Теоретическая ошибка формула - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Структура
погрешности в численном анализе.

Рассмотрим основные
источники погрешностей, возникающих в
численном анализе.

Погрешности
математической модели.

Любая задача есть
модель какого-то явления. Всякая модель
– это объект более простой, чем реальный.
Модель – приближенное описание реального
объекта, т.е. содержит погрешности.

Погрешности
исходных данных.

Данные могут
оказаться неточными в результате
неточных измерений или ввода в компьютер
таких констант как π, е и др.

Погрешности метода
решения.

Численные методы
заменяют задачу на близкую. Например,
вместо интегрирования – суммирование,
вместо дифференцирования – вычисление
конечно разностного отношения и т.д. В
результате вместо точного решения
исходной задачи получаем приближенное
решение преобразованной задачи.

Погрешности
округлений при выполнении арифметических
операций.

В рамках численных
методов погрешности 1 и 2 считаются
неустранимыми. Погрешность метода
обычно оценивается в норме того
метрического пространства, в котором
действуют операторы преобразованной
задачи. Чаще всего алгоритм решения
устроен как итерационный процесс.
Поэтому возникает проблема сходимости
этого процесса к некоторому решению –
приближенному решению исходной задачи
и вопрос о близости полученного решения
к точному решению исходной задачи.

Позиционная
и нормализованная формы записи чисел.
Значащие и верные цифры позиционной
системы.

Ошибки округления
связаны с устройством арифметического
процессора на ЭВМ, имеющего конечную
разрядность. Чтобы разобраться в этом
вопросе, рассмотрим две основные
формы записи чисел.

1) Запись числа в
позиционной системе счисления:

где a
– основание позиционной системы,
a{2,8,16,10,…},

Пример 1.
Пусть a
=10. Расшифровать десятичное число X=
27,135

Определение 1.
Значащими
называются все цифры числа X,
записанного в позиционной системе,
начиная с первой слева отличной от нуля.

Пример 2.
В записи числа X
= 0,006071 значащими являются цифры 6,0,7,1.

2) Нормализованная
форма записи числа (запись числа в
арифметическом процессоре «с плавающей
запятой»):

где f
– мантисса
числа X,
удовлетворяющая условию
,а
— основание системы счисления (а=2,8,10
и т.д.), L
– порядок числа,
,

— цифра в k-ом
разряде мантиссы (дробного числа),
,k=2,3,…
, 0< f₁<a,
t
– число используемых значащих цифр
(характеристика вычислительного
устройства).

Пример 3.
Пусть X
= 0,03045 в десятичной системе. Записать
число X
в нормализованной форме.

Ошибки
округления чисел. Распространение
ошибок округления в арифметических
операциях. Абсолютная и относительная
погрешность суммы, разности, произведения
и частного.

Введем основные
понятия, связанные с погрешностью чисел.

Пусть
— приближенное представление числаX,
т.е.
,
где— погрешность.

Максимально
возможное значение
,
т.е. число,
удовлетворяющее неравенству,
называетсямаксимальной
или предельной
абсолютной
погрешностью
(ошибкой).

Определение 3.
Величина,
равная

называется
относительной
ошибкой
представления числа X
числом
.

Если
,
то числоназываетсямаксимальной
(предельной)
относительной ошибкой.

1.2 Распространение ошибок округления в арифметических операциях.

1) Операции
сложения и вычитания.

Пусть
,.
Тогда,
где.

Поскольку
,
то,

т.е. при сложении
чисел предельные абсолютные ошибки
складываются.

Не трудно убедиться,
что такое же правило справедливо и для
разности.

Вывевсти формулу
для максимальной относительной
погрешности разности ◄ самостоятельно
►.

2) Операция
умножения.

Пусть
,

где
,
тогда

Следовательно,

т.е.
.

Если последнее
слагаемое имеет второй порядок малости
по сравнению с первыми двумя, то им можно
пренебречь. В этом случае получаем более
простое правило: при умножении
относительные максимальные ошибки
приближенно складываются.

3)
Операция
деления.

Пусть
,
,

Пример
4.
Показать, что справедливо следующее
правило:

Близость
в метрическом и нормированном
пространствах. Расстояние и норма, их
определение и свойства. Основные классы
функций:
и.

Определение 1.
Множество
X
элементов произвольной природы (не
обязательно числовое множество)
называется метрическим
пространством,
если любой паре элементов
поставлено в соответствие число,
(метрика, или расстояние) в соответствии
с аксиомами:

А1.
тогда и только тогда, когдаx=y.

А2.
.

А3.
– неравенство треугольника.

Определение 2.
Говорят, что
последовательность элементов
метрического пространстваX
сходится к элементу
,
если.

Определение 3.
Последовательность
элементов метрического пространстваX
называется фундаментальной,
если
.

Определение 4.
Метрическое
пространство X
называется полным,
если любая фундаментальная последовательность
его элементов сходится к некоторому
элементу этого пространства.

Замечания.

Не любое метрическое
пространство является полным.

Например, множество
всех рациональных чисел с метрикой

не является полным,
т.к., скажем, последовательность
— фундаментальная, но— иррациональное число.

Сходимость
большинства итерационных процессов
удается доказать только в полном
метрическом пространстве, следовательно,
полнота играет важную роль в числовом
анализе.

Определение 5.
Множество
X
называется нормированным
линейным пространством,
если

оно является
линейным пространством, т.е. в нем
определены операции сложения элементов
и умножения элемента на число с известными
свойствами.

Любому элементу
поставлено в соответствие число(нормаx),
удовлетворяющее аксиомам:

А1.
,

А2.

А3.
–
неравенство треугольника.

Замечание. Любое
нормированное линейное пространство
X
можно считать метрическим, если ввести
метрику по формуле

, (1)

Если последовательность
нормированного пространстваX
сходится в смысле метрики (1), то говорят
о сходимости по норме пространства X.

Нетрудно убедиться,
что для метрики (1) выполняются все
аксиомы метрики.

Приведем некоторые
примеры классов функций и соответствующих
линейных пространств.

Пример 5. Множество
всех функций, заданных на отрезке [a,b]
и имеющих на нем непрерывные производные
до k
-го порядка включительно, называется
классом
.

Пример 6. При
k=0
получаем класс
— множество непрерывных на отрезке [a,b]
функций.

