Стандартная ошибка среднего интерпретация

© Г. П. Тихова, 2013 УДК 616-07-092.41.9

Значение и интерпретация ошибки среднего в клиническом исследовании и эксперименте

Г. П. Тихова

ООО «ИнтелТекЛаб», Петрозаводск

Importance and interpretation of standard error of mean in clinical study and trial

G. P. Tikhova

IntelTeck Lab Ltd, Petrozavodsk

В статье рассмотрен содержательный смысл и различие между стандартной ошибкой среднего и среднеквадратическим отклонением, изложены факторы, влияющие на величину этих статистических параметров. Ключевые слова: обработка клинических данных, ошибка среднего, стандартное отклонение.

This paper highlighted the meaning and difference between standard error of mean and standard deviation as well as describes the factors that affect the values of this statistical parameters. Key words: clinical data processing, standard error of mean, standard deviation.

Прежде чем погрузиться в тонкости различных методов статистической обработки данных, зададимся вопросом: что мы собственно считаем с их помощью? Как рассчитанные на нашей выборке статистические параметры связаны с описанием исследуемой нами популяции?

Для примера рассмотрим числовую случайную величину с нормальным законом распределения -ударный объем у здоровых беременных женщин со сроком гестации не менее 30 недель.

Итак, во-первых, мы четко определяем интересующую нас популяцию — здоровые беременные женщины со сроком гестации 30 недель и более. Представим мысленно, что мы можем измерить ударный объем у всех без исключения членов этой популяции. (Конечно, на самом деле это сделать нереально!) Регистрируем ударный объем у 1-й беременной и получаем, допустим, 60 мл, затем у 2-й — 55 мл, у 3-й — 78 мл и т. д. В конечном итоге мы получаем бесконечное множество реализаций случайной величины под названием ударный объем. Можем ли мы посчитать среднее значение всех полученных измерений? Конечно, можем. Что же это будет за величина? Это будет точное среднее значение ударного объема, присущее популяции беременных со сроком от 30 недель и более. Подчеркну, именно точное среднее значение, без всякой ошибки, потому что по условию нашего мысленного эксперимента мы измерили ударный объем у всех без исключения членов популяции. Поскольку мы перебрали всех членов популяции, то откуда же взяться ошибке? Мы

не оставили никакой неопределенности, включив в расчет всю популяцию, поэтому и смогли посчитать точное среднее значение без всякой ошибки. Но из этого следует, что в рассматриваемой популяции среднее значение — это объективная реальность, а не придуманная математиками величина. Причем это среднее значение равно вполне конкретному числу, присущему именно этой популяции. В другой популяции оно, вообще говоря, может быть другим, и если это так, то по показателю ударного объема эти две популяции различаются, и данный показатель может служить признаком отличия этих популяций друг от друга. Точно также, имея полученные измерения, мы можем подсчитать точное значение стандартного отклонения ударного объема в этой популяции. Это же касается и медианы, и моды, и всех остальных статистик, которые обычно рассчитываются для числовой случайной величины. Что же получается? Все эти интегральные параметры случайной величины -не искусственное изобретение, а вполне реальные свойства, имеющие точные значения в конкретной популяции. Можно сказать, точные значения этих параметров определяются особенностями конкретной популяции и в свою очередь характеризуют ее, как отличительные признаки, присущие только ей. Когда мы проводим реальное исследование, то вынуждены довольствоваться выборкой, т. е. лишь частью (и, как правило, далеко не большей частью) интересующей нас популяции. Однако мы все-таки рассчитываем и среднее значение, и стандартное отклонение, и другие статистики в условиях,

