Средняя ошибка средней арифметической взвешенной - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Вычисление средней арифметической взвешенной, среднего квадратического отклонения и средней ошибки средней арифметической

Средняя
арифметическая взвешенная рассчитывается
тогда, когда варианты повторяются,
но выражены немногозначными числами.

Для
несгруппированного ряда ход вычисления
средней арифметической взвешенной
(М), среднего квадратического отклонения
(δ) и средней ошибки средней арифметической
(m):

1)
вычислить V
х p
= Vp

2)
Σ р = N
– количество вариантов

3)
Σ V
х р

4)
расчет средней арифметической взвешенной

5)
расчет отклонения варианты от средней
арифметической d
= V
– M

6)
избавляемся от знака «–» путем возведения
d
в квадрат

7)
d²
х p

Σ
d²
х p

10)

Таким образом,
произведена оценка всего вариационного
ряда. Сумма процентов равна 100.

Для сгруппированного
ряда для проведения группировки следует:

— определить
амплитуду ряда (разность между его
крайними вариантами);

—
определить величину интервала, т.е.
число объединяемых в одну группу вариант
(2, 3, 4 и т.д.);

— распределить
варианты по группам.

Требования к
сгруппированному ряду:

1) интервалы должны
быть одинаковы, равны между собой;

2) границы интервалов
не должны совпадать (например, 10 – 20,
20 – 30 – не должно быть);

3)
не рекомендуется составлять открытые
интервалы (например, количество мочевины
до 0,6 ммоль/л, старше 20 лет и т.д.).

Ход вычисления:

1)
расчет середины интервала (
)

2)
вычислить

х р =

3)
Σ р = N
– число наблюдений

4)
Σ

х р

5)
расчет средней арифметической взвешенной

6)
расчет отклонения варианты от средней
арифметической d
= V
– M

7)
избавляемся от знака «–» путем возведения
d
в квадрат

d²
х p

9)
Σ
d²
х p

10)

11)

Таким образом,
произведена оценка всего вариационного
ряда. Сумма процентов равна 100.

Определение достоверности средних величин при малой выборке

При
числе наблюдений, равном или меньшем
30, необходимо производить расчет на
величину N – 1, эта величина в математике
называется «числом степени свободы».

или

Достоверность разности средних величин и метод ее определения

При
сопоставлении между собой двух
сравниваемых величин возникает
необходимость не только определить их
разность, но и оценить ее достоверность.

Критерий
достоверности (t)
вычисляется по формуле:

,
где

М₁
и М₂
— сравниваемые средние;

— ошибки сравниваемых величин.

Ошибка
разности равняется квадратному корню
из суммы квадратов ошибок сравниваемых
величин.

Если
критерий достоверности t≥2,
что соответствует вероятности
безошибочного прогноза 95% и более
(р≥95%), тогда разность достоверна
(р<0,05).

Достоверность
различий средних величин можно определить
по n=

— 2 и критерию достоверности по таблице
Стьюдента.

Акселерация

Акселерация
— ускорение темпов развития, она
характеризуется: увеличением массы
тела при рождении; ускорением темпов
развития по всем возрастам; более ранним
всесторонним развитием детей и
подростков; абсолютным увеличением
конечных показателей у взрослого
населения.

Среди
детей с ускоренным развитиём выделяют
подгруппы с гармонической и
дисгармонической акселерацией. При
гармонической акселерации имеет место
параллельное ускорение роста и
биологического созревания, что
приводит к более раннему завершению
детства. При дисгармонической
акселерации ускорение созревания
может не сопровождаться ускорением
роста, полового развития, что создает
тенденцию к грацилизации.

Причины
акселерации не совсем ясны. Существуют
различные гипотезы причин
акселерационных сдвигов. Обсуждаются
следующие причины акселерации: улучшение
питания детей (увеличение потребления
животных белков и жиров, витаминов,
концентратов для вскармливания грудных
детей); более интенсивная инсоляция;
урбанизация (ускорение темпов городской
жизни возбуждает ЦНС и активизирует
ее тройные функции); генетический эффект
(постоянное смешивание населения,
гетеролокальные браки и ускорение
развития потомства в связи с гетерозисом,
т. е. со свойством гибридов первого
поколения превосходить по ряду признаков
лучшую из родительских форм).

Акселерация
не может рассматриваться однозначно
как положительный или отрицательный
процесс. Она ставит много проблем перед
современными медиками, а именно: более
раннее биологическое созревание,
которое наступает до социальной зрелости
и гражданской дееспособности (более
раннее начало половой жизни, рост числа
«юных» матерей, числа абортов у
несовершеннолетних и г.
д.);
необходимость в установлении новых
норм трудовой, физической нагрузки,
питания, нормативов детской одежды,
обуви, мебели и предметов обихода;
нарастающая вариабельность всех
признаков возрастного развития и
созревания, усложнение дифференцировки
между нормой и патологией; диссоциация
между предельным ростом и ростом
поперечников тела создает тенденцию
к грацилизации тела и росту числа
осложнений в родах (проблема крупного
плода).

Таким
образом, физическое развитие имеет
важное медико-социальное значение.
Уровень физического развития населения
во многом говорит о социальном
благополучии в обществе. Нарушения
физического развития могут свидетельствовать
о неблагоприятных условиях и образе
жизни ребенка и должны являться
одним из критериев для определения
уровня социального риска семьи, выделения
социального неблагополучия семей,
требующих мер медико-социального
воздействия.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Условное
обозначение средней арифметической
величины через М (от латинского слова
Media) чаще применяется в медицинских и
педагогических исследованиях. В
математической статистике предпочитают
обозначение через .
Средняя арифметическая величина является
производной, обобщающей количественные
признаки ряда однородных показателей
(совокупности). Выражая одним числом
определенную совокупность, она как бы
ослабляет влияние случайных индивидуальных
отклонений, и акцентирует некую обобщенную
количественную характеристику, наиболее
типичное свойство изучаемого ряда
показателей.

Определяя
значение средней арифметической
величины, следует придерживаться
некоторых правил.

1.
Средняя арифметическая величина может
характеризовать только те признаки
изучаемого объекта, которые присущи
всей совокупности, но в разной
количественной мере (например, уровень
развития быстроты движений характерен
для каждого человека, хотя и в разной
количественной мере). Средняя арифметическая
величина не может характеризовать
количественную меру тех признаков,
которые одной части совокупности
присущи, а другой нет, т. е. она не может
отражать присутствие или отсутствие
того или иного признака (например, умение
или неумение выполнять то или иное
двигательное действие).

2.
Средняя арифметическая величина должна
включать все показатели, полученные в
данном исследовании. Произвольное
исключение даже некоторых из них
неизбежно приведет к искажению конечного
результата.

3.
Средняя арифметическая величина обязана
отражать только однородную совокупность.
Нельзя, например, определять средний
уровень физического развития школьников,
не разделив их предварительно по возрасту
и полу.

4.
Средняя арифметическая величина должна
вычисляться на достаточно большой
совокупности, размеры которой определяются
в каждом конкретном случае отдельно
(см. «Подбор исследуемых»).

5.
Необходимо стремиться к тому, чтобы
средняя арифметическая величина имела
четкие и простые свойства, позволяющие
легко и быстро ее вычислять.

6.
Средняя арифметическая величина должна
обладать достаточной устойчивостью к
действию случайных факторов. Только в
этом случае она будет отражать
действительное состояние изучаемого
явления, а не его случайные изменения.

