта метрика бесполезна в задачах с неравными классами, что как вариант можно исправить с помощью алгоритмов сэмплирования и это легко показать на примере.

Допустим, мы хотим оценить работу спам-фильтра почты. У нас есть 100 не-спам писем, 90 из которых наш классификатор определил верно (True Negative = 90, False Positive = 10), и 10 спам-писем, 5 из которых классификатор также определил верно (True Positive = 5, False Negative = 5).
Тогда accuracy:

Однако если мы просто будем предсказывать все письма как не-спам, то получим более высокую аккуратность:

При этом, наша модель совершенно не обладает никакой предсказательной силой, так как изначально мы хотели определять письма со спамом. Преодолеть это нам поможет переход с общей для всех классов метрики к отдельным показателям качества классов.

 # код для для подсчета аккуратности:
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.metrics import accuracy_score
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 # print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred))
 # array([[53892, 687]
 #        [ 1891, 3530]])
 print(accuracy_score(y_train_5, y_train_pred)) # == (53892 + 3530) / (53892 + 3530  + 1891 +687)
 
 # 0.9570333333333333

Точность (англ. Precision)

Точностью (precision) называется доля правильных ответов модели в пределах класса — это доля объектов действительно принадлежащих данному классу относительно всех объектов которые система отнесла к этому классу.

Именно введение precision не позволяет нам записывать все объекты в один класс, так как в этом случае мы получаем рост уровня False Positive.

Полнота (англ. Recall)

Полнота — это доля истинно положительных классификаций. Полнота показывает, какую долю объектов, реально относящихся к положительному классу, мы предсказали верно.

Полнота (recall) демонстрирует способность алгоритма обнаруживать данный класс вообще.

Имея матрицу ошибок, очень просто можно вычислить точность и полноту для каждого класса. Точность (precision) равняется отношению соответствующего диагонального элемента матрицы и суммы всей строки класса. Полнота (recall) — отношению диагонального элемента матрицы и суммы всего столбца класса. Формально:

Результирующая точность классификатора рассчитывается как арифметическое среднее его точности по всем классам. То же самое с полнотой. Технически этот подход называется macro-averaging.

 # код для для подсчета точности и полноты:
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.metrics import precision_score, recall_score
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 # print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred))
 # array([[53892, 687]
 #        [ 1891, 3530]])
 print(precision_score(y_train_5, y_train_pred)) # == 3530 / (3530 + 687)
 print(recall_score(y_train_5, y_train_pred)) # == 3530 / (3530 + 1891)
   
 # 0.8370879772350012
 # 0.6511713705958311

F-мера (англ. F-score)

Precision и recall не зависят, в отличие от accuracy, от соотношения классов и потому применимы в условиях несбалансированных выборок.
Часто в реальной практике стоит задача найти оптимальный (для заказчика) баланс между этими двумя метриками. Понятно что чем выше точность и полнота, тем лучше. Но в реальной жизни максимальная точность и полнота не достижимы одновременно и приходится искать некий баланс. Поэтому, хотелось бы иметь некую метрику которая объединяла бы в себе информацию о точности и полноте нашего алгоритма. В этом случае нам будет проще принимать решение о том какую реализацию запускать в производство (у кого больше тот и круче). Именно такой метрикой является F-мера.

F-мера представляет собой гармоническое среднее между точностью и полнотой. Она стремится к нулю, если точность или полнота стремится к нулю.

Данная формула придает одинаковый вес точности и полноте, поэтому F-мера будет падать одинаково при уменьшении и точности и полноты. Возможно рассчитать F-меру придав различный вес точности и полноте, если вы осознанно отдаете приоритет одной из этих метрик при разработке алгоритма:

где принимает значения в диапазоне если вы хотите отдать приоритет точности, а при приоритет отдается полноте. При формула сводится к предыдущей и вы получаете сбалансированную F-меру (также ее называют ).

F-мера достигает максимума при максимальной полноте и точности, и близка к нулю, если один из аргументов близок к нулю.

F-мера является хорошим кандидатом на формальную метрику оценки качества классификатора. Она сводит к одному числу две других основополагающих метрики: точность и полноту. Имея «F-меру» гораздо проще ответить на вопрос: «поменялся алгоритм в лучшую сторону или нет?»