когда подавляющее большинство членов популяции оказываются за рамками нашего исследования. Что же мы делаем и что получаем в итоге? Поскольку мы включаем в наш расчет лишь часть популяции, привносим некоторую неопределенность, неточность в расчет среднего и других статистик и в итоге получаем не точные значения, а лишь ОЦЕНКИ этих параметров. Такие оценки называют выборочными оценками, потому что они рассчитаны по конкретной выборке и в некоторой степени зависят от ее особенностей. Если мы повторим исследование, наберем другую выборку из этой же популяции, и снова рассчитаем среднее, то это новое рассчитанное значение, скорее всего, будет отличаться от первого, хотя, по сути, мы рассчитали то же самое. Почему нам следуем ожидать этого несовпадения? Потому что на выборке мы получаем лишь оценку точного значения, а не само популяционное значение статистики, и эта оценка, полученная на выборке, всегда, подчеркну, всегда без исключения имеет ошибку. Ошибка эта называется статистической, потому что она обусловлена случайными факторами. В отличие от коварной и вредоносной ошибки смещения, статистическая ошибка, можно сказать, безобидна, т. к. ее всегда можно рассчитать и сделать на нее поправку. Она всегда явная и точно известна по величине. Но если ошибки смещения можно попытаться избежать, то статистическая ошибка — это неотъемлемая часть выборочной оценки. При расчете любого параметра на выборке, статистическая ошибка будет иметь место и от нее никуда не деться.

Таким образом, рассчитывая на нашей выборке среднее значение, стандартное отклонение и другие параметры числовой случайной величины, мы на самом деле проводим оценивание их реальных точных значений в популяции, из которой эта выборка была взята. Оценка, как мы уже упоминали, может быть более или менее точной, но необходимо смириться с тем, что на выборке мы никогда не получим абсолютно точной величины, которая имеет место в данной исследуемой популяции. А это значит, что, вообще говоря, каждую рассчитанную на выборке статистику мы должны сопровождать ее ошибкой, чтобы можно было понять, с какой точностью оценен тот или иной параметр. На практике однако принято указывать ошибки не всех рассчитываемых статистических параметров, а лишь наиболее важных для сравнения выборок. Так, например, как правило, указывают ошибку среднего. О ней и поговорим поподробнее.

Поскольку ошибка среднего рассчитывается по очень простой формуле непосредственно из стандартного отклонения, то ее часто путают с этим последним. В научных статьях принято

указывать рядом со средним значением либо ошибку среднего, либо стандартное отклонение, но это только потому, что, зная одно, мы легко можем вычислить другое при известном объеме выборки. Из этого однако не следует, что ошибка среднего и стандартное отклонение — это одно и то же. Указанные два параметра описывают совершенно разные свойства исследуемого показателя. Ошибка среднего характеризует точность выборочной оценки среднего значения исследуемого показателя в заданной популяции и зависит от вариабельности, объективно присущей этому показателю в условиях данной популяции, и репрезентативности выборки:

— чем чище и больше наша выборка, тем меньше ошибка;

— чем меньше вариабельность исследуемого показателя, тем меньше ошибка.

Иными словами, ошибка среднего дает нам понять, насколько сильно мы отклоняемся в своих расчетах от точного значения среднего в популяции. Если бы наши расчеты охватили всю заданную популяцию, то ошибка среднего была бы равна нулю, т. е. отсутствовала бы полностью.

Что касается стандартного отклонения, то по своему смыслу к точности оценки среднего оно не имеет никакого отношения. Как мы уже разобрали ранее, стандартное отклонение характеризует объективно существующую вариабельность исследуемого показателя, и поскольку мы здесь обсуждаем только случайные величины с нормальным вероятностным распределением, эта статистика не может обращаться в ноль ни при каких обстоятельствах, даже в случае охвата всей популяции. Стандартное отклонение, рассчитанное по выборке, само является приближенной оценкой точного популяционного значения стандартного отклонения и, соответственно, тоже имеет статистическую ошибку, величина которой определяется теми же условиями, что и ошибка среднего. Просто эту ошибку, как правило, не указывают. В критериях сравнения она не играет такой важной роли, как ошибка среднего.

Таким образом, стандартное отклонение характеризует объективную природу данных, с которыми мы имеем дело в исследовании, а ошибка среднего отражает точность и адекватность нашего исследования и полученных результатов. С увеличением объема выборки ошибка среднего стремится к нулю, а стандартное отклонение -к определенному числу, являющемуся точным значением стандартного отклонения этого показателя в популяции.