7.
Точность вычисления средней арифметической
величины должна соответствовать
содержанию изучаемого педагогического
явления. В некоторых случаях нет
необходимости в расчетах с большой
точностью, в других — большая точность
нужна при вычислениях, но совершенно
не нужна в выводах. Например, при расчете
средних величин числа подтягиваний на
перекладине можно пользоваться и сотыми
долями целого, но представлять и выводах,
что исследуемые в среднем подтянулись
7,83 раза, было бы неграмотна, так как
невозможно измерение с подобной
точностью. В этом случае необходимо в
выводах представлять числа, округленные
до целых единиц.

В
простейшем случае этот показатель
вычисляется путем сложения всех
полученных значений (которые называются
вариантами) и деления суммы на число
вариант:

где
S — знак суммирования;

V
— полученные в исследовании значения
(варианты);

п
— число вариант.

По
этой формуле вычисляется так называемая
простая средняя арифметическая величина.
Применяется она в тех случаях, когда
имеется небольшое число вариант.

При
большом числе вариант прибегают к
вычислению так называемой взвешенной
средней арифметической величины. С этой
целью строят ряд распределения, или
вариационный ряд, который представляет
собой ряд вариант и их частот,
характеризующих какой-нибудь признак
в убывающем или возрастающем порядке.
Например, в нашем случае измерение
точности попадания мячом в цель дало
125 вариант, т. е. в группе I, где применялась
методика обучения «А», одноразово
исследовалось 125 детей с числовым
выражением от 0 (точное попадание в цель)
до 21,5 см (максимальное отклонение от
цели). Каждое числовое выражение
встречалось в исследовании один и более
раз, например «0» встретился 28 раз.
Другими словами, 28 участников эксперимента
точно попали в цель. Этот показатель
называется числом наблюдений или
частотой вариант и условно обозначается
буквой «Р» (число наблюдений составляет
часть числа вариант).

Для
упрощения числовых операций все 125
вариант разбиваются на классы с величиной
интервала 1,9 см. Число классов зависит
от величины колебаний вариант (разности
между максимальной и минимальной
вариантами), наличия вариант для каждого
класса (если, например, для первого
класса — «0 — 1,9» — нет соответствующих
вариант, т.е. ни один исследуемый не имел
точных попаданий или отклонений от цели
в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс
не вносится в вариационный ряд) и,
наконец, требуемой точности вычисления,
(чем больше классов, тем точность
вычисления выше). Вполне понятно, что
чем больше величина интервала, тем
меньше число классов при одной и той же
величине колебаний вариант.

После
разбивки вариант по классам в каждом
классе определяется срединная варианта
«V_c»,
и для каждой срединной варианты
проставляется число наблюдений. Пример
этих операций, и дальнейший ход вычислений
приведены в следующей таблице:

Классы	Серединные варианты V_C	Число набл, р	V_CP	V_C-M=d	d²	d²P
0 – 1.9	1	28	28	-4.6	21.16	592.48
2 – 3.9	3	29	87	-2.6	6.76	196.04
4 – 5.9	5	22	110	-0.6	0.36	7.92
6 – 7.9	7	13	91	1.4	1.96	25.48
8 – 9.9	9	11	99	3.4	11.56	127.16
10 – 11.9	11	13	143	5.4	29.16	379.08
12 – 13.9	13	4	52	7.4	54.76	219.04
14 – 15.9	15	2	30	9.4	88.36	176.72
16 – 17.9	17	1	17	11.4	130.00	130.00
18 – 19.9	19	1	19	13.4	179.60	179.60
20 – 21.9	21	1	21	15.4	237.20	237.20
		125	697			2270.72

Очередность
числовых операций:

1)
вычислить сумму числа наблюдений (в
нашем примере она равна 125);

2)
вычислить произведение каждой срединной
варианты на ее частоту (например, 1*28 =
28);

3)
вычислить сумму произведений срединных
вариант на их частоты (в нашем примере
она равна 697);

4)
вычислить взвешенную среднюю арифметическую
величину по формуле:

Средняя
арифметическая величина позволяет
сравнивать и оценивать группы изучаемых
явлений в целом. Однако для характеристики
группы явлений только этой величины
явно недостаточно, так как размер
колебаний вариант, из которых она
складывается, может быть различным.
Поэтому в характеристику группы явлений
необходимо ввести такой показатель,
который давал бы представление о величине
колебаний вариант около их средней
величины.

Вычисление
средней ошибки среднего арифметического.
Условное обозначение средней ошибки
среднего арифметического — т. Следует
помнить, что под «ошибкой» в статистике
понимается не ошибка исследования, а
мера представительства данной величины,
т. е. мера, которой средняя арифметическая
величина, полученная на выборочной
совокупности (в нашем примере — на 125
детях), отличается от истинной средней
арифметической величины, которая была
бы получена на генеральной совокупности
(в нашем примере это были бы все дети
аналогичного возраста, уровня
подготовленности и т. д.). Например, в
приведенном ранее примере определялась
точность попадания малым мячом в цель
у 125 детей и была получена средняя
арифметическая величина примерно равная
5,6 см. Теперь надо установить, в какой
мере эта величина будет характерна,
если взять для исследования 200, 300, 500 и
больше аналогичных детей. Ответ на этот
вопрос и даст вычисление средней ошибки
среднего арифметического, которое
производится по формуле:

Для
приведенного примера величина средней
ошибки среднего арифметического будет
равна:

Следовательно,
M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная
средняя арифметическая величина (M =
5,6) может иметь в других аналогичных
исследованиях значения от 5,22 (5,6 — 0,38 =
5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).

Источник

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака (варианты) встречаются в ряду распределения не с одинаковой частотой (f₁≠ f₂≠ …f_n) и число вариантов не совпадает с частотой их появления.

Пример расчета:

средней арифметической взвешенной
среднего линейного отклонения (показатель вариации)
среднеквадратического отклонения взвешенного (показатель вариации)

При расчете средней арифметической по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения x_i, а количество единиц совокупности в каждой группе f_i.При наличии открытого интервала, его ширина принимается равной ширине примыкающего (рядом стоящего) интервала.

Стаж работника, лет

Число работников, чел.

(f_i)

Середина интервала, лет

(x_i)

1-3

3-5

5-7

7-9

9-11

Итого

100

1. Средний стаж работников предприятия определяется по средней арифметической взвешенной. Он будет равен:

$[overline x = frac{{Sigma {xi}{fi}}}{{Sigma {fi}}} Rightarrow ]$

$[overline x = frac{{{x1}{f1} + {x2}{f2} + ... + {xn}{fn}}}{{{f1} + {f2} + ... + {fn}}}]$

$[overline x = frac{{2*10 + 4*28 + 6*48 + 8*10 + 10*4}}{{100}} = frac{{540}}{{100}} = 5,4;]$

2. Размах вариации R=Хmax-Хmin зависит только от двух крайних значений признака: R=11-1=10(лет).

3. Взвешенное среднее линейное отклонение (средний модуль) является средней величиной из абсолютных значений отклонений индивидуальных значений признака от общей средней арифметической величины:

$[begin{array}{l} overline d = frac{{sum left| {{X_i} - overline X } right| times {f_i}}}{{sum {f_i}}} = frac{{left| {2 - 5,4} right|*10 + left| {4 - 5,4} right|*28 + left| {6 - 5,4} right|*48 + left| {8 - 5,4} right|*10 + left| {10 - 5,4} right|*4}}{{100}} = frac{{147.4}}{{100}} = 1.474; end{array}]$

4. Взвешенное среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии. На столько, в среднем, отклоняется средний стаж работников предприятия по каждой группе от общей средней (среднего стажа по предприятию).

