Проверка статистической гипотезы позволяет сделать строгий вывод о характеристиках генеральной совокупности на основе выборочных данных. Гипотезы бывают разные. Одна из них – это гипотеза о средней (математическом ожидании). Суть ее в том, чтобы на основе только имеющейся выборки сделать корректное заключение о том, где может или не может находится генеральная средняя (точную правду мы никогда не узнаем, но можем сузить круг поиска).
Распределение Стьюдента
Общий подход в проверке гипотез описан здесь, поэтому сразу к делу. Предположим для начала, что выборка извлечена из нормальной совокупности случайных величин X с генеральной средней μ и дисперсией σ2. Средняя арифметическая из этой выборки, очевидно, сама является случайной величиной. Если извлечь много таких выборок и посчитать по ним средние, то они также будут иметь нормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией
Тогда случайная величина
имеет стандартное нормальное распределение со всеми вытекающими отсюда последствиями. Например, с вероятностью 95% ее значение не выйдет за пределы ±1,96.
Однако такой подход будет корректным, если известна генеральная дисперсия. В реальности, как правило, она не известна. Вместо нее берут оценку – несмещенную выборочную дисперсию:
где
Возникает вопрос: будет ли генеральная средняя c вероятностью 95% находиться в пределах ±1,96sx̅. Другими словами, являются ли распределения случайных величин
и
эквивалентными.
Впервые этот вопрос был поставлен (и решен) одним химиком, который трудился на пивной фабрике Гиннесса в г. Дублин (Ирландия). Химика звали Уильям Сили Госсет и он брал пробы пива для проведения химического анализа. В какой-то момент, видимо, Уильяма стали терзать смутные сомнения на счет распределения средних. Оно получалось немного более размазанным, чем должно быть у нормального распределения.
Собрав математическое обоснование и рассчитав значения функции обнаруженного им распределения, химик из Дублина Уильям Госсет написал заметку, которая была опубликована в мартовском выпуске 1908 года журнала «Биометрика» (главред – Карл Пирсон). Гиннесс строго-настрого запретил выдавать секреты пивоварения, и Госсет подписался псевдонимом Стьюдент.
Несмотря на то что, К. Пирсон уже изобрел распределение Хи-квадрат, все-таки всеобщее представление о нормальности еще доминировало. Никто не собирался думать, что распределение выборочных оценок может быть не нормальным. Поэтому статья У. Госсета осталась практически не замеченной и забытой. И только Рональд Фишер по достоинству оценил открытие Госсета. Фишер использовал новое распределение в своих работах и дал ему название t-распределение Стьюдента. Критерий для проверки гипотез, соответственно, стал t-критерием Стьюдента. Так произошла «революция» в статистике, которая шагнула в эру анализа выборочных данных. Это был краткий экскурс в историю.
Посмотрим, что же мог увидеть У. Госсет. Сгенерируем 20 тысяч нормальных выборок из 6-ти наблюдений со средней (X̅) 50 и среднеквадратичным отклонением (σ) 10. Затем нормируем выборочные средние, используя генеральную дисперсию:
Получившиеся 20 тысяч средних сгруппируем в интервалы длинной 0,1 и подсчитаем частоты. Изобразим на диаграмме фактическое (Norm) и теоретическое (ENorm) распределение частот выборочных средних.
Точки (наблюдаемые частоты) практически совпадают с линией (теоретическими частотами). Оно и понятно, ведь данные взяты из одной и то же генеральной совокупности, а отличия – это лишь ошибки выборки.
Проведем новый эксперимент. Нормируем средние, используя выборочную дисперсию.
Снова подсчитаем частоты и нанесем их на диаграмму в виде точек, оставив для сравнения линию стандартного нормального распределения. Обозначим эмпирическое частоты средних, скажем, через букву t.
Видно, что распределения на этот раз не очень-то и совпадают. Близки, да, но не одинаковы. Хвосты стали более «тяжелыми».
У Госсета-Стьюдента не было последней версии MS Excel, но именно этот эффект он и заметил. Почему так получается? Объяснение заключается в том, что случайная величина
зависит не только от ошибки выборки (числителя), но и от стандартной ошибки средней (знаменателя), которая также является случайной величиной.