Иными словами, стандартное отклонение определяется объективной природой исследуемых данных, а ошибка среднего зависит:

— от объективной природы данных (исследуемой случайной величины), а именно ее вариабельности, выражаемой в стандартном отклонении;

— субъективной особенности конкретного исследования — объема выборки.

Мы очень подробно рассмотрели выборочную оценку среднего и его ошибку, но другие статистики, рассчитанные на выборке, также обладают некоторой статистической ошибкой в силу тех же причин, что и выборочное среднее значение. Из этого следует, что, указывая полученное в ходе расчетов значение статистического параметра, мы должны указать и его статистическую ошибку. Все в точности так же, как это принято для выборочного среднего значения. Это касается всех рассчитываемых статистик независимо от типа исследуемого показателя. По популярности расчета следом за средним значением идет оценка частот или долей для качественных, а иногда и порядковых показателей, поэтому на одном таком примере мы и рассмотрим, как правильно описывать такие результаты.

В исследовании, посвященном спинальной анестезии у беременных, необходимо было определить долю различных вариантов интраоперацион-ной тошноты и рвоты (ИОТР), а именно:

— сколько процентов пациенток не имели никаких осложнений,

— у какой доли беременных отмечалась гипотония во время операции,

— сколько процентов пациенток жаловались на тошноту,

— у какой доли наблюдаемых развилась интра-операционная рвота.

Исследуемая популяция определена как беременные со сроком гестации более 35 недель (беременность без патологий), спинальная анестезия проводилась по поводу планового кесарева сечения. Понятно, что в этой популяции мы исследуем качественный признак ИОТР, который является случайной величиной, принимающей в каждом конкретном случае одно из перечисленных значений, и во всей популяции доля каждого из вариантов вполне определена и имеет точное значение. Всю популяцию мы охватить в своем исследовании не можем, поэтому довольствуемся выборкой и, следовательно, полученные процентные доли (или частоты осложнений) будут лишь оценками точных популяционных величин. Что из этого следует? То, что все полученные числа, выборочные значения долей, будут иметь статистические ошибки, которые мы также должны рассчитать

и указать. В качестве примера приведена табл., взятая из работы А. М. Погодина и Е. М. Шифмана, напечатанной в 1-м номере нашего журнала за 2009 г. [1].

Частота эпизодов ИОТР в исследуемых группах

Группа* Частота ИОТР (доля ± ошибка доли, %)

I (n = 35) 17,1 ± 2,4

II (n = 33) 18,2 ± 2,6

III (n = 36) 11,1 ± 1,6

Всего (n = 104) 15,4 ± 1,3

* Стратификация пациентов на 3 группы производилась в соответствии с антиэметиком, применявшимся в составе премедикации.

Если мы выделим из той же популяции выборку большего объема, то выборочные значения долей у нас буду ближе к реальным, а ошибки — меньше. Независимо от того, что и на каких данных вы считаете, поведение всех расчетных статистических параметров будет одинаково:

— если параметр отражает объективную реальность, то его выборочные оценки с увеличением объема выборки будут приближаться к конкретным числам — точным значениям в популяции;

— если параметр характеризует точность и адекватность исследования, то с увеличением объема выборки его значение будет неуклонно уменьшаться и стремиться к нулю.

Все статистические ошибки с ростом объема выборки снижаются и стремятся к нулю.

Процентные доли не являются исключением, поэтому при указании результатов в процентных долях необходимо записывать полученное выборочное значение с его статистической ошибкой (ошибкой доли), поскольку сравнение долей требует такой же математической строгости, как и сравнение средних значений. Нельзя утверждать, что одна доля больше другой лишь на том основании, что мы получили два числа, одно больше другого. Их разность может укладываться в статистическую ошибку одного из них (или обоих) и они могут быть просто неточными, приближенными, оценками одного и того же точного попу-ляционного значения. Например, в приведенной табл. в группе I частота ИОТР составила 17,1%, а в группе II — 18,2%, однако мы не можем утверждать, что в I группе частота меньше, чем во II, поскольку ошибки этих долей покрывают оба этих значения, указывая на то, что они с точки зрения статистики равны, а их различие — просто случайная неточность оценки, которую привносит данная, не очень большая, выборка и природная вариабельность данных.