Если на
ввести норму по формуле

(2)

то получим линейное
нормированное пространство C[a,b]
(операции сложения и умножения на число
вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x),
).

Аксиомы А1, А2 –
очевидно, выполняются. В справедливости
А3 нетрудно также убедиться с помощью
свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.

Замечания.

Норму в классе
можно ввести не единственным образом.

Например,

Сходимость
последовательности
по норме (2) – это равномерная сходимость:

Пространство
C[a,b]
с нормой (2) является полным в силу теоремы
мат. анализа: равномерно
сходящаяся последовательность в
замкнутой области сходится к непрерывной
функции.

Пример 7. Множество
всех функций, p-я
степень модуля которых интегрируема
на отрезке [a,b],
называется линейным нормированным
пространством
,
если на нем введена норма по формуле

(3)

Сходимость по
норме (3) называется сходимостью
в среднем
(при p=2
— среднеквадратичная
сходимость).

Замечание. Пусть
,
тогда.

Отсюда следует,
что из сходимости последовательности
по норме C
следует ее сходимость по норме
,
но не наоборот.

Постановка
задачи интерполяции. Интерполяционный
многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности
интерполяции. Единственность многочлена
Лагранжа.

Пусть дана сетка
узлов
,
где,
и известны значения функциив узлах сетки:,
причем(n+1)
узловых
точек – попарно различны.

Интерполяция
обобщенными полиномами.

Пусть известна
система линейно независимых функций
.
Требуется найти такую линейную комбинацию

— «обобщенный
полином n-го
порядка», для которого выполняется
условие совпадения значений полинома
в узлах сетки со значениями
.
Это требование приводит к системе
линейных уравнений:

(4)

Систему (4) называют
нормальной
системой уравнений.

Для разрешимости
системы (4) необходимо, чтобы определитель
системы

Рассмотрим частный
случай задачи интерполяции – интерполяцию
алгебраическими полиномами.

В этом случае в
качестве базисной системы функции
выступают степенные функции:

Обозначим
— искомый интерполяционный полиномn-ой
степени

и запишем условия
совпадения значений полинома с табличными
значениями функции
:

(5)

Определитель этой
системы — определитель Вандермонда –
отличен от нуля:

поэтому система
имеет единственное решение.

Система (5) плохо
обусловлена.(см.
п.п 3.4.3.). Покажем, как можно построить
искомый интерполяционный полином другим
способом, не решая систему. Для этого
построим так называемые фундаментальные
полиномы
степени n:
,
удовлетворяющие условию:

(6)

Нетрудно убедиться,
что указанным свойством обладает полином
следующего вида:

Условие (6)
непосредственно проверяется. Отсюда
следует, что искомый интерполяционный
полином

можно записать в виде:

(7)

Очевидно, что в
силу свойства фундаментальных полиномов,
Полученный таким способом полином
называютинтерполяционным
полиномом Лагранжа.

Приведем еще одно
доказательство единственности полинома
Лагранжа (7) независимо от логики решения
нормальной системы (2).

Теорема 1.1. Полином
Лагранжа
(4), проходящий через все табличные(n+1)
значения функции y(x)
– единственный.

От противного.
Пусть
еще
один полиномстепениn,
решающий ту же задачу интерполяции.
Рассмотрим разность
— полином порядка.
Очевидно, что этот полином имеет на
отрезкеровно(n+1)
корень, что противоречит основной
теореме алгебры. Значит,

Теорема 1.2. (О
погрешности интерполяции).
Пусть функция
,
задана сетка узлов,– интерполяционный полином Лагранжа
(4), построенный по значениям функцииy(x)
в узлах сетки X_n.
Тогда для погрешности интерполяции
справедливы следующие оценки:

	(8)
– теоретическая погрешность в точке ,
	(9)
– абсолютная погрешность в точке,
	(10)

– максимальная
абсолютная погрешность на всем отрезке,

где

–

– специальный
полином (n+1)-ой
степени, построенный по узлам как по
нулям;

–

– существует в
силу определения класса функций
.

Запишем y(x)
в виде:

где
– погрешность интерполяции в точке.
Очевидно по условию, что.

Отсюда следует,
что погрешность (остаточный член)
интерполяции можно искать в виде:

где r–
некоторая функция.

Зафиксируем точку
и рассмотрим вспомогательную функцию

(11)

где t
– свободная переменная.

Положим в (11) t=x.

Т.е. функция
обращается в 0 в точке t=x.
Положим далее последовательно
Получаем:

Т.о. мы получили,
что на отрезке
функцияобращается в 0 ровно в(n+2)
точках. Отсюда
по теореме Ролля следует, что на интервале
(a,b)

существует, по
крайней мере, (n+1)
точка, в которой
обращается в 0;
существует, по
крайней мере, n
точек, в которых
обращается в 0;
…………………………
существует, по
крайней мере, 1 точка
,
в которойобращается в 0.

Продифференцируем
формулу (11) по t
n+1
раз и положим
.
Получим:

(12)

Учтем, что
,
т.к. степень полинома равнаn.
Далее получаем:

т.к.
— многочлен—ой
степени специального вида с коэффициентом
при старшей степени, равным 1.

Подставляя эти
результаты в (12), получаем:

откуда следует

Подставляя в
выражение для
,
получаем

откуда следует
формула (8). Оценки (9), (10) вытекают из (8)
автоматически.

Интерполяция
на равномерной сетке. Конечные разности
и их свойства.

Пусть задана
равномерная сетка узлов
.
Обозначим– множество узловых точек;— шаг сетки.

Определение.
Величина

называется конечной
разностью первого порядка (или разностью
«на шаг
вперед»).

……………………..

(13)

—
конечная
разность
m-го
порядка.

Свойства конечных
разностей.

1. Операторы
— линейные операторы.

Пусть
— произвольные табличные значения.

Доказательство
проведем по индукции. Вначале проверяем
утверждение для m=1.

оператор
линейный.

Далее пусть
— линейный оператор. Покажем, что илинейный.

2.
Операторы
и— перестановочные, т.е.

Последовательно
используя определение (13), получаем
следующую цепочку равенств:

То же самое получим,
действуя в обратном порядке.

Следствия из
свойств 1 и 2.

С.1.

С.2.
линейно выражается через узловые
значения.

