Средняя ошибка выборки зависит от признака

Расхождения
между величиной какого-либо показателя,
найденного посредством статистического
наблюдения, и действительными его
размерами называются ошибками
наблюдения.В зависимости от
причин возникновения различают ошибки
регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки
регистрациивозникают в результате
неправильного установления фактов или
ошибочной записи в процессе наблюдения
или опроса. Они бывают случайными или
систематическими. Случайные ошибки
регистрации могут быть допущены как
опрашиваемыми в их ответах, так и
регистраторами. Систематические ошибки
могут быть и преднамеренными, и
непреднамеренными. Преднамеренные –
сознательные, тенденциозные искажения
действительного положения дела.
Непреднамеренные вызываются различными
случайными причинами (небрежность,
невнимательность).

Ошибки
репрезентативности(представительности)
возникают в результате неполного
обследования и в случае, если обследуемая
совокупность недостаточно полно
воспроизводит генеральную совокупность.
Они могут быть случайными и систематическими.
Случайные ошибки репрезентативности
– это отклонения, возникающие при
несплошном наблюдении из-за того, что
совокупность отобранных единиц наблюдения
(выборка) неполно воспроизводит всю
совокупность в целом. Систематические
ошибки репрезентативности – это
отклонения, возникающие вследствие
нарушения принципов случайного отбора
единиц. Ошибки репрезентативности
органически присущи выборочному
наблюдению и возникают в силу того, что
выборочная совокупность не полностью
воспроизводит генеральную. Избежать
ошибок репрезентативности нельзя,
однако, пользуясь методами теории
вероятностей, основанными на использовании
предельных теорем закона больших чисел,
эти ошибки можно свести к минимальным
значениям, границы которых устанавливаются
с достаточно большой точностью.

Ошибки
выборки –разность между
характеристиками выборочной и генеральной
совокупности. Для среднего значения
ошибка будет определяться по формуле

(7.1)

где

Величина
называетсяпредельной ошибкойвыборки.

Предельная
ошибка выборки – величина случайная.
Исследованию закономерностей случайных
ошибок выборки посвящены предельные
теоремы закона больших чисел. Наиболее
полно эти закономерности раскрыты в
теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.

Теорему П.
Л. Чебышева применительно к
рассматриваемому методу можно
сформулировать следующим образом: при
достаточно большом числе независимых
наблюдений можно с вероятностью, близкой
к единице (т. е. почти с достоверностью),
утверждать, что отклонение выборочной
средней от генеральной будет сколько
угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева
доказано, что величина ошибки не должна
превышать.
В свою очередь величина,
выражающая среднее квадратическое
отклонение выборочной средней от
генеральной средней, зависит от
колеблемости признака в генеральной
совокупностии числа отобранных единицn. Эта
зависимость выражается формулой

,
(7.2)

где
зависит также от способа производства
выборки.

Величину
=называютсредней ошибкой выборки. В
этом выражении– генеральная дисперсия,n– объем
выборочной совокупности.

Рассмотрим, как
влияет на величину средней ошибки число
отбираемых единиц n. Логически
нетрудно убедиться, что при отборе
большого числа единиц расхождения между
средними будут меньше, т. е. существует
обратная связь между средней ошибкой
выборки и числом отобранных единиц. При
этом здесь образуется не просто обратная
математическая зависимость, а такая
зависимость, которая показывает, что
квадрат расхождения между средними
обратно пропорционален числу отобранных
единиц.

Увеличение
колеблемости признака влечет за собой
увеличение среднего квадратического
отклонения, а следовательно, и ошибки.
Если предположить, что все единицы будут
иметь одинаковую величину признака, то
среднее квадратическое отклонение
станет равно нулю и ошибка выборки
также исчезнет. Тогда нет необходимости
применять выборку. Однако следует иметь
в виду, что величина колеблемости
признака в генеральной совокупности
неизвестна, поскольку неизвестны размеры
единиц в ней. Можно рассчитать лишь
колеблемость признака в выборочной
совокупности. Соотношение между
дисперсиями генеральной и выборочной
совокупности выражается формулой

Поскольку
величина
при достаточно большихnблизка к
единице, можно приближенно считать, что
выборочная дисперсия равна генеральной
дисперсии, т. е.