$[mathop sigma nolimits_X = sqrt {frac{{{{sum {left( {mathop Xnolimits_i - mathop {bar X}nolimits_{} } right)} }^2}*mathop fnolimits_i }}{{sum {mathop fnolimits_i } }}} ]$

или

$[mathop sigma nolimits_X = sqrt {frac{{sum {{{mathop Xnolimits_i }^2}*mathop fnolimits_i } }}{{sum {mathop fnolimits_i } }} - mathop {{{bar X}^2}}nolimits_{} } ]$

$[begin{array}{l} {sigma _x} = sqrt {frac{{{{left( {2 - 5,4} right)}^2}*10 + {{left( {4 - 5,4} right)}^2}*28 + {{left( {6 - 5,4} right)}^2}*48 + {{left( {8 - 5,4} right)}^2}*10 + {{left( {10 - 5,4} right)}^2}*4}}{{100}}} = = sqrt {frac{{340}}{{100}}} = 1,84 end{array}]$

5. Коэффициент вариации характеризует колеблемость признака около средней. Если коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность, по рассматриваемому признаку, можно считать однородной. Данная совокупность характеризуется сильной вариацией, т.е. разброс значений по отдельным группам относительно общего среднего стажа по предприятию значителен.

$[V = frac{sigma }{{bar {rm X}}}*100,% = frac{{1,84}}{{5,4}}*100,% = 34,07,% ]$

Техника расчета средней арифметической «способом моментов»

$[overline {x'} = frac{{sum {left( {frac{{x - A}}{K}} right) cdot f} }}{{sum f }}]$

Заработная плата

Число рабочих

Центр интервала

Х-А^*

Х’=(Х-А):К^**

Х’f

до 250

250 – 275

275 – 300

300 – 325

325 и более

237,5

262,5

287,5

312,5

337,5

– 50

– 25

+25

+50

– 2

– 1

– 20

-15

+12

+10

Итого

-13

* – в качестве (А) обычно берут значение х, стоящее в середине вариационного ряда (А=287,5)

** -( K) обычно равно ширине интервала (K=25)

$[overline {x'} = frac{{sum {x' cdot {f_i}} }}{{sum {{f_i}} }} = frac{{ - 13}}{{60}} = - 0,2176]$

Источник

«Средневзвешенное» перенаправляется сюда. Не следует путать с взвешенной медианой .

Взвешенное среднее арифметическое аналогична обычной среднее арифметическое (наиболее распространенный тип в среднем ), за исключением того, что вместо каждой из точек данных , способствующих в равной степени к финалу среднем, некоторые точки данных способствуют больше , чем другие. Понятие взвешенного среднего играет роль в описательной статистике, а также встречается в более общей форме в некоторых других областях математики.

Если все веса равны, то средневзвешенное значение совпадает со средним арифметическим . Хотя взвешенные средние обычно ведут себя аналогично средним арифметическим, у них действительно есть несколько нелогичных свойств, как, например, зафиксировано в парадоксе Симпсона .

Примеры

Базовый пример

Даны два школьных класса — один с 20 учениками, другой с 30 учениками — и контрольные оценки в каждом классе следующим образом:

Утреннее занятие = {62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98}

Дневной класс = {81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}

Среднее значение для утреннего класса составляет 80, а для дневного класса — 90. Невзвешенное среднее значение двух средних составляет 85. Однако это не учитывает разницу в количестве студентов в каждом классе (20 против 30); следовательно, значение 85 не отражает среднюю оценку учащегося (независимо от класса). Среднюю оценку студента можно получить путем усреднения всех оценок без учета классов (сложите все оценки и разделите на общее количество студентов):

${ bar {x}} = { frac {4300} {50}} = 86.$

Или это может быть достигнуто путем взвешивания средних значений класса по количеству учеников в каждом классе. Большему классу придается больший «вес»:

${ bar {x}} = { frac {(20 times 80) + (30 times 90)} {20 + 30}} = 86.$

Таким образом, средневзвешенное значение позволяет найти среднюю оценку учащегося, не зная оценки каждого учащегося. Требуются только средства класса и количество учеников в каждом классе.

Пример выпуклой комбинации

Поскольку важны только относительные веса, любое средневзвешенное значение может быть выражено с использованием коэффициентов, сумма которых равна единице. Такая линейная комбинация называется выпуклой комбинацией .

Используя предыдущий пример, мы получили бы следующие веса:

${ displaystyle { frac {20} {20 + 30}} = 0,4}$

${ displaystyle { frac {30} {20 + 30}} = 0,6}$

Затем примените такие веса:

{ bar {x}} = (0,4 times 80) + (0,6 times 90) = 86.

Математическое определение

Формально взвешенное среднее непустого конечного мультимножества данных
с соответствующими неотрицательными весами равно
${x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n} },$ ${ Displaystyle {ш_ {1}, ш_ {2}, точки, ш_ {п} }}$

${ bar {x}} = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}},$

который расширяется до:

${ bar {x}} = { frac {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + cdots + w_ {n} x_ {n}} {w_ {1} + w_ { 2} + cdots + w_ {n}}}.$

Следовательно, элементы данных с большим весом вносят больший вклад в средневзвешенное значение, чем элементы с низким весом. Вес не может быть отрицательным. Некоторые из них могут быть равны нулю, но не все (так как деление на ноль недопустимо).

Формулы упрощаются, если веса нормализованы таким образом, что они в сумме составляют , то есть:

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п} {ш_ {я} '} = 1}$ .

Тогда для таких нормированных весов средневзвешенное значение будет:

${ displaystyle { bar {x}} = sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} 'x_ {i}}}$ .

Обратите внимание, что всегда можно нормализовать веса, сделав следующее преобразование исходных весов:

$w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} {w_ {j}}}}$ .

Использование нормализованного веса дает те же результаты, что и при использовании исходных весов:

${ begin {align} { bar {x}} & = sum _ {i = 1} ^ {n} w '_ {i} x_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j}}} x_ {i} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j}}} \ & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i } x_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}. end {выровнено}}$

Обычный средний частный случай взвешенного среднего , где все данные имеют равные веса.
${ гидроразрыва {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}$

Если элементы данных являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с дисперсией , то стандартная ошибка среднего взвешенного , может быть показано с помощью распространения неопределенности быть:
${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$

${ textstyle sigma _ { bar {x}} = sigma { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} '^ {2}}}}$

Статистические свойства

Ожидание

Взвешенное значение выборки, само по себе является случайной величиной. Его ожидаемое значение и стандартное отклонение связаны с ожидаемыми значениями и стандартными отклонениями наблюдений следующим образом. Для простоты мы предполагаем нормализованные веса (веса, суммирующие единицу).

Если наблюдения имеют ожидаемые значения

${ displaystyle E (x_ {i}) = { mu _ {i}},}$

то средневзвешенное значение выборки имеет ожидание

${ displaystyle E ({ bar {x}}) = sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} ' mu _ {i}}.}$

В частности, если средние равны, то математическое ожидание средневзвешенного выборочного среднего будет этим значением,
$mu _ {i} = mu$

Дисперсия

Простой случай с идентификатором

Если рассматривать веса как константы и иметь выборку из n наблюдений от некоррелированных случайных величин , все с одинаковой дисперсией и ожиданием (как в случае с iid случайными величинами), тогда дисперсия взвешенного среднего может быть оценена как умножение дисперсии по эффекту дизайна Киша (см. доказательство ):

${ displaystyle operatorname {Var} ({ bar {y}} _ {w}) = { frac {{ hat { sigma}} _ {y} ^ {2}} {n}} { frac { overline {w ^ {2}}} {{ bar {w}} ^ {2}}}}$

С , и ${ displaystyle { hat { sigma}} _ {y} ^ {2} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} - { bar {y}}) ^ {2}} {n-1}}}$ ${ displaystyle { bar {w}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}} {n}}}$ ${ displaystyle { overline {w ^ {2}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {2}} {n}}}$

Однако эта оценка довольно ограничена из-за сильного предположения о наблюдениях y . Это привело к разработке альтернативных, более общих оценок.