Вопросы, которые мы здесь разобрали, порой кажутся второстепенными и мелкими, но на самом деле они требуют пристального внимания

исследователя при интерпретации результатов, полученных в ходе статистической обработки клинических данных. Глубокое понимание природы и источников статистической ошибки, а также строгий контроль ее величины позволят избежать неправомерных выводов: обнаружить эффект там, где его нет, или влияние фактора, когда в реальности оно отсутствует.

Литература

1. Погодин А. М., Шифман Е. М. Профилактика тошноты и рвоты при спинномозговой анестезии во время операции кесарева сечения // Регионарная анестезия и лечения острой боли. 2009; 1: 11-14.

Что такое Стандартная ошибка?

Стандартная ошибка (SE) статистики – это приблизительное стандартное отклонение статистической выборки. Стандартная ошибка – это статистический термин, который измеряет точность, с которой выборочное распределение представляет генеральную совокупность с помощью стандартного отклонения. В статистике выборочное среднее отклоняется от фактического среднего для генеральной совокупности; это отклонение представляет собой стандартную ошибку среднего.

Понимание стандартной ошибки

Термин «стандартная ошибка» используется для обозначения стандартного отклонения различных статистических данных выборки, таких как среднее или медианное значение. Например, «стандартная ошибка среднего» относится к стандартному отклонению распределения выборочных средних, взятых из генеральной совокупности. Чем меньше стандартная ошибка, тем более репрезентативной будет выборка для генеральной совокупности.

Связь между стандартной ошибкой и стандартным отклонением такова, что для данного размера выборки стандартная ошибка равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень из размера выборки. Стандартная ошибка также обратно пропорциональна размеру выборки; Чем больше размер выборки, тем меньше стандартная ошибка, поскольку статистика приближается к фактическому значению.

Стандартная ошибка считается частью выводимой статистики. Он представляет собой стандартное отклонение среднего значения в наборе данных. Это служит мерой вариации случайных величин, обеспечивая измерение спреда. Чем меньше разброс, тем точнее набор данных.

Требования к стандартной ошибке 

Когда производится выборка из генеральной совокупности , обычно рассчитывается среднее или среднее значение. Стандартная ошибка может включать разброс между вычисленным средним для генеральной совокупности и тем, которое считается известным или принимаемым как точное. Это помогает компенсировать любые случайные неточности, связанные со сбором пробы.

В случаях, когда собирается несколько образцов, среднее значение каждой выборки может незначительно отличаться от других, создавая разброс между переменными. Этот разброс чаще всего измеряется как стандартная ошибка, учитывающая различия между средними значениями в наборах данных.

Чем больше точек данных участвует в расчетах среднего, тем меньше стандартная ошибка. Когда стандартная ошибка мала, данные считаются более репрезентативными для истинного среднего значения. В случаях, когда стандартная ошибка велика, данные могут иметь некоторые заметные отклонения.

Стандартное отклонение – это представление разброса каждой точки данных. Стандартное отклонение используется для определения достоверности данных на основе количества точек данных, отображаемых на каждом уровне стандартного отклонения. Стандартные ошибки больше служат способом определения точности образца или точности нескольких образцов путем анализа отклонения в пределах средних.

(note that I’m focusing on standard error of the mean, which I believe the questioner was as well, but you can generate a standard error for any sample statistic)

The standard error is related to the standard deviation but they are not the same thing and increasing sample size does not make them closer together. Rather, it makes them farther apart. The standard deviation of the sample becomes closer to the population standard deviation as sample size increases but not the standard error.

Sometimes the terminology around this is a bit thick to get through.

When you gather a sample and calculate the standard deviation of that sample, as the sample grows in size the estimate of the standard deviation gets more and more accurate. It seems from your question that was what you were thinking about. But also consider that the mean of the sample tends to be closer to the population mean on average. That’s critical for understanding the standard error.