Следовательно,
средняя ошибка выборки показывает,
какие возможны отклонения характеристик
выборочной совокупности от соответствующих
характеристик генеральной совокупности.
Однако о величине этой ошибки можно
судить с определенной вероятностью. На
величину вероятности указывает множитель

Теорема А.
М. Ляпунова. А. М. Ляпунов доказал,
что распределение выборочных средних
(следовательно, и их отклонений от
генеральной средней) при достаточно
большом числе независимых наблюдений
приближенно нормально при условии, что
генеральная совокупность обладает
конечной средней и ограниченной
дисперсией.

Математически
теорему Ляпуноваможно записать
так:

(7.3)

где

,
(7.4)

где – математическая постоянная;

–предельная ошибка выборки,которая дает возможность выяснить, в
каких пределах находится величина
генеральной средней.

Значения этого
интеграла для различных значений
коэффициента доверия tвычислены и
приводятся в специальных математических
таблицах. В частности, при:

Поскольку tуказывает на вероятность расхождения,
т. е. на вероятность того, на какую
величину генеральная средняя будет
отличаться от выборочной средней, то
это может быть прочитано так: с вероятностью
0,683 можно утверждать, что разность между
выборочной и генеральной средними не
превышает одной величины средней ошибки
выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев
ошибка репрезентативности не выйдет
за пределыС вероятностью 0,954 можно утверждать,
что ошибка репрезентативности не
превышает(т. е. в 95 % случаев). С вероятностью
0,997, т. е. довольно близкой к единице,
можно ожидать, что разность между
выборочной и генеральной средней не
превзойдет трехкратной средней ошибки
выборки и т. д.

Логически связь
здесь выглядит довольно ясно: чем больше
пределы, в которых допускается
возможная ошибка, тем с большей
вероятностью судят о ее величине.

Зная выборочную
среднюю величину признака
и предельную ошибку выборки,
можно определить границы (пределы),
в которых заключена генеральная
средняя

(7.5)

1.
Собственно-случайная выборка–
этот способ ориентирован на выборку
единиц из генеральной совокупности без
всякого расчленения на части или группы.
При этом для соблюдения основного
принципа выборки – равной возможности
всем единицам генеральной совокупности
быть отобранным – используются схема
случайного извлечения единиц путем
жеребьевки (лотереи) или таблицы случайных
чисел. Возможен повторный и бесповторный
отбор единиц

Средняя ошибка
собственно-случайной выборки
представляет собой среднеквадратическое
отклонение возможных значений выборочной
средней от генеральной средней. Средние
ошибки выборки при собственно-случайном
методе отбора представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Средняя ошибка выборки μ	При отборе
повторном	бесповторном
Для средней
Для доли

В таблице
использованы следующие обозначения:

– дисперсия выборочной совокупности;

– численность выборки;

– численность генеральной совокупности;

– выборочная доля единиц, обладающих
изучаемым признаком;

– число единиц, обладающих изучаемым
признаком;

– численность выборки.

Для увеличения
точности вместо множителя
следует
брать множитель
,
но при большой численностиNразличие
между этими выражениями практического
значения не имеет.

Предельная
ошибка собственно-случайной выборки
рассчитывается по формуле

,
(7.6)

где t
– коэффициент доверия зависит от
значения вероятности.

Пример.При
обследовании ста образцов изделий,
отобранных из партии в случайном порядке,
20 оказалось нестандартными. С вероятностью
0,954 определите пределы, в которых
находится доля нестандартной продукции
в партии.

Решение.
Вычислим генеральную долю (Р):
.

Доля нестандартной
продукции:
.