По индукции. Для
m=1
утверждение следует из определения
оператора
.
Пусть утверждение справедливо для
оператора,
т.е.,
гдеm>2,
тогда

3.
Рассмотрим сетку
,
в которую введен дополнительный узел.
Пусть функцияТогда справедливы следующие формулы:

.	(14)
.	(15)

Пусть m=1.
Тогда

где h
– приращение аргумента.

m=2.

(14)
при
.

Уравнение (15)
является частным случаем уравнения
(14) при
.

4.
Для сетки X_n рассмотрим
полином m-го
порядка

Таким образом для
полинома
-го
порядка конечные разности-го
порядка постоянны, а конечные разности
порядков, больших, чем,
равны нулю.

Замечание.
Справедливо
и обратное к свойству 4 утверждение:
если для некоторой функции
m-ные
конечные разности постоянны при любом
выборе шага, то это означает, что
.

Интерполяционный
многочлен Ньютона. Построение и
теоретические оценки погрешности.

Пусть
— сетка равноотстоящих узлов. Известны
табличные значениянекоторой функции.

Запишем многочлен
Лагранжа в следующем виде:

(16)

Введем безразмерную
переменную

,
для

где h
– шаг. Очевидно, что
для.
Кроме того, для данной сетки

;

(17)

Потребуем выполнения
условий совпадения значений полинома
с табличными значениями в узловых точках

Далее по индукции
получаем общую формулу для коэффициента

Заметим, что из
определения q
следует, что

Подставляя (17) и
формулу для
в (16), получаем:

(18)

Формула (18) называется
первой
интерполяционной формулой Ньютона
или формулой
«интерполирования вперед».

Приведем простейшие
частые случаи интерполяции по Ньютону:

1) Линейная
интерполяция,
:

2) Квадратичная
интерполяция,
:

Погрешность
интерполяционной формулы Ньютона.

Нам известна
теоретическая оценка абсолютнойпогрешности
интерполяции в точке по Лагранжу

(5)

Преобразуем
многочлен
для случая равноотстоящих узлов:

Поскольку согласно
формуле (17),
,
то

Т.о. для оценки
погрешности в точке получаем:

или

(19)

где

Из формулы (19)
следует оценка для максимальной
абсолютной погрешности интерполяционной
формулы Ньютона на всем отрезке

(20)

Пример 12. Показать,
что из формулы (20) следует более простая,
но завышенная оценка

(21)

подчеркивающая
степенную зависимость точности
интерполяции от шага h.

Для вывода (21)
показать сначала, что

Доказательство
провести по индукции:
и т.д.

Ортогональность
в гильбертовом пространстве. Многочлены
Чебышева. Определение, построение,
свойства.

Определение 1.
Говорят, что
функция
,
если.
При этомназываетсявесовой
функцией и
удовлетворяет условиям:
наи.

Определение 2.
Функции
иназываютсяортогональными
на
с весом,
если их скалярное произведение

Замечание.
Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца
для интегралов следует, что скалярное
произведение
существует

Определим на
отрезке [-1,1] следующие многочлены
Чебышева:

(24)

Найдем два первых
многочлена Чебышева по формуле (24):

Для больших n
неудобно работать с формулой (24). Выведем
более удобную рекуррентную
формулу.
Полагая
и подставляя в формулу тригонометрии:

получаем:

(25)

Формула (25) начинает
работать, начиная со значений
.
Последовательно получаем:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Ошибки измерения: Опыт убеждает, что измерения объектов не могут быть произведены абсолютно точно и каждое конкретное измерение дает лишь, как правило, приближенное значение величины явления, истинное значение которой (A) нам неизвестно. Ошибки измерения (

Рассмотрим такие измерения, которые производятся одним наблюдателем, одним и тем же инструментом, в одинаковых условиях, т. е. равноточные измерения.

Различают два вида ошибок измерения:

систематические ошибки, т. е. такие, которые при данных условиях проведения измерения имеют вполне определенное значение (например, ошибка измерительного прибора);
случайные — такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения.

Задача математической статистики — предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться их ликвидации или сведения к минимуму.

Случайные ошибки измерения обладают рядом свойств: при большом числе измерений крупные ошибки встречаются реже мелких и число положительных ошибок примерно равно числу отрицательных, вследствие чего сумма всех ошибок близка к нулю.

Если ошибки получаются весьма малыми по сравнению с величиной явления, то ими просто пренебрегают или считаются с наибольшей возможной ошибкой, чтобы обезопасить себя от влияния случайной неточности.

В теории ошибок изучаются те ошибки, которые, являясь, с одной стороны, ошибками случайного характера, по своему абсолютному значению настолько велики, что ими пренебречь нельзя, а с другой стороны, для них существует закон, позволяющий установить зависимость между величиной ошибки и вероятностью ее появления. Закон случайных ошибок, полученный Гауссом, состоит в том, что случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Средняя ошибка сводного результата измерения

Принимая за действительное значение измеряемой величины при равноточном измерении среднюю арифметическую из всех результатов n измерений, можно охарактеризовать точность одного измерения с помощью средней арифметической из абсолютных величин значений ошибок:

где n — число измерений, х — численное значение отдельных измерений, — средняя арифметическая из результатов измерений.

За меру точности соответствия принятой средней арифметической истинному значению измеряемой величины (A) принимают среднюю ошибку сводного результата измерения, вычисляемую по формуле:

Пример 1. Произведено 10-кратное измерение размера детали (в мм), давшее следующие, расположенные в возрастающем порядке результаты: 138; 139; 140; 141; 141; 142; 142; 143; 144; 145.

Охарактеризуем сначала точность одного измерения, т. е. вычислим среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок. Для этой цели вычислим среднюю арифметическую из результатов измерений:

Найдем ошибки измерения:

Следовательно:

Теперь можно вычислить среднюю ошибку сводного результата измерения:

Значит, мерой точности соответствия 141,5 мм истинной величине размера детали является средняя ошибка, равная 0,54 мм.

Средняя квадратическая ошибка

Если в качестве меры точности одного измерения принять не среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок (средняя ошибка), а среднюю квадратическую из ошибок измерений, т. е.

то средняя квадратическая ошибка найденной средней арифметической из ошибок измерения вычисляется по формуле:

Между средней -квадратической ошибкой и средней ошибкой сводного результата измерения существует связь: если случайные ошибки подчиняются Гауссову закону нормального распределения.