The standard error is about what would happen if you got multiple samples of a given size. If you take a sample of 10 you can get some estimate of the mean. Then you take another sample of 10 and new mean estimate, and so on. The standard deviation of the means of those samples is the standard error. Given that you posed your question you can probably see now that if the N is high then the standard error is smaller because the means of samples will be less likely to deviate much from the true value.

To some that sounds kind of miraculous given that you’ve calculated this from one sample. So, what you could do is bootstrap a standard error through simulation to demonstrate the relationship. In R that would look like:

# the size of a sample
n <- 10
# set true mean and standard deviation values
m <- 50
s <- 100

# now generate lots and lots of samples with mean m and standard deviation s
# and get the means of those samples. Save them in y.
y <- replicate( 10000, mean( rnorm(n, m, s) ) )
# standard deviation of those means
sd(y)
# calcuation of theoretical standard error
s / sqrt(n)

You’ll find that those last two commands generate the same number (approximately). You can vary the n, m, and s values and they’ll always come out pretty close to each other.

(note that I’m focusing on standard error of the mean, which I believe the questioner was as well, but you can generate a standard error for any sample statistic)

The standard error is related to the standard deviation but they are not the same thing and increasing sample size does not make them closer together. Rather, it makes them farther apart. The standard deviation of the sample becomes closer to the population standard deviation as sample size increases but not the standard error.

Sometimes the terminology around this is a bit thick to get through.

When you gather a sample and calculate the standard deviation of that sample, as the sample grows in size the estimate of the standard deviation gets more and more accurate. It seems from your question that was what you were thinking about. But also consider that the mean of the sample tends to be closer to the population mean on average. That’s critical for understanding the standard error.

The standard error is about what would happen if you got multiple samples of a given size. If you take a sample of 10 you can get some estimate of the mean. Then you take another sample of 10 and new mean estimate, and so on. The standard deviation of the means of those samples is the standard error. Given that you posed your question you can probably see now that if the N is high then the standard error is smaller because the means of samples will be less likely to deviate much from the true value.

To some that sounds kind of miraculous given that you’ve calculated this from one sample. So, what you could do is bootstrap a standard error through simulation to demonstrate the relationship. In R that would look like:

# the size of a sample
n <- 10
# set true mean and standard deviation values
m <- 50
s <- 100

# now generate lots and lots of samples with mean m and standard deviation s
# and get the means of those samples. Save them in y.
y <- replicate( 10000, mean( rnorm(n, m, s) ) )
# standard deviation of those means
sd(y)
# calcuation of theoretical standard error
s / sqrt(n)

You’ll find that those last two commands generate the same number (approximately). You can vary the n, m, and s values and they’ll always come out pretty close to each other.

2.1. Стандартное отклонение среднего выборочного значения (ошибка среднего) и доверительный интервал

Результаты измерений обычно показывают с так называемой «средней статистической ошибкой средней величины» и для нашего случая (см. табл. 1.1) это будет запись: «высота сеянцев в опыте составила 5,0 ± 0,28 см». Словосочетание «средняя статистическая ошибка» обычно сокращают до названия «ошибка среднего» или просто «ошибка», обозначают буквой m и определяют по очень простой формуле. Для итогов упомянутой таблицы, где расчеты по 25 высотам дали значение δ = 1,42 см, эта ошибка составит:

(2.1)

Если объем выборки взять 100 шт., то ошибка снизится в 2 раза: а если увеличить до 10000 шт., то в 10 раз, до 0,014 см.