Предельная
ошибка выборочной доли с вероятностью
0,954 рассчитывается по формуле (7.6) с
применением формулы табл. 7.2 для доли:

С вероятностью
0,954 можно утверждать, что доля нестандартной
продукции в партии товара находится в
пределах 12 % ≤ P≤ 28 %.

В практике
проектирования выборочного наблюдения
возникает потребность определения
численности выборки, которая необходима
для обеспечения определенной точности
расчета генеральных средних. Предельная
ошибка выборки и ее вероятность при
этом являются заданными. Из формулы
и формул средних ошибок выборки
устанавливается необходимая численность
выборки. Формулы для определения
численности выборки (n) зависят от
способа отбора. Расчет численности
выборки для собственно-случайной выборки
приведен в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Предполагаемый отбор	Формулы
для средней	для доли
Повторный
Бесповторный

2.
Механическая выборка– при этом
методе исходят из учета некоторых
особенностей расположения объектов в
генеральной совокупности, их упорядоченности
(по списку, номеру, алфавиту). Механическая
выборка осуществляется путем отбора
отдельных объектов генеральной
совокупности через определенный интервал
(каждый 10-й или 20-й). Интервал рассчитывается
по отношению,
гдеn– численность выборки,N–
численность генеральной совокупности.
Так, если из совокупности в 500 000 единиц
предполагается получить 2 %-ную выборку,
т. е. отобрать 10 000
единиц, то пропорция отбора составитОтбор
единиц осуществляется в соответствии
с установленной пропорцией через равные
интервалы. Если расположение объектов
в генеральной совокупности носит
случайный характер, то механическая
выборка по содержанию аналогична
случайному отбору. При механическом
отборе применяется только бесповторная
выборка [1, 5–10].

Средняя ошибка
и численность выборки при механическом
отборе подсчитывается по формулам
собственно-случайной выборки (см.
табл. 7.2 и 7.3).

3.
Типическая выборка, при котрой
генеральная совокупность делится по
некоторым существенным признакам на
типические группы; отбор единиц
производится из типических групп. При
этом способе отбора генеральная
совокупность расчленяется на однородные
в некотором отношении группы, которые
имеют свои характеристики, и вопрос
сводится к определению объема выборок
из каждой группы. Может бытьравномерная
выборка– при этом способе из каждой
типической группы отбирается одинаковое
число единицТакой подход оправдан лишь при равенстве
численностей исходных типических групп.
При типическом отборе, непропорциональном
объему групп, общее число отбираемых
единиц делится на число типических
групп, полученная величина дает
численность отбора из каждой типической
группы.

Более совершенной
формой отбора является пропорциональная
выборка. Пропорциональной называется
такая схема формирования выборочной
совокупности, когда численность выборок,
взятых из каждой типической группы в
генеральной совокупности, пропорциональна
численностям, дисперсиям (или комбинированно
и численностям, и дисперсиям). Условно
определяем численность выборки в 100
единиц и отбираем единицы из групп:

– пропорционально
численности их генеральной совокупности
(табл. 7.4). В таблице
обозначено:

N_i– численность типической группы;

d_j
– доля (N_i/N);

N– численность
генеральной совокупности;

n_i– численность выборки из типической
группы вычисляется:

, (7.7)

n – численность выборки из генеральной
совокупности.

Таблица
7.4

Группы	Ni	dj	ni
1	300	0,3	30
2	500	0,5	50
3	200	0,2	20
	1000	1,0	100

–
пропорционально среднему квадратическому
отклонению(табл. 7.5).

здесь
_i– среднее
квадратическое отклонение типических
групп;

n_i
– численность выборки из типической
группы вычисляется по формуле

(7.8)

Таблица
7.5

Ni	i		ni
300	5	0,25	25
500	7	0,35	35
200	8	0,40	40
1000	20	1,0	100

–
комбинированно (табл. 7.6).