Давайте немного разберемся, какое распределение должно быть у такой случайной величины. Вначале придется кое-что вспомнить (или узнать) из математической статистики. Есть такая теорема Фишера, которая гласит, что в выборке из нормального распределения:
1. средняя X̅ и выборочная дисперсия s2 являются независимыми величинами;
2. соотношение выборочной и генеральной дисперсии, умноженное на количество степеней свободы, имеет распределение χ2(хи-квадрат) с таким же количеством степеней свободы, т.е.
где k – количество степеней свободы (на английском degrees of freedom (d.f.))
Вернемся к распределению средней. Разделим числитель и знаменатель выражения
на σX̅. Получим
Числитель – это стандартная нормальная случайная величина (обозначим ξ (кси)). Знаменатель выразим из теоремы Фишера.
Тогда исходное выражение примет вид
Это и есть t-критерий Стьюдента в общем виде (стьюдентово отношение). Вывести функцию его распределения можно уже непосредственно, т.к. распределения обеих случайных величин в данном выражении известны. Оставим это удовольствие математикам.
Функция t-распределения Стьюдента имеет довольно сложную для понимания формулу, поэтому не имеет смысла ее разбирать. Вероятности и квантили t-критерия приведены в специальных таблицах распределения Стьюдента и забиты в функции разных ПО вроде Excel.
Итак, вооружившись новыми знаниями, вы сможете понять официальное определение распределения Стьюдента.
Случайной величиной, подчиняющейся распределению Стьюдента с k степенями свободы, называется отношение независимых случайных величин
где ξ распределена по стандартному нормальному закону, а χ2k подчиняется распределению χ2 c k степенями свободы.
Таким образом, формула критерия Стьюдента для средней арифметической
есть частный случай стьюдентова отношения
Из формулы и определения следует, что распределение т-критерия Стьюдента зависит лишь от количества степеней свободы.
При k > 30 t-критерий практически не отличается от стандартного нормального распределения.
В отличие от хи-квадрат, t-критерий может быть одно- и двусторонним. Обычно пользуются двусторонним, предполагая, что отклонение может происходить в обе стороны от средней. Но если условие задачи допускает отклонение только в одну сторону, то разумно применять односторонний критерий. От этого немного увеличивается мощность критерия.
Несмотря на то, что открытие Стьюдента в свое время совершило переворот в статистике, t-критерий все же довольно сильно ограничен в возможностях применения, т.к. сам по себе происходит из предположения о нормальном распределении исходных данных. Если данные не являются нормальными (что обычно и бывает), то и t-критерий уже не будет иметь распределения Стьюдента. Однако в силу действия центральной предельной теоремы средняя даже у ненормальных данных быстро приобретает колоколообразную форму распределения.
Рассмотрим, для примера, данные, имеющие выраженный скос вправо, как у распределения хи-квадрат с 5-ю степенями свободы.
Теперь создадим 20 тысяч выборок и будет наблюдать, как меняется распределение средних в зависимости от их объема.
Отличие довольно заметно в малых выборках до 15-20-ти наблюдений. Но дальше оно стремительно исчезает. Таким образом, ненормальность распределения – это, конечно, нехорошо, но некритично.
Больше всего t-критерий «боится» выбросов, т.е. аномальных отклонений. Возьмем 20 тыс. нормальных выборок по 15 наблюдений и в часть из них добавим по одному случайном выбросу.
Картина получается нерадостная. Фактические частоты средних сильно отличаются от теоретических. Использование t-распределения в такой ситуации становится весьма рискованной затеей.
Итак, в не очень малых выборках (от 15-ти наблюдений) t-критерий относительно устойчив к ненормальному распределению исходных данных. А вот выбросы в данных сильно искажают распределение t-критерия, что, в свою очередь, может привести к ошибкам статистического вывода, поэтому от аномальных наблюдений следует избавиться. Часто из выборки удаляют все значения, выходящие за пределы ±2 стандартных отклонения от средней.
Пример проверки гипотезы о математическом ожидании с помощью t- критерия Стьюдента в MS Excel
В Excel есть несколько функций, связанных с t-распределением. Рассмотрим их.
СТЬЮДЕНТ.РАСП – «классическое» левостороннее t-распределение Стьюдента. На вход подается значение t-критерия, количество степеней свободы и опция (0 или 1), определяющая, что нужно рассчитать: плотность или значение функции. На выходе получаем, соответственно, плотность или вероятность того, что случайная величина окажется меньше указанного в аргументе t-критерия, т.е. левосторонний p-value.
СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х – двухсторонне распределение. В качестве аргумента подается абсолютное значение (по модулю) t-критерия и количество степеней свободы. На выходе получаем вероятность получить такое или еще больше значение t-критерия (по модулю), т.е. фактический уровень значимости (p-value).
СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ – правостороннее t-распределение. Так, 1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(2;5;1) = СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(2;5) = 0,05097. Если t-критерий положительный, то полученная вероятность – это p-value.
СТЬЮДЕНТ.ОБР – используется для расчета левостороннего обратного значения t-распределения. В качестве аргумента подается вероятность и количество степеней свободы. На выходе получаем соответствующее этой вероятности значение t-критерия. Отсчет вероятности идет слева. Поэтому для левого хвоста нужен сам уровень значимости α, а для правого 1 — α.
СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х – обратное значение для двухстороннего распределения Стьюдента, т.е. значение t-критерия (по модулю). Также на вход подается уровень значимости α. Только на этот раз отсчет ведется с двух сторон одновременно, поэтому вероятность распределяется на два хвоста. Так, СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,025;5) = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;5) = 2,57058
СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ – функция для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в двух выборках. Заменяет кучу расчетов, т.к. достаточно указать лишь два диапазона с данными и еще пару параметров. На выходе получим p-value.
ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ – расчет доверительного интервала средней с учетом t-распределения.
Рассмотрим такой учебный пример. На предприятии фасуют цемент в мешки по 50кг. В силу случайности в отдельно взятом мешке допускается некоторое отклонение от ожидаемой массы, но генеральная средняя должна оставаться 50кг. В отделе контроля качества случайным образом взвесили 9 мешков и получили следующие результаты: средняя масса (X̅) составила 50,3кг, среднеквадратичное отклонение (s) – 0,5кг.
Согласуется ли полученный результат с нулевой гипотезой о том, что генеральная средняя равна 50кг? Другими словами, можно ли получить такой результат по чистой случайности, если оборудование работает исправно и выдает среднее наполнение 50 кг? Если гипотеза не будет отклонена, то полученное различие вписывается в диапазон случайных колебаний, если же гипотеза будет отклонена, то, скорее всего, в настройках аппарата, заполняющего мешки, произошел сбой. Требуется его проверка и настройка.
Краткое условие в обще принятых обозначениях выглядит так.
H0: μ = 50 кг
Ha: μ ≠ 50 кг
Есть основания предположить, что распределение заполняемости мешков подчиняются нормальному распределению (или не сильно от него отличается). Значит, для проверки гипотезы о математическом ожидании можно использовать t-критерий Стьюдента. Случайные отклонения могут происходить в любую сторону, значит нужен двусторонний t-критерий.
Вначале применим допотопные средства: ручной расчет t-критерия и сравнение его с критическим табличным значением. Расчетный t-критерий:
Теперь определим, выходит ли полученное число за критический уровень при уровне значимости α = 0,05. Воспользуемся таблицей для критерия Стьюдента (есть в любом учебнике по статистике).
По столбцам идет вероятность правой части распределения, по строкам – число степеней свободы. Нас интересует двусторонний t-критерий с уровнем значимости 0,05, что равносильно t-значению для половины уровня значимости справа: 1 — 0,05/2 = 0,975. Количество степеней свободы – это объем выборки минус 1, т.е. 9 — 1 = 8. На пересечении находим табличное значение t-критерия – 2,306. Если бы мы использовали стандартное нормальное распределение, то критической точкой было бы значение 1,96, а тут она больше, т.к. t-распределение на небольших выборках имеет более приплюснутый вид.
Сравниваем фактическое (1,8) и табличное значение (2.306). Расчетный критерий оказался меньше табличного. Следовательно, имеющиеся данные не противоречат гипотезе H0 о том, что генеральная средняя равна 50 кг (но и не доказывают ее). Это все, что мы можем узнать, используя таблицы. Можно, конечно, еще p-value попробовать найти, но он будет приближенным. А, как правило, именно p-value используется для проверки гипотез. Поэтому далее переходим в Excel.
Готовой функции для расчета t-критерия в Excel нет. Но это и не страшно, ведь формула t-критерия Стьюдента довольно проста и ее можно легко соорудить прямо в ячейке Excel.
Получили те же 1,8. Найдем вначале критическое значение. Альфа берем 0,05, критерий двусторонний. Нужна функция обратного значения t-распределения для двухсторонней гипотезы СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х.
Полученное значение отсекает критическую область. Наблюдаемый t-критерий в нее не попадает, поэтому гипотеза не отклоняется.