Перспектива выборочного обследования

С точки зрения модели , мы заинтересованы в оценке дисперсии взвешенного среднего, когда разные случайные величины не являются iid . Альтернативная перспектива для этой проблемы — это некий произвольный план выборки данных, в котором единицы выбираются с неравными вероятностями (с заменой).
$г_ {i}$

В методологии обследования среднее значение совокупности некоторого представляющего интерес количества y рассчитывается путем вычисления общей суммы y по всем элементам в совокупности ( Y или иногда T ) и деления ее на размер совокупности — либо известное ( ) или оценка ( ). В этом контексте каждое значение y считается постоянным, а изменчивость обусловлена процедурой выбора. Это в отличие от подходов, основанных на модели, в которых случайность часто описывается значениями y. Процедура выборки обследования дает ряд значений индикатора Бернулли ( ), которые получают 1, если какое-то наблюдение i присутствует в выборке, и 0, если оно не было выбрано. Это может происходить при фиксированном размере выборки или выборке различного размера (например, выборка Пуассона ). Вероятность выбора какого-либо элемента для данной выборки обозначается как , а вероятность выбора одного элемента равна (если N очень велико, а каждый очень мало). Для следующего вывода мы предположим, что вероятность выбора каждого элемента полностью представлена этими вероятностями. Т.е. выбор одного элемента не повлияет на вероятность отрисовки другого элемента (это не относится к таким вещам, как дизайн кластерной выборки ).
$I_ {i}$ ${ displaystyle P (I_ {i} = 1 mid { text {Пример размера}} n) = pi _ {i}}$ ${ displaystyle P (I_ {i} = 1 | one sample draw) = p_ {i} приблизительно { frac { pi _ {i}} {n}}}$ Пи}

Поскольку каждый элемент ( ) фиксирован, а случайность возникает из-за того, что он включен в выборку или нет ( ), мы часто говорим об умножении двух, которое является случайной величиной. Чтобы избежать путаницы в следующем разделе, давайте назовем этот термин: . При следующей продолжительности: ; и дисперсия: .
$г_ {i}$ $I_ {i}$ ${ displaystyle y '_ {i} = y_ {i} I_ {i}}$ ${ displaystyle E [y '_ {i}] = y_ {i} E [I_ {i}] = y_ {i} pi _ {i}}$ ${ displaystyle V [y '_ {i}] = y_ {i} ^ {2} V [I_ {i}] = y_ {i} ^ {2} pi _ {i} (1- pi _ { я})}$

Когда каждый элемент образца надувают с помощью обратного его вероятности выбора, он называется -expanded Y значения, то есть: . Связанная величина -expanded Y значения: . Как и выше, мы можем добавить галочку при умножении на индикаторную функцию. Т.е.: ${ displaystyle { check {y}} _ {i} = { frac {y_ {i}} { pi _ {i}}}}$ ${ displaystyle { frac {y_ {i}} {p_ {i}}} = n { check {y}} _ {i}}$ ${ displaystyle { check {y}} '_ {i} = I_ {i} { check {y}} _ {i} = { frac {I_ {i} y_ {i}} { pi _ { я}}}}$

В этой концепции, основанной на дизайне , веса, используемые в числителе средневзвешенного значения, получаются путем взятия обратной величины для вероятности выбора (т. Е. Фактора инфляции). Т.е.: .
${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} { pi _ {i}}} приблизительно { frac {1} {n times p_ {i}}}}$

Дисперсия взвешенной суммы ( pwr -стиматор итогов)

Если размер популяции N известен, мы можем оценить среднее значение генеральной совокупности, используя .
${ displaystyle { hat { bar {Y}}} _ {{ text {known}} N} = { frac {{ hat {Y}} _ {pwr}} {N}} приблизительно { гидроразрыв { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y '_ {i}} {N}}}$

Если план выборки таков, что приводит к фиксированному размеру выборки n (например, при выборке pps ), то дисперсия этого оценщика составляет:

${ displaystyle operatorname {Var} left ({ hat { bar {Y}}} _ {{ text {known}} N} right) = { frac {1} {N ^ {2}} } { frac {n} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (w_ {i} y_ {i} - { overline {wy}} right) ^ {2 }}$

[Доказательство]

Общая формула может быть развита так:

${ displaystyle { hat { bar {Y}}} _ {{ text {known}} N} = { frac {{ hat {Y}} _ {pwr}} {N}} = { frac {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {y '_ {i}} {p_ {i}}}} {N}} приблизительно { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {y '_ {i}} { pi _ {i}}}} {N}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y '_ {i}} {N}}.}$

Общая численность населения обозначается как, и ее можно оценить с помощью (несмещенной) оценки Хорвица – Томпсона , также называемой -оценкой. Сама эта оценка может быть оценена с помощью pwr -estimator (то есть: -расширена с помощью оценки замены или оценки «вероятность с заменой»). В приведенных выше обозначениях, это: .
${ Displaystyle Y = сумма _ {я = 1} ^ {N} y_ {я}}$ ${ displaystyle { hat {Y}} _ {pwr} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {y '_ {i}} {p_ {i}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {y '_ {i}} {np_ {i}}} приблизительно sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {y '_ {i}} { pi _ {i}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y' _ {i}}$

Предполагаемая дисперсия pwr -estimator определяется как:

${ displaystyle operatorname {Var} ({ hat {Y}} _ {pwr}) = { frac {n} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (w_ {i} y_ {i} - { overline {wy}} right) ^ {2}}$

где .
${ displaystyle { overline {wy}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i} y_ {i}} {n}}}$

Приведенная выше формула была взята из Sarndal et. al. (1992) (также представленный в Cochran 1977), но был написан иначе. В левой части показано, как была записана дисперсия, а в правой части — как мы разработали взвешенную версию:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Var} ({ hat {Y}} _ { text {pwr}}) & = { frac {1} {n}} { frac {1} { n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac {y_ {i}} {p_ {i}}} - { hat {Y}} _ {pwr} right ) ^ {2} \ & = { frac {1} {n}} { frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac { n} {n}} { frac {y_ {i}} {p_ {i}}} - { frac {n} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y_ {i} right) ^ {2} = { frac {1} {n}} { frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (n { frac {y_ {i}} { pi _ {i}}} - n { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y_ {i}} {n}} right ) ^ {2} \ & = { frac {n ^ {2}} {n}} { frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ( w_ {i} y_ {i} - { overline {wy}} right) ^ {2} \ & = { frac {n} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n } left (w_ {i} y_ {i} - { overline {wy}} right) ^ {2} end {align}}}$

И мы подошли к формуле сверху.