Численность
выборки вычисляется по формуле

. (7.9)

Таблица 7.6

	i	iNi
300	5	1500	0,23	23
500	7	2100	0,53	53
200	8	1600	0.24	24
1000	20	6600	1,0	100

При проведении
типической выборки непосредственный
отбор из каждой группы проводится
методом случайного отбора.

Средние ошибки
выборки рассчитываются по формулам
табл. 7.7 в зависимости от способа отбора
из типических групп.

Таблица 7.7

Способ отбора	Повторный	Бесповторный
для средней	для доли	для средней	для доли
Непропорциональный объему групп
Пропорциональный объему групп
Пропорциональный колеблемости в группах (является наивыгоднейшим)

здесь
– средняя из внутригрупповых дисперсий
типических групп;

– доля единиц, обладающих изучаемым
признаком;

– средняя из внутригрупповых дисперсий
для доли;

– среднее квадратическое отклонение
в выборке изi-й типической группы;

– объем выборки из типической группы;

– общий объем выборки;

–
объем типической группы;

– объем генеральной совокупности.

Численность
выборки из каждой типической группы
должна быть пропорциональна среднему
квадратическому отклонению в этой
группе
.Расчет численности
производится по формулам, приведенным
в табл. 7.8.

Таблица 7.8

	Повторный	Бесповторный
Для определения средней
Для определения доли

4. Серийная
выборка– удобена в тех случаях,
когда единицы совокупности объединены
в небольшие группы или серии. При серийной
выборке генеральную совокупность делят
на одинаковые по объему группы – серии.
В выборочную совокупность отбираются
серии. Сущность серийной выборки
заключается в случайном или механическом
отборе серий, внутри которых производится
сплошное обследование единиц. Средняя
ошибка серийной выборки с равновеликими
сериями зависит от величины только
межгрупповой дисперсии. Средние ошибки
сведены в табл. 7.9.

Таблица 7.9

Способ отбора серии	Формулы
для средней	для доли
Повторный
Бесповторный

Здесь
R– число серий в генеральной
совокупности;

r – число
отобранных серий;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия
средних;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия
доли.

При серийном
отборе необходимую численность отбираемых
серий определяют так же, как и при
собственно-случайном методе отбора.

Расчет численности
серийной выборки производится по
формулам, приведенным в табл. 7.10.

Таблица 7.10

	Повторный	Бесповторный
Для определения среднего признака
Для определения доли

Пример.В
механическом цехе завода в десяти
бригадах работает 100 рабочих. В целях
изучения квалификации рабочих была
произведена 20 %-ная серийная бесповторная
выборка, в которую вошли две бригады.
Получено следующее распределение
обследованных рабочих по разрядам:

Рабочие	Разряды рабочих в бригаде 1	Разряды рабочих в бригаде 2	Рабочие	Разряды рабочих в бригаде 1	Разряды рабочих в бригаде 2
1 2 3 4 5	2 4 5 2 5	3 6 1 5 3	6 7 8 9 10	6 5 8 4 5	4 2 1 3 2

Необходимо
определить с вероятностью 0,997 пределы,
в которых находится средний разряд
рабочих механического цеха.

Решение.
Определим выборочные средние по
бригадам и общую среднюю как среднюю
взвешенную из групповых средних:

Определим
межсерийную дисперсию по формулам
(5.25):

Рассчитаем
среднюю ошибку выборки по формуле табл.
7.9:

Вычислим
предельную ошибку выборки с вероятностью
0,997:

С вероятностью
0,997 можно утверждать, что средний разряд
рабочих механического цеха находится
в пределах

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Средние ошибки повторной и бесповторной выборки

Средняя ошибка выборки

Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями, которое не превышает ±б (дельта).

На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе в контрольных работах по статистике рассчитывается по формуле (для среднего количественного признака):

где числитель — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — численность выборочной совокупности.

Для альтернативного признака формула средней ошибки выборки для доли по теореме Я. Бернулли рассчитывается по формуле:

где р(1- р) — дисперсия доли признака в генеральной совокупности;
n — объем выборки.