Однако это тот же способ проверки гипотезы с помощью табличного значения. Более информативно будет рассчитать p-value, т.е. вероятность получить наблюдаемое или еще большее отклонение от средней 50кг, если эта гипотеза верна. Потребуется функция распределения Стьюдента для двухсторонней гипотезы СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х.
P-value равен 0,1096, что больше допустимого уровня значимости 0,05 – гипотезу не отклоняем. Но теперь можно судить о степени доказательства. P-value оказался довольно близок к тому уровню, когда гипотеза отклоняется, а это наводит на разные мысли. Например, что выборка оказалась слишком мала для обнаружения значимого отклонения.
Пусть через некоторое время отдел контроля снова решил проверить, как выдерживается стандарт заполняемости мешков. На этот раз для большей надежности было отобрано не 9, а 25 мешков. Интуитивно понятно, что разброс средней уменьшится, а, значит, и шансов найти сбой в системе становится больше.
Допустим, были получены те же значения средней и стандартного отклонения по выборке, что и в первый раз (50,3 и 0,5 соответственно). Рассчитаем t-критерий.
Критическое значение для 24-х степеней свободы и α = 0,05 составляет 2,064. На картинке ниже видно, что t-критерий попадает в область отклонения гипотезы.
Можно сделать вывод о том, что с доверительной вероятностью более 95% генеральная средняя отличается от 50кг. Для большей убедительности посмотрим на p-value (последняя строка в таблице). Вероятность получить среднюю с таким или еще большим отклонением от 50, если гипотеза верна, составляет 0,0062, или 0,62%, что при однократном измерении практически невозможно. В общем, гипотезу отклоняем, как маловероятную.
Расчет доверительного интервала для математического ожидания с помощью t-распределения Стьюдента в Excel
С проверкой гипотез тесно связан еще один статистический метод – расчет доверительных интервалов. Если в полученный интервал попадает значение, соответствующее нулевой гипотезе, то это равносильно тому, что нулевая гипотеза не отклоняется. В противном случае, гипотеза отклоняется с соответствующей доверительной вероятностью. В некоторых случаях аналитики вообще не проверяют гипотез в классическом виде, а рассчитывают только доверительные интервалы. Такой подход позволяет извлечь еще больше полезной информации.
Рассчитаем доверительные интервалы для средней при 9 и 25 наблюдениях. Для этого воспользуемся функцией Excel ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ. Здесь, как ни странно, все довольно просто. В аргументах функции нужно указать только уровень значимости α, стандартное отклонение по выборке и размер выборки. На выходе получим полуширину доверительного интервала, то есть значение которое нужно отложить по обе стороны от средней. Проведя расчеты и нарисовав наглядную диаграмму, получим следующее.
Как видно, при выборке в 9 наблюдений значение 50 попадает в доверительный интервал (гипотеза не отклоняется), а при 25-ти наблюдениях не попадает (гипотеза отклоняется). При этом в эксперименте с 25-ю мешками можно утверждать, что с вероятностью 97,5% генеральная средняя превышает 50,1 кг (нижняя граница доверительного интервала равна 50,094кг). А это довольно ценная информация.
Таким образом, мы решили одну и ту же задачу тремя способами:
1. Древним подходом, сравнивая расчетное и табличное значение t-критерия
2. Более современным, рассчитав p-value, добавив степень уверенности при отклонении гипотезы.
3. Еще более информативным, рассчитав доверительный интервал и получив минимальное значение генеральной средней.
Важно помнить, что t-критерий относится к параметрическим методам, т.к. основан на нормальном распределении (у него два параметра: среднее и дисперсия). Поэтому для его успешного применения важна хотя бы приблизительная нормальность исходных данных и отсутствие выбросов.
Напоследок предлагаю видеоролик о том, как рассчитать критерий Стьюдента и проверить гипотезу о генеральной средней в Excel.
Иногда просят объяснить, как делаются такие наглядные диаграммы с распределением. Ниже можно скачать файл, где проводились расчеты для этой статьи.
Скачать файл с примером.
Всего доброго, будьте здоровы.
Поделиться в социальных сетях:
From Wikipedia, the free encyclopedia
For a value that is sampled with an unbiased normally distributed error, the above depicts the proportion of samples that would fall between 0, 1, 2, and 3 standard deviations above and below the actual value.