 # код для подсчета метрики F-mera:
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 from sklearn.metrics import f1_score
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распознавать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 print(f1_score(y_train_5, y_train_pred))
 
 # 0.7325171197343846

ROC-кривая

Кривая рабочих характеристик (англ. Receiver Operating Characteristics curve).
Используется для анализа поведения классификаторов при различных пороговых значениях.
Позволяет рассмотреть все пороговые значения для данного классификатора.
Показывает долю ложно положительных примеров (англ. false positive rate, FPR) в сравнении с долей истинно положительных примеров (англ. true positive rate, TPR).

Доля FPR — это пропорция отрицательных образцов, которые были некорректно классифицированы как положительные.

,

где TNR — доля истинно отрицательных классификаций (англ. Тrие Negative Rate), пред­ставляющая собой пропорцию отрицательных образцов, которые были кор­ректно классифицированы как отрицательные.

Доля TNR также называется специфичностью (англ. specificity). Следовательно, ROC-кривая изображает чувствительность (англ. seпsitivity), т.е. полноту, в срав­нении с разностью 1 — specificity.

Прямая линия по диагонали представляет ROC-кривую чисто случайного классификатора. Хороший классификатор держится от указанной линии настолько далеко, насколько это
возможно (стремясь к левому верхнему углу).

Один из способов сравнения классификаторов предусматривает измере­ние площади под кривой (англ. Area Under the Curve — AUC). Безупречный клас­сификатор будет иметь площадь под ROC-кривой (ROC-AUC), равную 1, тогда как чисто случайный классификатор — площадь 0.5.

 # Код отрисовки ROC-кривой
 # На примере классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя классами
 # "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 from sklearn.metrics import roc_curve
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5)  # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method="decision_function")
 fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_train_5, y_scores)
 def plot_roc_curve(fpr, tpr, label=None):
     plt.plot(fpr, tpr, linewidth=2, label=label)
     plt.plot([0, 1], [0, 1], 'k--') # dashed diagonal
     plt.xlabel('False Positive Rate, FPR (1 - specificity)')
     plt.ylabel('True Positive Rate, TPR (Recall)')
     plt.title('ROC curve')
     plt.savefig("ROC.png")
 plot_roc_curve(fpr, tpr)
 plt.show()

Precison-recall кривая

Чувствительность к соотношению классов.
Рассмотрим задачу выделения математических статей из множества научных статей. Допустим, что всего имеется 1.000.100 статей, из которых лишь 100 относятся к математике. Если нам удастся построить алгоритм , идеально решающий задачу, то его TPR будет равен единице, а FPR — нулю. Рассмотрим теперь плохой алгоритм, дающий положительный ответ на 95 математических и 50.000 нематематических статьях. Такой алгоритм совершенно бесполезен, но при этом имеет TPR = 0.95 и FPR = 0.05, что крайне близко к показателям идеального алгоритма.
Таким образом, если положительный класс существенно меньше по размеру, то AUC-ROC может давать неадекватную оценку качества работы алгоритма, поскольку измеряет долю неверно принятых объектов относительно общего числа отрицательных. Так, алгоритм , помещающий 100 релевантных документов на позиции с 50.001-й по 50.101-ю, будет иметь AUC-ROC 0.95.

Precison-recall (PR) кривая. Избавиться от указанной проблемы с несбалансированными классами можно, перейдя от ROC-кривой к PR-кривой. Она определяется аналогично ROC-кривой, только по осям откладываются не FPR и TPR, а полнота (по оси абсцисс) и точность (по оси ординат). Критерием качества семейства алгоритмов выступает площадь под PR-кривой (англ. Area Under the Curve — AUC-PR)

 # Код отрисовки Precison-recall кривой
 # На примере классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя классами
 # "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 from sklearn.metrics import precision_recall_curve
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method="decision_function")
 precisions, recalls, thresholds = precision_recall_curve(y_train_5, y_scores)
 def plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds):
     plt.plot(recalls, precisions, linewidth=2)
     plt.xlabel('Recall')
     plt.ylabel('Precision')
     plt.title('Precision-Recall curve')
     plt.savefig("Precision_Recall_curve.png")
 plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds)
 plt.show()

Оценки качества регрессии

Наиболее типичными мерами качества в задачах регрессии являются

Средняя квадратичная ошибка (англ. Mean Squared Error, MSE)

MSE применяется в ситуациях, когда нам надо подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше больших ошибок прогноза. Грубые ошибки становятся заметнее за счет того, что ошибку прогноза мы возводим в квадрат. И модель, которая дает нам меньшее значение среднеквадратической ошибки, можно сказать, что что у этой модели меньше грубых ошибок.