Пример 2. Используя данные предыдущего примера, находим меру точности одного измерения, т. е. среднюю квадратическую ошибку:

Затем исчисляем среднюю квадратическую ошибку найденной средней арифметической, равной 141,5 мм:

Сопоставляя среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения со средней ошибкой, получаем:

Вероятная ошибка

За меру точности одного измерения иногда принимают вероятную ошибку:

Тогда в качестве вероятной ошибки сводного результата измерения используют соотношение:

Пример 3. Используя данные предыдущих примеров, находим вероятную ошибку сводного результата измерения:

Наиболее вероятные границы сводных результатов измерения

Математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. В качестве значения измеряемой величины применяется средняя арифметическая всех измерений (если они равноточны). Использование отклонений результатов измерений (х) от средней из них называемых в теории ошибок «кажущимися ошибками» позволяет произвести оценку точности соответствия средней арифметической неизвестному истинному значению измеряемой величины (A).

Для этой цели используют удвоенную или утроенную среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения или его вероятную ошибку и получают:

Найденные границы неизвестной истинной величины в случае, если ошибки подчинены нормальному закону распределения Гаусса (чаще всего так и бывает), соблюдаются с большой вероятностью (0,997 и 0,954).

Пример 4. По данным предыдущих примеров находим границы истинного значения размера детали Значит, истинное значение размера детали находится в границах от 141,5—2,04 до 141,5+2,04.

Методы математической статистики
Комбинаторика — правила, формулы и примеры
Классическое определение вероятности
Геометрические вероятности
Законы распределения случайных величин
Дисперсионный анализ
Математическая обработка динамических рядов
Корреляция — определение и вычисление

Источник

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Формула абсолютной погрешности

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому значению.

Формула относительной погрешности

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Формула приведенной погрешности

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения.

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

Знайте свою аудиторию.
Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
Разделите аудиторию на группы.
Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
Увеличьте размер выборки.
Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

Предварительно протестируйте.
Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
Проводите выборку случайным образом.
Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

Загрузить PDF

Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.^[1] Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.^[2] Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.

1

Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула: $Delta x=x_{{0}}-x$ , где – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), $x_{{0}}$ – измеренное значение, – фактическое значение.^[3]
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: $Delta x=x_{{0}}-105$ .
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо $x_{0}$ .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: .
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[4] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- В нашем примере: , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама

1

Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула: $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , где – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), $x_{{0}}$ – измеренное значение, – фактическое значение.^[5]
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-105}{105}}$ .
4

Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
5

Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете $x_{{0}}$ , то есть измеренное значение.
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[6] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама

1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.^[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
2
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.^[9] Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[10] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренная длина поля равна м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама

Советы

Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 549 раз.

Была ли эта статья полезной?

Если проведение
неоднократных измерений физической
величины даёт повторяющиеся результаты,
то это означает, что в данных условиях
преобладают приборные погрешности. В
этих случаях погрешность прямых измерений
определяется приборной погрешностью.

Если неоднократные
измерения дают некоторый разброс
результатов, то это означает присутствие
случайных ошибок. Если число измерений
неограниченно возрастает, то для
определения среднего значения и дисперсии
можно воспользоваться формулами (3) …
(7). На практике число измерений всегда
ограничено, поэтому существует
конечная вероятность того, что истинное
значение среднеквадратичного
отклонения отличается от вычисленного
по формуле (6). Поэтому при небольшом
числе измерений для оценки величины 

пользуются
соотношениями, вытекающими из так
называемого распределения Стьюдента,
которое при неограниченном увеличении
числа измерений стремится к нормальному
распределению (5).

В соответствии с
этой методикой сначала находится
среднеарифметическое значение измеряемой
величины по формуле (3).

Следующим шагом
для оценки точности найденного
среднеарифметического значения будет
вычисление вспомогательной величины
S:

(9)

Из Таблицы 1
коэффициентов Стьюдента находим
вспомогательный коэффициент ,
зависящий от числа измерений n и
доверительной вероятности Р. Этот
коэффициент совместно с величиной S
позволяет рассчитать доверительный
интервал x.

Абсолютная
погрешность значения искомой величины
«а», найденной как среднеарифметическое
из n измерений составит:

(10)

Искомая величина
«а» представляется в виде:

(11)

Дисперсия всей
совокупности измерений случайной
величины «х»
будет равна S².

7. Расчёт ошибок косвенных измерений

Пусть искомая
величина А
при выбранном
методе косвенных измерений рассчитывается
по формуле:

A
= f(x₁
,x₂
,x₃
,…,x_n
) (12)

где x₁,x₂,…,x_n
— величины, найденные в результате прямых
измерений, с учётом ошибок о которых
шла речь выше. Из-за этих ошибок величина
«А»
так же будет определяться с ошибками.

Пусть X₁,X₂,…,X_N
— значения f(x₁
,x₂
,x₃
,…,x_n
), вычисленные
для разных серий измерений (x₁,x₂,…,x_n).

Таблица 1

Таблица коэффициентов
Стьюдента

Число измерений	Доверительная вероятность
0.7	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
2	2.0	3.1	6.3	12.7	63.7	636.6
3	1.3	1.9	2.9	4.3	9.9	31.6
4	1.3	1.6	2.4	3.2	5.8	12.9
5	1.2	1.5	2.1	2.8	4.6	8.6
10	1.1	1.4	1.8	2.3	3.3	4.8
15	1.1	1.3	1.8	2.1	3.0	4.1
20	1.1	1.3	1.7	2.1	2.9	3.9

Абсолютной ошибкой
косвенных измерений, по аналогии с
абсолютной ошибкой прямых измерений,
называют разность между истинным
значением «А» и её значениями,
полученными в результате измерений:

(13)

Размерность
абсолютной ошибки совпадает с размерностью
определяемой величины. Относительной
ошибкой косвенных измерений называют
отвлечённое число:

(14)

Иногда относительную
ошибку выражают в процентах:

(15)

Для определения
величины «А» в формулах (12)…(15) по
теории

вероятностей
следует брать величину Х, которую можно
определить двумя способами:

1) А
= Х
= (Х₁
+ Х₂
+…+Х_n)/n
(16)

2) A
= X
= f(x₁
+ x₂
+…+x_n)
(17)

где x₁,
x₂
,…, x_n
определяют по формуле (3). Если ошибки
измерений малы, то оба способа дают
практически тождественные результаты.