Вследствие, того что дисперсия признака в генеральной совокупности точно не известна, на практике используют значение дисперсии, которое рассчитано для выборочной совокупности на основании закона больших чисел. Согласно данному закону выборочная совокупность при большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Поэтому расчетные формулы средней ошибки при случайном повторном отборе будут выглядеть таким образом:

1. Для среднего количественного признака:

где S^2 — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где w (1 — w) — дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности.

В теории вероятностей было показано, что генеральная дисперсия выражается через выборочную согласно формуле:

В случаях малой выборки, когда её объем меньше 30, необходимо учитывать коэффициент n/(n-1). Тогда среднюю ошибку малой выборки рассчитывают по формуле:

Так как в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности, то в представленных выше формулах расчета средних ошибок выборки нужно подкоренное выражение умножить на 1- (n/N).

Расчетные формулы для такого вида выборки будут выглядеть так:

1. Для средней количественного признака:

где N — объем генеральной совокупности; n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где 1- (n/N) — доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку n всегда меньше N, то дополнительный множитель 1 — (n/N) всегда будет меньше единицы. Это означает, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. Когда доля единиц генеральной совокупности, которые не попали в выборку, существенная, то величина 1 — (n/N) близка к единице и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле.

Средняя ошибка зависит от следующих факторов:

1. При выполнении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется во-первых объемом выборки: чем больше численность, тем меньше величины средней ошибки выборки. Генеральная совокупность характеризуется точнее тогда, когда больше единиц данной совокупности охватывает выборочное наблюдение

2. Средняя ошибка также зависит от степени варьирования признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией. Чем меньше вариация признака (дисперсия), тем меньше средняя ошибка выборки. При нулевой дисперсии (признак не варьируется) средняя ошибка выборки равна нулю, таким образом, любая единица генеральной совокупности будет характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

3. Ошибки выборки

Каждая единица при выборочном наблюдении должна иметь равную с другими возможность быть отобранной – это является основой собственнослучайной выборки.

Собственнослучайная выборка – это отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьевки или другим подобным способом.

Принципом случайности является то, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять любой фактор, кроме случая.

Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

Собственнослучайный отбор в чистом виде является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного статистического наблюдения.

Два основных вида обобщающих показателей, которые используют в выборочном методе – это средняя величина количественного признака и относительная величина альтернативного признака.

Выборочная доля (w), или частность, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности (n):

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки, ее еще называют ошибкой репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

1) для средней количественного признака:

?х =|х – х|;

2) для доли (альтернативного признака):

?w =|х – p|.

Только выборочным наблюдениям присуща ошибка выборки

Выборочная средняя и выборочная доля – это случайные величины, принимающие различные значения в зависимости от единиц изучаемой статистической совокупности, которые попали в выборку. Соответственно ошибки выборки – тоже случайные величины и также могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.

Средняя ошибка выборки определяется объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки зависит от степени варьирования изучаемого признака, в свою очередь степень варьирования характеризуется дисперсией ?² или w(l – w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот.

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

1) для средней количественного признака:

где ?² – средняя величина дисперсии количественного признака.

2) для доли (альтернативного признака):

Так как дисперсия признака в генеральной совокупности ?² точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии S² , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе следующие. Для средней величины количественного признака: генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

где S² – значение дисперсии.

Механическая выборка – это отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, которая разбита по нейтральному признаку на равные группы; производится так, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

При механическом отборе единицы изучаемой статистической совокупности предварительно располагают в определенном порядке, после чего отбирают заданное число единиц механически через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственнослучайному Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственнослучайной бесповторной выборки.

Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка, используется, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели.

Затем из каждой типической группы собственнослучайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей.

Типическая выборка дает более точные результаты. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Поэтому при определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности равновеликих групп для того, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.