и

Cредняя абсолютная ошибка (англ. Mean Absolute Error, MAE)

Среднеквадратичный функционал сильнее штрафует за большие отклонения по сравнению со среднеабсолютным, и поэтому более чувствителен к выбросам. При использовании любого из этих двух функционалов может быть полезно проанализировать, какие объекты вносят наибольший вклад в общую ошибку — не исключено, что на этих объектах была допущена ошибка при вычислении признаков или целевой величины.

Среднеквадратичная ошибка подходит для сравнения двух моделей или для контроля качества во время обучения, но не позволяет сделать выводов о том, на сколько хорошо данная модель решает задачу. Например, MSE = 10 является очень плохим показателем, если целевая переменная принимает значения от 0 до 1, и очень хорошим, если целевая переменная лежит в интервале (10000, 100000). В таких ситуациях вместо среднеквадратичной ошибки полезно использовать коэффициент детерминации —

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации измеряет долю дисперсии, объясненную моделью, в общей дисперсии целевой переменной. Фактически, данная мера качества — это нормированная среднеквадратичная ошибка. Если она близка к единице, то модель хорошо объясняет данные, если же она близка к нулю, то прогнозы сопоставимы по качеству с константным предсказанием.

Средняя абсолютная процентная ошибка (англ. Mean Absolute Percentage Error, MAPE)

Это коэффициент, не имеющий размерности, с очень простой интерпретацией. Его можно измерять в долях или процентах. Если у вас получилось, например, что MAPE=11.4%, то это говорит о том, что ошибка составила 11,4% от фактических значений.
Основная проблема данной ошибки — нестабильность.

Корень из средней квадратичной ошибки (англ. Root Mean Squared Error, RMSE)

Примерно такая же проблема, как и в MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня.

Cимметричная MAPE (англ. Symmetric MAPE, SMAPE)

Средняя абсолютная масштабированная ошибка (англ. Mean absolute scaled error, MASE)

MASE является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и является симметричной: то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени.
Обратите внимание, что в MASE мы имеем дело с двумя суммами: та, что в числителе, соответствует тестовой выборке, та, что в знаменателе — обучающей. Вторая фактически представляет собой среднюю абсолютную ошибку прогноза. Она же соответствует среднему абсолютному отклонению ряда в первых разностях. Эта величина, по сути, показывает, насколько обучающая выборка предсказуема. Она может быть равна нулю только в том случае, когда все значения в обучающей выборке равны друг другу, что соответствует отсутствию каких-либо изменений в ряде данных, ситуации на практике почти невозможной. Кроме того, если ряд имеет тенденцию к росту либо снижению, его первые разности будут колебаться около некоторого фиксированного уровня. В результате этого по разным рядам с разной структурой, знаменатели будут более-менее сопоставимыми. Всё это, конечно же, является очевидными плюсами MASE, так как позволяет складывать разные значения по разным рядам и получать несмещённые оценки.

Недостаток MASE в том, что её тяжело интерпретировать. Например, MASE=1.21 ни о чём, по сути, не говорит. Это просто означает, что ошибка прогноза оказалась в 1.21 раза выше среднего абсолютного отклонения ряда в первых разностях, и ничего более.

Кросс-валидация

Хороший способ оценки модели предусматривает применение кросс-валидации (cкользящего контроля или перекрестной проверки).

В этом случае фиксируется некоторое множество разбиений исходной выборки на две подвыборки: обучающую и контрольную. Для каждого разбиения выполняется настройка алгоритма по обучающей подвыборке, затем оценивается его средняя ошибка на объектах контрольной подвыборки. Оценкой скользящего контроля называется средняя по всем разбиениям величина ошибки на контрольных подвыборках.

Примечания

1. [1] Лекция «Оценивание качества» на www.coursera.org
2. [2] Лекция на www.stepik.org о кросвалидации
3. [3] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, Precison и Recall
4. [4] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, F-мера
5. [5] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, примеры

См. также

• Оценка качества в задаче кластеризации
• Кросс-валидация

Источники информации

1. [6] Соколов Е.А. Лекция линейная регрессия
2. [7] — Дьяконов А. Функции ошибки / функционалы качества
3. [8] — Оценка качества прогнозных моделей
4. [9] — HeinzBr Ошибка прогнозирования: виды, формулы, примеры
5. [10] — egor_labintcev Метрики в задачах машинного обучения
6. [11] — grossu Методы оценки качества прогноза
7. [12] — К.В.Воронцов, Классификация
8. [13] — К.В.Воронцов, Скользящий контроль

Содержание:

Ошибки измерения: Опыт убеждает, что измерения объектов не могут быть произведены абсолютно точно и каждое конкретное измерение дает лишь, как правило, приближенное значение величины явления, истинное значение которой (A) нам неизвестно. Ошибки измерения (

Рассмотрим такие измерения, которые производятся одним наблюдателем, одним и тем же инструментом, в одинаковых условиях, т. е. равноточные измерения.