Рассмотрим эту «среднюю статистическую ошибку» (далее просто ошибка) подробно, так как именно в ней скрыто понимание того, что называют статистическим мышлением. Интуитивно мы понимаем, что малая выборка дает большую ошибку, т.е. неточное определение среднего значения. Последний термин настолько привычен, что мы даже не задумываемся о том, что его правильное и полное название «среднее выборочное значение», т.е. среднее, определяемое в некоторой выборке. И выборки могут быть очень разные по численности. Начнем с самых малых. Например, что произойдет с ошибкой, если объем выборки сократить до 2 измерений? Такие выборки бывают, например, в почвенных исследованиях, когда каждое измерение достается дорогой ценой. Для этого вернемся к рис. 1.1. На нем стандартное отклонение ±δ, которое отражает разброс значений вокруг среднего в левую и правую сторону в виде холма, наблюдается при объеме выборки 1 шт. В этом случае ошибка среднего выборочного значения будет равна стандартному отклонению: m = δ = 1,42. С увеличением N ошибка уменьшается:

при объеме выборки N = 2 ошибка будет

при объеме выборки N = 4 ошибка будет

при объеме выборки N = 16 ошибка будет

Важно понять, что ряд распределения частот этих выборочных средних будет постепенно как бы съеживаться и приближаться к центру, где находится так называемое «генеральное» среднее. Поясним, что в математике генеральное среднее значение называется математическим ожиданием и его обозначают буквой «М». Например, это может быть средняя высота, рассчитанная по всем измеренным в теплице сеянцам, или среднее число семян в 1 шишке у дерева после подсчета семян во всех собранных с дерева шишках (50, 100, 500 и т.д., т.е. весьма небольшая генеральная совокупность). Распределение частот значений выборочных средних, которых может быть множество, будет иметь форму такого же холма, как и распределение единичных значений на рис. 1.1. При этом, если выборка будет из 1 шт., то холм будет в точности таким же, но при выборках из 2 шт. его форма съежится в  = в 1,41 раза; при выборках из 4 шт. –
в  = в 2 раза; при выборках из 9 шт. – в  = в 3 раза и т.д.

Для этих сокращающихся рядов распределения выборочных средних можно рассчитать свое, особое стандартное отклонение. Вероятно, чтобы не путать его со СТАНДОТКЛ, его стали называть по-другому, т.е. «средней статистической ошибкой средней величины». Чем больше по объему выборки, тем короче ряд распределения средних значений этих выборок с его «хвостами» в левую и правую сторону, и тем меньше величина этого особого стандартного отклонения. Закон распределения частот выборочных средних точно такой же, и имеет те же свойства: в пределах ±2m находится 95 % всех значений выборочных средних, в пределах ±3m – 99,5 %, а в пределах ±4m находится 100 % всех значений xср. Форма этого распределения меняется от пологой при малых выборках до очень крутой, вплоть до «схлопывания» в центре при выборках большого объема, когда ошибка среднего стремится к нулю.

Здесь следует пояснить, что, на наш взгляд, словосочетание «средняя статистическая ошибка средней величины», сокращаемое до «ошибки среднего значения» или просто до «ошибки», вводит нас в некоторое заблуждение, так как мы привыкли со школы, что ошибки надобно исправлять. Более правильным, вместо слов «ошибка среднего значения», будет использование слов «стандартное отклонение выборочных средних значений от генерального среднего». Не случайно математики выбрали для обозначения величины этого отклонения букву «m», а для обозначения генерального среднего (математического ожидания) – букву «М». Слова для объяснения этих сложных явлений могут быть разными, но и у математиков, и у биологов есть единодушие в понимании статистического смысла, лежащего за этими буквенными символами. Вообще, лучше было бы ввести некий иной термин вместо слов «ошибка» или «отклонение», так как они изначально имеют в нашем сознании иной смысл; на наш взгляд, более всего подходит слово «скачок» (чем сильнее отскакивает выборочное среднее от генерального среднего, тем реже оно встречается). Но так уж получилось, что не нашлось нейтрального (иностранного) слова, и слово «ошибка» традиционно используют, и мы также будем его использовать; важно понимать его иной, чем в обыденном употреблении, математический и статистический смысл.

Для самого точного определения средней высоты сеянцев нужно измерять все растения в питомнике, и тогда мы получим «генеральное среднее значение». Но так не делают, а измеряют несколько сотен растений в разных местах и этого бывает достаточно для определения среднего выборочного значения с приемлемой точностью. В нашем примере при 100 растениях ошибка его определения составит а ее отнесение к средней высоте сеянцев 5,0 см, выражаемое в %, дает нам так называемую точность опыта: 0,14/5,0×100 = 2,8 %. В биологии точность опыта ±2–3 % считается высокой, ±5 % – достаточной, а ±6–7 % – пониженной, но это весьма упрощенное представление о планировании эксперимента.