The standard error (SE)[1] of a statistic (usually an estimate of a parameter) is the standard deviation of its sampling distribution[2] or an estimate of that standard deviation. If the statistic is the sample mean, it is called the standard error of the mean (SEM).[1]
The sampling distribution of a mean is generated by repeated sampling from the same population and recording of the sample means obtained. This forms a distribution of different means, and this distribution has its own mean and variance. Mathematically, the variance of the sampling mean distribution obtained is equal to the variance of the population divided by the sample size. This is because as the sample size increases, sample means cluster more closely around the population mean.
Therefore, the relationship between the standard error of the mean and the standard deviation is such that, for a given sample size, the standard error of the mean equals the standard deviation divided by the square root of the sample size.[1] In other words, the standard error of the mean is a measure of the dispersion of sample means around the population mean.
In regression analysis, the term «standard error» refers either to the square root of the reduced chi-squared statistic or the standard error for a particular regression coefficient (as used in, say, confidence intervals).
Standard error of the sample mean[edit]
Exact value[edit]
Suppose a statistically independent sample of 
observations 
is taken from a statistical population with a standard deviation of 
. The mean value calculated from the sample, 
, will have an associated standard error on the mean, 
, given by:[1]
.
Practically this tells us that when trying to estimate the value of a population mean, due to the factor 
, reducing the error on the estimate by a factor of two requires acquiring four times as many observations in the sample; reducing it by a factor of ten requires a hundred times as many observations.
Estimate[edit]
The standard deviation of the population being sampled is seldom known. Therefore, the standard error of the mean is usually estimated by replacing with the sample standard deviation 
instead:
- .
As this is only an estimator for the true «standard error», it is common to see other notations here such as:
- or alternately .
A common source of confusion occurs when failing to distinguish clearly between:
Accuracy of the estimator[edit]
When the sample size is small, using the standard deviation of the sample instead of the true standard deviation of the population will tend to systematically underestimate the population standard deviation, and therefore also the standard error. With n = 2, the underestimate is about 25%, but for n = 6, the underestimate is only 5%. Gurland and Tripathi (1971) provide a correction and equation for this effect.[3] Sokal and Rohlf (1981) give an equation of the correction factor for small samples of n < 20.[4] See unbiased estimation of standard deviation for further discussion.
Derivation[edit]
The standard error on the mean may be derived from the variance of a sum of independent random variables,[5] given the definition of variance and some simple properties thereof. If is a sample of independent observations from a population with mean and standard deviation , then we can define the total
which due to the Bienaymé formula, will have variance
where we’ve approximated the standard deviations, i.e., the uncertainties, of the measurements themselves with the best value for the standard deviation of the population. The mean of these measurements is simply given by
- .
The variance of the mean is then
The standard error is, by definition, the standard deviation of which is simply the square root of the variance:
- .
For correlated random variables the sample variance needs to be computed according to the Markov chain central limit theorem.
Independent and identically distributed random variables with random sample size[edit]
There are cases when a sample is taken without knowing, in advance, how many observations will be acceptable according to some criterion. In such cases, the sample size 
is a random variable whose variation adds to the variation of 
such that,
- [6]
If has a Poisson distribution, then 
with estimator 
. Hence the estimator of 
becomes 
, leading the following formula for standard error:
(since the standard deviation is the square root of the variance)
Student approximation when σ value is unknown[edit]
In many practical applications, the true value of σ is unknown. As a result, we need to use a distribution that takes into account that spread of possible σ’s.
When the true underlying distribution is known to be Gaussian, although with unknown σ, then the resulting estimated distribution follows the Student t-distribution. The standard error is the standard deviation of the Student t-distribution. T-distributions are slightly different from Gaussian, and vary depending on the size of the sample. Small samples are somewhat more likely to underestimate the population standard deviation and have a mean that differs from the true population mean, and the Student t-distribution accounts for the probability of these events with somewhat heavier tails compared to a Gaussian. To estimate the standard error of a Student t-distribution it is sufficient to use the sample standard deviation «s» instead of σ, and we could use this value to calculate confidence intervals.
Note: The Student’s probability distribution is approximated well by the Gaussian distribution when the sample size is over 100. For such samples one can use the latter distribution, which is much simpler.