Альтернативный термин для случая , когда выборка имеет случайный размер (как в выборке Пуассона ), представлен в Sarndal et. al. (1992) как:

${ displaystyle operatorname {Var} ({ hat { bar {Y}}} _ {{ text {pwr (known}} N { text {)}}}) = { frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ check { Delta}} _ {ij} { check {y }} _ {i} { check {y}} _ {j} right)}$

С . Кроме того, где — вероятность выбора как i, так и j. И , так и для I = J: .
${ displaystyle { check {y}} _ {i} = { frac {y_ {i}} { pi _ {i}}}}$ ${ displaystyle C (I_ {i}, I_ {j}) = pi _ {ij} - pi _ {i} pi _ {j} = Delta _ {ij}}$ ${ displaystyle pi _ {ij}}$ ${ displaystyle { check { Delta}} _ {ij} = 1 - { frac { pi _ {i} pi _ {j}} { pi _ {ij}}}}$ ${ displaystyle { check { Delta}} _ {ii} = 1 - { frac { pi _ {i} pi _ {i}} { pi _ {i}}} = 1- pi _ {я}}$

Если вероятность выбора не коррелирована (например:) , и если предполагается, что вероятность каждого элемента очень мала, то:
${ Displaystyle forall я neq j: C (I_ {i}, I_ {j}) = 0}$

${ displaystyle operatorname {Var} ({ hat { bar {Y}}} _ {{ text {pwr (known}} N { text {)}}}) = { frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (w_ {i} y_ {i} right) ^ {2}}$

[Доказательство]

Мы предполагаем, что и что
${ Displaystyle (1- пи _ {я}) приблизительно 0}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Var} ({ hat {Y}} _ {{ text {pwr (known}} N { text {)}}}) & = { frac {1 } {N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ check { Delta}} _ {ij} { check {y}} _ {i} { check {y}} _ {j} right) \ & = { frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ check { Delta}} _ {ii} { check {y}} _ {i} { check {y}} _ {i} right) \ & = { frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ((1- pi _ {i}) { frac {y_ {i}} { pi _ { i}}} { frac {y_ {i}} { pi _ {i}}} right) \ & = { frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {i = 1 } ^ {n} left (w_ {i} y_ {i} right) ^ {2} end {align}}}$

Дисперсия средневзвешенного значения ( π -стиматор отношения среднего)

В предыдущем разделе рассматривалась оценка среднего значения совокупности как отношения предполагаемой общей численности населения ( ) к известному размеру совокупности ( ), и в этом контексте оценивалась дисперсия. Другой распространенный случай состоит в том, что размер самой генеральной совокупности ( ) неизвестен и оценивается с использованием выборки (т. Е.:) . Оценка может быть описана как сумма весов. Итак, когда мы получим . При использовании обозначений из предыдущих разделов соотношение, которое нас интересует, представляет собой сумму s и единиц. Т.е.: . Мы можем оценить его с помощью нашего образца с: . Как мы перешли от использования N для использования п, мы на самом деле знаем , что все переменные индикатора получить 1, так что мы могли бы просто написать: . Это будет оценка для конкретных значений y и w, но статистические свойства появляются при включении индикаторной переменной .
${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} { pi _ {i}}}}$ ${ displaystyle { hat {N}} = sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} I_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {I_ { i}} { pi _ {i}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { check {1}} '_ {i}}$ $г_ {i}$ ${ displaystyle R = { bar {Y}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {y_ {i}} { pi _ {i}}}} { sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {1} { pi _ {i}}}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} { check {y }} _ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} { check {1}} _ {i}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} y_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}}$ ${ displaystyle { hat {R}} = { hat { bar {Y}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} I_ {i} { frac {y_ {i) }} { pi _ {i}}}} { sum _ {i = 1} ^ {N} I_ {i} { frac {1} { pi _ {i}}}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} { check {y}} '_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} { check {1}}' _ {i }}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} y '_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} 1' _ {i}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y '_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i } 1 '_ {i}}} = { bar {y}} _ {w}}$ ${ displaystyle { bar {y}} _ {w} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}}$ ${ displaystyle { bar {y}} _ {w} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y '_ {i}} { sum _ {i = 1 } ^ {n} w_ {i} 1 '_ {i}}}}$

Это называется Ratio оценщик , и это примерно несмещенной для R .

В этом случае изменчивость отношения зависит от изменчивости случайных величин как в числителе, так и в знаменателе, а также от их корреляции. Поскольку не существует закрытой аналитической формы для вычисления этой дисперсии, для приблизительной оценки используются различные методы. В первую очередь , линеаризация первого порядка серии Тейлора , асимптотика и бутстрап / складной нож. Метод линеаризации Тейлора может привести к недооценке дисперсии для малых размеров выборки в целом, но это зависит от сложности статистики. Предполагается, что для средневзвешенного значения приблизительная дисперсия будет относительно точной даже для средних размеров выборки. Когда выборка имеет случайный размер (как в выборке Пуассона ), это выглядит следующим образом:

${ displaystyle { widehat {V ({ bar {y}} _ {w})}} = { frac {1} {( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}) ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {2} (y_ {i} - { bar {y}} _ {w}) ^ {2}}$

Мы отмечаем, что если , то использование или даст одну и ту же оценку, поскольку умножение на некоторый коэффициент приведет к той же оценке. Это также означает, что если мы масштабируем сумму весов, чтобы она была равна известному ранее размеру популяции N , расчет дисперсии будет выглядеть так же. Когда все веса равны друг другу, эта формула сводится к стандартной несмещенной оценке дисперсии.
${ displaystyle pi _ {i} приблизительно p_ {i} n}$ ${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} { pi _ {i}}}}$ ${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} {p_ {i}}}}$ $w_ {i}$

[Доказательство]

Линеаризация Тейлора утверждает, что для общей оценки отношения двух сумм ( ) они могут быть расширены вокруг истинного значения R и дать:
${ displaystyle { hat {R}} = { frac { hat {Y}} { hat {Z}}}}$

${ displaystyle { hat {R}} = { frac { hat {Y}} { hat {Z}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y '_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} z' _ {i}}} приблизительно R + { frac {1} {Z}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ frac {y '_ {i}} { pi _ {i}}} - R { frac {z' _ {i}} { pi _ {i} }}Правильно)}$

А дисперсию можно приблизительно определить следующим образом:

${ displaystyle { widehat {V ({ hat {R}})}} = { frac {1} {{ hat {Z}} ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ { n} sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ check { Delta}} _ {ij} { frac {y_ {i} - { hat {R}} z_ {i}} { pi _ {i}}} { frac {y_ {j} - { hat {R}} z_ {j}} { pi _ {j}}} right) = { frac {1} { { hat {Z}} ^ {2}}} left [{ widehat {V ({ hat {Y}})}} + { hat {R}} { widehat {V ({ hat { Z}})}} - 2 { hat {R}} { hat {C}} ({ hat {Y}}, { hat {Z}}) right]}$

Термин представляет собой оценочную ковариацию между оценочной суммой Y и оценочной суммой Z. Поскольку это ковариация двух сумм случайных величин , она будет включать множество комбинаций ковариаций, которые будут зависеть от индикаторных переменных. Если вероятность выбора не коррелирована (то есть:) , этот член все равно будет включать в себя сумму n ковариаций для каждого элемента i между и . Это помогает проиллюстрировать, что эта формула учитывает влияние корреляции между y и z на дисперсию оценок отношения.
${ displaystyle forall i neq j: Delta _ {ij} = C (I_ {i}, I_ {j}) = 0}$ ${ displaystyle y '_ {i} = I_ {i} y_ {i}}$ ${ displaystyle z '_ {i} = I_ {i} z_ {i}}$

При определении выше становится:
${ displaystyle z_ {i} = 1}$

${ displaystyle { widehat {V ({ hat {R}})}} = { widehat {V ({ bar {y}} _ {w})}} = { frac {1} {{ шляпа {N}} ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ check { Delta}} _ {ij} { frac {y_ {i} - { bar {y}} _ {w}} { pi _ {i}}} { frac {y_ {j} - { bar {y}} _ {w} } { pi _ {j}}} right)}$

Если вероятность выбора не коррелирована (например:) , и если предполагается, что вероятность каждого элемента очень мала (например:) , то приведенное выше сводится к следующему:
${ displaystyle forall i neq j: Delta _ {ij} = C (I_ {i}, I_ {j}) = 0}$ ${ Displaystyle (1- пи _ {я}) приблизительно 0}$

${ displaystyle { widehat {V ({ bar {y}} _ {w})}} = { frac {1} {{ hat {N}} ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} left ((1- pi _ {i}) { frac {y_ {i} - { bar {y}} _ {w}} { pi _ {i}}} справа) ^ {2} = { frac {1} {( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}) ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {2} (y_ {i} - { bar {y}} _ {w}) ^ {2}}$

Аналогичное воссоздание доказательства (с некоторыми ошибками в конце) было выполнено Томасом Ламли при перекрестной проверке.