Рассмотрим способы
нахождения ошибки величины А,
определённой из косвенных измерений,
по найденным значениям оши

бок прямых измерений.
Выше отмечалось, что возможны различные
соотношения между приборной систематической
и случайными ошибками.

1-й случай. Преобладают
приборные ошибки. В этом случае можно
дать только оценку максимальной ошибки.
Формулы для нахождения предельной
ошибки косвенных измерений по внешнему
виду совпадают с формулами дифференциального
исчисления. В связи с этим для предельной
абсолютной ошибки используется формула:

(18)

а для расчёта
предельной относительной ошибки пригодна
фор

— 19 —

мула:

(19)

Формулы для расчёта
предельных ошибок некоторых часто
встречающихся функций, когда приборные
ошибки превышают случайные, приведены
в Таблице 2. Эти выражения легко
рассчитываются по формулам (18) и (19).

2-й случай. Преобладают
случайные ошибки. Для определения
среднеквадратичной ошибки теория
вероятностей даёт следующую формулу:

(20)

Относительная
ошибка вычисляется по формуле:

(21)

При выполнении
промежуточных расчётов необходимо
помнить, что число точных цифр в результате
расчётов не может увеличиваться. Поэтому
промежуточные результаты округляют,
сохраняя

1…2 избыточных
знака. При этом последующие цифры,
меньшие

5,отбрасываются;если
первая из отбрасываемых цифр больше 5,

то последняя из
оставшихся цифр увеличивается на
единицу. Ес

ли первая
отбрасываемая цифра 5, то предыдущая
цифра остаётся

без изменений,
если она чётная, и увеличивается на
единицу, если

она нечётная.
Выражения для среднеквадратичной ошибки
некоторых часто встречающихся функций
приведены в Таблице 3. Для определения
ошибок косвенных измерений используют
большую из инструментальной или случайной
ошибок прямого измерения.

Соседние файлы в папке TIU-11

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2109.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2109.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Светлана Лобанова-Асямолова

10/10
Валерий Соломин

10/10
Анастасия Юшкова

10/10
Ксюша Пономарева

7/10
Паша Кривов

10/10
Евгений Холопик

9/10
Guzel Murtazina

10/10
Максим Аполонов

10/10
Olga Bimbirene

9/10
Света Колодий

10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2109.

А какая ваша оценка?

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения
Систематическая и случайная погрешности
Определение абсолютной погрешности
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Примеры

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Теоретическая погрешность

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$

Например:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

$m_i,г$

98,4

99,2

98,1

100,3

98,5

$Delta m_i, г$

1,6

0,8

1,9

0,3

1,5

Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $

Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.

Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений

Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = overline{1, N}$.

Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:

$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$

Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:

$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$

Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.

Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:

$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$

Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:

$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$

Значащие цифры и правила округления результатов измерений

Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Например:

0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.

5,01 — три значащие цифры.

5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.

Внимание!

Правила округления.

Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).

Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.

Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:

$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$

Примеры

Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?

По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:

$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 h = 0,04end{array} right.} $$

$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$

Ответ: 0,04 ℃

Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.

$x_i$

15,3

16,4

15,3

15,8

15,7

16,2

15,9

Находим среднее арифметическое:

$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$

Находим абсолютные погрешности:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

$ Delta x_i$

0,5

0,6

0,5

0,1

0,4

0,1

Находим среднее арифметическое:

$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$

Выбираем большую величину:

$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max⁡ {0,1; 0,31} = 0,31 $$

Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.

Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$

Границы: $15,4 le x le 16,2$

Ответ: $15,4 le x le 16,2$

Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.

Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$

Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:

$$ 5,3 le a le 5,9 $$

Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $

17 авг. 2022 г.
читать 3 мин

В статистике регрессионный анализ — это метод, который мы используем для понимания взаимосвязи между переменной-предиктором x и переменной отклика y.

Когда мы проводим регрессионный анализ, мы получаем модель, которая сообщает нам прогнозируемое значение для переменной ответа на основе значения переменной-предиктора.

Один из способов оценить, насколько «хорошо» наша модель соответствует заданному набору данных, — это вычислить среднеквадратичную ошибку , которая представляет собой показатель, который говорит нам, насколько в среднем наши прогнозируемые значения отличаются от наших наблюдаемых значений.

Формула для нахождения среднеквадратичной ошибки, чаще называемая RMSE , выглядит следующим образом:

СКО = √[ Σ(P i – O i ) 2 / n ]

куда:

Σ — причудливый символ, означающий «сумма».
P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
n — размер выборки

Технические примечания:

Среднеквадратичную ошибку можно рассчитать для любого типа модели, которая дает прогнозные значения, которые затем можно сравнить с наблюдаемыми значениями набора данных.
Среднеквадратичную ошибку также иногда называют среднеквадратичным отклонением, которое часто обозначается аббревиатурой RMSD.

Далее рассмотрим пример расчета среднеквадратичной ошибки в Excel.

Как рассчитать среднеквадратичную ошибку в Excel

В Excel нет встроенной функции для расчета RMSE, но мы можем довольно легко вычислить его с помощью одной формулы. Мы покажем, как рассчитать RMSE для двух разных сценариев.

Сценарий 1

В одном сценарии у вас может быть один столбец, содержащий предсказанные значения вашей модели, и другой столбец, содержащий наблюдаемые значения. На изображении ниже показан пример такого сценария:

Если это так, то вы можете рассчитать RMSE, введя следующую формулу в любую ячейку, а затем нажав CTRL+SHIFT+ENTER:

=КОРЕНЬ(СУММСК(A2:A21-B2:B21) / СЧЕТЧ(A2:A21))

Это говорит нам о том, что среднеквадратическая ошибка равна 2,6646 .

Формула может показаться немного сложной, но она имеет смысл, если ее разобрать:

= КОРЕНЬ( СУММСК(A2:A21-B2:B21) / СЧЕТЧ(A2:A21) )

Во-первых, мы вычисляем сумму квадратов разностей между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями, используя функцию СУММСК() .
Затем мы делим на размер выборки набора данных, используя COUNTA() , который подсчитывает количество непустых ячеек в диапазоне.
Наконец, мы извлекаем квадратный корень из всего вычисления, используя функцию SQRT() .

Сценарий 2

В другом сценарии вы, возможно, уже вычислили разницу между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями. В этом случае у вас будет только один столбец, отображающий различия.