Assumptions and usage[edit]
An example of how 
is used is to make confidence intervals of the unknown population mean. If the sampling distribution is normally distributed, the sample mean, the standard error, and the quantiles of the normal distribution can be used to calculate confidence intervals for the true population mean. The following expressions can be used to calculate the upper and lower 95% confidence limits, where is equal to the sample mean, is equal to the standard error for the sample mean, and 1.96 is the approximate value of the 97.5 percentile point of the normal distribution:
- Upper 95% limit and
- Lower 95% limit
In particular, the standard error of a sample statistic (such as sample mean) is the actual or estimated standard deviation of the sample mean in the process by which it was generated. In other words, it is the actual or estimated standard deviation of the sampling distribution of the sample statistic. The notation for standard error can be any one of SE, SEM (for standard error of measurement or mean), or SE.
Standard errors provide simple measures of uncertainty in a value and are often used because:
- in many cases, if the standard error of several individual quantities is known then the standard error of some function of the quantities can be easily calculated;
- when the probability distribution of the value is known, it can be used to calculate an exact confidence interval;
- when the probability distribution is unknown, Chebyshev’s or the Vysochanskiï–Petunin inequalities can be used to calculate a conservative confidence interval; and
- as the sample size tends to infinity the central limit theorem guarantees that the sampling distribution of the mean is asymptotically normal.
Standard error of mean versus standard deviation[edit]
In scientific and technical literature, experimental data are often summarized either using the mean and standard deviation of the sample data or the mean with the standard error. This often leads to confusion about their interchangeability. However, the mean and standard deviation are descriptive statistics, whereas the standard error of the mean is descriptive of the random sampling process. The standard deviation of the sample data is a description of the variation in measurements, while the standard error of the mean is a probabilistic statement about how the sample size will provide a better bound on estimates of the population mean, in light of the central limit theorem.[7]
Put simply, the standard error of the sample mean is an estimate of how far the sample mean is likely to be from the population mean, whereas the standard deviation of the sample is the degree to which individuals within the sample differ from the sample mean.[8] If the population standard deviation is finite, the standard error of the mean of the sample will tend to zero with increasing sample size, because the estimate of the population mean will improve, while the standard deviation of the sample will tend to approximate the population standard deviation as the sample size increases.
Extensions[edit]
Finite population correction (FPC)[edit]
The formula given above for the standard error assumes that the population is infinite. Nonetheless, it is often used for finite populations when people are interested in measuring the process that created the existing finite population (this is called an analytic study). Though the above formula is not exactly correct when the population is finite, the difference between the finite- and infinite-population versions will be small when sampling fraction is small (e.g. a small proportion of a finite population is studied). In this case people often do not correct for the finite population, essentially treating it as an «approximately infinite» population.
If one is interested in measuring an existing finite population that will not change over time, then it is necessary to adjust for the population size (called an enumerative study). When the sampling fraction (often termed f) is large (approximately at 5% or more) in an enumerative study, the estimate of the standard error must be corrected by multiplying by a »finite population correction» (a.k.a.: FPC):[9]
[10]
which, for large N:
to account for the added precision gained by sampling close to a larger percentage of the population. The effect of the FPC is that the error becomes zero when the sample size n is equal to the population size N.
This happens in survey methodology when sampling without replacement. If sampling with replacement, then FPC does not come into play.
Correction for correlation in the sample[edit]
Expected error in the mean of A for a sample of n data points with sample bias coefficient ρ. The unbiased standard error plots as the ρ = 0 diagonal line with log-log slope −½.
If values of the measured quantity A are not statistically independent but have been obtained from known locations in parameter space x, an unbiased estimate of the true standard error of the mean (actually a correction on the standard deviation part) may be obtained by multiplying the calculated standard error of the sample by the factor f:
where the sample bias coefficient ρ is the widely used Prais–Winsten estimate of the autocorrelation-coefficient (a quantity between −1 and +1) for all sample point pairs. This approximate formula is for moderate to large sample sizes; the reference gives the exact formulas for any sample size, and can be applied to heavily autocorrelated time series like Wall Street stock quotes. Moreover, this formula works for positive and negative ρ alike.[11] See also unbiased estimation of standard deviation for more discussion.
See also[edit]
- Illustration of the central limit theorem
- Margin of error
- Probable error
- Standard error of the weighted mean
- Sample mean and sample covariance
- Standard error of the median
- Variance
- Variance of the mean and predicted responses
References[edit]
- ^ a b c d Altman, Douglas G; Bland, J Martin (2005-10-15). «Standard deviations and standard errors». BMJ: British Medical Journal. 331 (7521): 903. doi:10.1136/bmj.331.7521.903. ISSN 0959-8138. PMC 1255808. PMID 16223828.
- ^ Everitt, B. S. (2003). The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 978-0-521-81099-9.