У нас есть (по крайней мере) две версии дисперсии для взвешенного среднего: одна с известной оценкой размера популяции и одна с неизвестной. Не существует одинаково лучшего подхода, но в литературе представлены несколько аргументов в пользу использования версии оценки численности населения (даже если размер популяции известен). Например: если все значения y постоянны, оценка с неизвестным размером популяции даст правильный результат, а оценка с известным размером популяции будет иметь некоторую изменчивость. Кроме того, когда размер выборки является случайным (например, при пуассоновской выборке ), версия с неизвестным средним значением генеральной совокупности считается более стабильной. Наконец, если доля выборки отрицательно коррелирует со значениями (то есть: меньшая вероятность выборки большого наблюдения), то версия с неизвестным размером популяции немного компенсирует это.

Проверка загрузки

Было показано, что Gatz et. al. (1995), что по сравнению с методами бутстрэппинга следующее (оценка дисперсии отношения среднего с использованием линеаризации ряда Тейлора ) является разумной оценкой квадрата стандартной ошибки среднего (при использовании в контексте измерения химических составляющих) :

${ displaystyle { widehat { sigma _ {{ bar {x}} _ {w}} ^ {2}}} = { frac {n} {(n-1) (n { bar {w}) }) ^ {2}}} left [ sum (w_ {i} x_ {i} - { bar {w}} { bar {x}} _ {w}) ^ {2} -2 { bar {x}} _ {w} sum (w_ {i} - { bar {w}}) (w_ {i} x_ {i} - { bar {w}} { bar {x}} _ {w}) + { bar {x}} _ {w} ^ {2} sum (w_ {i} - { bar {w}}) ^ {2} right]}$

где . Дальнейшее упрощение приводит к
${ displaystyle { bar {w}} = { frac { sum w_ {i}} {n}}}$

${ displaystyle { widehat { sigma _ { bar {x}} ^ {2}}} = { frac {n} {(n-1) (n { bar {w}}) ^ {2} }} sum w_ {i} ^ {2} (x_ {i} - { bar {x}} _ {w}) ^ {2}}$

Gatz et. al. упомянуть, что вышеуказанная формулировка была опубликована Endlich et. al. (1988) при обработке средневзвешенного значения как комбинации взвешенной общей оценки, деленной на оценку размера популяции …, на основе формулировки, опубликованной Cochran (1977), как приближения к среднему отношению. Однако Endlich et. al. Похоже, что этот вывод не был опубликован в своей статье (хотя они упоминают, что использовали его), а книга Кокрена включает несколько иную формулировку. Тем не менее, он почти идентичен составам, описанным в предыдущих разделах.

Оценщики на основе репликации

Поскольку не существует закрытой аналитической формы для дисперсии средневзвешенного значения, в литературе было предложено полагаться на такие методы репликации, как складной нож и бутстреппинг .

Прочие примечания

Для некоррелированных наблюдений с дисперсиями дисперсия средневзвешенного выборочного значения равна
$sigma _ {я} ^ {2}$

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} sigma _ {i} ^ {2} }}$

квадратный корень которого можно назвать стандартной ошибкой средневзвешенного значения (общий случай) . $sigma _ {{{ bar x}}}$

Следовательно, если все наблюдения имеют одинаковую дисперсию, средневзвешенное значение выборки будет иметь дисперсию
$sigma _ {i} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2}$

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2} sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} },}$

где . Дисперсия достигает своего максимального значения, когда все веса, кроме одного, равны нулю. Его минимальное значение находится, когда все веса равны (т. Е. Невзвешенное среднее), и в этом случае мы имеем , т. Е. Оно вырождается в стандартную ошибку среднего , возведенного в квадрат.
${ textstyle 1 / n leq sum _ {я = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2}} leq 1}$ $sigma _ {0} ^ {2}$ ${ textstyle sigma _ { bar {x}} = sigma _ {0} / { sqrt {n}}}$

Обратите внимание: поскольку ненормализованные веса всегда можно преобразовать в нормализованные веса, все формулы в этом разделе можно адаптировать к ненормализованным весам, заменив all .
$w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

Случаи использования средневзвешенного значения

Веса дисперсии

Для средневзвешенного значения списка данных, для которого каждый элемент потенциально происходит из разного распределения вероятностей с известной дисперсией , все имеют одно и то же среднее значение, один из возможных вариантов весов задается обратной величиной дисперсии:
$x_ {i}$

$w_ {i} = { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}.$

Средневзвешенное значение в этом случае:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} left ({ dfrac {x_ {i}} { sigma _ {i} ^ {2}) }} right)} { sum _ {i = 1} ^ {n} { dfrac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}}},}$

а стандартная ошибка средневзвешенного значения (с весами дисперсии) составляет:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = { sqrt { frac {1} { sum _ {i = 1} ^ {n} sigma _ {i} ^ {- 2}}}} ,}$

Обратите внимание, что это сводится к тому, когда все . Это частный случай общей формулы из предыдущего раздела,
$sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2} / n$ $sigma _ {i} = sigma _ {0}$

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} sigma _ {i} ^ {2} } = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} { sigma _ {i} ^ {- 4} sigma _ {i} ^ {2}}} { left ( sum _ { i = 1} ^ {n} sigma _ {i} ^ {- 2} right) ^ {2}}}.}$

Приведенные выше уравнения можно объединить, чтобы получить:

${ displaystyle { bar {x}} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {x_ {i}} { sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Значение этого выбора состоит в том, что это взвешенное среднее является оценкой максимального правдоподобия среднего значения распределений вероятностей в предположении, что они независимы и нормально распределены с одним и тем же средним значением.

Коррекция чрезмерной или недостаточной дисперсии

См. Также: § Взвешенная дисперсия выборки.

Взвешенные средние обычно используются для нахождения средневзвешенного значения исторических данных, а не теоретически сгенерированных данных. В этом случае будет некоторая ошибка в дисперсии каждой точки данных. Обычно экспериментальные ошибки могут быть недооценены из-за того, что экспериментатор не принимает во внимание все источники ошибок при вычислении дисперсии каждой точки данных. В этом случае необходимо скорректировать дисперсию средневзвешенного значения, чтобы учесть тот факт, что оно слишком велико. Исправление, которое необходимо сделать, это
$чи ^ {2}$

${ displaystyle { hat { sigma}} _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} chi _ { nu} ^ {2}}$

где это уменьшенный хи-квадрат :
$chi _ { nu} ^ {2}$

${ displaystyle chi _ { nu} ^ {2} = { frac {1} {(n-1)}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {(x_ {i}) - { bar {x}}) ^ {2}} { sigma _ {i} ^ {2}}};}$

Квадратный корень можно назвать стандартной ошибкой взвешенного среднего (веса дисперсии, скорректированный масштаб) .
${ displaystyle { hat { sigma}} _ { bar {x}}}$

Когда все дисперсии данных равны, они компенсируются средневзвешенной дисперсией, которая снова сводится к стандартной ошибке среднего (в квадрате) , сформулированной в терминах стандартного отклонения выборки (в квадрате),
$sigma _ {i} = sigma _ {0}$ $sigma _ { bar {x}} ^ {2}$ $sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma ^ {2} / n$

${ displaystyle sigma ^ {2} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}} {n-1} }.}$

Взвешенная дисперсия выборки

См. Также: § Корректировка чрезмерной или недостаточной дисперсии

Обычно при вычислении среднего значения важно знать дисперсию и стандартное отклонение этого среднего значения. Когда используется взвешенное среднее , дисперсия взвешенной выборки отличается от дисперсии невзвешенной выборки.
$mu ^ {*}$

Смещен взвешенная дисперсия выборки определяются аналогично обычной необъективной выборочной дисперсия :
${ Displaystyle { шляпа { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}}$ ${ Displaystyle { шляпа { sigma}} ^ {2}}$

${ displaystyle { begin {align} { hat { sigma}} ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} left (x_ {i} - mu right) ^ {2}} {N}} \ { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} right) ^ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}} } конец {выровнено}}}$

где для нормированных весов. Если веса являются частотными весами (и, следовательно, являются случайными величинами), можно показать, что это оценка максимального правдоподобия для iid гауссовских наблюдений.
${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {N} ш_ {я} = 1}$ ${ Displaystyle { шляпа { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}}$ $sigma ^ {2}$

Для небольших выборок обычно используется несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности. В нормальных невзвешенных выборках N в знаменателе (соответствующем размеру выборки) изменяется на N — 1 (см. Поправку Бесселя ). В настройке с взвешиванием на самом деле есть два разных несмещенных оценщика, один для случая частотных весов, а другой — для случая весов надежности .