На изображении ниже показан пример этого сценария. Прогнозируемые значения отображаются в столбце A, наблюдаемые значения — в столбце B, а разница между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями — в столбце D:

Если это так, то вы можете рассчитать RMSE, введя следующую формулу в любую ячейку, а затем нажав CTRL+SHIFT+ENTER:

=КОРЕНЬ(СУММСК(D2:D21) / СЧЕТЧ(D2:D21))

Это говорит нам о том, что среднеквадратическая ошибка равна 2,6646 , что соответствует результату, полученному в первом сценарии. Это подтверждает, что эти два подхода к расчету RMSE эквивалентны.

Формула, которую мы использовали в этом сценарии, лишь немного отличается от той, что мы использовали в предыдущем сценарии:

= КОРЕНЬ (СУММСК(D2 :D21) / СЧЕТЧ(D2:D21) )

Поскольку мы уже рассчитали разницу между предсказанными и наблюдаемыми значениями в столбце D, мы можем вычислить сумму квадратов разностей с помощью функции СУММСК().только со значениями в столбце D.
Затем мы делим на размер выборки набора данных, используя COUNTA() , который подсчитывает количество непустых ячеек в диапазоне.
Наконец, мы извлекаем квадратный корень из всего вычисления, используя функцию SQRT() .

Как интерпретировать среднеквадратичную ошибку

Как упоминалось ранее, RMSE — это полезный способ увидеть, насколько хорошо регрессионная модель (или любая модель, которая выдает прогнозируемые значения) способна «соответствовать» набору данных.

Чем больше RMSE, тем больше разница между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями, а это означает, что модель регрессии хуже соответствует данным. И наоборот, чем меньше RMSE, тем лучше модель соответствует данным.

Может быть особенно полезно сравнить RMSE двух разных моделей друг с другом, чтобы увидеть, какая модель лучше соответствует данным.

Для получения дополнительных руководств по Excel обязательно ознакомьтесь с нашей страницей руководств по Excel , на которой перечислены все учебные пособия Excel по статистике.

Физические величины и погрешности их измерений — Задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Сразу оговоримся, что при выборе измерительного оборудования часто нужно также знать диапазон измерения и какое именно значение интересует: например, среднеквадратическое значение (СКЗ) измеряемой величины в определённом интервале времени, или требуется измерять среднеквадратическое отклонение (СКО) (для измерения переменной составляющей величины), или требуется измерять мгновенное (пиковое) значение.

При измерении переменных физических величин (например, напряжение переменного тока) требуется знать динамические характеристики измеряемой физической величины: диапазон частот или максимальную скорость изменения физической величины,
Эти данные, необходимые при выборе измерительного оборудования, зависят от физического смысла задачи измерения в конкретном физическом эксперименте,

Итак, повторимся: задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Эта задача решается с помощью прямых или косвенных измерений, При прямом измерении осуществляется количественное сравнение физической величины с соответствующим эталоном при помощи измерительных приборов.

Отсчет по шкале прибора указывает непосредственно измеряемое значение.
Например, термометр дает значения измеряемой температуры, а вольтметр – значение напряжения.
При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина находится при помощи математических операций над непосредственно измеренными физическими величинами (непосредственно измеряя напряжение U на резисторе и ток I через него, вычисляем значение сопротивления R = U / I ).

Точность прямых измерений некоторой величины X оценивается величиной погрешности или ошибки, измерений относительно действительного значения физической величины X Д, Действительное значение величины X Д (согласно РМГ 29-99 ) – это значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Различают абсолютную (∆ X) и относительную (δ) погрешности измерений.
Абсолютная погрешность измерения – это п огрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины, характеризующая абсолютное отклонение измеряемой величины от действительного значения физической величины: ∆X = X – X Д,

Относительная погрешность измерения – это п огрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины. Обычно относительную погрешность выражают в процентах: δ = (∆X / Xд) * 100%, При оценке точности косвенных измерений некоторой величины X 1, функционально связанной с физическими величинами X 2, X 3,, X 1 = F (X 2, X 3, ), учитывают погрешности прямых измерений каждой из величин X 2, X 3, и характер функциональной зависимости F (),

Как вычислить погрешность измерений?

Измерение физических величин основано на том, что физика исследует объективные закономерности, которые происходят в природе. Найти значение физической величины — умножить конкретное число на единицу измерения данной величины, которая стандартизирована ( эталоны ).

расположение наблюдателя относительно измерительного прибора: если на линейку смотреть сбоку, погрешность измерений произойдёт по причине неточного определения полученного значения;деформация измерительного прибора: металлические и пластиковые линейки могут изогнуться, сантиметровая лента растягивается со временем;несоответствие шкалы прибора эталонным значениям: при множественном копировании эталонов может произойти ошибка, которая будет множиться;физический износ шкалы измерений, что приводит к невозможности распознавания значений.

Рассмотрим на примере измерения длины бруска линейкой с сантиметровой шкалой. Рис. (1). Линейка и брусок Внимательно рассмотрим шкалу. Расстояние между двумя соседними метками составляет (1) см. Если этой линейкой измерять брусок, который изображён на рисунке, то правый конец бруска будет находиться между (9) и (10) метками.

У нас есть два варианта определения длины этого бруска. (1). Если мы заявим, что длина бруска — (9) сантиметров, то недостаток длины от истинной составит более половины сантиметра ((0,5) см (= 5) мм). (2). Если мы заявим, что длина бруска — (10) сантиметров, то избыток длины от истинной составит менее половины сантиметра ((0,5) см (= 5) мм).

Погрешность измерений — это отклонение полученного значения измерения от истинного. Погрешность измерительного прибора равна цене деления прибора. Для первой линейки цена деления составляет (1) сантиметр. Значит, погрешность этой линейки (1) см. Если нам необходимо произвести более точные измерения, то следует поменять линейку на другую, например, с миллиметровыми делениями. Рис. (2). Деревянная линейка Если же необходимы ещё более точные измерения, то нужно найти прибор с меньшей ценой деления, например, штангенциркуль. Существуют штангенциркули с ценой деления (0,1) мм и (0,05) мм, Рис. (3). Штангенциркуль На процесс измерения влияют следующие факторы: масштаб шкалы прибора, который определяет значения делений и расстояние между ними; уровень экспериментальных умений. Считается, что погрешность прибора превосходит по величине погрешность метода вычисления, поэтому за абсолютную погрешность принимают погрешность прибора.