- ^ Gurland, J; Tripathi RC (1971). «A simple approximation for unbiased estimation of the standard deviation». American Statistician. 25 (4): 30–32. doi:10.2307/2682923. JSTOR 2682923.
- ^ Sokal; Rohlf (1981). Biometry: Principles and Practice of Statistics in Biological Research (2nd ed.). p. 53. ISBN 978-0-7167-1254-1.
- ^ Hutchinson, T. P. (1993). Essentials of Statistical Methods, in 41 pages. Adelaide: Rumsby. ISBN 978-0-646-12621-0.
- ^ Cornell, J R, and Benjamin, C A, Probability, Statistics, and Decisions for Civil Engineers, McGraw-Hill, NY, 1970, ISBN 0486796094, pp. 178–9.
- ^ Barde, M. (2012). «What to use to express the variability of data: Standard deviation or standard error of mean?». Perspect. Clin. Res. 3 (3): 113–116. doi:10.4103/2229-3485.100662. PMC 3487226. PMID 23125963.
- ^ Wassertheil-Smoller, Sylvia (1995). Biostatistics and Epidemiology : A Primer for Health Professionals (Second ed.). New York: Springer. pp. 40–43. ISBN 0-387-94388-9.
- ^ Isserlis, L. (1918). «On the value of a mean as calculated from a sample». Journal of the Royal Statistical Society. 81 (1): 75–81. doi:10.2307/2340569. JSTOR 2340569. (Equation 1)
- ^ Bondy, Warren; Zlot, William (1976). «The Standard Error of the Mean and the Difference Between Means for Finite Populations». The American Statistician. 30 (2): 96–97. doi:10.1080/00031305.1976.10479149. JSTOR 2683803. (Equation 2)
- ^ Bence, James R. (1995). «Analysis of Short Time Series: Correcting for Autocorrelation». Ecology. 76 (2): 628–639. doi:10.2307/1941218. JSTOR 1941218.
В
линейной регрессии обычно оценивается
значимость не только уравнения в целом,но
и отдельных его параметров. С этой целью
по каждому из параметров определяется
его стандартная ошибка: mb
и ma.
Стандартная
ошибка коэф-та регрессии параметра mb
рассчитывается:
,
где S2-остаточная
дисперсия на 1степень свободы
Отношение коэф-та
регрессии к его стандартной ошибке дает
t-статистику,
которая подчиняется статистике Стьюдента
при (n-2)
степенях свободы. Эта статистика
применяется д/проверки статистической
значимости коэф-та регрессии и д/расчета
его доверительных интервалов.
Д/оценки значимости
коэф-та регрессии его величину сравнивают
с его стандартной ошибкой, т.е. определяют
фактическое значение t-критерия
Стьюдента: tb=b/mb,
котороезатем сравнивают с табличным
значением при определенном уровне
значимости λ и числе степеней свободы
(n-2).
18. Оценка значимости параметра «а»
Стандартная ошибка
параметра «а» определяется по формуле:
Процедура оценивания
значимости данного параметра осуществляется
с помощью вычисления t-критерия:
ta=a/ma,
его величина сравнивается с табличным
значением при df=n-2
степенях свободы.
19.Методика определения прогнозных значений результата на основе линейного уравнения регрессии – точечного и интервального.
После построения
модели убедитесь, что она кач-ва, что
парам модели (а и b) и пок-ль тесноты связи
стат. значимы м. использовать модель
для иллюстрации изученной ситуации и
для определения прогнозных значений.Эти
прогнозы опред-ся при условии, что знач
фактора Х примет Хк, напр как изменится
рез-т, если ср- Хˉ увел-ся на 10%. Хк=Хˉ×1,10.
Прогноз м б точечный
и интервальный. ТП расчет Y при Хк по
ур-ию регрессии. Ŷ=a+bXk
Но на практике не
встреч-ся , поэтому расчит ИП кот пок-ет
в каких пределах б нах-ся рез-т в
генеральной совокупности при Хк. Для
этого опред-ся стандартная ошибка П
кот зависит от ошибки ср значения Y и от
ошибки коэф регрессии. MŶХк=M²Ῡ+M²b(Хi-Х¯)²;
;
a=Ῡ-bХ¯;
ŶХк=( Ῡ-bХ¯)+bХ=Ῡ+b(Хi-Х¯);
Ошибка ср значения Y: M²Ῡ=S²÷n
; где S²=
Ʃ(Yi-Ŷ)²÷n-2;
Кв ошибка знач
регрессии: M²b= S²÷Ʃ(
Хi-Х¯)²,
тогда M²ŶХк = S²÷n+
S²÷Ʃ(
Хi-Х¯)²×(Xk-
Х¯)²
= S²(1÷n+(Xk-
Х¯)²÷ Ʃ( Хi-Х¯)²)
; MŶХк= S√1÷n+(Xk-
Х¯)²÷ Ʃ( Хi-Х¯)²;
S=
Sост=√Ʃ(Yi-Ŷ)²÷n-2;
Величина станд
ошибки пок-ет величину ср знач результата
при заданном Xk.