Частотные веса

Если веса являются частотными весами (где вес равен количеству вхождений), то несмещенная оценка:

${ displaystyle { begin {align} s ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} right) ^ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} -1}} end {align}}}$

Это эффективно применяет поправку Бесселя для частотных весов.

Например, если значения взяты из одного и того же распределения, то мы можем рассматривать этот набор как невзвешенную выборку или мы можем рассматривать его как взвешенную выборку с соответствующими весами , и в любом случае мы получим тот же результат.

Если частотные веса нормированы на 1, то правильное выражение после поправки Бесселя станет
${w_ {i} }$

${ displaystyle { begin {align} s ^ {2} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N } w_ {i} -1}} sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} right) ^ {2} end {выровнено }}}$

где общее количество образцов равно (не ). В любом случае информация об общем количестве отсчетов необходима для получения несмещенной поправки, даже если она имеет иное значение, чем частотный вес.
${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {N} ш_ {я}}$ $w_ {i}$

Обратите внимание, что оценщик может быть несмещенным, только если веса не стандартизированы и не нормализованы , эти процессы изменяют среднее значение и дисперсию данных и, таким образом, приводят к потере базовой скорости (подсчет населения, который является требованием для поправки Бесселя).

Весы надежности

Если веса не случайны ( веса надежности ), мы можем определить поправочный коэффициент, чтобы получить несмещенную оценку. Предполагая, что каждая случайная переменная выбирается из одного и того же распределения со средней и фактической дисперсией , принимая наши ожидания,
${ displaystyle sigma _ { text {актуально}} ^ {2}}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {E} [{ hat { sigma}} ^ {2}] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} operatorname {E} [(x_ {i} - mu) ^ {2}]} {N}} \ & = operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] - { frac {1} {N}} operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] \ & = left ({ frac {N-1} { N}} right) sigma _ { text {actual}} ^ {2} \ operatorname {E} [{ hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} operatorname {E} [(x_ {i} - mu ^ {*}) ^ {2}]} {V_ {1}}} \ & = operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2 }}} operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] \ & = left (1 - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} right) sigma _ { text {actual}} ^ {2} end {align}}}$

где и . Следовательно, смещение в нашей оценке аналогично смещению в невзвешенной оценке (также обратите внимание, что это эффективный размер выборки ). Это означает, что для получения несмещенной оценки нам необходимо предварительно разделить на , гарантируя, что ожидаемое значение оцененной дисперсии равно фактической дисперсии выборочного распределения.
$V_ {1} = sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}$ $V_ {2} = sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} ^ {2}$ $left (1 - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} right)$ $left ({ frac {N-1} {N}} right)$ ${ Displaystyle V_ {1} ^ {2} / V_ {2} = N_ {эфф}}$ $1- влево (V_ {2} / V_ {1} ^ {2} right)$

Окончательная объективная оценка дисперсии выборки:

${ displaystyle { begin {align} s _ { mathrm {w}} ^ {2} & = { frac {{ hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}} { 1- (V_ {2} / V_ {1} ^ {2})}} \ [4pt] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {i} - mu ^ {*}) ^ {2}} {V_ {1} - (V_ {2} / V_ {1})}}, end {выровнено}}}$

где .
${ displaystyle operatorname {E} [s _ { mathrm {w}} ^ {2}] = sigma _ { text {actual}} ^ {2}}$

Степени свободы взвешенной несмещенной дисперсии выборки соответственно изменяются от N — 1 до 0.

Стандартное отклонение — это просто квадратный корень из приведенной выше дисперсии.

В качестве примечания были описаны другие подходы для вычисления взвешенной дисперсии выборки.

Ковариация взвешенной выборки

Во взвешенной выборке каждому вектору-строке (каждому набору отдельных наблюдений по каждой из K случайных величин) присваивается вес .
$textstyle { textbf {x}} _ {я}$ $textstyle w_ {я} geq 0$

Тогда вектор взвешенного среднего определяется как
$textstyle mathbf { mu ^ {*}}$

$mathbf { mu ^ {*}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} mathbf {x} _ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}.$

А взвешенная ковариационная матрица имеет вид:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {V_ {1}}}. end {align}}}$

Как и в случае взвешенной выборочной дисперсии, существуют две разные несмещенные оценки в зависимости от типа весов.

Частотные веса

Если веса являются частотными весами , несмещенная взвешенная оценка ковариационной матрицы с поправкой Бесселя определяется как:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {V_ {1} -1}}. end {выравнивается} }}$

Обратите внимание, что эта оценка может быть несмещенной только в том случае, если веса не стандартизированы и не нормализованы , эти процессы изменяют среднее значение и дисперсию данных и, таким образом, приводят к потере базовой скорости (подсчет населения, который является требованием для поправки Бесселя).

Весы надежности

В случае весов надежности , гири нормированы :

${ displaystyle V_ {1} = sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 1.}$

(Если это не так, разделите веса на их сумму для нормализации перед вычислением :
$V_ {1}$

${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}}$

Тогда вектор взвешенного среднего можно упростить до
$textstyle mathbf { mu ^ {*}}$

$mathbf { mu ^ {*}} = sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} mathbf {x} _ {i}.$

а несмещенная взвешенная оценка ковариационной матрицы :

${ displaystyle { begin {align} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}} { left ( sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} right) ^ {2} - sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right ) \ & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T } left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {V_ {1} - (V_ {2} / V_ {1})}}. end {align}} }$

Рассуждения здесь те же, что и в предыдущем разделе.

Поскольку мы предполагаем, что веса нормализованы, это сводится к следующему:
${ displaystyle V_ {1} = 1}$

${ displaystyle mathbf {C} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right ) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {1-V_ {2}}}.}.$

Если все веса одинаковы, т. Е. Тогда взвешенное среднее и ковариация сводятся к невзвешенному выборочному среднему и ковариации, указанным выше.
$textstyle w_ {i} / V_ {1} = 1 / N$

Векторнозначные оценки

Сказанное легко обобщается на случай усреднения векторных оценок. Например, оценки положения на самолете могут иметь меньшую уверенность в одном направлении, чем в другом. Как и в скалярном случае, средневзвешенное значение нескольких оценок может обеспечить оценку максимального правдоподобия . Мы просто заменить дисперсию со стороны матрицей ковариации и арифметическими обратным по матрице , обратной (оба обозначены таким же образом, с помощью надиндексов); матрица весов будет выглядеть так:
$sigma ^ {2}$

${ displaystyle mathbf {W} _ {i} = mathbf {C} _ {i} ^ {- 1}.}$

Средневзвешенное значение в этом случае:

${ displaystyle { bar { mathbf {x}}} = mathbf {C} _ { bar { mathbf {x}}} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf { W} _ {i} mathbf {x} _ {i} right),}$