Вообще, точность опыта не самоцель; гораздо важнее сократить численность (объем) выборки до минимума. Представим себе, что средняя высота сеянцев xср = 5,0 см, а ее ±δ = 1,42 см, рассмотренные выше, получены при измерении 1000 растений потомства сосны, например, из Кунгура. Поделив ±δ на корень из 1000 получаем ошибку опыта m = ±0,045 см. Далее получаем точность опыта

Р = m/xср×100 = 0,045/5,0×100 = 0,9 %.

Точность получилась очень высокой. Но в питомнике есть потомства и из других мест и такой уровень точности совершенно не нужен, так как нужно узнать еще высоты сеянцев, например, из Очера, Осы, Добрянки и других районов. Если выборку из 1 тыс. растений снижать, то будет увеличиваться ошибка в определении средней высоты. И нужно найти приемлемую величину такой ошибки, которая позволит нам, тем не менее, уверенно утверждать, что это потомство растет быстрее, либо медленнее других. Причем происхождений может быть несколько сотен и минимизация выборок крайне важна, так как масштабы работ ограничены физическими возможностями бригады селекционеров. Следовательно, надо сокращать объем выборки. Как это сделать правильно?

Рассмотрим два потомства. Первое – это упомянутые сеянцы происхождением из Кунгура (хср1), второе – сеянцы из Кизела с хср2 = 6,0 см и δ2 = ± 1,0 см (превышение высоты на 20 %). Надо это превышение доказать. При выборках из 100 растений ранее определенная ошибка m1 была равна 0,14 см, вторая ошибка m2 после расчетов по формуле (2.1) составит 0,1 см. По закону нормального распределения 99,5 % всех возможных значений этих средних хср1 и хср2 будут в пределах «плюс-минус три ошибки», что можно показать графически (рис. 2.1) или в виде формул:

хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,14 = 5,0 ± 0,4 см

и

хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,1 = 6,0 ± 0,3 см.

Возможные теоретические значения средних в генеральной совокупности не перекрывают друг друга, значит, различие достоверно. А если сократить выборки до 50 сеянцев? Тогда и  и пределы колебаний возможных значений средних будут:

хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,20 = 5,0 ± 0,6 см;

хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,14 = 6,0 ± 0,3 см.

Рис. 2.1. Средние значения по выборкам из 100 растений и их тройные ошибки (пределы возможных значений выборочных средних в 99,5 % случаев)

Снова вынесем эти пределы на график (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Средние значения при N = 50 растений и их тройные ошибки

Как видим, пределы сблизились и если еще сократить выборки, то они перекроются. Можно ли далее снижать объем выборки?

Можно, но здесь вступает в силу так называемое условие безошибочного прогноза. Мы это условие задали на уровне 99,5 % и для этого взяли ±3m для распределения ошибок. Но можно взять уровень пониже, с пределами ±2δ (уровень 95 %) и даже с пределами ±1,7δ (уровень 90 %).

При выборках из 25 штук сеянцев, получаем две ошибки: Тогда пределы значений для этих двух выборочных средних для уровня прогноза в 95 % будут:

хср1 ± 2m1 = 5,0 ± 2×0,28 = 5,0 ± 0,56 см;

хср2 ± 2m2 = 6,0 ± 2×0,20 = 6,0 ± 0,40 см.

Выносим эти пределы опять на график (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Средние значения при N = 25 растений и их двойные ошибки (пределы возможных значений средних в 95 % случаев)

Как видим, просвет все еще есть, и поэтому между возможными значениями средних высот сеянцев в других выборках из происхождений Кунгур и Кизел различия будут опять доказаны. Но уровень доказательства понизился до 95 %, и для 5 % оставшихся случаев нет гарантии, что различия будут иметь место при выборке из 25 растений. Их может и не быть, но эту вероятность в 5 % мы допускаем.