Различают два вида ошибок измерения:

1. систематические ошибки, т. е. такие, которые при данных условиях проведения измерения имеют вполне определенное значение (например, ошибка измерительного прибора);
2. случайные — такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения.

Задача математической статистики — предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться их ликвидации или сведения к минимуму.

Случайные ошибки измерения обладают рядом свойств: при большом числе измерений крупные ошибки встречаются реже мелких и число положительных ошибок примерно равно числу отрицательных, вследствие чего сумма всех ошибок близка к нулю.

Если ошибки получаются весьма малыми по сравнению с величиной явления, то ими просто пренебрегают или считаются с наибольшей возможной ошибкой, чтобы обезопасить себя от влияния случайной неточности.

В теории ошибок изучаются те ошибки, которые, являясь, с одной стороны, ошибками случайного характера, по своему абсолютному значению настолько велики, что ими пренебречь нельзя, а с другой стороны, для них существует закон, позволяющий установить зависимость между величиной ошибки и вероятностью ее появления. Закон случайных ошибок, полученный Гауссом, состоит в том, что случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Средняя ошибка сводного результата измерения

Принимая за действительное значение измеряемой величины при равноточном измерении среднюю арифметическую из всех результатов n измерений, можно охарактеризовать точность одного измерения с помощью средней арифметической из абсолютных величин значений ошибок:

где n — число измерений, х — численное значение отдельных измерений, — средняя арифметическая из результатов измерений.

За меру точности соответствия принятой средней арифметической истинному значению измеряемой величины (A) принимают среднюю ошибку сводного результата измерения, вычисляемую по формуле:

Пример 1. Произведено 10-кратное измерение размера детали (в мм), давшее следующие, расположенные в возрастающем порядке результаты: 138; 139; 140; 141; 141; 142; 142; 143; 144; 145.

Охарактеризуем сначала точность одного измерения, т. е. вычислим среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок. Для этой цели вычислим среднюю арифметическую из результатов измерений:

Найдем ошибки измерения:

Следовательно:

Теперь можно вычислить среднюю ошибку сводного результата измерения:

Значит, мерой точности соответствия 141,5 мм истинной величине размера детали является средняя ошибка, равная 0,54 мм.

Средняя квадратическая ошибка

Если в качестве меры точности одного измерения принять не среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок (средняя ошибка), а среднюю квадратическую из ошибок измерений, т. е.

то средняя квадратическая ошибка найденной средней арифметической из ошибок измерения вычисляется по формуле:

Между средней -квадратической ошибкой и средней ошибкой сводного результата измерения существует связь:  если случайные ошибки подчиняются Гауссову закону нормального распределения.

Пример 2. Используя данные предыдущего примера, находим меру точности одного измерения, т. е. среднюю квадратическую ошибку:

Затем исчисляем среднюю квадратическую ошибку найденной средней арифметической, равной 141,5 мм:

Сопоставляя среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения со средней ошибкой, получаем:

Вероятная ошибка

За меру точности одного измерения иногда принимают вероятную ошибку:

Тогда в качестве вероятной ошибки сводного результата измерения используют соотношение:

Пример 3. Используя данные предыдущих примеров, находим вероятную ошибку сводного результата измерения:

Наиболее вероятные границы сводных результатов измерения

Математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. В качестве значения измеряемой величины применяется средняя арифметическая всех измерений (если они равноточны). Использование отклонений результатов измерений (х) от средней из них называемых в теории ошибок «кажущимися ошибками» позволяет произвести оценку точности соответствия средней арифметической неизвестному истинному значению измеряемой величины (A).

Для этой цели используют удвоенную или утроенную среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения или его вероятную ошибку и получают:

Найденные границы неизвестной истинной величины в случае, если ошибки подчинены нормальному закону распределения Гаусса (чаще всего так и бывает), соблюдаются с большой вероятностью (0,997 и 0,954).

Пример 4. По данным предыдущих примеров находим границы истинного значения размера детали Значит, истинное значение размера детали находится в границах от 141,5—2,04 до 141,5+2,04.