(где порядок произведения матрицы на вектор не коммутативен ) в терминах ковариации взвешенного среднего:

${ displaystyle mathbf {C} _ { bar { mathbf {x}}} = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {W} _ {i} right) ^ { -1},}$

Например, рассмотрим средневзвешенное значение точки [1 0] с высокой дисперсией во втором компоненте и [0 1] с высокой дисперсией в первом компоненте. потом

${ displaystyle mathbf {x} _ {1}: = { begin {bmatrix} 1 & 0 end {bmatrix}} ^ { top}, qquad mathbf {C} _ {1}: = { begin { bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 100 end {bmatrix}}}$

${ displaystyle mathbf {x} _ {2}: = { begin {bmatrix} 0 & 1 end {bmatrix}} ^ { top}, qquad mathbf {C} _ {2}: = { begin { bmatrix} 100 & 0 \ 0 & 1 end {bmatrix}}}$

тогда средневзвешенное значение:

${ displaystyle { begin {align} { bar { mathbf {x}}} & = left ( mathbf {C} _ {1} ^ {- 1} + mathbf {C} _ {2} ^ {-1} right) ^ {- 1} left ( mathbf {C} _ {1} ^ {- 1} mathbf {x} _ {1} + mathbf {C} _ {2} ^ { -1} mathbf {x} _ {2} right) \ [5pt] & = { begin {bmatrix} 0.9901 & 0 \ 0 & 0.9901 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 \ 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0,9901 \ 0,9901 end {bmatrix}} end {align}}}$

что имеет смысл: оценка [1 0] «совместима» во втором компоненте, а оценка [0 1] согласована в первом компоненте, так что средневзвешенное значение приблизительно равно [1 1].

Учет корреляций

В общем случае предположим, что , — это ковариационная матрица, связывающая количества , — это общее среднее значение, которое необходимо оценить, и это матрица плана, равная вектору единиц (длины ). Теорема Гаусса-Маркова утверждает, что оценка среднего с минимальной дисперсией определяется по формуле:
${ Displaystyle mathbf {X} = [x_ {1}, точки, x_ {n}] ^ {T}}$ $x_ {i}$ ${ displaystyle [1, ..., 1] ^ {T}}$

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {W} mathbf {J}) ^ {- 1},}$

а также

${ displaystyle { bar {x}} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {W} mathbf {X}),}$

куда:

${ displaystyle mathbf {W} = mathbf {C} ^ {- 1}.}$

Снижение силы взаимодействия

Рассмотрим временной ряд независимой переменной и зависимой переменной с выборкой наблюдений в дискретные моменты времени . Во многих распространенных ситуациях значение во времени зависит не только от его прошлых значений, но и от него. Обычно сила этой зависимости уменьшается с увеличением разнесения наблюдений во времени. Чтобы смоделировать эту ситуацию, можно заменить независимую переменную ее скользящим средним для размера окна .
Икс $t_ {i}$ $t_ {i}$ $x_ {i}$

$z_ {k} = sum _ {i = 1} ^ {m} w_ {i} x_ {k + 1-i}.$

Экспоненциально убывающие веса

В сценарии, описанном в предыдущем разделе, чаще всего уменьшение силы взаимодействия подчиняется отрицательному экспоненциальному закону. Если наблюдения производятся через эквидистантные моменты времени, то экспоненциальное уменьшение эквивалентно уменьшению на постоянную долю на каждом временном шаге. Установив, мы можем определить нормализованные веса с помощью

$w_ {i} = { frac {w ^ {i-1}} {V_ {1}}},$

где — сумма ненормированных весов. В этом случае просто
$V_ {1}$ $V_ {1}$

$V_ {1} = sum _ {i = 1} ^ {m} {w ^ {i-1}} = { frac {1-w ^ {m}} {1-w}},$

подходит для больших значений .
$V_ {1} = 1 / (1-нед.)$

Константа затухания должна соответствовать фактическому снижению силы взаимодействия. Если это не может быть определено из теоретических соображений, то следующие свойства экспоненциально убывающих весов полезны для принятия подходящего выбора: на шаге вес приблизительно равен , площадь хвоста — значение , площадь головы . Хвостовая часть у шага есть . Если в первую очередь важны самые близкие наблюдения, а влияние остальных наблюдений можно безопасно игнорировать, тогда выбирайте так , чтобы площадь хвоста была достаточно маленькой.
$(1-нед) ^ {- 1}$ ${e ^ {- 1}} (1-w) = 0,39 (1-w)$ $e ^ {- 1}$ ${1-e ^ {- 1}} = 0,61$ $leq {e ^ {- n (1-w)}}$

Средневзвешенные функции

Понятие средневзвешенного значения можно распространить на функции. Средневзвешенные функции играют важную роль в системах взвешенного дифференциального и интегрального исчисления.

Смотрите также

В среднем
Главная тенденция
Иметь в виду
Среднеквадратичное отклонение
Сводные статистические данные
Весовая функция
Средневзвешенная стоимость капитала
Среднее геометрическое взвешенное
Взвешенное гармоническое среднее
Взвешенный метод наименьших квадратов
Взвешенная медиана
Взвешивание
Стандартная ошибка оценки доли при использовании взвешенных данных
Оценка отношения

использованная литература

дальнейшее чтение

Бевингтон, Филип Р. (1969). Обработка данных и анализ ошибок для физических наук . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. OCLC 300283069 .
Струтц, Т. (2010). Подгонка данных и неопределенность (практическое введение в метод взвешенных наименьших квадратов и другие аспекты) . Vieweg + Teubner. ISBN 978-3-8348-1022-9.

внешние ссылки

Дэвид Терр. «Средневзвешенное значение» . MathWorld .
Инструмент для расчета средневзвешенного значения

Источник

Представление результатов исследования

В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.

Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.

Ошибка среднего арифметического

Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.

Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.

Ошибка среднего арифметического обозначается как m или

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.

Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.

Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.

Правила записи результатов исследования

В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.

Представление результатов научных исследований

В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52

В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде: (М±m) (табл.1).

Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)

	Эффективный модуль упругости (Е), кПа	Эффективный модуль вязкости (V), Па с
Этап эксперимента	Рассл.	Напряж.	Рассл.	Напряж.
До ФН	7,0±0,3	17,1±1,4	29,7±1,7	46±4
После ФН	7,7±0,3	18,7±1,4	30,9±2,0	53±6

Литература

Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.

Источник

Вычисление средней арифметической взвешенной, среднего квадратического отклонения и средней ошибки средней арифметической

Определение достоверности средних величин при малой вы­борке

Достоверность разности средних величин и метод ее опреде­ления

Акселерация

Техника расчета средней арифметической «способом моментов»

Примеры

Базовый пример

Пример выпуклой комбинации

Математическое определение

Статистические свойства

Ожидание

Дисперсия

Простой случай с идентификатором

Перспектива выборочного обследования

Дисперсия взвешенной суммы ( pwr -стиматор итогов)

Дисперсия средневзвешенного значения ( π -стиматор отношения среднего)

Проверка загрузки

Оценщики на основе репликации

Прочие примечания

Случаи использования средневзвешенного значения

Веса дисперсии

Коррекция чрезмерной или недостаточной дисперсии

Взвешенная дисперсия выборки

Частотные веса

Весы надежности

Ковариация взвешенной выборки

Частотные веса

Весы надежности

Векторнозначные оценки

Учет корреляций

Снижение силы взаимодействия

Экспоненциально убывающие веса

Средневзвешенные функции

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Представление результатов исследования

Ошибка среднего арифметического

Правила записи результатов исследования

Представление результатов научных исследований

Литература

Определение достоверности средних величин при малой выборке

Достоверность разности средних величин и метод ее определения