В чем измеряется погрешность?

Погрешность средств измерения и результатов измерения. Погрешности средств измерений – отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).

Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от действительного (истинного) значения измеряемой величины.
Инструментальные и методические погрешности.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях.
Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений.

Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели. Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета.

Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается. Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены. Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений.

Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы. Статическая и динамическая погрешности.

Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей. Статическая погрешность средства измерений возникает при измерении с его помощью постоянной величины. Если в паспорте на средства измерений указывают предельные погрешности измерений, определенные в статических условиях, то они не могут характеризовать точность его работы в динамических условиях. Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений является разность между погрешностью средсва измерений в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. При разработке или проектировании средства измерений следует учитывать, что увеличение погрешности измерений и запаздывание появления выходного сигнала связаны с изменением условий.

Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины.

Как найти абсолютную погрешность измерительного прибора?

Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δ и x + Δ о x при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.

Что такое погрешность метода измерений?

По источнику возникновения — Инструментальная погрешность Эта погрешность определяется несовершенством прибора, возникающим, например, из-за неточной калибровки, Методическая погрешность Методической называют погрешность, обусловленную несовершенством метода измерений.

Что такое погрешность измерительного прибора?

Определение — Проводя измерение параметров рынка, маркетолог получает результаты в виде таблиц, графиков и пр. Эти данные он предоставляет заказчику. Но в отчетах не все специалисты указывают важную величину — погрешность, о которой клиент не подозревает.

Как определить погрешность деления?

Как определить погрешность и объем жидкости — Погрешность равна половине цены деления мензурки. В нашем случае погрешность составляет 2,5 мл. Чтобы определить объем, берем ближайшее число от верхней границы жидкости (на рисунке — это значение 40 мл) и прибавляем количество штрихов (на рисунке — 2 штриха) по 5 мл: V = 40 + 2 × 5 = 50 мл.

Как рассчитывается приведенная погрешность?

Программа КИП и А Дмитрий Бебякин, инженер — метролог, ИЛИМ Позволю себе вначале небольшое отступление. Такие понятия как погрешность, класс точности довольно подробно описываются в нормативной документации ГОСТ 8.009-84 «Нормируемые метрологические характеристики средств измерений», ГОСТ 8.401-80 «Классы точности средств измерений.

Общие требования» и им подобных.
Но открывая эти документы сразу возникает чувство тоски Настолько сухо и непонятно простому начинающему «киповцу», объяснены эти понятия.
Давайте же пока откинем такие вычурные и непонятные нам определения, как « среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности » или « нормализованная автокорреляционная функция » или « характеристика случайной составляющей погрешности от гистерезиса — вариация Н выходного сигнала (показания) средства измерений » и т.п.

Попробуем разобраться, а затем свести в одну небольшую, но понятную табличку, что же такое «погрешность» и какая она бывает. Погрешности измерений – отклонения результатов измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности неизбежны, выявить истинное значение невозможно.

Абсолютная погрешность: Δ = X д — X изм, выражается в единицах измеряемой величины, например в килограммах (кг), при измерении массы. где X д – действительное значение измеряемой величины, принимаются обычно показания эталона, образцового средства измерений; X изм – измеренное значение.
Относительная погрешность: δ = (Δ ⁄ X д ) · 100, выражается в % от действительного значения измеренной величины.
Приведённая погрешность: γ = (Δ ⁄ X н ) · 100, выражается в % от нормирующего значения. где X н – нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и Δ, обычно принимается диапазон измерения СИ (шкала).

По характеру проявления:

систематические (могут быть исключены из результатов);
случайные;
грубые или промахи (как правило не включаются в результаты измерений).

В зависимости от эксплуатации приборов:

основная – это погрешность средства измерения при нормальных условиях; (ГОСТ 8.395-80)
дополнительная погрешность – это составляющая погрешности средства измерения, дополнительно возникающая из-за отклонения какой-либо из влияющих величин от нормативного значения или выход за пределы нормальной области значений. Например: измерение избыточного давления в рабочих условиях цеха, при температуре окружающего воздуха 40 ºС, относительной влажности воздуха 18% и атмосферном давлении 735 мм рт. ст., что не соответствует номинальным значениям влияющих величин при проведении поверки.

Наимено вание погреш ности

Формула

Форма выражения, записи

Обозначение класса точности

В докумен тации

На сред стве изме рений

Абсолют ная

Δ = X д — X изм

Δ = ±50 мг Примеры: Номинальная масса гири 1 кг ±50 мг Диапазон измерения весов среднего III класса точности от 20 г до 15 кг ±10 г

Класс точности: М 1 Класс точности: средний III Примечание: на многие виды измерений есть свои НД по выражению погрешностей, здесь для примера взято для гирь и весов.

М 1

Относи тельная

δ = (Δ ⁄ X д ) · 100

δ = ±0,5 Пример: Измеренное значение изб.

Как вычислить абсолютную погрешность формула?

Поиск: Абсолютная погрешность Δ измерений, выражаемая в единицах измеряемой величины, представляется разностью между измеренным и истинным (действительным) значениями измеряемой величины: Δ = х изм — х и (х д ).

Чему равна абсолютная погрешность?

При измерении каких-либо величин важным понятием является понятие о погрешности. Это связано с тем, что абсолютно точно измерить какую либо величину невозможно. Поэтому вводят понятие погрешности. Есть очень много видов погрешности, связанных с человеческим фактором или процессом измерения.

Для чего нужна погрешность измерений?

Каждое физическое измерение в исследованиях и промышленности сопровождается определенной погрешностью. Даже незначительные колебания в условиях окружающей среды могут влиять на измерение и вызывать отклонения, которые делают результат измерения ненадежным.

Для получения правильных результатов измерений необходимо учитывать связанную с результатами погрешность. Погрешность измерений указывает на недостающую информацию о настоящем значении измеряемой величины. Она определяется параметром, выраженным в процентах и относящимся к результату измерения, который обозначает отклонение значений, которое обоснованно можно присвоить измеряемой величине на основе имеющейся информации.

Другими словами, это диапазон, в пределах которого с определенной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины.

Как найти абсолютную погрешность пример?

Абсолютная погрешность — Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением. Рассмотрим пример : в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26. Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности.
Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу.
Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях.
Тогда формула будет выглядеть следующим образом: Δа=А-а.
Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения. Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см.

Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Как определить цену деления и погрешность?

Найти две соседних отметки шкалы, возле которых написаны величины, соответствующие этим отметкам шкалы; найти разность этих величин; сосчитать количество промежутков между величинами отметок шкалы; полученную разность величин разделить на количество промежутков.

Что такое максимальная погрешность измерений?

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.

Как рассчитывается приведенная погрешность?

Общие требования» и им подобных. Но открывая эти документы сразу возникает чувство тоски Настолько сухо и непонятно простому начинающему «киповцу», объяснены эти понятия. Давайте же пока откинем такие вычурные и непонятные нам определения, как « среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности » или « нормализованная автокорреляционная функция » или « характеристика случайной составляющей погрешности от гистерезиса — вариация Н выходного сигнала (показания) средства измерений » и т.п.

Абсолютная погрешность: Δ = X д — X изм, выражается в единицах измеряемой величины, например в килограммах (кг), при измерении массы. где X д – действительное значение измеряемой величины, принимаются обычно показания эталона, образцового средства измерений; X изм – измеренное значение.
Относительная погрешность: δ = (Δ ⁄ X д ) · 100, выражается в % от действительного значения измеренной величины.
Приведённая погрешность: γ = (Δ ⁄ X н ) · 100, выражается в % от нормирующего значения. где X н – нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и Δ, обычно принимается диапазон измерения СИ (шкала).

По характеру проявления:

систематические (могут быть исключены из результатов);
случайные;
грубые или промахи (как правило не включаются в результаты измерений).

В зависимости от эксплуатации приборов:

основная – это погрешность средства измерения при нормальных условиях; (ГОСТ 8.395-80)
дополнительная погрешность – это составляющая погрешности средства измерения, дополнительно возникающая из-за отклонения какой-либо из влияющих величин от нормативного значения или выход за пределы нормальной области значений. Например: измерение избыточного давления в рабочих условиях цеха, при температуре окружающего воздуха 40 ºС, относительной влажности воздуха 18% и атмосферном давлении 735 мм рт. ст., что не соответствует номинальным значениям влияющих величин при проведении поверки.

Наимено вание погреш ности

Формула

Форма выражения, записи

Обозначение класса точности

В докумен тации

На сред стве изме рений

Абсолют ная

Δ = X д — X изм

М 1

Относи тельная

δ = (Δ ⁄ X д ) · 100

δ = ±0,5 Пример: Измеренное значение изб.

Как вычислить погрешность функции?

Главная страница УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОГРАММА КУРСА КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ Материалы к лекционному курсу Лектор – Щербаков И.Н. Пусть X – некоторая величина, истинное значение которой известно или неизвестно и равно x*, Число x, которое можно принять за значение величины X, мы будем называть ее приближенным значением или просто приближенным числом. Число x называют приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения ( x < x* ), и по избытку, если оно больше ( x > x* ). Например, число 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е (основание натурального логарифма) по избытку. Абсолютная погрешность приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины и данным ее приближенным значением. Δx = | x * – x | Поскольку истинное значение величины обычно остается неизвестным, неизвестной остается также и абсолютная погрешность. Вместо нее приходится рассматривать оценку абсолютной погрешности, так называемою предельную абсолютную погрешность, которая означает число, не меньшее абсолютной погрешности (далее, в том случае, если это не принципиально, будем под абсолютной погрешностью понимать именно предельную абсолютную погрешность). Абсолютная погрешность приближенного числа не в полной мере характеризует его точность. Действительно, погрешность в 0,1 г слишком велика при взвешивании реактивов для проведения микро-синтеза, допустима при взвешивании 100 г колбасы, и не может быть замечена при измерении массы, например, железнодорожного вагона. Более информативным показателем точности приближенного числа является его относительная погрешность, Относительной погрешностью δx приближенного значения величины X называют абсолютную величину отношения его абсолютной погрешности к истинному значению этой величины. Часто эту относительную погрешность выражают в процентах. C учетом положительности абсолютной погрешности можно записать: δx = Δx / | x* | Ввиду того, что фактически вместо абсолютной погрешности приходится рассматривать предельную, относительную погрешность также заменяют предельной относительной погрешностью, которая означает число, не меньшее относительной погрешности. Более того, при отыскании предельной относительной погрешности приходится заменять неизвестное истинное значение величины x* приближенным – x, Последняя замена обычно не отражается на величине относительной погрешности ввиду близости этих значений и малости абсолютной погрешности. δx = Δx / | x | Например, для приближенного значения π = 3,14 предельная абсолютная погрешность составляет 0,0016, а относительная – 0,00051 или 0,051%. Выражение относительной погрешности в процентах иногда называют процентной погрешностью.

Как рассчитать абсолютную погрешность?

Абсолютная погрешность Δ измерений, выражаемая в единицах измеряемой величины, представляется разностью между измеренным и истинным (действительным) значениями измеряемой величины: Δ = х изм — х и (х д ).

Adblock
detector

Источник

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения
Систематическая и случайная погрешности
Определение абсолютной погрешности
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Примеры

Причины возникновения погрешности измерения

Виды погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Теоретическая погрешность

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$

Например:

$m_i,г$

98,4

99,2

98,1

100,3

98,5

$Delta m_i, г$

1,6

0,8

1,9

0,3

1,5

Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $

Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.

Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений

Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:

$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$

Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:

$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$

Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.

Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:

$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$

Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:

$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$

Значащие цифры и правила округления результатов измерений

Например:

0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.

5,01 — три значащие цифры.

5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.

Внимание!

Правила округления.

$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$

Примеры

По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:

$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 \ a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 \ h = 0,04end{array} right.} $$

$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$

Ответ: 0,04 ℃

Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.

$x_i$

15,3

16,4

15,3

15,8

15,7

16,2

15,9

Находим среднее арифметическое:

$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$

Находим абсолютные погрешности:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

$ Delta x_i$

0,5

0,6

0,5

0,1

0,4

0,1

Находим среднее арифметическое:

$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$

Выбираем большую величину:

$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max⁡ {0,1; 0,31} = 0,31 $$

Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.

Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$

Границы: $15,4 le x le 16,2$

Ответ: $15,4 le x le 16,2$

Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 \ 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 \ 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 \ 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$

Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:

$$ 5,3 le a le 5,9 $$

Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $

Источник