Она хар-ет ош положение линии регрессии
и возрастает по мере удал k
знач от ср знач в ……., чем больше разность,
тем больше ошибка. Фак-ти знач Yi
откланяются от теор знач Y на величину
случ-ой ошибки, кот оценивается дисперсией
ост-ой на 1 ст свободы и эту случ ошибку
тоже надо включить при расчете ср ошибки
прог-ого рез-та. MŶ(Хк)= S√1+1÷n+(Xk-
Х¯)²÷ Ʃ( Хi-Х¯)²
; Доверит интервал прог-ого знач опре-ся:
Ỹ=Ŷрасч ±ΔŶрасч;
ΔŶрасч=tтабл+ MŶ(Хк); Точность прогноза
зависит не только от станд знач Yi,
но и от ур довер (ур вер-ти) с кот решается
задача.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений двух выборок, сравнение количественных значений только двух выборок с нормальным распределением случайной величины.
Критерий Стьюдента определяется по формуле:
$bar{X_1}$ – выборочные средние значения первой выборки;
$bar{X_2}$ – выборочные средние значения второй выборки;
n1 – объем первой выборки;
n2 – объем второй выборки;
σ1 и σ2 – среднее квадратическое отклонение в соответствующих выборках и находятся из формулы:
Число степеней свободы определяется по формуле:
k=n1+n2−2
Fкр(α, k) определяется по таблице
При Fнабл<Fкр нулевая гипотеза принимается.
Формула критерия Стьюдента для несвязанных независимых выборок:
Формула для определения стандартной ошибки разности средних арифметических σxy:
Число степеней свободы определяется выражением:
k=n1+n2–2
При n1=n2 число степеней свободы находится по формуле:
k=2n-2
а стандартная ошибка разности средних арифметических σxy задаётся выражением:
Пример
Даны две выборки.
В первой выборки продажа товара со скидкой, а во второй без скидки.
| № п/п | X | Y |
| 1 | 25 | 19 |
| 2 | 34 | 31 |
| 3 | 23 | 17 |
| 4 | 35 | 24 |
| 5 | 33 | 28 |
| 6 | 25 | 31 |
| 7 | 45 | 39 |
| 8 | 41 | 32 |
| 9 | 27 | 38 |
| 10 | 54 | 43 |
| 11 | 32 | 21 |
| 12 | 32 |
По критерию Стьюдента определить зависит ли спрос на товар от скидок на него при p=0.99?
Решение
В соответствии с таблицей n1=12, n2=11
Вычислим дисперсии D(X), D(Y)
| № п/п | X | Y | D(X) | D(Y) |
| 1 | 25 | 19 | 78,028 | 107,4 |
| 2 | 34 | 31 | 0,0278 | 2,6777 |
| 3 | 23 | 17 | 117,36 | 152,86 |
| 4 | 35 | 24 | 1,3611 | 28,769 |
| 5 | 33 | 28 | 0,6944 | 1,8595 |
| 6 | 25 | 31 | 78,028 | 2,6777 |
| 7 | 45 | 39 | 124,69 | 92,86 |
| 8 | 41 | 32 | 51,361 | 6,9504 |
| 9 | 27 | 38 | 46,694 | 74,587 |
| 10 | 54 | 43 | 406,69 | 185,95 |
| 11 | 32 | 21 | 3,3611 | 69,95 |
| 12 | 32 | 3,3611 | ||
| Сумма | 406 | 323 | 911,67 | 726,55 |
| Среднее | 33,833 | 29,364 |
Подставим значения в формулу стандартной ошибки разности средних арифметических σxy:
Вычисляем критерий Стьюдента:
Число степеней свободы равно:
k=12+11–2=21
По таблице Стьюдента находим критическое значение:
tкрит=2,8310
Отсюда tкрит> tнабл, следовательно, зависит.
18511